Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра и аналитическая геометрия"

Транскрипт

1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая геометрия Екатеринбург 7

2 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии для студентов всех специальностей дневного отделения Екатеринбург 7

3 УДК 5(7) Н 4 Недвецкая АИ, Тимофеева ГА, Чеснокова ЕГ, Векторная алгебра и аналитическая геометрия: сборник контрольных заданий Екатеринбург: УрГУПС, 7 - с Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии предназначен для студентов первого курса технических и экономических специальностей Оно содержит вариантов по заданий в каждом по всем темам разделов векторная алгебра и аналитическая геометрия курса «математика» Сборник может быть использован в качестве заданий для типового расчета, а также для самостоятельной работы студентов Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии рекомендован к изданию на заседании кафедры «Высшая математика» января 7г, протокол Авторы: АИ Недвецкая, старший преподаватель каф «Высшая математика», УрГУПС, ЕГ Чеснокова, ассистент каф «Высшая математика», УрГУПС, ГА Тимофеева, зав каф «Высшая математика», д-р физ мат наук, УрГУПС Рецензент: АН Сесекин, зав каф «Прикладная математика» УГТУ-УПИ, проф, д-р физ мат наук Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 7

4 Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы A, B 4, C 7 Найти AB C Даны вершины треугольника А(8, -, -), В(-, -, 4), С(, -, ) Найти его внутренний угол при вершине С 4 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах j i a r r r 5 и k j i b r r r r Найти пр b r a r 5 Объем параллелепипеда, построенного на векторах a r { } 4 ; ;, { } ;;5 b r и { } ;; c r, равен 5 Найти вторую координату вектора a r 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(,-, 4) параллельно прямой 5 7 Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ перпендикулярно к плоскости 4-8 Вычислить расстояние между плоскостями α:-6- и β: Даны уравнения двух сторон ромба -, 4-8 и точка М(,-) пересечения его диагоналей Составить уравнения диагоналей ромба Установить, какие линии определяются уравнениями: a) b) 4 - Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

5 Даны матрицы А 4, В, С Найти А(В С) Даны вершины треугольника А(; -; ), В(; ; ), С(-; ; ) Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины А 4 Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если AB {; -; }, BC {; -; -}, CD {; ; -6} 5 На оси OY найти точку D такую, чтобы векторы a r {4; -; }, b r {; ; -} и AD, где А(; -6; 4), лежали в одной плоскости 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой 7 Найти проекцию точки Р(; -5; ) на плоскость 4 8 На оси OX найти точку, отстоящую от плоскости 9 6 на расстоянии d 9 Составить уравнения сторон прямоугольника ABCD с вершинами в точках А(; -), В(;), С(-;-4) Установить, какие линии определяются уравнениями: a) , b) - 4 Сделать чертеж Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы A, B Найти АВ и ВА Найти единичный вектор, составляющий с осью OY острый угол, перпендикулярный векторам a r {; -; }и b r {; ; } 4 Вычислить площадь четырехугольника АВСD, если А(; ; ), В(; -5; 9), С(; ; ), D(; 5; -7) 4

6 5 Вычислитьnpr b r и объем параллелепипеда, построенного на векторах c a r,b r, c r, если a r {; -; }, b r {4; ; 5}, c r {; ; -4} 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(-; ; ) перпендикулярно к двум плоскостям: 5 4, Составить канонические уравнения прямой 4 t 8 При каком значении b прямая 4t параллельна плоскости t 5 b? 9 Найти проекцию точки А(; 9) на прямую, проходящую через точки В(-; ) и С(; ) Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 4 Сделать чертеж Вариант 4 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А 5, В 4, С Найти (А В)С Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 4 j k и b j k r r r r r r 4 Вектор r, коллинеарный вектору a r {; -4; 8}, образует с осью OZ тупой угол Зная, что r 6, найти его координаты 5 Даны вершины треугольной пирамиды А(-; ; ), В(4; -; ), С(-; ; 4), D(; ; ) Вычислить ее объем и площадь грани АВD 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости 4 5

7 6 7 Будут ли прямые 5 5 и 5 4 перпендикулярными? 8 Найти проекцию точки Р(; ; ) на прямую t t t 9 Составить уравнения высоты АН и медианы АМ треугольника с вершинами в точках А(; -4), В(-; ), С(5;7) Сделать чертеж Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 4, b) 6 5 Сделать чертеж Вариант 5 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 6 4 Даны матрицы А 5 4, В 7 4 Найти АВ Вычислить площадь треугольника АВС, если AB {5; ; }, AC {; ; } Найти координаты вектора BC 4 Доказать, что четырехугольник с вершинами А(; ; ), В(4; -6; 7), С(8; ; ), D(5; 7; -) является ромбом Будет ли он квадратом? 5 Объем параллелепипеда, построенного на векторах a r { -; ; } b r {; ; }и c r {4; 5; }, равен 6 Найти третью координату вектора a r 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; -; ) перпендикулярно к прямой 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые, t t t

8 8 На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 5 на расстоянии d 9 Точки А(-; ) и В(;-5) являются противоположными вершинами квадрата Составить уравнения его диагоналей Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 6 6, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 6 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 7 Даны матрицы А, В, С Найти АВС 4 4 Даны два вектора AB {-4; 8; -} и BC {-; 6; }, совпадающие со сторонами треугольника АВС Найти угол между стороной АВ и медианой, проведенной из вершины В 4 Даны три последовательные вершины параллелограмма A (; -;), B (; -; ), C (4; ; 6) Вычислить его площадь и найти координаты четвертой вершины D 5 Векторы a r {-; 5; }, b r {4; -7; } и c r {5; -9; } лежат в одной плоскости Найти третью координату вектора 5 6 Лежит ли прямая в плоскости? Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 4 5 параллельно к оси OZ 8 Две грани куба лежат на плоскостях 4 8, Вычислить объем куба 9 Даны уравнения высот треугольника АВС: 4, 9 и координаты его вершины А (; ) Составить уравнения сторон АВ и АС Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 7, c r 7

9 b) 4 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 7 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В, С Найти АВС 5 4 Доказать, что диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны, если r r r r r r r r AB i j k, BC i 4 j k, CD i 6 j 4 Вектор r, коллинеарный вектору a r {; -; -}, образует с осью OХ тупой угол Зная, что r, найти его координаты 5 Даны вершины треугольной пирамиды А (; 4; -), В (4; 4; -), С (; 8; ), D (; 5; 4) Найти длину ее высоты, опущенной из вершины D 6 Даны вершины треугольника А (; -; -), В (4; ; -), С (; 4; ) Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины В 4 7 Будет ли прямая перпендикулярна к плоскости 5 6 4? 8 Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OY параллельно t прямой t t 9 Вычислить расстояние между прямыми, 7 Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) Изобразить эти линии на чертеже 8

10 Вариант 8 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В Найти АВ 4 Даны вершины треугольника А (; -5; ), В (; -4; -), С (; -7; ) Определить его внешний угол при вершине В 4 Три последовательные вершины трапеции находятся в точках А (; -; ), В (-; ; 5), С (; ; ) Найти координаты четвертой вершины D, если длина основания АВ в два раза больше длины основания DC Вычислить np AD AB 5 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a r {; ; -} и b r {4; ; } Лежат ли векторы a r, b r и c r одной плоскости? {; -; } в 6 Найти проекцию точки Р (; -; ) на плоскость 5 7 На оси OZ найти точку, отстоящую от плоскости 8 9 расстоянии d на 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М (4; ; -) 5 9 Даны две вершины треугольника АВС В (-; ) и С (; ); его высоты пересекаются в точке N (; ) Составить уравнение высоты АН Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 6 4, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 9 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 5 4 9

11 Даны матрицы A, B и C Найти АВС 5 4 и ВАС Доказать, что четырехугольник с вершинами А (; ; ), В (4; -4; ), С (4; -; 5), D (; ; ) является прямоугольником Будет ли он квадратом? r r r r r r r 4 Параллелограмм построен на векторах a j 4k и b 4i j k Вычислить длину его высоты, опущенной из конца вектора b r 5 Объем параллелепипеда, построенного на векторах a r {; ; -}, b r {; ; -} и c r {4; -; }, равен 6 Найти первую координату вектора b r 6 При каком значении С прямая перпендикулярна к 4 5 плоскости 8 5 C? 7 Вычислить расстояние от точки М (-; ; -4) до плоскости, проходящей через точки М (4; ; -), М (; ; ) и М (; ; ) t 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую t перпендикулярно к плоскости 4 t 4 9 Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы cоответственно уравнениями 4 5, 8, Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины А Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 9, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В, С 5 Найти А(В С)

12 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a r {; 5; -4} и b r {; ; -} 4 Проверить, что векторы a r {; 4; 8}, b r {4; 7; -4} могут быть взяты за ребра куба Найти координаты вектора c r, совпадающего с третьим ребром куба 5 На оси OX найти точку А такую, чтобы точки А, В (-; -; 4), С (-; ; -5) и D (; -4; ) лежали в одной плоскости 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точку Р (-; ; -) параллельно прямой Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М (;-; ), t М (; ; ) параллельно прямой t 4 4t 6 8 Вычислить расстояние между плоскостями Дана одна из вершин параллелограмма А (; ) и уравнения двух его сторон, Составить уравнения двух других сторон параллелограмма и уравнение диагонали, проходящей через точку А Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 6 9, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В, С Найти 4 5 А(ВС) Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если AB {-; ; }, BC {4; -; 6}, CD {-; -; -} 4 Даны точки А (-; ; ), В (; 7; 5), С (; -7; ) На оси OY найти точку D такую, чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны

13 5 Даны вершины треугольной пирамиды А (5; -6; ), В (8; ; ), С (6; ; 5), D (9; 5; ) Вычислить ее объем и площадь грани BCD 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 4 8 5, 5 7 Составить канонические уравнения прямой Найти проекцию точки Р (-; -; ) на прямую, проходящую через точки А(; ; -) и В(-; ; ) 9 Даны уравнения двух сторон прямоугольника 4 4, 4 и одна из его вершин А (; -) Вычислить площадь прямоугольника Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 8, b) 9 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 4 5 Даны матрицы А, В, С Найти АВС 4 Найти вектор r, коллинеарный вектору a r r r r i j k и удовлетворяющий условию ( r a r ) 9 4 Даны вершины треугольника А (; -; -), В (; ; ), С (4; -; -7) Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В 5 Определить, какой является тройка векторов a r {; -; }, b r {4; -; 8} и c r {; ; 5} (правой или левой) Вычислить npr c r b mt 6 При каком значении m прямые t, и 4 перпендику- 5 t лярны?

14 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно оси OY 8 Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (; -; ), три грани которого лежат на плоскостях 5 7,, 4 Вычислить объем параллелепипеда 9 Даны уравнения двух сторон параллелограмма 6, 5 и точка М (4; ) пересечения его диагоналей Составить уравнения двух других сторон параллелограмма Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 5 4 4, b) 4 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В, С Найти АВС 4 Даны две силы f r {; -4; 5}, f r {; ; -}, приложенные к одной точке Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М (; -; ) в положение М (5; -; ) 4 Доказать, что четырехугольник с вершинами А (-; ; ), В (; -; 4), С (; ; 5), D(-5; ; ) является параллелограммом Вычислить его площадь 5 Объем треугольной пирамиды равен 5 Три ее вершины находятся в точках А (; -; ), В (-; -; ), С (5; ; ) Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OZ 6 Две грани куба лежат на плоскостях 4 7 4, Вычислить объем этого куба 7 Лежит ли прямая в плоскости 5 6? 4

15 8 Найти точку Q, симметричную точке Р (-; 5; -4) относительно плоскости 4 9 Даны уравнения двух сторон ромба, 4 и точка М (6;-) пересечения его диагоналей Составить уравнения диагоналей ромба Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 4 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 4 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 6 4 Даны матрицы А, В, С Найти (А-В)С Даны два вектора AB {-; 8; 4} и AC {-4; 8; }, совпадающие со сторонами треугольника АВС Найти угол между стороной АС и медианой, проведенной из вершины С Вычислить площадь треугольника АВС 4 Вектор r, коллинеарный вектору a r {-5; 4; }, образует с осью OY тупой угол Зная, что r 6, найти его координаты 5 Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках А (; ; -), В (; 4; ), С(7; 9; ), D(; ; -) равен Найти первую координату точки D При каком значении А прямая параллельна плоскости A 5? t 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 4t перпендикулярно к плоскости 6 8 На оси OХ найти точку, отстоящую от плоскости 9 на t расстоянии d 4 4

16 9 Найти точку Q, симметричную точке Р(4; ) относительно прямой, проходящей через точки М (; -) и М (5; -5) Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 5, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 5 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы A, B, C Найти АВС и ВАС Доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, если AB {; -; }, BC {;-6;}, CD {-; 5; -4} r r r r r r 4 Параллелограмм построен на векторах a i 4 j и b 5 j 4k Вычислить его площадь и пр b r a r 5 Даны вершины пирамиды А (; -5;), В (; ; ), С (; -; ), D (; ; ) Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной из вершины А 6 Даны вершины треугольника А (; -; ), В (; ; 5), С (; ; ) Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины С 7 Доказать, что прямые, лежат в одной плоскости и составить уравнение этой плоскости Найти проекцию точки Р (; ; ) на прямую 9 9 Даны уравнения двух сторон прямоугольника, 8 и одна из его вершин А (4; -) Вычислить площадь этого прямоугольника Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 9 Изобразить эти линии на чертеже 5

17 Вариант 6 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом ( 4 Дана матрицa A ) Найти АА Т и А Т А Найти угол между диагоналями четырёхугольника АВСD, если AB { ;6; }, BC { 5; ; }, CD { ; 6;} 4 Вершины пирамиды находятся в точках А (; ; ), В (; ; 4), С (8; ; 8), D (; ; -) Вычислить площадь сечения, проходящего через середину ребра ВС и две вершины пирамиды АВСD 5 Лежат ли точки А (; 5; ), А (; 4; 7), А (; 5; ), А 4 (4; 4; 5) в одной плоскости? 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и 7 Найти проекцию точки М (-; ; ) 4 5 на прямую t 7 8 При каком значении m прямые mt 4 и перпенди- 4 5t кулярны? 9 Даны вершины треугольника А (; ), В (; 7), С (5; -) Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины А Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 4 5 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 7 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

18 Даны матрицы А, В, С Найти АВС Даны векторы a r {4; ; -} и b r {7; -; } Найти вектор r, зная, что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям r a r 6, r b r 4 Зная одну из вершин треугольника А (; -6; ) и векторы, совпадающие с r r r r r двумя сторонами AB i j и BC 4i j 4k, найти остальные вершины, вектор CA и площадь треугольника АВС r r r r 5 При каком значении λ векторы a i j λk, b r {; ; } и c {; ; } компланарны? 6 Две грани куба лежат на плоскостях, Вычислить объём куба 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости Составить параметрические уравнения прямой 7 9 Доказать, что четыре точки А (-; -), В (-; ), С (7; 7), D (; ) служат вершинами трапеции Составить уравнение средней линии трапеции Установить, какие линии определяются уравнениями а) , b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 8 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 9 9 sin cos sin cos Даны матрицы А и В cos sin cos sin А Т А Найти АВ, ВА, Дан куб АВСDA B C D, AB Вычислить косинус угла между векторами AA и AC 7

19 4 Даны векторы: a r {; ; },b r {6; ; -}, c r {; -; } Найти r пр r ( b c r ) a 5 Даны вершины пирамиды А (-5; -4; 8), В (; ; ), С (4; ; -), D (6; ; 7) Найти длину высоты, опущенную на грань BCD 6 Составить уравнения сторон AD и CD параллелограмма ABCD, если известны координаты вершин А (; ; -), В (; ; -4), С (, 7, -) 7 Найти точку, симметричную точке М (7; -; ) относительно прямой t t t 8 В треугольнике АВС даны уравнение стороны АВ: 4, уравнения высот ВН: и АН : 9 Составить уравнения двух других сторон треугольника 9 Найти расстояние между плоскостями и Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 4 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 9 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 8 9 Дана матрица А Найти А А r r r r r r Даны силы f i j k, f i j k, приложенные к одной точке Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из начала координат в точку М (; -; -) 4 Вектор r, перпендикулярный к оси OZ и к вектору a r {5; -; 7}, образует острый угол с осью OX Зная, что r 6, найти координаты вектора r 8

20 5 Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a r {; ; }, b r {, 4, } и c r {; -; } 4 6 Составить канонические уравнения прямой Доказать, что прямая параллельна плоскости, а прямая лежит в этой плоскости 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (; -5; ) и В(; ; ), перпендикулярно к плоскости 5 9 Составить уравнения диагоналей квадрата, если две смежные стороны приняты за оси координат так, что весь квадрат расположен в третьем координатном угле Сторона квадрата равна Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 4 5 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 6 Даны матрицы А, В, С Найти (АВ)С Даны вершины треугольника АВС А (-; -; 4), В (-4; -; ), С (; -; ) Найти его внешний угол при вершине В 4 Даны точки А (; -; ), В (; ; -) и С (; ; ) Найти BC CA CB 5 При каком значении объём параллелепипеда, построенного на векторах a r {; -; }, b r {-; ; } и c r {х; -; 5}, равен 7? Какую тройку образуют векторы a r, b r, c r при х? 4 6 Найти угол между прямыми и 4 4t t t 9

21 7 Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (; ; ) на прямую 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; ; -) перпендикулярно к плоскостям 7 и 4 9 Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (-; ), В (4; -5), С (-; ) Составить уравнения его сторон и вычислить длину высоты, опущенной из вершины С Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 6 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом 5 Дана матрица А Найти А 4А Вектор r r r r r, перпендикулярный к векторам a i & j k и r r r r b 8i j 5k, образует с осью OY тупой угол Найти его координаты, зная, что r 4 4 Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a r {; ; } и b r { ; ; } r r r r r r r r r r 5 Какую тройку образуют векторы a, b, c, если a i 4 j, b 6i j k, r r r r c i j k? Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a r и c r 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р (4; -; ) параллельно прямым и На оси OY найти точку, расстояние от которой до плоскости, проходящей через точки А(; ; ), В(-; 5; -), С(; ; ) равно 4

22 8 При каком значении B прямая 4 параллельна плоскости B 7? 9 Найти точку, симметричную точке Q (-; -9) относительно прямой 5 8 Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 6 5, b) 6 Изобразить эти линии на чертеже 4 Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера или матричным способом Даны матрицы А, В, С Найти А(ВС) 5 5 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA B C D, в котором АВ, ВССС Найти угол между векторами DB и BC (Указание: выбрать систему координат так, чтобы одна вершина параллелепипеда совпадала с началом координат, а три лежали на осях координат) 4 Вектор r r r r r, коллинеарный вектору a 8 i j 4k образует с осью ОХ тупой угол Зная, что r, найти его координаты 5 Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах a r {; ;-}, r r r r b i j k, c r {; -; }, и длину высоты, опущенной из конца вектора a r 6 Найти проекцию точки А (4; -; ) на плоскость 7 При каком значении прямые АВ и l будут перпендикулярными, если 5 А(; -; ), В(; -4; ), l:? 8 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости Стороны треугольника лежат на прямых 5 7, 4, 7 9 Составить уравнение одной из средних линий треугольника Установить, какие линии определяются уравнениями:

23 а), b) 5 8 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А 5, В Найти 4АВ r r r r r r r r r r Даны три вектора a i j k, b i 5 j и c 4i 4 j k Вычислить r r npr( a b) c 4 Зная две стороны AB {-; ; 9}, BC{-; 4; 4} треугольника АВС, вычислить длину высоты АD r r r r r r r r r r r r 5 Векторы p i j k, q i j k и 7i 4 j k лежат в одной плоскости Найти третью координату вектора q r 6 Найти точку пересечения прямой с плоскостью 9 7 Даны вершины треугольника А (4; ; ), В (; ; ), С (5; ; 4) Составить уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ, перпендикулярно к плоскости треугольника 8 Проверить, являются ли прямые t t t 8 и перпендикулярными 4 или параллельными 9 Даны вершины треугольника А (; ), В (4; 8), С (8; ) Найти расстояние от точки пересечения высот треугольника до стороны АС Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 6 9, b) Изобразить эти линии на чертеже

24 Вариант 4 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А 5, В, С 4 Найти АВ-С Вычислив внутренние углы треугольника АВС, где А (; ; -), В (; ; ), С(; ; ), проверить, будет ли этот треугольник равнобедренным 4 Найти вектор r, зная, что он перпендикулярен векторам a r {; -; } и b r {; -; } и удовлетворяет условию r r r r i j 7k 5 Объём тетраэдра равен, три его вершины находятся в точках А (; -; 5), В (4; ; -), С (; 6; 7) Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси OX 6 Составить уравнение плоскости, зная, что точка Р (4; -; ) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость 7 Две грани куба лежат на плоскостях 5 и 45 Найти объём этого куба 4 8 Составить параметрические уравнения прямой Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую, параллельно t прямой t t 9 Доказать, что точки А (-; 8), В (; 5), С (4; ) могут служить тремя вершинами ромба Составить уравнения диагоналей этого ромба Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 6 9, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 5 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

25 Даны матрицы А, В, С Найти В(АС) 7 9 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах r r r r r r a i j, b j k 4 Проверить, лежат ли точки А (-; ; 5), В (; 4; -7), С (; -; 4) и D (4; 7; -) в одной плоскости? 5 Даны точки А (; ; 4), В (-; -; ) и С (-; 4; 8) Найти AC ( AB CB) 6 При каком значении А плоскость A 4 5 параллельна прямой? 7 Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (; -4; ) и точку пересечения прямой с плоскостью 8 Найти проекцию точки А (; -; ) на плоскость Стороны параллелограмма лежат на прямых 4 и 4 Зная координаты одной из вершин А (; 4), составить уравнения двух других сторон и найти координаты вершины, противолежащей вершине А Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 6 6 9, b) Изобразить эти линии на чертеже Вариант 6 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

26 Даны матрицы А, С, В 4 Найти АСВ Найти вектор r r r r, зная, что a, { r r r a ;; }, b, b { ;; }, проекция вектора r на вектор c r { ;; } равна 4 Доказать, что четырёхугольник с вершинами А (; ; ), В (5; ; 6), С (; ; ), D (-; ; -) является параллелограммом Найти его площадь r r r r 5 Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах a i j k, r r r r r r r r b i j k, c i j k 6 Лежат ли точки А (; ; ), В (4; ; 5), С (; 6;) на одной прямой? 7 Проверить, могут ли точки А (; ; ), В (; ; 5), С (; ; ) и D (4; ; ) служить вершинами тетраэдра В случае положительного ответа составить уравнение грани АВС 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-; ; 7) параллельно прямой Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 5 и 4 М (; 4) точка пересечения его диагоналей Составить уравнения двух других сторон параллелограмма и найти длины его высот Установить, какие линии определяются уравнениями: а) ; b) 9 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 7 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В 4 8 Найти АВ и ВА

27 В треугольнике АВС вершины имеют координаты: А (; ; 4), В ( ; ; ), С (8; ; 5) Найти острый угол между медианой ВD и стороной АС 4 Найти вектор r r r r, зная, что a, { r r r a ;; }, b, b { 4; ;4 }, r образует с осью OY тупой угол и r 7 5 Найти объем пирамиды А А А А 4, если А (; ; ), А (; ; -), А (5; ; 6), А 4 (8; 4; -9) 6 Будут ли прямые и 4 параллельными? 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; -; 5) перпендикулярно к плоскостям 7 и Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (; ; -) на прямую 9 Составить уравнения сторон треугольника АВС, если известны координаты вершины А (; ) и уравнения высот ВН: 4 и СН: Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 6, b) Изобразить эти линии на чертеже 5 Вариант 8 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А 4, В 4, С Найти 4 4 Зная две стороны AB { }, { } АВС Даны точки А (-; ; -4), В (; ; 5), С (; -; ), D (; ; -4) Вычислить np ( AB DB) CD ; ;6 BC ;4;4 треугольника АВС, вычислить длину высоты АD 6

28 5 Найти объём пирамиды, построенной на векторах a r { ;;5 }, { ;; } c r { ;; } равнобедренным? b r Является ли треугольник, построенный на векторах a r и c r 6 Даны две вершины параллелограмма АВСD: С (-; ; -5) и D (; 4; -7) и 7 точка пересечения диагоналей М (; ; ) Составить уравнения стороны АВ 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (; ; ) и М (; 4; 5) параллельно оси OX Построить её 8 На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 6 на расстоянии d 9 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 4 и и уравнение одной из его диагоналей: Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4, b) 5 9 Изобразить эти линии на чертеже Вариант 9 Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А, В Найти АВ 4 4 r r r r r r r r Проверить, могут ли векторы a 7i 6 j 6k и b 6 i j 9k быть рёбрами куба В случае положительного ответа, найти третье ребро куба 4 В треугольнике с вершинами А (4; -4; 8), В (; -8; ), С (; -8; ) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ r r r r r 5 Какую тройку образуют векторы a i j k, b r r r r r r c 4 i 8 j k? Найти npv ( a b ) c 7 6 Составить параметрические уравнения прямой r r r i j k, и 7

29 7 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р (; ; -) и Q (; -; ) перпендикулярно к плоскости 5 8 Вычислить расстояние между плоскостями 4, Даны две вершины треугольника АВС: А (-4; ) и В (4; -) и точка пересечения его высот М (; ) Найти координаты вершины С Установить, какие линии определяются уравнениями: а) 4 7 7, b) 6 Изобразить эти линии на чертеже Вариант Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом Даны матрицы А 5 6, В 4, С Найти (А-В)С 7 r Векторы AB r j k и AC 8; ; служат сторонами треугольника АВС Найти острый угол между медианой АМ и стороной АС 4 Найти площадь четырехугольника ОАВС, если: О (; ; ), А (6; -4; ), В (; ; ), С (6; ; ) 5 Найти длину высоты пирамиды ОАВС, опущенную из вершины С, если: О (; ; ), А (; 4; ), В (; ; ), С (4; 4; 9) 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точку N (5; -; -) параллельно прямой Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (; ; -), три грани которого лежат на плоскостях 7 6 6, 6 9 8, 6 9 Вычислить объём этого параллелепипеда 8

30 8 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (; ; -) и прямую t 5 t t 9 Точки А (; ) и С (; 6) являются противоположными вершинами квадрата Вычислить координаты двух других вершин квадрата Установить, какие линии определяются уравнениями: а) , b) 49 Изобразить эти линии на чертеже 7 9

31 Недвецкая Анна Иосифовна, Тимофеева Галина Адольфовна, Чеснокова Елена Геннадьевна Векторная алгебра и аналитическая геометрия Сборник контрольных заданий для студентов всех специальностей дневной формы обучения Редактор С В Пилюгина 64, Екатеринбург, ул Колмогорова, 66, УрГУПС Редакционно издательский отдел Бумага писчая Подписано в печать Услпечл,9 Тираж экз Формат 6 9 /6 Заказ

32

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Аффинные преобразования.

Аффинные преобразования. Аффинные преобразования. Методологический паспорт. Тема: Аффинные преобразования плоскости. Проблема: Изучение понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия Интерактивный комплект 2. Параллельность и перпендикулярность 2.3. Теорема о трех перпендикулярах Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры

Подробнее

Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление)

Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление) Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление) Пружаны 2012 Автор: Величко С.Н., учитель математики ГУО «Гимназия г. Пружаны» Рецензент: Коробко В.Ф., учитель

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

c. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью AA1D 1D.

c. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью AA1D 1D. 01-017 учеб. год Модуль 1. Параллельность и перпендикулярность в пространстве. Построение сечений. Углы и расстояния в пространстве. 1.1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1D 1 с ребрами AB AA1,

Подробнее

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым Параллелепипед Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллеле» - плоскостное тело. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

иант 1. Вариант 2. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, векторам.

иант 1. Вариант 2. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, векторам. трольная работа 1. Векторы. Контрольная работа 1. Векторы. иант 1. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, дите разложение вектора по неколлинеарным Найдите разложение вектора по неколлинеарным торам.

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики 1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AC. 27235.

Подробнее

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля) 1 I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Многогранники. Призма Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета. В результате изучения геометрии на базовом уровне в 10классе в старшей школе ученик должен Знать/понимать существо

Подробнее

Вопросы и задачи для зачета по математике в 10 А классе. Модуль «Геометрия»

Вопросы и задачи для зачета по математике в 10 А классе. Модуль «Геометрия» Вопросы и задачи для зачета по математике в 0 А классе Модуль «Геометрия».Сформулируйте аксиомы стереометрии А, А, А. Сформулируйте и докажите следствия из аксиом..сформулируйте и докажите теорему о параллельных

Подробнее

ID_2420 1/11 neznaika.pro

ID_2420 1/11 neznaika.pro 1 Планиметрия: вычисление длин и площадей Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ; КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры Найти косинус угла между векторами BA и BC если C Сделать чертеж B A Найти косинус угла между векторами AB и AC

Подробнее

8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ»

8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ» 8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА 2017-2018 УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ» Четырехугольники Многоугольники. Параллелограмм. Трапеция. Прямоугольник, ромб и квадрат В тесте проверяются теоретическая и практическая

Подробнее

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Прототипы (456) заданий В-04 ЧАСТЬ 2 Задание B4 ( 27473) В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. Задание B4 ( 27474) В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите. Задание B4 ( 27742) Один острый угол прямоугольного

Подробнее

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы Вписанные углы, четырехугольники, окружности Вписанные углы 1. Две окружности пересекаются в точках A и B. Продолжения хорд AC и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках E и F. Докажите,

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля. Составители: Н.Ю. Смирнов, Е.В. Миронов.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля. Составители: Н.Ю. Смирнов, Е.В. Миронов. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по начертательной

Подробнее

Вопрос 20.Изображение фигур методом параллельной проекции, свойства параллельной проекции Для того чтобы изобразить пространственную фигуру на листе

Вопрос 20.Изображение фигур методом параллельной проекции, свойства параллельной проекции Для того чтобы изобразить пространственную фигуру на листе Вопрос 20.Изображение фигур методом параллельной проекции, свойства параллельной проекции Для того чтобы изобразить пространственную фигуру на листе бумаги, можно воспользоваться методом параллельной проекции.

Подробнее

Прототипы заданий года Найдите площадь поверхности Найдите площадь поверхности Найдите площадь поверхности

Прототипы заданий года Найдите площадь поверхности Найдите площадь поверхности Найдите площадь поверхности 1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 9 2015 года 8 25681 Найдите площадь поверхности 2 25561 Найдите площадь поверхности 9 25701 Найдите площадь поверхности 3 25581

Подробнее

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) МАТЕМАТИКА Контрольно-измерительные

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые Скрещивающиеся прямые Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Банк заданий. для учащихся 6 класса по математике. по теме: «Многоугольники и многогранники» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

Банк заданий. для учащихся 6 класса по математике. по теме: «Многоугольники и многогранники» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Банк заданий для учащихся 6 класса по математике по теме: «Многоугольники и многогранники» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Блок содержания знать уметь Параллелограмм. Построение

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

Календарно-тематическое планирование в 9 классе

Календарно-тематическое планирование в 9 классе Календарно-тематическое планирование в 9 классе Да та урока Тема урока Виды учебной деятельности Виды контроля Требования к уровню Подготовки обучающихся 1 Повторение материала 7-8 класса Индивидуаль ная

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

Рабочая программа по геометрии 10 класс

Рабочая программа по геометрии 10 класс Рассмотрено Согласовано Утверждено На МО учителей с методическим директор: «28» августа 2015 советом Протокол 1 «29» августа 2015 Председатель МО «28» августа 2015 приказ Жгилева И.В председатель МС Кожаев

Подробнее

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Задание 9 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Задание 9 132781. В выпуклом четырехугольнике ABCD,,,. Найдите

Подробнее

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж).

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). Билет 1 1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). 2. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 9, а диагональ равна 41. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Пирамида. 6. В правильной четырехугольной пирамиде точка центр основания, вершина,,. Найдите боковое ребро.

Пирамида. 6. В правильной четырехугольной пирамиде точка центр основания, вершина,,. Найдите боковое ребро. Пирамида 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Подробнее

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость.

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость. Лекция 3. Методы изображений 27 2. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E 3 некоторую плоскость σ и какой-нибудь ненулевой вектор p r, непараллельный этой плоскости. Пусть A -произвольная

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Воображение. Две перпендикулярные грани

Воображение. Две перпендикулярные грани Воображение Описания 1. Отсечь лишнее Задание. Постройте шестигранник, две грани которого шестиугольники, а четыре оставшиеся треугольники. Воспользуйтесь тетраэдром, как телом, которое может стать основой

Подробнее

ID_9084 1/9 neznaika.pro

ID_9084 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Высота

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ ГБОУ СПО «КАМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ ГБОУ СПО «КАМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ ГБОУ СПО «КАМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВТОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине «Математика» для специальностей:...

Подробнее

Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения

Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения Кафедра «Инженерная графика» Задания для индивидуальных работ по НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби.

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби. 1. Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ (учебник Макарычев) класс 8. Алгебра. Алгебраические дроби. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1 1 14. 15. 1. Множество натуральных и целых чисел.

Подробнее

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH.

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH. В-8. ПРОТОТИПЫ Задание ответ В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите AH., В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите, В ABC C = 90 0, AB =, tga. Найдите высоту CH., В ABC C = 90 0, CH высота,

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Центр мониторинга и оценки качества образования

Томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Центр мониторинга и оценки качества образования Томский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Центр мониторинга и оценки качества образования Контрольно-измерительная работа по математике 8 класс (апрель,

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ. Издание четвертое. 9 класс

ГЕОМЕТРИЯ. Издание четвертое. 9 класс ГЕОМЕТРИЯ Издание четвертое 9 класс МОСКВА «ВАКО» 2017 УДК 372.851 ББК 74.262.21 К65 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия.

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия. Лекция 14 ТЕМА Геометрия. Стереометрия. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Многогранники Определения и свойства

Подробнее

Геометрия. Тренировочный вариант 1

Геометрия. Тренировочный вариант 1 Геометрия. Тренировочный вариант 1 1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 2. Около треугольника MNP описана окружность с центром О. Найдите угол РОМ, если угол PNM равен 17. Ответ дайте

Подробнее

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости

Подробнее

Предисловие. Дорогие девятиклассники!

Предисловие. Дорогие девятиклассники! Предисловие Дорогие девятиклассники! Курс геометрии, который вы будете изучать в этом году, отличается от того, который вы изучали в предыдущие два года. Важнейшие теоремы, доказанные в 7 и 8 классах,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см,

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, Тест по теме 62 «Сечения многогранников» 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, 21 см. Высота призмы 18 см. Найти площадь сечения проведенного через боковое ребро и меньшую

Подробнее

МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации ФБГОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» ЕЮ Елизарова ТЕ Чикина МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебно-методическое

Подробнее

ББК я72 М52 ISBN

ББК я72 М52 ISBN ББК 22.151я72 М52 Мерзляк А.Г. М52 Геометрия : 9 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др. М. : Вентана-Граф,

Подробнее

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г.

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В3 (часть ) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 204 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова Найдите объем параллелепипеда

Подробнее