Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости"

Транскрипт

1 Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять положение точки заданием чисел Этот способ позволяет решение геометрических задач сводить к алгебраическим Существуют различные способы задания положения точки на плоскости В соответствии с этим существуют и разные системы координат, например, прямоугольная декартова и полярная Для задания прямоугольной системы координат необходимо на плоскости провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой которых выбрать положительное направление и задать масштаб Прямые называются координатными осями, точка их пересечения - началом координат (рис) Y M(;) II I j O i X III IV Рис Как правило, горизонтальную и направленную слева направо, ось называют осью абсцисс (осью OX), другую вертикальную, направленную снизу вверх осью ординат (осью OY) Единичные векторы, которые задают масштаб, обозначают i и j Систему координат обозначают OXY, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью Координатные оси делят координатную плоскость на четыре координатные четверти ( или квадранты) Рассмотрим произвольную точку М плоскости O Вектор OM называется радиус-вектором точки М Координатами точки М в системе координат OXY называются координаты вектора OM Если OM =(;), то координаты точки М записывают так: М(;), число называется абсциссой точки М, ординатой точки М Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот

2 Полярная система координат Полярная система координат задаѐтся точкой О, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Op (рис) M(r,) O e P Рис Положение произвольной точки М на плоскости определяется двумя числами: еѐ расстоянием r от полюса О и углом, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчѐт углов ведѐтся против движения часовой стрелки) Числа r и называются полярными координатами точки М, обозначают М(r;) и r называют полярным радиусом, - полярным углом Каждой точке плоскости соответствует определенное значение r 0 Значение полярного угла определено с точностью до слагаемого k (k целое) Чтобы каждая точка плоскости имела единственные полярные координаты, достаточно ограничится промежутком 0 В этом случае между любой точкой плоскости кроме полярного полюса и парой чисел r и существует взаимно-однозначное соответствие Найдем соотношения между прямоугольными и полярными координатами Для этого на плоскости зададим прямоугольную и полярную системы координат Начало координат прямоугольной системы совместим с полярным полюсом, а полярную ось с положительной полуосью O Пусть и прямоугольные координаты точки М, а r и - еѐ полярные координаты (рис 3)

3 Y M(;) M(r,) j X O i P Рис 3 Очевидно, что прямоугольные координаты точки М(;) выражаются через полярные координаты точки следующим образом: r cos, r sin Для представления полярных координат точки М(r;) через прямоугольные координаты справедливы формулы: r, cos, sin, tg х При вычислении значения угла необходимо по знакам и определить четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть, что 0 Пример Определить прямоугольные координаты точки (8; ), заданной в полярной 4 системе координат На плоскости зададим прямоугольную и полярную системы координат Для этого совместим полярный полюс О с началом координат OXY, а полярную ось с положительной полуосью O Пусть и прямоугольные координаты точки А, а r 8 и координаты (см рис 4) - еѐ полярные 4

4 Y r 8 j 4 O i P X Рис 4 Тогда 8cos 4 и 8sin 4 4 4

5 Преобразование прямоугольной системы координат На плоскости можно задать несколько прямоугольных систем Любая точка плоскости в разных системах координат имеет разные координаты Необходимо установить соотношения между координатами точки в разных системах координат Рассмотрим два простейших случая взаимного расположения двух прямоугольных систем координат В первом системы координат имеют разные начала координат, а соответствующие координатные оси одинаково направлены Во втором системы имеют одно начало координат, а направления координатных осей не совпадают Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат Параллельный перенос осей координат Пусть задана прямоугольная система координат OXY При параллельном переносе осей координат понимают переход от системы координат OXY к новой OXY, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб не изменяются Пусть начало системы координат OXY точка O имеет координаты ( 0 ; 0 ) в старой системе координат OXY, те O 0 ; ) а произвольная точка M плоскости в ( 0 системе OXY имеет координаты (; ) и в новой системе OXY - ('; ') Необходимо найти соотношения между (; ) и ('; ') (см рис 5) Y Y M j O i X j O i X Рис 5 Рассмотрим векторы OM i j, OO i, O M ' i ' j, 0 0 j Так как OM OO OM, то i j i j ' i ', те 0 0 j

6 Следовательно, i j ( ' ) i ( 0 ' ) 0 j 0 ', 0 ' Полученные формулы позволяют находить старые координаты и по известным новым ' и ' Поворот осей координат Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными Пусть новая система OXY получена поворотом координатных осей системы OXY на угол Пусть М - произвольная точка плоскости, (;) еѐ координаты в старой системе и ('; ')- в новой системе Введѐм две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями OX и OX (масштаб одинаков) Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и, где - полярный угол в полярной системе OX (см рис 6) По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем r cos( ), r sin( ) Y M Y r X O X Рис 6 Отсюда получим r cos cos r sin sin, r cos sin r sin cos Так как r cos и r sin, то

7 'cos 'sin, 'sin 'cos Полученные формулы устанавливают связь между старыми координатами (;) произвольной точки М и новыми координатами (';') этой же точки М Пусть новая система координат OXY получена из старой OXY путѐм параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол, тогда формулы, выражающие старые координаты и произвольной точки через еѐ новые координаты ' и ', имеют вид 'cos 'sin 0, 'sin 'cos 0 3 Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости является уравнение F(,) 0, которому удовлетворяют координаты и линии и только они Прямая на плоскости определяется уравнением первой степени Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям Общее уравнение прямой Пусть прямая l проходит через заданную точку M 0 ( 0, 0 ) и перпендикулярна ненулевому вектору n ( ; B) (см рис 7) Тогда для произвольной точки M ( ; ), принадлежащей этой прямой, получим вектор M ( ), перпендикулярный M0 0; 0 заданному вектору n ( ; B) Следовательно, ) B( ) 0 ( 0 0 Отсюда получим общее уравнение прямой B C 0, где и - координаты произвольной точки прямой (текущие координаты), вектор n ( ; B) - нормальный вектор прямой, C 0 B0 Y n ( ; B) M(;) M 0 ( 0 ; 0 ) O X Рис 7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид kb, где k - угловой коэффициент прямой k tg, - угол, между прямой и положительным направлением оси ОX, b ордината точки пересечения прямой с осью ОY (см рис8)

8 Y N(; )) M(O;b) X O Рис 8 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: 0 k( 0), где k - угловой коэффициент прямой k tg, - угол, между прямой и положительным направлением оси ОX, M ( 0, 0 ) заданная точка (см рис9) Y M( 0 ; 0 ) O Рис 5 Рис 9 X Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Y M M O X Рис 0

9 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M ( ; ) и M ( ; ) (см рис 0): Если, то уравнение прямой, если же, то уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая проходит через две точки M (а;0) и M (0;b) (см рис ), тогда, применяя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим 0 a, b 0 0 a отсюда a b Y M (0;b) b M (а;0) O a X Рис Пример Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (; ) перпендикулярно биссектрисе второго координатного угла По направлению биссектрисы второго координатного угла выберем вектор n (;) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку M (; ) перпендикулярно вектору n (; ) : ( ) ( ) 0 Отсюда 0 Пример Составить уравнение медианы треугольника с вершинами (3;4), B ( 4; ) и C (;), проведенной к стороне BC 4 Найдем координаты середины стороны BC: M ; M (;0 ) Тогда уравнение медианы, как прямой, проходящей через две точки (3;4) и M (;0 ) выглядит так:

10 или Нормальное уравнение прямой 0 Нормальное уравнение прямой cos sin p 0, где p длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, - угол между положительным направлением оси OX и этим перпендикуляром (смрис ) Y p O X Рис Общее уравнение прямой B C 0 можно преобразовать в нормальное уравнение, если умножить уравнение на множитель B (знак множителя берется противоположным знаку коэффициента C) Параметрическое уравнение прямой Зададим прямую l, проходящую через точку M 0 ( 0, 0 ) параллельно ненулевому вектору m ( p; q) (см рис 3) Данные условия однозначно определяют прямую, так как через точку параллельно вектору можно провести только одну прямую Y m ( p; q) M(;) X O Рис 3 M ( ; ) Обозначим через M(, ) произвольную точку прямой l Тогда векторы m ( p; q) и M0 M ( 0; 0 ) коллинеарны, значит, M 0 M t m, где t - произвольное вещественное число Запишем это равенство в координатной форме:

11 0 0 pt, qt, t R Получено параметрическое уравнение прямой l, проходящей через точку M 0 ( 0, 0 ) параллельно вектору m ( p; q) Пример 3 t, Дано параметрическое уравнение прямой t Запишем уравнение этой прямой в общем виде Для этого необходимо исключить параметр t: t,, 5 Если точка А (, -3) принадлежит данной прямой, то координаты точки должны t, удовлетворять системе t Значит, найдется такое значение параметра t, t, которое является решением системы 3 t Действительно, из системы находим t 5 Точка B (, ) не принадлежит прямой, так как система t, t не имеет решений Пример 4 Написать параметрическое уравнение прямой 3 Пусь t, тогда ( 3) ( 3t) Следовательно, t, ( 3t) Уравнение отрезка Запишем уравнение прямой l, проходящей через точки М и М Вектор M M параллелен прямой l, поэтому параметрическое уравнение прямой в векторной форме имеет вид M M, tmm t R Если t=0, то точка M совпадает с точкой М, при увеличении параметра t точка M перемещается по прямой l от точки М к точке М, и при t= точка M совпадает с точкой М (рис 4) M M M O

12 Поэтому уравнение M M tm M 0 t, является параметрическим, уравнением отрезка [M, M ] в векторной форме Так как MM M M, то уравнение отрезка можно записать в следующем виде: M t M, tm 0 t Пусть точки М, М и М имеют соответственно координаты (, ), (, ) и (, ), тогда: t t 4 Основные задачи на плоскости t t, 0 t Расстояние между двумя точками Пусть на плоскости OXY заданы две точки А( ; ) и В( ; ), тогда расстояние d между ними равно длине вектора АВ =( - ; - ) : d B Деление отрезка в заданном отношении Необходимо разделить отрезок АВ (см рис 5), соединяющий точки А( ; ) и В( ; ) в заданном отношении >0, те найти координаты точки М(;) отрезка АВ такой, чтобы выполнялось векторное равенство АМ = МВ Запишем это равенство в координатной форме: ) i ( ) j = ) i ( ) j Приравняв координаты векторов Рис 4 ( ( получим,,,

13 Y B( ; ) M(;) j ( ; ) X O i X Рис 6 Эти формулы называются формулами деления отрезка в заданном отношении При = точка М(;) является серединой отрезка АВ и тогда, Пример Найти длину биссектрисы внутреннего угла треугольника с вершинами в точках (;-), B(5;4), и C(-;0) В треугольнике BC (см рис 6) биссектриса M Точка M делит сторону BC на Y B(5;4) M(;) C(-;0) j O i X (;-) Рис 7 части, пропорциональные прилегающим сторонам: BM B CM C Так как B (5 ) (4 ) 5 и C ( ) () 3, то

14 B 5 Координаты точки M определим, разделив отрезок в заданном C 3 отношении: BM=CM: 5 ( ) 4 (0) 4, 3 3 Вычислим длину отрезка Угол между двумя прямыми 4 04 M Пусть на плоскости заданы две прямые l и l соответственно уравнениями k b и k b (см рис 9) Y l l O X Рис 9 Необходимо найти угол между прямыми l и l Так как k tg, k tg и, то tg tg k k tg tg( ) tg tg k k Из этой формулы вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых Прямые l и l параллельны тогда и только тогда, когда k k Прямые l и l перпендикулярны тогда и только тогда, когда k k Пример Определить взаимное расположение прямых и Уравнения прямых преобразуем к уравнениям с угловыми коэффициентами: и Так k, k и k k, то прямые перпендикулярны 9 8 Расстояние от точки до прямой Пусть на плоскости заданы прямая l уравнением А В С 0 и точка M 0 ( 0 ; 0 ) Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:

15 d B 0 0 B C Пример 6 Найти расстояние между прямыми 4 3 и На прямой 4 3 выберем произвольную точку, например, M(;-) и вычислим расстояние от этой точки до другой прямой: 4 3 ( ) 0 9 d 4 3 5

16 5 Линии второго порядка на плоскости Линией второго порядка на плоскости называется линия, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно текущих координат В общем случае это уравнение имеет следующий вид: +B+C+D+E+F=0, () где коэффициенты,b,c,d,e и C действительные числа и, хотя бы одно из чисел,b,c не равно нулю Такое уравнение на плоскости может представлять: окружность, эллипс, гиперболу, параболу, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямую, точку или пустое множество Окружность В прямоугольной системе координат окружность с центром в точке (a;b) радиуса R определяется уравнением (-a) +(-b) =R () Раскрыв скобки в этом уравнении, получим: + -a-a+a +b -R =0 Сравнив последнее уравнение с уравнением (), видим, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах переменных равны и нет члена с произведением переменных Следовательно, имеет смысл рассмотреть уравнение + +D+E+F=0 (3) Уравнение (3) разделим на 0 и выделим полные квадраты относительно и : 0 F E D, F E D E D (4) Если 0 F E D, то уравнение (4) уравнение окружности с центром в точке ) ; ( E D M и радиуса F E D R Если 0 F E D, то уравнение (4) представляет одну точку ) ; ( E D M Если же 0 F E D, то уравнение (4) не определяет ни одну точку

17 Эллипс Эллипсом, называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, при условии, что эта фокусами величина больше расстояния между Выберем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с прямой, проходящей через фокусы F и F, а начало координат поместим в середине отрезка F F (см рис ) Пусть расстояние между точками F и F равно с Тогда в выбранной системе координат F (-с, 0), F (с, 0) и справедливы равенства: MF MF a, MF ( c ), MF ( c ) ( c ) ( c ) a, Y M(;) F (-c;0) O F (c;0) X Рис 8 После возведения в квадрат и упрощения получим уравнение: a ( a c ) a ( a c ) Обозначив b = a c (a>c), получим каноническое уравнение эллипса: a b (5) По уравнению эллипса определим его свойства Уравнение (5) содержит и в четных степенях, следовательно, координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат центром его симметрии, причем эту точку называют центром эллипса (см рис ) Точки пересечения эллипса с координатными осями: (-a;0), (a;0), 3 (0;-b), 4 (0;b) называют вершинами эллипса Числа а и b называют соответственно большой и малой осями эллипса, а и b большая и малая полуоси эллипса

18 Y 4 (0;b) M(;) (-a;0) F (-c;0) O F (c;0) (a;0) X 3 (0;-b) Рис 9 Из уравнения эллипса следует: -aa, -bb Следовательно, линия эллипса находится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми =a и =b Кроме того, если возрастает, то убывает, и наоборот, если возрастает, то убывает Гипербола Гиперболой, называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний, от каждой из которых до двух заданных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, при условии, что эта величина 0 и меньше расстояния между фокусами (см рис 3):

19 Y M(;) F (-c;0) O F (c;0) X получим гиперболы: Отсюда, учитывая, что MF MF a и Рис 0 MF MF a,a c MF ( c ), MF ( c ), ( c ) ( c ) a Далее, избавившись от иррациональностей, придем к каноническому уравнению a b, b c a (6) По этому уравнению определим свойства гиперболы Уравнение (6) содержит и в четных степенях, следовательно, координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат центром его симметрии (см рис 4) Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы Число а называют действительной полуосью гиперболы, число b мнимой полуосью гиперболы, а и b - соответственно действительной и мнимой осями гиперболы Точки А (-а,0), А (а,0) - вершины гиперболы, F (-c,0) и F (c,0) фокусы (см рис 4)

20 b у Y a b у a F (-c;0) (-a;0) O (a;0) F (c;0) X Рис Гипербола имеет асимптоты b у и a b у a Парабола Параболой, называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F (фокуса) и заданной прямой, называемой директрисой N Y M(;) p p O F( ;0) X Рис

21 Пусть расстояние между директрисой и фокусом равно p, прямоугольную систему координат зададим, направив ось абсцисс по перпендикуляру, опущенному из фокуса на директрису, начало координат совместим с серединой этого перпендикуляра (см рис 5) В p таком случае уравнение директрисы имеет вид, а фокус F имеет координаты p ;0 Так как NM=FM, то p p Отсюда после возведения в квадрат получим каноническое уравнение параболы p Упрощение общего уравнения второй степени Общее уравнение второй степени +B+C +D+E+F=0 преобразуем путем поворота системы координат на угол так, чтобы слагаемое с произведением переменных отсутствовало В этом уравнении, применив формулы поворота системы координат получим 'cos 'sin, 'sin 'cos, cos 'sin Bcos 'sin 'sin 'cos C'sin 'cos Dcos 'sin E'sin 'cos F 0 Запишем коэффициент при произведении и приравняем его к нулю: sin cos B cos sin C sin cos 0 Из этого равенства можно получить такие уравнения B tg, C C ctg, Btg ( C ) tg B 0 B Решив одно из их, найдем угол, вычислим значения формулы поворота, получим уравнение C D E F 0 sin и cos и, применив Далее, это уравнение необходимо упростить, выделив полные квадраты относительно переменных и Пример Определить вид линии по его уравнению

22 Преобразуем уравнение, применив формулы поворота системы координат: 9 'cos 'sin, 'sin 'cos cos 'sin 4cos 'sin 'sin 'cos 6'sin 'cos 0 Запишем коэффициент при произведении переменных и и приравняем его к нулю: 4cos 4sin 6sin cos 0 Отсюда, разделив уравнение на cos, получим Решим уравнение: Возьмем значение Далее, вычислим: координат: tg 3tg 0 tg или tg tg, отсюда arctg0,5 6,5 cos, sin и получим формулы преобразования 5 5 ( ), 5 ( ) 5 Подставим и в исходное уравнение и упростим: Это уравнение эллипса, разделив на 0, получим каноническое уравнение: Полуоси эллипса a, b (см рис 6)

23 Y Y X O X Рис 3 Пример Привести к каноническому виду уравнение Преобразуем уравнение, применив формулы поворота системы координат: 'cos 'sin, 'sin 'cos cos 'sin cos 'sin 'sin 'cos 'sin 'cos 0cos 'sin 6'sin 'cos 5 0 Коэффициент при произведении переменных и : Отсюда получаем уравнение sin cos 0 tg 0, решая его получим: tg или tg Возьмем значение tg, отсюда 45 Следовательно, cos, sin и формулы преобразования координат:

24 ) ( ), ( Подставим и в исходное уравнение и упростим: Это уравнение параболы, выделим полный квадрат относительно : 3 4 Вершина параболы в точке ; 3 M


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» составление различных уравнений

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy. ЛЕКЦИЯ N3. Поверхности и линии в пространстве и на плоскости. Прямая на плоскости..уравнение прямой с угловым коэффициентом.....общее уравнение прямой.... 3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Занятия, часы. Практические. Самостоятельные контрольных работ занятия

Занятия, часы. Практические. Самостоятельные контрольных работ занятия ВВЕДЕНИЕ Цель настоящего издания снабдить студентов-заочников рабочей программой и контрольными заданиями по курсу высшей математики Пособие содержит рабочую программу и контрольные вопросы по каждой теме

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Муниципальное автономное образовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Составил: учитель математики Барда Мария

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Плоскость. Прямая в пространстве 1 Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод

Подробнее

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов)

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов) Лекции Комплексные числа (факультативный курс для школьников 10 11 классов) НОВОПАВЛОВСКАЯ СОШ Г. НОВОПАВЛОВСК СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 01 Лийка Владимир Владимирович Лекция 1. Комплексные числа и их геометрическая

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра прикладной математики

Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра прикладной математики Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра прикладной математики 514(07) П07 Е.В. Патрушева, Т.В. Селиверстова ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» О. В. Куликова Н. П. Чуев И. В. Куликова МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат

Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат Занятие 17 Арифметический корень Прямоугольная система координат Рассмотрим равенство = 16 Здесь это основание степени; показатель степени, 16 степень Основание степени можно назвать так: корень четвертой

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-0 9 класс. Решения задач. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И МЕТОД КООРДИНАТ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И МЕТОД КООРДИНАТ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее