1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин"

Транскрипт

1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний когда в результате каждого очередного испытания произойдет либо не произойдет некоторое событие Иначе говоря в каждом испытании имеет место один из двух возможных исходов A или A с вероятностью соответственно p и p В последовательности независимых испытаний событие A может произойти раз с вероятностью C p p Итак можно говорить что некоторая дискретная случайная величина принимает одно из значений ( с вероятностью Эта совокупность вероятностей и называется распределением вероятностей дискретной случайной величины : cost p cost Пример реального физического явления моделью которого является приведенное выше биномиальное распределение - последовательность передаваемых информационных символов или : 3 Здесь p - вероятность ошибочного приема любого символа в -разрядной комбинации; - вероятность того что число ошибочно принятых символов равно Для непрерывной случайной величины не удается ввести подобное распределение вероятностей Непрерывная случайная величина является простейшей моделью непрерывного случайного процесса (СП рассматриваемого в определенный момент времени

2 Произвольная -я реализация ( ( t t случайного процесса ( t имеет вид: t t При этом - значение случайной величины являющейся выборочным значением случайного процесса ( t в момент времени t Универсальным как для дискретных так и для непрерывных случайных величин является понятие функции распределения вероятностей (интегральной функции распределения: { } где символ { A} означает вероятность события A Для непрерывной случайной величины функция непрерывна: ( Для дискретной случайной величины: { }

3 Плотность вероятности случайной величины : 3 (дифференциальная функция распределения d d Для непрерывной случайной величины функция непрерывна: При этом: { } ( d Для дискретной случайной величины : { } δ ( Плотность вероятности смешанной случайной величины содержит как непрерывную так и дискретную части: ( н ( д причем: d Рассмотрим пример: прохождение непрерывного случайного процесса ( t через f нелинейное безынерционное устройство с характеристикой вида :

4 4 Имеем f Эта запись означает что каждому значению случайной величины соответствует определенное значение случайной величины причем в рассматриваемом примере > sg f Тогда д н При этом очевидно н > В то же время дискретная часть плотности вероятности величины : { } { } { } { } [ ] д > δ δ δ δ δ δ Тогда функция распределения величины имеет вид: < > d d

5 5 ( f ( ( На приведенном выше рисунке составляющие дискретной части плотности вероятности содержащие δ функции условно показаны вертикальными стрелками красного цвета Числовые характеристики случайных величин Основными числовыми характеристиками случайных величин являются моменты распределения начальные и центральные Начальные моменты -го порядка (соответственно для непрерывных и дискретных величин: {} d; {} { }

6 6 Аналогично центральные моменты - го порядка: ; {} ( {} d {} { }( {} В частности математическое ожидание и дисперсия случайной величины (соответственно для непрерывной и дискретной величин: {} d {} { } ; ; ; {} ( {} { } { }( { d Для симметричных относительно { } распределений имеем: { } ( } Более того всегда {} [ {} ] d Тогда {} - «младший» из моментов характеризующих асимметрию распределения 3 Безразмерная величина γ 3 3 называется коэффициент асимметрии Так для нормального распределения когда ( e π имеем когда 3 и следовательно γ В то же время для распределения Релея e имеем γ 63 Иногда используют численную характеристику «сглаженности» кривой распределе- около моды (максимального значения: ния 4 γ 3 В частности для нормального распределения получаем γ В то же время для релеевского распределения 3

7 7 Значения γ γ часто используются чтобы характеризовать степень отличия данного распределения от нормального Совокупность случайных величин Функции распределения вероятностей совокупности случайных величин Для полного описания случайного процесса конечно не достаточно иметь распределение вероятностей его значений лишь в один момент времени Обычно необходимо описывать взаимную зависимость значений СП в различные моменты времени t t как на приведенном ниже рисунке где представлена произвольная -ая реализация случайного процесса t : ( ( ( t t 3 t t t 4 t При этом можно говорить о совокупности случайных величин ( t ( t как более сложной и адекватной модели СП В этом случае t необходимо перейти к рассмотрению случайного -мерного вектора принимающего значения ( Вероятность ( называется - мерной функцией распределения вероятностей случайного вектора или совокупности случайных величин Очевидно что ( t Если ( ( ( то величины называются статистически независимыми Призводная - го порядка

8 8 называется -мерной плотностью вероятностей случайного вектора или совокупности случайных величин Соответственно откуда следует условие нормировки: ( ( ( d d ( ( ( d d Для статистически независимых величин очевидно имеем Далее имеем: ( ( ( ( ( ( d d d ( кроме Но Следовательно ( ( ( ( ( d d d ( кроме Тогда для любой : ( ( d d ( кроме Числовые характеристики совокупности случайных величин В общем случае вводятся смешанные начальный и центральный моменты совместного распределения совокупности случайных величин: ( { } ( d d ; { } [ { } ] { } d d [ ] Отсюда легко получить любые начальные и центральные моменты для каждой : ( { } ( d d ( d ;

9 9 ( { } [ { }] ( d d [ { }] ( d Одна из важнейших характеристик совокупности случайных величин смешанный центральный момент вида: ( { } ( { }( { } ( dd K - ковариация случайных величин и Представим в виде: K K ( ( d d { } { } { } { } { } Безразмерное отношение: R K { } { } называется коэффициентом корреляции случайных величин и В частности для статистически независимых имеем: K ( ( d d { } { } { } { } { } { } Случайные величины для которых K называются некоррелированными Итак статистически независимые случайные величины некоррелированны Обратное в общем случае неверно Рассмотрим физический смысл понятия корреляции случайных величин Для этого перейдем от величин к величинам вида: { } { } { } { } ; принимающие значения соответственно Введем в рассмотрение неотрицательную величину L ( ± ( ( d d ± ( d d ( ± R d d Заметим что отсюда в частности следует:

10 R Далее пусть R Тогда используя запись величины L с отрицательным знаком в подынтегральном выражении получаем величин выполняется те или { } L Но это значит что для всех значений { } { } { } ( { } { } { } { } { } { } откуда получаем b Аналогично для R используя запись L с положительным знаком в подынтегральном выражении получаем так что c Итак условие R означает линейную зависимость случайных величин и Рассмотрим в качестве примера двумерное нормальное распределение ( ( π ep где { }; { }; { }; { } Прямым вычислением легко показать: K те R Для некоррелированных нормальных величин ( имеем: ( ( ep π ( ( ( Отсюда следует важное свойство: некоррелированность нормальных случайных величин означает также и их статистическую независимость 3 Примеры некоторых часто встречающихся распределений 3 Биномиальное распределение независимых испытаний некото- Вероятность того что в последовательности из рое событие произойдет ровно раз равна

11 C p ( p Из условий нормировки: C p p {} {} Основные моменты: p p p ; Рассмотрим задачу о случайном блуждании частицы вдоль оси при возможном перемещении на каждом шаге на единицу вправо (с вероятностью p или влево (с вероятностью p причем вероятность каждого очередного перемещения не зависит от того что было на любом из предыдущих шагов Такая модель описывает например цифровой накопитель на вход которого поступают числа или - в случайном порядке по- Определим вероятность того что при нулевом начальном условии сле приема импульсов сумма окажется равной величине : l прав l лев - - l прав Нахождение частицы в точке с координатой является результатом некоторого числа l шагов вправо и l l шагов влево от нулевого начального положения причем прав l l прав лев лев прав Тогда имеем: откуда l l прав прав l прав Тогда вероятность совпадает с вероятностью того что при испытаниях собы- тие «сдвиг на шаг вправо» произойдет ровно раз В остальных испытаниях происходят противоположные события («сдвиг на шаг влево» Следовательно C ( ( p p При этом те При больших для различных при p 5 : вычисление затруднительно Однако рассмотрим значения

12 5 ( 5 ( ( ( ( Как видно из рисунков с ростом пунктирная кривая характеризующая распределение вероятностей стремится к гауссовой Действительно можно показать что при >> ( ~ e где p ; p( p причем π наибольшая точность достигается при стремлении значения p к величине 5 В случае же p << те при описании потока редких событий в последовательности независимых испытаний имеет место другое асимптотическое выражение биномиального распределения Пусть p p Тогда C ; l e! - распределение Пуассона

13 3 Это распределение представляет и самостоятельный интерес как модель потока редких событий (поток заряженных частиц последовательность молниевых разрядов поток заявок на обслуживание поток отказов радиоаппаратуры и тд 3 Распределение Пуассона Рассмотрим поток редких событий происходящих в моменты времени связанные жесткой временной сеткой t t не t t t 3 t t Будем считать что выполнены 3 условия : стационарность (вероятность того что на интервале произошло событий зависит только от величины интервала и не зависит от расположения этого интервала на оси времени; отсутствие последействия (вероятность того что на данном интервале произошло событий не зависит от того сколько событий произошло на любых предыдущих интервалах времени; ординарность (вероятность того что на достаточно малом промежутке времени Δt произошло и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью одного события Тогда вероятность того что на интервале длительностью произошло событий описывается распределением Пуассона: ( λ e! где λ среднее число событий в единицу времени Покажем справедливость этого выражения для случая те докажем наличие от величины λ : экспоненциальной зависимости λ e Для доказательства рассмотрим интервал времени Δ где Δ удовлетворяет условию ординарности потока Тогда с учетом условия отсутствия последействия имеем: В силу условия ординарности: λ Δ Δ Δ Δ В свою очередь также в силу условия ординарности для среднего числа событий на интервале Δ имеем: λ Δ Δ Δ

14 4 Δ откуда: λ Итак примем: λ те ( λ Δ Δ Δ Δ Δ Тогда: При Δ имеем: Δ Δ d d λ - λ Интегрируя полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных имеем: d - λ d ; l - λ C Начальное условие: те C так что окончательно: λ e Аналогично можно доказать справедливость исходной формулы и при > Моменты распределения Пуассона: { } λ ; { } λ 33 Экспоненциальное и связанные с ним распределения Для описания потока редких событий часто является важным не только определение вероятности наступления событий за отрезок времени но также и определение статистических характеристик (функции распределения плотности вероятностей моментов распределения величины временного интервала между соседними событиями Такой поток событий является например простейшей моделью отказов элементов радиоаппаратуры Тогда одним из важнейших параметров является вероятность безотказной работы в течение определенного интервала времени а также вероятность того что интервал безотказной работы не окажется меньше заданного значения Решение этих задач приводит к экспоненциальному распределению Мы уже встречались с таким распределением рассматривая распределение Пуассона при Рассмотрим несколько иную постановку задачи Интегральная функция распределения случайной величины интервала между со- седними событиями очевидно равна: { } { > }

15 5 Но вероятность { > } может быть вычислена как вероятность того что на интервале времени не произошло ни одного события в пуассоновском потоке редких событий: При этом λ средняя частота событий (среднее число событий в единицу времени Итак { } ( λ λ λ e! e λ e Тогда При этом: λ - средний интервал времени между соседними событиями e Соответственно плотность вероятностей величины : Как и следовало ожидать e ( {} e d При этом: {} {} ( {} e d ( Пример Пусть среднее время наработки на отказ некоторого радиоэлектронного устройства составляет дней Какова вероятность того что в течение дней не произойдет ни одного отказа? Имеем: { } e 37 Дальнейшим обобщением задачи связанной с потоком случайных событий является рассмотрение в качестве случайной величины интервала между некоторым (произвольно взятым событием и -ым следующим за ним событием Функция распределения этой величины называется распределением Эрланга -го порядка а соответствующая плотность вероятностей имеет вид: В частном случае Можно показать: э e э ( (! естественно получаем экспоненциальное распределение: э e

16 6 { э} { } ( Обобщением распределения Эрланга является Г-распределение Пусть β а це- лочисленные заменены на непрерывную величину α Тогда имеем: α α β β Г α β e Г α где Г ( α Заметим что при целочисленных α : Можно показать: Г e t э t α dt t ( α e t α dt ( α α β - интеграл Эйлера { Г} { Г} ;! α β 34 Распределение Рэлея Среди важных и часто встречающихся на практике распределений связанных с гауссовским (нормальным рассмотрим распределение Релея Впервые оно было введено лордом Релеем в 88 году при рассмотрении огибающей суммы большого числа гармонических колебаний различных частот В дальнейшем выяснилось что при пристрелке оружия если разбросы попаданий в каждом из двух взаимно перпендикулярных направлений независимы и имеют одинаковые нормальные распределения с параметрами { } { } ; { } { } то значения промаха как отклонения от центра мишени в любом направлении будут распределены по закону Релея Рассмотрим подробнее задачу нахождения распределения величины где - отклонения от центра мишени в двух взаимно перпендикулярных направлениях Значения величин обозначим соответственно :

17 7 Функция распределения величины равна вероятности того что конец вектора с проекциями и не выйдет за пределы окружности радиуса или где ( ( d d e ( ( ( π Перейдем к полярным координатам ρ ϕ заменой переменных: ρ cosϕ ρ sϕ Тогда имеем: π e π ( ( ρ ϕ ρ dρdϕ где якобиан преобразования ( ( ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ cosϕ sϕ ρ sϕ ρ ρ cosϕ π ρ ϕ π ρ t ρ Итак d e d e dt e Соответственно e >

18 Модальное значение М 8 определяется из уравнения откуда Соответственно e e 4 М ( М e При этом π 4 π {} {} 35 Равномерное распределение Часто рассматривается колебание вида: A ( t S ( t A( t t ϕ( t cos( ω ψ где и ϕ t - детерминированные функции ω - заданная частота колебания несущей а ψ случайная начальная фаза Обычно допускаются с равной вероятностью любые значения начальной фазы в пределах [ π ] В этом случае мы имеем дело с равномерно распределенной случайной величиной ψ В общем случае равномерного распределения имеем: b b < > b b b Здесь b { } ; { } ( b

19 Функция распределения имеет вид: 9 b < b > b b функции l Пример Шум квантования δ U U где U - истинное выборочное значение ( ( U l U t значение ближайшего l -го уровня квантования Плотность вероятностей значений случайной величины δ примем δ Δ Δ l l U ( l U Δ l t Тогда Δ {} δ ; {} δ Пример Распределение начальной фазы ψ ψ ( ϕ π { ψ} π π { ψ} { ψ} { ψ} π d π ( π 3 π π 3

20 4 Условные функции распределения и плотности вероятностей 4 Условные распределения двух случайных величин Пусть имеется событие A появляющееся одновременно с одним из взаимно несовместимых событий (гипотез B B составляющих полную группу Так например событие A заключается в регистрации (в месте приема некоторого определенного символа алфавита объем которого равен При этом событие B передача некоторого символа Вероятность ( A B вероятность того что переданным символом является а принятым некий символ (один из возможных передаваемых символов Тогда ( A ( A B ( A/ B ( B где A B вероятность одновременного осуществления A и ; ( ( A B условная вероятность A при условии осуществления B ; ( B априорная вероятность B С другой стороны очевидно A B B B Так что апостериорная вероятность события ( B / A ( A/ B ( B ( A B A A B (гипотезы равна ( A/ B ( B ( A/ B ( B - формула Байеса Понятие условных вероятностей событий распространяется и на случайные величины Так для двух зависимых непрерывных случайных величин и имеем : - условная функция распределения величины зависящей от величины { < Δ} { < Δ } { < } Δ Δ ( ( ( ( ( Здесь ( - двумерная плотность вероятностей величин и Введем в рассмотрение функцию: Имеем : ( Здесь ( l Δ ( { < Δ} ( ( ( ( l Δ dδ dδ ( ( ( ( d d dd dd ( ( d

21 Производная равна очевидно Здесь ( - условная плотность вероятности непрерывной случайной величины зависящей от Аналогично безусловным плотностям выполняется условие нормировки: d d Легко получить также аналог формулы полной вероятности: d d Интегрируя по получаем связь и : d d d Аналогично выражению для легко получить: Тогда получаем для непрерывных случайных величин и аналог формулы Байеса: d Пример Условная гауссовская (нормальная плотность вероятностей Пусть двумерная плотность вероятностей величин и подчиняется гауссовскому (нормальному распределению (см где и - математическое ожидание и дисперсия соответственно величин и Тогда ep ep ep ep π π π π

22 Как и следовало ожидать при когда и статистически независимы получаем: ( e π ( Интересно отметить что при («полная» статистическая зависимость имеем: δ Например при значения по мере приближения к значению все более группируются вокруг : ( 3 > > 4 Условные числовые характеристики Рассмотрим условные числовые характеристики зависимых случайных величин Условное математическое ожидание: Условная дисперсия: ( ( d { } ( d { } [ { } ] ( d Так для нормальных величин и имеем: { } { } ( ( [ { } ] ( d

23 Очевидно что при 3 условные моменты совпадают с безусловными: Однако при { } ; { } { } ( { } 43 Условные распределения совокупности случайных величин Рассмотрим совокупность случайных величин описываемую -мерной плотностью вероятностей Тогда аналогично случаю двух случайных величин (4 имеем: ( Отсюда в частности следует: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить производящую функцию и вычислить параметры биномиального, пуассоновского, геометрического и гипергеометрического распределений;

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Потоки событий. Пуассоновский поток событий. Потоки с ограниченным последействием. Обслуживание заявок. Стационарный (Простейший) Нестационарный

Потоки событий. Пуассоновский поток событий. Потоки с ограниченным последействием. Обслуживание заявок. Стационарный (Простейший) Нестационарный Потоки событий Пуассоновский поток событий Стационарный Простейший Нестационарный Потоки с ограниченным последействием Потоки Пальма Потоки Эрланга Обслуживание заявок ИМЭП - УлГТУ каф. ИС Евсеева О.Н.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

5.1. Системы массового обслуживания

5.1. Системы массового обслуживания Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

Теоретические задания

Теоретические задания Вопросы к зачёту ОУИТ для групп П-1, П- и П- Специальность: 0115 Программирование в компьютерных системах По дисциплине: ЕН.0 Теория вероятностей и математическая статистика 7 семестр 015/16 учебный год

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО ЛЕКЦИЯ. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО Математический аппарат теории надёжности основывается главным образом на теоретико-вероятностных методах, поскольку сам процесс

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

«Прикладная математика и информатика»

«Прикладная математика и информатика» «Прикладная математика и информатика» Магистерская программа «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности» Программа экзамена разработана на основе Государственных образовательных

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 8 Различение сигналов 81 Постановка задачи различения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис81

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Понятие о законах распределения случайных величин Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение.

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы Теория надежности раздел прикладной математики, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы изделий. Под надежностью в широком смысле слова понимается способность технического устройства

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Теория телетрафика. А.В. Абилов. Лекция 2. Потоки вызовов Случайные процессы в СМО. () k

Теория телетрафика. А.В. Абилов. Лекция 2. Потоки вызовов Случайные процессы в СМО. () k .. Случайные процессы в СМО А.В. Абилов Теория телетрафика Лекция. Потоки вызовов Задача СМО в телефонии: обслуживание поступающего потока заявок Заявки поступают в случайные или заранее определенные моменты

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

Практикум по теме 8 "Системы случайных величин"

Практикум по теме 8 Системы случайных величин Практикум по теме 8 "Системы случайных величин" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 8, а также развитие следующих навыков:

Подробнее

Сухорученков Б. И. Анализ малой выборки. Прикладные статистические методы/б. И. Сухорученков. М.: Вузовская книга, с: ил.

Сухорученков Б. И. Анализ малой выборки. Прикладные статистические методы/б. И. Сухорученков. М.: Вузовская книга, с: ил. Сухорученков Б. И. Анализ малой выборки. Прикладные статистические методы/б. И. Сухорученков. М.: Вузовская книга, 2010. 384 с: ил. СОДЕРЖАНИЕ Раздел I ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Для подготовки дипломированных специалистов по направлению Менеджмент в организации Квалификация «Менеджер» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ

АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ Б. И. СУХОРУЧЕНКОВ АНАЛИЗ МАЛОЙ ВЫБОРКИ Прикладные статистические методы Москва «Вузовская книга» 2010 УДК 519.2 ББК 22.17 С91 С91 Сухорученков Б. И. Анализ малой выборки. Прикладные статистические методы

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г.

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. 1. Задачи по моментным характеристикам случайных процессов, конечномерным распределениям и т. д. 1.1. Найти двумерные распределения

Подробнее

Теория случайных процессов. Сборник задач

Теория случайных процессов. Сборник задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

2.6. Эксцесс и асимметрия

2.6. Эксцесс и асимметрия Лекция 9 План лекции.5.6. Распределение Симпсона (треугольное распределение)..6 Эксцесс и асимметрия.7 Теорема Ляпунова и её следствия 3. Системы случайных величин (случайные векторы) 3.1 Закон распределения

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы?

функции. многочленов на ошибку степени многочлена степени ростом ошибку? таблицы? Разработчик методических указаний для выполнения лабораторных работ доцент, к.ф.-м.н. Ласуков В. В. Интерполяция с помощью многочленов Задание 1. С помощью интерполяционных многочленов Лагранжа (илии Ньютона)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Методические указания к выполнению типового расчета по теории вероятностей Москва ИздательствоМГТУ

Подробнее