некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется"

Транскрипт

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется постоянной, если вообще говоря она может изменяться, но в рамках данной задачи имеет постоянной числовое значение. ОПР 3 Переменная величина называется функцией (от) переменной величины х, заданной на некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины. При этом х называется независимой переменной или аргументом. ОПР 4 Множество значений аргумента х, на котором функция задана, называется областью определения данной функции. l х>; (;+ ) ОПР 5 Если функция задана в виде уравнения (,), не разрешённого относительно, то в этом случае говорят, что функция задана в неявном виде. Пример: tg + e ОПР 6 Функции (), φ() называются взаимно обратными, если оператор, указывающий на действия по отношению к х, является обратным к оператору φ, указывающему на действия по отношению к у. 3 ; 3 si; e ; rcsi l

2 ОПР 7 Функция () называется возрастающей на некотором интервале из области её определения, если для любых значений аргумента и данному интервалу соблюдается условие: при <, ( ) < ( ) Функция называется убывающей на некотором интервале из области её определения, если для любых значений аргумента и данному интервалу соблюдается условие: при <, ( ) > ( ) ОПР 8 Функция, имеющая структуру (u()) называется сложной, при этом u промежуточный аргумент, а х независимая переменная. Например cos ( cos u, u ) ОПР 9 Функция называется чётной, если (-)() Для четной функции: ось ординат OY- ось симметрии. Функция называется нечётной, если (-) - () / 3 Таким образом для нечетной функции: начало координат центр симметрии. ОПР Функция () называется периодической, если существует такое число р, называемое периодом, что выполняется следующее условие: ()(±р). Для si и cos pπ. Для tg и ctg pπ ОПР Те значения аргумента х, при которых функция равна, называются корнями функции.

3 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПР Если переменная х, изменяясь, приближается к некоторому числу, то говорят, что х стремится к а и при этом пишут х а. ОПР δ окрестностью точки а называется интервал (а-δ ; а+δ ) δ δ ОПР 3 Число А называется пределом функции (), при х а, что записывается следующим образом: ()A, если, задавшись как угодно малым положительным числом ε, можно указать такую δ - окрестность точки а, что для всех х из этой δ -окрестности будет выполняться неравенство: ( ) A < ε (Чем меньше мы задаёмε, тем меньше будет δ -окрестность точки а). ОПР 4 О пределе справа говорят в том случае, когда х а и при этом >, что записывается следующим образом: + ()A О пределе слева говорят в том случае, когда х а и при этом <, что записывается следующим образом: - ()A Пределы слева и справа называются односторонними пределами. Односторонние пределы могут быть равны между собой, но могут и различаться. ПРИМЕР ) si π π + si si π/

4 ) + - БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ АРГУМЕНТ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ОПР ФУНКЦИЯ. Если аргумент х неограниченно возрастает, то есть становится больше любого наперёд заданного положительного числа, или х неограниченно убывает, то есть становится меньше любого наперёд заданного отрицательного числа, то говорят, что х бесконечно большой аргумент и при этом пишут соответственно х, х -. ОПР Функция (х) называется бесконечно большой (то есть имеет бесконечно большой предел) при х а, что записывается следующим образом (), ()-, если, задавшись как угодно большим положительным числом М, можно указать такую δ -окрестность точки а, что для всех х из этой δ -окрестности справедливо неравенство: ( ) > M ПРИМЕР M ОПР 3 ( ) х δ - окрестность Функция () называется бесконечно большой (то есть имеет бесконечно большой предел) при бесконечно большом аргументе, что записывается следующим образом ± ( ) ±, если задавшись как угодно большим положительным числом М можно указать такое положительное число N, что для всех х > N будет выполняться неравенство ( ) > M.

5 ПРИМЕР ( ), ±, так как задавшись, например М 6, мы указываем такое N 3, что при всех 3 > получим, что 6 >. ОПР 4 Функция () называется ограниченной в данной области изменения, если можно указать такое конечное положительное число М, что для всех х из этой области справедливо неравенство () называется неограниченной в этой области. ПРИМЕР.М. Если же такое число М не существует, то функция si, cos ограниченные функции на всей числовой оси; si на ( ; + ) ОПР БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ. Функция O() называется бесконечно малой при х а ( ± ), если О() или O( ) ± Пример: / бмф при х. Или: (-) бмф при х. Свойства бесконечно малых функций ) Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. ) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция si 3) Отношение бесконечно малой функции к функции, предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция cos 3 ТЕОРЕМА О ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩЕЙ ПРЕДЕЛ. Теорема. Если функция имеет предел ()А (), то можно указать такую окрестность точки а, в которой выполняется условие: ()A+O() ()

6 И обратно: если в некоторой окрестности точки а справедливо (), то существует предел (). Пусть существует предел (), тогда согласно определению 3 из ( ) A < ε при δ Обозначив ()-A φ() (*), получим ϕ ( ) < ε ϕ ( ) < ε По определению 3 из φ(), а согласно определению это бесконечно малая функция при φ()(х) (**) Подставляя (**) в (*)получим (), что и требовалось доказать. Доказательство в обратном направлении осуществляется аналогично. 4 СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ. ) Предел константы равен самой константе. СС (Сcost) () ) Предел суммы (разности) функции равен сумме (разности) пределов функций [ ()+ ()] ()+ () () Пусть ()А, ()А, тогда по теореме из 3 можем записать: () А +О (х), () А +О (х) (А А + А ; О О +О ) [ ()+ ()] [А + О + А +О ] [А+O()] теорема 3, формула () ()А А + А + Что и требовалось доказать. 3) Предел произведения функции равен произведению пределов этих функций () () () () (3) Пусть ()А, ()А, тогда по теореме из 3 можем записать: () А +О (х), () А +О (х) () () (А + О )(А +О ) (А А +А О +А О +О О )свойство ) А А + А О + А О + О О свойство ) из ; свойство ) А А () () Что и требовалось доказать. 4) Константу можно выносить за знак предела

7 C ()C() (4) C ()свойство 3) C ()свойство ) C () 5) Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если знаменатель не является бесконечно малой функцией, то есть ( ) ( ) (5) ( ) ( ) Пусть ()А, ()А, тогда по теореме из 3 можем записать: () А +О (х), () А +О (х) ( ) A + O ( ) A + O A A + свойство) ( ) A + O ( ) A + O A A A A + AO A A A O A A + свойства),),3) пар. свойство) ( A + O ) A A A A ( ) A ( ) l 6) Логарифм предела функции равен пределу логарифма этой функции ( ( ) ) (l ( )) (знаки предела и логарифма можно менять местами) 7) Предел функции, значения которой заключены между значениями двух других функций. Если F( ) ( ) ϕ( ) при этом F( A, ϕ ( A, то ( A ) ) ) По теореме из 3 F()A+O(), φ()a+o (), подставим в двойное неравенство A + O ) ( ) A + O ( ) и перейдём в этом неравенстве к пределу при : ( [ A O ( ) ] ( ) [ A + O ( ] + ) A ( ( )) A ( ) A Что и требовалось доказать. Основные виды неопределённостей:, ( ),, ( ), ( ), ( ), ( )

8 5 ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА. ) Первый замечательный предел: si () где х в радианах R C D B A Из геометрических соображений очевидно ВС< А С ( <AD (*) BCsi ; А С ( ; ADtg Подставим всё в (*): si<<tg si si< < <tg si cos < < si > cos Переходим в неравенстве к пределу при х, то есть si cos si по свойству 7, 4 получаем (), ч.т.д. ) Второй замечательный предел: ( + ) e () Очевидно, что угол наклона касательной к графику функции log (+ z) при z (в начале координат) будет зависеть от основания логарифма а. Обозначим через е основание такого логарифма, для которого угол наклона касательной в начале координат равен 45.

9 l(+z) α 45 tgα z l(+ z) l(+ z) z Перейдём к пределу при z : z tg z l( z) z z α + (учитывая, что α π/4 при z ). l z ( + z) z z ) ( + z z e (3) (3) ещё одна форма записи второго замечательного предела Пусть z, тогда при, z Подставляя в (3), получим (). Что и требовалось доказать. 6 СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ОПР O ( ) Если, то O () называется бесконечно малой функцией высшего порядка O ( ) по отношению O (). ПРИМЕР O х и O х. O является бесконечно малой функцией высшего порядка по х отношению к O при х, так как х. ОПР O ( ) Если А, где А, то функции O и O называются бесконечно малыми O ( ) функциями одного порядка. ПРИМЕР O х и O 3х при х O O 3

10 ОПР 3 O ( ) Если, то функции O и O называются эквивалентными бесконечно O ( ) малыми функциями при х а, что записывается следующим образом: O ~ O при х а. ПРИМЕР si Siх ~, при х, т.к. tg si tg ~, при х, т.к. cos rcsi α si α rcsi ~, при х, т.к. ( rcsi α;si α ) rctg ~ -cos ~ e ~ ПРИМЕР ~ l(+), при х, т.к. l ( + ) l ( + ) l ( + ) l e ТЕОРЕМА Разность эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция высшего порядка. O Пусть O ~ O, при х а O O O O O O O O, согласно первому определению O -O являются бесконечно малой функцией высшего порядка по отношению к O. ТЕОРЕМА Предел отношения бесконечно малых функций равен пределу отношения их эквивалентных бесконечно малых функций. Пусть даны две пары эквивалентных бмф O (х) ~ α ( ) и O (х) ~ α ( ), то есть O O α, α х х

11 O O O α α α α O O α α α α что и требовалось доказать. O α α, ОПР 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. Функция () называется непрерывной на некотором интервале, если в каждой точке ха этого интервала выполняются следующие два условия: ОПР ) Функция в данной точке определена, то есть известно значение (а) как конечное число. ) Односторонние пределы в этой точке равны между собой и равны значению функции в этой точке: ( ) ( ) ( ) + Если в точке не выполняется хотя бы одно из условий ОПР, то функция называется разрывной в этой точке. ПРИМЕР si si si, но + разрывная в точке х. ОПР 3 ( ) si - не определено. То есть данная функция Различают конечные разрывы, когда оба односторонних предела конечны, и бесконечные разрывы, когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечный. ПРИМЕР конечный разрыв Рассмотрим х у,,

12 бесконечный разрыв х ТЕОРЕМА (основная теорема непрерывных функций) Если функция ( ) непрерывна на некотором интервале, то в каждой точке а данного интервала, бесконечно малому приращению аргумента бесконечно малое приращение функции ( + ) ( ) (), х будет соответствовать, то есть имеем и обратно, если в каждой точке интервала выполняется условие (), то функция непрерывна на этом интервале. Пусть ( ) непрерывна, тогда согласно определению () ( ) ( ) ± ( ) ( ) используя свойства пределов [ ( ) ( ) ] ха+ х, при х а, х а [ ( + ) ( ) ] х, то есть х, ч.т.д ОПР 8 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производной функции () называется величина, обозначаемая как '() и равная пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е. ( ) () ТЕОРЕМА (геометрический смысл производной) Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции

13 касательная ϕ tgϕ α Перейдём в этом равенстве у пределу при х : tgϕ ( α) (при х φ будет стремиться к α) ( ) tgα ч.т.д. ТЕОРЕМА (физический смысл производной) Производная есть скорость изменения функции. Пусть у путь, х время, тогда () ( + ) ( ) - - путь, проходимый за время х, - средняя скорость движения на интервале времени [ + ],, - мгновенная скорость в данный момент времени х, а ( ), что и требовалось доказать. ОПР Функция называется дифференцируемой на некотором интервале, если в каждой точке этого интервала существует предел. ТЕОРЕМА 3 (связь непрерывных и дифференцируемых функций) Если функция дифференцируема на некотором интервале, то она непрерывна на этом интервале. Пусть функция дифференцируема на некотором интервале, согласно ОПР это означает, что в любой точке существует предел записать ( ) +.. Согласно теореме из 3 можно

14 Умножим на х : ( ) + O, очевидно, что при х,. Согласно формуле (), 7это означает, что функция непрерывна. Примечание: Обратное утверждение неверно, то есть непрерывность функции не является достаточным условием её дифференцируемости. х В т. х можно провести две касательные, то есть производная в этой точке осуществляет скачок с положительного на отрицательное значение, а сама точка х - точка разрыва производной. Хотя сама функция непрерывна на данном интервале. ОПР Функция называется гладкой на некотором интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Следовательно, в каждой точке к графику гладкой функции можно провести единственную касательную. ) Производная константы равна нулю: с' (так как у ). 9 СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ. ) Производная независимой переменной равна единице: х' (так как если ух, то ). 3) Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных функций, то есть если u( ) + v( ), то u ( ) + v ( ). ( + ) ( ) [ u( + ) + v( + ) ] [ u( ) + v( ) ] [ u( + ) u( ) ] + [ v( + ) v( ) ] u + v u + v u v + u + v 4) Производная произведения двух функций: ( ) v( ) u v + uv u.

15 5) Константу можно выносить за знак производной: то есть c ( ) ) c ( ) c ( ) c + c c (. 6) Производная частного: если ( ) ( ) u u v uv, то. v v 7) Производные взаимообратных функций: () и φ() связаны между собой следующим соотношением ( ) Если () дифференцируема, то она непрерывна (теор.3, 8 ), тогда при х,, 7. ϕ ( ) (7) ( ), что и требовалось доказать. 8) Производная сложной функции: Производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. То есть если [ u( ) ], тогда ( u) u ( ) ϕ. Если функция u() дифференцируема, то она непрерывна (по теор.3, 8), тогда по теореме 7 имеем: при х, u ( ) u u u ( u) u ( ) (8) u u u u 9) Производная функции, заданной параметрически: Если функция () задана в параметрическом виде, то есть Тогда ( ) ( t) () t (9) ( t) () t, где t параметр. Если из второго уранения t выразить в явном виде через х (tt()) и подставить в первое, получим (t()), поэтому, согласно 8-ому пункту, получаем

16 ( t) t ( ) (*) Функции tt() и (t) взаимно обратные, поэтому их производные связаны соотношением t ( ) () t (**) Подставляем (**) в (*) получаем ( ) ( t) () t, что и требовалось доказать. α α α ) ( ) ) ( ) l e e 3) ( ) 4) ( log ) log e 5) ( ) l 3 ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. 6) ( si ) cos 7) ( cos ) si 8) ( ) 9) ( ) tg cos ctg si ) ( rcsi ) ) ( rccos) + ) ( rctg) + 3) ( rcctg) ) ( ) l

17 + ( ) l l e e ~ l l e e 3) ( ) как частный случай ) 4) ( log ) log e l log ( + ) log log + log (+ ) ( log ) log ( + ) log ( + ) log ( + ) Обозначим z/, тогда при z + z + z Таким образом ( log ) log log log e l 5) ( ) Как частный случай 4) 6) ( si ) cos z ( + ) ( ) si( + ) si z z z si Cos + 7) ( cos ) si ( + ) si Si cos / cos + si π π cos si si u, u π ( cos ) ( si u) u cos ( ) si 8) ( ) tg cos

18 si cos cos + si si cos + si tg cos cos cos cos ( ) 9) ctg si аналогично 8) ) ( rcsi ) ( ) ( rcsi ) ( ) ) ( rccos), rcsi, si ( si ) rccos, cos ( ) si cos ( ) + ) ( rctg) rctg, tg si ( rctg) ( tg) cos 3) ( rcctg) + rcctg, ctg + tg + ( rcctg) ( ctg) si + ctg + Гиперболические функции. sh - гиперболический синус ch - гиперболический косинус e sh e ch e + e sh e e th - гиперболический тангенс th ch e + e

19 ) ( sh ) ch ) ( ch ) sh th ch 3) ( ) cth si 4) ( ) Производные ПРИМЕРЫ. Производная сложной функции [ u ( v( ) )] u () v v ( ) ( cos ) si 3 3 3si ( cos3) cos( cos3)( si 3)3. Производная произведения ( uv ) u v + v u si tg e ( ) tg ( tg ) tg tg si e + e si si cos e + e si ( si + tg ) e tg Производная частного u u v v u v v si cos cos cos 4 cos cos ( si ) si cos ОПР 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Дифференциалом функции () называется величина, обозначаемая как d и равная произведению этой функции на приращение независимого аргумента. ( ) d () ТЕОРЕМА (аналитический смысл дифференциала) Дифференциал есть главная часть приращения функции, то есть d.

20 Если функция () дифференцируема, значит она непрерывна (по теор.3, 8), что в свою очередь означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:, то есть отсюда видно, что у является бесконечно малой функцией при. В то же время из формулы () видно, что при, d, то есть d также является бесконечно малой функцией при. Сравним эти две бесконечно малые функции: () d То есть ( ) ( ) и d - эквивалентные бесконечно малые функции ( d ~ ). Практически это означает что для небольших значений можно записать приближённое равенство d, и тем точнее это равенство, чем меньше. ТЕОРЕМА (геометрический смысл дифференциала) Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции. касательная α B A АВ tgα, tg α ( ) ( ) AB, d AB AB - приращение ординаты касательной. ТЕОРЕМА 3 Дифференциал независимой переменной равен её приращению, d () Рассмотрим простейший тип функции. Найдём дифференциал: d (*) ( ) С другой стороны имеем равенство: Сравнивая (*) с (**) получаем (). d d (**)

21 Следствие : Подставляя () в () получаем, что дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной, то есть d ( )d (3) Следствие : Производная функции равна отношению ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной d ( ) (4) d Замечание: Дифференциал обладает всеми теми свойствами, что и производная. Примеры: ( u ± v) du dv d ± ( uv) udv vdu d + 3 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Очевидно, что в общем случае производная функции ( ) представляет из себя какую-то функцию, от которой, в свою очередь, можно взять ещё раз производную, то есть выполнить следующую операцию ( ( ) ) ОПР. Первая производная от производной первого порядка называется производной второго. порядка или второй производной и обозначается ( ) ОПР Первая производная от производной ( ) -ого порядка называется производной -ого порядка и обозначается ( ). ПРИМЕР 5 ( 4) ( 5) ( 6) 4 3 5,, 6,,, 33 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Дифференциал функции d в общем случае может рассматриваться как некоторая функция от х, поэтому от него можно ещё раз найти дифференциал, то есть d ( d). При этом надо иметь ввиду, что есть величина, не зависящая от, а зависящая от того, какой мы ее назначим.

22 ОПР Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d, то есть d d( d). ТЕОРЕМА (о дифференциале второго порядка) d d ( ) () опр d ξ ξ, ( d) (), 3 d( ( ) ) (), 3 ( ( ) ) ( ) d d Примечание: ( ) ОПР Дифференциал от дифференциала ( ) -ого порядка называется дифференциалом -ого порядка. ТЕОРЕМА (о дифференциале -ого порядка) d d 3 ( ) () 3 ( d ) теор. d( ( ) ) (), 3 ( ( ) ) ( ) d ξ d 4 d(d 3 ) ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА Если функция () непрерывна на отрезке [,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, а также имеет на концах отрезка одинаковые значения ( ( ) ( b) ) которой ( ), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка c, в c. Не рассматриваем случай, когда функция на отрезке [,b] постоянна (в этом случае ( ) на всём отрезке). Если функция меняется в пределах отрезка и она непрерывна, то очевидно, что в какой-то точке внутри отрезка она примет своё максимальное (М) или минимальное (m) значения. Пусть в точке хс функция принимает своё максимальное значение, то есть (с)m, тогда ( c + ) ( c) при любом, как положительном, так и отрицательном. Тогда ( c + ) ( c), при >

23 ( c + ) ( c), при < Перейдём к пределу, при : ( c + ) ( c) () c, при > ( c + ) ( c) () c, при < Так как функция во всех внутренних точках отрезка дифференцируема (включая точку с), c, то последние два неравенства совместны только в том случае, когда ( ) что и требовалось доказать. 35 ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА О КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЯХ. ТЕОРЕМА Если функция () непрерывна на отрезке [,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка хα, что ( b) ( ) ( )( b ) α () Y ( ) B ϕ A D C (b)-() () Из ABC : α b X ( b) ( ) tgϕ (*) b Проведём касательную к графику функции касательную таким образом, чтобы она была наклонена под углом φ. Обозначим полученную точку касания как D и её абсциссу как α, (**) тогда очевидно, что ( α ) tgϕ Подставляем (*) в (**), получим: ( ) ( b) ( ) α, откуда получается (). b ТЕОРЕМА Пусть функции ( ) и ( ) 36 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. дифференцируемы в точке и некоторой её окрестности. Пусть также обе эти функции равны нулю в этой точке ( ) ( ).

24 Тогда: если существует предел отношения производных этих функций при, то существует и предел отношения самих функций при, причём ( ) ( ) ( ) ( ) () Примечание: Эта теорема известна, как правило Лопиталя: Предел отношения функции равен пределу отношения их производных. (для практики). Пусть существует ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Обозначим +, тогда при,, следовательно ПРИМЕР 5 tg5 cos 5 5 tg cos Следствие : ( ) ( ). Ч.т.д. ( + ) ( + ) Доказанная теорема используется для раскрытия не только неопределённости, но и для неопределённостей. ПРИМЕР l si si si ctg si Следствие : Если после -ого применения правила Лопиталя неопределённость сохраняется, то относительно производных можно ещё раз использовать правило Лопиталя. ПРИМЕР 3 e e Следствие 3: e

25 Правило Лопиталя после предварительных преобразований может быть так же использовано для раскрытия следующих неопределённостей: [,,, ], ПРИМЕР 4 rcsi rcsi ( ) ctg tg cos ПРИМЕР 5 ( )? l l l l то есть l l,. 37 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ТЕОРЕМА Если функция ( ) имеет в точке все производные до -ой производной включительно, то существует такой многочлен P ( ) A + A ( ) + A ( ) A ( ) (),, () ( что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( P P, P,..., ( ) P ) ( ) Докажем существование многочлена () путём нахождения его неизвестных коэффициентов, используя известные значения функции, а так же её производных в точке, то есть ( ), ( ), ( ),... Используя -ое равенство в строчке () получим A ( ) Продифференцируем многочлен (): ( ) ( ) ( ) A + A + 3A + + A ( ) P Используя второе равенство строчки (), получим: ( ) A (4) (3).

26 Снова дифференцируем ( ) ( ) A ( ) P A, + 6A3 используя 3-е равенство строчки () ( ) ( ) ( ) A (5)! A Еще раз дифференцируем ( )( )( ) P A A 6 3 Используя следующее равенство строчки (): ( ) ( ) ( ) ; A (6) 6 3! 6A3 3 ( ) ( ) A (7)! Подставляя (3)-(7) в (), получим: P ( ) +! ( 3 ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) 3 ( ) ( ) + что и требовалось доказать. Следствие :! + 3! ! Многочлен (8) обладает замечательным свойством в достаточно малой окрестности точки давать значения, близкие к значениям функции ( ) в этой окрестности, то есть выполняется приближённое равенство ( ) ( ) P (9) И тем точнее равенство (9), чем выше степень многочлена (8) и чем меньше окрестность точки а. Обозначим разность между значением функции ( ) и многочленом P ( ) как ( ) ( ) P ( ) R ( ) (). Отсюда ( ) P ( ) R ( ) ( ) ( ), и подставляя сюда (8) получим: + ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )!!! + R ( ) () (8) R : () называется формулой Тейлора, которая позволяет представить данную функцию ( ) в виде суммы степенных функций. При этом R ( ) называется остаточным членом. Следствие :

27 Если функция ( ) дифференцируема в точке + раз, то остаточный член R ( ) является бесконечно малой функцией при высшего порядка, чем последний член многочлена (8). То есть: R ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )! ) R ( ) ( ) ( R ( ) ( ) далее нетрудно показать, что. ( ) (после -кратного дифференцирования ( ) превращается в!)! Следствие 3: (оценка остаточного члена) применяя правило Лопиталя раз, получим В достаточно малой окрестности точки абсолютная величина остаточного члена R ( ) не превосходит абсолютной величины последнего члена многочлена (8): R ( ) ( ) ( ) ( )! () () представляет собой оценку остаточного члена формулы Тейлора. Обозначим ( ) ( + ) ( ) Разложение приращения функции по формуле Тейлора., + подставим в (): ( ) ( ) ( )! ( )! Учитывая, что ( ) ( )! + (приращение функции в точке а) и принимая во внимание определение дифференциалов -ого и высшего порядков, получаем: Примечание: ( ) 3 d d d d R!! 3!! R (3) Из теоремы, 3 вытекает, что в первом приближении выполняется d. Если нужно получить более точное равенство, то в соответствии с (3) необходимо учитывать также дифференциалы более высших порядков. ) si,, ( ) cos si, ( ) Примеры разложения функции по формуле Тейлора.

28 cos, ( ) ( ) 4 si, ( ) 5 cos, ( 4 ) ( ) ( 5 ) ( ) si! 3 3! 5 5! 7 7! ( ) R ( ) Вывод: Формула Тейлора для нечётной функции содержит только нечётные степени по. ) cos,, cos ( ) si, ( ) cos, ( ) si, ( ) ( ) 4 cos, ( 4 ) ( ) ( 5) si, ( 5 ) ( ) ( 6) cos, ( 6 ) ( ) cos! 4 4! 6 6! ( ) R ( ) Вывод: Формула Тейлора для чётных функций содержит только чётные степени по. 3) e,... e ( ) ( ) ( ), подставим в () e R!! 3!! ( ) 38 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА (признаки монотонности) Те интервалы, в каждой точке которых ( ) > те интервалы, в каждой точке которых ( ) <, являются интервалами возрастания, а - интервалами убывания. Пусть () дифференцируема на некотором интервале. Внутри этого интервала возьмём две производные точки и. При этом <, тогда по формуле Лагранжа ( 35) имеем: ( ) ( ) ( ) ( α ), где < α <, тогда при ( ) > получим, что ( ) ( ) > -т.е. функция возрастает ;

29 при ( ) < получим, что ( ) ( ) ОПР Функция ( ) > - т.е. функция убывает, ч.т.д. имеет в точке c максимум, если можно указать такую окрестность точки c, что для всех х из этой окрестности ( c) справедливо неравенство ( c) ( ) >. Функция ( ) имеет в точке c минимум, если можно указать такую окрестность точки c, что для всех х из этой окрестности ( c) справедливо неравенство ( c) ( ) <. Определённые таким образом максимумы и минимумы называются локальными экстремумами. Примечание: Необходимо различать локальный экстремум и наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке. с с b В точках c и c локальные экстремумы, а наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке в точках b и. ТЕОРЕМА (необходимое условие локального экстремума) Если дифференцируемая в точке c функция имеет в этой точке экстремум, то её c. производная в этой точке ( ) Y tgα ( c) c

30 Во-первых, доказательство вытекает из теоремы Роля, 34, а во-вторых, это вытекает из геометрического смысла производной, так как очевидно, что в точке экстремума касательная расположена горизонтально (то есть α c. tg ), поэтому и ( ) Примечание: Данное условие является необходимым, но не достаточным, то есть наличие данного условия ещё не гарантирует наличие экстремума. ПРИМЕР Кубическая парабола 3 Найдём 3 При, ( ), однако никакого экстремума в точке нет. ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума по -ой производной) Если при переходе через точку c первая производная функции меняет знак с + на -, то данная точка является точкой максимума. < c, > c, ( ) > ( ) < условия максимума (m) Если при переходе через точку c первая производная функции меняет знак с - на +, то данная точка является точкой минимума. < c, > c, ( ) > ( ) < Докажем только для случая m. Возьмём условия минимума (mi) < c и воспользуемся формулой Лагранжа ( 35): ( c) ( ) ( c ) ( ), где < α < c α, так как по условию теоремы ( α ) >, то ( c) ( ) > (*) Возьмём > c и запишем формулу Лагранжа для этого случая: ( ) ( c) ( c) ( ) α, где c < α <, а по условию теоремы ( α ) <, так как α > c, следовательно

31 ( c) ( ) > (**) Сравнивая (*) и (**), на основании определения заключаем, что точка c является точкой максимума. Ч.т.д. ОПР Кривая называется выпуклой если располагается под касательной. выпуклая < вогнутая > Кривая вогнутая если она располагается над касательной. ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие выпуклости или вогнутости) Если во всех точках некоторого интервала вторая производная положительна, то график функции на этом интервале вогнутый. Если во всех точках некоторого интервала вторая производная отрицательна, то график функции на этом интервале выпуклый. ОПР 3 Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба. ТЕОРЕМА 5 (необходимое условие точки перегиба) Если график дважды дифференцируемой функции имеет в некоторой точке c точку c. перегиба, то вторая производная этой функции в данной точке ( ) Рассмотрим следующий случай, используя теорему 4. > < Рассмотрим функцию z ( ). ( ) C z > z < C

32 Таким образом, очевидно, что в точке С по теореме 3 функция z ( ) имеет максимум. По теореме это означает, что () c ( ), т.е. ( c) ТЕОРЕМА 6 (достаточное условие точки перегиба). Ч.т.д. Если при переходе через точку c вторая производная функции меняет знак, то эта точка является точкой перегиба. Непосредственно вытекает из теоремы 4 и определения 3. < 3 > 6 При,. Следовательно, в точке имеется точка перегиба. ТЕОРЕМА 7 (достаточные условия точки экстремума по второй производной) c Если в точке c выполняются одновременно условия ( c), ( ) < является точкой максимума. c Если в точке c выполняются одновременно условия ( c), ( ) > является точкой минимума. Рассмотрим случай максимума : ( ) <, то эта точка, то эта точка означает, что кривая лежит под касательной. C c А так как ( ), то эта касательная проходит горизонтально. Поэтому из геометрических соображений очевидно, что данная точка является точкой максимума. Случай минимума доказывается аналогично. ОПР 4 Пусть прямая L располагается вблизи графика функции ( ). l длина перпендикуляра, опущенного из текущей точки М на прямую L. Тогда прямая L

33 называется асимптотой графика функции ( ), если l, когда М удаляется в бесконечность. ( ) l h M ( ) k + b ТЕОРЕМА 8 (о параметрах асимптоты) Если прямая k + b ( ) () k является асимптотой графика функции ( ) [ ( ) k] b () Согласно Опр.4 l Тогда очевидно, что h (а) h Также очевидно, что h, т.е. (б) Из рисунка видно, что ( ) h k + b (в) Подставим (в) в (б): ( ) b ( ) ( ) k + b k + k, следовательно Подставим (в) в (а): k [ k + b ( ) ] ( ) b [ ( ) k] или b [ ( ) k] Следствие: Ч.т.д. Если по формуле () получилось, что k, а b - конечное число, то b (3) то есть получается уравнение горизонтальной асимптоты., то

34 Замечание: Формулы () и () годятся только для наклонных и горизонтальных асимптот. Уравнение вертикальной асимптоты. Признаком вертикальной асимптоты является бесконечный разрыв функции в точке, то есть должно выполняться одно из следующих условий: ( ) ±. ± Порядок исследования функций. ) Область определения функции. Точки разрыва, вертикальные асимптоты. ) Чётность нечётность или периодичность функции. 3) Интервалы монотонности. 4) Экстремумы. 5) Интервалы выпуклости вогнутости, точки перегиба. 6) Наклонные и горизонтальные асимптоты. 7) Нахождение точек пересечения графика с осями координат. 8) Построение графика (используя только характерные точки, найденные в ПРИМЕР предыдущих пунктах). + ) ( ; + ). Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. ) Нечётная. ( + ) ( + ) + 3) + ( + ) ( ) ( ) ) Необходимое условие:. Достаточные условия см. п.3., mi,, m ( )( + ) ( + ) ( 3) 5) 4 ( + ) ( + ) 3 ( ) ( ) - необходимое условие точки перегиба

35 точка перегиба ) k b ( ) ( + ) + [ ( ) k] - уравнение горизонтальной асимптоты, то есть ось х является горизонтальной асимптотой. 7), 8) ПРИМЕР + ) ( ; ) и ( ;+ ) вертикальная асимптота. ) Непериодическая. 3) Интервалы монотонности: + при, ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( )

36 .. 4) m mi m mi ( ) ( ) ( ) ) ( ) 5) ( ) 4 ( ) 3 - точек перегиба нет. Интервалы выпуклости и вогнутости разделяются вертикальной асимптотой. 6) k + ( ) + b + - уравнение наклонной асимптоты 7), + D 4 8 < 8) -

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u). ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

Подробнее

Глава 4 Элементарные функции и их графики.

Глава 4 Элементарные функции и их графики. Глава Элементарные функции и их графики Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований Построить график функции y f () по известному графику y f () При одном и том же значении ординаты

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. О.Г. Павловская Е.С. Плюснина МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Теоретические основы ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Пусть материальная точка (некоторое тело)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x> Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть l кривая, M 0 точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к l. Кривую l называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума). 6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее