Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости"

Транскрипт

1 Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять положение точки заданием чисел Этот способ позволяет решение геометрических задач сводить к алгебраическим Существуют различные способы задания положения точки на плоскости В соответствии с этим существуют и разные системы координат, например, прямоугольная декартова и полярная Для задания прямоугольной системы координат необходимо на плоскости провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой которых выбрать положительное направление и задать масштаб Прямые называются координатными осями, точка их пересечения - началом координат (рис) Y M(;) II I j O i X III IV Рис Как правило, горизонтальную и направленную слева направо, ось называют осью абсцисс (осью OX), другую вертикальную, направленную снизу вверх осью ординат (осью OY) Единичные векторы, которые задают масштаб, обозначают i и j Систему координат обозначают OXY, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью Координатные оси делят координатную плоскость на четыре координатные четверти ( или квадранты) Рассмотрим произвольную точку М плоскости O Вектор OM называется радиус-вектором точки М Координатами точки М в системе координат OXY называются координаты вектора OM Если OM =(;), то координаты точки М записывают так: М(;), число называется абсциссой точки М, ординатой точки М Эти два числа и полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел и соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот

2 Полярная система координат Полярная система координат задаѐтся точкой О, называемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Op (рис) M(r,) O e P Рис Положение произвольной точки М на плоскости определяется двумя числами: еѐ расстоянием r от полюса О и углом, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчѐт углов ведѐтся против движения часовой стрелки) Числа r и называются полярными координатами точки М, обозначают М(r;) и r называют полярным радиусом, - полярным углом Каждой точке плоскости соответствует определенное значение r 0 Значение полярного угла определено с точностью до слагаемого k (k целое) Чтобы каждая точка плоскости имела единственные полярные координаты, достаточно ограничится промежутком 0 В этом случае между любой точкой плоскости кроме полярного полюса и парой чисел r и существует взаимно-однозначное соответствие Найдем соотношения между прямоугольными и полярными координатами Для этого на плоскости зададим прямоугольную и полярную системы координат Начало координат прямоугольной системы совместим с полярным полюсом, а полярную ось с положительной полуосью O Пусть и прямоугольные координаты точки М, а r и - еѐ полярные координаты (рис 3)

3 Y M(;) M(r,) j X O i P Рис 3 Очевидно, что прямоугольные координаты точки М(;) выражаются через полярные координаты точки следующим образом: r cos, r sin Для представления полярных координат точки М(r;) через прямоугольные координаты справедливы формулы: r, cos, sin, tg х При вычислении значения угла необходимо по знакам и определить четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть, что 0 Пример Определить прямоугольные координаты точки (8; ), заданной в полярной 4 системе координат На плоскости зададим прямоугольную и полярную системы координат Для этого совместим полярный полюс О с началом координат OXY, а полярную ось с положительной полуосью O Пусть и прямоугольные координаты точки А, а r 8 и координаты (см рис 4) - еѐ полярные 4

4 Y r 8 j 4 O i P X Рис 4 Тогда 8cos 4 и 8sin 4 4 4

5 Преобразование прямоугольной системы координат На плоскости можно задать несколько прямоугольных систем Любая точка плоскости в разных системах координат имеет разные координаты Необходимо установить соотношения между координатами точки в разных системах координат Рассмотрим два простейших случая взаимного расположения двух прямоугольных систем координат В первом системы координат имеют разные начала координат, а соответствующие координатные оси одинаково направлены Во втором системы имеют одно начало координат, а направления координатных осей не совпадают Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат Параллельный перенос осей координат Пусть задана прямоугольная система координат OXY При параллельном переносе осей координат понимают переход от системы координат OXY к новой OXY, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб не изменяются Пусть начало системы координат OXY точка O имеет координаты ( 0 ; 0 ) в старой системе координат OXY, те O 0 ; ) а произвольная точка M плоскости в ( 0 системе OXY имеет координаты (; ) и в новой системе OXY - ('; ') Необходимо найти соотношения между (; ) и ('; ') (см рис 5) Y Y M j O i X j O i X Рис 5 Рассмотрим векторы OM i j, OO i, O M ' i ' j, 0 0 j Так как OM OO OM, то i j i j ' i ', те 0 0 j

6 Следовательно, i j ( ' ) i ( 0 ' ) 0 j 0 ', 0 ' Полученные формулы позволяют находить старые координаты и по известным новым ' и ' Поворот осей координат Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными Пусть новая система OXY получена поворотом координатных осей системы OXY на угол Пусть М - произвольная точка плоскости, (;) еѐ координаты в старой системе и ('; ')- в новой системе Введѐм две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями OX и OX (масштаб одинаков) Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и, где - полярный угол в полярной системе OX (см рис 6) По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем r cos( ), r sin( ) Y M Y r X O X Рис 6 Отсюда получим r cos cos r sin sin, r cos sin r sin cos Так как r cos и r sin, то

7 'cos 'sin, 'sin 'cos Полученные формулы устанавливают связь между старыми координатами (;) произвольной точки М и новыми координатами (';') этой же точки М Пусть новая система координат OXY получена из старой OXY путѐм параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол, тогда формулы, выражающие старые координаты и произвольной точки через еѐ новые координаты ' и ', имеют вид 'cos 'sin 0, 'sin 'cos 0 3 Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости является уравнение F(,) 0, которому удовлетворяют координаты и линии и только они Прямая на плоскости определяется уравнением первой степени Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям Общее уравнение прямой Пусть прямая l проходит через заданную точку M 0 ( 0, 0 ) и перпендикулярна ненулевому вектору n ( ; B) (см рис 7) Тогда для произвольной точки M ( ; ), принадлежащей этой прямой, получим вектор M ( ), перпендикулярный M0 0; 0 заданному вектору n ( ; B) Следовательно, ) B( ) 0 ( 0 0 Отсюда получим общее уравнение прямой B C 0, где и - координаты произвольной точки прямой (текущие координаты), вектор n ( ; B) - нормальный вектор прямой, C 0 B0 Y n ( ; B) M(;) M 0 ( 0 ; 0 ) O X Рис 7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид kb, где k - угловой коэффициент прямой k tg, - угол, между прямой и положительным направлением оси ОX, b ордината точки пересечения прямой с осью ОY (см рис8)

8 Y N(; )) M(O;b) X O Рис 8 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: 0 k( 0), где k - угловой коэффициент прямой k tg, - угол, между прямой и положительным направлением оси ОX, M ( 0, 0 ) заданная точка (см рис9) Y M( 0 ; 0 ) O Рис 5 Рис 9 X Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Y M M O X Рис 0

9 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M ( ; ) и M ( ; ) (см рис 0): Если, то уравнение прямой, если же, то уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая проходит через две точки M (а;0) и M (0;b) (см рис ), тогда, применяя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим 0 a, b 0 0 a отсюда a b Y M (0;b) b M (а;0) O a X Рис Пример Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (; ) перпендикулярно биссектрисе второго координатного угла По направлению биссектрисы второго координатного угла выберем вектор n (;) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку M (; ) перпендикулярно вектору n (; ) : ( ) ( ) 0 Отсюда 0 Пример Составить уравнение медианы треугольника с вершинами (3;4), B ( 4; ) и C (;), проведенной к стороне BC 4 Найдем координаты середины стороны BC: M ; M (;0 ) Тогда уравнение медианы, как прямой, проходящей через две точки (3;4) и M (;0 ) выглядит так:

10 или Нормальное уравнение прямой 0 Нормальное уравнение прямой cos sin p 0, где p длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, - угол между положительным направлением оси OX и этим перпендикуляром (смрис ) Y p O X Рис Общее уравнение прямой B C 0 можно преобразовать в нормальное уравнение, если умножить уравнение на множитель B (знак множителя берется противоположным знаку коэффициента C) Параметрическое уравнение прямой Зададим прямую l, проходящую через точку M 0 ( 0, 0 ) параллельно ненулевому вектору m ( p; q) (см рис 3) Данные условия однозначно определяют прямую, так как через точку параллельно вектору можно провести только одну прямую Y m ( p; q) M(;) X O Рис 3 M ( ; ) Обозначим через M(, ) произвольную точку прямой l Тогда векторы m ( p; q) и M0 M ( 0; 0 ) коллинеарны, значит, M 0 M t m, где t - произвольное вещественное число Запишем это равенство в координатной форме:

11 0 0 pt, qt, t R Получено параметрическое уравнение прямой l, проходящей через точку M 0 ( 0, 0 ) параллельно вектору m ( p; q) Пример 3 t, Дано параметрическое уравнение прямой t Запишем уравнение этой прямой в общем виде Для этого необходимо исключить параметр t: t,, 5 Если точка А (, -3) принадлежит данной прямой, то координаты точки должны t, удовлетворять системе t Значит, найдется такое значение параметра t, t, которое является решением системы 3 t Действительно, из системы находим t 5 Точка B (, ) не принадлежит прямой, так как система t, t не имеет решений Пример 4 Написать параметрическое уравнение прямой 3 Пусь t, тогда ( 3) ( 3t) Следовательно, t, ( 3t) Уравнение отрезка Запишем уравнение прямой l, проходящей через точки М и М Вектор M M параллелен прямой l, поэтому параметрическое уравнение прямой в векторной форме имеет вид M M, tmm t R Если t=0, то точка M совпадает с точкой М, при увеличении параметра t точка M перемещается по прямой l от точки М к точке М, и при t= точка M совпадает с точкой М (рис 4) M M M O

12 Поэтому уравнение M M tm M 0 t, является параметрическим, уравнением отрезка [M, M ] в векторной форме Так как MM M M, то уравнение отрезка можно записать в следующем виде: M t M, tm 0 t Пусть точки М, М и М имеют соответственно координаты (, ), (, ) и (, ), тогда: t t 4 Основные задачи на плоскости t t, 0 t Расстояние между двумя точками Пусть на плоскости OXY заданы две точки А( ; ) и В( ; ), тогда расстояние d между ними равно длине вектора АВ =( - ; - ) : d B Деление отрезка в заданном отношении Необходимо разделить отрезок АВ (см рис 5), соединяющий точки А( ; ) и В( ; ) в заданном отношении >0, те найти координаты точки М(;) отрезка АВ такой, чтобы выполнялось векторное равенство АМ = МВ Запишем это равенство в координатной форме: ) i ( ) j = ) i ( ) j Приравняв координаты векторов Рис 4 ( ( получим,,,

13 Y B( ; ) M(;) j ( ; ) X O i X Рис 6 Эти формулы называются формулами деления отрезка в заданном отношении При = точка М(;) является серединой отрезка АВ и тогда, Пример Найти длину биссектрисы внутреннего угла треугольника с вершинами в точках (;-), B(5;4), и C(-;0) В треугольнике BC (см рис 6) биссектриса M Точка M делит сторону BC на Y B(5;4) M(;) C(-;0) j O i X (;-) Рис 7 части, пропорциональные прилегающим сторонам: BM B CM C Так как B (5 ) (4 ) 5 и C ( ) () 3, то

14 B 5 Координаты точки M определим, разделив отрезок в заданном C 3 отношении: BM=CM: 5 ( ) 4 (0) 4, 3 3 Вычислим длину отрезка Угол между двумя прямыми 4 04 M Пусть на плоскости заданы две прямые l и l соответственно уравнениями k b и k b (см рис 9) Y l l O X Рис 9 Необходимо найти угол между прямыми l и l Так как k tg, k tg и, то tg tg k k tg tg( ) tg tg k k Из этой формулы вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых Прямые l и l параллельны тогда и только тогда, когда k k Прямые l и l перпендикулярны тогда и только тогда, когда k k Пример Определить взаимное расположение прямых и Уравнения прямых преобразуем к уравнениям с угловыми коэффициентами: и Так k, k и k k, то прямые перпендикулярны 9 8 Расстояние от точки до прямой Пусть на плоскости заданы прямая l уравнением А В С 0 и точка M 0 ( 0 ; 0 ) Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:

15 d B 0 0 B C Пример 6 Найти расстояние между прямыми 4 3 и На прямой 4 3 выберем произвольную точку, например, M(;-) и вычислим расстояние от этой точки до другой прямой: 4 3 ( ) 0 9 d 4 3 5

16 5 Линии второго порядка на плоскости Линией второго порядка на плоскости называется линия, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно текущих координат В общем случае это уравнение имеет следующий вид: +B+C+D+E+F=0, () где коэффициенты,b,c,d,e и C действительные числа и, хотя бы одно из чисел,b,c не равно нулю Такое уравнение на плоскости может представлять: окружность, эллипс, гиперболу, параболу, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямую, точку или пустое множество Окружность В прямоугольной системе координат окружность с центром в точке (a;b) радиуса R определяется уравнением (-a) +(-b) =R () Раскрыв скобки в этом уравнении, получим: + -a-a+a +b -R =0 Сравнив последнее уравнение с уравнением (), видим, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах переменных равны и нет члена с произведением переменных Следовательно, имеет смысл рассмотреть уравнение + +D+E+F=0 (3) Уравнение (3) разделим на 0 и выделим полные квадраты относительно и : 0 F E D, F E D E D (4) Если 0 F E D, то уравнение (4) уравнение окружности с центром в точке ) ; ( E D M и радиуса F E D R Если 0 F E D, то уравнение (4) представляет одну точку ) ; ( E D M Если же 0 F E D, то уравнение (4) не определяет ни одну точку

17 Эллипс Эллипсом, называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, при условии, что эта фокусами величина больше расстояния между Выберем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с прямой, проходящей через фокусы F и F, а начало координат поместим в середине отрезка F F (см рис ) Пусть расстояние между точками F и F равно с Тогда в выбранной системе координат F (-с, 0), F (с, 0) и справедливы равенства: MF MF a, MF ( c ), MF ( c ) ( c ) ( c ) a, Y M(;) F (-c;0) O F (c;0) X Рис 8 После возведения в квадрат и упрощения получим уравнение: a ( a c ) a ( a c ) Обозначив b = a c (a>c), получим каноническое уравнение эллипса: a b (5) По уравнению эллипса определим его свойства Уравнение (5) содержит и в четных степенях, следовательно, координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат центром его симметрии, причем эту точку называют центром эллипса (см рис ) Точки пересечения эллипса с координатными осями: (-a;0), (a;0), 3 (0;-b), 4 (0;b) называют вершинами эллипса Числа а и b называют соответственно большой и малой осями эллипса, а и b большая и малая полуоси эллипса

18 Y 4 (0;b) M(;) (-a;0) F (-c;0) O F (c;0) (a;0) X 3 (0;-b) Рис 9 Из уравнения эллипса следует: -aa, -bb Следовательно, линия эллипса находится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми =a и =b Кроме того, если возрастает, то убывает, и наоборот, если возрастает, то убывает Гипербола Гиперболой, называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний, от каждой из которых до двух заданных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, при условии, что эта величина 0 и меньше расстояния между фокусами (см рис 3):

19 Y M(;) F (-c;0) O F (c;0) X получим гиперболы: Отсюда, учитывая, что MF MF a и Рис 0 MF MF a,a c MF ( c ), MF ( c ), ( c ) ( c ) a Далее, избавившись от иррациональностей, придем к каноническому уравнению a b, b c a (6) По этому уравнению определим свойства гиперболы Уравнение (6) содержит и в четных степенях, следовательно, координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат центром его симметрии (см рис 4) Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы Число а называют действительной полуосью гиперболы, число b мнимой полуосью гиперболы, а и b - соответственно действительной и мнимой осями гиперболы Точки А (-а,0), А (а,0) - вершины гиперболы, F (-c,0) и F (c,0) фокусы (см рис 4)

20 b у Y a b у a F (-c;0) (-a;0) O (a;0) F (c;0) X Рис Гипербола имеет асимптоты b у и a b у a Парабола Параболой, называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F (фокуса) и заданной прямой, называемой директрисой N Y M(;) p p O F( ;0) X Рис

21 Пусть расстояние между директрисой и фокусом равно p, прямоугольную систему координат зададим, направив ось абсцисс по перпендикуляру, опущенному из фокуса на директрису, начало координат совместим с серединой этого перпендикуляра (см рис 5) В p таком случае уравнение директрисы имеет вид, а фокус F имеет координаты p ;0 Так как NM=FM, то p p Отсюда после возведения в квадрат получим каноническое уравнение параболы p Упрощение общего уравнения второй степени Общее уравнение второй степени +B+C +D+E+F=0 преобразуем путем поворота системы координат на угол так, чтобы слагаемое с произведением переменных отсутствовало В этом уравнении, применив формулы поворота системы координат получим 'cos 'sin, 'sin 'cos, cos 'sin Bcos 'sin 'sin 'cos C'sin 'cos Dcos 'sin E'sin 'cos F 0 Запишем коэффициент при произведении и приравняем его к нулю: sin cos B cos sin C sin cos 0 Из этого равенства можно получить такие уравнения B tg, C C ctg, Btg ( C ) tg B 0 B Решив одно из их, найдем угол, вычислим значения формулы поворота, получим уравнение C D E F 0 sin и cos и, применив Далее, это уравнение необходимо упростить, выделив полные квадраты относительно переменных и Пример Определить вид линии по его уравнению

22 Преобразуем уравнение, применив формулы поворота системы координат: 9 'cos 'sin, 'sin 'cos cos 'sin 4cos 'sin 'sin 'cos 6'sin 'cos 0 Запишем коэффициент при произведении переменных и и приравняем его к нулю: 4cos 4sin 6sin cos 0 Отсюда, разделив уравнение на cos, получим Решим уравнение: Возьмем значение Далее, вычислим: координат: tg 3tg 0 tg или tg tg, отсюда arctg0,5 6,5 cos, sin и получим формулы преобразования 5 5 ( ), 5 ( ) 5 Подставим и в исходное уравнение и упростим: Это уравнение эллипса, разделив на 0, получим каноническое уравнение: Полуоси эллипса a, b (см рис 6)

23 Y Y X O X Рис 3 Пример Привести к каноническому виду уравнение Преобразуем уравнение, применив формулы поворота системы координат: 'cos 'sin, 'sin 'cos cos 'sin cos 'sin 'sin 'cos 'sin 'cos 0cos 'sin 6'sin 'cos 5 0 Коэффициент при произведении переменных и : Отсюда получаем уравнение sin cos 0 tg 0, решая его получим: tg или tg Возьмем значение tg, отсюда 45 Следовательно, cos, sin и формулы преобразования координат:

24 ) ( ), ( Подставим и в исходное уравнение и упростим: Это уравнение параболы, выделим полный квадрат относительно : 3 4 Вершина параболы в точке ; 3 M


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Рене Дека рт французский математик ( )

Рене Дека рт французский математик ( ) ЛЕКЦИЯ 5. Координатная ось. Прямоугольная система координат на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Трудно переоценить

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия МЛ Каган, ТС Кузина, ТА Мацеевич Аналитическая геометрия Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее