Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск"

Транскрипт

1 138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 44, N- 5 УДК НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМИРОВАНИИ И РАЗРУШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Рассматриваются два типа физически нелинейных неоднородных сред: линейно-упругая плоскость с нелинейно-упругими эллиптическими включениями и линейно-вязкая плоскость с эллиптическими включениями из материала, обладающего свойствами нелинейной ползучести. Исследуются задачи о возможности выбора таких нагрузок на бесконечности, которые для любых двух включений обеспечивают требуемые величины главного касательного напряжения (в первом случае) или главной скорости сдвига (во втором). Получены условия существования решения этих задач для несжимаемых сред, находящихся в условиях плоской деформации. Ключевые слова: эллиптические физически нелинейные включения, ползучесть, повреждаемость, разрушение. Настоящая работа является продолжением начатых ранее исследований [1 3], посвященных моделированию процессов деформирования и разрушения физически нелинейных неоднородных сред. Рассматриваются новые обратные задачи для линейно-упругой и линейно-вязкой плоскости, содержащей нелинейные (например, упругопластические или нелинейно-вязкие) эллиптические включения, в которых под действием нагрузок на бесконечности реализуется однородное напряженно-деформированное состояние (при условии, что расстояние между центрами любых двух включений существенно превышает их размеры [1]). 1. Линейно-упругая плоскость с нелинейно-упругими включениями. Рассмотрим изотропную упругую плоскость S, содержащую различные эллиптические физически нелинейные включения (ЭФНВ), удаленные друг от друга настолько, что взаимным влиянием каждого ЭФНВ на напряженно-деформированное состояние любого другого включения можно пренебречь. Выберем произвольным образом два включения, которые обозначим через S. С каждым из включений связана система координат O x 1 x 2, в которой уравнение границы L, отделяющей S от S, имеет вид x2 1 a x2 2 b 2 0 = 1, a 0 b 0 ( = 1, 2). Предположим, что рассматриваемая неоднородная среда является несжимаемой и находится в условиях плоской деформации под действием приложенных на бесконечности напряжений, главные значения которых обозначим через N 1 и N 2, а угол между первой главной осью и осью O x 1 через α. Тогда в области S имеет место закон Гука [1] 4µε 22 = 4µε 11 = σ 22 σ 11, 2µε 12 = σ 12, где σ ij, ε ij компоненты напряжений и деформаций в произвольной системе координат; µ модуль сдвига. (Последний можно заменить на соответствующий оператор Воль- Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта ).

2 И. Ю. Цвелодуб 139 терра, тогда приведенные выше соотношения будут описывать линейную вязкоупругую несжимаемую среду при плоской деформации [1].) Следуя [1], будем считать -е ЭФНВ изотропным нелинейно-упругим (или подчиняющимся деформационной теории пластичности). Его определяющие уравнения в системе координат O x 1 x 2 имеют вид ε 22 = ε 11 = F (τ )(σ 22 σ 11 )/2, (1.1) ε 12 = F (τ )σ 12, 2τ = [(σ 22 σ 11 )2 + 4σ12 2 ]1/2 ( = 1, 2), где F (τ ) > 0 заданная функция; τ главное касательное напряжение. Поскольку включения не влияют друг на друга, связи между напряжениями и деформациями в -м ЭФНВ и на бесконечности (при условии, что вращение на бесконечности ε = 0) принимают следующий вид [1]: µ(m 0 C + D ) = m 0A + B 2(m 0Γ + Γ ), µ( C + m 0 D ) = (A + m 0B ) + 2Γ, 2A = σ 11 + σ 22, 2B = σ 22 σ iσ 12, (1.2) C = ε 11 + ε iε, D = ε 11 ε iε 12, m 0 = (a 0 b 0 )/(a 0 + b 0 ), 4Γ = N 1 + N 2, Γ = Γ 0 e 2iα, 2Γ 0 = N 2 N 1 ( = 1, 2), где ε величина вращения в S. Заметим, что напряженно-деформированное состояние в S является однородным, т. е. A, B, C, D не зависят от x 1, x 2 ( = 1, 2). Сформулируем задачу, аналогичную рассмотренной в [1]: можно ли подобрать напряженно-деформированное состояние на бесконечности, т. е. значения главных напряжений N 1, N 2 и угол α 1 (при известном α 1 величина α 2 определяется однозначно, поскольку угол α = α 2 α 1 между осями O 1 x 11 и O 2 x 12 фиксирован), так чтобы в каждом из двух выбранных ЭФНВ главное касательное напряжение принимало требуемое значение, т. е. чтобы выполнялись равенства τ = τ 0 (τ 0 заданные величины; = 1, 2)? В отличие от работы [1], в которой главные направления напряжений на бесконечности задавались, а ориентация включений (т. е. углы α, = 1, 2,...) варьировалась, в данной задаче ищутся главные направления для N 1 и N 2 (и их величины) при заданном угле α между осями симметрии двух ЭФНВ. Покажем, что при некоторых ограничениях решение рассматриваемой задачи существует. Полагая, как в [1], B = τ 0 e iϕ, учитывая, что из (1.1) и (1.2) следуют равенства C = 2iε, D = 2F (τ )B, и исключая из (1.2) величины A, ε, получим 2Γ 0 cos 2α = [(1 m 2 0 ) + β (1 + m 2 0 )]τ 0 cos ϕ, 2Γ 0 sin 2α = [(1 + m 2 0 ) + β (1 m 2 0 )]τ 0 sin ϕ, (1.3) β = 2µF (τ 0 ) ( = 1, 2), α 2 = α 1 + α. Соотношения (1.3) представляют собой систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных: Γ 0, α 1, ϕ 1, ϕ 2. В [1] получены следующие необходимые условия, при которых система может иметь решения: a b 2 Γ 0 a + b, a (1 + β )τ 0 > 0, b m 2 0 (1 β )τ 0, a > b. Эти условия следуют из того, что величина cos 2ϕ, которую можно получить из (1.3), по модулю не может быть больше единицы. (1.4)

3 140 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 44, N- 5 Для того чтобы неравенства (1.4) были справедливы при = 1, 2, необходимо выполнение неравенства max (a b ) min (a + b ). Перебор всех вариантов этого =1,2 =1,2 неравенства дает a 1 b 1 a 2 + b 2 и a 2 b 2 a 1 + b 1, что эквивалентно условию Исключая из (1.3) величины ϕ 1 и ϕ 2, находим a 1 a 2 b 1 + b 2. (1.5) (2Γ 0) 2 = sin2 2α 1 (a 1 + b 1 ) 2 + cos2 2α 1 (a 1 b 1 ) 2 = sin2 2(α 1 + α) (a 2 + b 2 ) 2 + cos2 2(α 1 + α) (a 2 b 2 ) 2. (1.6) Из последнего равенства получим квадратное уравнение относительно tg 2α 1 : (A 2 cos 2 2α + B 2 sin 2 2α A 1 ) tg 2 2α 1 + 2(A 2 B 2 ) sin 2α cos 2α tg 2α 1 + +A 2 sin 2 2α + B 2 cos 2 2α B 1 = 0, (1.7) A = (a + b ) 2, B = (a b ) 2 ( = 1, 2), для дискриминанта D которого имеем D = A sin 2 2α + B, A = (A 1 B 1 )(A 2 B 2 ), B = (A 1 A 2 )(B 2 B 1 ). (1.8) Заметим, что для введенных согласно (1.7) и (1.8) функций A и B имеют место следующие условия эквивалентности (так как a > b, = 1, 2): A > 0 (< 0) b 1 b 2 > 0 (< 0); (1.9) B 0 ( 0) b 1 b 2 a 1 a 2 0 ( 0); (1.10) B + A 0 ( 0) b 1 + b 2 a 1 a 2 0 ( 0). (1.11) Уравнение (1.7) относительно tg 2α 1 будет иметь действительные корни, если D 0. Это условие будет выполняться в следующих случаях: 1) если A > 0 и B 0, т. е. если согласно (1.9), (1.10) b 1 b 2 > 0, a 1 a 2 b 1 b 2 = b 1 b 2 (при этом условие (1.5) будет выполнено, так как b 1 b 2 b 1 + b 2 ), или если A < 0, B > 0 и A+B 0 (так как D A+B), что в силу (1.9) (1.11) эквивалентно неравенствам b 1 b 2 < 0, a 1 a 2 b 1 + b 2 = b 1 b 2, то при любом значении sin 2α; 2) если A > 0 и B < 0, т. е. b 1 b 2 > 0 и a 1 a 2 > b 1 b 2 = b 1 b 2, то при выполнении неравенства sin 2 2α B A = [(a 2 + b 2 ) 2 (a 1 + b 1 ) 2 ][(a 2 b 2 ) 2 (a 1 b 1 ) 2 ] 16a 1 b 1 a 2 b 2, что возможно, если B/A 1, т. е. A + B 0 или согласно (1.11) a 1 a 2 b 1 + b 2 = b 1 + b 2, что совпадает с (1.5); 3) если A < 0, B > 0 и A + B < 0, т. е. b 1 b 2 < 0, b 1 b 2 = b 1 + b 2 < a 1 a 2 < b 1 b 2 = b 1 + b 2, то при выполнении неравенств sin 2 2α < B/A < 1. Таким образом, если то D 0 независимо от sign (b 1 b 2 ). a 1 a 2 b 1 b 2, (1.12)

4 И. Ю. Цвелодуб 141 Если b 1 b 2 < a 1 a 2 < b 1 + b 2, (1.13) то D 0 при sin 2 2α B/A (для A > 0) или при sin 2 2α B/A (для A < 0). По найденным значениям α 1 из (1.6) определяется величина Γ 0, а из (1.3) углы ϕ ( = 1, 2). Как показано в [1], при выполнении неравенства [τβ (τ)] 0 ( = 1, 2) (1.14) (штрих означает дифференцирование по τ), вытекающего из условия устойчивости для определяющих уравнений (1.1), и при заданных Γ 0 и α будут единственным образом определяться τ и ϕ ( π ϕ π), т. е. найденным из решения рассмотренной выше задачи величинам Γ 0 и α будут соответствовать только значения τ = τ 0 ( = 1, 2). Укажем некоторые частные случаи, когда решение уравнения (1.7) относительно α 1 будет существовать. Предположим, что оба ЭФНВ имеют одинаковые свойства, т. е. в (1.1) F = F ( = 1, 2), и требуется, чтобы величина главного касательного напряжения в них была одной и той же: τ 01 = τ 02. В этом случае a 1 = a 2 и неравенство (1.12) выполняется как при m 01 = m 02, так и при m 01 m 02, следовательно, решение существует при любом α, т. е. при любой ориентации включений относительно друг друга. Если τ 01 τ 02, m 01 = m 02 = m 0, то неравенство (1.12) будет нарушено. Действительно, при выполнении неравенства (1.14) обе функции [1 + β(τ) ± m 2 0 (1 β(τ))]τ, где β(τ) = 2µF (τ), являются возрастающими, поэтому при τ 01 > τ 02 имеем a 1 > a 2, a 1 ± b 1 > a 2 ± b 2, откуда a 1 a 2 > b 2 b 1, a 1 a 2 > b 1 b 2, т. е. a 1 a 2 = a 1 a 2 > b 1 b 2 b 1 b 2. Аналогично при τ 02 > τ 01 получим a 1 a 2 > b 1 b 2. Таким образом, в этом случае решение для α 1 будет существовать при выполнении второго неравенства (1.13) и указанных выше ограничениях на величину α. 2. Линейно-вязкая плоскость с нелинейно-вязкими включениями. Сформулируем задачу, аналогичную рассмотренной выше, для изотропной линейно-вязкой плоскости с эллиптическими нелинейно-вязкими включениями (ЭНВВ), расстояния между центрами которых велики по сравнению с их размерами. Упругими деформациями такой неоднородной среды пренебрегаем и считаем ее несжимаемой и находящейся в условиях плоской деформации. Тогда в вязкой области S получим соотношения, аналогичные соотношениям закона Гука (см. п. 1): 4µη 22 = 4µη 11 = σ 22 σ 11, 2µη 12 = σ 12, где η ij компоненты скоростей деформаций; µ коэффициент вязкости. Определяющие уравнения для -го ЭНВВ в системе координат O x 1 x 2, связанной с его осями симметрии, выберем в виде [2, 3] η 22 = η 11 = H 2τ H = σ22 σ 11, η12 2 = H 2τ B 1τ n (1 ω ) q, ω = B 2τ p H = [(η 22 η 11 )2 + 4η 2 12 ]1/2 ( = 1, 2), σ 12, (1 ω ) q, (2.1) где ηij компоненты скоростей деформаций включения; H главная скорость сдвига; ω (0 ω 1) параметр поврежденности (ω = 0 для недеформированного состояния и ω = 1 в момент разрушения); B 1, B 2, n, p, q положительные постоянные; точка означает дифференцирование по времени t; остальные обозначения те же, что в п. 1.

5 142 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 44, N- 5 Соотношения (2.1) можно обратить [2]: σ 22 σ 11 2 = 2τ H η 22, σ 12 = 2τ H η 12, ω = B 0 H γ (1 ω ) æ, B 0 = B 2 B γ 1, γ = p /n, æ = q (γ 1). Соотношения (2.1), (2.2) описывают процессы изотермического деформирования в условиях ползучести и разрушения хрупких и вязких материалов. Связи между напряжениями и деформациями в -м ЭНВВ и на бесконечности будут иметь вид (1.2), где ε ij следует заменить на η ij (i, j = 1, 2), ε на ε, а под µ следует понимать коэффициент вязкости. Задача формулируется следующим образом: можно ли подобрать напряженнодеформированное состояние на бесконечности, т. е. напряжения N 1 и N 2 и угол α 1, так чтобы в каждом из двух выбранных включений главная скорость сдвига принимала требуемое значение, т. е. H = H 0(t), где H 0 (t) ( = 1, 2) заданные функции времени? При t = 0 ЭНВВ находились в недеформированном состоянии, поэтому ω t=0 = 0 ( = 1, 2). Из (1.2) с учетом указанных выше изменений и из (2.2) следуют равенства D = H, C = 2i ε, B = τ H 1 D. Полагая D = H 0 e iϕ, по аналогии с (1.3) получим [3] 2Γ 0 cos 2α = [(1 m 2 0 )τ + µ(1 + m2 0 )H 0] cos ϕ, (2.2) 2Γ 0 sin 2α = [(1 + m 2 0 )τ + µ(1 m2 0 )H 0] sin ϕ, (2.3) τ = [B 1 1 H 0(1 ω ) q ] 1/n ( = 1, 2), α 2 = α 1 + α. Система (2.3) относительно неизвестных величин Γ 0, α 1, ϕ 1, ϕ 2 будет иметь решение только при выполнении неравенств (1.4), в которых следует положить a = τ + µh 0, b = m 2 0 (τ µh 0). (2.4) Величины τ, входящие в (2.3) и (2.4), при заданных функциях H 0(t) находятся после определения параметров поврежденности ω интегрированием третьей группы уравнений (2.2) при начальных условиях ω t=0 = 0 ( = 1, 2). Далее, повторяя выкладки из п. 1, можно получить формулы (1.5) (1.13), в которых a и b будут определяться согласно (2.4). В частности, при выполнении (1.12) решение для α 1 будет существовать при любом угле α между осями симметрии включений; если же имеют место неравенства (1.13), то на величину α налагаются указанные выше ограничения. В [3] показано, что при задании Γ 0 = Γ 0 (t) и α = α (t) из (2.2) и (2.3) будут единственным образом определяться функции H = H (t) и ϕ = ϕ (t) ( π ϕ π), т. е. найденным из решения сформулированной в данном пункте задачи величинам Γ 0 и α будут соответствовать только значения H = H 0. Рассмотренной задаче можно дать иную трактовку: можно ли подобрать напряженное состояние на бесконечности, так чтобы H = H 0(t) и, следовательно, -е включение разрушалось за заданное время t ( = 1, 2)? Действительно, указанные величины связаны равенством [2, 3] (1 æ )B 0 t 0 H γ dt = 1 (æ < 1), которое следует из третьей группы уравнений (2.2) и условий ω t=0 = 0, ω t=t = 1 ( = 1, 2).

6 И. Ю. Цвелодуб 143 В частности, при H = const имеем t 1 = (1 æ )B 0 H γ. Таким образом, можно ставить задачу об оптимальном разрушении двух ЭНВВ, т. е. о разрушении за заданное время t. В заключение сделаем одно замечание. В работе [3] сформулирована задача, аналогичная рассмотренной выше, для включений с фиксированной ориентацией относительно друг друга, причем не исключался случай > 2. Однако в данной постановке это невозможно, поскольку, как показано выше, при задании H 0, α для четырех неизвестных величин Γ 0, α 1, ϕ ( = 1, 2) имеет место замкнутая система четырех уравнений, состоящая из двух первых равенств (2.3), где α 2 = α 1 + α; = 1, 2. Добавление к этой системе пары уравнений, соответствующих, например, значению = 3, приведет к ее переопределенности (шесть уравнений для пяти неизвестных Γ 0, α 1, ϕ ( = 1, 2, 3), поскольку α 2, α 3 будут выражаться через α 1 ), что ставит ограничения на ориентацию других включений, т. е. на углы α при 3. Легко установить, что в общем случае получается 2 уравнений для 2 + неизвестных функций. ЛИТЕРАТУРА 1. Цвелодуб И. Ю. Обратная задача о деформировании физически нелинейной неоднородной среды // ПМТФ Т. 43, 3. С Цвелодуб И. Ю. Об оптимальных путях деформирования и разрушения в условиях ползучести // Изв. РАН. Механика твердого тела С Цвелодуб И. Ю. Об одной задаче оптимального разрушения неоднородной нелинейновязкой среды // Динамика сплошной среды / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики Вып С Поступила в редакцию 18/XII 2002 г.

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2008. Т. 49, N- 1 157 УДК 539.3 О РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск E-mail:

Подробнее

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск 150 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N- 4 УДК 539 АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ХАРАКТЕР ДИАГРАММ σ ε Ю. В. Гриняев, Н. В. Чертова, М. А. Чертов Институт физики прочности

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 4. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ).

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ). Тензор скоростей деформации. Чтобы замкнуть систему пяти дифференциальных уравнений, состоящую из законов сохранения, делают различные предположения о свойствах сплошной среды. Пусть за время dt вектор

Подробнее

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 28. Т. 49, N- 5 69 УДК 539.3 РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева Институт гидродинамики им. М.

Подробнее

КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 56 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 21. Т. 42, N- 3 УДК 532.522.2.13.4:532.594 КОРОТКИЕ КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАСТЯГИВАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Ю. Г. Чесноков Санкт-Петербургский

Подробнее

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями. Деформированным состоянием в точке называется (-ются) ОТВТ: ) совокупность деформаций в точке; ) совокупность нормальных и касательных

Подробнее

Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Краткая теория

Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Краткая теория Лабораторная работа 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Цель работы: определить модуль сдвига материала проволоки методом крутильных колебаний. Краткая теория. Деформация кручения

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 64 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 3 УДК 57.944+59.46 О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. А. Чиркунов Новосибирский

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c 2009. О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Получены необходимые

Подробнее

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 26. Т. 47, N- 6 129 УДК 539.3 ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ В. В. Калашников, М. И. Карякин Ростовский

Подробнее

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ Средняя длина свободного пробега молекулы n, где d эффективное сечение молекулы, d эффективный диаметр молекулы, n концентрация молекул Среднее число соударений, испытываемое молекулой

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н. П. Лазарев, Метод фиктивных областей в задаче о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с жестким препятствием, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех.,

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 001. Т., N- 15 УДК 539.3.01 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко,

Подробнее

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести 126 Теоретическая и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. 2013. Том 5, 2 УДК 531.38 А. А. Адуенко, Н. И. Амелькин Московский физико-технический институт (государственный университет) О предельных движениях волчка

Подробнее

Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса

Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса А.Ш.Акыш, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики МОН РК Казахстан, 5, Алматы, Пушкина, 5, тел. 77) 935, E-mail: akysh4@mail.ru ) Принцип максимума для уравнений Навье-Стокса Аннотация. Современное состояние

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

Факультет нелинейных процессов Кафедра нелинейной физики

Факультет нелинейных процессов Кафедра нелинейной физики Факультет нелинейных процессов Кафедра нелинейной физики Е.Н. Бегинин, М.А. Малюгина КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАЗДЕЛАМ, ИЗУЧАЕМЫМ В КУРСЕ «МЕХАНИКА» Саратов 2008 1 В методических указаниях отражены

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОДЗЕМНОМ ВЗРЫВЕ

ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОДЗЕМНОМ ВЗРЫВЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОДЗЕМНОМ ВЗРЫВЕ Шемякин Е.И. При переходе к изучению пространственных напряженных состояний рассмотрим закономерности затухания волн в среде с трением, считая это состояние предельным

Подробнее

А.И. ЧАНЫШЕВ, О.Е. БЕЛОУСОВА, Е.А. ИГОНИНА. Институт горного дела СО РАН, г. Новосибирск, Россия

А.И. ЧАНЫШЕВ, О.Е. БЕЛОУСОВА, Е.А. ИГОНИНА. Институт горного дела СО РАН, г. Новосибирск, Россия СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Выпуск тринадцатый 0 г. А.И. ЧАНЫШЕВ О.Е. БЕЛОУСОВА Е.А. ИГОНИНА Институт горного дела СО РАН г. Новосибирск Россия ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА - ИШЛИНСКОГО

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ. Кубанский государственный аграрный университет Лаптев В.Н. канд. техн.

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ. Кубанский государственный аграрный университет Лаптев В.Н. канд. техн. УДК 59:5:55 НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ Аршинов ГА канд физ-мат наук Кубанский государственный аграрный университет Лаптев ВН канд техн наук Кубанский государственный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Министерство образования и науки Российской Федерации. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2 Влияние ориентации механических свойств композиционных материалов на динамическое разрушение преград из них при высокоскоростном нагружении Радченко А.В. 1 Радченко П.А. 2 1 Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА УДК 539.3 А. В. Михеев ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Рассматривается вопрос расчета устойчивости ортотропных псевдосферических

Подробнее

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5)

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5) Работа внешних сил Рассмотрим некоторое тело, имеющее объём и поверхность Пусть в момент времени t к телу приложены объёмные силы X и поверхностные Pν Эти силы вызывают в теле перемещения относительно

Подробнее

Математическая модель полета баскетбольного мяча

Математическая модель полета баскетбольного мяча Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Математическое моделирование Математическая модель

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Лабораторная работа 15 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА. Краткая теория.

Лабораторная работа 15 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА. Краткая теория. Лабораторная работа 5 OПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯНИКА Цель работы: определить экспериментально модуль сдвига проволоки методом крутильных колебаний. Краткая теория.. Деформация

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ 0 Энергетические методы определения перемещений 1 Обобщенные силы и перемещения Обобщенной силой (ОС) называется некоторое внешнее силовое воздействие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Чанышев А.И., Белоусова О.Е.

Чанышев А.И., Белоусова О.Е. Четвертая тектонофизическая конференция в ИФЗ РАН "ТЕКТОНОФИЗИКА И АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ НАУК О ЗЕМЛЕ" -7 октября 6 г Москва Россия БЛОЧНО-ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ

Подробнее

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е www.tchina.pro Тычина К.А. IX С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е П о л н о е н а п р я ж е н и е в п р о и з в о л ь н о й п л о щ а д к е Совокупность напряжений для всего множества

Подробнее

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления.

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления. Лекция 14 Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение внутренних усилий, напряжений, положения нейтральной оси при чистом косом изгибе. Деформации при косом изгибе. 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. КОСОЙ

Подробнее

ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ СТРУЖКИ СКАЛЫВАНИЯ ПРИ РЕЗАНИИ МЕТАЛЛОВ

ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ СТРУЖКИ СКАЛЫВАНИЯ ПРИ РЕЗАНИИ МЕТАЛЛОВ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 4 179 УДК 539.374 ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ СТРУЖКИ СКАЛЫВАНИЯ ПРИ РЕЗАНИИ МЕТАЛЛОВ А. М. Коврижных Новосибирский военный институт

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» Кафедра прочности Домашнее задание по дисциплине «Механика материалов

Подробнее

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2000. Том 41, 5 УДК 514.13 ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Приводится пример

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит

Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит Косинский Юрий Иванович Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит Материальная точка массой координат, имеет координату и вектор скорости пройдет путь t и координата радиус-вектора повернется

Подробнее

Вопросы к кандидатскому экзамену по специальной дисциплине «Механика деформируемого твердого тела» 1. Понятие тензора и основные алгебраические

Вопросы к кандидатскому экзамену по специальной дисциплине «Механика деформируемого твердого тела» 1. Понятие тензора и основные алгебраические Вопросы к кандидатскому экзамену по специальной дисциплине «Механика деформируемого твердого тела» 1. Понятие тензора и основные алгебраические операции с тензорами 2. Лагранжевы (материальные) и Эйлеровы

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipeno.stu.neva.ru Дифференциально-разностные уравнения

Подробнее

Факультатив. Частные решения волнового уравнения.

Факультатив. Частные решения волнового уравнения. Факультатив. Частные решения волнового уравнения. Общее решение волнового уравнения можно представить, как суперпозицию его частных решений. Основной метод поиска частных решений дифференциальных уравнений

Подробнее

Специальная теория относительности и закон сохранения импульса. В.Н. Кочетков

Специальная теория относительности и закон сохранения импульса. В.Н. Кочетков Специальная теория относительности и закон сохранения импульса В.Н. Кочетков В статье делается попытка использования закона сохранения импульса замкнутой системы для определения значений постоянных величин

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени:

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

Подробнее

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ Вычислительные технологии Том 1, 1, 1996 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ А. Д. Матвеев Вычислительный центр СО РАН в г.

Подробнее

Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести

Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести Вычислительные технологии Том 13, 5, 2008 Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести А.А. Родионов, И.В. Степанова Институт вычислительного моделирования СО РАН Красноярск,

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е.

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е. Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко Английский ученый Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между

Подробнее

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО + + Множество всех проективных автоморфизмов абсолюта, состоящего из пары мнимо сопряженных прямых, составляют фундаментальную группу G

Подробнее

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Лекция 7 6. Неслоистые течения 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Рассмотрим тело, расположенное в набегающем на него потоке (рис..9). Для определенности будем считать течение плоским, т.е. тело,

Подробнее

Динамика. в инерциальной системе отсчета направлены в противоположные стороны, а отношение модулей ускорений a / a 1 2

Динамика. в инерциальной системе отсчета направлены в противоположные стороны, а отношение модулей ускорений a / a 1 2 Динамика Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых любое тело, не взаимодействующее с другими телами, движется равномерно и прямолинейно Системы отсчета, существование

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск 12 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 24. Т. 45, N- 4 УДК 532.582 ДВИЖЕНИЕ ШАРА В ЖИДКОСТИ, ВЫЗЫВАЕМОЕ КОЛЕБАНИЯМИ ДРУГОГО ШАРА О. С. Пятигорская, В. Л. Сенницкий Институт гидродинамики им. М. А.

Подробнее

7.4. Удар материальной точки о неподвижную поверхность

7.4. Удар материальной точки о неподвижную поверхность ЛЕКЦИЯ 6 74 Удар материальной точки о неподвижную поверхность 74 Прямой удар Удар называется прямым если скорость точки перед ударом направлена по нормали к поверхности в точке удара М (рис 77) Для оценки

Подробнее

Резонансные вращения спутника с двухстепенным силовым гироскопом на круговой орбите

Резонансные вращения спутника с двухстепенным силовым гироскопом на круговой орбите ТРУДЫ МФТИ. 2013. Том 5, 4 Аэрокосмические исследования 11 УДК 531.36 Н. И. Амелькин 1, А. В. Сумароков 2 1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Ракетно-космическая корпорация

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 25 Устойчивость продольно сжатых стержней

ЛЕКЦИЯ 25 Устойчивость продольно сжатых стержней В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Устойчивость продольно сжатых стержней 1 Понятие об устойчивости форм равновесия. Критическая сила Под устойчивостью механической системы вообще

Подробнее

СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Н.А. Гладков, А.Н. Морозов, Е.В. Онуфриева

СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Н.А. Гладков, А.Н. Морозов, Е.В. Онуфриева МГТУ им. Н.. Баумана Н.А. Гладков, А.Н. Морозов, Е.В. Онуфриева СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ Методические указания к лабораторной работе М05 по курсу общей физики 04 Цель работы - изучение свободных колебаний механической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

Для описания движения материальной точки нужно ввести какую-либо систему координат. Ниже мы рассмотрим наиболее употребительные системы.

Для описания движения материальной точки нужно ввести какую-либо систему координат. Ниже мы рассмотрим наиболее употребительные системы. Предмет механики Механика изучает механическое движение тел. Механическое движение это изменение положения тела с течением времени. Собственно механика имеет дело с такими системами, движение которых можно

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МАССИВАХ ГОРНЫХ ПОРОД

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МАССИВАХ ГОРНЫХ ПОРОД ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МАССИВАХ ГОРНЫХ ПОРОД Новосибирск 2009 Программа дисциплины «Теория упругости и поля напряжений в массивах горных пород» составлена в соответствии

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ПРОВОЛОКИ В ПРОЦЕССЕ СВИВКИ МЕТАЛЛОКОРДА С. В. Авсейков Учреждение образования «Гомельский государственный

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ПРОВОЛОКИ В ПРОЦЕССЕ СВИВКИ МЕТАЛЛОКОРДА С. В. Авсейков Учреждение образования «Гомельский государственный ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ПРОВОЛОКИ В ПРОЦЕССЕ СВИВКИ МЕТАЛЛОКОРДА С. В. Авсейков Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Беларусь

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, N- 1 161 УДК 539.376 РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА А. А. Должковой,

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Предельная нагрузка для стержневой системы

Предельная нагрузка для стержневой системы Л е к ц и я 18 НЕУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ Ранее, в первом семестре, в основном, использовался метод расчета по допускаемым напряжениям. Прочность изделия считалась обеспеченной, если напряжение в опасной

Подробнее

В.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В КОНСТРУКЦИЯХ РЭС ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ УДАРНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ МОДЕЛИ

В.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В КОНСТРУКЦИЯХ РЭС ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ УДАРНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ МОДЕЛИ Таньков Г.В., Селиванов В.Ф., Трусов В.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В КОНСТРУКЦИЯХ РЭС ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ УДАРНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ МОДЕЛИ Действие динамических внешних нагрузок на радиоэлектронные

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Q = 60 кн, M = 120 кнм, α = 45, β = 30, f = 0.1. B Q A

Q = 60 кн, M = 120 кнм, α = 45, β = 30, f = 0.1. B Q A 80 Равновесие при наличии трения Раздел 3 0. C β Q P α 4 4 Q = 60 кн, = 0 кнм, α = 45, β =, f = 0.. B 4 7 Ответы P min N (min) P max N (max) 35.09 8.38 5.080 05.97 47.39.76 54.669 7.08 3 48.95 36.66 63.360

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Доц. Кузьменко В.С. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Студент группы Допуск Выполнение Защита Цель работы: изучить виды деформации твердого тела и определить

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ

ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 4 7 УДК 621.9.047 ЭВОЛЮЦИЯ ФОРМЫ АНОДНОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ Л. М. Котляр, Н. М. Миназетдинов Камский государственный

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее