ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» Рекомендовано редакционно-издательским Советом университета в качестве методических указаний для студентов специальности АТС Москва 010 Москва 010

2 УДК С 1 Сафро В.М., Скачко А.В., Чумерина Е.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» М.: МИИТ, с. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» содержат 10 заданий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Задания 1 5 посвящены пяти основным типам дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли и в полных дифференциалах. Задания 6 10 включают уравнения высших порядков: уравнения, допускающие понижение порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постояннными коэффициентами. Перед каждым заданием подробно разобран типовой пример. Каждое задание содержит тридцать вариантов, что обеспечивает индивидуальный характер работы студентов. Оглавление Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида Линейные неоднородные уравнения с произвольной правой частью метод вариации постоянных Список литературы c Московский государственный университет путей сообщения МИИТ, 010 3

3 Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением ОДУ называется равенство, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию y, зависящую от переменной, и ее производные y, y,..., y n F, y, y, y,..., y n = 0. 1 Определение. Порядком уравнения 1 называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Определение 3. Уравнением, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнение вида y n = f, y, y, y,..., y n 1. Определение 4. Решением уравнения 1 или называется функция y = y, обращающая это уравнение в тождество. График решения на плоскости Oy называется интегральной кривой. Возможны следующие записи ОДУ первого порядка: F, y, y = 0 общий вид, 3 y = f, y нормальная форма, 4 P, y d + Q, y dy = 0 дифференциальная форма. 5 Геометрический смысл уравнения 4 заключается в задании в каждой точке плоскости Oy направления касательных к интегральным кривым поле направлений. Определение 5. Задачей Коши для уравнения 4 называют задачу нахождения решения y = y 6 уравнения 4, удовлетворяющего начальному условию y 0 = y 0. 7 Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку 0, y 0 плоскости Oy. Каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. На вопрос: каким условиям достаточно подчинить правую часть уравнения 4 в окрестности начальных данных 0, y 0, чтобы через точку 0, y 0 проходила одна и только одна интегральная кривая этого уравнения, отвечает теорема существования и единственности задачи Коши [5]. Приведем ее упрощенный вариант []. Если функция f, y непрерывна по совокупности переменных и y в некоторой окрестности точки 0, y 0 и в этой окрестности имеет ограниченную производную, то существует единственное f, y y решение y = y уравнения 4, удовлетворяющее начальному условию y 0 = y 0, определенное в некоторой окрестности 0 h, 0 + h точки 0. Если общее решение уравнения 4 задано в неявном виде ϕ, y, c = 0, то оно называется общим интегралом этого уравнения. Определение 6. Решение, в каждой точке которого сохраняется единственность решения задачи Коши, называется частным решением. Определение 7. Задачей Коши для уравнения называют задачу нахождения решения y = y уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям: y 0 = y 0, y 0 = y 1 0,..., y n 1 0 = y n

4 Если общее решение уравнения задано в неявном виде Φ, y, c 1,..., c n = 0, то оно называется общим интегралом этого уравнения. 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1.1 Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными это уравнение, имеющее вид или y = fgy 1.1 f 1 g 1 y d + f g y dy = Для его решения надо обе части умножить или разделить на такое выражение, чтобы одна часть уравнения зависела только от, а другая только от y и затем проинтегрировать обе части. f d = gy dy, 1.3 Замечание 1. В уравнении вида 1.1 производную y следует представить как dy 1 d. Тогда имеем gy dy = fd или fd = g 1 ydy. Интегрируя обе части 1.3, получим общее решение уравнения в неявном виде f d gy dy + c = 0, где c произвольная постоянная. В случае 1. разделим это уравнение на g 1 yf f 1 f d + g y g 1 y dy = 0 и, интегрируя, найдем общий интеграл уравнения f1 f d + g y dy + c = 0. g 1 y Замечание. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Пример 1. Найти общее решение уравнения и затем решить задачу Коши y d + y dy + d y dy = 0, y0 = Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения следующим образом: y + 1 d + y 1 dy = 0. Разделим обе части полученного уравнения на выражение y d = y y + 1 dy. Интегрируя левую и правую части по переменным и y соответственно, получим d 1 = y dy y c, ln 1 = ln y c. 6 7

5 Представляя постоянную в виде c = ln c 1 и потенциируя последнее выражение, найдем общий интеграл уравнения 1 = c y При делении уравнения на множитель y могли быть потеряны следующие решения: = ±1. Подставляя их в исходное уравнение 1.4, убеждаемся, что = ±1 обращают уравнение в тождество, поэтому являются решениями. Однако, они включаются в формулу общего интеграла 1.5 при c = 0. Решим задачу Коши, то есть определим частное решение, удовлетворяющее условию y0 = = c [ ]. Откуда, c = 1/. Следовательно, 1 = 1/y + 1 или y = ± 1. Однако, начальному условию удовлетворяет только y = 1. Ответ. Общий интеграл уравнения: 1 = c y + 1, где c произвольная постоянная. Решение задачи Коши: y = 1. Задание 1. Найти общее решение уравнения и затем решить задачу Коши. 1. y d + 4 d dy dy = 0, y 1 = ;. y = y = 0, y0 = ; y + 9 d + 1 dy = 0, y0 = 0; 4. cos sin y d cos3 y π sin dy = 0, y = π 4 4 ; 5. sin + tg y 1 π y = 0, y = 0; 6. y d 3 dy = dy + d, y0 = ; 7. d + 3 y y 3 e dy = 0, y1 = 0; 8. y 1 3 d + y y + dy = 0, y 1 = ; 9. d y = ln 1 y dy, ye = 0; 10. e +y d dy = 0, y1 = ; 11. e y d y dy = 0, y0 = 1; 1. e 1 y 1 d y dy = 0, y1 = 1; 13. tg 3 cos y d sin y cos dy = 0, y0 = π ; 14. y = y ln, y1 = 1; ln y y d + ln dy = 0, ye = 0; 16. sin d tg y ctg dy = 0, y0 = 0; 17. y d y + 4 dy = 0, y0 = 1; 18. y = 43 yy + 1 4, y0 = 5; dy y + 1 y + d = 0, y0 = 1; 0. y d y + 1 cos dy = 0, y0 = 1; 1. y = y , y1 = 0; + 1 y y d y 1 dy = 0, y0 = 3; 3. 3 e y 3 d y dy = 0, y1 = 1; 4. e 3e y + 1 d e + 1 dy = 0, y0 = 0; 8 9

6 5. y = y 6y + 10, y0 = 4; cos sin y d y dy = 0, y0 = π ; 7. y = 3 y 3 + y 5, y0 = 1; d = 3 e 1 y + y + 1 dy, y = 1; 9. y ln y arctg d dy = 0, y1 = e; 30. y = cos6 y π sin 4, y = Однородные уравнения Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде y y = f. 1.6 Оно решается заменой y = t, y = t +t, в результате которой получается уравнение с разделяющимися переменными относительно t и t + t = ft, dt d = ft t. После того, как будет найдено его решение, необходимо выполнить обратную замену t = y/. Пример. Найти общее решение уравнения dy y d y dy = Решение. Перепишем уравнение в виде y dy y d = 0; dy d = y y ; y = Сделаем замену y = t, y = t + t. Следовательно, Представим t = dt d уравнения в правую t + t = t 1 t. y 1 y и перенесем слагаемое t из левой части dt d = t 1 t t. Получим уравнение с разделяющимися переменными dt d = t 1 t, решая которое, найдем общий интеграл уравнения 1 ln t = ln + c. t Кроме того, имеется решение t = 0, которое было потеряно при делении на t при разделении переменных. Возвратимся к старой переменной y, заменяя t = y/. Ответ. Общий интеграл уравнения: ln y + /y = c, где c произвольная постоянная; y = 0. Замечание. Напомним определения следующих функций: sh = e e, sec = 1 cos, ch = e + e, cosec = 1 sin

7 Задание. Найти общее решение уравнения. 1. а y = sh y + y, б 17y 8 10y d y + 9y dy = 0;. а y = ctg y cos y + y, б y d + 10y dy = 0; 3. а sin y dy ctg y + y sin y d = 0, б y 8y dy + y y + d = 0; 4. а y = ch y + y, б 3y d + dy 5 dy = 0; 5. а y = y ln y + 1, б y = 8 y + y y + y ; 6. а dy y ln y + 1 d = 0, б 7y d y dy = 0; 7. а y = sin y + y, б 9 + 5y + y d y + y dy = 0; 8. а y dy e y + y d = 0, б y dy y d = 0; 9. а y = 4y + y + y y +, б y = y + e y ; 10. а y = + y + e y, б dy 6 y d = 0; cos y 11. а y = sin y + cos y + y, б y + y d y + y dy = 0; 1. а yy = e y + y, б 3y d + y dy = 0; 13. а y = y y 3 3y 4y, б y y cosec y = 0; y 14. а y = y e y + y, б 5 + y d + + y dy = 0; 15. а y = y sec y + y, б y = y + y + 5y ; 16. а y = y e y + y, б y dy + 5 d 4 dy = 0; 17. а y = y ln y + y, б y 5 d + + y + y dy = 0; 18. а ln y y = y + y ln y, б 5 d + y 4 d + dy = 0; 1 13

8 19. а y = y cos y + y, б 3y 5y dy + y d = 0; 0. а y = 3 y e y + y, б 4 + 1y d + 9y 34 dy = 0; 1. а yy = y y, б 8 3y d = y d dy + dy;. а + y y = y + y + y, б + y dy y d = 0; 3. а y 3 y = 3 + y + y 4, б y 3 5y d + y y dy = 0; y 3 4. а 4 y y sin cos y d y sin cos y y 3 dy = 0, б d 3 dy + y 5 d + dy = 0; 5. а y = e y y + + y +, e y + б 5 d dy+y 7 dy 1 d+y 3 d dy = 0; 6. а y = + y arctg y + y, б y d + dy d = 0; 7. а y = y4 4 ln y + y, б y + y d y + y dy = 0; 8. а dy sin y y cos + y d = 0, б y d + + y dy = 0; 9. а y = sin y + tg y + y, б + 3y d + + 3y + y dy = 0; 30. а y = y ln y ln + ln y ln + 1, б y d + dy + dy = Линейные уравнения Линейное дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной и имеющее вид y + py = f. 1.8 Здесь p и f заданные функции. Если f = 0, то уравнение 1.8 называется однородным, в противном случае, неоднородным. Решение уравнение находим с помощью подстановки y = uv, где u и v новые неизвестные функции переменной. Тогда y = u v + uv. Подставив выражения для y, y в исходное уравнение 1.8, получим u v + u v + pv = f. 1.9 Функцию v выберем так, чтобы выражение в круглых скобках в 1.9 обратилось в нуль v + pv =

9 Уравнение 1.10 является уравнением с разделяющимися переменными dv = p d. v Его частное решение имеет вид v = e R p d, где при вычислении неопределенного интеграла положим постоянную интегрирования c = 0. Функцию u найдем, подставляя выражение для v в уравнение 1.9. Снова получаем уравнение с разделяющимися переменными du R p d d e = f и находим его общее решение u = e R p d f d + c. Выражение для u включает произвольную постоянную c u = u, c. Перемножив найденные функции u и v, получим общее решение дифференциального уравнения 1.8 в виде y = uv. Пример 3. Найти общее решение уравнения и затем решить задачу Коши y + y = e, y0 = Решение. В нашем случае p =, f = e. Пусть y = uv, тогда y = u v+uv. Подставим в уравнение 1.11 выражения для y, y u v + uv + uv = e u v + u v + v = e. Найдем неизвестную функцию v из условия v + v = 0. Получим v = e. Тогда u является решением уравнения u e = e u =. Следовательно, u = / + c и y = uv = / + ce. Решая задачу Коши, находим c = 1. Ответ. Общее решение уравнения: y = + c e, где c произвольная постоянная. Решение задачи Коши: y = + 1 e. Задание 3. Найти общее решение уравнения и затем решить задачу Коши для него. π 1. y + y tg = cos 4, y = 1; 4. y y ctg = 1 π sin, y = 1; 3. y + y tg = sin, y0 = ; 4. y + y = e cos, y0 = 4; 5. y + y = 3, y0 = 3 ; 6. y y = e, y0 = 1; y + y = e, y1 = e ; π 8. y + sin y = cos sin, y = 1; 16 17

10 9. y + y = + + 1, y = 5; π 10. y y = cos, y = 0; 11. y + y = arctg, y1 = π 1 + ln 6 ; 1. y cos y = cos 3, y0 = 1; 13. sh y + 4y = sh ch 6, yln = 5 64 ; 14. y + ln y = e ln, y1 = 0; 15. y 1 + y = e 1 +, y0 = 1; y y = ln 1 + 3/, y1 = ; 17. y sin + y = ctg π, y = 4; 18. y 1 + y = 1 +, y1 = ; 19. y 3y + 1 = 1, y3 = 1 8 ; y y = 1 +, y0 = 5; 1. y y =, y0 = 1 ; y 4 3 y = , y0 = 0; 3. y + y sin = π e ctg, y = 0; 4. y y + 1 = e, y0 = 1 3 ; 5. y y 1 = 3 e 1, y0 = e 1 ; 6. ln y y = ln lnln, ye = 0; 7. y y 1 = e 1, y0 = 0; 8. 3 y + y = 8 e 1, y1 = 0; 9. y y = e , y0 = 4; π 30. sin 4 y + sin y = 1, y = Уравнения Бернулли Уравнение Бернулли это уравнение вида y + py = qy n, n Замечание. При n = является линейным дифференциальным уравнением первого порядка см. п. 1.3, при n = 1 уравнением с разделяющимися переменными см. п Разделим обе части уравнения 1.1 на y n y n y + py 1 n = q 1.13 и сделаем замену z = y 1 n. Тогда z = 1 ny n y. После замены получим линейное уравнение первого порядка z + pz = q, 1 n которое решается указанным в п. 1.3 способом

11 Пример 4. Найти общее решение уравнения y + y = 3 y Решение. В нашем случае p =, q = 3, n = 3. Разделив обе части уравнения 1.14 на y 3 и произведя в нем замену z = y, получим z + z = Пусть теперь z = uv. Тогда z = u v + uv. Подставляя выражения для z, z в 1.15, имеем u v + uv 4uv = 4 3, u v + u v 4v = 4 3. Функцию v находим, как частное решение уравнения: v 4v = 0. Отсюда, v = e. Тогда функция u является общим решением уравнения u e = 4 3 и имеет вид u = 4 3 e d = = 1 e c. e d = Для вычисления последнего интеграла использовался метод интегрирования по частям. Следовательно, z = uv = ce. Возвращаясь к старой переменной y, находим [ 1 y = z 1/ = + 1 ] 1/ + ce ce, где c произвольная постоянная. Ответ. y = Задание 4. Найти общее решение уравнения. 1. y + y = 4 y 3 ;. y tg y + sec y 3 = 0; 3. 3 y y + y = 0; 4. y 4y = 4 3 y; 5. y + 1y + 3 e y = 0; y 4y = 8 y; 7. y + y = e y ; 8. y y = cos y; 9. 4 ln y + y = ln y 5 ; 10. y 9y y = 0; 11. ln y 4y = ln y; 1. yy 3y + = 0; 13. 3y + 3y y 4 = 0; 14. yy y ln = 1; 15. y 4y = 4 4 y; 16. y 3 y y 4 = 3 ; 17. y + y = cos y 3 ; 0 1

12 18. y y = e y ; y y = y 3 ; 0. 3y y = 1 e 4 y; 1. yy y = cos ;. y 3y = 3e 3 y; y + y = y 3 ; 4. y + 3y tg = 3 sec 3 y; 5. 3y + 1y = 3 e y 4 ; 6. y + y = 3 y ; 7. y + y = y; 8. y y = y 3 ; 9. y y tg = y sec ; 30. y + y = 3 y. 1.5 Уравнения в полных дифференциалах Уравнение P, y d + Q, y dy = называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Z = F, y. Это имеет место, если выполнено условие полного дифференциала P y = Q Для решения 1.16 находят функцию F, y, полный дифференциал которой df, y = F d + F y dy, равен левой части уравнения Тем самым, F, y удовлетворяет системе равенств { F = P, y, F y 1.18 = Q, y. Тогда дифференциальное уравнение 1.16 означает df, y = 0, 1.19 и общее решение 1.16 можно написать в виде где c произвольная постоянная. F, y = c, 1.0 Пример 5. Найти общее решение уравнения 3 y d + y 3 y dy = Решение. В нашем случае P, y = 3 y, Q, y = y 3 y. Проверим выполнение условия полного дифференциала 1.17 P y = y, Q = y P y = Q. Выписываем систему 1.18 { F = 3 y, F y = y 3 y. 1. 3

13 Из первого равенства находим F, y = 3 y d = 4 y + ϕy, где ϕy пока неизвестная функция переменной y. Подставляем найденную функцию во второе равенство 1. F y = 0 y + ϕ y = y 3 y. Получаем следующее уравнение для ϕy: ϕ y = y 3. Откуда, ϕy = y 4 / + c. Следовательно, F, y = 4 y + y4 + c. В силу 1.0 можно записать общее решение исходного уравнения 1.1 в виде 4 + y4 y = c. Ответ. 4 + y 4 y = c, где c произвольная постоянная. 1. Задание 5. Найти общее решение уравнения. + y + y y d + + y + dy = 0;. [y cos y + sin + y] d + + [ cos y + sin + y + 8y] dy = 0; 3. 9 y + 10y y d y + 10 y + 1 dy = 0; y + 3 y 3 d + y 3 y 4 4 dy = 0; 5. y 5 y d + y 6 dy = 0; 6. ye y + y 1 d + e y + dy = 0; 7. y+1 y ln 3 y 1 d + + y ln 3 y dy = 0; 8. y d + y ln y dy = 0; 9. e +y + d + e +y + 1 dy = 0; y y 3 dy + 3y d = 0; + y e y + 3y y 3 dy e y + 3y3 4 d = 0; y d + + 3y 1 dy = 0; y y sin y + y sin y d y sin y + 1 sin y dy = 0; y + y 1 d y + y dy = 0; 15. y y y 1 3 d + y 3 + 3y dy = 0; 16. y 1 y + y d + y y + y 3 dy = 0; y y 3 d y + 4y dy = 0; y y3 d + 3 y + y + 5 dy = 0; y y + y d + + y 3 y dy = 0; 4 5

14 1 0. y + y 1 y d y + 1 y dy = 0; y 3 d + y 3 dy = 0; y + 3 y 3 3 y y y 4 + y + 3 y 4 4 y 5 6y y 1 y 1 + y 3 y 3 y 1 y sin y d + dy = 0; d + d y y 33 y d + y sin y y 3 6. sin y + y cos y y sin y d + + cos y sin y dy = 0; 7. [ cos + y y sin + y 3 y ] dy y [ sin + y + y ] d = 0; + 4y 3 dy = 0; dy = 0; dy = 0; 8. y 3 y + y d + 3 y y + dy = 0; 9. 9 y + 4 y 1 y 3 y d y 4 y y 4 dy = 0; 30. e y ye y + y 3 d + 3 y e y dy = 0. Дифференциальные уравнения высших порядков.1 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка В некоторых случаях решение уравнений высших порядков сводится к решению уравнений более низких порядков. Ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим два основных важных случая, когда решение уравнения второго порядка сводится к решению некоторого уравнения первого порядка. Уравнение, не содержащее искомой функции Если в уравнение не входит искомая функция y, то есть оно имеет вид F, y, y = 0,.1 то порядок уравнения можно понизить, сделав замену переменной y = z.тогда y = z и уравнение.1 преобразуется к виду F, z, z = 0. Пример 6. Найти общее решение уравнения y = y.. Решение. Данное уравнение не содержит неизвестную функцию y. С помощью подстановки y = z, y = z уравнение. примет вид z = z. Получили уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, находим z = c. Сделаем обратную замену, заменив z 6 7

15 на y y = c. Снова разделяем переменные и находим общее решение уравнения.. Ответ. y = c 1 + c, где c 1 и c произвольные постоянные. Задание 6. Найти общее решение уравнения. 1. y y = 0;. y = + 1; 3. y = 1 + y ; 4. y = + y ; 5. y = sin ; 6. y = 3y + e ; 7. y = y 1 ; 8. y = ln ; 9. y y = 3 sin ; 10. y sin y cos = 1; 11. y + y = 1; 1. y = + 1; 13. y = + 3y ; 14. y = + y ; 15. y = cos 3 ; 16. y = e 3 y ; 17. y = 4y + 3 ; 18. y = log 3 4; 19. y y = sin ; 0. y cos + y sin = 1; 1. y + y = 1;. 3 y = + 3 ; 3. 4 y + 3 y = 1; 4. y + y = ; 5. y = e 3 ; 6. y = e + y ; 7. y = + y ; 8. y = log 1; 9. y 3y = 4 cos ; 30. y cos + y sin + 3 = 0. Уравнение, не содержащее независимой переменной Если в уравнение не входит независимое переменное, то есть оно имеет вид F y, y, y = 0,.3 то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию y = py. Тогда y = dy d = dpy d = dp dy dy d = p p, и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка F y, p, p = 0. Пример 7. Найти решение задачи Коши. yy = y + 1, y0 = 1, y 0 = 1..4 Решение. Данное уравнение не содержит. Поэтому возьмем за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию y = py. Подставим в уравнение.4 y = p, y = p p yp p = p + 1. Получили уравнение с разделяющимися переменными dp dy = p + 1 py, решая которое, находим p +1 = cy или p = ± cy 1. Сделаем обратную замену, заменив p на y y = ± cy 1. Снова решая уравнение с разделяющимися переменными, находим общее решение уравнения.4 4c 1 y 1 = c 1 + c 8 9

16 [ ] или y = 1 c 1 +c c Чтобы решить задачу Коши, подставим в общее решение начальные условия. Для этого вычислим y = c 1+c. Получим систему уравнений относительно переменных c 1 и c 1 = 1 [ c c ] + 1, c = c 10 + c. Отсюда, c 1 =, c = 1. Подставляя их в общее решение, находим решение задачи Коши.4. Ответ. y = + /. Задание 7. Найти решение задачи Коши. 1. y = 1y 5, y = 1, y = ;. y = e y, y0 = 0, y 0 = ; 3. yy = y, y0 = y 0 = 1; 4. y = yy, y0 = y 0 = 1; 5. y = y 3, y1 = 1, y 1 = 1; 6. yy + y = 0, y0 = 1, y 0 = 1 ; 7. y 3 y = 8, y0 =, y 0 = 0; 8. yy = 1 + y, y0 = 1, y 0 = 0; 9. y = 3y 5, y1 = 1, y 1 = 1; 10. e y y = 8, y0 = 0, y 0 = 4; 11. yy y = 9, y0 = 3, y 0 = 0; 1. 4y + yy = 0, y0 = 1, y 0 = 0, 8; 13. yy = y, y0 = 0, y 0 = ; 14. y = yy, y0 =, y 0 = 1; 15. y + yy = 0, y0 =, y 0 = 1 1 ; 16. y = 8y, y = 3, y = 1; 17. y = y 3, y0 = 1, y 0 = ; 18. yy = 1 + y, y0 =, y 0 = 0; 19. e 4y y = y, y0 = 0, y 0 = ; 0. 5y = y 4, y0 =, y 0 = 8 5 ; 1. y + 16 = yy, y0 =, y 0 = 0;. e 4y y 1 = 0, y0 = 0, y 0 = 1; 3. yy = y, y0 = 1, y 0 = 1; 4. y 3 8y = 0, y0 =, y 0 = 1; 5. 4yy + y = 0, y0 = 1, y 0 = 0, ; 6. y = 5y 4, y1 = 1, y 1 = 1; 7. y = 3yy, y0 =, y 0 = 3; 8. yy y = 1, y0 = 1, y 0 = 0; 9. y 9e y = 0, y0 = 0, y 0 = 3; 30. y 3y = 0, y = 4, y =

17 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида Линейным однородным уравнением порядка n с постоянными действительными коэффициентами называют уравнение вида y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = 0,.5 где a i, i = 1,..., n действительные числа, y = y неизвестная функция. Чтобы решить.5, надо составить характеристическое уравнение λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = 0.6 и найти все его корни. Общее решение уравнения.5 есть сумма, состоящая из 1. Слагаемых вида c i e λ i для каждого простого действительного корня λ i уравнения.6, где c i произвольная постоянная;. Слагаемых вида c m+1 + c m c m+k k 1 e λ i для каждого кратного действительного корня λ i, где k кратность корня, c i произвольные постоянные; 3. Слагаемых вида c m+1 e α cos β + c m+ e α sin β для любой пары комплексно сопряженных простых корней λ i = α± βi, где c m+1 и c m+ произвольные постоянные; 4. Слагаемых вида P k 1 e α cos β + Q k 1 e α sin β для любой пары комплексно сопряженных корней λ i = α ± βi, каждый из которых имеет кратность k. Здесь P k 1, Q k 1 многочлены степени k 1 с произвольными постоянными в качестве коэффициентов. Пример Найти общее решение уравнения y + y y = 0..7 Решение. В нашем случае a 1 = 1, a =. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни λ + λ = 0 λ 1 =, λ = 1 простые действительные, поэтому общее решение имеет вид y = c 1 e + c e, где c 1 и c произвольные постоянные. Пример 8.. Найти общее решение уравнения y y + y = 0..8 Решение. Здесь a 1 =, a = 1. Составляем характеристическое уравнение λ λ + 1 = 0 и находим его корни λ 1, = 1 действительный корень 1 кратности. Следовательно, общее решение имеет вид y = c 1 e + c e, где c 1 и c произвольные постоянные. Пример Найти общее решение уравнения y + 6y + 13y = 0..9 Решение. В нашем случае a 1 = 6, a = 13. Составляем характеристическое уравнение λ + 6λ + 13 =

18 и находим его корни λ 1, = 3±i, α = 3, β = комлексно сопряженные простые. Следовательно, общее решение записывается в виде y = c 1 e 3 cos + c e 3 sin, где c 1 и c произвольные постоянные. Задание 8. Найти общее решение уравнения. 1. y 5y = 0;. y + 4y + 13y = 0; 3. y + 9y = 0; 4. y 3y + y = 0; 5. y + 4y + 7y = 0; 6. y + 16y = 0; 7. y + y + 5y = 0; 8. y 5y + 6y = 0; 9. y + 5y = 0; 10. y + y = 0; 11. y + y + y = 0; 1. y + 9y = 0; 13. y + y = 0; 14. y + 16y = 0; 15. y + 5y = 0; 16. y + 49y = 0; 17. 3y 7y + y = 0; 18. y 8y = 0; 19. y y + 9y = 0; 0. y y 8y = 0; 1. y + 81y = 0;. y 4y + 8y = 0; 3. y + 16y = 0; 4. y + y + 10y = 0; 5. y + 49y = 0; 6. y + 9y + 8y = 0; 7. y + 4y 5y = 0; 8. y y y = 0; 9. y + 4y + 5y = 0; 30. y y + 5y = 0. Линейным неоднородным уравнением порядка n с постоянными действительными коэффициентами и с правой частью специального вида называют уравнение вида y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = f,.10 где a i, i = 1,..., n действительные числа, f состоит из сумм и произведений функций b 0 + b b m m, e α, cos β, sin β. Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения с той же левой частью. Частное решение линейного уравнения с правой частью f f n равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями f 1,..., f n. Для нахождения частного решения уравнения.10 с правой частью специального вида используют метод неопределенных коэффициентов, причем частное решение ищется в следующем виде: 1. Если f = e a P m, где a действительное число, P m = b 0 + b b m m, то частное решение имеет вид y 1 = k e a R m,.11 где R m многочлен той же степени, что и P m. Число k = 0, если a не корень характеристического уравнения.6, а если a корень, то k равно кратности числа a как корня этого характеристического уравнения. Чтобы найти коэффициенты многочлена R m, надо решение.11 подставить в дифференциальное уравнение.10 и приравнять коэффициенты при одинаковых подобных членах в левой и правой частях уравнения.. Если f = e a [P m1 cos b + Q m sin b], где a, b действительные числa, P m1, Q m многочлены степени m 1 и m соответственно, то частное решение имеет вид y 1 = k e a [R m cos b + T m sin b],.1 где R m и T m многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов P и Q m = ma [m 1, m ]. Число k = 0, если a + bi не корень 34 35

19 характеристического уравнения.6, и равно кратности корня a + bi в противном случае. Чтобы найти коэффициенты многочленов R m и T m, надо подставить решение.1 в дифференциальное уравнение.10 и приравнять коэффициенты при одинаковых подобных членах. Пример 9. Найти общее решение уравнения y 3y + y = sin..13 Решение. Сначала найдем решение однородного уравнения y 3y + y = Составляем характеристическое уравнение и находим его корни λ 3λ + = 0.15 λ 1 =, λ = 1 простые действительные. Следовательно, общее решение.14 имеет вид y 0 = c 1 e + c e, где c 1 и c произвольные постоянные. Далее найдем частные решения y 1 и y следующих неоднородных уравнений, соответствующих слагаемым правой части.13: y 3y + y = e 0 3,.16 y 3y + y = e 0 5 sin + 0 cos..17 Рассмотрим сначала уравнение.16. В данном случае a = 0 не является корнем характеристического уравнения.15, поэтому k = 0. Число m = 1, так как P m = 3. Следовательно, частное решение ищем в виде y 1 = k e a R m = 0 e 0 b 0 + b 1 = b 0 + b 1. Первая и вторая производные функции y 1 равны y 1 = b 1, y 1 = 0. Подставляя в уравнение.16 выражения для y, y, y, получим 0 3b 1 + b 0 + b 1 = 3. Приводя подобные члены и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, имеем { 3b1 + b 0 = 0, b 1 = 3. Следовательно, b 1 = 3/, b 0 = 9/4 и y 1 = 9/4 + 3/. Найдем частное решение уравнения.17. Имеем a = 0, b =, a + bi = i не является корнем характеристического уравнения.15, поэтому k = 0. Число m = 0, так как P m1 = 0, Q m = 5. Следовательно, частное решение ищем в виде y = k e a [R m cos b + T m sin b] = = b 1 cos + b sin. Первая и вторая производные функции y равны y = b 1 sin + b cos, y = 4b 1 cos 4b sin. Подставляя выражения для y, y, y в уравнение.17, получим 4b 1 cos 4b sin 3 b 1 sin + b cos + + b 1 cos + b sin = 5 sin. Приводя подобные члены и приравнивая коэффициенты при cos, sin в левой и правой частях соответственно, имеем { b1 + 6b = 0, 6b 1 b =

20 Отсюда, b 1 = 3/4, b = 1/4 и y = 3/4 cos 1/4 sin. Тогда общее решение неоднородного уравнения.13 равно y = y 0 + y 1 + y. Ответ. y = c 1 e +c e +9/4+3/+3/4 cos 1/4 sin, где c 1 и c произвольные постоянные. Задание Найти общее решение уравнения. 1. y 5y = 1;. y + 4y + 13y = 5 7; 3. y + 9y = 1 sin ; 3 4. y + 4y + 7y = ; 5. y 3y + y = e ; 6. y + 16y = cos + sin ; 7. y + y + 5y = e ; 8. y 5y + 6y = cos 5 + sin 5; 9. y + 5y = e 5 ; 10. y + y = + 3e ; 11. y + y + y = 3 e ; 1. y + 9y = 3 + 4; 13. y + y = e ; 14. y + 16y = 3 sin + cos ; 15. y + 5y = 5 cos ; 16. y + 49y = sin cos 4; 17. 3y 7y + y = 4 3 ; 18. y 8y = e 5 + ; 19. y y + 9y = 3 7 ; 0. y y 8y = e 4 7; 1. y + 81y = ;. y 4y + 8y = e ; 3. y + 16y = e 4 ; 4. y + y + 10y = ; 5. y + 49y = 3 cos 6 sin 6; 6. y + 9y + 8y = 3 + 5; 7. y + 4y 5y = e 7 ; 8. y y y = e + 3; 9. y + 4y + 5y = e cos sin ; 30. y y + 5y = e 3 7. Задание 9.. Найти вид частного решения, не отыскивая значений коэффициентов этого частного решения. 1. y + 4y = 8 cos sin + e + 3 ;. y 4y = e 1 + sin + cos 4; 3. y + y + y = + 3e + + cos 5 3 sin 5; 4. y 6y + 9y = e sin 3 + e cos ; 5. y y + 5y = e cos + e + 5 sin 3; 38 39

21 6. y 4y + 4y = 3 e sin ; 7. y 3y + y = + 3 e + e cos + sin + ; 8. y 3y = + e cos + sin ; 3 9. y 3y + 4y = + e 4 + e 7 cos + sin + + 3; 10. y + y + 5y = e sin + e ; 11. y + 9y = 8 cos 3 + sin + e 3 ; 1. y 7y + 6y = e e 3 4 cos + sin 3; 13. 4y y 3y = e e 3 4 cos 5 + 3; 14. 3y 5y y = e e 1 3 cos + sin ; 15. 3y 5y + y = e 3 + e 4 3 cos + sin ; 16. y 7y = e7 3 + cos 5; 17. y + y 8y = e + e 4 cos + 1 sin ; y + y + 3y = e cos + e sin ; y + 9y = cos 3 + sin 3 + e sin ; 5 0. y 3y 4y = e e sin + 1 sin ; 1. y + y 1y = e e 4 cos + sin ;. y 7y = e 7 cos sin 3; 3. 3y 7y + y = e 7 + e 1 3 cos sin ; 4. y + 9y + 8y = e e sin + e cos ; 5. y + y 15y = e e 3 sin + e 3 cos + ; 6. y + 5y + 8y = e e 5 cos 7 + e 5 sin ; 7. y + 7y + 13y = e e 7 cos 3; 8. y + 16y = e cos + sin 4 + e ; 9. y 5y + y = e sin + 1 cos 3 + e ; 30. 3y 10y + 3y = e 1 3 sin + e Линейные неоднородные уравнения с произвольной правой частью метод вариации постоянных Линейное неоднородное уравнение a 0 y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = f.18 с произвольной правой частью f решается методом вариации постоянных Лагранжа. Пусть найдено общее решение y = c 1 y c n y n линейного однородного уравнения с той же левой частью, что и.18. Тогда решение исходного уравнения.18 ищется в виде y = c 1 y c n y n, где искомые функции c i, 40 41

22 i = 1,..., n определяются из системы c 1y c ny n = 0, c 1y c ny n = 0, c 1y n c ny n n = 0, a 0 c 1y n c ny n n 1 = f. Пример 10. Найти общее решение уравнения y 3y + y = Решение. Решение однородного уравнения.19 e3 1 + e..0 y 3y + y = 0.1 имеет вид y = c 1 e +c e. Будем искать решение неоднородного уравнения.0 в виде y = c 1 e + c e, где функции c 1 и c определяются из системы c 1e + c e = 0, c 1e + c e = e3 1 + e.. Выражая из первого уравнения системы c 1 = c e и подставляя во второе уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции c Его решение имеет вид c = c e = e3 1 + e. e d 1 + e = ln 1 + e + c 1, где c 1 произвольная постоянная. Далее, для c 1 получим уравнение e c 1 = 1 + e. Откуда, c 1 = e + ln 1 + e + c 1 1, где c1 1 произвольная постоянная. Следовательно, y = e [ e + ln 1 + e + c 1 1] + e [ ln 1 + e + c 1 ]. Ответ. y = c 1 e + c e e + e + e ln 1 + e, где c 1 и c произвольные постоянные. Задание 10. Найти общее решение уравнения методом вариации постоянных. 1. y 1 + 4y = cos ;. y y + y = e + 1 ; 3. y y = e 3 e ; 4. y + y + y = e 1 + ; 5. y + y = 7. y + y = 1 + cos ; 6. y y = e 5 e ; cos ; 8. y y = e sin e ; 9. y +4y +4y = e arcsin ; 10. y y = 11. y y + y = e 1 ; 1. y + 4y = 13. y y = e + e ; 14. y + y = e 1 + e ; 1 sin ; tg ; 15. y + y + y = e + 1 ; 16. y 3y + y = e3 1 e ; 17. y y 1 = 1 3e ; 18. y + 4y = ctg ; 19. y + 4y + 4y = e + 3 ; 0. y + y = sin 1 + sin ; 4 43

23 1. y y + y = e 9 ;. y + y = sin cos ; 3. y y = 1 ch ; 4. y y + y = 3e + 1; 5. y + y = 1 sin 3 ; 6. y + 3y + y = e 1 + e ; 7. y + 4y = 1 sin ; 8. y y + y = 9. y + 4y + 4y = e ln ; 30. y y = th. e 4 ; Список литературы 1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.. М.: Оникс, Мир и Образование, c.. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 3. Киселёв А. И., Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Высшая школа, c. 4. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным и дифференциальным уравнениям. М.: РОСВУЗИЗ- ДАТ, c. 5. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 5-е изд., с. 6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ФИЗМАТГИЗ, с. 7. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», с. 8. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, с

24 Учебно-методическое издание Сафро Владимир Моисеевич, Скачко Алла Валентиновна, Чумерина Екатерина Сергеевна ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика» Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л..75 Тираж 100 экз. Заказ Изд , Москва, ул. Образцова, 9, стр. 9 Типография МИИТ

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ С В БОГАТОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Рязань 6 Федеральное агентство по образованию Рязанская государственная

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее