Уравнения прямой и плоскости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Уравнения прямой и плоскости"

Транскрипт

1 Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением с двумя неизвестными x и y. Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C = 0, (.) где A, B и C заданные числа. Рассмотрим геометрический смысл коэффициентов A, B и C. Пусть прямая (.) проходит через точку M 0 (x 0, y 0 ). Тогда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (.): Ax 0 + By 0 + C = 0 C = Ax 0 By 0. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ), имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0. (.2) Пусть M(x, y) любая точка прямой. Тогда вектор M 0 M = {x x 0, y y 0 } параллелен прямой. Рассмотрим вектор n = {A, B}. Равенство (.2) можно переписать в виде ( n, ) M 0 M = 0, а это означает, что вектор n = {A, B} ортогонален рассматриваемой прямой. Будем называть этот вектор вектором нормали к прямой (.). Рассмотрим две прямые l : A x + B y + C = 0 и l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Угол между этими прямыми равен углу между векторами n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 }.

2 Если прямые параллельны, то векторы n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 } коллинеарны. Следовательно, признак параллельности прямых можно сформулировать следующим образом: две прямые параллельны, если A = B. A 2 B 2 Если прямые перпендикулярны, то и векторы n = {A, B } и n 2 = {A 2, B 2 } перпендикулярны, а значит ( n, n 2 ) = 0. Следовательно, признак перпендикулярности прямых можно сформулировать следующим образом: две прямые перпендикулярны, если A A 2 + B B 2 = 0. Утверждение. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ) параллельно прямой Ax + By + C = 0, имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ) перпендикулярно прямой Ax+By+ C = 0, имеет вид: B(x x 0 ) A(y y 0 ) = 0. Пример.. Определите угол ϕ между прямыми 5x y + 7 = 0 и 3x + 2y = 0. Решение. Векторы нормалей к прямым: n = {5, } и n 2 = {3, 2}. Следовательно cos ϕ = = 2 ϕ = 45 o. Рассмотрим возможные сочетания коэффициентов в уравнении (.).. Если C = 0, то прямая проходит через начало координат. 2. Если B = 0, A 0, то уравнение прямой приобретает вид x = C, то есть прямая A проходит через точку ( CA ), 0 параллельно оси Oy. Если при этом C = 0, то прямая совпадает с осью Oy. 3. Если B 0, A = 0, то уравнение прямой приобретает вид y = C, то есть прямая ( B проходит через точку 0, C ) параллельно оси Ox. Если при этом C = 0, то прямая B совпадает с осью Ox. 4. Если ни один из коэффициентов не равен нулю, то уравнение прямой можно переписать в виде: A x B y = }{{} C }{{} C /a /b или же x a + y b =. (.3) 2

3 Уравнение (.3) называется уравнением прямой "в отрезках". Прямая, описываемая уравнением (.3), пересекает ось Ox в точке (a, 0), а ось Oy в точке (0, b). Пример.2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку C(, ) и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью 2. Решение. Запишем уравнение прямой в отрезках: x a + y b =. Так как она проходит через точку C(, ), то a + b = a = b b. Площадь отсекаемого от координатного угла треугольника равна b 2 b = 4 b2 4 b = 0. a b. Следовательно 2 Если b, то b 2 4b + 4 = (b 2) 2 = 0, то есть b = 2, a = 2. Уравнение соответствующей прямой: x + y 2 = 0. Если b <, то b 2 +4b 4 = 0, то есть b = 2±2 2. Итак, или b = 2(+ 2), a = 2( + 2) , и уравнение прямой имеет вид: x( ) 2( + 2) y 2( + 2) = ( )x y 2( + 2) = 0, или b = 2( 2 ), a = 2( 2 ) 2, и уравнение прямой имеет вид: 2 3 (2 2 3)x + y + 2( 2) = 0..2 Уравнение с угловым коэффициентом Если B 0, то уравнение (.) можно переписать в виде: или же y = A x C, }{{} B }{{} B k b y = kx + b. (.4) 3

4 Число k называется угловым коэффициентом прямой. Очевидно, что tg α = b b/k = k. Уравнение (.4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если известно, что прямая проходит через точку M 0 (x 0, y 0 ), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой: y 0 = kx 0 + b b = y 0 kx 0. С учетом последнего равенства уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ), можно записать в виде: y y 0 = k(x x 0 ). (.5) Через две заданные точки M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ) проходит только одна прямая. В самом деле, координаты точек M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ) должны удовлетворять уравнению прямой, откуда получаем: y y = k(x x ) y 2 y = k(x 2 x ) k = y 2 y x 2 x. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через заданные точки M (x, y ) и M 2 (x 2, y 2 ), имеет вид: y y = x x. (.6) y 2 y x 2 x Если k и k 2 угловые коэффициенты двух прямых l : y = k x+b и l 2 : y = k 2 x+b 2, то угол ϕ между этими прямыми можно определить по формуле tg ϕ = k 2 k + k k 2. (.7) В зависимости от знаков и величин угловых коэффициентов k и k 2 по формуле (.7) мы находим либо острый, либо тупой угол между прямыми l и l 2. Признак параллельности прямых l и l 2 : k = k 2. Признак перпендикулярности прямых l и l 2 : k k 2 =..3 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Рассмотрим прямую на плоскости Oxy и проведем к ней перпендикуляр через начало координат. Пусть P (x 0, y 0 ) точка пересечения прямой с этим перпендикуляром, p = OP расстояние от начала координат до прямой, α угол между вектором OP и осью Ox. Тогда x 0 = p cos α, y 0 = p sin α. Следовательно, угловой коэффициент прямой имеет вид: k = tg(π ϕ) = tg(π π α) = ctgα = cos α sin α.

5 Итак, уравнение прямой можно записать в виде: y y 0 = k(x x 0 ) y p sin α = cos α (x p cos α) sin α x cos α + y sin α p = 0. (.8) Уравнение (.8) называется нормальным уравнением прямой. Приведем общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду. Если C > 0, умножим его на µ =, и если C 0, то на A2 + B2 µ =. В результате получим: A2 + B2 ( ) A B C ± x ± y = 0. A2 + B }{{ 2 A2 + B }}{{ 2 A2 + B }}{{ 2 } cos α sin α p 0 В самом деле, cos 2 α + sin 2 α = A 2 A 2 + B + B2 2 A 2 + B =. 2 Пример.3. Приведите к нормальному виду уравнение прямой 4x 3y = 0. Решение. µ = = x 3 5 y 2 = 0 cos α = 4 5, sin α = 3 5, p = 2. Пусть M (x, y ) произвольная точка на плоскости Oxy, и d расстояние от этой точки до прямой l, описываемой уравнением (.8). Назовем отклонением δ точки M (x, y ) от прямой l число +d, если точка 5

6 M (x, y ) и начало координат лежат по разные стороны от прямой l, и число d, если точка M (x, y ) и начало координат лежат по одну сторону от прямой l. Для точек, лежащих на прямой l, δ = 0. Проведем через точку M (x, y ) прямую, параллельную прямой (.8): x cos α + y sin α (p + δ) = 0. Следовательно, δ = x cos α + y sin α p. (.9) Расстояние от M (x, y ) до прямой l: d = δ. Пример.4. Найдите расстояние от точки A(2, ) до прямой 4x + 3y + = 0. Решение. Приведем уравнение к нормальному виду: µ = x 3 5 y 2 = 0 δ = = 5 5 = 3 d = 3. Пример.5. Вычислите расстояние между параллельными прямыми 3x 4y = 0 и 6x 8y + 5 = 0. Решение. Заметим, что в данном случае C и C 2 имеют разные знаки, то есть начало координат находится между прямыми. Приведем их уравнения к нормальному виду: l : 3 5 x 4 5 y 2 = 0 cos α = 3 5, sin α = 4 5, p = 2, l 2 : 3 5 x y 2 = 0 cos α 2 = 3 5, sin α 2 = 4 5, p 2 = 2. Итак, угол α принадлежит четвертой координатной четверти, а угол α 2 второй. Следовательно, в данном случае расстояние между прямыми d = p + p 2 = 5 2. Пример.6. Составьте уравнение биссектрисы тупого угла, образованного прямыми l : x 3y + 5 = 0 и l 2 : 3x y + 5 = 0. Решение. Заметим, что прямые l и l 2 пересекают ось Ox в точке ( 5, 0), а координаты y пересечения ими оси Oy положительны. Следовательно, начало координат принадлежит тупому углу, образованному прямыми. Точки, принадлежащие биссектрисе, равноудалены от обеих прямых. Если мы рассматриваем тупой угол, то отклонения точек биссектрисы от обеих прямых имеют одинаковые знаки, так как они расположены либо по одну сторону вместе с началом координат от обеих прямых, либо по разные стороны с началом координат также от обеих прямых. 6

7 Приведем прямые к нормальному виду: l : x + 3 y 5 = 0, l 2 : 3 x + y 5 = 0. Если (x, y) произвольная точка интересующей нас биссектрисы, то ее отклонения от прямых l и l 2 имеют вид: δ = x + 3 y 5, δ 2 = 3 x + y 5. Так как δ = δ 2, получаем искомое уравнение биссектрисы: x + 3y 5 = 3x + y 5 x + y + 5 = 0..4 Система двух уравнений с двумя неизвестными и взаимное расположение двух прямых Рассмотрим две прямые A x+b y+c = 0 и A 2 x+b 2 y+c 2 = 0. Возможно три случая: либо прямые пересекаются, то есть имеют единственную общую точку, либо они совпадают, и тогда у них бесконечно много общих точек, либо они параллельны, и тогда у них нет общих точек. Если прямые имеют общие точки, то их координаты представляют собой решение системы A x + B y = C, A 2 x + B 2 y = C 2. Приведем эту систему к виду: (A B 2 A 2 B )x = (C B 2 C 2 B ), (A B 2 A 2 B )y = (A C 2 A 2 C ). Заметим, что A D = A B 2 A 2 B = B A 2 B 2, C D x (C) = (C B 2 C 2 B ) = B C 2 B 2, D y(c) = (A C 2 A 2 C ) = 7 A C A 2 C 2.

8 При этом выражение D x получается, если в определителе D заменить столбцом правых частей первый столбец, а выражение D y правых частей второй столбец. Итак, система имеет вид: D x = D x, D y = D y. если в определителе D заменить столбцом Если D 0, то система имеет единственное решение, выражающееся по формулам Крамера: x = D x D, y = D y D. В этом случае прямые имеют разные коэффициенты углового наклона: k = A B A 2 B 2 = k 2, и, следовательно, единственную точку пересечения. Если D = 0, то k = k 2, и прямые либо параллельны, либо они совпадают. Если при этом D x = D y = 0, то коэффициенты уравнений пропорциональны: A A 2 = B B 2 = C C 2, то есть одно из них является следствием другого. В этом случае прямые совпадают, а система имеет бесконечно много решений (все точки прямой). Например, если B 0, то можно взять любое x, а y выразить через x из уравнения прямой. Если D = 0, а D x 0 или D y 0, то система решений не имеет. Такая ситуация соответствует двум параллельным прямым: A A 2 = B B 2 C C 2. 2 Линейное уравнение с тремя неизвестными. Уравнения плоскости 2. Общее уравнение плоскости В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. (2.) 8

9 Пусть точка M 0 (x 0, y 0, z 0 ) принадлежит плоскости (2.). Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (2.): Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 D = Ax 0 By 0 Cz 0. Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0, z 0 ), имеет вид: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (2.2) Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Вектор n = {A, B, C} является нормальным вектором плоскости (2.2). В самом деле, если M(x, y, z) произвольная точка плоскости, то вектор M 0 M = {x x 0, y y 0, z z 0 } принадлежит плоскости (2.2). Тогда уравнение (2.2) эквивалентно ( M 0 M, n) = 0, что и означает, что вектор n ортогонален любому вектору, принадлежащему плоскости, а значит, и всей плоскости. Итак, плоскость можно однозначно определить, задав точку, через которую она проходит, и вектор нормали. Рассмотрим еще несколько способов задания плоскости. Плоскость однозначно определяется, если задана принадлежащая ей точка M 0 (x 0, y 0, z 0 ) и два неколлинеарных вектора a = {l, m, n } и a 2 = {l 2, m 2, n 2 }, параллельные этой плоскости. При этом уравнение плоскости имеет вид: x x 0 y y 0 z z 0 l m n = 0. (2.3) l 2 m 2 n 2 В самом деле, пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда вектор M 0 M = {x x 0, y y 0, z z 0 } принадлежит плоскости. Так как векторы a и a 2 параллельны плоскости, то M 0 M, a и a 2 компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: откуда следует (2.3). ( ) M 0 M, [ a, a 2 ] = 0, Плоскость однозначно определяется, если заданы две принадлежащие ей точки M (x, y, z ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и вектор a = {l, m, n}, параллельный этой плоскости и неколлинеарный вектору M M 2. Уравнение такой плоскости имеет вид: x x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z = 0. (2.4) l m n 9

10 Действительно, пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда векторы M M = {x x, y y, z z }, M M 2 = {x 2 x, y 2 y, z 2 z } и a компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( [ ]) M M, M M 2, a откуда следует (2.4). Плоскость однозначно задается тремя принадлежащими ей точками M (x, y, z ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) и M 3 (x 3, y 3, z 3 ), не лежащими на одной прямой. Уравнение проходящей через них плоскости имеет вид: = 0, x x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z = 0. (2.5) x 3 x y 3 y z 3 z В самом деле, если M(x, y, z) произвольная точка плоскости, тогда векторы M M = {x x, y y, z z }, M M 2 = {x 2 x, y 2 y, z 2 z } и M M 3 = {x 3 x, y 3 y, z 3 z } лежат в одной плоскости. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( [ M M, M M 2, M ]) M 3 = 0, откуда следует (2.5). Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат. Если равен нулю один из коэффициентов в слагаемых, содержащих координаты, то плоскость параллельна оси, одноименной с отсутствующей в уравнении координатой. Если при этом D = 0, то плоскость проходит через соответствующую ось. Если в уравнении равны нулю два коэффициента в координатных слагаемых, то плоскость перпендикулярна оси, одноименной с оставшейся координатой. Если при этом D = 0, то плоскость совпадает с координатной плоскостью, перпендикулярной оси, одноименной с оставшейся координатой. Если все коэффициенты отличны от нуля, то уравнение можно переписать в виде: (2.6) называется уравнением плоскости "в отрезках". x a + y b + z c =, (2.6) где a = D A, b = D B, c = D величины, отсекаемые плоскостью на координатных осях. C Уравнение

11 Пример 2.. Составьте уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2,, } и отсекающей на координатных осях отрезки a = 3, b = 2. Решение. Запишем уравнение плоскости в отрезках: x 3 y 2 + z c =. Вектор нормали к этой плоскости имеет вид n = плоскости, то ( l, n) = 0, откуда получаем: c = 0 c = 6 c = 6 x 3 y 2 + z 6 =. { 3, 2, }. Если вектор c l параллелен 2.2 Нормальное уравнение плоскости Пусть дана некоторая плоскость. Рассмотрим вектор нормали к ней, направленный в сторону, противоположную началу координат. Пусть cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы этого нормального вектора. Тогда n = {cos α, cos β, cos γ} единичный вектор нормали к плоскости, направленный от начала координат. Пусть M(x, y, z) произвольная точка плоскости и OM = {x, y, z} ее радиус-вектор. Тогда скалярное произведение ( n, OM) это расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости. Если это расстояние равно p, то уравнение плоскости можно записать в виде: cos α x + cos β y + cos γ z p = 0. (2.7) Уравнение (2.7) называют нормальным уравнением плоскости. Для того, чтобы привести общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду, умножим его на нормировочный множитель µ = A2 + B 2 + C 2, если D 0, и на µ =, если D > 0. В результате получим: A2 + B 2 + C2 ( ) A B C D ± x ± y ± z A2 + B 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 A2 + B } 2 + C }{{ 2 } cos α cos β cos γ p 0 = 0.

12 Пусть M (x, y, z ) произвольная точка. Пусть расстояние от M до плоскости (2.7) равно d. Назовем отклонением δ точки M от плоскости число +d, если M и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и число d, если M и начало координат расположены по одну сторону от плоскости. Если через точку M провести плоскость, параллельную (2.7), то ее уравнение будет иметь вид: cos α x + cos β y + cos γ z (p + δ) = 0, откуда получаем δ = cos α x + cos β y + cos γ z p. Расстояние от точки M до плоскости (2.7) можно найти по формуле: d = δ. Пример 2.2. Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x 2y z 3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 5. Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду: µ = = x 2 3 y 3 z = 0. Уравнения плоскостей, параллельных данной и отстоящих от нее на расстоянии d = 5, имеют вид: 2 3 x 2 3 y z ( ± 5) =

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Плоскость. Прямая в пространстве 1 Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy. ЛЕКЦИЯ N3. Поверхности и линии в пространстве и на плоскости. Прямая на плоскости..уравнение прямой с угловым коэффициентом.....общее уравнение прямой.... 3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Общее уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Расстояние от точки до плоскости Типовые задачи Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Плоскость в пространстве. Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z. Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

Плоскость в пространстве. Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z. Ax + By + Cz +D = 0 (3.1) Плоскость в пространстве. Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0 (3.1) задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1),

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов с помощью аналитических методов. Элементарные геометрические преобразования в машинной графике

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1.3. Теорема Гаусса. 1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат 7 класс (2016-17 учебный год). Занятие 1. Введение в кинематику. Равномерное прямолинейное движение Часть 1. Теория и примеры решения задач Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Уравнение трансляции луча и уравнение преломления луча на сферической границе могут быть выражены через такие параметры

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее