Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,"

Транскрипт

1 Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными домашними заданиями в вузовском курсе высшей математике принято понимать задания большого объѐма, рассчитанные на выполнение в течение семестра. Обычно в них нет случайных задач, и каждое упражнение предназначено для закрепления стандартного вычислительного навыка. Каждый вариант содержит 7 типовых и 4 нестандартные задачи. Нестандартные задачи могут быть предложены по усмотрению преподавателя отдельным студентам в качестве дополнительных или взамен типовых задач. Авторы надеются, что наши методические указания окажутся весьма полезными для студента. Найдя нужный образец, по аналогии с ним студент сможет решить и задачу из своего домашнего задания. При защите работы студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы. В методических указаниях приведены вопросы для самопроверки с ответами и вопросы для защиты, которые помогут студенту лучше разобраться в материале и подготовиться к защите индивидуального домашнего задания. 3

2 Примеры решений типовых заданий Пример Составить уравнение прямой, проходящей через точки и. Решение: уравнение прямой в пространстве будем искать в виде Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Вместо подставим в это уравнение координаты точки. или Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и. Решение: уравнение плоскости будем искать в виде Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Подставив координаты данных трѐх точек в уравнение, получим: или. Пример Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости. Решение: уравнение прямой будем искать в виде Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Из уравнения заданной плоскости найдѐм координаты еѐ нормального вектора. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то этот вектор является направляющим для искомой прямой. 4

3 Подставив его координаты в уравнение, получим: канонические уравнения искомой прямой. Пример Составить уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой. Решение: уравнение прямой будем искать в виде Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Из уравнения заданной прямой найдѐм координаты еѐ направляющего вектора. Так как прямые параллельны, то этот вектор является направляющим и для искомой прямой. Подставив его координаты в уравнение, получим: канонические уравнения искомой прямой. Пример 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости, заданной уравнением. Решение: уравнение плоскости будем искать в виде. Вместо подставим в это уравнение координаты точки. Из уравнения заданной плоскости найдѐм координаты еѐ нормального вектора. Так как плоскости параллельны, то этот вектор является нормальным и для искомой плоскости. Подставив его координаты в уравнение, получим: или. Пример 6. При каких значениях и прямая а) проходит через точки и ; параллельна прямой ; в) перпендикулярна ; 5

4 пересекается с. Решение: а) чтобы выяснить, проходит ли прямая через точку, надо в уравнение прямой подставить еѐ координаты. Решив систему уравнений, получим:. Из условия параллельности прямых следует: в) Из условия перпендикулярности прямых следует: Из условия пересечения прямых следует: Пример 7. Показать, что точка значение. Найти расстояние от точки. Решение: Подставляем координаты точки прямой:. Найти соответствующее до прямой в параметрические уравнения Значит точка. Расстояние от точки до прямой будем искать в виде Вместо подставим в эту формулу координаты точки. Вместо координаты точки. Подставив координаты данных двух точек в формулу, получим: 6

5 Пример 8. Привести к каноническому виду уравнения прямой Решение: 1) Исключаем : из первого уравнения вычтем второе: 2) Исключаем : второе уравнение умножим на и прибавим к первому 3) Разрешим каждое уравнение относительно 4) Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид: Последнее уравнение умножим на, в результате получим: каноническое уравнение прямой в пространстве. Если каждое из последних отношений приравнять к параметру получим параметрические уравнения данной прямой:, то 7

6 Пример 9. Даны уравнения плоскости и прямой а) проверить, что ; найти и координаты точки пересечения и. в) написать уравнение плоскости, проходящей через. Решение: а) Имеем. Проверим условия принадлежности прямой плоскости: Условия не выполняются, поэтому прямая не лежит в плоскости, т.е.. Применяя формулу находим синус угла между прямой и плоскостью Значит,. Координаты точки пересечения прямой с плоскостью находим, решая систему 8

7 Из равенства вытекает равенство, т. е.. Следовательно,, т. е. точка пересечения прямой и плоскости. в) Составим уравнение плоскости из условия компланарности векторов или. Пример 10. Дано уравнение кривой второго порядка. Записать еѐ каноническое уравнение, определить тип кривой. Решение: Данная кривая является гиперболой. Приведѐм уравнение к каноническому виду:, откуда, из которого определим:. Пример 1 Привести к каноническому виду Решение: 9

8 Условия заданий Даны четыре точки. Найти уравнения: а) прямой ; плоскости ; в) перпендикуляра к плоскости ; прямой, проводящей через точку параллельно ; д) плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости. При каких и прямая а) проходит через точки и ; параллельна прямой ; в) перпендикулярна ; пересекается с. Показать, что точка. Найти соответствующее значение. Найти расстояние от точки до прямой. 7. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой и построить еѐ. 8. Даны уравнения плоскости и прямой : а) проверить, что ; найти и координаты точки пересечения и. в) написать уравнение плоскости, проходящей через. 9. Построить на плоскости и в пространстве. 10. Привести к каноническому виду и построить. Задания 2, 5, 6, 11 индивидуальные. 10

9 ЗАДАНИЯ Вариант 1 2. Дана прямая. Составить уравнение прямой, проходящей через под углом к данной прямой. 5. Вычислить объѐм пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями. 6. Доказать, что прямые и принадлежат одной плоскости, и найти уравнение этой плоскости а) в) д) е) ѐ). 10. а) 4

10 в) ; 1 Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности и от точки. Вариант 2 2. Составить уравнение прямой, если точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. 5. Вычислить площадь треугольника, который получается от пересечения координатного угла и плоскости. 6. Даны вершины треугольника. Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины а) в) д) е) ѐ). 10. а) 5

11 в) ; 1 Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности и от точки. Вариант 3 2. Луч света направлен по прямой Дойдя до прямой, луч от неѐ отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражѐнный луч. 5. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости равно Доказать параллельность прямых и а) в) д) е) ѐ). 6

12 10. а) в) ; 1 Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек и равна 16. Вариант 4 2. Даны последовательно вершины выпуклого четырѐхугольника Определить точку пересечения диагоналей. 5. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости 6. Доказать, что прямые и принадлежат одной плоскости, и найти уравнение этой плоскости а) в) д) е) ж). 10. а) 7

13 в) ; 1 Составить уравнение поверхности, разность расстояний от каждой точки которой до точек и равна 1 Вариант 5 2. В треугольнике точка Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из на медиану, проведѐнную из вершины. 5. Доказать, что три плоскости пересекаются по трѐм различным параллельным прямым. 6. Даны уравнения движения точки. Определить еѐ скорость а) в) д) е) ж). 10. а) 8

14 в) ; 1 Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух точек и есть постоянная величина. Вариант 6 2. три вершины параллелограмма. Вычислить длину его высоты, опущенной из на сторону. 5. Две грани куба лежат на плоскостях. Вычислить объѐм этого куба. 6. Найти проекцию точки на прямую а) в) д) е) ж). 10. а) в) ; 9

15 1 Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой равно. Вариант 7 2. Даны середины сторон треугольника и. Составить уравнения его сторон. 5. Доказать, что прямые лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости, где 6. Вычислить расстояние от точки до прямой а) в) д) е) ж). 10. а) 10

16 в) ; 1 Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек и равна 10. Вариант 8 2. Даны вершины треугольника и. Найти уравнение описанной окружности. и 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки перпендикулярно к плоскости 6. Найти расстояние между прямыми: и а) в) д) е) ж) 11

17 10. а) в) ; 1 Вывести уравнение геометрического уравнения точек, сумма расстояний которых до двух данных точек и равна 12. Вариант 9 2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух биссектрис и. 5. Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и. 6. Вычислить расстояние между прямыми и а) в) д) е) ж) 10. а) 12

18 в) ; 1 Составить уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки. Вариант Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от координатного угла треугольник с площадью 12 кв. ед. 5. Вычислить расстояние от точки до прямой. 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку а) в) д) е) ж). 10. а) 13

19 ; в) ; 1 Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек и равна 100. Вариант Составить уравнения сторон треугольника, если одна из его вершин и уравнения двух медиан. 5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям и 6. В треугольнике. Составить параметрическое уравнение его высоты из на а) в) д) е) ж) 10. а) 14

20 в) 1 Составить уравнение поверхности, каждая точка которой удалена одинаково от прямой и плоскости. Построить еѐ. Вариант Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из вершин и уравнения двух высот и. 5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки перпендикулярно плоскости 6. Даны вершины треугольника. Составить каноническое уравнение биссектрисы его внешнего угла при а) в) д) е) ж) 10. а) 15

21 в) 1 Составить уравнение сферы, если точки являются концами одного из еѐ диаметров. Вариант Составить уравнения сторон треугольника, если и его вершины и точка пересечения высот. 5. Вычислить расстояние от точки до плоскости 6. Даны вершины треугольника. Составить канонические уравнения биссектрисы внутреннего угла при а) в) ; д) е) ж) 10. а) 16

22 в) 1 Найти уравнение проекции прямой на плоскости Вариант Даны две смежные вершины квадрата и. Составить уравнения его сторон. 5. Даны вершины треугольника. Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из на. 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым и а) в) д) е) ж). 10. а) 17

23 в) 1 Составить уравнение множества точек плоскости, расстояния от которых до точки в 2 раза меньше расстояния до прямой Вариант Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми и 5. Доказать параллельность прямых и 6. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую а) в) 18

24 д) е) ж). 10. а) в) 1 Найти центр и радиус окружности. Вариант Точка является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой Составить уравнения сторон и другой диагонали. 5. Вычислить расстояние между прямыми и 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения двух плоскостей и перпендикулярно а) 19

25 в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 6. Вариант Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину, а так же уравнения высоты и медианы, проведѐнных из различных вершин. 5. Доказать, что плоскость не пересекает отрезка, ограниченного точками и. 6. Составить уравнение движения точки, которая, имея начальное положение, движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора со скоростью

26 9. а) в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого служат оси координат, если на его поверхности заданы три точки и. Вариант Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками и. 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку, если и. 6. Через точку проходит прямая, параллельная плоскостям и Найти параметрические уравнения этой прямой а) в) 21

27 д) е) ж) 10. а) в). 1 Вывести уравнение линии, для которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно. Вариант Стороны треугольника даны уравнениями,, Определить точку пересечения его высот. 5. Доказать, что плоскости и проходят через одну прямую. 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и а) в) 22

28 д) е) ж) 10. а) в) 1 Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки и от прямой относится как. Вариант Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой Найти уравнение остальных сторон квадрата. 5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям и. 6. Составить параметрические уравнения высоты треугольника, если а) в) 23

29 д) е) ж) 10. а) в) 1 Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки вдвое меньше расстояния от прямой Вариант Даны уравнения двух сторон прямоугольника и и одна из его вершин. Вычислить площадь этого прямоугольника. 5. Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями. 6. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от неѐ на расстоянии а) 24

30 в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой. Вариант Даны две вершины и треугольника и точка пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника. 5. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями. 6. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях и отрезки а) 25

31 в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки втрое дальше, чем от начала координат. Вариант Уравнение одной из сторон квадрата. Составить уравнения трѐх остальных сторон квадрата, если точка пересечения его диагоналей. 5. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двух векторам и

32 8. 9. а) в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до еѐ асимптоты равно. Вариант Даны уравнения двух высот треугольника и и одна из его вершин. Составить уравнения сторон треугольника. 5. Составить параметрические уравнения диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости 6. Доказать, что прямые и лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости а) 27

33 в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Вывести уравнение геометрического места точек, равноудалѐнных от двух точек и. Вариант Даны уравнения двух медиан треугольника, и одна из его вершин. Составить уравнения сторон этого треугольника. 5. Составить каноническое уравнение диаметра сферы, параллельного прямой. 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой а) 28

34 в) д) е) ж) 10. а) в) 1 Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удалѐнных от координатных осей. Вариант Уравнения двух сторон параллелограмма: и, а уравнение одной из его диагоналей: Найти координаты параллелограмма. 5. Составить уравнение движения точки, которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки до точки за промежуток времени от до. 6. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую

35 9. а) в) д) е) ж). 10. а) в) 1 Вывести уравнение окружности, имеющей центр и радиус. Вопросы для самопроверки Являются ли следующие уравнения: а) ; ; д) ; в) ; е) ; уравнениями прямых? 2. Верно ли, что точка лежит внутри круга? При каких значениях прямая касается окружности? Вычислите периметр четырехугольника, вершины которого совпадают c вершинами эллипса. 5. Известно, что точка принадлежит эллипсу. Найдите координаты ещѐ трѐх точек, принадлежащих этому эллипсу. 6. Найдите угол между асимптотами гиперболы. 7. Сколько осей симметрии имеет: а) парабола; окружность; в) эллипс; 30

36 гипербола? 8. При каких значениях уравнение является уравнением: 1) эллипса; 2) окружности; 3) гиперболы? 9. Является ли ортогональной матрицей? 10. Найти наибольшее собственное значение самосопряжѐнного оператора, определяемого матрицей. 1 Является ли собственным вектором оператора, заданного матрицей при? 12. Пересекаются ли прямые и? 1 При каком плоскости и будут перпендикулярны? 1 При каких и прямая перпендикулярна к плоскости? 15. При каком значении прямые параллельны ( и )? Ответы на вопросы для самопроверки а) нет; нет; в) нет; да; д) да; е) да. 2. да а) одну; ; в) две; одну. 8. 1) ; 2) ; 3). 9. да да. 12. нет

37 Вопросы для защиты Какие геометрические образы в пространстве соответствуют данным уравнениям: а) в) д) е) ж) з) 2. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и отсекающей на осях и отрезки длиной 2 и 3 соответственно. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной оси. Найти необходимое и достаточное условия того, чтобы три плоскости а) имели одну общую точку; проходили через одну прямую; в) были попарно параллельны друг другу; образовывали «призму», т. е. чтобы линия пересечения двух 32

38 плоскостей была параллельна третьей плоскости; д) удовлетворяли условию: две плоскости параллельны, третья их пересекает. 5. Найти «следы», т. е. точки пересечения прямой на координатных плоскостях. 6. Показать, что параметрическое представление прямой имеет вид, где. 7. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты прямой: для того, чтобы она: а) пересекала ось абсцисс; совпадала с ней. 8. Составить канонические уравнения прямой. а) 9. Дано уравнение кривой. Определить при каких значениях прямая а) имеет одну общую точку с кривой; пересекает кривую в двух точках; в) не имеет общих точек с кривой. 10. Какая линия определяется уравнениями 1 Находя собственные значения квадратичной формы, выяснить тип. а) в) 12. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) 1 Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к 33

39 каноническому виду, и написать этот вид. а) 1 Установить тип кривой (поверхности), привести к каноническому виду. Записать преобразование системы координат. Изобразить его и кривую (поверхность). а) в). д) е) ж) з) 15. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса, а две другие совпадают с концами его малой оси. 16. Убедившись, что эллипсы, пересекаются в четырѐх точках, лежащих на окружности с центром в начале координат, определить радиус этой окружности. 17. Дано уравнение равносторонней гиперболы. Найти еѐ уравнение в новой системе, приняв за оси координат еѐ асимптоты. 18. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырѐх точках, то эти точки лежат на одной окружности. 19. Пусть заданы две прямые: и. Доказать, что прямые и лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если выполнено условие: 34

40 20. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки и, может быть записано в следующем виде: 2 Вывести формулы для нахождения расстояния от до прямой и расстояния между двумя прямыми в 35

41 Приложение 1 Таблица 1 Прямая и плоскость в пространстве Вид уравнения (Условие) Уравнение плоскости, проходящей через Формула (Правило) Уравнение плоскости, проходящей через и Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках Угол между плоскостями Условие параллельности плоскостей Условие перпендикулярности плоскостей 36

42 Расстояние от до Уравнение прямой, проходящей через и Продолжение таблицы 1 Вид уравнения (Условие) Каноническое уравнение прямой, проходящей через Формула (Правило) Параметрическое уравнение прямой, проходящей через Приведение уравнения прямой к каноническому виду Условие параллельности прямых Правило: 1) исключим ; 2) исключим ; 3) разрешим каждое уравнение относительно. Условие перпендикулярности прямых 37

43 Угол между прямой и плоскостью Точка пересечения прямой Решим с плоскостью Приложение 2 Цилиндрические поверхности Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр 38

44 Сфера Приложение 3 Поверхности вращения Трехосный эллипсоид Однополостный гиперболоид 39

45 Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид 40

46 41

47 Гиперболический параболоид Конус второго порядка 42

48 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. М. : Наука, с. 2. Апатенок Р. Ф. Элементы линейной алгебре и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок, А. М. Маркина, Н. В. Попова, В. Б. Хейнман. Минск : Вышэйшая школа, с. Апатенок Р. Ф. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок. Минск : Вышэйшая школа, с. Беклемишев Д. Д. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. Д. Беклемишев. М. : Наука, с. 5. Беклемишева Л. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л. А. Беклемишева, А. Ю. Петрович, И. С. Чубаров. М. : ФИЗМАТЛИТ, с. 6. Высшая математика: Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. Минск : Вышэйшая школа, с. 7. Дьедоне Ж. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Ж. Дьедоне. М. : Наука, с. 8. Ильин В. А. Аналитическая геометрия / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М. : Наука, с. 9. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. М. : Наука, с. 10. Постников М. М. Лекции по геометрии / М. М. Постников. М. : Наука, с. 1 Тышкевич Р. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. Минск : Вышэйшая школа, с. 12. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / В. В. Федорчук. М. : НЦ ЭНАС, с. 43

49 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение... 3 Примеры решений типовых заданий.. 4 Условия заданий 7 Задания... 8 Вопросы для самопроверки.. 5 Ответы на вопросы для самопроверки 6 Вопросы для защиты. 7 Приложение Прямая и плоскость в пространстве. 37 Приложение 2. Цилиндрические поверхности Приложение Поверхности вращения.. 40 Библиографический список. 40 ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса. Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна Главный редактор Редактор Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,32. Тираж 150 экз. Заказ. Издательство Тихоокеанского государственного университета , Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета , Хабаровск, ул. Тихоокеанская,

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) МАТЕМАТИКА Контрольно-измерительные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» В.П. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Аналитическая геометрия направление подготовки 0.03.01

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном,

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)»

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для абитуриентов, поступающих в вуз

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 26 к приказу 853-1 от 27 сентября 2016 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) в МАИ в 2017 году 1 В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

1. Требования к уровню подготовки выпускников

1. Требования к уровню подготовки выпускников 1. Требования к уровню подготовки выпускников уметь: - пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира; - распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; -

Подробнее

Рабочая программа по геометрии. Приложение 2 к ООП ООО МБОУ «СОШ 10» (утв. приказом 252 от )

Рабочая программа по геометрии. Приложение 2 к ООП ООО МБОУ «СОШ 10» (утв. приказом 252 от ) Рабочая программа по геометрии Приложение к ООП ООО МБОУ «СОШ 0» (утв. приказом 5 от.08.06) Рабочая программа по геометрии 7-9 классы УМК, используемое в образовательном процессе: Л.С. Атанасян, В. Ф.

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике

Программа вступительных испытаний по математике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 7-9 классы составлена в соответствии с требованиями к результатам основного общего образования, утвержденными

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Муниципальное автономное образовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Составил: учитель математики Барда Мария

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения І уровня аккредитации составлена на основании государственной программы по математике, содержит два раздела. В первом

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ)

Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ) Автономная некоммерческая организация высшего образования Российский новый университет (АНО ВО РосНОУ) "Утверждаю" ректор АНО ВО РосНОУ В.А. Зернов " " 2016г. Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский Новый университет

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский Новый университет Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский Новый университет Кафедра Информационных технологий и естественнонаучных дисциплин Утверждаю Ректор НОУ ВПО

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. План лекции Лекция Квадрики в евклидовом пространстве. 1. Канонические уравнения квадрики в пространстве. 1.1. Эллипсоид; 1.2. Двуполостный гиперболоид;

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Элективной дисциплины Аналитическая геометрия (код и наименование

Подробнее

ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ

ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ Составлен в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по указанным направлениям и Положением

Подробнее

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß È. È. Ïðèâàëîâ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß УЧЕБНИК ДЛЯ СПО 40-е издание, стереотипное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà åñòâå ó åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ îáðàçîâàòåëüíûõ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ для поступления на обучение

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Пояснительная записка целей: задач

Пояснительная записка целей: задач Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Предлагаемая рабочая программа составлена на основе рабочей программы по геометрии к учебнику «Геометрия 7-9 классы», авторы Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк,

Подробнее

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского»

Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет по дисциплине «Математика» в ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского» Министерство образования и науки Российской Федерации САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Программа вступительного испытания на бакалавриат/специалитет

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета

Рабочая программа учебного предмета Приложение 7 к основной образовательной программе МБОУ СШ 2, утвержденной приказом директора от 27.06.2013 275П (в редакции приказа от 04.03.2016 69П) Рабочая программа учебного предмета «ГЕОМЕТРИЯ» ФКГОС:

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике

Программа вступительных испытаний по математике Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тихоокеанский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской Федерации Программа

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Рабочая программа по геометрии 7-9 классы

Рабочая программа по геометрии 7-9 классы Приложение к Основной образовательной программе основного общего образования на 2015-2020 годы, утвержденной приказом 149-ОД от 01.09 2015 г Рабочая программа по геометрии 7-9 классы Содержание 1) Планируемые

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики.

Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики. Статус документа Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по геометрии геометрия

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. Реквизиты программы: Программа министерства образования РФ по геометрии 7-9 классы: авторы Атанасян Л.С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Составитель сборника

Подробнее

Тринадцатая олимпиада по геометрии

Тринадцатая олимпиада по геометрии Тринадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Нарисуйте на клетчатой бумаге четырехугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого различные простые

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия» 2 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Перовская школа-гимназия» РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании методического замдиректора по УВР Директор МБОУ объединения учителей «Перовская

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данные программы и тематические планирования составлены на основе Федерального компонента государственного образовательного

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данные программы и тематические планирования составлены на основе Федерального компонента государственного образовательного ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данные программы и тематические планирования составлены на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта Обучение геометрии по предлагаемым программам

Подробнее

Учебно-методический комплекс дисциплины «ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА» для студентов очной формы обучения

Учебно-методический комплекс дисциплины «ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА» для студентов очной формы обучения Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова» Институт математики информатики Кафедра алгебры и геометрии Учебно-методический комплекс дисциплины

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее