Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка"

Транскрипт

1 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы. Подчеркивается, что кроме вышеперечисленных никаких других кривых второго порядка не существует. Выводится в общем виде уравнение поверхности вращения. Из него как частные случаи получаются почти все уравнения поверхностей вращения второго порядка. Затем уравнения обобщаются. Приводятся рисунки всех поверхностей. В предыдущей лекции мы убедились, что прямая на плоскости в декартовой системе координат имеет уравнение первой степени. Справедливо и обратное утверждение- всякое уравнение первой степени геометрически представляет собой прямую линию. Плоские кривые, которые задаются алгебраическими уравнениями второй степени, называются кривыми второго порядка. Это - эллипс, гипербола, парабола. Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F, называемых фокусами, есть величина постоянная. Найдем уравнение эллипса. Прямую, на которой лежат фокусы, примем за ось x. Ось y проведем через середину отрезка FF 1 перпендикулярно ему. Положим F1 F = c, тогда фокусы будут иметь следующие координаты F1 ( c,0), (,0) Если M( x, y) - произвольная точка эллипса, тогда согласно определению, F M + F M a, (1) 1 =

2 где a > 0 -некоторый параметр. Т.к. сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то a > c. Поскольку F 1M = ( x + c, y), F M = ( x c, y), то подставляя эти векторы в уравнение (1), получим искомое уравнение эллипса ( x + c) + y + ( x c) + y = a. () Упростим уравнение (). Уединяя первый корень и возвышая обе части уравнения в квадрат, получим x c= a a ( x c) + y. После повторного уединения корня и возведения в квадрат найдем, что + = 1. (3) a a c Поскольку a > c, то введем обозначение a c = b. С учетом этого, уравнение (3) примет вид + = 1. (4) b a Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса. Замечание. Возведение в квадрат, вообще говоря, нарушает равносильность уравнения. Могут появиться лишние корни, т.е. точки не принадлежащие эллипсу. Однако, в данном случае уравнения () и (4) равносильны. Рассмотрим некоторые свойства эллипса. Пусть точка M ( 1 x, y ) принадлежит эллипсу, тогда точка M ( x, y ) также принадлежит эллипсу в силу четности уравнения (4) по переменной x. А это означает, что ось oy является осью симметрии. Аналогично можно убедиться, что ось Оx является осью симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии является центром симметрии. Поэтому эллипс называется центральной кривой второго порядка. x Из (4) найдем y =± b 1 a Аналогично найдем, что y, откуда следует, что x a. b. Таким образом, эллипс целиком

3 3 расположен в прямоугольнике со сторонами a и b. Величины a и b называют полуосями эллипса. Та полуось, на которой расположены фокусы, называется большой, а другая - малой. Величина c a b b ε = = = 1 a a a (5) называется эксцентриситетом эллипса. Если a = b, то эллипс превращается в окружность, а эксцентриситет обращается в нуль. Если малая полуось b уменьшается до нуля, то эксцентриситет увеличивается до единицы. Таким образом, эксцентриситет показывает степень сплющенности эллипса. Найдем параметрические уравнения эллипса. Возьмем две концентрические окружности с радиусами b и a. Под углом t к оси Оx проведем луч. Из точек b a пересечения луча с окружностями P и Q проведем линии, параллельные осям координат до пересечения в точке M( x, y). Убедимся, что точка M( x, y) принадлежит эллипсу (4). Действительно, из рисунка видно, что x = acost, y = bsin t, 0 t π. Подставив значения x и y из (6) в (4), убедимся, что они обращают (4) в тождество. Следовательно, точка M( x, y)лежит на эллипсе. Уравнения (6) - параметрические уравнения эллипса. В частности, при a = b= R, из (6) получаются параметрические уравнения окружности (6)

4 4 x = Rcost, y = Rsin t, 0 t π. Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F, называемых фокусами, есть величина постоянная. Если точка M( x, y)лежит на M гиперболе, то согласно определению (7) F M F M a (8) 1 = где a 0 - некоторый параметр. Систему координат выберем так же, как в предыдущем случае. Тогда из равенства (8) получим ( x + c) + y ( x c) + y = ± a. (9) Уравнение (9) и есть уравнение гиперболы. После освобождения от иррациональности уравнение (9) примет вид a c a = 1. Здесь c - полурасстояние между фокусами. Поскольку разность двух сторон треугольника всегда меньше третьей, то a < c. Поэтому обозначим c a = b. С учетом этого обозначения уравнение гиперболы примет канонический вид = 1. b a (10) y b a a 0 x Аналогично предыдущему случаю убедимся, что гипербола является центральной кривой второго порядка. b

5 Из уравнения (10) найдем 5 x y = ± b 1. (11) a Из уравнения (11) следует, что x a, т.е. гипербола расположена вне полосы a x a. Гипербола (10) пересекает ось Оx в точках x =± a и не пересекает ось Оy. Величина a называется полуосью гиперболы, а величина b - мнимой полуосью гиперболы. b Линии y =± a x, лежащие на диагоналях прямоугольника со сторонами a и b, называются асимптотами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы c a + b ε = = = + b 1. a a a Можно убедиться, что уравнения x = acht, y = bsht, где 1 t 1 t t t cht = ( e + e ), sht = ( e e ), < t <, являются параметрическими уравнениями гиперболы. y M Определение 3. Q Параболой называется множество точек плоскости 0 p p равноудаленных от точки F, 0 x F,называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой. Проведем ось ox через фокус F перпендикулярно директрисе, а ось oy-через середину отрезка p между фокусом и директрисой. Согласно определению FM = QM. (1)

6 6 p p Поскольку FM = ( x, y ), QM = ( x +, 0 ), то уравнение (1) примет вид p p ( x ) + y = x+. (13) Уравнение (13) и есть уравнение параболы. После упрощения оно примет канонический вид y = px. (14) Легко убедиться, что парабола имеет только одну ось симметрии, поэтому она не является центральной кривой второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы просты по форме из-за удачного выбора системы координат. Если, например, оси симметрии эллипса параллельны осям координат, но центр симметрии лежит в точке ( x0, y0 ), т.е. не совпадает с началом координат, то уравнение эллипса усложнится и будет следующим ( x x ) ( y y0) 0 + = 1. Если оси симметрии не будут параллельны осям координат, то уравнение эллипса еще более усложнится, в нем появится слагаемое, содержащее произведение x y. Запишем общее уравнение второго порядка a11x + ay + a1xy+ bx 1 + b y+ c= 0. (15) Это уравнение состоит из квадратичной формы a11x + ay + a1xy, линейной формы bx 1 + bx 1 и свободного члена c. Теорема. Уравнение (15) геометрически представляет собой либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу и ничего больше, если не считать вырожденные случаи (без доказательства). Перечислим вырожденные случаи: x + y = 1 - пустое множество; x + y = 0 - одна точка (0,0); x y = ( x+ y) ( x y) = 0 - пара пересекающихся прямых.

7 7 Перейдем от изучения кривых на плоскости к изучению поверхностей в пространстве. Если уравнение f ( x, y) = 0 в плоскости z = 0 задает некоторую кривую, то это же уравнение в пространстве является цилиндрической поверхностью. Например, + = 1-эллиптический цилиндр, = 1-гиперболический цилиндр, а y = px-параболический цилиндр. Образующая всех этих цилиндров параллельна оси Oz. Эти цилиндры - примеры поверхностей второго порядка. z Пусть F( X, Y) = 0 -некоторая кривая в плоскости z = 0. Будем вращать эту кривую вокруг оси ox. В результате M получим поверхность вращения. Найдем уравнение поверхности вращения. y Пусть точка M ( X, Y,0) -произвольная x M точка на кривой. При вращении она опишет окружность радиуса R= Y. Если точка M( x, y, z)-произвольная точка на этой окружности, то X = x, Y = y + z, Y = ± y + z. Подставляя в уравнение F ( X, Y) = 0 найденные значения X и Y, получим уравнение поверхности вращения F( x, ± y + z ) = 0. (16) Замечание. Если кривую вращать вокруг оси oy, то чтобы получить уравнение поверхности вращения, следует в уравнении кривой переменную y оставить без изменения, а переменную x заменить на ± x + z.

8 8 В результате получим F( ± x + z, y) = 0. (16 ) Рассмотрим несколько примеров поверхностей вращения и обобщим их. 1. Будем вращать эллипс + = 1 вокруг оси Oy. Согласно формуле (16 ) получим следующее уравнение поверхности вращения x + z y + = 1 или x y z + + = 1. a (17) Поверхность (17) называется эллипсоидом вращения, a, b, a - полуоси эллипсоида вращения. Обобщая уравнение (17), получим уравнение эллипсоида z + + = 1. c (18) Все его полуоси abc,, разные. При a = b = c= R из (18) получим уравнение сферы x + y + z = R. Если рассекать эллипсоид плоскостями, параллельными координатным плоскостям, то все сечения будут эллипсами.. Будем вращать гиперболу y z = 1 b c вокруг оси oz. Согласно (16) получим y + x z = 1 или x y z + = 1. b c b b c (19) Поверхность, описываемая уравнением (19) называется однополостным гиперболоидом вращения. Обобщая (19), получим уравнение однополостного эллиптического гиперболоида

9 9 z + = 1. (0) c Сечения плоскостями перпендикулярными оси oz являются эллипсами, а сечения плоскостями перпендикулярными осям ox и oy являются гиперболами, отсюда и название поверхности. 3. Будем вращать ту же гиперболу y z = 1вокруг оси b c oy. Тогда получим y z + x = 1 или b c z + = 1 (1) c b c уравнение двуполостного гиперболоида вращения. Обобщая (1), получим уравнение двуполостного эллиптического гиперболоида z + = 1. () c Сечения плоскостями перпендикулярными оси oy являются эллипсами, а плоскостями перпендикулярными осям ox и oz - гиперболами. x 0 z y 4. Будем вращать параболу pz = y вокруг оси oz. Получим уравнение поверхности pz = x + y, (3) которая называется параболоидом вращения. Обобщая уравнение (3), получим z = +

10 10 (4) Поверхность, описываемая уравнением (4), называется эллиптическим параболоидом. В сечениях - эллипсы и параболы. 5. Наконец, вращая прямую z = ky вокруг оси oz, получим коническую поверхность или z z =± k x + y В общем случае уравнение = + k k. (5) z = + (6) есть каноническое уравнение эллиптической конической поверхности. Ее сечения - эллипсы и гиперболы. 6. Рассмотрим уравнение z = (7) z (сравним с уравнением (4)). Ни при каких значениях параметров x a и b поверхность (7) не будет 0 поверхностью вращения. Она называется гиперболическим параболоидом. Ее сечения - y гиперболы и параболы. Рассмотрим общее уравнение второго порядка a 11 x + a y + a 33 z + a 1 xy+ a 13 xz+ a 3 yz+ b 1 x + b y + b 3 z + c = 0. (8)

11 11 Оно состоит из квадратичной формы, линейной формы и свободного члена. Теорема. Уравнение (13) геометрически представляет собой либо эллипсоид, либо гиперболоид, либо конус, либо параболоид, либо цилиндр и ничего больше, если не считать вырожденных случаев (без доказательства). Выражение вида n a i, j =1 ij x x i j ( ij ji a = a ) называют квадратичной формой n -го порядка. Так что в уравнении (15) квадратичная форма второго порядка, а в уравнении (8) - третьего. Лекция 1.4. Вопросы для самоконтроля 1. Что можно сказать о взаимном расположении точки и кривой, если координаты точки А)удовлетворяют. Б)не удовлетворяют уравнению кривой?. Как проверить, что эллипс имеет оси симметрии? 3. На какой оси находятся фокусы эллипсов а) 8x +16y =48; б) 49x +4y =196? 4. На какой из осей координат лежат фокусы гипербол. а) x y = 1; 3 б) y x = 3 1;? 5. Вычислить расстояние между фокусами а) эллипса x + y = ; б) гиперболы x y = Каковы уравнения асимптот гиперболы x y = 1 5 3? 7. Запишите параметрические уравнения окружности радиуса r= с центром в начале координат. 8. Записать параметрические уравнения гиперболы с полу осями а=b=. 9. Какую кривую будет определять уравнение a 11 x +a y +b 1 x+b y+c=0, Если коэффициенты а) а 11 и а имеют одинаковые знаки; б) а 11 и а имеют разные знаки; в) а 11 =0?

12 1 10. Что такое цилиндр? 11. Чем характерно уравнение цилиндра с образующей параллельной координатой оси? 1. На какую особенность расположения поверхности относительно системы координат указывает отсутствие в уравнении свободного члена? 13. Записать уравнение сферы, радиус которой R=3, а центр находится в точке О(1,-1.). 14. Какие виды гиперболоидов Вы знаете? 15. Какие виды параболоидов вы знаете? 16. Эллипс + = 1 вращаются вокруг оси х. Записать b a уравнение поверхности вращения Гипербола y = вращается вокруг оси Y. Записать x уравнение поверхности вращения. Будет ли эта поверхность второго порядка? 18. Записать уравнение поверхности эллиптического параболоида, сечения которого эллипсы, плоскостью: а)x=cos t; б)y=cos t; в)z=cos t. 19. Назвать и нарисовать поверхность z = + (ответ см. ниже)

13 13 рис.1

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

15. Поверхности второго порядка

15. Поверхности второго порядка 15 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(,,) = 0, где F(,,) многочлен степени

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Исследование уравнений поверхностей второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2. 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 2. 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл. 1, заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы

Подробнее

- параболический цилиндр.

- параболический цилиндр. Поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) =. Самый простой вид поверхности, изученный

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. План лекции Лекция Квадрики в евклидовом пространстве. 1. Канонические уравнения квадрики в пространстве. 1.1. Эллипсоид; 1.2. Двуполостный гиперболоид;

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ 2000 г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность 2 + y2 2 z2 3 = 1 по линии, центр которой находится в точке (4, 4, 3). 2. Выписать уравнение плоскости,

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Д.Л. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Методическое

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые и поверхности второго порядка Глава 16 Кривые и поверхности второго порядка 16.1. Эллипс, гипербола и парабола Основные кривые второго порядка это эллипс, гипербола и парабола. Характеристики этих кривых собраны в таблице 16.1. Эти

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек, координаты x, y, z которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второго

Подробнее