Министерство образования и науки Российской Федерации

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Российской Федерации"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» Н. Л. Катунцева ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Утверждено в качестве учебного пособия Ученым советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» Комсомольск-на-Амуре 05

2 УДК 5(07) ББК.5.5я7 К97 Рецензенты: Кафедра математики ФГБОУ ВПО «Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет», зав. кафедрой кандидат технических наук А. М. Севастьянов; А. Н. Анисимов, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой информационной безопасности, информационных систем и физики ФГБОУ ВПО «Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет» Катунцева, Н. Л. К97 Практикум по математике. Векторная алгебра : учеб. пособие / Н. Л. Катунцева. Комсомольск-на-Амуре : ФГБОУ ВПО «КнАГТУ», с. ISBN Данное пособие содержит основные теоретические сведения из курса векторной алгебры. Большое внимание уделяется разбору примеров и задач, иллюстрирующих основной теоретический материал. Каждый раздел содержит наборы задач для практических занятий и самостоятельных работ. В пособии также приведены варианты расчетно графического задания, типовой вариант контрольной работы и вариант теста. Учебное пособие предназначено для бакалавров очной формы обучения по направлениям.03.0 «Землеустройство и кадастры», «Дизайн архитектурной среды», «Строительство». УДК 5(07) ББК.5.5я7 ISBN ФГБОУ ВПО «Комсомольскийна-Амуре государственный технический университет», 05

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Понятие вектора. Линейные операции над векторами Практическое занятие Самостоятельная работа Проекция вектора на ось. Координаты вектора Практическое занятие Самостоятельная работа Длина вектора. Деление отрезка в данном отношении Практическое занятие Самостоятельная работа Линейная комбинация векторов. Базис Практическое занятие Самостоятельная работа Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложение скалярного произведения векторов Практическое занятие Самостоятельная работа Векторное произведение векторов и его свойства. Приложение векторного произведения векторов Практическое занятие Самостоятельная работа Смешанное произведение векторов и его свойства. Приложение смешанного произведения векторов Практическое занятие Самостоятельная работа РАСЧЕТНО ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Расчетно графическое задание Решение типового варианта КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Типовой вариант контрольной работы Решение типового варианта контрольной работы ВАРИАНТ ТЕСТА С ОТВЕТАМИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

4 ВВЕДЕНИЕ Данное учебное пособие является частью учебно методического комплекса по дидактической единице «Векторная алгебра». Оно служит дополнением к базовым учебникам и учебным пособиям, которые указаны в списке основной учебной литературы рабочей программы. Учебное пособие предназначено для проведения практических аудиторных занятий, контрольных и самостоятельных работ, тестирования и выдачи расчетно графического задания. Цель настоящего учебного пособия оказание помощи студенту в приобретении навыков решения типовых задач по дидактической единице «Векторная алгебра». Описание основных методов решения сопровождается не только необходимыми теоретическими сведениями, но и подробными решениями соответствующих задач, что в значительной степени облегчает подготовку студентов к контрольной или самостоятельной работам, а также к тестированию. Подробное решение типового варианта расчетно графического задания окажет существенную помощь в решении и оформлении своего варианта. В данном учебном пособии приведены краткие теоретические сведения из курса векторной алгебры понятие вектора, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось, координаты вектора, длина вектора, деление отрезка в данном отношении, линейная комбинация векторов, базис, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их приложения. Работа содержит достаточное количество задач, снабженных подробными решениями. Задачи подобны тем, что предлагаются в наборах задач для аудиторных (практических) занятий, самостоятельных работ и в расчетно графических заданиях. В конце пособия предложен типовой вариант контрольной работы с подробным решением, в котором содержатся задачи по всем разделам и образец теста (с ответами). 4

5 . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.. Понятие вектора. Линейные операции над векторами Определение.. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется вектором. Обозначается одной строчной буквой или двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой сверху:,, AB а А AB В Определение.. Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0. Определение.3. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Определение.4. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Определение.5. Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Определение.6. Два вектора и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Обозначение:. Определение.7. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Классификация векторов представлена в табл... 5

6 Наименование векторов Нулевой вектор Коллинеарные векторы Пример их расположения на плоскости в а Таблица. Обозначение а а в Сонаправленные векторы а в а в Противоположно направленные векторы а в в а Равные векторы а в в а 6

7 Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами являются умножение вектора на число и сложение векторов. Определение.8. Если точка А является началом вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А. Отложим от точки А вектор AB, равный. Затем от точки В отложим вектор BC, равный. Вектор AC, равный c, называется суммой векторов и и обозначается: c. Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство (правило треугольника): AB BC AC (рис. ). B A C Рис. Определение.9. Разностью векторов и называется вектор c, сумма которого с вектором равна вектору. Обозначается: c. Разность векторов можно определить также равенством: c ( ). На рис. изображена сумма и разность векторов и : а а Рис. 7

8 Определение.0. Произведением вектора на действительное число называется новый вектор, который обладает свойствами: о длина вектора в раз больше длины вектора : ; векторы и сонаправлены, если 0 (рис. 3, а) и противоположно направленны, если 0 (рис. 3, б). а) С б) В В А А АВ, АС, ( 0) С АВ, АС, ( 0) Рис. 3 Свойства линейных операций над векторами: ) ( ) ( ) ( ) ; ) ( ) ; 3) ; 4) ( ) ; 5) ( ) c ( c) ; 6) ( ). 8

9 ... Практическое занятие ) Укажите, какими являются следующие пары векторов: а) б) в) г) ) Даны векторы, и с. Построить следующие вектора:,, c, 3c. с 3) Даны векторы, и с. Построить следующие вектора: с, а, c, 3c. с 9

10 ... Самостоятельная работа Вариант Даны векторы, и с. Построить следующие вектора:, c, 3c. с Вариант Даны векторы, и с. Построить следующие вектора: с, c 3, 3c. с.. Проекция вектора на ось. Координаты вектора Определение.. Осью называется прямая с заданным началом отсчета и направлением (направление на рисунках указывается стрелкой). Определение.. Проекцией вектора число, равное: A B, если вектор AB на ось 0u называется A B и ось 0u одинаково направлены (рис. 4, а); A B, если вектор A B и ось 0u направлены противоположно (рис. 4, б); 0, если вектор и ось 0u перпендикулярны. а) B б) B A A A B u B A u Рис. 4 0

11 Обозначается проекция вектора на ось 0u символом: пр. Из определения следует, что пр u cos, где угол между положительным направлением оси 0u и вектором. Определение.3. Единичный вектор e, направление которого совпадает с направлением оси 0u, называется направляющим вектором этой оси или ортом оси. Свойства проекции: ) При умножении вектора на число, его проекция также умножается на это число. ) При сложении векторов, их проекции складываются. Координаты вектора Если заданы координаты начала и конца вектора AB: A ( x, y, z), B( x, y, z), то координаты вектора AB можно вычислить по формуле AB x x y y, z., z Координаты вектора записываются в фигурные скобки через запятую или точку с запятой. Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно пер- z пендикулярных, пересекающихся в M точке 0, оси 0х, 0у, 0z. Пусть z i, j, k единичные направляющие векторы этих осей и M произвольный вектор. Отложим вектор от начала координат и обозначим x, y, z 0 проекции вектора на соответствующие оси координат (рис. M y y 5). x M x Рис. 5 M 0 u Определение.4. Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Координатная запись вектора имеет вид: i j k или,, }. x y z { x y z

12 Пусть { x, y, z}, { x, y, z}. Тогда правила сложения векторов и умножения вектора на число выражаются формулами:,, }, {,, }. { x x y y z z x y z Пример.. По данным точкам А(,, ), В(4, 3, ), С(,, 0) найти координаты вектора 3АВ ВС : Решение: Зная координаты точек А, В и С, найдем координаты векторов и : 4,3,, 4, ; 4,3,0, 4,. Теперь найдем координаты вектора : 3АВ ВС 3, 4,,4, 6,, 6 4,8, 64,8,6 Ответ: 0, 0, 8. 0, 0, 8. Пример.. Даны координаты точек 5,,6,, 4, 3 и 6, 3,9. Найти проекцию вектора на вектор. Решение: пр. Зная координаты точек А, В и С, найдем координаты векторов и : 5,, 6 6, 3, 3, , Следовательно, пр 9 54.

13 ... Практическое занятие ) Даны точки M 3, 4,, M,,3 и вектор, 4,8. Найти пр M M. ) По данным точкам найти координаты векторов AB, АВ 4ВС : А(, 4, 3), В(0,, ), С(, 3, 0); А(, 7, ), В(, 0, ), С(,, ); А(0, 5, ), В( 4, 4, 6), С(0, 6, ); А(,, 4), В(,, 5), С( 6, 6, ). 3) Найти проекцию вектора на вектор, если известны координаты точек А(, 3, 5), В(,, 6), С(0,, ).... Самостоятельная работа Вариант ) Даны точки M,0,6, M,, 0 и вектор,3, 4. Найти пр M M. ) По данным точкам найти координаты векторов АС 4ВА, 3АВ ВС : А(, 0, 8), В(9, 0, ), С(3,, ); А(5, 4, ), В(0,, ), С(, 0, 0); А( 8, 7, 3), В(0,, 4), С(,, 5). 3) Найти проекцию вектора на вектор, если известны координаты точек А(, 4, ), В(,, ), С(, 0, ). Вариант ) Даны точки M 3,,, M, 3, и вектор,,5. Найти пр M M. ) По данным точкам найти координаты векторов 5СВ 3АС, АВ 6ВС : А(, 4, 4), В(, 0, 4), С(, 7, ); А( 9,, ), В(,, ), С(0,, 4); А(4, 8, ), В(, 5, 4), С(3, 0, ). 3) Найти проекцию вектора на вектор, если известны координаты точек А(3,, ), В( 5,, 6), С(4,, 0). 3

14 4.3. Длина вектора. Деление отрезка в данном отношении Определение.5. Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора, и обозначается: AB,. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю. Определение.6. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается e, т.е. e. Длина вектора определяется по формуле z y x. Если заданы координаты начала и конца вектора ),,, ( z y x A ),,, ( z y x B то.,, z z y y x x AB Тогда длина вектора равна: z z y y x x AB. Условие коллинеарности векторов, заданных своими координатами: z z y y x x. Пример.3. Вычислить модуль вектора а, если 3 k j i k j i а. Приведем подобные в координатной записи вектора а : 3 k j i k j i а k j i k k j j i i 5 3. Коэффициенты векторов,,k и есть координаты вектора, т.е., 5, а.

15 Таким образом, длина вектора а равна: 5 5 а Ответ: а 30 ед. Пример.4. Проверить коллинеарность векторов = {,, 3} и = { 6, 3, 9}. Если векторы и коллинеарны, то их координаты должны быть пропорциональны. Проверим это , 9 т.е. коэффициент пропорциональности существует и равен Следовательно,.. 3 Пример.5. Даны координаты точек 5,,6,, 4, 3 и 6, 3,9. Найти модуль вектора 4. Решение: Зная координаты точек А, В и С, найдем координаты векторов и : 6, 3, 3, 5,, 6. Найдем координаты вектора 4 : Тогда 4 4 6, 3, 3 5,, 6 4,, 5,, 6 9,,

16 Деление отрезка в данном отношении Определение.7. Отношением, в котором точка М делит отрезок М М, называется число λ, удовлетворяющее равенству λ. Связь между координатами делящей точки М(х, y, z), точек М (х, y, z ), М (х, y, z ) и числом λ задается равенствами: ; ;. Деление отрезка М М будет внутренним, если λ0, и внешним, если λ 0. При λ 0 точка М будет серединой отрезка М М, λ не может принимать значение, т.е. λ. Пример.6. Известны координаты концов отрезка АВ: А(, 4, ), В(, 0, 5). Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении :4. Имеем: λ,, где r = x, y, z. Следовательно, ; ; ; ; 6 5 ;

17 .3.. Практическое занятие ) Вычислить модуль вектора а, если i j 4k а) а i j 3k ; 3i 6 j 9k б) а 3i 4 j k. 3 ) Установите правильное соответствие: при каком значении α длина вектора а в два раза меньше длины вектора, если известны координаты этих векторов? а) а {,3,α} {5,0, 3} ) α = б) а {3,,} {3,α,} ) α = 3 в) а {,α,} {,4, } 3) α = 0 г) а {,α,} {0,,0} 4) α = 5 д) а {4,5,0} {α,4, 9} 5) α = 3) Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если: а) А(4, 3, 0), В(,, ), λ = ; б) А(0,, ), В(,, 3), λ =..3.. Самостоятельная работа Вариант i 4 j 5k ) Вычислить модуль вектора а, если а i 3 j 5k 3. ) Найдите значение α, при котором длины векторов а и будут равны, если известны координаты этих векторов: а) а {, 3, α} {4,, 3}; б) а {, 5, } {4, α, }; в) а {, α, } {,, }. 3) Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если: а) А(,, ), В(4, 5, ), λ = ; б) А(,, 0), В( 3, 3, 3), λ = 3. 7

18 Вариант i 3 j k ) Вычислить модуль вектора а, если а i 3 j k. 4 ) Найдите значение α, при котором длины векторов а и будут равны, если известны координаты этих векторов. а) а {,α,} {,, }; б) а {0,α,} {,, 0}; в) а {4,6,α} {7,, }. 3) Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если: а) А(0, 6, 4), В(,, ), λ = ; 5 б) А(9, 3, ), В(, 0, ), λ = Линейная комбинация векторов. Базис Определение.8. Линейной комбинацией,,, n называется n вектор c k k, где числа c k коэффициенты линейной комбинации. k Определение.9. Векторы,,, n называются линейно независимыми, если равенство нулевому вектору их линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. n k c k k 0 верна, если c k = 0 для k. В противном случае, векторы,,, n линейно зависимы. Замечание. Если,,, n линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Утверждение: любые три вектора на плоскости являются линейно зависимыми. = {, }. Пример.7. Разложить вектор c = {9, 4} по векторам = {, 3} и Найдем коэффициенты и в разложении: с а. 8

19 Запишем эту формулу в координатах. Сначала вычислим координаты правой части: + = { ; 3 } + {; } = { + ; 3 + }. Эти координаты должны быть равны соответствующим координатам вектора c, т.е. {9, 4}={ + ; 3 + }. Следовательно, 9 = Решим эту систему уравнений методом исключения переменных: = 9 - = Ответ: c = + 5. Базис Определение.0. Набор векторов,,, п образует базис в некотором пространстве векторов, если: ) эти векторы линейно независимы; ) любой другой вектор данного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса, то есть для (любого) вектора из данного множества векторов: x x,, xn R : x x, x. Вывод : на множестве векторов, расположенных на прямой, базис может быть образован с помощью одного ненулевого вектора. Вывод : в пространстве векторов на плоскости базис может состоять из двух неколлинеарных векторов. Вывод 3: в трехмерном пространстве базис могут образовать любые три некомпланарных вектора. Пример.8. Даны векторы: 3,,,,,, c,, 5, d, 6, 5 в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Составим определитель из координат векторов его разложением, например, по первой строке: n n,, c и вычислим 9

20 Так как 0, то векторы c,, образуют базис. Найдем координаты вектора d относительно базиса c,,, т.е. числовые коэффициенты d, d, d 3 разложения c d d d d 3. Последнее векторное равенство можно записать в виде системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными: ,, d d d d d d d d d Решая эту систему, например, по формулам Крамера, находим: d =, d = 3, d 3 =. Ответ:, 3,..4.. Практическое занятие ) Найти разложение вектора а ={ ; } по векторам p ={ ; 3} и q ={3;}. ) Найти разложение вектора а ={4; 3} по векторам p ={ ; } и q ={4;}. 3) Найти координаты вектора а в базисе p и q, где а ={ ; }, p ={ ; 3} и q ={3;}. 4) Даны векторы:, 5,,,,,,,, 3 c 5 6,, d в некотором базисе. Показать, что векторы c,, образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

21 .4.. Самостоятельная работа Вариант ) Найти разложение вектора а ={; } по векторам p ={; 0} и q ={ ; }. ) Найти координаты вектора а ={ ; ; 5} в базисе p, q и r, где p ={; ; 3}, q ={3; 0; } и r ={ ; 3; }. 3) Найти координаты вектора а в базисе p и q, где а ={ ; }, p ={ ; 3} и q ={3; 4}. Вариант ) Найти разложение вектора а ={ ; 0} по векторам p ={ ; 3}, q ={0; 3}. ) Найти координаты вектора а ={ ; 0; 9} в базисе p, q и r, где p ={0; ; }, q ={; 0; } и r ={ ; ; 4}. 3) Найти координаты вектора а в базисе p и q, где а ={ ; }, p ={ ; 3} и q ={3; }..5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложение скалярного произведения векторов Определение.. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: или (, ). Таким образом, по определению (, ) cos, где угол между векторами и. Выражение скалярного произведения векторов { x, y, z}, { x, y, z} через координаты сомножителей: xx yy zz. Свойства скалярного произведения векторов: о 0 прямой угол ( ),

22 0 острый угол, 0 тупой угол; о ; 3 о ( c) c; 4 o ( ) ( ) ( ). Если cos 0. Определение.. Произведение квадратом вектора. называется скалярным Используя свойства 4, легко получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов xi y j zk, xi y j zk через координаты сомножителей. Скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов: x x y y Пример.9. Даны координаты точек 5,,6,, 4, 3 и 6, 3,9. Найти скалярное произведение векторов 4 и. Решение: Зная координаты точек А, В и С, найдем координаты векторов и : 6, 3, 3, 5,, 6. Найдем координаты вектора 4 : Следовательно, 4 4 6, 3, 3 5,, 6 4,, 5,, 6 9,, ,, 6, z z.

23 3 5,, 6. Тогда скалярное произведение равно: Пример.0. Даны векторы 44 и 3. Необходимо: а) вычислить скалярное произведение векторов и 3; б) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и. Решение: а) находим: 3396, ; б) так как 4, 0, 4,, 3, и, то векторы и не коллинеарны. Поскольку , то векторы и не ортогональны. Приложение скалярного произведения векторов ) Вычисление угла между векторами:, cos z y x z y x z z y y x x где угол между векторами и. ) Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов: 0 0. z z y y x x 3) Вычисление проекции одного вектора на другой: пр, пр z y x z z y y x x z y x z z y y x x.

24 Пример.. Найти угол между векторами и, если = {3, 0, 4} и = {7, 0, }. Пусть угол между векторами и. Тогда cos. Найдем скалярное произведение: Найдем модули векторов и : Найдем ; cos : Тогда rccos. 4 Ответ:. 4 5 cos. 55 Пример.. Даны векторы 6 и 3 4, где ; 5;, π/3. Найти: а) скалярное произведение векторов и ; б) проекцию вектора 4 5 на вектор ; в) cos, 4. Решение. а) Найдем скалярное произведение векторов и. Вычисляем :

25 cos, Получили 58. б) Найдем проекцию вектора 4 5 на вектор, т.е. пр 4 5. Согласно формуле пр Выразим вектор 4 5 через векторы и : Найдем скалярное произведение векторов 4 5 и : cos, ; cos, 6 =

26 Окончательно получаем в) Найдем cos, 4. пр cos, 4 4. Выразим векторы и 4 через векторы и : , Тогда cos, ; cos, ; 6

27 cos, В результате имеем: cos, , Практическое занятие ) Вычислить скалярное произведение векторов 3; ; ; 3; 3 и 6; 0; 3; ;. ) Вычислить скалярное произведение векторов ; ; 4; 0; и 4; 3; ; 9; 3. 3) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А(; ; 3), В(; ; ), С(4; 4; 5). 4) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А( ; 4; 6), В(0; ; 4), С( 6; 8; 0). 5) Вычислить, при каком значении α векторы и будут перпендикулярными, если известны координаты этих векторов? а) а {,3,α} {4,, 3}; б) а {,5,} {4,α,}..5.. Самостоятельная работа Вариант ) Вычислить скалярное произведение векторов ; ; 0; 5; 3 и 5; ; 9; ;. ) Вычислить скалярное произведение векторов 3; 3; 6; 0; и ; 4; ; 3; 3. 3) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А(; ; 5), В(; ; ), С(5; 4; 4). 7

28 4) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А( 6; ; 4), В(; 0; 4), С( 8; 0; 6). 5) Вычислить, при каком значении α векторы а и будут перпендикулярными, если известны координаты этих векторов: а) а {,α,} {,, }; б) а {0,α,} {,, 0}. Вариант ) Вычислить скалярное произведение векторов ; ; 8; 0; 3 и 3; ; 0; ; 6. ) Вычислить скалярное произведение векторов ; 3; 4; ; и 4;;0;9;. 3) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А(0; 4; 3), В(; ; ), С(3; 4; 0). 4) Найти косинус угла между векторами AB и AC, если известны координаты точек А( ; ; ), В(; 0; 4), С( ; 7; ). 5) Вычислить, при каком значении α векторы а и будут перпендикулярными, если известны координаты этих векторов: а) а {,, α} {4, 0, 3}; б) а {3, 5, 6} {, α, 0}..6. Векторное произведение векторов и его свойства. Приложение векторного произведения векторов Определение.3. Упорядоченная тройка векторов,, c называется правой, если кратчайший поворот первого вектора ко второму виден из конца третьего вектора против часовой стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой. Определение.4. Векторным произведением двух векторов и называется третий вектор c, удовлетворяющий условиям: а) длина вектора c равна произведению длин векторов и на синус угла между векторами и : c sin ; б) вектор c перпендикулярен векторам и ; в) тройка векторов,, c правая. Обозначение: c или c [, ]. 8

29 Выражение векторного произведения векторов,, }, { x, y, z} через координаты сомножителей: i j k y z x z x y x y z i j k y z x. x z y x y Свойства векторного произведения векторов: ) а ; ) ; 3) 0 ; c c. 4) c z Пример.3. Даны векторы 3 и 35. Найти модуль векторного произведения 3с и. Решение: Поскольку 395, то { x y z А следовательно, модуль векторного произведения равен: Приложение векторного произведения векторов ) Вычисление площади параллелограмма: S, где S площадь параллелограмма, построенного на векторах и. ) Вычисление площади треугольника: S, где S площадь треугольника с вершинами в точках А, В, С, AB, AC (рис. 6). А Рис. 6 В С 9

30 Пример.4. Найти вектор = {,, 3} и = {4, 0, 6}. c, перпендикулярный векторам Решение: Так как c и c, то c (векторное произведение векторов и ). i j k 3 3 c 3 i j k i 4 j 8k. Таким образом, получили координаты вектора c. Ответ: c {, 4, 8}. Пример.5. Вычислить площадь параллелограмма ABDC и треугольника ABC, если А(0,, ), B(,, 3), C(,, ), D(0,, ). Решение. Найдем векторы AB и AC : AB = {, 4, }, AC = {, 0, }. Найдем векторное произведение полученных векторов: AB AC i j k 4 4 i j k i 0 j ( 4) k. Найдем площадь параллелограмма ABDC, как длину полученного вектора 4 S ABCD AB AC 4 0 ( 4) Зная площадь параллелограмма, найдем площадь треугольника ABC: 4 S ABC S ABDC. Ответ: S 4 кв. ед., S кв. ед. ABDC ABC 30

31 .6.. Практическое занятие ) Вычислить площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин А(, 4, ), В(, 6, 3) и С(, 4, ). ) Вычислить площадь параллелограмма АВСD, если известны координаты трех его вершин А(,, 0), В(, 5, ), С(, 3, ). 3) Вычислить значение α, при котором векторы p =4 а 3 и q = 9 а будут коллинеарны, где а { 3, 3, α}, {39, 39, 05}. 4) Вычислить значение α, при котором векторы p =6 а и q = 3а будут коллинеарны, где а {,, α}, {,, 0}..6.. Самостоятельная работа Вариант ) Вычислить площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин А(,, 0), В(3, 0, 3) и С(5,, 6). ) Вычислить площадь параллелограмма АВСD, если известны координаты трех его вершин А(,, 3), В(, 0, ), С(, 4, ). 3) Установите правильное соответствие, при каком значении α векторы а и будут коллинеарными, если известны координаты этих векторов: а) а {, 3, α} { 4,, 3} ) 9 б) а {, 5, } {4, α, } ) 9 в) а {, α, } {,, } 3) 0 г) а {, 5, } { 4, α, } 4) 0 д) а { 63, 8, α} {7, 3, } 5) 6) Вариант ) Вычислить площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин А( 3,, ), В(,, ), С( 4,, ). ) Вычислить площадь параллелограмма АВСD, если известны координаты трех его вершин А(,, ), В(, 3, ), С(,, 3). 3) Установите правильное соответствие, при каком значении α векторы а и будут коллинеарными, если известны координаты этих векторов: а) а {,3,α} {4,, 3} ) 0 б) а {,5,} {4,α,} ) 8 в) а {, 6, } {4,α,} 3) 9 г) а {,α, } {,, } 4) д) а {4,6,α} {7,3, 4} 5) 6) 8 3

32 .7. Смешанное произведение векторов и его свойства. Приложение смешанного произведения векторов Пусть,, c три произвольных вектора. Определение.5. Смешанным произведением векторов,, c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов и на вектор c, т.е. ( ) c. Так как выполняется свойство ( ) c ( c), то смешанное произведение можно обозначать проще: c. Выражение смешанного произведения векторов { x, y, z},,, }, c c, c, c } через координаты сомножителей: { x y z { x y z c ( ) c Свойства смешанного произведения векторов: ) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей: а ) c ( c ) ( c ) (. ) Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей c c. 3) Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, т.е. лежат в одной или параллельных плоскостях. c c c c c Пример.6. Даны векторы 44, 3 и 35. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. x x x c y y y c z z y. 3

33 Решение: а) так как 5 55, то ; б) векторы, и компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0. Вычисляем , т.е. векторы, и не компланарны. Ответ: а) ( ) 5= 480; б), и c не компланарны. Приложения смешанного произведения векторов ) Условие компланарности векторов: ( ) c 0,, c компланарны. ) Вычисление объема тетраэдра (параллелепипеда), построенного на векторах,, c (рис. 7). Если векторы,, c не компланарны, то V тетр 6 c V пар c. Пример.7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках A(,, ), B(5, 5, 4), C(3,, ), D(4,, 3). Решение Найдем координаты векторов AB, AC, AD : h h S AB {3, 6, 3}, AC = {, 3, }, AD= {,, }. Рис. 7 33

34 Вычислим смешанное произведение этих векторов: AB AC AD (6 4) 6( 4) 3( 6) 8. Найдем объем пирамиды: V Vп. п. 6 Ответ: Vпир. 3 куб. ед пир. AB AC AD 3. Пример.8. Проверить компланарность векторов = {, 3, }, = {,, 3} и c = {, 9, }. Решение Вычислим смешанное произведение векторов, и c : c ( ) ( 7) 3( 3) ( )(9 ) ( 6) 3( 3) Так как c 0, следовательно, векторы, и c компланарны. Ответ:, и c компланарны..7.. Практическое занятие ) Вычислить смешанное произведение векторов а {; 0; }, {; 0; } и c {3; ; }. ) Вычислить смешанное произведение векторов AB, BC и AC, если А(, 6, 9), В(, 0, 4), С(4, 3, 8). 3) Вычислить объем тетраэдра АВСD, если известны координаты его вершин A(,, 4), B(4, 3, 8), C(,, 3), D(0,, ). 4) Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD, если известны координаты его вершин А(,, ), В(, 3, ), С(,, 5), D(4, 4, ). 9 34

35 .7.. Самостоятельная работа Вариант ) Вычислить смешанное произведение векторов а {3, 0, }, {, 0, } и c {, 0, }. ) Вычислить смешанное произведение векторов AB, BC и AC, если А(3,, ), В(, 0, ), С(, 0, ). 3) Вычислить объем тетраэдра АВСD, если известны координаты его вершин A(7, 7, 3), B(0,, ), C(3, 7, 3), D(4,, ). 4) Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD, если известны координаты его вершин А( 3,, ), В(,, ), С( 4,, ), D(6, 5, ). Вариант ) Вычислить смешанное произведение векторов а {,, 0}, {0, 6, 0} и c {, 4, 0}. ) Вычислить смешанное произведение векторов AB, BC и AC, если А(,, 3), В(, 0, ), С(, 4, ). 3) Вычислить объем тетраэдра АВСD, если известны координаты его вершин А(,, ), В(, 4, ), С(5, 0, 5), D( 4, 0, ). 4) Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD, если известны координаты его вершин А(,, ), В(, 3, ), С(,, 3), D(,, ).. РАСЧЕТНО ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Выбор варианта по расчетно графическому заданию осуществляется в соответствии с порядковым номером студента в списке согласно групповому журналу. Вариант Задача. Даны.. Расчетно графическое задание векторы {3,, }, {, 3, }, c {,, 3} и d {5,, } в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. 35

36 Задача. Даны векторы а 5 4 и 3 6, где = 3, =5,. Найти: а) ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы = 564, = 4+87 и =34. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 4,, 3), B(, 5, 7), С(6, 3, ) и D(6, 4, ). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середины ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (,, 9) приложена к точке A(4,, 3). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(, 4, 0); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 4, 6, 7,, 4, и 3, 4,. Найти: а модуль вектора = 4 ; б скалярное произведение векторов =4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :3. 36

37 Вариант Задача. Даны векторы {,, 3}, {, 3, }, c {3, 4, 5} и d {6, 0, 6} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 и 4, где =, =3,. Найти: а) 3 4; б) пр 4; в) cos ; 4. Задача 3. Даны векторы = 9+4, = 4+6 и =369. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(4,, 3), B( 5, 4, ), С(5, 7, 4) и D(6, 4, 7). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (4, 7, 3) приложена к точке A(5, 4, ). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(8, 5, 4); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 3, 5, 4,4,, 3 и,4,7. Найти: а модуль вектора =3 ; б скалярное произведение векторов =3 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :. 37

38 Вариант 3 Задача. Даны векторы {4,, 5}, { 3, 5, 6}, c {, 3, } и d {9, 4, 8} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 5 и 3, где =4, =5,. Найти: а) 3 5; б) пр 5; в) cos ; 5. Задача 3. Даны векторы = 454, = 5 и = +43. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(3, 5, 3), B( 3,, 8), С( 3,, 6) и D(7, 8, ). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = ( 5, 4, 4) приложена к точке A(3, 7, 5). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(, 4, ); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 3, 5, 6,3, 5, 4 и, 6, 4. Найти: а модуль вектора = 4 ; б скалярное произведение векторов = 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 4:3. 38

39 Вариант 4 Задача. Даны векторы {,, 4}, {,, }, c {,, 4} и d {, 4, } в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 5 и 6 4, где =3, =,. Найти: а) 3; б) пр 3; в) cos ; 3. Задача 3. Даны векторы =3+5, =4+6 и =3. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 9, 7, 4), B( 4, 3, ), С(5, 4, ) и D(3, 4, 4). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (6, 5, 7) приложена к точке A(7, 6, 4). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4, 9, 6); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 6, 5, 4,5,, и 3, 3,. Найти: а модуль вектора = ; б скалярное произведение векторов = и ; 39

40 в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 3:. Вариант 5 Задача. Даны векторы {, 3, 3}, {, 4, }, c {,, 4} и d {4,, } в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 и 4 5, где =, =3,. Найти: а) 3 5 ; б) пр 5 ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы = 3++7, = 5 и = 6+4. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(4, 3, ), B(, 7, 5), С( 4,, 4) и D(, 3, 5). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = ( 9, 5, 7) приложена к точке A(, 6, 3). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4, 3, 5); б) модуль момента силы F относительно точки B. 40

41 Задача 6. Даны координаты точек 6, 4, 5,7,,8 и,, 7. Найти: а модуль вектора = ; б скалярное произведение векторов = и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :4. Вариант 6 Задача. Даны векторы {3,, }, {4,, 5}, c {, 3, } и d {8, 4, 0} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 5 3 и 4, где =4, =,. Найти: а) 3; б) пр 3 ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы = 35, =4+8 и =3+7. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 8,, 7), B(3, 5, 9), С(, 4, 6) и D4, 6, 5). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. 4

42 Задача 5. Сила F = (5, 4, ) приложена к точке A(6,, 5). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4,, 6); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 5,4,3,4, 5, и, 7, 4. Найти: а модуль вектора = 4 ; б скалярное произведение векторов = 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 3:. Вариант 7 Задача. Даны векторы {, 8, 4}, {, 3, }, c {, 6, 3} и d {,, 3} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 6 и 3, где =6, =3,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы =3+, = +54 и =64. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. 4

43 Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(7, 4, ), B( 5, 3, 9), С(, 5, 3) и D(7, 9, ). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (3, 5, 7) приложена к точке A(, 3, 5). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(0, 4, 3); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 4, 3,,4, 3, 5 и 6, 4, 3. Найти: а модуль вектора = 4 ; б скалярное произведение векторов = 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :3. Вариант 8 Задача. Даны векторы {, 3, 3}, { 4,, 5}, c {,, 6} и d { 3, 5, 9} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 и в 4, где =3, =,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы =46, = +3+ и =357. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; 43

44 в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 6, 3, 5), B(5,, 7), С(3, 5, ) и D(4,, 9). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (4,, 6) приложена к точке A(3, 5, ). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4,, 3); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 3, 4,,5,, 6 и 4,, 7. Найти: а модуль вектора =4 ; б скалярное произведение векторов =4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :5. Вариант 9 Задача. Даны векторы {7, 4, }, { 5, 0, 3}, c {0,, 4} и d {3, 43, 0} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а и 4 3, где =4, =5,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. 44

45 Задача 3. Даны векторы =745, =+3 и =5+53. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(, 5, ), B( 6, 7, 9), С(4, 5, ) и D(,, 4). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = ( 4, 5, 7) приложена к точке A(4,, 3). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(7, 0, 3); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 5,, 6,3, 4, 5 и, 5, 4. Найти: а модуль вектора =3 ; б скалярное произведение векторов =3 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 4:3. Вариант 0 Задача. Даны векторы {, 5, 3}, {,, }, c {4,, } и d {3, 0, 9} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 5 и 3, где =, =5,. Найти: а) 3 4 3; 45

46 б) пр 3; в) cos ; 3. Задача 3. Даны векторы =7+5, = +6 и =3+4. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(5,, 7), B(7, 6, 9), С( 7, 6, 3) и D(, 5, ). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (, 9, 4) приложена к точке A(5, 3, 4). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(6, 4, ); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 3, 4, 6,4,6,4 и 5,, 3. Найти: а модуль вектора =3 4 ; б скалярное произведение векторов =3 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 4:3. Вариант Задача. Даны векторы {, 4, 3}, {, 7, }, c {3,, 4} и d {6, 0, 3} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. 46

47 Задача. Даны векторы а 5 и 4 3, где =4, =7,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы = 9+45, = +4 и = Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(7,, ), B(, 7, 8), С(3, 7, 9) и D( 3, 5, ). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = ( 3,, 9) приложена к точке A(6, 3, 5). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(9, 5, 7); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 5, 4, 4,5,,3 и 4,, 5. Найти: а модуль вектора = 3 ; б скалярное произведение векторов = 3 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :3. 47

48 Вариант Задача. Даны векторы { 3,, 3}, {5, 7, }, c {, 4, 6} и d {4, 9, } в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 4 и 5 3, где =5, =4, π. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы = +43, =5+ и =7+4. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 7, 6, 5), B(5,, 3), С(8, 4, 0) и D(3, 4, 7). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (5, 3, 9) приложена к точке A(3, 4, 6). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(, 6, 5); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 4,, 5,3, 7, и 4, 6, 3. Найти: а модуль вектора =3 4 ; б скалярное произведение векторов =3 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 4:3. 48

49 Вариант 3 Задача. Даны векторы {, 4, 3}, {0,, 3}, c {, 3, } и d { 8, 0, 3} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 4 и 5, где =, =5,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы 93, 35 и 57. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(5, 4, 4), B( 4, 6, 5), С(3,, 7) и D(6,, 9). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (4, 4, 8) приложена к точке A(8, 4, 6). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4, 8, 0); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек, 4, 6,3,5, и 4, 5, 4. Найти: а модуль вектора = 5 ; б скалярное произведение векторов = 5 и ; 49

50 в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :5. Вариант 4 Задача. Даны векторы {, 3, }, { 3, 6, 7}, c {4, 5, } и d {9, 33, 0} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 6 и 7 3, где =3, =4,. Найти: а) 3 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы 4, 9 и 357. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(5, 3, 6), B( 3, 4, 4), С(5, 6, 8) и D(4, 0, 3). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (8, 4, 6) приложена к точке A(0, 8, 4). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(6, 0, 8); б) модуль момента силы F относительно точки B. 50

51 Задача 6. Даны координаты точек 4, 5, 3,4,,3 и 5, 6,. Найти: а модуль вектора =3 ; б скалярное произведение векторов =3 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении :3. Вариант 5 Задача. Даны векторы {4, 5, }, {, 4, }, c {3,, } и d { 5,, } в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 и 4 5, где =6, =3,. Найти: а) 5 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы 3 8, 3 и 8 8. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 6, 4, 5), B(5, 7, 3), С(4,, 8) и D(, 8, 3). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. 5

52 Задача 5. Сила F = ( 0, 8, 8) приложена к точке A(6, 4, 0). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(4, 8, ); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек,3,4,3,, и 4,, 4. Найти: а модуль вектора =3 4 ; б скалярное произведение векторов = 3 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 5:3. Вариант 6 Задача. Даны векторы {, 3, 4}, { 4, 3, }, c {3,, } и d {4, 4, 0} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 3 и 3 5, где =, =6,. Найти: а) 4 5 ; б) пр ; в) cos ;. Задача 3. Даны векторы 43, 35 и 664. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. 5

53 Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A(5,, 4), B( 3, 5, 7), С(, 5, 8) и D(9, 3, 5). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = (, 0, 4) приложена к точке A(4,, 8). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(8, 8, ); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 3,, 4,,,3 и,,. Найти: а модуль вектора = 3 ; б скалярное произведение векторов = 3 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 5:. Вариант 7 Задача. Даны векторы {4, 3, }, {, 5, }, c {3,, 7} и d { 4,, 3} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 6 и 4 3, где =4, =7,. Найти: а) 3; б) пр 3 ; в) cos 3;. Задача 3. Даны векторы 46, 3 и

54 Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов, и 5с; б) найти модуль векторного произведения 3с и ; в) вычислить скалярное произведение векторов и 3; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы и ; д) проверить, будут ли компланарны векторы, и с. Задача 4. Вершины пирамиды находятся в точках A( 4, 5, 3), B(3,, ), С(5, 7, 6) и D(6,, 5). Вычислить: а) площадь грани ABC; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC, AD; в) объем пирамиды ABCD. Задача 5. Сила F = ( 8, 0, 4) приложена к точке A(,, 6). Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B(8, 6, 0); б) модуль момента силы F относительно точки B. Задача 6. Даны координаты точек 0, 6, 3,,4,5 и 3, 4, 6. Найти: а модуль вектора = 4 ; б скалярное произведение векторов = 4 и ; в проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки М, делящей отрезок l = АВ в отношении 5:4. Вариант 8 Задача. Даны векторы { 6, 4, 5}, { 5, 3, }, c {,, 3} и d { 4,, 0} в некотором базисе. Показать, что векторы,, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Задача. Даны векторы а 4 и в 5 3, где =6, =3,. Найти: а) 3; 54


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Учебное издание ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и индивидуальные задания Составители: ПОПОВ Вячеслав Александрович, ЩЕРБАКОВА Антонина Васильевна Редактор Ю.В.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВ Конев ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано в качестве

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее