Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление"

Транскрипт

1 Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Тестовая контрольная работа по разделу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Введение в анализ Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Тестовая контрольная работа по разделу «Введение в анализ» Дифференциальное исчисление Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки 9 Тестовая контрольная работа по разделу «Дифференциальное исчисление» Интегральное исчисление функции одной переменной Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Тестовая контрольная работа по разделу «Интегральное исчисление функции одной переменной» Приложения Таблица эквивалентных бесконечно малых функций Замечательные пределы Виды уравнения прямой на плоскости Виды уравнения плоскости Виды уравнений прямой в пространстве Графики основных элементарных функций Поверхности второго порядка Таблица основных интегралов 9 Формулы, используемые при интегрировании Приложения определенного интеграла Литература

2 ВВЕДЕНИЕ Пособие состоит из четырех разделов: линейная алгебра, аналитическая геометрия и векторная алгебра, введение в анализ, дифференциальное исчисление и интегральное исчисление функции одной переменной, что соответствует учебной программе по математике для первого курса Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники (факультет заочного обучения) В начале каждого раздела приводится список умений, необходимых для сдачи экзамена в рамках этой темы Далее представлены тщательно отобранные наборы заданий с ответами для аудиторных занятий (в установочную и экзаменационную сессии) Для самостоятельной подготовки к экзаменам в период между сессиями предлагается большое количество задач с ответами Для помощи в решении этих задач предназначается обширный круг заданий с решениями, сопровождающимися подробными комментариями Пособие содержит также приложения, включающие формулы, правила, формулировки теорем, графики и иллюстрации В конце каждого раздела приводятся варианты тестовых контрольных работ, подводящие итог изученному в этом разделе материалу Представленное пособие может послужить эффективным помощником студенту заочной формы обучения благодаря доступности и подробности изложения, большому количеству технически нетрудоемких заданий и наличию наглядного справочного материала Тщательно продуманные, хорошо сбалансированные наборы задач для аудиторной работы и тестовых контрольных заданий помогут преподавателю качественно провести занятия и контроль знаний студентов в период экзаменационной сессии Пособие рекомендуется для студентов инженерно-технических специальностей вузов заочной формы обучения и преподавателей высшей математики

3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В результате изучения данной темы студент должен научиться: вычислять определители (по правилу Саррюса; разлагая определитель по элементам какой-либо строки (столбца)); выполнять операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число, транспонирование, произведение матриц); находить матрицу, обратную данной; решать матричные уравнения; находить ранг матрицы; проверять совместность систем линейных алгебраических уравнений; решать системы линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера; находить собственные значения и собственные векторы матрицы; приводить квадратичную форму к каноническому виду ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Даны матрицы и B Найдите: T T ) B ; ) B ; ) B Даны матрицы и B Найдите: T ), B ; ) B Даны матрицы, B и C Найдите те из произведений B, B, C, C, BC, CB, которые имеют смысл Решите матричные уравнения: ) X ; ) X Найдите значение матричного многочлена f, если: ) f, ; ) f, Найдите ранг матрицы А методом элементарных преобразований, если:

4 ) ; ) 9 ; ) Исследуйте системы уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса ) ;,, ) ;,, ),, Решите системы уравнений методом Гаусса: ) ;, ), 9, 9, 9 Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:,, Найдите собственные значения и собственные векторы матриц: ) ; ) Запишите матрицы квадратичных форм: ), Q ; ),, Q Приведите данные квадратичные формы к каноническому виду с помощью метода Лагранжа (выделение полных квадратов): ), Q ; ),, Q

5 Ответы ) ; ) ; ), 9, ), B ; ),,9,,, B, C ) X ; ) X ) ; ) ) rang ; ) rang ; ) rang ),, ; ),, ; ) система несовместна ) ; ;, где, произвольные действительные числа; ),, 9 Общее решение:,,, где с произвольное действительное число, ФСР: ;; T ) СЗ:, 9, СВ:, ; ) СЗ:,,, СВ:,,, ) ; ), ) Qy, y y y, где y, y ; ) Qy, y, y y y y, где y, y, y

6 ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Даны матрицы и B Найдите: ) B ; ) E B T ; ) B B ; ) ; ) Решение: ) найдем матрицы и B, умножая каждый элемент матрицы А на и каждый элемент матрицы В на : 9, B Вычислим разность B, вычитая из каждого элемента матрицы соответствующий элемент матрицы B : 9 9 B ; ) найдем транспонированную матрицу T, которая получается из матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером: T T Вычислим C B B B, где,,,,,,,, Получаем B Находим

7 9 T E B 9 ; ) вычислим B 9 Найдем B Тогда B B ; ) вычислим определитель матрицы А, разлагая его по элементам второй строки: a a a, где j a элемент второй строки матрицы А,,, j ; j алгебраическое дополнение элемента j a,,, j Найдем алгебраические дополнения:,, Получим ;

8 ) обратная матрица существует только для квадратной невырожденной матрицы (т е определитель которой отличен от нуля) Так как, то обратная матрица существует Найдем ее по формуле Вычислим алгебраические дополнения j и j,,, j,,,,, Таким образом, Найдите значение матричного многочлена f, если f, Решение По определению E f Найдем Тогда E f Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований

9 Решение Обозначим,, I I I строки матрицы А Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк, не изменяющих ранга матрицы А: I I, I I В результате получим I I I Отметим, что связанные значком матрицы имеют одинаковые ранги Очевидно, все миноры третьего порядка полученной матрицы равны нулю, но существуют миноры второго порядка, не равные нулю, например Следовательно, ранг матрицы, полученной в результате элементарных преобразований из матрицы А, равен Значит, rang Исследуйте системы линейных уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса ) ;,, ),, Решение: ) совместность системы проверим по теореме Кронекера Капелли Определитель основной матрицы системы, значит, строки матрицы А линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы А равен Так как ранг матрицы меньше либо равен (она имеет три строки) и, как мы показали, ее минор -го порядка, то

10 rang rang Значит по теореме Кронекера Капели исходная система совместна; а) решим систему по формулам Крамера: ; ;, где определитель основной матрицы системы; i определитель, полученный из заменой в нем i-го столбца столбцом свободных членов,,, i,, Отсюда получим решение системы уравнений: ; ; ; б) решим ту же систему уравнений методом Гаусса Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками матрицы, что равносильно исключению неизвестной из второго и третьего уравнений и неизвестной из третьего уравнения Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на ; из третьей строки вычтем первую, умноженную на Затем из третьей строки вычтем вторую: I I I Полученной матрице соответствует система,,, из которой последовательно находим,, ; ) проверим совместность системы с помощью теоремы Кронекера Капелли В расширенной матрице осуществим следующие преобразования: из третьей строки вычтем сумму первых двух, из первой вычтем вторую, ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

11 I I I I 9 Очевидно, что ранг основной матрицы равен, а расширенной Из того, что ранги основной и расширенной матриц не равны, заключаем по теореме Кронекера Капелли, что система не имеет решений, т е несовместна Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:,, Решение Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований строк I I Ранг r матрицы А равен, так как существует минор -го порядка, отличный от нуля (например ) Поскольку ранг матрицы r меньше числа неизвестных n, то система имеет бесконечно много решений Найдем их, решая систему, соответствующую преобразованной матрице:, Из второго уравнения выразим через, а из первого через, с учетом найденного (в этом случае является свободной переменной, которая принимает любые действительные значения) Получим

12 , 9, Фундаментальная система решений состоит из n r решения Положив, например,, находим 9, Тогда фундаментальная 9 система решений примет вид Общее решение системы имеет вид 9, или, где произвольное действительное число Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы Решение Собственные значения матрицы А найдем, решив характеристическое уравнение E, которое в нашем случае имеет вид,, Для каждого из трех собственных значений составим и решим однородную систему уравнений

13 , решениями которой являются собственные векторы матрицы А Для указанная система имеет вид,, Решим систему методом Гаусса: I I I Отсюда, Полагая, получим собственный вектор, соответствующий :, где произвольное число, отличное от нуля Для имеем следующую систему: Отсюда, Полагая, получим собственный вектор, соответствующий :, где произвольное число, отличное от нуля Аналогично для имеем

14 Отсюда, Полагая, получим собственный вектор, соответствующий :, где произвольное число, отличное от нуля Таким образом, матрица А имеет три собственных значения,, Соответствующие им собственные векторы имеют вид,,, где,, \ Приведите к каноническому виду уравнение линии второго порядка y y, используя теорию квадратичных форм Решение Левая часть уравнения y y представляет собой квадратичную форму с матрицей Составим характеристическое уравнение E для матрицы А:, Находим собственные векторы из системы уравнений,, полагая, При имеем

15 ,, Полагая, получим собственный вектор, соответствующий собственному значению При имеем,, Полагая, получим собственный вектор Нормируем собственные векторы и i i e : e, e Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому T, столбцами которой являются координаты нормированных собственных векторов e и e Выполним в уравнении y y переход от координат, y к новым координатам y, по формулам, y y y y y T y В результате получаем из исходного уравнения кривой ее каноническое уравнение: y y y y y Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы

16 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Найдите C B, если, B, C Даны матрицы и B Найдите АВ и ВА Найдите T и T, если Даны матрицы, B, C, D Найдите D D BC B BC B T T,,,, Даны матрицы, B, C Найдите те из произведений АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ, которые имеют смысл Найдите значение матричного многочлена f, если: ) f, ; ) f, Вычислите определитель одним из следующих методов: а) по правилу треугольников; б) разложением по первой строке; в) приведением к треугольному виду: ) ; ) ; ) Дана матрица А Убедитесь, что она невырожденная, найдите обратную ей матрицу и проверьте равенства E :

17 9 ) ; ) 9 Решите матричные уравнения: ) X ; ) X ; ) X Найдите ранг матрицы А методом элементарных преобразований: ) 9 ; ) ; ) Исследуйте системы линейных уравнений на совместность и, в случае совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса: ) ; 9,, ) ;,, ),, Решите системы линейных уравнений методом Гаусса: ) ;, 9, ) ;,,, ) 9,, Найдите общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: ) ; 9,,, ),,,

18 Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы: ) ; ) Приведите к каноническому виду уравнения кривых второго порядка и постройте их графики в исходной системе координат ) 9 y y y ; ) 9 y y ; ) y y y Ответы 9 B B T, T B, BC, BC B T, D, D T B, C ) ; ) ) ; ) ; )

19 ) ; ) 9 ) X ; ) X ; ) X ) ; ) ; ) ),, ; ), ; ),, ) система несовместна; ),,,,,,,,,,,, ) ФСР:,, общее решение:, где, произвольные действительные числа; ) ФСР:,,,, общее решение:, где, ) СЗ:,,, СВ: a, b,, a, b, \ ; ) СЗ:,,, СВ: a,

20 b 9,, a, b, \ y y ) эллипс ; ) гипербола ; ) парабола 9 y

21 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В результате изучения данной темы студент должен научиться: изображать линейные комбинации заданных плоских векторов; находить координаты линейной комбинации векторов, длину вектора; вычислять скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и с их помощью находить угол между векторами, площади треугольника, параллелограмма, объемы параллелепипеда, пирамиды; проверять коллинеарность, ортогональность и компланарность векторов; составлять уравнения прямой на плоскости и в пространстве; определять взаимное расположение прямых; составлять уравнения плоскостей; определять взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости; приводить уравнения кривых и поверхностей -го порядка к каноническому виду и определять типы кривых и поверхностей по полученным уравнениям ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Изобразите на плоскости два произвольных вектора a и b Постройте векторы: ) а b; ) a b ; ) a b ; ) a b Среди изображенных на рис векторов укажите: ) коллинеарные; ) ортогональные; ) противоположно направленные; ) сонаправленные; ) равные a d Найдите координаты, длину вектора B и середину отрезка B, если: ) ;, B; ; n ) ; ;, B; ; Найдите координаты и длины векторов b k a b и d a b, если a ; ;, b ; ; Рис Докажите, что векторы a ; ;, b ;; и ;; образуют базис и найдите разложение вектора d ; ; по этому базису Даны векторы a i k, b i j k, i j k Выполните следующие задания: ) вычислите скалярное произведение векторов b и ; ) найдите модуль векторного произведения векторов a и b ;

22 ) вычислите смешанное произведение векторов a, b и ; ) проверьте, будут ли векторы b и коллинеарными, ортогональными; ) проверьте, будут ли векторы a, b, компланарными Прямая задана общим уравнением y Запишите следующие уравнения данной кривой: ) с угловым коэффициентом; ) «в отрезках»; ) каноническое; ) параметрические Постройте прямую Запишите уравнения прямых, которые проходят через точку ; и параллельны: ) оси абсцисс; ) оси ординат; ) биссектрисе первого координатного угла; ) прямой y 9 9 Даны вершины треугольника АВС: ;, B ;, C ; Найдите: ) уравнение стороны АВ; ) уравнение высоты СН; ) уравнение медианы АМ; ) расстояние от точки С до прямой АВ; ) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ; ) косинус внутреннего угла при вершине А; ) точку N пересечения высоты СН и медианы АМ Запишите уравнение плоскости: ) параллельной плоскости Oz и проходящей через точку M ; ; ; ) проходящей через ось Oz и точку ; ; ; ) параллельной оси O и проходящей через две точки M ;; ;; B ;; и имеющей нормальный и M ; ) проходящей через точку вектор n ; ; ; ) проходящей через точку ;; векторам a ;; и b ; ; C параллельно двум Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ; ; перпендикулярно плоскости y z Даны координаты вершин пирамиды BCD : ;;, B ;;, C;; и D ;; Найдите: ) уравнение прямой АВ; ) длину ребра АВ; ) угол между ребрами АВ и АС; ) уравнение плоскости АВС; ) площадь АВС; ) синус угла между ребром D и гранью АВС; ) объем пирамиды BCD; ) уравнения и длину высоты DH, опущенной из точки D на плоскость АВС; 9) уравнение плоскости, проходящей через точку D, параллельно плоскости АВС; ) точку пересечения высоты DH и грани АВС Ответы ) a,, k, n ; ) a b, b, b k, b n ; ) a, a k, n, n k ; ) k, a n ; ) a n ) B ;, B, ; M ;; M ; ) ;; B, B,

23 ; ;,, ; ; d, d d a b ) ; ) ; ) ; ) не коллинеарны, не ортогональны; ) не компланарны y y t, ) y ; ) ; ) ; ) t y t, ) y ; ) ; ) y ; ) y 9 ) y ; ) y ; ) y ; ) ; 9 9 ) y ; ) ; ) N ; ) y ; ) y ; ) 9y z ; ) y z ; ) y z y z Канонические уравнения:, параметрические t, уравнения: y t, t z t, y z ) ; ) B ; ) ; ) y z ; y z ) S BC ; ) sin ; ) V BCD ; ), DH ; 9) y z ; ) ; ; 9 9 9

24 ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Даны векторы a i j k, b i j k, i j k и d i j k Требуется: ) вычислить скалярное произведение векторов b и a ; ) вычислить векторное произведение векторов и a b ; ) выяснить, являются ли векторы a и b коллинеарными, ортогональными; ) показать, что векторы a, b, образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе Решение: ) найдем координаты вектора a i j k i j k i j k Так как скалярное произведение векторов m ; y z и n ; y z вычисляется по формуле m n y y z z, то b a 9 ; ) найдем координаты вектора a b i j k i j k j k ; ; Так как векторное произведение векторов m ; y z и n ; y z вычисляется по формуле m n i j k y z z y z i j y z z y z i j k ; y y k, то a b i j k i j k ; ) условием коллинеарности векторов m ; y z и n ; y z является пропорциональность их координат: y z y z ; Найдем координаты векторов a и b : a i j k; b i j k Поскольку, то векторы a и b не коллинеарны ; ;

25 Условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения Так как a b, то векторы a и b не ортогональны; ) векторы a, b, образуют базис в пространстве, если они не компланарны, т е их смешанное произведение не равно нулю Найдем смешанное произведение векторов a, b, : a b Следовательно, векторы пространстве Представим вектор d в виде линейной комбинации векторов a, b, не компланарны и образуют базис в a, b,, т е d a b, где ; ; координаты вектора d в базисе a, b, Запишем последнее равенство в координатной форме:,, Решим полученную систему методом Гаусса: I I Преобразованной расширенной матрице системы соответствует следующая система линейных уравнений:,,, из которой находим,, Значит, d a b

26 Даны координаты вершин треугольника : ; B ;, C ; Найдите: ) уравнение стороны АВ; ) уравнение высоты СН; ) уравнение медианы АМ; ) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; ) уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ; ) расстояние от точки С до прямой АВ BC, Решение: ) уравнение прямой, проходящей через точки ; y и B ; y, имеет вид y y y y Подставляя в последнее равенство координаты точек А и В, получим y y y y y уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом; ) из перпендикулярности прямых АВ и СН следует, что их угловые коэффициенты связаны равенством k B kch Угловой коэффициент прямой АВ равен Тогда угловой коэффициент прямой СН: k CH k B Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M ; y с известным угловым коэффициентом k: y y k Подставляя в последнюю формулу координаты точки С и найденный коэффициент k CH, получим y y общее уравнение высоты СН; ) найдем координаты точки M середины стороны АВ по формулам: B M, y yb y M Тогда по двум известным точкам ; и M ; составляем уравнение медианы АМ:

27 y y y ; ) для нахождения координаты точки N пересечения медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений: y, y Решая ее, находим точку N ; ; ) так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то угловой коэффициент искомой прямой равен k B По заданной точке C ; и угловому коэффициенту k B составляем уравнение искомой прямой: y y ; ) расстояние от точки M ; y до прямой a by вычисляется по формуле a by d a b Подставляя в последнее равенство координаты точки C ; и коэффициенты прямой АВ: y a, b,, получим d Даны координаты вершин пирамиды BCD : ;;, ;;, ; ;9 ;; Найдите:, ) уравнение прямой ) длину ребра ) уравнение плоскости ; ) уравнения и длину высоты H, на плоскость ; ) площадь треугольника ; ) угол между ребрами ) синус угла между ребром Решение: ) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки ; y; z и ; y z, имеют вид ; 9

28 y y z z y y z z Подставляя в последнее равенство координаты точек и, получаем y z y z канонические уравнения прямой ; ) длина ребра равна длине вектора ; ; ;;, ; ) уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ; y z ; y z ; y z, имеет вид, и ; y y y ; y z z z z ; y y z z Подставляя в левую часть последнего равенства координаты точек,,, получаем y z y z 9 y z y z, откуда y z y z Таким образом, уравнение плоскости имеет вид y z ; ) чтобы составить уравнение прямой H, воспользуемся каноническими уравнениями: y y z z, m n p где ; y; z координаты произвольной точки прямой; m ; n; p координаты направляющего вектора прямой Так как прямая H перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора этой прямой можно взять вектор нормали n ;; плоскости Тогда канонические уравнения прямой H имеют вид: y z Длина высоты H равна расстоянию от точки ;; до плоскости : y z Вычислим H, используя формулу расстояния от M ; y z до плоскости By Cz D : точки ;

29 By Cz D d B C Таким образом, H ; ) площадь треугольника найдем, используя геометрический смысл векторного произведения: SΔ Найдем координаты векторного произведения i j k i j k i j k Тогда S ; ) косинус угла между ребрами и найдем по формуле os, где скалярное произведение векторов и Известны координаты вектора ;; Найдем координаты и длину вектора : и его длина ; ; ;;, Тогда os, т е ; ) синус угла между прямой с направляющим вектором a m; n; p плоскостью, имеющей вектор нормали n ; B; C a n m q B p C sin a n m q p B C Направляющим для прямой Вектор нормали n к плоскости Таким образом, sin и, вычисляется по формуле является вектор ;; имеет координаты ;;

30 Составьте уравнение линии, каждая точка которой находится в два раза ближе к точке ;, чем к точке B ; Приведите полученное уравнение к каноническому виду и укажите тип линии, описываемой этим уравнением Решение Обозначим произвольную точку искомой линии M ; y Тогда по условию M MB, где M и MB расстояния от точки М до точек А и В соответственно Так как расстояние d между точками ; y и ; y вычисляется по формуле d y y, то M y, y y y MB и, следовательно, y y y Выделим полный квадрат по переменной в последнем равенстве: y или y Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке (; ) и радиусом ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Даны три точки ;;, B; ;, C;; длину вектора a B C BC Найдите координаты и Найдите координаты и длину вектора a b, если a ( ; ; ), b i j k Выясните, являются ли векторы a i j k и b i j k ортогональными, коллинеарными При каких значениях и векторы a i j k и b i j k коллинеарны? Докажите, что векторы a i j, b i j и i j линейно зависимы Докажите, что векторы a i j k, b i k, i j k образуют базис Найдите координаты вектора Даны векторы a i j k, b ; ; ) скалярное произведение a b ; ) косинус угла между векторами a и b ; ) np a b; d i j k в этом базисе Найдите:

31 ) np b a ; ) длину вектора b Найдите координаты вектора a a b, если a ; ;, ;; 9 Даны вершины треугольника ; ;, B ;; и C ; ; C b Найдите: ) внутренний угол при вершине С; ) np CB; ) площадь треугольника BC Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах b i j как на сторонах Даны вершины пирамиды ;;, B;;, C;;, S;; a ;; и k Вычислите ее объем V и длину высоты Н, опущенной на грань CS Лежат ли точки ;;, B;;, C;; и D ;; в одной плоскости? Компланарны ли следующие векторы: ) ( ;;), b ; ;, ;9; ) a ( ; ;), b ;;, ; ;? a ; Выясните, правой или левой будет тройка векторов a (;; ), b ; ;, ;; По данным уравнениям постройте прямые, найдите их угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые ими на осях координат Запишите канонические и параметрические уравнения этих прямых ) y ; ) y ; ) y Напишите уравнение прямой, проходящей через точки ; и B ; Точка ; лежит на прямой, перпендикулярной прямой y Напишите уравнение этой прямой Составьте уравнение прямой, проходящей через точку ; параллельно прямой, соединяющей точки M ; и M ; 9 Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых: ) y 9 и y ; ) y и y ; ) и ; ) y и y В случае пересечения найдите координаты точки пересечения При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны ) y и y ; ) y 9 и y?

32 Найдите координаты точки M ; относительно прямой y Найдите расстояние между параллельными прямыми y и y Составьте уравнение прямой, параллельной прямой y и отсекающей от первого координатного угла треугольник, площадь которого равна Найдите угол между прямыми y и y Найдите координаты центра О и радиус r окружности y y Приведите к каноническому виду уравнения кривых второго порядка Определите тип этих кривых и постройте их ) 9y y ; ) 9y y ; M, симметричной точке ) y Определите, какая линия определяется уравнением y y Составьте уравнение плоскости, проходящей через три заданные ;;, B ;;, C ;; ;;, точки 9 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам a ; ; и b ;; Составьте уравнение плоскости, проходящей: ) через точку M ; ; и ось O ; ) через точку M ;; и ось Oy Найдите длину h высоты пирамиды DBC, опущенной из точки D на грань BC, если D ;;, ;;, B;;, C;; Даны две плоскости P : y z и P : y z Найдите косинус острого угла между ними Определите, при каких значениях и плоскости P : ly z и P : m y z параллельны Определите, при каком значении плоскости P : y lz и P : y z перпендикулярны Вычислите объем пирамиды, ограниченной плоскостью P : y z и координатными плоскостями Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости P : y z и отстоящих от нее на расстоянии d

33 Напишите канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M ;; и M ;; Установите взаимное расположение прямой и плоскости (в случае их пересечения, найдите координаты точки пересечения): y z ) и y z ; y z ) и y z ; y z ) и y z ; ; и плоскость y z Найдите 9 Даны точка координаты точки, симметричной точке А относительно этой плоскости t, t, Найдите угол между прямыми l : y, и l : y, z t z t Найдите координаты точки, симметричной точке ;; t, относительно прямой l : y t, t z t, y z Найдите угол между прямой и плоскостью y z y z y z Докажите, что прямые l : и l : скрещиваются Даны координаты вершин пирамиды ;;, ;;, ;;, ;; Найдите: ) длину ребра ; ) уравнение прямой ; ) угол между ребрами и ; ) уравнение плоскости ; ) угол между ребром и гранью ; ) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; ) площадь грани ; ) объем пирамиды Приведите к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка, определите их тип: ) 9y z y z ; ) y y z ; ) y z y z

34 a ( ;;), a Ответы ; ;, Не коллинеарны, не ортогональны, a b; ;; d ) ; ) ; ) ; ) ; ) (; ; ) 9 ) aros ; ) ; ) 9 9 V, H Да ) да; ) нет Левая тройка y y y 9 ) перпендикулярны; ) пересекаются в точке ; ; ) параллельны; ) совпадают ) а) ; б) ; ) а) ; б) ; M y aros O ; ; r y ) эллипс, где, y y ; 9 ) гипербола y, где, y y ; 9

35 ) парабола y, где, y y Правая половина эллипса с центром M ; и полуосями a, b y 9 y z ) y z ; ) z h l, m l y z, y z y z Канонические уравнения: ; параметрические t, уравнения: y t, t z t, ) параллельны; ) прямая принадлежит плоскости; ) пересекаются в точке ;; 9 ; ; ; ; y z ) ; ) ; ) aros ; 9 y z 9 9 ) y z ; ) arsin ; ) ; ) ; ) y ) эллипсоид z, где, y y, z z ; 9 ) гиперболический параболоид y z, где, y y, y z z ; ) конус z, где, y y, z z

36 ТЕСТОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» I вариант Для данного определителя найдите минор M и алгебраическое дополнение элемента a Вычислите определитель, разложив его по элементам первой строки ) M,, ; ) M,, ; ) M,, ; ) M,,, Проверьте совместность СЛАУ, и, в случае совместности, 9 решите ее ),, ; ),, ; ),, ; ) несовместна Даны точки ;;, B;;, C; ;, D;; векторов векторами Найдите координаты a CD B и b B, длины векторов a, b и косинус угла между a и b ) a ; ;, b ; ; 9, a ; b, ) a ; ;, b ; ; 9, a ; b, ) a ; ;, b ; ; 9, a ; b, ) a ; ;, b ; ; 9, a ; b, os, a b ; 9 9 os, a b ; 99 9 os, a b ; 99 os, a b 99 Даны векторы a i j k и b i j k Найдите площадь параллелограмма, сторонами которого являются эти векторы ) S ; ) S ; ) S ; ) S

37 Составьте уравнение прямой, проходящей через точку ; отрезка АВ, если ; и B ; M и середину ) y ; ) y ; ) y ; ) y Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M ; ; параллельно плоскости y z y z ) ; ) y z ; ) y z ; ) y z II вариант Для данного определителя найдите минор M и алгебраическое дополнение элемента a Вычислите определитель, разложив его по элементам второй строки ) M,, ; ) M,, ; ) M,, ; ) M,,, Проверьте совместность СЛАУ, В случае совместности решите ее ) несовместна; ),, ; ),, ; ),, Даны точки ;;, B;;, C; ;, D;; векторов векторах Найдите координаты a B CD и b B и площадь треугольника, построенного на a, b как на сторонах ) a ;;, b ; ;, S ; ) ; ;, b ; ;, S a ; ) a ;;, b ; ;, S 9 ; ) a ; ;, b ; ;, S 9 Найдите объем тетраэдра с вершинами в точках ; ;, ; ; C ; ;, D; ; ) V ; ) V ; ) V ; ) V B, Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M ; перпендикулярно прямой y ) y ; ) y ; ) y ; ) y B ; ; Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку 9

38 ) z ; ) y ; ) z ; ) y z III вариант Дана матрица Найдите обратную матрицу,,,, ),,, ; ),, ;,,,,,,,,, ),, ; ),, Проверьте совместность СЛАУ, В случае совместности решите ее ; ; ; ; ;; ) ; ) ; ) несовместна; ) Найдите площадь треугольника с вершинами ;;, ; ; C ; ; и длину высоты, проведенной из вершины В к стороне АС B, ) S, h ; ) S, h ; ) S, h ; ) S, h ;; ;; ; ; D ; ; Найдите координаты Даны точки, B, C, векторов a B D и b C BD, определите ортогональны ли они ) a ; ;, b ; ; не ортогональны; ) a ;;, b ; ; не ортогональны; ) a ; ;, b ; ; ортогональны; ) a ;;, b ; ; ортогональны Дан треугольник с вершинами в точках ;, B ; и ; C Составьте уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А ) y ; ) y ; ) y ; ) y Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось O и точку M ; ; ) y ; ) y z ; ) y z ; ) y

39 IV вариант Вычислите определитель матрицы B E, где ) ; ) ; ) ; ) 9, Проверьте совместность СЛАУ, В случае совместности решите ее ; ; ;; 9 ; ; ) несовместна; ) ; ) ; ) Даны векторы a ; ;, b ; ; и ; ; известно, что b,, a Найдите вектор, если ) ; ; ; ) ;; ; ) ; ; ; ) ; ; Даны точки ; ;, B ;;, C ;; сторонами которого являются векторы ; Найдите площадь параллелограмма, a C B и b BC B ) ; ) ; ) ; ) Даны вершины треугольника ;, B ; и C ; Составьте уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С ) y ; ) y ; ) y ; ) y Составьте уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях OX, OY, OZ отрезки a, b, соответственно ) y z ; ) y z ; ) y z ; ) y z V вариант Найдите неизвестную матрицу Х из уравнения X E C, где, C ) ; ) ; ) ; ) X

40 Проверьте совместность СЛАУ решите ее ; ;, 9, В случае совместности ) ; ) несовместна; ) ; ; ; ) 9; 9; Даны точки ; ;, B ;;, C ;;, D ;; Найдите координаты векторов a B C и b CD BC и синус угла между ними ) a ; ;, b ; ;, sin ; ) a ; ;, b ; ;, sin ; ) a ;;, b ; ;, sin ; ) a ;;, b ; ;, sin Лежат ли точки ; ;, B ;;, C ; ;, D ; ; : а) в одной плоскости; б) на одной прямой? ) а) да; б) да; ) а) нет; б) нет; ) а) нет; б) да; ) а) да; б) нет Дано общее уравнение прямой y Напишите уравнения этой же прямой: а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках; в) нормальное Найдите площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат ) а) y ; б) y y ; S ; ) а) y ; б) y y ; S ; ) а) y ; б) y y 9 ; S ; ) а) y ; б) y ; в) y ; S ; ; и Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярной вектору n ; ; ) y z ; ) y z ; ) y z ; ) y z

41 VI вариант Дана матрица Найдите обратную матрицу ) ; ) ; ) ; ), Проверьте совместность СЛАУ, В случае совместности решите ее ) ; ; ; ) несовместна; ) ; ; ; ) ; ; ; ; ; ; C ;; Найдите координаты векторов Даны точки, B, a B C, b BC Cи CB C, определите компланарны ли они ) ; ;, b ; ;, ; ; ) ; ;, b ; ;, ; ; ) ; ;, b ; ;, ; ; ) ; ;, b ; ;, ; ; Найдите площадь треугольника с вершинами ;; a компланарны; a не компланарны; a не компланарны; a компланарны, B ; ;, ;; C ) ; ) ; ) ; ) Даны стороны треугольника B : y, BС : y, С : y Составьте уравнение высоты треугольника АВС, опущенной на сторону ВС ) y ; ) y ; ) y ; ) y ; Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M ;; и параллельной векторам a ;;, b ; ; ) y ; ) y ; ) y z ; ) y

42 VII вариант T Найдите матрицу C B B E, где, B ) ; ) ; ) ; ), Проверьте совместность СЛАУ, В случае совместности решите ее ; ; ; ; ; ; ) ; ) несовместна; ) ; ) При каком значении m векторы a mi j k и b i j 9k будут: а) ортогональными; б) коллинеарными? ) а) m ; б) m ; ) а) m ; б) m ; ) а) m ; б) m ; ) а) m ; б) m ; ; ; ; C ;; Найдите длины векторов Даны точки, B, a B C, b BC C и синус угла между ними ) a 9, b, sin ; ) a 9, b 9, sin ; ) a 9, b, sin ; ) a 9, b 9, sin Даны вершины треугольника ;, B ; и C ; Составьте уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне ВС ) y ; ) y ; ) y ; ) y Среди уравнений ) y z, ), ) z, ) z, ) y, ) 9y плоскостей выберите уравнение плоскости: а) параллельной плоскости XOY ; б) параллельной плоскости YOZ ; в) параллельной плоскости XOZ ; г) параллельной оси OY ; д) параллельной оси OZ ; е) проходящей через ось OX ) а), б), в), г), д), е) ; ) а), б), в), г), д), е) ; ) а), б), в), г), д), е) ; ) а), б), в), г), д), е)

43 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ В результате изучения данной темы студент должен научиться: вычислять пределы функций; исследовать, является ли функция непрерывной; находить точки разрыва функции и определять их характер ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ На рис задан график функции f, где sin, при, f, при,, при Определите следующее: ) область определения D f и область значений E f ; ) f ( ), f (), f (), f () ; ) lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; Рис ) существуют ли lim f ( ) разрыв в точках и? и lim f ( )? Верно ли, что функция f имеет ) верно ли, что во всех остальных точках из области определения D f функция является непрерывной? ) lim f ( ) и lim f ( ) Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: 9 ) lim ; ) lim ; ) lim ; ) lim ; ) 9) lim ; ) ln lim ; ) arsin ) lim lim ; ) os lim ; ) sin sin lim lim ; ) ; ) lim ; ) lim ln y ; ) ln lim tg lim ; sin ;

44 Исследуйте непрерывность функции f Постройте график функции f в указанных точках и ) f,, ; ) f, 9, Дана функция f Найдите точки разрыва функции, если они существуют Сделайте чертеж, если,, если, ) f, если, ) f, если,, если ;, если Ответы ) 9; ) ; ) ; ),; ) ; ) ; ) ; ) ; 9) ; ) ; ) e ; ) e ; ) e ; ) e ; ) e ) в точке функция непрерывна; точка точка разрыва -го рода; ) точка разрыва -го рода; в точке функция непрерывна ) точка разрыва -го рода, скачок равен ; точка устранимого разрыва; ) точка разрыва -го рода, скачок равен, в точке функция непрерывна

45 ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Найдите пределы функций: ) lim ; ) lim ) lim ; ) lim ; ) sin ; ) lim lim ; Решение: ) подставляя вместо его предельное значение, равное, получим Поэтому lim ; ) при числитель и знаменатель дроби являются бесконечно большими функциями, что приводит к неопределенности вида Раскроем эту неопределенность, разделив числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т е на : lim lim, так как при функции,,, и являются бесконечно малыми; ) пределы числителя и знаменателя при равны нулю, что приводит к неопределенности вида Так как является корнем многочленов в числителе и знаменателе, то разложив на множители числитель и знаменатель, сократим дробь на Получим lim lim lim ; ) при подстановке предельного значения аргумента получим неопределенность вида Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю: 9 lim lim lim lim lim ;

46 ) непосредственная подстановка аргумента приводит к неопределенности вида Раскроем неопределенность, воспользовавшись эквивалентными бесконечно малыми функциями Так как sin при, то sin sin sin 9 при Получим sin 9 lim lim lim 9 ; ) так как lim lim, а lim, то мы имеем неопределенность вида Раскроем ее с помощью второго замечательного предела lim y y lim lim y e Получим lim lim Исследуйте непрерывность функции Постройте график f lim lim e e f в точках и Решение Поскольку f является элементарной функцией, то она непрерывна всюду в области определения: D f ; ; ( не принадлежит D f, поскольку является нулем знаменателя) Так как D f, то в этой точке f непрерывна В точке функция f не определена, следовательно, эта точка является точкой разрыва Вычислим односторонние пределы функции в этой точке: lim ; lim Так как пределы слева и справа бесконечны, то является точкой разрыва второго рода

47 Для построения графика f найдем lim f lim Найдем также точку пересечения графика с осями координат: при, f, т е график проходит через начало координат Изобразим график f (рис ) y Рис, если, Дана функция f, если, Найдите точки разрыва, если этой функции, если они существуют Определите их тип и сделайте чертеж Решение Функция f определена и непрерывна на интервалах ;, ; и ;, где она задана непрерывными элементарными функциями Следовательно, разрыв возможен только в точках и Для точки имеем: f, lim f lim, lim f lim Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция f в точке имеет разрыв первого рода Скачок функции f в точке находим как разность правого и левого пределов: lim f lim f В точке функция f не определена Вычислим односторонние пределы: lim f lim, lim f lim Так как lim f lim f f устранимого разрыва, то точка является точкой 9

48 График функции f изображен на рис y Рис ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Постройте графики элементарных функций: ) y ; ) y ) y sin ; ) y e ; ) y ln ; ) y os ; ) y ; 9) y artg ; ) y arsin Найдите пределы функций: ) lim ; ) lim ; ) lim ; 9 ) lim ; ) lim ; ) lim ; ) lim ; ) lim ; 9) lim ; 9 ) lim ; ) lim ; ) lim ; sin sin os tg ) lim ; ) lim ; ) lim ; sin artg ) y ; ) lim lim 9) ; ) ; ) lim ) lim ln ln e lim ln lim ; ; ) ; ) sin lim ln ;

49 Исследуйте непрерывность функции f в указанных точках и Постройте график функции f f,, ) ; ) f,, ) f,, Дана функция f Найдите точки разрыва функции, если они существуют Сделайте чертеж, если,, если, ) f sin, если, ) f, если,, если, если, Ответы ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; 9) ; ) ; ) ; 9 ) ; ) ; ) ; ) ; ) e ; ) ) ) точка устранимого разрыва, e ; ) e ; 9) e ; ) 9 ; ) ; точка непрерывности; ) точка непрерывности, точка разрыва -го рода; ) точка непрерывности, точка разрыва -го рода ) точка разрыва -го рода, скачок равен, точка устранимого разрыва; ) точка разрыва -го рода; точка разрыва -го рода, скачок равен

50 ТЕСТОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Введение в анализ» I вариант Вычислите: ) lim, где ;; ; : а),; ; ; ; б),; ; ; ; в),; ; ; ; г),; ; ; ) lim : а) e ; б) e ; в) ; г) ) ) ) lim : а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б),; в) ; г) e os lim : sin ) lim : а) ; б) ; в) ; г) ) lim : а) ; б) ; в) ; г) а) ; б) ; в) ; г)

51 ,, Исследуйте функцию f,, на непрерывность и постройте, ее график ) непрерывна для ; ) точка разрыва -го рода, точка разрыва -го рода; ) точка разрыва -го рода; ) и точки разрыва -го рода II вариант Вычислите: ) lim, где ; ; ; : а) ; ; ; ; б) ; ;; ; в) ; ; ; ; г) ; ; ; ) ) ) lim а) e ; б) : e ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г) arsin ) lim : а) ; б) ; в) ; г) ) lim : а) ; б) ; в) ; г) ) lim : а) ; б) ; в) ; г)

52 ,, Исследуйте непрерывность функции f,, и постройте ее, график ) непрерывна для ; ) и точки разрыва -го рода; ) точка разрыва -го рода, точка устранимого разрыва; ) точка разрыва -го рода, точка разрыва -го рода III вариант Вычислите: ) lim, где ; ;; : а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ; ; ; ; г) ) lim : а) e ; б) e ; в) ; г) ) lim : а) ; б) ; в) e ; г) e ) lim : а) ; б) ; в) ; г) sin ) lim : а) ; б) ; в) ; г) ) lim : ; ; ; а) ; б) ; в) ; г) ) lim :

53 а) ; б) ; в) ; г),, Исследуйте непрерывность функции f,, и постройте ее, график ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точки разрыва нет, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точки разрыва нет, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен IV вариант Вычислите: ) lim, где ;; ; : а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ;;; ; г) ; ; ; ) ) ) ) lim а) : e ; б) e ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) e ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г) os os lim sin : а) ; б) ; в) ; г) ) lim artg : а) ; б) ; в) ; г)

54 ) lim artg : а) ; б) ; в) ; г),, Исследуйте непрерывность функции f tg,, и постройте ее, график ) точка устранимого разрыва, разрыва нет; ) разрыва нет, разрыва нет; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода; ) разрыва нет, точка разрыва -го рода V вариант Вычислите: ) lim, где ; ; ; : а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ; ; ; ; г) ; ; ; ) ) lim а) ; б) lim : : e ; в) ; г) а) ; б) ; в) e ; г) e ) lim : а) ; б) 9 ; в) ; г)

55 ) ) ) e e lim : tg а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г) Исследуйте непрерывность функции график,, f,, и постройте ее, ) точки разрыва нет, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) разрыва нет, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен VI вариант Вычислите: ) lim, где ;; ; : а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ; ; ; ; г) ; ; ; ) ) lim а) ; б) lim : : а) ; б) ; в) e ; в) ; г) e e ; г)

56 ) lim : ) а) ; б) ; в) ; г) lim : artg ln а) ; б) ) lim : ; в) ; г) ln а) ; б) ; в) ; г) ) lim : а) ; б) ; в) ; г),, Исследуйте непрерывность функции f,, и постройте ее, график ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) разрыва нет, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) разрыва нет, точка разрыва -го рода VII вариант Вычислите: ) lim, где ; ; ; : а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ; ; ; ; г) ; ; ; ) lim : а) ; б) ; в) e ; г) e

57 ) ) ) lim : а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) lim : arsin e ; г) ) ) а) ; б) ln ; в) ; г) ln lim : а) ; б) ; в) ; г) lim : а) ; б) ; в) ; г),, Исследуйте непрерывность функции f,, и постройте ее, график ) точка разрыва -го рода, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точка разрыва -го рода, точки разрыва нет; ) точка устранимого разрыва, точка разрыва -го рода, скачок равен ; ) точка разрыва -го рода, точка разрыва -го рода скачок равен 9

КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В 2-Х ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ I

КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В 2-Х ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ I Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений: Примеры к выполнению контрольной работы Линейная алгебра Задача Найти значения неизвестных,, z из системы уравнений: (a b ) (b a) bz ( a b)(a c ) (c ) (c ) c z a b c ( a c) c z a c а) по формулам Крамера

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1. Матрицы. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами. Линейная комбинация матриц. Пример вычисления линейной комбинации. Умножение матриц. Пример умножения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (I семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее