ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами."

Транскрипт

1 ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой функции некоторое число, то на этом множестве задан функционал Будем рассматривать функционалы, действующие из линейного нормированного пространства E в пространство вещественных чисел : E Итак, функционал это оператор, множество значений которого состоит из чисел Будем рассматривать следующие линейные пространства E (или их подмножества E ' ): ) C [, ] пространство непрерывных на [, ] функций, в котором определена норма y = mx y( x) C [, ] x [, ] ) C () [, ] пространство функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на [, ] Норма в этом пространстве определяется как y = mx y ( x ) + mx y ( x ) C () [, ] x [, ] x [, ] Определение Функционал V [y] называется непрерывным в точке y E, если для ε > δ > такое, что при y E: y y δ выполняется неравенство V[ y] V[ y] ε Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке y E', если функционал рассматривается только на множестве E ' Функционал называется непрерывным на всём пространстве E (множестве E '), если он непрерывен в каждой точке E (E') Определение Точка y является точкой локального минимума (максимума) функционала V [y], если найдется число r > такое, что для любого y E: y y E r выполнено неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Пусть y E - произвольная фиксированная точка, h E - произвольный элемент E Рассмотрим функцию вещественной переменной t Φ ( t ) V[ y + th], t вещественное число Определение Если для любого h E существует Φ () t t= = V[ y + th] t=, то эта t производная называется вариацией (слабой вариацией) функционала V в точке y и обозначается δ V ( y, h) Очевидно, что V[ y + th] V[ y] = tδv( y, h) + o( t ) Определение Функционал V[ y ] называется дифференцируемым в точке y, если для любого h E V[ y + h] V[ y] = V( y, h) + o( h ), где V ( y, h) - линейный и непрерывный по h функционал, который иногда называют сильной вариацией в точке y, в то время как функционал (от h) δ V ( y, h) - слабой вариацией в точке y Если существует сильная вариация, то существует и вариация (слабая вариация) Обратное, вообще говоря, неверно 65

2 Теорема (необходимое условие экстремума) Пусть y E - точка экстремума V [y] и существует δ V ( y, h) для всякого h E Тогда δ V ( y, h) = Конкретизируем вид функционала и множество допустимых функций Рассмотрим функционал V[ y] = F( x, y, ) на множестве функций { () [, ], ( ), ( ) } 66 E E = C [, ] таком, что E = y C y = A y = B Простейшая задача вариационного исчисления (задача с закрепленными концами): среди всех функций из множества E определить ту, которая реализует экстремум функционала V[ y] F( x, y, ) = Определение Функционал достигает сильного минимума (максимума) на функции y( x ), если найдется число r > такое, что для любой функции из сильной окрестности y( x ), те y E : y y C [, ] = mx y( x) y( x) r, x [, ] выполнено неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Определение Функционал достигает слабого минимума (максимума) на функции y( x ), если найдется число r > такое, что для любой функции из слабой окрестности y( x ), те y E : y y () = mx y( x) y [, ] ( x) + mx ( x) ( x) r, выполнено C x [, ] [, ] неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Ясно, что если на функции y( x ) реализуется сильный экстремум, то имеет место и слабый в той же точке Обратное, вообще говоря, неверно Теорема (необходимое условие экстремума в задаче с закрепленными концами) ) Пусть yx ( ) реализует экстремум (сильный или слабый) функционала V[ y] = F( x, y, ) с условиями y ( ) = A, y ( ) = B и является дважды непрерывно дифференцируемой ) Пусть функция F( x, y, ) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно при x [, ] и в некоторой области изменения y и, содержащей yx ( ) Тогда yx ( ) является решением краевой задачи для уравнения Эйлера Fy F = ; y( ) = A, y( ) = B Решения этой задачи называются экстремалями функционала V[ y] F( x, y, ) = Так как уравнение Эйлера, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка, то решение его может быть как единственным, так и не единственным, и может не существовать вовсе Приемы интегрирования уравнения Эйлера зависят от конкретного вида функции F( x, y, ) Приведем некоторые примеры для некоторых, часто встречающихся случаев F не зависит от : F( x, y, ) = F( x, y) Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид Fy ( x, y ) =, те является не дифференциальным, а алгебраическим, поэтому его решение (если оно существует) представляет собой одну или несколько кривых, которые, вообще говоря, не удовлетворяют граничным условиям y ( ) = A, y ( ) = B Итак, решение краевой задачи для уравнения Эйлера в рассматриваемом случае, вообще говоря, не существует

3 F зависит от линейно: F( x, y, ) = M( x, y) + N( x, y) Уравнение Эйлера имеет вид M y + yn y N( x, y) = M y + Ny Nx Ny =, те M N = y x Полученное уравнение не является дифференциальным, поэтому краевая задача для уравнения Эйлера также, вообще говоря, не имеет решения M N В частном случае выражение M ( xy, ) + Nxyy (, ) является полным y x дифференциалом, и значение функционала ( B, ) не зависит от выбора кривой, V[ y] = F( x, y, ) = M ( x, y) + N( x, y) y (, A) соединяющей точки ( A, ) и (, B ) F зависит только от : F( x, y, ) = F( ) Уравнение Эйлера имеет вид Fyy ( ) = Далее возможны два варианта: а) =, тогда общее решение есть yx ( ) = Cx + C, где C, C - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий; б) Fyy ( ) =, тогда = ki, где k i - корни алгебраического уравнения F () t =, и соответствующие решения yi( x) = kix+ C i являются частными случаями п а) Поэтому, решениями уравнения Эйлера в обоих случаях а) и б) являются прямые F не зависит от y : F( x, y, ) = F( x, ) Уравнение Эйлера принимает вид F ( x, y ) = и имеет первый интеграл F ( x, ) = C, где С - произвольная постоянная Дальнейшее интегрирование производится путем разрешения относительно производной, либо путем введения параметра 5 F не зависит от x : F( x, y, ) = F( y, ) Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид Fy Fy Fyy = Умножив на, получим ( F y Fy ) = и найдем первый интеграл F F = C Дальнейшее интегрирование также производится методами, развитыми для дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной Итак, если экстремаль существует, то она, как правило, может быть включена в однопараметрическое семейство решений уравнения Эйлера y = y( x, C) Определение Если через каждую точку области G на плоскости xoy проходит единственная кривая семейства y = y( x, C), то это семейство называют собственным полем в области G Определение Если все кривые семейства y = y( x, C) проходят через некоторую точку ( x, y) G (центр пучка), а через каждую точку области, отличную от ( x, y ), проходит одна и только одна кривая семейства, то y = y( x, C) называют центральным полем в области G Выбор любой точки области G (кроме центра пучка во втором случае) определяет единственную экстремаль, проходящую через эту точку, и задает в области G некоторую 67

4 функцию p( xy, ) - наклон поля экстремалей: p( xy, ) в каждой точке ( x, y) G равна тангенсу угла наклона той экстремали, которая проходит через эту точку Сформулируем достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Достаточные условия Вейерштрасса Пусть функция y= y( x) удовлетворяет необходимому условию экстремума, те является экстремалью в задаче с закрепленными концами Будем считать, что экстремаль y= y( x) на сегменте [, ] может быть включена в поле экстремалей (собственное или центральное) Рассмотрим кривые y= y( x), удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и () экстремаль y= y( x), y( x) C [, ] (кривые сравнения) Функция Exypy (,,, ) = Fxyy (,, ) Fxyp (,, ) ( pf ) p ( xyp,, ) называется функцией Вейерштрасса В аргументах функции Exyp (,,, ) через обозначается производная кривой сравнения yx ( ) в точке ( x, y ), а через p = pxy (, ) - наклон поля экстремалей в этой точке Приращение функционала V[ y ] выражается через функцию Вейерштрасса ( y( x ) - исследуемая экстремаль, а yx ( ) - кривая сравнения): V = V[ y( x)] V[ y ( x)] = E( x, y( x), p( x, y( x)), y'( x)) Поэтому достаточным условием достижения функционалом V[ y ] экстремума на экстремали y( x ) является знакоопределенность функции Exyp (,,, ) в окрестности экстремали y( x ) Экстремум будет слабым или сильным в зависимости от того, в слабой или сильной окрестности экстремали y( x ) сохраняет знак функция Вейерштрасса Достаточные условия слабого экстремума: Кривая y= y( x) доставляет слабый экстремум функционалу V[ y] F( x, y, ) = в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B, если: ) кривая y= y( x) является экстремалью функционала, те является решением краевой задачи для уравнения Эйлера с условиями y ( ) = A, y ( ) = B; ) экстремаль y= y( x) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [ ;, ] ) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках слабой окрестности экстремали y= y( x), те в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для значений, близких к значениям p( xy, ) ( p( xy, ) - заданная функция, так как определено поле экстремалей) Если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый минимум, если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый максимум Достаточные условия сильного экстремума Кривая y= y( x) доставляет сильный экстремум функционалу V[ y] F( x, y, ) = в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B, если: ) кривая y= y( x) является экстремалью функционала те является решением краевой задачи для уравнения Эйлера с условиями y ( ) = A, y ( ) = B; ) экстремаль y= y( x) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [ ;, ] 68

5 ) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках сильной окрестности экстремали y= y( x), те в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений Если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) сильный минимум, если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) сильный максимум Достаточное условие отсутствия экстремума Если в точках экстремали y= y( x) при некоторых значениях функция Е имеет противоположные знаки, то сильный экстремум на y( x ) не достигается Если в точках экстремали y= y( x) при значениях сколь угодно близких к p( xy,, ) функция Е имеет противоположные знаки, то на y( x ) не достигается и слабый экстремум Достаточные условия Лежандра Пусть функция F( x, y, ) имеет непрерывную вторую производную Fyy ( x, y, ) и экстремаль y= y( x) включена в поле экстремалей Достаточные условия слабого экстремума ( F исследуется на самой экстремали y= y( x) ) Если на экстремали y= y( x) F >, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый yy минимум; если на экстремали y= y( x) F yy <, то функционал V[ y ] имеет на y( x) слабый максимум Достаточные условия сильного экстремума (( F yy исследуется в сильной окрестности экстремали y= y( x) ) Если F yy в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений, то V[ y ] имеет на экстремали y( x ) сильный минимум Если F yy в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений y ', то V[ y ] имеет на экстремали y( x ) сильный максимум yy Примеры решения задач Пример 8 Вычислить вариацию функционала V[ y] = y () + ( xy+ ) в точке у Решение Найдем сначала вариацию функционала V[ y ], воспользовавшись первым определением (слабую вариацию): δv ( y, h) V[ y + th] = ( y() + th()) + [ x( y( x) + th( x)) + ( ( x) + th ( x)) ] = t t t = y() h() + [ x h( x) + h ( x)] = t= Теперь воспользуемся вторым определением и найдем вариацию как линейную часть приращения функционала в точке у (сильную вариацию) Зададим приращение аргумента функционала - произвольную непрерывно дифференцируемую функцию hx ( ): h( ) = h() =, и вычислим приращение V = V[ y+ h] V[ y] = 69

6 = [ y() + h()] y () + [ x( y( x) + h( x)) + ( ( x) + h ( x)) ] [ xy( x) + ( x)] = = y() h() + [ x h( x) + ( x) h ( x)] + h () + h ( x) Линейная относительно h часть приращения - первые два слагаемые последнего равенства - и есть искомая (сильная) вариация V[ y, h] = y() h() + [ x h( x) + h ( x)], которая в данном случае совпадает с полученной ранее (слабой) вариацией δ V[ y, h] Пример 8 Найти экстремаль функционала [ ] = ( + ) V y y y с дополнительными условиями y() =, y() = Доказать, что на полученной экстремали достигается экстремум функционала а) путем непосредственного вычисления приращения функционала; б) применив достаточные условия в форме Вейерштрасса и Лежандра Решение Уравнение Эйлера для функционала в исследуемой задаче y = имеет x x общее решение y= Ce + Ce Граничным условиям удовлетворяет экстремаль y( x) а) Непосредственное вычисление приращения функционала на кривой y( x) дает [ ] [ ( ) ] ( ' ) V = V y V y x = y + y Поэтому на ней реализуется сильный (а, следовательно, и слабый) минимум б) Заметим, что экстремаль y( x) при x [,] может быть включена в собственное поле экстремалей y x = Ce Функция Вейерштрасса Exypy y y y p y p p ( y p) (,,, ') = + ' ( ' ) = ' при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) реализует сильный (и слабый) минимум F yy ' ' = > при любых y,, поэтому выполнено достаточное условие Лежандра Функционал на экстремали y( x) достигает сильного (и слабого) минимума Пример 8 Найти экстремаль функционала 7 [ ] = ( ) V y xy y с дополнительными условиями y( ) =, y() = Доказать, что на полученной экстремали достигается экстремум функционала а) путем непосредственного вычисления приращения функционала; б) применив достаточные условия в форме Вейерштрасса и Лежандра Решение Уравнение Эйлера для функционала в рассматриваемой задаче + 6x= имеет общее решение y= x + Cx+ C Граничным условиям удовлетворяет экстремаль y( x) = x

7 а) Зададим приращение аргумента функционала - произвольную непрерывно дифференцируемую функцию hx ( ), удовлетворяющую условиям h( ) = h() =, - и вычислим приращение функционала на экстремали y( x) = x : V = V[ x + h] V[ x ] = [ x( x + h( x)) ( x + h ( x)) ] [ x( x ) ( x ) ] = = [ x hx ( ) + 6 xh ( x) h ( x)] = [ xhx ( ) h ( x)] + 6 xh ( x ) = инт по частям = = 6 xhx ( ) xhx ( ) + [ xhx ( ) h ( x)] = h ( x ) Итак, V независимо от (в сильной окрестности), поэтому на экстремали y( x) = x реализуется сильный (а, следовательно, и слабый) максимум б) Заметим, что экстремаль y( x) = x при x [,] может быть включена в собственное поле экстремалей (решений уравнения Эйлера) y= x + C Функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = xy ( xy p) ( p)( p) = ( p) при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) = x Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) = x реализует сильный (и слабый) максимум F yy = < при любых y,, поэтому выполнено достаточное условие Лежандра Функционал на экстремали y( x) = x достигает сильного (и слабого) максимума [ ] [ ( ) ( ) ϕ( )] Пример 8 Пусть V y = p x y + q x y + y x, где функция px ( ) > - непрерывно дифференцируема, а qx ( ) и ϕ ( x) непрерывные на [, ] функции а) Записать уравнение для экстремалей в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B б) Показать, что если y( x ) является экстремалью функционала V[ y ], то на ней реализуется минимум этого функционала Решение Уравнение Эйлера для экстремалей изучаемого функционала имеет вид ( p ( xy ) ) qxy ( ) = ϕ( x ) Нетрудно показать, что при сформулированных предположениях на функции p( x), q( x), ϕ ( x), это уравнение с дополнительными условиями y ( ) = A, y ( ) = B имеет единственное решение y = y( x), которое и определяет экстремаль в рассматриваемой задаче Зададим hx ( ): h ( ) = h ( ) = и определим знак приращения функционала на исследуемой экстремали: 7

8 V = V[ y ( x) + h( x)] V[ y ( x)] = [ p( x)(( y + h) y ) + q( x)(( y + h) y ) + ϕ( x) h ] = [ pxyh ( ) qx ( ) yh ϕ( xh ) ] pxh ( ) ( x ) qxh ( ) ( x ) = > > так как первое слагаемое в этой сумме обращается в ноль Действительно, интегрируя по частям первое слагаемое, получим ϕ =, тк h ( ) = h ( ) = = всилуур яэйлера [ pxyh ( ) + qx ( ) yh+ ( xh ) ] = pxy ( ) ( xhx ) ( ) + [ ( pxy ( ) ) + qx ( ) y+ ϕ( x)] hx ( ) = Итак, V = V[ y( x) + h( x)] V[ y( x)] >, поэтому на экстремали y = y( x) достигается минимум исследуемого функционала, что и требовалось доказать, Пример 85 Исследовать на экстремум функционал условиями y () =, y ( ) = ( >, > ) V[ y] = с граничными Решение Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид = Семейство экстремалей определяется формулой y= Cx+ C Граничным условиям удовлетворяет единственная экстремаль y= x Найденная экстремаль может быть включена в собственное поле y= x+ C, наклон поля экстремалей p = Функция Вейерштрасса имеет вид Exypy (,,, ) = p ( p) p= ( p) ( + p) и знак ее определяется знаком выражения + p= + Следовательно, Exyp (,,, ) может менять знак в зависимости от Поэтому сильного экстремума на исследуемой экстремали нет Вместе с тем, функция Вейерштрасса сохраняет знак, если близко к p = > (наклону поля экстремалей), те + p= + и неравенство Exyp (,,, ) выполнено для всех кривых сравнения y= y( x) из некоторой слабой окрестности экстремали y= x Таким образом, на экстремали y= x, согласно достаточному условию Вейерштрасса, достигается слабый минимум 7

9 Пример 86 Показать, что в задаче с закрепленными концами [ ] = ( ), () =, ( ) = V y y y y y а) в случае = π < π на экстремали y( x) реализуется сильный максимум функционала; б) в случае = > π функция y( x) также является единственной экстремалью в рассматриваемой задаче, причем функция Вейерштрасса сохраняет знак на этой кривой, однако экстремум на ней не достигается; в) в случае = π экстремаль определяется не единственным образом Решение Уравнение Эйлера имеет вид + y = Его общее решение есть y= Csin x + Ccos x Граничным условиям y () =, y= ( ), как в случае а), так и в случае б) удовлетворяет единственная функция y( x) π а) Если x [, ], то экстремаль y( x) может быть включена, например, в центральное поле экстремалей y= Csin x Функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = y ( y p) + ( p)p= ( p) при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) реализует сильный (и слабый) максимум б) Если x [, ], то функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = ( p) также сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Заметим, что V[ y ] = и докажем, что на функции y( x) не достигается слабый (следовательно, и сильный) экстремум Рассмотрим последовательность ϕ ( ) sin n x = x Ясно, что при достаточно больших n 5 x x п выполнено ϕn y π = mx sin + mx cos r, те все указанные C [, ] π 5 x [, ] n 5 π x [, ] 5n функции, начиная с некоторого номера, принадлежат слабой окрестности y( x) Однако n n n x 6 x 9 x V[ ϕ n] = sin cos cos V[] 5 = > = 5 5 5, 5 следовательно, на функции y( x) слабый (и сильный) максимум не достигается n Рассмотрим последовательность ψ n( x) = sin x Ясно, что при достаточно n 5 nx nx больших п выполнено ψ n y π = mx sin + mx cos r, те все C [, ] π n 5 π 5n 5 5 x [, ] x [, ] 5 5 указанные функции, начиная с некоторого номера, принадлежат слабой окрестности y( x) 7

10 Однако, при достаточно больших n nx 6 nx 6 n 5 5n 5 8 n 5n V[ ψ n] = sin cos = < = V[] Следовательно, на функции y( x) минимум также не достигается Причина указанного явления состоит в том, что экстремаль y( x) нельзя включить в поле экстремалей при x [, ], так как все решения уравнения Эйлера y= Csin x + Ccos x, удовлетворяющие одному из граничных условий y () = или 5 y( π ) =, обращаются в ноль одновременно еще в одной точке x [, ] Например, если потребовать y () =, то все кривые семейства y= Csin x обращаются в ноль при x = π [, ] в) В случае = π уравнение Эйлера + y = имеет семейство решений y= Csin x, удовлетворяющих граничными условиям y () =, y( π ) =, следовательно, экстремаль определяется не единственным образом Легко проверить, что в этом случае на любой функции семейства y= Csin x выполнено π [ ] = ( ) = V y y y Пример 87 Пусть тело перемещается по кривой y = y( x) со скоростью v такой, что v = v( x, y) = y Какова должна быть траектория его движения, чтобы тело попало из точки y ( ) = Aв точку y ( ) = B за минимальное время? Решение Время, необходимое для перемещения из точки ( y, ( )) в точку (, y ()) по s + заданной кривой y = y( x), определяется функционалом t = = V[ y] vxy (, ) y Таким образом, решение поставленной задачи дается экстремалями функционала V[ y ] при условиях y ( ) = A, y ( ) = B Уравнение Эйлера в рассматриваемом случае Fy F = Fy Fyy Fyy = Умножая на, получим ( F yfy ) =, и найдем первый интеграл + cost = = C Положим = tgt, тогда y =, y y + y + C y cost t sin t = = ctg t y =, откуда x = + C Исключив параметр t, получим C C ( x C) + y =, те экстремалями задачи являются окружности с центрами на оси х C Итак, искомая траектория движения тела - дуга окружности с центром на оси х, соединяющая точки ( A, ) и (, B ) Легко видеть, что такая окружность определяется единственным образом при заданных дополнительных условиях y ( ) = A, y ( ) = B 7

11 Найти вариацию функционала 8 V[ y] = yy 8 V[ y] = ( x+ y) [ ] = ( ) V y y y π V[ y] = sin y Задачи для самостоятельного решения Исследовать на экстремум функционалы в задаче с закрепленными концами (найти экстремали и проверить достаточные условия каким либо способом): x V[ y] = e y + y () =, y () = e y e x y(), y() V[ y] = y() =, y() = ln V[ y] = = = V[ y] = y() =, y( ) = ( >, > ) x y() =, y() = π [ ] = ( ) y() =, y( π ) = [ ] = ( + ) y( ), y() V[ y] = ( + ) V y y y V y y x y = = V[ y] = ( + ) y( ) =, y() = [ ] = ( ) V y xy yy y() =, y() = V[ y] = ( e ) y() =, y( ) = ( > ) + π π 85 Найти семейство экстремалей функционала V[ y] =, < < < x 86 Среди всех кривых, соединяющих точки (, ch) и (, ch ), определить ту, которая при вращении вокруг оси Ox образует поверхность наименьшей площади 75

12 8 δv = ( yh + yh ) ( δy = h( x)) 8 δv = h( x) ( δy = h( x)) 8 δv = ( yh yh ) ( δy = h( x)) 8 π Ответы к задачам δv = ( cosy h+ sin y h ) ( δy = h( x)) 85 Экстремаль x yx ( ) = e реализует сильный (и слабый) минимум 86 Экстремаль yx ( ) = ln( x+ ) реализует сильный (и слабый) минимум 87 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 88 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 89 Экстремаль ln( x + ) yx ( ) = реализует сильный (и слабый) минимум ln 8 Экстремаль yx ( ) = sinx+ cosx реализует сильный (и слабый) максимум 8 На непрерывных кривых экстремум не достигается 8 Экстремаль yx ( ) = x+ реализует слабый минимум 8 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 8 На экстремали yx ( ) = x: при < достигается слабый минимум; при > - слабый максимум; при = - экстремума нет 85 Окружности x + ( y C) = C 86 yx ( ) = chx 76

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Утверждено Редакционно-издательским советом

Подробнее

Семинар 12. Вариационное исчисление

Семинар 12. Вариационное исчисление Семинар 12 Вариационное исчисление О. Если каждой функции (из некоторого нормированного пространства вещественнозначных функций ) поставлено в соответствие некоторое (вещественное) число, то говорят, что

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи. ТЕМА Условный экстремум Задача Лагранжа Изопериметрические задачи Основные определения и теоремы В вариационных задачах на условный экстремум множество функций, на которых исследуется функционал, подчиняется

Подробнее

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю.В. ТРАКИМУС, Д.В. ВАГИН ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания I. В первом задании предлагаетcя изменить порядок интегрирования, нариcовать облаcть интегрирования и вычиcлить двойной интеграл.

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля Варианты задач 21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля 21.1. Постановка задачи. Общие сведения Рассматривается краевая задача Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λy, (1) где при x (, b) p(x) непрерывно

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

Основы математического анализа

Основы математического анализа Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов Преподаватель может разнообразить стандартные задачи Задание 1 (сдать к 4 октября) 1. Построить график функции y = 3x+2 2x 3. 2. Построить

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Семинар 5. Частные производные

Семинар 5. Частные производные Семинар 5 Частные производные О. Пусть M 0 (x 1,, x m ) внутренняя точка D(f). Частной производной (ч.п.) функции f(x 1,, x m ) по переменной x k в точке M 0 называется предел f xk (M 0 ) = f (M x 0 )

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра Информационных технологий и моделирования ГЛНохрина ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее