Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»"

Транскрипт

1 Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и теоремы Определение: Случайной величиной (СВ) называют переменную величину, которая в зависимости от исходов принимает значения, зависящие от случая. Определение: СВ, принимающая лишь некоторые значения из числового промежутка, называется дискретной случайной величиной (ДСВ). Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины и их вероятностями. Закон распределения ДСВ может быть задан: а) таблично; б) аналитически; в) графически. а) таблично: X n P p p p n События X= i (i=,,,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма вероятностей их равна единице (условие полноты): n Pk =. k= б) аналитически: p=f() (т.е. с помощью формулы); в) графически: для чего в прямоугольной системе координат строят точки ( k ; p k ) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получившаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X. Определение: СВ, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной. Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения, т.к. невозможно перечислить все ее возможные значения. Непрерывная СВ может быть задана либо функцией распределения, либо плотностью вероятности. Определение: Функцией распределения СВ X называется функция действительной переменной X, определяемая равенством:

2 F( ) = P( X < ) = f( t) dt, где P(X < ) вероятность того, что СВ X примет значение, меньшее. Функция распределения F(X) для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения,,, n с соответствующими вероятностями, имеет вид: F( ) = P( X = k ), < k где неравенство k < означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше. В этом случае F() представляет собой разрывную функцию, остающуюся постоянной между отдельными значениями СВ и меняющуюся скачком при переходе через каждое из этих значений. Функция F() случайной величины X имеет следующие свойства:. Все значения функции распределения F() принадлежат отрезку [0;], т.е. 0 F().. Функция распределения F() является неубывающей, т.е. если <, то F( ) F( ). 3. Функция F() в точке 0 непрерывна слева. 4. Если все возможные значения СВ X принадлежат интервалу (a;b), то для ее функции распределения F() верно: F()=0, при a; F()= при b. 5. Если все возможные значения СВ X принадлежат бесконечному интервалу ( ; + ), то lim F( ) = 0; lim F( ) =. + На основании свойств функции распределения можно судить об особенностях ее графика (рис., ). Рисунок Рисунок Зная функцию распределения, можно найти вероятность того, что СВ X попадет в интервал ( ; ) по формуле: P( <X< )=F( ) F( ),

3 т.е. вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал равняется разности значений функции распределения этой СВ, вычисленных в конце и начале интервала. Определение: Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) вероятностей случайной величины X в точке называется предел (если он существует) отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал (;+ ) к длине отрезка [;+ ], когда последняя стремится к нулю: P ( < X< +Δ) f( ) = lim. Δ 0 Δ Вероятность попадания значений СВ X в интервал ( ; ) равна определенному интегралу от плотности распределения f() по отрезку ( ; ), т.е.: P( X ) f( ) d < < =. Плотность распределения обладает следующими свойствами:. Плотность распределения f() неотрицательная функция, т.е. f() 0.. На области дифференцируемости функции распределения F() ее производная равна плотности распределения: f ( ) = F ( ) (производная интегральной функции равна дифференциальной функции). 3. Интеграл по бесконечному промежутку ( ; + ) от плотности распределения f() равен единице: + f ( d ) =. 3 Если все возможные значения СВ принадлежат отрезку [ ; ], то f ( d= ), так как f()=0 вне этого отрезка. Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений ее значений на соответствующие им вероятности. M ( X) = k pk. n k = Математическое ожидание ДСВ приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. Вследствие этого математическое ожидание СВ называют ее средним значением или просто средним.

4 4 Математическое ожидание ДСВ, принимающей бесконечную последовательность значений, определяется формулой: M ( X) = k pk, k = если этот ряд сходится абсолютно. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат [, ], а f() ее плотность вероятностей, определяется формулой: M ( X) = f( ) d. Если все значения непрерывной СВ X принадлежат бесконечному промежутку, то математическое ожидание определяется формулой: + M ( X) = f( ) d, когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно. Значение математического ожидания СВ X заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями: a M(X) b, где a наименьшее, b наибольшее значение величины X. Определение: Дисперсией, или рассеиванием, СВ X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего: (( ) ) DX ( ) = M X M( X). Дисперсия ДСВ равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания: [ ] DX ( ) = M( X ) M( X). Если ДСВ принимает бесконечную последовательность значений, то ее дисперсия определяется формулой: ( ) k k k. DX ( ) = M ( ) p k = Дисперсия СВ X представляет собой ее числовую характеристику, которая определяет меру рассеивания значения этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия любой СВ неотрицательна, т.е. D(X) 0. Дисперсия непрерывной СВ X, значения которой принадлежат [, ], определяется формулой:

5 5 ( ). DX ( ) = f( d ) M( X) Дисперсия непрерывной СВ X, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку, определяется формулой: + ( ) DX ( ) = M( X) f( d ), если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. Определение: Средним квадратическим отклонением СВ X называется квадратный корень из ее дисперсии: σ ( X) = D( X). Среднее квадратическое, как и дисперсия, служит мерой рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Определение: Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей: ( a) σ f ( ) = e ; σ > 0, σ π где a его математическое ожидание; σ среднее квадратическое отклонение. О случайной величине X, плотность распределения которой определяется данной функцией, говорят, что она распределена нормально с параметрами a; σ, и коротко называют ее нормальной кривой (кривой Гаусса). Вершина кривой соответствует точке с абсциссой =a=m(x), параметр σ (среднее квадратическое отклонение СВ X) определяет абсциссы точек перегиба кривой вероятностей (рис. 3). Рисунок 3

6 Вероятность попадания значений нормальной СВ X в интервал (α;β) определяется формулой: β a α a P( α < < β) =Φ Φ σ σ, 6 где Φ() функция Лапласа: t ( ). Φ = e dt π 0 Функция распределения СВ X, распределенной по нормальному закону выражается: a F( ) = +Φ σ.

7 Примерный вариант типового расчета Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения ( ) PX = Cα ( α) с параметром α=0, при целом неотрицательном Х. Требуется: а). составить ряд распределения случайной величины Х; б). построить многоугольник распределения; в). найти М(Х), D(Х), σ(х); г). найти функцию распределения и построить ее график; д). найти вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0,5;,5); е). найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее,5. Задание 4. Дифференциальная функция распределения случайной величины Х имеет вид 0, < ; f( ) = A sin, π; Требуется: 0, > π. а). найти коэффициент А; б). найти М(Х), D(Х), σ(х); в). найти функцию распределения F(); г). построить графики F() и f(), рассматривая не менее 5 точек на интервале [-π; π]; д). найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π; 0). Задание 5. Найти вероятность попадания в интервал (-0,5;), нормально распределенной случайной величины Х, у которой задано математическое ожидание а=3,5 и среднее квадратическое отклонение σ=0,5а=,5. Записать функции F() и f() этого нормального закона и построить их графики на указанном интервале.

8 8 Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения ( ) PX = Cα ( α) с параметром α=0, при целом неотрицательном Х. Требуется: а). составить ряд распределения случайной величины Х; б). построить многоугольник распределения; в). найти М(Х), D(Х), σ(х); г). найти функцию распределения и построить ее график; д). найти вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0,5;,5); е). найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее,5. Решение: а). составить ряд распределения случайной величины Х. Случайная величина Х может принимать значения от 0 до. PX ( ) = Cα ( α), α=0,; Ñ k n n! =. Найдем Р(Х): k!( n k)! P(0) = C 0, ( 0,) = 0, 48 ; P() = C 0, ( 0,) 6 = 0, 3 ; 0 0 P() = C 0, ( 0,) = 0,4 ; P(3) = C 3 0, 3 ( 0,) 4 = 0, 03 ; 5 P(4) = C 0, ( 0,) = 0, 003 ; P(6) = C 0, ( 0,) = 0 ; 6 6 P(5) = C 0, ( 0,) = 0 ; 5 5 P() = C 0, ( 0,) = 0. 0 Составим закон распределения в виде таблицы: Х Р 0,48 0,3 0,4 0,03 0,003 Ответ: Х Р 0,48 0,3 0,4 0,03 0,003 б). построить многоугольник распределения. В прямоугольной системе координат строим точки М (0;0,48), М (;0,3), М 3 (;0,4), М 4 (3;0,03), М 5 (4;0,003), соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная М М М 3 М 4 М 5 (см. рис. 4) является многоугольником распределения ДСВ.

9 9 Рисунок 4 в). найти М(Х), D(Х), σ(х). n M ( X) = k p k =0 0,48+ 0,3+ 0,4+3 0,03+4 0,003=0,0; k = [ ] DX ( ) = M( X ) M( X). Для вычисления дисперсии необходимо найти М(Х ). Квадрат случайной величины Х, т.е Х это новая СВ, которая с теми же вероятностями, что и СВ Х, принимает значения, равные квадратам ее значений. Закон распределения СВ Х можно записать в виде: Х Р 0,48 0,3 0,4 0,03 0,003 М(Х )= 0 0,48+ 0,3+4 0,4+9 0,03+6 0,003=,3, следовательно, D(X)=,3 (0,0) =0,633. σ ( X) = D( X) = 0,633=0,96. Ответ: М(Х)=0,0; D(Х)=0,633; σ(х)=0,96. г). найти функцию распределения и построить ее график. Для построения функции распределения F() дискретной СВ Х воспользуемся ее свойствами. При х 0 F( ) = P( X = k ) = 0; k < 0 0< F( ) = P( X = ) = P( X = 0) = 0,48; k < k < F( ) = P( X = ) = P( X = 0) + P( X = ) =0,48+0,3=0,85; k < k

10 0 < 3 F( ) = P( X = k ) = P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) =0,48+0,3+0,4=0,94; k < 3 3< 4 F( ) = P( X = ) = P( X = 0) + P( X = ) + P( X = ) + P( X = 3) =0,99; k < 4 k >4 F ( ) = PX ( = 0) + PX ( = ) + PX ( = ) + PX ( = 3) + PX ( = 4) =. 0 0; 0, 48 0 < ; 0,85 < ; F( ) = 0,94 < 3; 0,99 3 < 4; > 4. График функции изображен на рисунке 5 Рисунок 5 0 0; 0, 48 0 < ; 0,85 < ; Ответ: F( ) = 0,94 < 3; 0,99 3 < 4; > 4. д). найти вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0,5;,5). Найдем искомую вероятность по формуле: P( <X< )=F( ) F( ). Р(0,5<<,5)=F(,5) F(0,5)=0,94 0,48=0,4496. Ответ: Р(0,5<<,5)=0,4496. е). найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее,5. Р(<,5)=F(,5) F(0)=0,85.

11 Ответ: Р(<,5)=0,85. Задание 4. Дифференциальная функция распределения случайной величины Х имеет вид 0, < ; f( ) = A sin, π; Требуется: 0, > π. а). найти коэффициент А; б). найти М(Х), D(Х), σ(х); в). найти функцию распределения F(); г). построить графики F() и f(), рассматривая не менее 5 точек на интервале [-π; π]; д). найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π; 0). Решение: а). найти коэффициент А: Плотность распределения должна удовлетворять третьему свойству, т.е. если все возможные значения СВ принадлежат отрезку [ ; ], то этого отрезка. Значит: f ( d= ), так как f()=0 вне π A sin d =, откуда A = π ; sin d π π π π sin d = d sin d = + cos = π + cos π + cos = π ; Следовательно, A = π. Таким образом, плотность распределения имеет вид: 0, <; f( ) = sin, π ; π 0, > π. Ответ: А=0,59. π б). найти М(Х), D(Х), σ(х):

12 π π 4 M( X) = sin cos 4sin,3 π d= π + = π = ; π 3 DX ( ) = sin d (,3) = + cos 8sin 6cos π π 3 π (, 3) = (, 3) =, 669; 3 σ ( X) = D( X) =,669 =,9. Ответ: М(Х)=,3; D(Х)=,669; σ(х)=,9. в). найти функцию распределения F(): При х < -π F( ) = f ( t) dt = 0 dt = 0 ; π -π х π t F( ) = f() t dt = f() t dt+ f() t dt = 0 dt+ sin dt π = t = 0 + t+ cos = + cos + ; π π х > π F ( ) = ftdt ( ) =. 0, < ; F( ) = π + + cos, π; π, > π. 0, < ; Ответ: F( ) = π + + cos, π; π, > π. г). построить графики F() и f(), рассматривая не менее 5 точек на интервале [-π; π]: 0, < ; 0, <; F( ) = π + + cos, π; f( ) = sin, π; π π, > π. 0, > π.

13 Изобразим графики F() и f() на рисунках 6 и. 3 Рисунок 6 Рисунок д). найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-π; 0): способ: Воспользуемся формулой: P( <X< )=F( ) F( ). P(-π <X<0)=F(0) F(-π)= cos 0 π π π π cos + + = + =0,88; π π π способ: Воспользуемся формулой: P( X ) f( ) d < < =. 0 P( π < X < 0) = sin d = + cos = + = 0,88. π π π π Ответ: P(-π <X<0)=0,88. 0 Задание 5. Найти вероятность попадания в интервал (-0,5;), нормально распределенной случайной величины Х, у которой задано математическое ожидание а=3,5 и среднее квадратическое отклонение σ=0,5а=,5. Записать функции F() и f() этого нормального закона и построить их графики на указанном интервале. Решение: Найдем вероятность попадания в интервал (-0,5;), нормально распределенной случайной величины Х.

14 Вероятность попадания значений нормальной СВ X в интервал (α;β) определяется формулой: β a α a P( α < < β) =Φ Φ σ σ, 0,5 0,5 0,5 P( 0,5 < < ) =Φ ( 0,86) ( 0,5, 5 Φ =Φ Φ, 5 )=0,305+0,5=0,508. Запишем функции F() и f() этого нормального закона: ( a) σ ( 0,5) ( õ 0,5) (,5) 6,5 f( ) = e ; σ > 0 f( ) = e = å ; σ π,5 π 4,39 ( ) a F F ( ) 0,5 = +Φ = +Φ σ.,5 Построим графики функций f() и F() на интервале (-0,5;) (рис. 8, 9). Вершина кривой f() соответствует точке с абсциссой а=3,5; точки перегиба: а σ=-0,5 и а+σ=,5. 4 f(-0,5)=0,9; f(0)=0,; f(0,5)=0,3; f()=0,; f(,5)=0,9; f()=0,6; F(-0,5)=0,843; F(0)=0,3859; F(0,5)=0,5; F()=0,64; F(,5)=0,5; F()=0,805. Рисунок 8 Рисунок 9 Ответ: P( 0,5< < ) =0,508; ( õ 0,5) 6,5 f( ) = å ; 4,39 0,5 F ( ) = +Φ,5.

15 Теоретические вопросы для защиты типового расчета 5. Что называют случайной величиной?. Какую величину называют дискретной случайной величиной? 3. Какую величину называют непрерывной случайной величиной? 4. Что называют законом распределения дискретной случайной величины? 5. Как задают закон распределения дискретной случайной величины, принимающий конечное множество значений? 6. Что называют многоугольником распределения?. Как определяется функция распределения для СВ? 8. Какими свойствами обладает функция распределения СВ X? 9. Как определяется функция распределения для ДСВ? 0. Какой график имеет функция распределения?. Как с помощью функции распределения вычислить вероятность того, что СВ Х примет значения из интервала ( ; )?. Что называют плотностью распределения СВ? 3. Как с помощью плотности распределения найти вероятность попадания значений СВ Х в интервала ( ; )? 4. Какие свойства имеет плотность распределения? 5. Как связаны между собой плотность распределения и функция распределения? 6. Как определяется математическое ожидание ДСВ Х, принимающей конечное и бесконечное множество значений?. Как определяется математическое ожидание непрерывной СВ, все значения которой принадлежат [ ; ]; бесконечному промежутку? 8. Что называют отклонением СВ от ее математического ожидания? 9. Как определяется дисперсия СВ? 0. Как определяется дисперсия СВ, все значения которой принадлежат [ ; ]; бесконечному промежутку?. Что такое среднее квадратическое отклонение?. Какое распределение вероятностей СВ называют нормальным? 3. Каков вероятностный смысл параметров, входящих в функцию, задающую нормальное распределение? 4. Чему равно математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение нормальной СВ? 5. Как вычислить вероятность попадания значений СВ Х в заданный интервал?

16 Учебники и методические указания 6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 3. Пекельник Н.М. Практические занятия по курсу «Теория вероятностей». 4. Колышкин В.П. Элементы теории вероятностей. Ч.,. 5. Никитина Л.А. Задачи по курсу теория вероятностей.

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Практическая работа 7 Функция плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение функции и плотности распределения числовых характеристик непрерывной

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4

1 при x 0. x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная. x , то. x 4 ) Случайная величина X задана плотностью распределения вероятности при f при при Найти интегральную функцию F и математическое ожидание M X. f - плотность распределения (плотность распределения вероятностей,

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

Медицинская информатика

Медицинская информатика Лукьянова Е. А. Медицинская информатика Теория вероятностей Специальность «Фармация» Заочное отделение 2010 Консультация 2 Темы контрольной работы 2 Случайные величины Числовые характеристики случайных

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории вероятностей Раздел 2. Случайные величины для студентов специальности 2305 «Программирование в компьютерных

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Лекция 7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

1. Биномиальный закон распределения

1. Биномиальный закон распределения Лекция 4 Тема: Законы распределения СВ 1. Биномиальный закон распределения Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон распределения, если выполнены следующие условия: 1) эксперимент заключается в последовательном

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин.

Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин. Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин. Цель работы: Нахождение закона распределения, функции распределения и числовых характеристик случайной величины. Содержание

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины.

Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины. Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины. Цель работы: Нахождение закона распределения, функции распределения и числовых характеристик дискретной

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Мы переходим к изучению еще одного важного понятия теории вероятностей, к понятию случайная величина. Чтобы лучше понять это, приведем несколько примеров.

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Многомерная случайная величина Функция распределения многомерной случайной величины

Многомерная случайная величина Функция распределения многомерной случайной величины СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В практических применениях теории вероятностей часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя или более случайными величинами

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X число угаданных им номеров при розыгрыше. 1) составить таблицу распределения случайной величины X; ) построить многоугольник

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Дисциплина «Математика»

Дисциплина «Математика» Дисциплина «Математика» Основные разделы: теория вероятностей; математическая статистика; дифференциальное исчисление. Рекомендуемая литература: Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Подробнее

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6. Непрерывные случайные величины

ЛЕКЦИЯ 6. Непрерывные случайные величины ЛЕКЦИЯ 6 Непрерывные случайные величины 6.. Определение непрерывной случайной величины Понятие закона распределения имеет смысл только в том случае, когда случайная величина принимает конечное или счётное

Подробнее

2.6. Эксцесс и асимметрия

2.6. Эксцесс и асимметрия Лекция 9 План лекции.5.6. Распределение Симпсона (треугольное распределение)..6 Эксцесс и асимметрия.7 Теорема Ляпунова и её следствия 3. Системы случайных величин (случайные векторы) 3.1 Закон распределения

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X Задачи по курсу ТВиМС для самостоятельного решения Часть II 1) Числовые характеристики и законы дискретного распределения вероятностей 1 Имеются десять билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Лекция 10. Распределение? 2.

Лекция 10. Распределение? 2. Распределение?. Пусть имеется n независимых случайных величин N 1, N,..., N n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для решения многих практических задач совсем не обязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

Одномерные случайные величины

Одномерные случайные величины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского» Факультет

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Е.И. Щукин МАТЕМАТИКА. Теория вероятностей. Системы линейных алгебраических уравнений и линейное программирование. Учебное пособие

Е.И. Щукин МАТЕМАТИКА. Теория вероятностей. Системы линейных алгебраических уравнений и линейное программирование. Учебное пособие Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова Е.И. Щукин МАТЕМАТИКА Теория вероятностей. Системы линейных алгебраических уравнений и линейное

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Контрольные и курсовые на сайте Содержание

Контрольные и курсовые на сайте  Содержание Содержание Задача 1... 3 Задача... Задача 3... 5 Задача... 6 Задача 5... 7 Задача 6... 8 Задача 7... 9 Задача 8... 10 Задача 9... 11 Задача 10... 1 Список использованной литературы... 13 Задача 1 В партии

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее