РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат Определение Уравнением линии называется соотношение = f() между координатами точек, составляющих эту линию Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t Характерный пример траектория движущейся точки В этом случае роль параметра играет время Уравнение прямой на плоскости Определение Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка: Ах + Ву + С =, постоянные А, В не равны нулю одновременно, те А + В Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: - C =, А, В прямая проходит через начало координат - А =, В, С {B + C = }- прямая параллельна оси Ох - В =, А, С { + C = } прямая параллельна оси Оу - В = С =, А прямая совпадает с осью Оу - А = С =, В прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких либо заданных начальных условий Уравнение прямой по точке и вектору нормали Определение В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = Пример Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А(, ) перпендикулярно вектору n ; Составим при А = и В = - уравнение прямой: х у + С = Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А Получаем: + C =, следовательно С = - и искомое уравнение х у = Другое решение Если точка М(,) произвольная точка искомой прямой, то вектор АМ, принадлежащий прямой перпендикулярен данному вектору

2 n ; Известно, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно : АМ n Поэтому ( - )+(-)( - ) = = - = Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть на плоскости заданы две точки M (, ) и M (, ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель Объясним уравнение Пусть помимо указанных точек на прямой дана еще одна (текущая) точка М(, ) Так как три точки лежат на прямой, то векторы М М и М коллинеарные с пропорциональными координатами: М ММ М М Тогда для координат указанных векторов выполняются условия:, Перепишем уравнение: ( ) Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой Пример Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А(, ) и В(, ) Имеем =, =; =, = Применяя записанную выше формулу, получаем: ( ) Искомое уравнение х у + = Пример Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(-, -) и начало координат Уравнение прямой имеет вид:, где х = у = ; = -; = - ; ; Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Если общее уравнение прямой Ах+Ву+С= привести к виду: C и обозначить k; b; kb, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом B B k B C B

3 В качестве примера определим угловой коэффициент для уравнения прямой х у+=, полученного выше Выразим через : у= х + Угловой коэффициент k= Уравнение прямой по точке и направляющему вектору По аналогии с пунктом выше, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно задать прямую через точку и направляющий вектор прямой Определение Каждый ненулевой вектор а (, ), компоненты которого удовлетворяют условию А + В = называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = Пример Найдем уравнение прямой с направляющим вектором а ; и проходящей через точку А(, ) Уравнение искомой прямой будем искать в виде: + B + C = В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: + (-)B =, те А = В Тогда уравнение прямой имеет вид: + + C =, или + + C/ = При х =, у = получаем С/ = -, те искомое уравнение: х + у - = Уравнение прямой в отрезках Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С =, С, то, разделив на С, А В C C получим: х у или, где ; b С С b B Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b координатой точки пересечения прямой с осью Оу Пример Задано общее уравнение прямой х у + = Найдем уравнение этой прямой в отрезках и точки пересечения данной прямой с координатными осями х у С =,, а = -, b = Точки пересечения (-;) с осью Ох, (;) с х у осью Оу Искомое уравнение и точки (-;), (;) Нормальное уравнение прямой Если обе части уравнения Ах + Ву + С = разделить на число, B которое называется нормирующем множителем, то получим os + sin - p = нормальное уравнение прямой Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < ; р длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох

4 Пример Дано общее уравнение прямой х 5у 65 = Напишем различные типы уравнений этой прямой Уравнения этой прямой в отрезках и с угловым коэффициентом (уединяем и делим на 5): 5 х х у (65/) ( ) Нормальное уравнение прямой: 5 х у 5 ; os = /; sin = -5/; p = 5 ( 5) Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат Пример Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки Составим уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см Уравнение прямой имеет вид:, = b> и S=b/ = 8 Тогда = b или (-) = - не подходит по условию задачи Следовательно, или х + у = Для самостоятельного решения Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(-, -) и параллельных осям координат Ответ: {+=; +=} Угол между прямыми на плоскости Определение Если заданы две прямые = k + b, = k + b, то острый k k угол между этими прямыми будет определяться как tg kk Две прямые параллельны, если k = k Две прямые перпендикулярны, если k = -/k Теорема Прямые Ах + Ву + С = и А х + В у + С = параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А = А, В = В Если же и С = С, то прямые совпадают Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений Пример Определим угол между прямыми: = - + 7; = + ( ) k = -; k = ; tg = ; = / Искомый угол / или 5 ( ) Пример Покажем, что прямые х 5у + 7 = и х + 6у = перпендикулярны Находим: k = /5, k = -5/, k k = -, следовательно, прямые перпендикулярны

5 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой Определение Прямая, проходящая через точку М (х, у ) и перпендикулярная к прямой у = k + b представляется уравнением: ( ) k Расстояние от точки до прямой Теорема Если задана точка М(х, у ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С B C = определяется по формуле d B Доказательство Пусть точка М (х, у ) основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую Тогда расстояние между точками М и М : d ( ) ( ) () Координаты и у могут быть найдены как решение системы уравнений: B С ( ) B( ) Второе уравнение системы это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М перпендикулярно заданной прямой Если преобразовать первое уравнение системы к виду: ( ) + B( ) + + B + C =, то, решая, получим: ( B C), B B ( B C) B B C Подставляя эти выражения в уравнение (), находим: d B Теорема доказана Пример Даны вершины треугольника А(; ), B(6; 5), C(; -) Найдем уравнение высоты, проведенной из вершины С Находим уравнение стороны АВ: ; ; = 6 6; = ; Искомое уравнение высоты имеет вид: + B + C = или = k + b Так как высота перпендикулярна стороне АВ, угловой коэффициент высоты k = Тогда уравнение высоты: = b Тк высота проходит через точку С, то ее 5

6 координаты удовлетворяют данному уравнению: b, откуда b = 7 Ис- комое уравнение высоты 7 Для самостоятельного решения Даны стороны треугольника + 6 =, =, 5 = Составить уравнения его высот Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере Ответ: = ; = ; = Кривые второго порядка Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах + Вху + Су + D + E + F = Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже b уравнение эллипса b уравнение мнимого эллипса b уравнение гиперболы = уравнение двух пересекающихся прямых = p уравнение параболы = уравнение двух параллельных прямых + = уравнение двух мнимых параллельных прямых = пара совпадающих прямых ( ) + ( b) = R уравнение окружности Окружность В окружности ( ) + ( b) = R центр имеет координаты (; b) Пример Найдем координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: = Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше Для этого выделим полные квадраты: + +,5 = + + +,5 + 5/6 5/6 = ( ) + ( + 5/) 5/6 6 = ( ) + ( + 5/) = /6 Отсюда находим О(; -5/); R = / Ответ: О(; -5/); R = / 6

7 Эллипс Определение Эллипсом называется линия, заданная уравнением b Определение Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина у r М r F O F х F, F фокусы и F = (-; ); F (; ) с половина расстояния между фокусами; большая полуось; b малая полуось Теорема Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: = b + Доказательство: В случае если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r + r = b (по теореме Пифагора) В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r +r = ++ Тк по определению сумма r + r постоянная величина, то, приравнивая, получаем: = b + ; r + r = Определение Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом: Е = с/ Тк с <, то е < Определение Величина k = b/ называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина k = ( b)/ называется сжатием эллипса Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k = e Если = b ( =, e =, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность Если для точки М(х, у ) выполняется условие: b, то она находится внутри эллипса, а если b, то точка находится вне эллипса Теорема Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения: r = e, r = + e Доказательство Выше было показано, что r + r = Кроме того, из геометрических соображений можно записать: 7

8 r r ( ) ( ) ( ) ( ) После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e Аналогично доказывается, что r = + e Теорема доказана С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами Их уравнения: = /e; = -/e Теорема Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е Пример Составим уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: 5 6 ) Координаты нижней вершины: = ; = 6; = - ) Координаты левого фокуса: = b = 5 6 = 9; = ; F (-; ) ) Уравнение прямой, проходящей через две точки: ; ; ; Пример Составим уравнение эллипса, если его фокусы F (; ), F (; ), большая ось равна Уравнение эллипса имеет вид: b Расстояние между фокусами: = ( ) ( ), таким образом, b = = ½ По условию а =, следовательно, а =, b = / / / Искомое уравнение эллипса: Для самостоятельного решения ) Построить эллипс 9 +5 =5 Найти: ) полуоси; ) координаты фокусов; ) эксцентриситет Ответ ) =5; b=; 5 ) F (-;), F (;); ) ) Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: ) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось ; ) большая полуось 6, а эксцентриситет,5; ) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет,6 Ответ ) 5 9 ; ) 6 7 ; ) 5 6 ) Эллипс проходит через точки М (; ) и М (;) Написать его урав- 8

9 9 нение Ответ 6 ) Эллипс проходит через точку М(-; ) и имеет эксцентриситет Написать уравнение эллипса Ответ 8 6 ; r =5; r = 5) На эллипсе 9 +5 =5 найти точку, для которой расстояние от правого фокуса в четыре раза больше расстояния ее от левого фокуса Ответ (- 5 ; 6 ) Гипербола Определение Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами M(, ) b r r F F По определению r r = F, F фокусы гиперболы F F = Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у) Тогда: ) ( r и ) ( r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Обозначим с а = b (геометрически эта величина меньшая полуось):

10 b b, перепишем b Получили каноническое уравнение гиперболы Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат Ось а называется действительной осью гиперболы, Ось b называется мнимой осью гиперболы b Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение Отношение e называется эксцентриситетом гипербо- лы, где с половина расстояния между фокусами, а действительная полуось С учетом того, что с а = b b b b : e, e Если а = b, e =, то гипербола называется равнобочной (равносторонней) Определение Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии /e от него, называются директрисами гиперболы Их уравнения: e Теорема Если r расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-либо фокуса, d расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d величина постоянная, равная эксцентриситету Доказательство Изобразим схематично гиперболу /e d M(, ) r О F OF = Из очевидных геометрических соотношений можно записать: /e + d =, следовательно d = /e; ( ) + = r b Из канонического уравнения: b, с учетом b = :

11 , b r b r e r Тогда тк с/ = e, то r = e Окончательно e d e Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично Теорема доказана Пример Найдем уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса 8 5 Для эллипса: = b Для гиперболы: = + b Уравнение гиперболы: 5 Пример Составим уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением 5 9 Находим фокусное расстояние = 5 9 = 6 Для гиперболы: = + b = 6, e = / = ; = ; = ; = ; b = 6 = Искомое уравнение гиперболы: Для самостоятельного решения ) Построить гиперболу 6-9 = Найти: ) действительную и мнимую полуоси; ) координаты фокусов; ) эксцентриситет; ) уравнения асимптот Ответ ) = ; b = ; ) F (-5;), F (5;); 5 ) ; ) = и = - ) Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: ) расстояние между фокусами, а между вершинами 8; ) расстояние между фокусами 6, а эксцентриситет ; ) расстояние между фокусами, а уравнение асимптот = Ответ ) 6 9 ; ) 5 ; ) 6 6 ) На гиперболе - =6 взята точка М с ординатой равной Найти расстояние от точки М до фокусов Ответ r =9, r = ) Гипербола проходит через точку М(6;- ) и имеет мнимую полуось

12 Написать ее уравнение Ответ 5) Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса 5 9 Ответ 6 9 Парабола Определение Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой у А М(х, у) О F p/ p/ Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы Выведем каноническое уравнение параболы Из геометрических соотношений: M = MF; M = + p/; MF = + ( p/) ( + p/) = + ( p/) +p + p / = + p + p / = p каноническое уравнение параболы Уравнение директрисы: = -p/ Пример На параболе у = 8х найдем точку, расстояние которой от директрисы равно Из уравнения параболы получаем, что р = r = + p/ = ; следовательно: = ; = 6; откуда = Искомые точки: M (; ), M (; -) Для самостоятельного решения ) Построить параболу =6 Найти: ) координаты фокуса; ) уравнение директрисы Ответ ) F( ;); ) = ) Написать уравнение параболы, проходящей через точки (;) и (;-) и симметричной относительно оси О Ответ = -

13 ) На параболе = 6 найти точку, фокальный радиус которой равен,5 Ответ (; ) ) Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и точка пересечения прямых у=х и х+у= лежит на параболе Ответ у =х; х=- 5) Написать уравнение параболы, проходящей через точки (;) и (;-) и симметричной относительно оси Ох Ответ у =9х Преобразование уравнения второго порядка в канонические уравнения эллипса, гиперболы или параболы Общее уравнение второго порядка b b Это уравнение состоит из квадратичной формы, линейной формы b b и свободного члена Теорема Уравнение b b геометрически представляет собой эллипс, либо гиперболу, либо параболу и ничего больше, если не считать вырожденные случаи Пример Установим, какая линия определяется уравнением у=- х х Уединяем радикал и возводим в квадрат обе части: В левой скобке выделим полный квадрат: 5 Правую скобку перепишем как Приравниваем полученные выражения: 5 и переписываем 5 Получили уравнение окружности с центром в точке (-;) и радиусом 5 Пример Установим, какая линия определяется уравнением у = - х 9 Обе части делим на и возводим в квадрат: Перепишем как каноническое уравнение гиперболы, для которой ось O является действительной, а ось O мнимой осью Условию у < удовлетворяет нижняя часть гиперболы Пример Приведем уравнение 5х 9у х 8у 9 к каноническому виду Группируем и выделяем полные квадраты: Перепишем как каноническое уравнение эллипса: , которое определяет 5 5 центр эллипса (;-), большую () и малую ( 5 ) полуоси

14 Для самостоятельного решения ) Установить какая линия определяется уравнением а) 5 х ; б) у ; в) 9 у ; г) х 9 ; е) х д) 7 6 6х х ; 5 ) Привести уравнение к каноническому виду а) х у х у ; б) х у 6х у ; в) х 9у х 6у ; г) х 9у 8х 6у Системы координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена с помощью различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами Способ задания начальных условий для решения какой либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат Для удобства проведения вычислений иногда предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат Полярная система координат Определение Точка О называется полюсом, а луч l полярной осью Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус вектором этой точки Этот угол называется полярным углом М r r = ОМ l Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох

15 Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: = ros; = rsin; + = r Пример Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: r Найдем уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определим тип кривой, фокусы и эксцентриситет Схематично построим os кривую Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: r ; os ; ; ; ; ; ; 8( / ) 8/ 9 6 ; 8( / ) 9 6 ; ( / ) 8( / ) 9 8; 9 / Получили каноническое уравнение эллипса Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на / вправо, большая полуось равна /, меньшая полуось b равна, половина расстояния между фокусами равно с= b =/ Эксцентриситет равен е = с/ = / Фокусы F (; ) и F (; ) F F - ½ - Пример Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: 9 r Найдем уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определим тип кривой, найдем фокусы и эксцентриситет Схематично 5os построим кривую Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат:, ; 5 9; ; 5

16 ; 9( 5 5) 6 8 ; 9( 5) ; ( 5) 9( 5) 6 ; 6 9 Получили каноническое уравнение гиперболы Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна, меньшая полуось b равна, откуда получаем = + b ; = 5; e = / = 5/ Фокусы F (-; ), F (; ) Построим график этой гиперболы F F - Для самостоятельного решения Дано уравнение линии: ( х у ) а ( х у ) Требуется: составить ее полярное уравнение при условии, что начало координат прямоугольной декартовой системы совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; построить график линии в полярной системе координат Ответ r=osφ Часть II Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности в пространстве Определение Любое уравнение, связывающее координаты,, любой точки поверхности является уравнением этой поверхности Уравнение плоскости по точке и вектору нормали Пусть даны точка М (,, ) и вектор n, B, C Построим уравнение плоскости, которая проходит через данную точку перпендикулярно данному вектору Лежащий на искомой плоскости вектор M M, где М (,, ) произвольная точка, так же перпендикулярен данному вектору n Известно, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно : M Mn 6

17 В координатной форме уравнение имеет вид: (- )+B(- )+C(- )= Таким образом, скалярное произведение перпендикулярных векторов M M,, и n, B, C определяет уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (,, ) перпендикулярно данному вектору n (Рисунок ) n=(,b,c) M(,,) M (,, ) Рисунок Теорема Если в пространстве задана точка М (х, у, ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору нормали N (, B, C) имеет вид: ( )+B( )+C( )= Доказательство Для произвольной точки М(х, у, ), принадлежащей плоскости, составим вектор M M (,, ) Тк вектор N вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору M M Тогда скалярное произведение M M N = Таким образом, получаем уравнение плоскости: ( ) B( ) C( ) Теорема доказана Пример Составим уравнение плоскости, которая проходит через точку М(;-;-) и имеет нормальный вектор n (;;) Определим: =, =-, =-; А=, В=, С= Искомое уравнение принимает вид: (-)+(-(-))+(-(-))=(-)+(+)+(+)= Искомое уравнение имеет вид (-)+(+)+(+)= Общее уравнение плоскости Определение Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: + B + C + D =, где А, В, С координаты вектора n А i Вj Сk, который называется вектором нормали к плоскости Возможны следующие частные случаи: А = плоскость параллельна оси Ох (Рисунок -а), В = плоскость параллельна оси Оу (Рисунок -б), С = плоскость параллельна оси О (Рисунок -в), D = плоскость проходит через начало координат, 7

18 а) б) в) Рисунок А = В = плоскость параллельна плоскости хоу (Рисунок -а), А = С = плоскость параллельна плоскости хо (Рисунок -б), В = С = плоскость параллельна плоскости O (Рисунок -в), Рисунок А = D = плоскость проходит через ось Ох, В = D = плоскость проходит через ось Оу, С = D = плоскость проходит через ось O, А = В = D = плоскость совпадает с плоскостью хоу, А = С = D = плоскость совпадает с плоскостью O, В = С = D = плоскость совпадает с плоскостью O Для предыдущего примера (уравнение (-)+(+)+(+)=) составим общее уравнение плоскости: -++++=+++= Искомое уравнение имеет вид +++= Уравнение плоскости в векторной форме r n p, где r i j k радиус- вектор текущей точки М(х, у, ), n i os j os k os единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат;, и углы, образованные этим вектором с осями х, у, ; p длина этого перпендикуляра В координатах данное уравнение приобретает вид: os + os + os - p = получим: Уравнение плоскости в отрезках Если в общем уравнении Ах + Ву + С + D = поделить обе части на (-D), а) в) б) D B D C D, 8

19 9 обозначив C D b B D D,,, получим уравнение плоскости в отрезках: b Числа, b, указывают точки пересечения плоскости соответственно с осями х, у, (определяют отсекаемые на соответствующих осях отрезки): Пример Построим плоскость = + + = 6; 6 Для построения плоскости отмечаем точки: на оси O (6;;), на оси O (;;), на оси O (;;) Далее соединяем их отрезками прямой Уравнение плоскости, проходящей через три точки Для того, чтобы через какие- либо три точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой Рассмотрим точки М (,, ), M (,, ), M (,, ) в общей декартовой системе координат Для того, чтобы произвольная точка М(,, ) лежала в одной плоскости с точками М, М, М необходимо, чтобы векторы M M M M M M,, были компланарны: ( M M M M M M,, )= Таким образом, } ; ; { } ; ; { } ; ; { M M M M M M Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:, Для самостоятельного решения Составить уравнение плоскости, которая b

20 проходит через точки М (;-;), М (;-;-), М (;;) Ответ ++-8= Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости Пусть заданы точки М (,, ), M (,, ) и вектор (,, ) Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М и М и произвольную точку М(х, у, ) параллельно вектору Векторы MM { ; ; }, MM { ; ; } и вектор (,, ) должны быть компланарны, те ( M M, M M, )= Тогда искомое уравнение плоскости принимает вид:, в левой части которого выполняем разложение по первой строке определителя Для самостоятельного решения Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (;-;) и М (;;), параллельно вектору (;-;) Ответ --= Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, параллельным данной плоскости Пусть заданы два вектора (,, ) и b ( b, b, b ), параллельные плоскости и точка М на плоскости Тогда для произвольной точки М(х, у, ), принадлежащей плоскости, векторы, b, MM должны быть компланарны Искомое уравнение плоскости приобретает вид: b b b Выполняем разложение определителя по первой строке и преобразуем полученное уравнение:, b b b b b b b b b b b b Для самостоятельного решения Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (;;-5), параллельно векторам (;;-) и (;-;) Ответ ++7+6= Расстояние от точки до плоскости Расстояние от произвольной точки М (х,у, ) до плоскости Ах+Ву+С+D= равно: B C D d B C

21 Пример Найдем уравнение плоскости, зная, что точка Р(; -; ) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость OP ( ; ;); OP ; N ( ; ; ) Таким образом, = /; B = -/; C = /, воспользуемся формулой: ( ) + B( ) + C( ) = ( ) ( ) ( ) ; Пример Найдем уравнение плоскости, проходящей через две точки P(; ; - ) и Q(; -; ) перпендикулярно плоскости х + у + 5 = Вектор нормали N ( ;; ) к плоскости х + у + 5 = параллелен искомой плоскости Получаем: ( )( 8) ( ) ( )( ) 7( ) ( ) Пример Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(, -, ) и В(,, -) перпендикулярно плоскости х + у + = Искомое уравнение плоскости имеет вид: + B + C + D =, вектор нормали к этой плоскости n =(, B, C) Вектор B (,, -5) принадлежит плоскости Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n =(,, ) Тк точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то i j k 5 5 n B n 5 i j k i 7 j k Таким образом, вектор нормали n (, -7, -) Тк точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, те D = ; D = - Искомое уравнение плоскости: - 7 =

22 Пример Найдем уравнение плоскости, зная, что точка Р(, -, ) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость Находим координаты вектора нормали OP = (, -, ) Искомое уравнение плоскости имеет вид: + + D = Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р: D = D = -69 Искомое уравнение плоскости + 69 = Для самостоятельного решения Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(;-;7) параллельно плоскости -+5= Указание Если искомая и данная плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные Допустим, что векторы равны (; ; -), тогда искомая плоскость имеет уравнение (-)+(+)-(-7)= Ответ -+5= Пример Даны координаты вершин пирамиды А (; ; ), (; -; ), (; ; ), (; ; 5) ) Найдем длину ребра А А : { ; ; } {; ; }; ( ед) ) Найдем угол между ребрами А А и А А как угол между соответствующими векторами: { ; ;5 } {;;}; os ( ед); os os ; os (; ;) (;;) ; ; ) Найдем угол между ребром А А и гранью А А А Сначала найдем вектор нормали N к грани А А А как векторное произведение векторов и : = (-; -; -) = (; ; -); i j k N i ( ) j( ) k ( ) i j k; N ( ; ; ); N Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = sin os rsin 6 6 ) Найдем площадь грани А А А : S N ( ед ) 5) Найти объем пирамиды: V (( ) ) N (ед ) 6 6 6) Найдем уравнение плоскости А А А Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки Найдем угол между вектором нормали и вектором : N N os os, но N - = -8

23 ( ) ( ) ( )( ) = искомое уравнение плоскости + + = Для самостоятельного решения Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М (;-;-) и М (;;) перпендикулярно к плоскости - +-5= Указание: Если искомая плоскость перпендикулярна данной, то вектор (;;) параллелен искомой плоскости Далее см п«уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости»: Ответ--= Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению: F(,, ) = Это уравнение называется уравнением линии в пространстве Линия в пространстве может быть определена и иначе Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением Пусть F(,, ) = и Ф(,, ) = уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L Тогда пару уравнений F(,, ) назовем уравнением линии в пространстве Ф(,, ) Например, прямая L представляет собой пересечение плоскостей и Тогда ее можно определить совместным заданием двух уравнений: Ах В у С D, общие уравнения прямой в пространстве А х В у С D Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной прямой Вектор S называется направляющим вектором прямой На прямой возьмем две произвольные точки М (,, ) и M(,, ) Обозначим радиус-векторы этих точек как r и r, очевидно, что r - r = М М

24 Тк векторы М М и S коллинеарные, то верно соотношение М М = S t, где t некоторый параметр Тогда можно записать: r = r + S t Тк этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение параметрические уравнения прямой S M M r r Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: mt, nt, pt Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве: m n p Определение Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S, которые могут быть вычислены по формулам: m n p os ; os ; os m n p m n p m n p Отсюда получим: m : n : p = os : os : os Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой Тк S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители Пример Найдем канонические уравнения прямой х у, х у Полагая, например, х =, находим из данной системы: у =, = ; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: М (; ; ) Теперь найдем направляющий вектор Имеем n =(; ; ), n =(; ; ); отсюда а = n n = (- ; 7; - ), т е m = -, n =7, p = - Канонические уравнения данной прямой:

25 5 7 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M (,, ) и M (,, ), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: p n m Кроме того, для точки М можно записать: p n m Решая совместно эти уравнения, получим: Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве Пример Даны вершины треугольника А(;6;-7), В(-5;;) и С(;-7;-) Составим параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С Составим канонические уравнения искомой медианы из вершины С: 7 p n m Направляющим вектором является вектор, CM где М середина стороны АВ Координаты точки 7 ; 6 ; 5 M, М(-; ; -) Окончательно ; 7 7 t, 7, 5,, 7, 5 t t t t t Для самостоятельного решения ) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М (;-;) и М (;;-) Ответ ) Через точки М (-6;6;-5) и М (;-6;) проведена прямая Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями Ответ (;;-), (;;-), (9;-;) Общие уравнения прямой в пространстве Ранее было отмечено, что уравнение прямой можно рассмотреть как уравнение линии пересечения двух плоскостей Напомним, что плоскость в векторной форме может быть задана уравнением N r + D =, где N нормаль плоскости; r радиус-вектор произвольной точки плоскости Пусть в пространстве заданы две плоскости: N r + D = и N r + D =, векторы нормали имеют координаты: N (, B, C ) и N (, B, C ); r (,, )

26 6 Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:, D r N D r N Общие уравнения прямой в координатной форме:, D C B D C B Практическая задача, как правило, требует приведение уравнений прямых из общего к каноническому виду Если общие уравнения прямой содержат плоскости «полного формата» (могут наличествовать все координаты, и ), в канонических уравнениях прямой участвуют неполные уравнения плоскостей (см п«общее уравнение плоскости»): ; p m n m В первом уравнении плоскости отсутствует координата, во втором В п«уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору» для решения подобной задачи была определена произвольная точка прямой и числа m, n, p При этом направляющий вектор прямой был найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям: p k jn m i B B k C C j C B C B i C B C B k j i N N S Пример Найдем канонические уравнения, если прямая задана в виде: 7 5 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х =, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений: 7 7, те А(,, ) Находим компоненты направляющего вектора прямой: 5 7; 5 ; B B p C C n C B C B m Тогда искомые канонические уравнения прямой: 7

27 Пример Приведем к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде: Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем = Тогда: 6 7 ; ; 9 7 = ; = -; = ; получили (-; ; ) 7 i j k Направляющий вектор прямой: S n n 6 5i j 7k 7 Искомые уравнения ; Для самостоятельного решения ) Составить канонические уравнения прямой - -, Ответ 5-7 ) Составить параметрические уравнения прямой -, - 5 Ответ =t; =7-7t; =7-9t Угол между плоскостями N N Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям соотношением: = или =8 -, те os=os Определим угол Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: 7

28 N N r D, где N (, B, C ), N (, B, C ) Угол между векторами r D нормали найдем из их скалярного произведения: os N N Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле: BB CC os B C B C Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти острый, или смежный с ним тупой Пример Найдем угол между плоскостями -= и += Определяем координаты векторов:, B, C и, B, C Выполняем расчеты: BB CC 6 5 os 9 5 B C B C Один из углов между плоскостями равен 5º Для самостоятельного решения )Найти угол между плоскостями -+- 8= и +-6= Ответ 5º Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю Это условие выполняется, если: B B CC Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N N Это условие выполняется, если: B B C C Пример Параллельны ли плоскости +-+5= и ++-=? Определяем координаты векторов:, B, C и, B, C Выполняем расчеты: BB CC 8 8 os B C B C Угол между коллинеарными векторами равен или 8 Следовательно, данные плоскости не параллельны Пример Перпендикулярны ли плоскости ---5= и +9-+=? Косинус угла перпендикулярных векторов равен Выполним расчеты: os Данные плоскости перпендикулярны Для самостоятельного решения ) Определить при каких значениях l и m N N 8

29 пара уравнений +l+-5= и m-6-6+= будет определять параллельные плоскости? Указание Воспользуйтесь условием пропорциональности соответствующих координат коллинеарных векторов: l m 6 6 ; m 6 l 6 Ответ l=;m=- ) Определить при каком значении l уравнения -5+l-= и +++5= будут определять перпендикулярные плоскости? Ответ 6 Угол между прямыми в пространстве Пусть в пространстве заданы две прямые Их параметрические уравнения: l : r S t ; l : r S t r r r (,, ); r (,, ); r (,, ); S ( m, n, p); S ( m, n, p) Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых связаны соотношением: = или = 8 - Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения Таким образом: os S S m m n n p S S m n p m n p Для самостоятельного решения Найти острый угол между прямыми 5 и Ответ 6º Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, те их соответствующие m n p координаты были пропорциональны: m n p Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, те косинус угла между ними равен нулю: m m nn p p Для самостоятельного решения ) Доказать параллельность прямых и, ) Доказать перпендикулярность прямых и 5, 8 ) Доказать параллельность прямых =5+t; =-t; =-7+t и, Указание Если для первой прямой известен направляющий - - вектор S (;-;), то для второй прямой его требуется определить как векторное p 9

30 произведение: i j k S n n 8i j k ) Доказать перпендикулярность прямых =+t; =-+t; =-6t и, - 5 Угол между прямой и плоскостью Определение Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость N S Пусть плоскость задана уравнением N r D, а прямая r r St Из геометрических соображений (см рис) видно, что искомый угол = 9 -, где угол между векторами N и S Этот угол может быть найден по формулам: N S N os S, sin os N S N S В координатной форме: m Bn Cp sin B C m n p Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны и их скалярное произведение было равно нулю: NS, N S, sin, m Bn Cp Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны Это условие выполняется, если векторное произведение этих B C векторов было равно нулю: N S ; m n p

31 Пример Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М(;-;-) перпендикулярно к прямой Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М: (-)+B(+)+C(+)= Так как плоскость перпендикулярна данной прямой, ее нормальный вектор и направляющий вектор прямой есть коллинеарные векторы: B C k, где k любое число, например, Тогда А=, В=-, С= Получили: (-)-(+)+(+)= уравнение плоскости -+-= Пример Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости +--5= Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку (;-;), принадлежащую данной прямой: (-)+B(+)+C(-)= Так как искомая плоскость содержит прямую, то направляющий вектор прямой (;-;) перпендикулярен нормальному вектору искомой плоскости Для определения нормального вектора используем нормальный вектор (;;-) плоскости, перпендикулярной искомой Нормальный вектор искомой плоскости найдем через векторное произведение: N S N i j k i 8 j k Тогда уравнение искомой плоско- сти: -(-)+8(+)+(-)= +8+-9= Для самостоятельного решения ) При каких значениях А и В плоскость А+В+-5= перпендикулярна прямой =+t; =5-t; =--t? Ответ А=-, В=,5 ) Доказать, что прямая =-+t; =-t; =-5+ t параллельна плоскости --6-5= ) При каком значении m прямая параллельна плоскости m -+6+7=? Ответ - ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(;;-) параллельно прямым и Ответ = 5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую =+t; -, =+t; =-- t параллельно прямой Ответ =

32 Поверхности второго порядка Определение Поверхности второго порядка это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка Цилиндрические поверхности Определение Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая, те направляющие параллельны оси О Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих: ) - эллиптический цилиндр b - гиперболический цилиндр ) b ) = p параболический цилиндр

33 Поверхности вращения Определение Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид F( +, ) =, то эта поверхность поверхность вращения с осью вращения О Аналогично: F( +, ) = поверхность вращения с осью вращения Оу, F( +, ) = поверхность вращения с осью вращения Ох Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев: ) эллипсоид вращения ) однополостный гиперболоид вращения ) двуполостный гиперболоид вращения ) параболоид вращения p Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу Однако перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже Сфера: ( ) ( b) ( ) r Трехосный эллипсоид: b В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями

34 Однополостный гиперболоид: b Двуполостный гиперболоид: b Эллиптический параболоид:,, q p где q p

35 Гиперболический параболоид: p q Конус второго порядка: b Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена ранее Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор nl, n Через точку О можно провести единственную плоскость, пер- пендикулярную вектору нормали n Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещают с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l с положительным направлением оси х, вектор нормали с осью Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления 5

36 М h r M OM ; ОМ = r; MM = h; Если из точки М опустить перпендикуляр ММ на плоскость, то точка М будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ) Определение Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r,, h), которые определяют положение точки М в пространстве Определение Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где - угол между и нормалью Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид: h = ; = ros; = rsin; os = ; sin = Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной В случае сферической системы координат соотношения имеют вид: rtg os ; ; rtg sin sin ; ; sin os ; os ; sin ; 6

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Определители и системы линейных уравнений Матрицы. Основные определения. Определение. Матрицей размера m где m- число строк - число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С.А. Зотова В. Б. Светличная Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Волгоград МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой . Ось и отрезки оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано,

Подробнее

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой

1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой . Ось и отрезки оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано,

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования РФ Уральский государственный технический университет УПИ Нижнетагильский технологический институт С.Е.Демин, Е.Л.Демина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (конспект лекций) г. Нижний

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее