ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами."

Транскрипт

1 ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой функции некоторое число, то на этом множестве задан функционал Будем рассматривать функционалы, действующие из линейного нормированного пространства E в пространство вещественных чисел : E Итак, функционал это оператор, множество значений которого состоит из чисел Будем рассматривать следующие линейные пространства E (или их подмножества E ' ): ) C [, ] пространство непрерывных на [, ] функций, в котором определена норма y = mx y( x) C [, ] x [, ] ) C () [, ] пространство функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на [, ] Норма в этом пространстве определяется как y = mx y ( x ) + mx y ( x ) C () [, ] x [, ] x [, ] Определение Функционал V [y] называется непрерывным в точке y E, если для ε > δ > такое, что при y E: y y δ выполняется неравенство V[ y] V[ y] ε Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке y E', если функционал рассматривается только на множестве E ' Функционал называется непрерывным на всём пространстве E (множестве E '), если он непрерывен в каждой точке E (E') Определение Точка y является точкой локального минимума (максимума) функционала V [y], если найдется число r > такое, что для любого y E: y y E r выполнено неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Пусть y E - произвольная фиксированная точка, h E - произвольный элемент E Рассмотрим функцию вещественной переменной t Φ ( t ) V[ y + th], t вещественное число Определение Если для любого h E существует Φ () t t= = V[ y + th] t=, то эта t производная называется вариацией (слабой вариацией) функционала V в точке y и обозначается δ V ( y, h) Очевидно, что V[ y + th] V[ y] = tδv( y, h) + o( t ) Определение Функционал V[ y ] называется дифференцируемым в точке y, если для любого h E V[ y + h] V[ y] = V( y, h) + o( h ), где V ( y, h) - линейный и непрерывный по h функционал, который иногда называют сильной вариацией в точке y, в то время как функционал (от h) δ V ( y, h) - слабой вариацией в точке y Если существует сильная вариация, то существует и вариация (слабая вариация) Обратное, вообще говоря, неверно 65

2 Теорема (необходимое условие экстремума) Пусть y E - точка экстремума V [y] и существует δ V ( y, h) для всякого h E Тогда δ V ( y, h) = Конкретизируем вид функционала и множество допустимых функций Рассмотрим функционал V[ y] = F( x, y, ) на множестве функций { () [, ], ( ), ( ) } 66 E E = C [, ] таком, что E = y C y = A y = B Простейшая задача вариационного исчисления (задача с закрепленными концами): среди всех функций из множества E определить ту, которая реализует экстремум функционала V[ y] F( x, y, ) = Определение Функционал достигает сильного минимума (максимума) на функции y( x ), если найдется число r > такое, что для любой функции из сильной окрестности y( x ), те y E : y y C [, ] = mx y( x) y( x) r, x [, ] выполнено неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Определение Функционал достигает слабого минимума (максимума) на функции y( x ), если найдется число r > такое, что для любой функции из слабой окрестности y( x ), те y E : y y () = mx y( x) y [, ] ( x) + mx ( x) ( x) r, выполнено C x [, ] [, ] неравенство V[ y] V[ y] ( V[ y] V[ y] ) Ясно, что если на функции y( x ) реализуется сильный экстремум, то имеет место и слабый в той же точке Обратное, вообще говоря, неверно Теорема (необходимое условие экстремума в задаче с закрепленными концами) ) Пусть yx ( ) реализует экстремум (сильный или слабый) функционала V[ y] = F( x, y, ) с условиями y ( ) = A, y ( ) = B и является дважды непрерывно дифференцируемой ) Пусть функция F( x, y, ) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно при x [, ] и в некоторой области изменения y и, содержащей yx ( ) Тогда yx ( ) является решением краевой задачи для уравнения Эйлера Fy F = ; y( ) = A, y( ) = B Решения этой задачи называются экстремалями функционала V[ y] F( x, y, ) = Так как уравнение Эйлера, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка, то решение его может быть как единственным, так и не единственным, и может не существовать вовсе Приемы интегрирования уравнения Эйлера зависят от конкретного вида функции F( x, y, ) Приведем некоторые примеры для некоторых, часто встречающихся случаев F не зависит от : F( x, y, ) = F( x, y) Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид Fy ( x, y ) =, те является не дифференциальным, а алгебраическим, поэтому его решение (если оно существует) представляет собой одну или несколько кривых, которые, вообще говоря, не удовлетворяют граничным условиям y ( ) = A, y ( ) = B Итак, решение краевой задачи для уравнения Эйлера в рассматриваемом случае, вообще говоря, не существует

3 F зависит от линейно: F( x, y, ) = M( x, y) + N( x, y) Уравнение Эйлера имеет вид M y + yn y N( x, y) = M y + Ny Nx Ny =, те M N = y x Полученное уравнение не является дифференциальным, поэтому краевая задача для уравнения Эйлера также, вообще говоря, не имеет решения M N В частном случае выражение M ( xy, ) + Nxyy (, ) является полным y x дифференциалом, и значение функционала ( B, ) не зависит от выбора кривой, V[ y] = F( x, y, ) = M ( x, y) + N( x, y) y (, A) соединяющей точки ( A, ) и (, B ) F зависит только от : F( x, y, ) = F( ) Уравнение Эйлера имеет вид Fyy ( ) = Далее возможны два варианта: а) =, тогда общее решение есть yx ( ) = Cx + C, где C, C - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий; б) Fyy ( ) =, тогда = ki, где k i - корни алгебраического уравнения F () t =, и соответствующие решения yi( x) = kix+ C i являются частными случаями п а) Поэтому, решениями уравнения Эйлера в обоих случаях а) и б) являются прямые F не зависит от y : F( x, y, ) = F( x, ) Уравнение Эйлера принимает вид F ( x, y ) = и имеет первый интеграл F ( x, ) = C, где С - произвольная постоянная Дальнейшее интегрирование производится путем разрешения относительно производной, либо путем введения параметра 5 F не зависит от x : F( x, y, ) = F( y, ) Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид Fy Fy Fyy = Умножив на, получим ( F y Fy ) = и найдем первый интеграл F F = C Дальнейшее интегрирование также производится методами, развитыми для дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной Итак, если экстремаль существует, то она, как правило, может быть включена в однопараметрическое семейство решений уравнения Эйлера y = y( x, C) Определение Если через каждую точку области G на плоскости xoy проходит единственная кривая семейства y = y( x, C), то это семейство называют собственным полем в области G Определение Если все кривые семейства y = y( x, C) проходят через некоторую точку ( x, y) G (центр пучка), а через каждую точку области, отличную от ( x, y ), проходит одна и только одна кривая семейства, то y = y( x, C) называют центральным полем в области G Выбор любой точки области G (кроме центра пучка во втором случае) определяет единственную экстремаль, проходящую через эту точку, и задает в области G некоторую 67

4 функцию p( xy, ) - наклон поля экстремалей: p( xy, ) в каждой точке ( x, y) G равна тангенсу угла наклона той экстремали, которая проходит через эту точку Сформулируем достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Достаточные условия Вейерштрасса Пусть функция y= y( x) удовлетворяет необходимому условию экстремума, те является экстремалью в задаче с закрепленными концами Будем считать, что экстремаль y= y( x) на сегменте [, ] может быть включена в поле экстремалей (собственное или центральное) Рассмотрим кривые y= y( x), удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и () экстремаль y= y( x), y( x) C [, ] (кривые сравнения) Функция Exypy (,,, ) = Fxyy (,, ) Fxyp (,, ) ( pf ) p ( xyp,, ) называется функцией Вейерштрасса В аргументах функции Exyp (,,, ) через обозначается производная кривой сравнения yx ( ) в точке ( x, y ), а через p = pxy (, ) - наклон поля экстремалей в этой точке Приращение функционала V[ y ] выражается через функцию Вейерштрасса ( y( x ) - исследуемая экстремаль, а yx ( ) - кривая сравнения): V = V[ y( x)] V[ y ( x)] = E( x, y( x), p( x, y( x)), y'( x)) Поэтому достаточным условием достижения функционалом V[ y ] экстремума на экстремали y( x ) является знакоопределенность функции Exyp (,,, ) в окрестности экстремали y( x ) Экстремум будет слабым или сильным в зависимости от того, в слабой или сильной окрестности экстремали y( x ) сохраняет знак функция Вейерштрасса Достаточные условия слабого экстремума: Кривая y= y( x) доставляет слабый экстремум функционалу V[ y] F( x, y, ) = в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B, если: ) кривая y= y( x) является экстремалью функционала, те является решением краевой задачи для уравнения Эйлера с условиями y ( ) = A, y ( ) = B; ) экстремаль y= y( x) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [ ;, ] ) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках слабой окрестности экстремали y= y( x), те в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для значений, близких к значениям p( xy, ) ( p( xy, ) - заданная функция, так как определено поле экстремалей) Если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый минимум, если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый максимум Достаточные условия сильного экстремума Кривая y= y( x) доставляет сильный экстремум функционалу V[ y] F( x, y, ) = в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B, если: ) кривая y= y( x) является экстремалью функционала те является решением краевой задачи для уравнения Эйлера с условиями y ( ) = A, y ( ) = B; ) экстремаль y= y( x) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [ ;, ] 68

5 ) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках сильной окрестности экстремали y= y( x), те в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений Если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) сильный минимум, если E, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) сильный максимум Достаточное условие отсутствия экстремума Если в точках экстремали y= y( x) при некоторых значениях функция Е имеет противоположные знаки, то сильный экстремум на y( x ) не достигается Если в точках экстремали y= y( x) при значениях сколь угодно близких к p( xy,, ) функция Е имеет противоположные знаки, то на y( x ) не достигается и слабый экстремум Достаточные условия Лежандра Пусть функция F( x, y, ) имеет непрерывную вторую производную Fyy ( x, y, ) и экстремаль y= y( x) включена в поле экстремалей Достаточные условия слабого экстремума ( F исследуется на самой экстремали y= y( x) ) Если на экстремали y= y( x) F >, то функционал V[ y ] имеет на y( x ) слабый yy минимум; если на экстремали y= y( x) F yy <, то функционал V[ y ] имеет на y( x) слабый максимум Достаточные условия сильного экстремума (( F yy исследуется в сильной окрестности экстремали y= y( x) ) Если F yy в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений, то V[ y ] имеет на экстремали y( x ) сильный минимум Если F yy в точках ( x, y ), близких к экстремали y= y( x), и для произвольных значений y ', то V[ y ] имеет на экстремали y( x ) сильный максимум yy Примеры решения задач Пример 8 Вычислить вариацию функционала V[ y] = y () + ( xy+ ) в точке у Решение Найдем сначала вариацию функционала V[ y ], воспользовавшись первым определением (слабую вариацию): δv ( y, h) V[ y + th] = ( y() + th()) + [ x( y( x) + th( x)) + ( ( x) + th ( x)) ] = t t t = y() h() + [ x h( x) + h ( x)] = t= Теперь воспользуемся вторым определением и найдем вариацию как линейную часть приращения функционала в точке у (сильную вариацию) Зададим приращение аргумента функционала - произвольную непрерывно дифференцируемую функцию hx ( ): h( ) = h() =, и вычислим приращение V = V[ y+ h] V[ y] = 69

6 = [ y() + h()] y () + [ x( y( x) + h( x)) + ( ( x) + h ( x)) ] [ xy( x) + ( x)] = = y() h() + [ x h( x) + ( x) h ( x)] + h () + h ( x) Линейная относительно h часть приращения - первые два слагаемые последнего равенства - и есть искомая (сильная) вариация V[ y, h] = y() h() + [ x h( x) + h ( x)], которая в данном случае совпадает с полученной ранее (слабой) вариацией δ V[ y, h] Пример 8 Найти экстремаль функционала [ ] = ( + ) V y y y с дополнительными условиями y() =, y() = Доказать, что на полученной экстремали достигается экстремум функционала а) путем непосредственного вычисления приращения функционала; б) применив достаточные условия в форме Вейерштрасса и Лежандра Решение Уравнение Эйлера для функционала в исследуемой задаче y = имеет x x общее решение y= Ce + Ce Граничным условиям удовлетворяет экстремаль y( x) а) Непосредственное вычисление приращения функционала на кривой y( x) дает [ ] [ ( ) ] ( ' ) V = V y V y x = y + y Поэтому на ней реализуется сильный (а, следовательно, и слабый) минимум б) Заметим, что экстремаль y( x) при x [,] может быть включена в собственное поле экстремалей y x = Ce Функция Вейерштрасса Exypy y y y p y p p ( y p) (,,, ') = + ' ( ' ) = ' при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) реализует сильный (и слабый) минимум F yy ' ' = > при любых y,, поэтому выполнено достаточное условие Лежандра Функционал на экстремали y( x) достигает сильного (и слабого) минимума Пример 8 Найти экстремаль функционала 7 [ ] = ( ) V y xy y с дополнительными условиями y( ) =, y() = Доказать, что на полученной экстремали достигается экстремум функционала а) путем непосредственного вычисления приращения функционала; б) применив достаточные условия в форме Вейерштрасса и Лежандра Решение Уравнение Эйлера для функционала в рассматриваемой задаче + 6x= имеет общее решение y= x + Cx+ C Граничным условиям удовлетворяет экстремаль y( x) = x

7 а) Зададим приращение аргумента функционала - произвольную непрерывно дифференцируемую функцию hx ( ), удовлетворяющую условиям h( ) = h() =, - и вычислим приращение функционала на экстремали y( x) = x : V = V[ x + h] V[ x ] = [ x( x + h( x)) ( x + h ( x)) ] [ x( x ) ( x ) ] = = [ x hx ( ) + 6 xh ( x) h ( x)] = [ xhx ( ) h ( x)] + 6 xh ( x ) = инт по частям = = 6 xhx ( ) xhx ( ) + [ xhx ( ) h ( x)] = h ( x ) Итак, V независимо от (в сильной окрестности), поэтому на экстремали y( x) = x реализуется сильный (а, следовательно, и слабый) максимум б) Заметим, что экстремаль y( x) = x при x [,] может быть включена в собственное поле экстремалей (решений уравнения Эйлера) y= x + C Функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = xy ( xy p) ( p)( p) = ( p) при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) = x Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) = x реализует сильный (и слабый) максимум F yy = < при любых y,, поэтому выполнено достаточное условие Лежандра Функционал на экстремали y( x) = x достигает сильного (и слабого) максимума [ ] [ ( ) ( ) ϕ( )] Пример 8 Пусть V y = p x y + q x y + y x, где функция px ( ) > - непрерывно дифференцируема, а qx ( ) и ϕ ( x) непрерывные на [, ] функции а) Записать уравнение для экстремалей в задаче с закрепленными концами y ( ) = A, y ( ) = B б) Показать, что если y( x ) является экстремалью функционала V[ y ], то на ней реализуется минимум этого функционала Решение Уравнение Эйлера для экстремалей изучаемого функционала имеет вид ( p ( xy ) ) qxy ( ) = ϕ( x ) Нетрудно показать, что при сформулированных предположениях на функции p( x), q( x), ϕ ( x), это уравнение с дополнительными условиями y ( ) = A, y ( ) = B имеет единственное решение y = y( x), которое и определяет экстремаль в рассматриваемой задаче Зададим hx ( ): h ( ) = h ( ) = и определим знак приращения функционала на исследуемой экстремали: 7

8 V = V[ y ( x) + h( x)] V[ y ( x)] = [ p( x)(( y + h) y ) + q( x)(( y + h) y ) + ϕ( x) h ] = [ pxyh ( ) qx ( ) yh ϕ( xh ) ] pxh ( ) ( x ) qxh ( ) ( x ) = > > так как первое слагаемое в этой сумме обращается в ноль Действительно, интегрируя по частям первое слагаемое, получим ϕ =, тк h ( ) = h ( ) = = всилуур яэйлера [ pxyh ( ) + qx ( ) yh+ ( xh ) ] = pxy ( ) ( xhx ) ( ) + [ ( pxy ( ) ) + qx ( ) y+ ϕ( x)] hx ( ) = Итак, V = V[ y( x) + h( x)] V[ y( x)] >, поэтому на экстремали y = y( x) достигается минимум исследуемого функционала, что и требовалось доказать, Пример 85 Исследовать на экстремум функционал условиями y () =, y ( ) = ( >, > ) V[ y] = с граничными Решение Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид = Семейство экстремалей определяется формулой y= Cx+ C Граничным условиям удовлетворяет единственная экстремаль y= x Найденная экстремаль может быть включена в собственное поле y= x+ C, наклон поля экстремалей p = Функция Вейерштрасса имеет вид Exypy (,,, ) = p ( p) p= ( p) ( + p) и знак ее определяется знаком выражения + p= + Следовательно, Exyp (,,, ) может менять знак в зависимости от Поэтому сильного экстремума на исследуемой экстремали нет Вместе с тем, функция Вейерштрасса сохраняет знак, если близко к p = > (наклону поля экстремалей), те + p= + и неравенство Exyp (,,, ) выполнено для всех кривых сравнения y= y( x) из некоторой слабой окрестности экстремали y= x Таким образом, на экстремали y= x, согласно достаточному условию Вейерштрасса, достигается слабый минимум 7

9 Пример 86 Показать, что в задаче с закрепленными концами [ ] = ( ), () =, ( ) = V y y y y y а) в случае = π < π на экстремали y( x) реализуется сильный максимум функционала; б) в случае = > π функция y( x) также является единственной экстремалью в рассматриваемой задаче, причем функция Вейерштрасса сохраняет знак на этой кривой, однако экстремум на ней не достигается; в) в случае = π экстремаль определяется не единственным образом Решение Уравнение Эйлера имеет вид + y = Его общее решение есть y= Csin x + Ccos x Граничным условиям y () =, y= ( ), как в случае а), так и в случае б) удовлетворяет единственная функция y( x) π а) Если x [, ], то экстремаль y( x) может быть включена, например, в центральное поле экстремалей y= Csin x Функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = y ( y p) + ( p)p= ( p) при любых y,, те сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль y( x) реализует сильный (и слабый) максимум б) Если x [, ], то функция Вейерштрасса Exypy (,,, ) = ( p) также сохраняет знак в сильной окрестности кривой y( x) Заметим, что V[ y ] = и докажем, что на функции y( x) не достигается слабый (следовательно, и сильный) экстремум Рассмотрим последовательность ϕ ( ) sin n x = x Ясно, что при достаточно больших n 5 x x п выполнено ϕn y π = mx sin + mx cos r, те все указанные C [, ] π 5 x [, ] n 5 π x [, ] 5n функции, начиная с некоторого номера, принадлежат слабой окрестности y( x) Однако n n n x 6 x 9 x V[ ϕ n] = sin cos cos V[] 5 = > = 5 5 5, 5 следовательно, на функции y( x) слабый (и сильный) максимум не достигается n Рассмотрим последовательность ψ n( x) = sin x Ясно, что при достаточно n 5 nx nx больших п выполнено ψ n y π = mx sin + mx cos r, те все C [, ] π n 5 π 5n 5 5 x [, ] x [, ] 5 5 указанные функции, начиная с некоторого номера, принадлежат слабой окрестности y( x) 7

10 Однако, при достаточно больших n nx 6 nx 6 n 5 5n 5 8 n 5n V[ ψ n] = sin cos = < = V[] Следовательно, на функции y( x) минимум также не достигается Причина указанного явления состоит в том, что экстремаль y( x) нельзя включить в поле экстремалей при x [, ], так как все решения уравнения Эйлера y= Csin x + Ccos x, удовлетворяющие одному из граничных условий y () = или 5 y( π ) =, обращаются в ноль одновременно еще в одной точке x [, ] Например, если потребовать y () =, то все кривые семейства y= Csin x обращаются в ноль при x = π [, ] в) В случае = π уравнение Эйлера + y = имеет семейство решений y= Csin x, удовлетворяющих граничными условиям y () =, y( π ) =, следовательно, экстремаль определяется не единственным образом Легко проверить, что в этом случае на любой функции семейства y= Csin x выполнено π [ ] = ( ) = V y y y Пример 87 Пусть тело перемещается по кривой y = y( x) со скоростью v такой, что v = v( x, y) = y Какова должна быть траектория его движения, чтобы тело попало из точки y ( ) = Aв точку y ( ) = B за минимальное время? Решение Время, необходимое для перемещения из точки ( y, ( )) в точку (, y ()) по s + заданной кривой y = y( x), определяется функционалом t = = V[ y] vxy (, ) y Таким образом, решение поставленной задачи дается экстремалями функционала V[ y ] при условиях y ( ) = A, y ( ) = B Уравнение Эйлера в рассматриваемом случае Fy F = Fy Fyy Fyy = Умножая на, получим ( F yfy ) =, и найдем первый интеграл + cost = = C Положим = tgt, тогда y =, y y + y + C y cost t sin t = = ctg t y =, откуда x = + C Исключив параметр t, получим C C ( x C) + y =, те экстремалями задачи являются окружности с центрами на оси х C Итак, искомая траектория движения тела - дуга окружности с центром на оси х, соединяющая точки ( A, ) и (, B ) Легко видеть, что такая окружность определяется единственным образом при заданных дополнительных условиях y ( ) = A, y ( ) = B 7

11 Найти вариацию функционала 8 V[ y] = yy 8 V[ y] = ( x+ y) [ ] = ( ) V y y y π V[ y] = sin y Задачи для самостоятельного решения Исследовать на экстремум функционалы в задаче с закрепленными концами (найти экстремали и проверить достаточные условия каким либо способом): x V[ y] = e y + y () =, y () = e y e x y(), y() V[ y] = y() =, y() = ln V[ y] = = = V[ y] = y() =, y( ) = ( >, > ) x y() =, y() = π [ ] = ( ) y() =, y( π ) = [ ] = ( + ) y( ), y() V[ y] = ( + ) V y y y V y y x y = = V[ y] = ( + ) y( ) =, y() = [ ] = ( ) V y xy yy y() =, y() = V[ y] = ( e ) y() =, y( ) = ( > ) + π π 85 Найти семейство экстремалей функционала V[ y] =, < < < x 86 Среди всех кривых, соединяющих точки (, ch) и (, ch ), определить ту, которая при вращении вокруг оси Ox образует поверхность наименьшей площади 75

12 8 δv = ( yh + yh ) ( δy = h( x)) 8 δv = h( x) ( δy = h( x)) 8 δv = ( yh yh ) ( δy = h( x)) 8 π Ответы к задачам δv = ( cosy h+ sin y h ) ( δy = h( x)) 85 Экстремаль x yx ( ) = e реализует сильный (и слабый) минимум 86 Экстремаль yx ( ) = ln( x+ ) реализует сильный (и слабый) минимум 87 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 88 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 89 Экстремаль ln( x + ) yx ( ) = реализует сильный (и слабый) минимум ln 8 Экстремаль yx ( ) = sinx+ cosx реализует сильный (и слабый) максимум 8 На непрерывных кривых экстремум не достигается 8 Экстремаль yx ( ) = x+ реализует слабый минимум 8 Экстремаль yx ( ) = x реализует слабый минимум 8 На экстремали yx ( ) = x: при < достигается слабый минимум; при > - слабый максимум; при = - экстремума нет 85 Окружности x + ( y C) = C 86 yx ( ) = chx 76


ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э.

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедраа «Высшая математика» Основы вариационного исчисления Методические

Подробнее

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Утверждено Редакционно-издательским советом

Подробнее

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности.

ТЕМА 9. Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности. ТЕМА 9 Задачи с подвижной границей Условия трансверсальности Основные определения и теоремы Рассмотрим функционал V[ ] = F(,, d, заданный на кривых ( ( C [ ab, ], граничные точки которых A (, и B(, в свою

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Тема: Второе определение вариации функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Простейшая задача вариационного исчисления Лектор Пахомова

Подробнее

Семинар 12. Вариационное исчисление

Семинар 12. Вариационное исчисление Семинар 12 Вариационное исчисление О. Если каждой функции (из некоторого нормированного пространства вещественнозначных функций ) поставлено в соответствие некоторое (вещественное) число, то говорят, что

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи. ТЕМА Условный экстремум Задача Лагранжа Изопериметрические задачи Основные определения и теоремы В вариационных задачах на условный экстремум множество функций, на которых исследуется функционал, подчиняется

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю.В. ТРАКИМУС, Д.В. ВАГИН ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления Лекция Задачи классического вариационного исчисления Постановка задачи J u infsup G u G u & r u U R 3 Γ 4 Граничные условия 4 закрепленные когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Методы интегрирования уравнений первого порядка

Методы интегрирования уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений первого порядка 1. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение P (x, y) dx + Q(x, y) = 0. (1) Пусть P, Q непрерывно дифференцируемые функции в области D изменения

Подробнее

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 7(3) 3 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3 ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых вектор-функций ( ( ( удовлетворяющих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Лекция 16(2) МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ. Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 16(2) МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ. Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 6() МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( t ) t зависящие от одной функции Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых функций (кривых)

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Часть 2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Понятие функционала. если каждой функции из заданного класса функций y (x)

Часть 2. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Понятие функционала. если каждой функции из заданного класса функций y (x) 3 Часть ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие функционала Как известно переменная величина является функцией независимой переменной если каждому значению соответствует определëнное значение

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА 0. План лекции 1. Сильный принцип максимума для гармонических функций. 2. Принцип максимума модуля гармонической функции. 3. Единственность классического решения задачи Дирихле.

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. 1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

Подробнее

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Линейные и нелинейные уравнения физики Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 4. Функции Бесселя второго

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня Введение Методические указания посвящены вопросам изучения и практического применения теории функции двух переменных Каждый параграф соответствует одному практическому занятию по данной теме Цель указаний

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания I. В первом задании предлагаетcя изменить порядок интегрирования, нариcовать облаcть интегрирования и вычиcлить двойной интеграл.

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Условия второго порядка в вариационном исчислении

Условия второго порядка в вариационном исчислении Глава 5 Условия второго порядка в вариационном исчислении В этой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления и задаче Больца. Это классические условия

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Интегральные уравнения и вариационное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Т В Елисеева Интегральные уравнения и вариационное

Подробнее

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( )

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( ) 55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (, ), где ρ ( ) + ( ), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Задачи и упражнения по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»

Задачи и упражнения по курсу «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Т. В. Елисеева Задачи и упражнения по курсу

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее