УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных заданий/ Краснояр. гос. Ун-т; Сост. Н.А. Пинкина. Красноярск,. с. ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА Предназначено для студентов курса экономического факультета заочной формы обучения. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Методическая разработка Печатается по решению редакционно издательского совета Красноярского госуниверситета Красноярск Красноярский государственный университет,

2 Решение типовых задач. Выполнить действия в алгебраической форме. Основные формулы: - - Пример: Решение: Ответ:. Вычислить в тригонометрической форме. Основные формулы: Запись комплексного числа в алгебраической форме: Переход к тригонометрической форме записи: rctg tg r ϕ,ϕ sn cos ϕ ϕ r Формула для извлечения корня n-ой степени: sn cos n n r n n ϕ ϕ Пример: Вычислить Решение:,,,., sn cos sn cos tg r ϕ ϕ Подставляя в найденный ответ значения, получим в результате четыре корня. sn cos sn cos, sn cos sn cos, sn cos sn cos, sn cos, ε ε ε ε Ответ:.,,,, sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos ε ε ε ε

3 . Разложить многочлен на неприводимые Пример: Решение: Подберем корень данного многочлена. Корнем является один из делителей свободного члена. Варианты: ±, ±. Подстановкой убеждаемся, что х - корень: Поделим многочлен на -. Деление будет без остатка. _ _ _ -- _-- -- Полученный результат можно записать следующим образом: Найдем корень многочлена - -. Варианты: ±, ±. Подстановкой убеждаемся, что х корень. Поделим многочлен на - уголком. _ _ - - У многочлена нет действительных корней. Найдем комплексные корни. - ± ± тогда многочлен - Запишем конечный результат. Ответ: Пользуясь свойствами определителей вычислить. Основные формулы: Вычисление определителей второго и третьего порядка: eta eta Свойства определителей: определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы; если у определителя строчка столбец равен нулю, то и сам определитель нулевой; если в определителе поменять местами две строчки столбца, то знак определителя поменяется; если в определителе две одинаковых строчки столбца, то он равен нулю; если все элементы некоторой строки столбца умножить на некоторое число, то сам определитель умножится на ; определитель, содержащий две пропорциональные строки равен нулю; если все элементы -ой строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых j c j то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки кроме -ой такие же как и в заданном определителе, а -ая строка столбец в одном из слагаемых состоит из элементов, в другом из элементов c j ; если одна из строк столбцов определителя равна линейной комбинации его других строк столбцов, то определитель равен нулю; определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Разложение определителя по -ой строке j-ому столбцу: eta A A n A n где A j -алгебраические дополнения элемента j. Определение: дополнительным минором M j элемента j называется минор порядка n- получающийся после вычеркивания из определителя -ой строки и j-ого столбца. Тогда A j - j M j A j -алгебраические дополнения элемента j. Разложение определителя по -ой строке j-ому столбцу:

4 eta A A n A n Пример: Для начала нужно выбрать такие две строки или столбца, чтобы при их сложении получалось наибольшее количество нулей. В нашем случае это первая и третья строки. Пользуясь девятым свойством определителя умножаем первую строчку на - и складываем с третьей. Получаем: Произведем разложение определителя по третьей строке. В сумму будем включать только ненулевые элементы, т. к. перемножая ноль и его алгебраическое дополнение в результате получим нулевое слагаемое. Заметим, что степень у - определяется номером строчки и столбца, на котором стоит выбранный элемент. В нашем случае элемент - стоит на третьей строчке и во втором столбце, следовательно степень у - будет. В результате получилось, что мы понизили порядок определителя на один. Проведем необходимые преобразования и разложим полученные определители по первому столбцу. Первую строку умножим на - и сложим со второй, затем ее же умножим на и сложим с третьей и умножим на - и сложим с четвертой строкой. В первых столбцах полученных определителей получилось по одному ненулевому элементу, что значительно упрощает дальнейшее решение. Разложим данные определители по первому столбцу. Полученные определители решаем по формуле вычисления определителя -го порядка.. Доказать совместность системы а Методом Гаусса б Методом Крамера в Матричным методом а Методом Гаусса. При решении системы методом Гаусса расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обратным ходом находятся неизвестные. В матрице можно умножать строчку на число и складывать с другой строчкой, менять строчки местами, менять столбцы местами при этом нужно переобозначить неизвестные. Сначала работаем с первой строкой, чтобы получить нули в первом столбце, затем со второй строкой, чтобы получить нули во втором столбце и то же самое с третьей строкой. Пример: решить систему методом Гаусса. Преобразовываем расширенную матрицу данной системы - - -

5 В результате получаем систему: Из последнего уравнения находим -, подставляем во второе уравнение получаем - - Подставляем найденные и в первое уравнение и получаем --- Ответ: - - бметодом Крамера: Решение системы находится по формулам, где Пример: Решить систему методом Крамера Ответ: - - в Матричным методом Систему линейных уравнений можно записать в виде: AXB, Где A X B Домножим уравнение на А - слева. Получим A - AXA - B XA - B Значит, нашей задачей является найти А - обратную матрицу и перемножить ее с вектором В и мы получим вектор Х, составляющие которого будут являться решением нашей системы. Формула для нахождения обратной матрицы. A A A

6 A A A A A A A A A A где А j является алгебраическим дополнением к элементу j. A j - Ij M j В нашем задании: A X B Найдем А : A, A A A A A A A A A A A Тогда, X A B Ответ:, -, - Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной однородной системы. Определение: система АХВ называется однородной если столбец свободных членов В. Определение: рангом расширенной матрицы называется максимальное число линейно независимых ненулевых строк. Если ранг расширенной системы равен r, а число уравнений n, то число свободных неизвестных равно n-r. Определение: элементарными называются следующие преобразования: умножение любой строки матрицы на число; прибавление к любой строке матрицы другой строки умноженной на число; Теорема: элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. При перемене местами двух строк или двух столбцов при этом переобзначив переменные ранг матрицы также остается неизменным. Пример: Пусть дана однородная система линейных уравнений. определим ранг данной системы А - - Матрица А имеет ранг равный.выбираем в матрице две линейно независимых строки и оставляем в системе лишь те уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие две неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Пусть,, свободные неизвестные, тогда

7 Из второго уравнения находим Подставляя найденное значение в первое уравнение находим: Запишем общее однородное решение системы: Χ o. o ; ; ; ; Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения, мы получаем все решения данной системы. Пусть, -,. Подставляя данные значения в общее однородное решение мы получим частное однородное решение: Χ ч. о ;;; ; Определение: Всякая максимально линейно независимая система решений однородной системы уравнений называется ее фундаментальной системой. Если ранг матрицы равен r, а число неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. В нашем случае r, n, следовательно фундаментальная система решений ФСР будет состоять из -х линейно независимых векторов Χ, Χ, Χ. Чтобы составить ФСР мы должны задать такие значения свободным неизвестным, чтобы определитель из данных значений был ненулевой. Χ :,, Зададим: Χ :,, Χ :,, На диагонали могут стоять любые элементы, мы подбираем наиболее удобные для нас. Все элементы, стоящие не на диагонали берем равные нулю. В результате мы получаем линейно независимую систему так как определитель не равен нулю. Далее подставляем наши значения в общее однородное решение и строим ФСР. Χ Χ - Χ - Данная система решений будет являться базой для любого частного решения. Любой вектор, не входящий в данную систему векторов будет являться линейной комбинацией из базисных векторов. Проведем иллюстрацию: Χ ч. о. αχ α Χ α Χ α α α Получим систему: α α α α α α α α α Отсюда, α α α Χ ч. о. Χ Χ Χ. Образует ли линейное пространство данное множество. Определение: множество V называется линейным пространством, если в нем определены операции сложения если V, V V и умножения на число α если а V α V, и введенные операции удовлетворяют аксиомам: cc : : α α α α β α β α β αβ аа Пример : будет ли являться линейным пространством множество матриц размером mn? Решение: Пусть множество V составляют матрицы размером mn они будут являться линейным пространством, так как на данном множестве введена операция сложения : если матрицу А V сложить с матрицей В V, то мы получим матрицу С размером mn, которая тоже принадлежит множеству V; и операция умножения на число: если матрицу А V умножить на число α, то получим матрицу D,

8 которая также принадлежит множеству V. И так как элементы матрицы это действительные числа, следовательно данное множество будет удовлетворять основным аксиомам. Пример : Будет ли являться линейным пространством множество многочленов пятой степени? Решение: Данное множество не будет составлять линейное пространство, так как можно подобрать пару таких многочленов, сумма которых не будет давать многочлен пятой степени: f f f f f Полученный многочлен является многочленом четвертой степени Для того чтобы доказать что множество не является линейным пространством достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий определение.. Найти разложение вектора по базису,, c. Определение: Базисом является максимальная система линейно независимых векторов. Пример: Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,, c,, В нашем случае система состоит из трех векторов,, c, которые составляют базис. Значит любой вектор будет являться линейной комбинацией из данной системы векторов. Вектор должен линейно зависеть от заданной тройки векторов. Пользуясь определением можно записать в виде формулы: α β γ с Подставляя наши значения получим: α β γ что можно записать в виде системы: α β γ α β γ α β γ Решим данную систему методом Крамера α β γ Ответ: c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. Определение: многочлен n-ой степени А Е называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни называются характеристическими корнями собственными числами матрицы А. Определение: вектор Х называется собственным вектором, если выполняется следующее равенство: А Х Х где - собственные числа матрицы А. Пример: Найти собственные числа и собственные вектора матрицы А Найдем характеристический многочлен А Е матрицы А. На практике вычитаем из диагональных элементов. Получим: A E

9 Найдем определитель данной матрицы и вычислим его разложением по первой строке., E A В результате мы получили следующие собственные числа:, Найдем соответствующие им собственные вектора. По определению собственного значения и собственного вектора Найдем собственный вектор для, E A Воспользуемся методом Гаусса для определения ранга полученной матрицы. Для этого проведем следующие преобразования: сложим вторую и третью строчку. Умножив полученную матрицу с вектором X получим систему: Ранг данной системы равен, а количество неизвестных три, следовательно должна быть одна свободная неизвестная. Обозначим за свободную неизвестную. Из второго уравнения выражаем через свободную неизвестную: X E A X AX X AX Полученное значение подставляем в первое уравнение. Χ Проверка: -свободная неизвестная. Пусть, тогда Χ По определению собственного значения собственного вектора: АХ Х Подставим в определение найденное собственное число и собственный вектор. Х Х А Теперь найдем собственный вектор для Е А Воспользуемся методом Гаусса для определения ранга данной матрицы. Для этого поменяем местами первую и третью строчки. Затем полученную первую строчку сложим со второй и умножив на сложим с третьей строчкой. Перемножив полученную матрицу с вектором Х х х х получим систему:

10 Ранг данной системы равен двум а число неизвестных трем следовательно одну неизвестную объявляем свободной пусть это будет х. Выразим из второго уравнения х через х и подставим в первое уравнение х х - х - х х х Χ х х Проверка: -свободная неизвестная. Пусть, тогда Χ По определению собственного значения собственного вектора: АХ Х Подставим в определение найденные собственное число и собственный вектор: Х Х А Ответ: Χ Χ,,, Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме:. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Будет ли являться линейным пространством множество всех дробных чисел.. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А

11 Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образуют ли линейное пространство множество целых чисел?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образует ли линейное пространство множество всех функций, принимающих отрицательное значение?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А

12 Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образует ли линейное пространство множество векторов на плоскости?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образуют ли линейное пространство множество всех отрицательных чисел?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А

13 Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образуют ли линейное пространство множество многочленов шестой степени?. Найти разложение вектора базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образуют ли линейное пространство множество векторов с целыми координатами?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А

14 Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образует ли линейное пространство множество векторов с дробными коэффициентами?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.,,. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образует ли линейное пространство множество многочленов с целыми коэффициентами?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,,,, c Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А

15 Вариант. Выполнить действия в алгебраической форме.. Вычислить в тригонометрической форме:. Разложить многочлен на неприводимые. Пользуясь свойствами определителей вычислить:. Доказать совместность системы: а методом Гаусса, б методом Крамера, в в матричном виде.. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную. Образует ли линейное пространство множество многочленов с дробными коэффициентами?. Найти разложение вектора по базису,, c.,,,,,,,,, c,,. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А. А Список литературы. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. М.: Наука,.. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. М.: Наука,.. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемешев. М.: Наука,.. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.: Наука,.

16 Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных заданий. Составитель Наталья Анатольевна Пинкина Редактор О.Ф. Александрова Корректура автора Лицензия ЛР от..г. Подписано в печать.. Тиражируется на электронных носителях Заказ Дата выхода.. Адрес в Internet: Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ г. Красноярск, пр. Свободный,, ауд. -, e-ml: Издательский центр Красноярского государственного университета г. Красноярск, пр. Свободный,, e-ml:


Контрольная по алгебре с решением

Контрольная по алгебре с решением Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 1)

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 1) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее