Уравнения прямой и плоскости

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Уравнения прямой и плоскости"

Транскрипт

1 Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением с двумя неизвестными x и y. Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C = 0, (.) где A, B и C заданные числа. Рассмотрим геометрический смысл коэффициентов A, B и C. Пусть прямая (.) проходит через точку M 0 (x 0, y 0 ). Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (.): Ax 0 + By 0 + C = 0 C = Ax 0 By 0. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ), имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0. (.2) Пусть M(x, y) любая точка прямой. Тогда вектор M 0 M = {x x 0, y y 0 } параллелен прямой. Рассмотрим вектор n = {A, B}. Равенство (.2) можно переписать в виде ( n, ) M 0 M = 0, а это означает, что вектор n = {A, B} ортогонален рассматриваемой прямой. Будем называть этот вектор вектором нормали к прямой (.). Рассмотрим две прямые l : A x + B y + C = 0 и l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Угол между этими прямыми равен углу между векторами n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 }.

2 Если прямые параллельны, то векторы n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 } коллинеарны. Следовательно, признак параллельности прямых можно сформулировать следующим образом: две прямые параллельны, если A = B. A 2 B 2 Если прямые перпендикулярны, то и векторы n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 } перпендикулярны, а значит ( n, n 2 ) = 0. Следовательно, признак перпендикулярности прямых можно сформулировать следующим образом: две прямые перпендикулярны, если A A 2 + B B 2 = 0. Утверждение. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ) параллельно прямой Ax + By + C = 0, имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ) перпендикулярно прямой Ax+By+ C = 0, имеет вид: B(x x 0 ) A(y y 0 ) = 0. Пример.. Определите угол ϕ между прямыми 5x y + 7 = 0 и 3x + 2y = 0. Решение. Векторы нормалей к прямым: n = {5, } и n 2 = {3, 2}. Следовательно cos ϕ = = 2 ϕ = 45 o. Рассмотрим возможные сочетания коэффициентов в уравнении (.).. Если C = 0, то прямая проходит через начало координат. 2. Если B = 0, A 0, то уравнение прямой приобретает вид x = C, то есть прямая A проходит через точку ( CA ), 0 параллельно оси Oy. Если при этом C = 0, то прямая совпадает с осью Oy. 3. Если B 0, A = 0, то уравнение прямой приобретает вид y = C, то есть прямая ( B проходит через точку 0, C ) параллельно оси Ox. Если при этом C = 0, то прямая B совпадает с осью Ox. 4. Если ни один из коэффициентов не равен нулю, то уравнение прямой можно переписать в виде: A x B y = }{{} C }{{} C /a /b или же x a + y b =. (.3) 2

3 Уравнение (.3) называется уравнением прямой "в отрезках". Прямая, описываемая уравнением (.3), пересекает ось Ox в точке (a, 0), а ось Oy в точке (0, b). Пример.2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку C(, ) и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью 2. Решение. Запишем уравнение прямой в отрезках: x a + y b =. Так как она проходит через точку C(, ), то a + b = a = b b. Площадь отсекаемого от координатного угла треугольника равна b 2 b = 4 b2 4 b = 0. a b. Следовательно 2 Если b, то b 2 4b + 4 = (b 2) 2 = 0, то есть b = 2, a = 2. Уравнение соответствующей прямой: x + y 2 = 0. Если b <, то b 2 +4b 4 = 0, то есть b = 2±2 2. Итак, или b = 2(+ 2), a = 2( + 2) , и уравнение прямой имеет вид: x( ) 2( + 2) y 2( + 2) = ( )x y 2( + 2) = 0, или b = 2( 2 ), a = 2( 2 ) 2, и уравнение прямой имеет вид: 2 3 (2 2 3)x + y + 2( 2) = 0..2 Уравнение с угловым коэффициентом Если B 0, то уравнение (.) можно переписать в виде: или же y = A x C, }{{} B }{{} B k b y = kx + b. (.4) 3

4 Число k называется угловым коэффициентом прямой. Очевидно, что tg α = b b/k = k. Уравнение (.4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если известно, что прямая проходит через точку M 0 (x 0, y 0 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой: y 0 = kx 0 + b b = y 0 kx 0. С учетом последнего равенства уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ), можно записать в виде: y y 0 = k(x x 0 ). (.5) Через две заданные точки M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ) проходит только одна прямая. В самом деле, координаты точек M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ) должны удовлетворять уравнению прямой, откуда получаем: y y = k(x x ) y 2 y = k(x 2 x ) k = y 2 y x 2 x. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через заданные точки M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ), имеет вид: y y = x x. (.6) y 2 y x 2 x Если k и k 2 угловые коэффициенты двух прямых l : y = k x+b и l 2 : y = k 2 x+b 2, то угол ϕ между этими прямыми можно определить по формуле tg ϕ = k 2 k + k k 2. (.7) В зависимости от знаков и величин угловых коэффициентов k и k 2 по формуле (.7) мы находим либо острый, либо тупой угол между прямыми l и l 2. Признак параллельности прямых l и l 2 : k = k 2. Признак перпендикулярности прямых l и l 2 : k k 2 =..3 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Рассмотрим прямую на плоскости Oxy и проведем к ней перпендикуляр через начало координат. Пусть P (x 0, y 0 ) точка пересечения прямой с этим перпендикуляром, p = OP расстояние от начала координат до прямой, α угол между вектором OP и осью Ox. Тогда x 0 = p cos α, y 0 = p sin α. Следовательно, угловой коэффициент прямой имеет вид: k = tg(π ϕ) = tg(π π α) = ctgα = cos α sin α.

5 Итак, уравнение прямой можно записать в виде: y y 0 = k(x x 0 ) y p sin α = cos α (x p cos α) sin α x cos α + y sin α p = 0. (.8) Уравнение (.8) называется нормальным уравнением прямой. Приведем общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду. Если C > 0, умножим его на µ =, и если C 0, то на A2 + B2 µ =. В результате получим: A2 + B2 ( ) A B C ± x ± y = 0. A2 + B }{{ 2 A2 + B }}{{ 2 A2 + B }}{{ 2 } cos α sin α p 0 В самом деле, cos 2 α + sin 2 α = A 2 A 2 + B + B2 2 A 2 + B =. 2 Пример.3. Приведите к нормальному виду уравнение прямой 4x 3y = 0. Решение. µ = = x 3 5 y 2 = 0 cos α = 4 5, sin α = 3 5, p = 2. Пусть M (x, y ) произвольная точка на плоскости Oxy, и d расстояние от этой точки до прямой l, описываемой уравнением (.8). Назовем отклонением δ точки M (x, y ) от прямой l число +d, если точка 5

6 M (x, y ) и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, и число d, если точка M (x, y ) и начало координат лежат по одну сторону от прямой l. Для точек, лежащих на прямой l, δ = 0. Проведем через точку M (x, y ) прямую, параллельную прямой (.8): x cos α + y sin α (p + δ) = 0. Следовательно, δ = x cos α + y sin α p. (.9) Расстояние от M (x, y ) до прямой l: d = δ. Пример.4. Найдите расстояние от точки A(2, ) до прямой 4x + 3y + = 0. Решение. Приведем уравнение к нормальному виду: µ = x 3 5 y 2 = 0 δ = = 5 5 = 3 d = 3. Пример.5. Вычислите расстояние между параллельными прямыми 3x 4y = 0 и 6x 8y + 5 = 0. Решение. Заметим, что в данном случае C и C 2 имеют разные знаки, то есть начало координат находится между прямыми. Приведем их уравнения к нормальному виду: l : 3 5 x 4 5 y 2 = 0 cos α = 3 5, sin α = 4 5, p = 2, l 2 : 3 5 x y 2 = 0 cos α 2 = 3 5, sin α 2 = 4 5, p 2 = 2. Итак, угол α принадлежит четвертой координатной четверти, а угол α 2 второй. Следовательно, в данном случае расстояние между прямыми d = p + p 2 = 5 2. Пример.6. Составьте уравнение биссектрисы тупого угла, образованного прямыми l : x 3y + 5 = 0 и l 2 : 3x y + 5 = 0. Решение. Заметим, что прямые l и l 2 пересекают ось Ox в точке ( 5, 0), а координаты y пересечения ими оси Oy положительны. Следовательно, начало координат принадлежит тупому углу, образованному прямыми. Точки, принадлежащие биссектрисе, равноудалены от обеих прямых. Если мы рассматриваем тупой угол, то отклонения точек биссектрисы от обеих прямых имеют одинаковые знаки, так как они расположены либо по одну сторону вместе с началом координат от обеих прямых, либо по разные стороны с началом координат также от обеих прямых. 6

7 Приведем прямые к нормальному виду: l : x + 3 y 5 = 0, l 2 : 3 x + y 5 = 0. Если (x, y) произвольная точка интересующей нас биссектрисы, то ее отклонения от прямых l и l 2 имеют вид: δ = x + 3 y 5, δ 2 = 3 x + y 5. Так как δ = δ 2, получаем искомое уравнение биссектрисы: x + 3y 5 = 3x + y 5 x + y + 5 = 0..4 Система двух уравнений с двумя неизвестными и взаимное расположение двух прямых Рассмотрим две прямые A x+b y+c = 0 и A 2 x+b 2 y+c 2 = 0. Возможно три случая: либо прямые пересекаются, то есть имеют единственную общую точку, либо они совпадают, и тогда у них бесконечно много общих точек, либо они параллельны, и тогда у них нет общих точек. Если прямые имеют общие точки, то их координаты представляют собой решение системы A x + B y = C, A 2 x + B 2 y = C 2. Приведем эту систему к виду: (A B 2 A 2 B )x = (C B 2 C 2 B ), (A B 2 A 2 B )y = (A C 2 A 2 C ). Заметим, что A D = A B 2 A 2 B = B A 2 B 2, C D x (C) = (C B 2 C 2 B ) = B C 2 B 2, D y(c) = (A C 2 A 2 C ) = 7 A C A 2 C 2.

8 При этом выражение D x получается, если в определителе D заменить столбцом правых частей первый столбец, а выражение D y правых частей второй столбец. Итак, система имеет вид: D x = D x, D y = D y. если в определителе D заменить столбцом Если D 0, то система имеет единственное решение, выражающееся по формулам Крамера: x = D x D, y = D y D. В этом случае прямые имеют разные коэффициенты углового наклона: k = A B A 2 B 2 = k 2, и, следовательно, единственную точку пересечения. Если D = 0, то k = k 2, и прямые либо параллельны, либо они совпадают. Если при этом D x = D y = 0, то коэффициенты уравнений пропорциональны: A A 2 = B B 2 = C C 2, то есть одно из них является следствием другого. В этом случае прямые совпадают, а система имеет бесконечно много решений (все точки прямой). Например, если B 0, то можно взять любое x, а y выразить через x из уравнения прямой. Если D = 0, а D x 0 или D y 0, то система решений не имеет. Такая ситуация соответствует двум параллельным прямым: A A 2 = B B 2 C C 2. 2 Линейное уравнение с тремя неизвестными. Уравнения плоскости 2. Общее уравнение плоскости В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. (2.) 8

9 Пусть точка M 0 (x 0, y 0, z 0 ) принадлежит плоскости (2.). Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (2.): Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 D = Ax 0 By 0 Cz 0. Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ), имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (2.2) Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Вектор n = {A, B, C} является нормальным вектором плоскости (2.2). В самом деле, если M(x, y, z) произвольная точка плоскости, то вектор M 0 M = {x x 0, y y 0, z z 0 } принадлежит плоскости (2.2). Тогда уравнение (2.2) эквивалентно ( M 0 M, n) = 0, что и означает, что вектор n ортогонален любому вектору, принадлежащему плоскости, а значит, и всей плоскости. Итак, плоскость можно однозначно определить, задав точку, через которую она проходит, и вектор нормали. Рассмотрим еще несколько способов задания плоскости. Плоскость однозначно определяется, если задана принадлежащая ей точка M 0 (x 0, y 0, z 0 ) и два неколлинеарных вектора a = {l, m, n } и a 2 = {l 2, m 2, n 2 }, параллельные этой плоскости. При этом уравнение плоскости имеет вид: x x 0 y y 0 z z 0 l m n = 0. (2.3) l 2 m 2 n 2 В самом деле, пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда вектор M 0 M = {x x 0, y y 0, z z 0 } принадлежит плоскости. Так как векторы a и a 2 параллельны плоскости, то M 0 M, a и a 2 компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: откуда следует (2.3). ( ) M 0 M, [ a, a 2 ] = 0, Плоскость однозначно определяется, если заданы две принадлежащие ей точки M (x, y, z ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и вектор a = {l, m, n}, параллельный этой плоскости и неколлинеарный вектору M M 2. Уравнение такой плоскости имеет вид: x x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z = 0. (2.4) l m n 9

10 Действительно, пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда векторы M M = {x x, y y, z z }, M M 2 = {x 2 x, y 2 y, z 2 z } и a компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( [ ]) M M, M M 2, a откуда следует (2.4). Плоскость однозначно задается тремя принадлежащими ей точками M (x, y, z ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и M 3 (x 3, y 3, z 3 ), не лежащими на одной прямой. Уравнение проходящей через них плоскости имеет вид: = 0, x x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z = 0. (2.5) x 3 x y 3 y z 3 z В самом деле, если M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда векторы M M = {x x, y y, z z }, M M 2 = {x 2 x, y 2 y, z 2 z } и M M 3 = {x 3 x, y 3 y, z 3 z } лежат в одной плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( [ M M, M M 2, M ]) M 3 = 0, откуда следует (2.5). Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат. Если равен нулю один из коэффициентов в слагаемых, содержащих координаты, то плоскость параллельна оси, одноименной с отсутствующей в уравнении координатой. Если при этом D = 0, то плоскость проходит через соответствующую ось. Если в уравнении равны нулю два коэффициента в координатных слагаемых, то плоскость перпендикулярна оси, одноименной с оставшейся координатой. Если при этом D = 0, то плоскость совпадает с координатной плоскостью, перпендикулярной оси, одноименной с оставшейся координатой. Если все коэффициенты отличны от нуля, то уравнение можно переписать в виде: (2.6) называется уравнением плоскости "в отрезках". x a + y b + z c =, (2.6) где a = D A, b = D B, c = D величины, отсекаемые плоскостью на координатных осях. C Уравнение

11 Пример 2.. Составьте уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2,, } и отсекающей на координатных осях отрезки a = 3, b = 2. Решение. Запишем уравнение плоскости в отрезках: x 3 y 2 + z c =. Вектор нормали к этой плоскости имеет вид n = плоскости, то ( l, n) = 0, откуда получаем: c = 0 c = 6 c = 6 x 3 y 2 + z 6 =. { 3, 2, }. Если вектор c l параллелен 2.2 Нормальное уравнение плоскости Пусть дана некоторая плоскость. Рассмотрим вектор нормали к ней, направленный в сторону, противоположную началу координат. Пусть cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы этого нормального вектора. Тогда n = {cos α, cos β, cos γ} единичный вектор нормали к плоскости, направленный от начала координат. Пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости и OM = {x, y, z} ее радиус-вектор. Тогда скалярное произведение ( n, OM) это расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости. Если это расстояние равно p, то уравнение плоскости можно записать в виде: cos α x + cos β y + cos γ z p = 0. (2.7) Уравнение (2.7) называют нормальным уравнением плоскости. Для того, чтобы привести общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду, умножим его на нормировочный множитель µ = A2 + B 2 + C 2, если D 0, и на µ =, если D > 0. В результате получим: A2 + B 2 + C2 ( ) A B C D ± x ± y ± z A2 + B 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 } cos α cos β cos γ p 0 = 0.

12 Пусть M (x, y, z ) произвольная точка. Пусть расстояние от M до плоскости (2.7) равно d. Назовем отклонением δ точки M от плоскости число +d, если M и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и число d, если M и начало координат расположены по одну сторону от плоскости. Если через точку M провести плоскость, параллельную (2.7), то ее уравнение будет иметь вид: cos α x + cos β y + cos γ z (p + δ) = 0, откуда получаем δ = cos α x + cos β y + cos γ z p. Расстояние от точки M до плоскости (2.7) можно найти по формуле: d = δ. Пример 2.2. Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x 2y z 3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 5. Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду: µ = = x 2 3 y 3 z = 0. Уравнения плоскостей, параллельных данной и отстоящих от нее на расстоянии d = 5, имеют вид: 2 3 x 2 3 y z ( ± 5) =


ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), перпендикулярно вектору N { A, B, C} Вектор, перпендикулярный

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку. ЛЕКЦИЯ N4. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость.....Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.....общее уравнение плоскости.... 4.Угол между плоскостями. Условия

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее