ЗАНЯТИЕ 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЗАНЯТИЕ 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ."

Транскрипт

1 ЗАНЯТИЕ. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ. Понятие функции Пусть даны два непустых множества Х и Y. Соответствие f. Которое каждому элементу X сопоставляет один и только один элемент y Y, называется функцией и записывается y=f(), X или f:x Y. Говорят ее, что функция f отображает множество Х на множество Y. Рис. Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке а и б, являются функциями, а наа рисунке в и г нет. В случае в не каждому элементу X соответствует элемент y Y. В случае г не соблюдается условие однозначности. Числовые функции. Способы задания функций. Графики функций. Пусть задана функция :. Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т.е. X и Y ), то функцию f называют числовой функцией. Пусть задано числовое множество D. Если каждому числу D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (), D. Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f ()). Множество, состоящее из всех элементов f (), где D называется областью значений функции и обозначается E (f ()). Число часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y зависимой переменной или, собственно, функцией переменной. Для того чтобы задать функцию f, нужно указать: ) ее область определения D (f ()); 2) указать правило f, по которому каждому значению D ставится в соответствие некоторое значение y = f (). Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Пусть функции f () и g () определены на одном и том же множестве D. Тогда функция, значения которой в каждой точке D равны f () + g (), называется суммой функций f и g и обозначается f + g. Точно так же определяются разность f g, произведение f g и частное f / g двух функций (частное определено на множестве D, если на этом множестве g () 0).

2 Пусть функции y = g () и z = f (y) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g. Тогда функция, принимающая при каждом D значение f (g ()), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается f g. Способы задания функций Функции могут задаваться различными способами: аналитическим, табличным, графическим, словесным.. Аналитический - когда числовая функция задается при помощи формулы. Примеры: а) Формулой S (r) = πr 2 задается функция зависимости площади круга от радиуса. б) Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы 9 F C 32 Фаренгейта: 5. в) Функция задана на разных промежутках., если 0, f 0, если 0,, если Графический способ: задается график функции. 3. Словесный: с помощью естественного языка. 4. Табличный: с помощью таблицы значений. Словесный С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. С помощью формулы и стандартных Аналитический f обозначений! Графический Табличный С помощью графика С помощью таблицы значений Фрагмент графика функции y. arctg y

3 Основные характеристики функций.четность функции. f (), D : ) D, ) f ( ) = f (). OY. y = cos, y =, y = 2 +. cos Рис.2 График четной функции y cos 2 5 f (), D : ) D, 2) f ( ) = f ().,. y = sin, y = 3.,. Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями. Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией. Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией. Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией. Если функция f четна (нечетна), то и функция /f четна (нечетна). 2. Монотонность функции Пусть функция y=f() определена на множестве D и пусть D D. Если для любых значений, 2 D аргументов из неравенства 2 вытекает неравенство f ( ) f( 2), то функция называется возрастающей на множестве D ; f ( ) f( 2), то функция называется неубывающей на множестве D ; f ( ) f( 2), то функция называется убывающей на множестве D ; f ( ) f( 2), то функция называется невозрастающей на множестве D.

4 Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие строго монотонными. 3. Ограниченность функций Функцию y=f(), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех D выполняется неравенство f ( ) M. В противном случае функция является неограниченной. Например, y = sin y = cos, y tg y ctg. 4.Периодичность функции Функцию y=f(), определенную на множестве D, называют периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при каждом D значение ( T) D и f T f. При этом число Т называется периодом функции. Так, для y = sin 2 ; 4 ; 6,... Пусть задана функция y=f() областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению y E соответствует единственное значение D, то определена функция ( y) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 3). Такая функция ( y) f и записывается в виде: y f y ( ) ( ). называется обратной к функции Рис. 3. Пример: Для функции y=2 обратной функцией является =y/2. Графики взаимно обратных функций y=f() и y ( ) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Сложная функция Пусть функция y=f(u) определена на множестве D, а функция u ( ) на множестве D, причем для любого D соответствующее значение u ( ) D. Тогда на множестве D определена функция u g( ( )), которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций). Например, функция y sin 2есть суперпозиция двух функций y sin uи u 2.

5 Основные элементарные функции и их графики Основными элементарными функциями называют следующие функции. ) Показательная функция y a, a 0, a. На рис. 4 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени. Рис. 4. 2) Степенная функция y,. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 5. Рис. 5 3) Логарифмическая функция y log a, a 0, a. Графики логарифмической функции, соответствующие различным основаниям, показаны на рисунке 6.

6 Рис. 6 4) Тригонометрические функции y sin, y cos, y tg, y ctg. Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рисунке 7. Рис. 7. 5) Обратные тригонометрические функции y arcsin, y arccos, y arctg, y arcctg. На рис. 8 показаны графики обратных тригонометрических функций. Рис. 8.

7 ЗАНЯТИЕ 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ. СДВИГ ГРАФИКОВ ПООСЯМ КООРДИНАТ. СИММЕТРИЯ ГРАФИКОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ, НАЧАЛА КООРДИНАТ. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА. ПРИМЕРЫ. Параллельный перенос. Перенос вдоль оси ординат f() f()-b Для построения графика функции yb f следует построить график функции y f и перенести ось абсцисс на b единиц вверх при b 0 или на b единиц вниз при b 0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции yb f. Пример. Построить график функции y 2 3 Р е ш е н и е. Запишем функцию в виде y 3 2. Строим график функции y 2 в координатах, y. Переносим ось на 3 единицы вниз. В координатах, y получаем Рис. 9 график функции y 2 3 (рис.9). Прямая у=3 является горизонтальной асимптотой. График пересекает ось ординат в точке у=4. 2. Перенос вдоль оси абсцисс f() f(+a) Для построения графика функции y f a следует построить график функции y f и перенести ось ординат на a единиц вверх при a 0 или на a единиц вниз при a 0. Полученный в новой системе координат график является графиком функции y f a. Пример 2. Построить график функции y log 2 ( 2) Рис. 0

8 Отражение. Построение графика функции вида y=f(-); f()f(-) Для построения графика функции y=f(-) следует построить график функции y=f() и отразить его относительно оси ординат. Пример 3. Построить график функции y log ( ). Решение. Строим график функции y log ( ) (рис. пунктирная линия) и отражением его относительно оси ординат получаем график функции y log ( ) 3 Пример 4. Построить график функции y=arcos(-). Решение. Строим график функции y=arccos() (рис. 2 пунктирная линия) и отражением его относительно оси ординат получаем график функции y=arcos(-). 3 3 Рис. Рис Построение графика функции вида y f( ) ; f ( ) f( ) Для построения графика функции y f( ) следует построить график функции y=f() и отразить его относительно оси абсцисс. Пример 5. Построить график функции y cos. Решение. Строим график функции y=cos(). (рис.3 пунктирная линия) и отражением его относительно оси абсцисс получаем график функции y=-cos. Пример 6. Построить график функции y Решение. Строим график функции y (рис.4 пунктирная линия) и отражением его относительно оси абсцисс получаем график функции y Рис.3 Рис. 4

9 3 Построение графиков четной и нечетной функций Для построения графика четной функции y=f() следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента х 0. График функции y=f() в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси. Пример 7. Построить график функции y tg. Решение. Исходная функция является четной, поэтому строим график функции в области положительных значений аргумента х 0, где она имеет вид y=tg. Левую ветвь графика получаем отражением относительно оси ординат (рис. 5). Пример 8. Построить график функции y. 2 Решение. Данная функция четная, поэтому достаточно построить ее график лишь в области положительных значений аргумента х > 0. График исходной функции в области отрицательных значений х получаем отражением относительно ординат (рис. 6). Рис. 5 Рис. 6 Для построения графика нечетной функции y=f() следует строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента х 0. График функции y=f() в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений х относительно оси абсцисс. Пример 9. Построить график функции y Решение. Исходная функция является нечетной, поэтому строим график функции в 2 области положительных значений аргумента х 0, где она имеет вид y. Левую ветвь графика получаем отражением построенной ветви относительно начало координат (рис. 7) Пример 0. Построить график функции y Решение. Данная функция является нечетной, поэтому строим ее график лишь в области х > 0 (точка х=0 не входит в область определения функции), где она имеет вид у=. Левую ветвь графика получаем отражением построенной ветви относительно начало координат. На рисунке 8 стрелки означают, что точки х=0, у= и х=0, у=- не принадлежать графику.

10 Рис. 7 Рис Построение графика обратной функции Для построения графика функции y ( ), обратной по отношению к функции y f( ), следует построить график y f( ) и отразить его относительно прямой y. Пример 0. Построить график функции y. Решение. Рассмотрим график параболы у=х 2 (Рис. 9 пунктирная кривая) и график обратной к ней функции y, получаемой отражением параболы относительно прямой у=х. 3 Пример. Построить график функции y. Решение. Данная функция является обратной по отношению к функции у=х 3, поэтому строим график функции у=х 3 и отражением его относительно прямой у=х (рис. 20). Рис. 9 Рис. 20 Деформация. Сжатие и растяжение. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат f ( ) A f( ) Для построения графика функции y A f( ) следует построить график функции у=f() и увеличить его ординаты в А раз при А> или уменьшить его ординаты в А раз при 0<A<. Пример. Построить график функции y 2cos.

11 Решение. Строим график функции y cos (Рис. 2 пунктирная кривая) и растяжением этого графика вдоль оси ординат в 2 раза получаем график исходной функции (сплошная линия). 2 Пример 2. Построить график функции y. 3 2 Решение. Строим график функции y и сжатием этого графика в три раза вдоль оси ординат получаем график исходной функции (рис. 22). Рис. 2 Рис. 22 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс. f ( ) f( ) Для построения графика функции y f( ) следует построить график функции у=f() и уменьшить его абсциссы в ω раз при ω> или увеличить его абсциссы в ω раз при ω<. Пример 3. Построить график функции y sin. Решение. Строим график функции y sin (рис. 23 пунктирная линия) и, проводя его сжатие в раз вдоль оси абсцисс, получим график функции y sin (сплошная линия). Пример 4. Построить график функции y arcsin. 3 Решение. Строим график функции y arcsin и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем график функции y arcsin (рис. 24). 3 Рис. 23 Рис.24 Задачи для работы в аудитории.найти множество значений функции sin5cos

12 sin cos Доказать, что четная функция не имеет обратной. Найти обратную функцию для функции. 8. ; ; Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция. Если существует, то найти её ; ; ; 0; При каких значениях функция совпадает со своей обратной функцией? Найти область определения функции (самостоятельно) ,,, 0, Найти множество значений функции(в аудитории) Найти область определения функции (в аудитории) 33. cos

13 ,25 0,4096 Изобразить на координатной плоскости множество точек ;, координаты которых удовлетворяют условию ОТВЕТЫ. ; ; ; 2 2; 5. 0; 2 6. ; 7. / ; 0;. 2. при 0; при 0 3. да, 4. нет 5. нет 6. нет ; 9. 0; 20. 2; 2 2; 2 ; 2. ; ; 2 ; ; 24. ; 2 2; 25. ; 0 0; 2; 26. 6; ; 27. 0; ; 29. ; 30. ; 3. ; ; 32. ; ;

14 33. 0; ; 2 2;,2, ;2 2; 0,, 2, ; ; ; ; ; 38. ; ; 2 2; ; 40. 5; 8 8; ; ; 42. ; 5

следует построить график функции и перенести ось абсцисс на b единиц вверх при b 0 или на b единиц вниз при

следует построить график функции и перенести ось абсцисс на b единиц вверх при b 0 или на b единиц вниз при ЗАНЯТИЕ 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ. СДВИГ ГРАФИКОВ ПООСЯМ КООРДИНАТ. СИММЕТРИЯ ГРАФИКОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ, НАЧАЛА КООРДИНАТ. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА. ПРИМЕРЫ. Параллельный перенос. Перенос вдоль

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

1.1 Определение и основные свойства функций

1.1 Определение и основные свойства функций 1 Функции и графики 1.1 Определение и основные свойства функций Определение 1.1 Будем говорить, что задана однозначная функция y = f() в данной области изменения переменной X = {}, если каждому значению

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Построение графиков с помощью преобразований Элементарные функции

Построение графиков с помощью преобразований Элементарные функции Построение графиков с помощью преобразований Элементарные функции Основными элементарными функциями являются: линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Основные способы преобразования графиков.

Основные способы преобразования графиков. Основные способы преобразования графиков.. Симметрия относительно осей координат. А. На координатной плоскости точки ( xy ; ) и ( x; y ) симметричны относительно оси Ox. Рассмотрим функции y f ( x ) и

Подробнее

1.2. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Координатная плоскость. График функции.

1.2. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Координатная плоскость. График функции. .. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции.. Координатная плоскость. График функции. ТЕОРИЯ Многие свойства функций легче воспринимать, обращаясь к их графикам. Прежде чем

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 02.03.2013 Элементарные функции. Преобразование графиков функций Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013 2 / 50 Тригонометрические функции Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Тема 3. Тригонометрические функции. 1. Единичная окружность

Тема 3. Тригонометрические функции. 1. Единичная окружность Тема 3. Тригонометрические функции 1. Единичная окружность Числовая окружность В принципе любую окружность можно рассматривать как числовую окружность, но удобнее использовать единичную окружность. Единичная

Подробнее

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики.

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Пусть даны два произвольных множества Х и Y. Функция это правило, по которому каждому элемента из множества X можно найти

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке.

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке. wwwaleeiivanovcom ДЗ Функции ТЕСТ 0 Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке ) G(-), C(-), K(-), A(4), J(0), M() ) G(-5), C(-6), K(-), A(9), J(0), M(5) ) G(-9), C(-5), K(-4),

Подробнее

Тема 10 «Графики элементарных функций».

Тема 10 «Графики элементарных функций». Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R. ) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

Подробнее

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

«Решение задач с помощью графиков функций» Выполнил: учитель математики гимназии 22 г. Майкопа Плеснявых Е. А.

«Решение задач с помощью графиков функций» Выполнил: учитель математики гимназии 22 г. Майкопа Плеснявых Е. А. «Решение задач с помощью графиков функций» Выполнил: учитель математики гимназии г. Майкопа Плеснявых Е. А. Использование графиков функций при решении задач Графический метод решения задач применим ко

Подробнее

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Учебное пособие

Подробнее

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. Учебно-методическое пообие для вузов. Составители: П.С. Украинский, А.И. Шашкин, Э.Л. Шишкина

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. Учебно-методическое пообие для вузов. Составители: П.С. Украинский, А.И. Шашкин, Э.Л. Шишкина МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ " ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Учебно-методическое пообие

Подробнее

Функция одной переменной

Функция одной переменной Функция одной переменной Предел функции в точке и непрерывность функции. Точки разрыва. Определение функции. Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

М.В. Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1. Учебное пособие

М.В. Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1. Учебное пособие федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» МВ Ишханян МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

Элементарная математика в примерах и задачах (обучающий модуль). Часть 1

Элементарная математика в примерах и задачах (обучающий модуль). Часть 1 Элементарная математика в примерах и задачах (обучающий модуль). Часть 1 Ерусалимский Я.М., Чернявская И.А., Дыбин В.Б., Спинко Л.И., Авдейчик А.Г., Мермельштейн Г.Г. 10 декабря 007 г. /71 Список обозначений

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Федеральное агентство по образованию ----- САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АИ Сурыгин ЕФ Изотова ОА Новикова ТА Чайкина МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Учебное

Подробнее

Математическая индустрия моды

Математическая индустрия моды Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Подробнее

1. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции

1. Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции . Построение графиков на основе исследования простейших свойств функции Начнем освоение курса математического анализа с повторения построения графиков функций. Сначала напомним определения основных связанных

Подробнее

Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 2 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. Определение 2.1 Если в силу некоторого правила f каждому элементу xd ставится в соответствие единственный элемент

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лабораторная работа 3 Числовые функции

Лабораторная работа 3 Числовые функции Лабораторная работа Числовые функции Необходимые понятия и теоремы: область определения, область значений, графики элементарных функций, сдвиги Литература: [] с. 8, [] c. 7 84, [] с.. Найти область определения

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ»

ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ» ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ» Предмет: математика Класс: 10А Провела: Капченко Т.М., учитель первой квалификационной категории ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА: 1. Обобщить материал по теме: «Тригонометрические

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

Лекция 2. Основные элементарные функции

Лекция 2. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Основные элементарные функции, их свойства и графики Основные элементарные функции, их свойства и графики Степенная функция

Подробнее

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра МАТЕМАТИКИ ССКачержук, НАРустамов, ЮАФарков МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

МАТЕМАТИКА С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК

МАТЕМАТИКА С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА МАТЕМАТИКА Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ = sin x, = sin ( x На координатной плоскости OXY построим окружность единичного радиуса с центром в точке О (рис ) Радиус ОА, где точка А имеет координаты (; ),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec

c a в Основные тригонометрические тождества sin cos 1 ctg 1 tg sec Занятие. Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества). Формулы приведения. Любой угол измеряется

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ctgα тригонометрической окружностью. B(;1) Угол и его мера. Мера всей 1 окружности

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к интегрированным занятиям по математике и информатике для студентов-иностранцев

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Teslalab. 1. у=х 2 +х+3; область определения функции (ООФ) х- любое число. 2. у= 2. ; ООФ х-любое число, кроме х=5

Teslalab. 1. у=х 2 +х+3; область определения функции (ООФ) х- любое число. 2. у= 2. ; ООФ х-любое число, кроме х=5 Определение: Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной называется функциональной зависимостью или функцией. Независимая переменная

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б)

Система задач по теме «Уравнение касательной» а) б) Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ Â. À. Äàëèíãåð ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ: ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Использование

Подробнее

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Методический материал по алгебре

Методический материал по алгебре Методический материал по алгебре Преобразования графиков функций Оглавление Правила преобразований графиков функций Графические иллюстрации Примеры построения графиков сложных функций с помощью одного

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x Тема: Исследование функций Обор корней показательных уравнений Подготовка к ЕГЭ (задание ; ; 8) Производная Формулы дифференцирования: 0 Const k m k n n n sin cos cos sin cos sin tg ctg ln Правила дифференцирования:

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Вопросы для подготовки к промежуточной аттестации по алгебре и началам анализа за курс полного среднего образования

Вопросы для подготовки к промежуточной аттестации по алгебре и началам анализа за курс полного среднего образования Вопросы для подготовки к промежуточной аттестации по алгебре и началам анализа за курс полного среднего образования 1 Основы тригонометрии Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла Радианная

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс Мы начинаем с известного вам геометрического определения тангенса и котангенса как отношения катетов прямоугольного

Подробнее

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс Мы начинаем с известного вам геометрического определения тангенса и котангенса как отношения катетов прямоугольного

Подробнее