Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия."

Транскрипт

1 Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия Определение. Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и столбцов. Числа m и называются размерами матрицы. Введем обозначение матрицы a a2... a a2 a22... a2 A= = ( a am am2... am Числа i =, m, j =, называются элементами матрицы. Таким образом, элемент a, ( a расположен на пересечении строки i и столбца j Определение. Две матрицы A= ( a и B ( b = одинаковых размеров называются равными, если все их соответствующие элементы равны между собой, т.е. a = b, i =, m, j =, Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и Θ= θ : θ = 0, i =, m, j =,. обозначается ( Определение. Матрица называется квадратной, если количество ее строк равно количеству столбцов, т.е. m= Определение. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол Определение. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний угол Определение. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все ее элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю Определение. Квадратная матрица называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, отличные от нуля, расположены на главной диагонали Определение. Диагональная матрица называется скалярной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны между собой.

2 4... Определение. Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице. Единичная E = e. Таким образом, матрица обозначается ( e, i = j; = 0, i j Определение. Матрица называется ступенчатой, если для любой ее строки под первым слева ненулевым элементом и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю. Примеры: или Определение. Операция над матрицей A ( a = размеров, в результате которой ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка следования, называется операцией транспонирования. Матрица размеров m, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется транспонированной по отношению к ней и обозначается A. При этом a = a, i =, m, j =,. Замечание. Легко показать, что в результате повторного транспонирования мы получим исходную матрицу, т.е. ( A = A. ji 4.2. Линейные операции над матрицами Определение. Суммой матриц A= ( a и B ( b называется матрица C ( c = одинаковых размеров = тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B : C = A+ B, c = a + b, i =, m, j =,. Замечание. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров. Если размеры двух матриц не совпадают, то операция их сложения не определена Теорема. (Свойства операции сложения матриц Для произвольных матриц A= ( a, B= ( b, C ( c справедливы следующие свойства:. A+ B= B+ A; = одинаковых размеров

3 2. ( A+ B + C = A+ ( B+ C; 3. Θ A+ Θ = A; 4. A B A+ B=Θ. Доказательство этих очевидных свойств непосредственно вытекает из определения операции сложения матриц Определение. Разностью матриц A= ( a и B ( b называется матрица D ( d = одинаковых размеров = тех же размеров, такая, что B+ D= A Определение. Произведением матрицы A ( a α называется матрица F ( f = размеров на число = тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число α : F α A, f = αa, i =, m, j =,. = Теорема. (Свойства операции умножения матрицы на число Для произвольных матриц A= ( a и B ( b = одинаковых размеров и любых действительных чисел αβ, справедливы следующие свойства:. A= A; α β A = 2. ( ( αβ A; 3. α( A+ B = αa+ αb; 4. ( α + β A= αa+ βa. Доказательство очевидным образом вытекает из определений 4.2. и Замечание. Из приведенных свойств ясно, что множество M ( m матриц размеров образует линейное пространство относительно введенных операций сложения матриц и их умножения на числа. В качестве базиса можно, например, взять E =,, E m = Очевидно, любая матрица размеров может быть представлена в виде линейной комбинации приведенных базисных матриц E,...,. E m Таким образом, размерность dim M = m. этого линейного пространства ( m (

4 4.3. Умножение матриц Определение. Произведением матрицы A ( a B= ( b размеров p называется матрица C ( c p которой определяются следующим образом: c = ab ik kj k =. = размеров на матрицу = размеров p, элементы p Замечание. Для того, чтобы операция умножения двух матриц была определена, необходимо, чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второй матрицы. Оба произведения матриц AB и BA будут определены при условии, что число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B, а число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом обе матрицы AB и BA будут квадратными, но разного порядка. Для того, чтобы обе матрицы AB и BA были определены и были одного порядка, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными и одинакового размера. Замечание 2. Таким образом, элемент произведения двух матриц, расположенный на пересечении строки i и столбца j, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов строки i первой матрицы и столбца j второй матрицы Теорема. (Свойства операции умножения матриц Справедливы следующие свойства операции и умножения матриц: ( ( A( BC = ( ( AB = B A. A + B C = AC + BC; 2. A B + C = AB + AC; 3. AB C; 4.. Пусть размерности матриц AB, и C таковы, что операции умножения в сформулированных свойствах определены.. Обозначим F = ( A + B C, G = AC + BC. Пусть размеры матриц A и B, а размеры матрицы C p. Тогда в соответствии с определением умножения матриц 4.4. размеры матриц F и G равны p. Теперь сравним значения элементов матриц F и G :

5 ( f = a + b c = ac + bc = g ik ik kj ik kj ik kj k= k= k= Таким образом, размеры матриц F и G одинаковы, а их соответствующие элементы равны, следовательно, матрицы F и G равны по определению По аналогии с первым свойством введем в рассмотрение матрицы F = A( B + C, G = AB + AC. Пусть размеры матрицы A, а размеры матриц B и C p. Тогда размеры матриц F и G p, а элементы ( f = a b + c = ab + ac = g ik kj kj ik kj ik kj k= k= k= равны между собой, что и доказывает свойство. 3. Пусть размеры матрицы A, размеры B p, а размеры матрицы C p q. Тогда, очевидно, размеры матриц F A( BC элементы матриц F и G : p p f = aik ( BC = kj aik bc kr rj = abc ik kr rj = k= k= r= k= r=. = и G ( = AB C q. Сравним p p p = abc ik kr rj = ab ik kr crj = ( AB crj = g. ir r= k= r= k= r= 4. Пусть размеры матрицы A, а B p, тогда размеры произведения AB p. Размеры транспонированных матриц: B A p A m, m. Таким образом, размеры матриц F = ( AB и B p нам остается показать, что их соответственные элементы равны. Замечание. ( ( ji ( f = AB = a b = b a = g jk ki ik kj k= k=. G, ( AB p m, = B A совпадают, и Операция умножения матриц, вообще говоря, не является коммутативной. Если рассмотреть, например, матрицы 0 A 0 0 = и B =, то будем иметь AB =, BA = Легко видеть, что AB BA. Однако существуют некоторые специальные виды матриц, для которых результат умножения не зависит от его порядка Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на единичную матрицу Умножение всякой квадратной матрицы на единичную матрицу того же размера слева или справа не меняет исходную матрицу. Рассмотрим квадратную матрицу A размера. Обозначим B = AE, C = EA, где E единичная матрица размера. Тогда b = ae = a ik kj k =, c = ea = a ik kj k = Следовательно, AE = EA = A, что и требовалось доказать..

6 Теорема. (Об умножении квадратной матрицы на скалярную матрицу Пусть A квадратная матрица размера, а C скалярная матрица того же размера. Тогда AC = CA. Из определения скалярной матрицы вытекает, что она может быть представлена в виде произведения некоторого числа на единичную матрицу, т.е. C = αe, α. Следовательно, согласно предыдущей теореме AC = AαE = αa, CA = αea = αa, что и доказывает теорему Теорема. (Об умножении диагональных матриц Пусть AB, диагональные квадратные матриця размера, тогда AB = BA. Обозначим F = AB, G = BA. Покажем, что эти матрицы равны: 0, i j; 0, i j; f = ab ik kj = g = ba ik kj = k = ab ii ii, i= j; k = ab ii ii, i= j; что и требовалось доказать Теорема. (Об определителе произведения квадратных матриц Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц. Без доказательства. ( AB = ( A ( B det det det. Лекция Элементарные преобразования матриц Определение. Элементарными называются следующие преобразования матриц: перестановка строк местами; умножение строки на отличное от нуля число; прибавление к каждому элементу строки соответствующего элемента другой строки; те же преобразования столбцов Определение. Матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой с помощью элементарных преобразований Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

7 . Выбираем текущий элемент. Начинаем с элемента, расположенного в левом верхнем углу матрицы. Если он равен нулю, то просматриваем элементы, расположенные под текущим элементом. Если среди них нет ненулевых элементов, то смещаемся на элемент вправо и т.д. Если же среди элементов, расположенных под рассматриваемым элементом, есть ненулевой, то меняем местами строки так, чтобы текущий элемент был отличен от нуля. 2. На предыдущем этапе алгоритма мы добились того, чтобы текущий элемент был отличен от нуля. Теперь просматриваем элементы, расположенные в столбце под текущим ненулевым элементом: если среди них есть ненулевые, то с помощью элементарных преобразований соответствующих строк обращаем их в нули. 3. Если в столбце под текущим ненулевым элементом расположены лишь нулевые элементы, то смещаемся на один столбец вправо и на одну строку вниз. И так далее. Замечание. Так как число строк и столбцов матрицы конечно, то алгоритм может быть реализован за конечное число шагов. Пример. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк: I II 2 2 I 2 2 A = 2 2 II I II III + 3 II III + ( 7 II Блочные матрицы Определение. Пусть матрица A ( a = с помощью горизонтальных и вертикальных линий разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых в свою очередь является матрицей меньших размеров. Тогда всякая клетка называется блоком исходной матрицы, а сама матрица называется блочной. Пример. Замечание. Основные операции (сложение, умножение на число, умножение, транспонирование, в случае, если они определены, будут выполняться для блоков так же, как и для элементов обычных матриц.

8 4.6. Прямая сумма квадратных матриц Определение. Прямой суммой квадратных матриц A размера m и B размера называется блочная матрица C = A B размера m+ вида Теорема. (Свойства операции прямой суммы квадратных матриц Для произвольных квадратных матриц AB, и C справедливо:. A ( B C = ( A B C. Для произвольных квадратных матриц Am, B m размера m и матриц A, B размера имеют место следующие свойства: 2. ( A A + ( B B = ( A + B ( A + B ; m m m m 3. ( A A ( B B = ( A B ( A B. m m m m 4.7. Обратная матрица Определение. Пусть A квадратная матрица размера, E единичная матрица того же размера. Матрица B называется левой обратной по отношению к A, если BA = E. Матрица C называется правой обратной по отношению к A, если AC = E.

9 Теорема. (О единственности обратной матрицы Если для квадратной матрицы матрицы, то они совпадают. A существуют ее левая и правая обратные Пусть B правая, а C левая обратные матрицы для матрицы. Тогда C = EC = BAC = BE = B. Замечание. Поскольку левая и правая обратные матрицы совпадают, то имеет смысл ввести понятие обратной матрицы, т.е. B= C = A. Таким образом, матрица A называется обратной по отношению к матрице A, если AA = A A = E Определение. Квадратная матрица A, у которой существует обратная матрица A, называется обратимой Определение. Квадратная матрица A, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. В противном случае матрица A называется вырожденной Теорема. (Критерий существования обратной матрицы Для того, чтобы квадратная матрица достаточно, чтобы она была невырожденной. A была обратимой, необходимо и Необходимость. Пусть матрица A обратима, следовательно, существует обратная матрица Тогда по теореме об определителе произведения квадратных матриц det A det A = det AA = det E =, ( ( ( ( следовательно, ( det A 0, то есть матрица A является невырожденной. Достаточность. Пусть теперь матрица A является невырожденной, то есть det ( A 0. Рассмотрим матрицу A. A A2... A A2 A22... A 2 B =, (4. det ( A A A2... A где A алгебраическое дополнение элемента a матрицы A. Покажем, что матрица B является обратной по отношению к матрице A. Рассмотрим их произведение C = AB :

10 0, i j; c = ik jk det ( a A = A k =, i = j. Следовательно, произведение матрицы A на B равно единичной матрице. Аналогично показывается, что произведение матрицы B на A есть единичная матрица, а это означает, что матрица B является обратной по отношению к матрице A. Теорема доказана Определение. Матрица, являющаяся транспонированной по отношению к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A, называется присоединенной для матрицы A и обозначается A. Замечание. Метод нахождения обратной матрицы с помощью формулы ( называется методом присоединенной матрицы. Пример. 2 5 Найдем обратную матрицу для матрицы A = Вычисляем присоединенную матрицу и определитель исходной матрицы: A = 2 5 9, det ( A = 6, следовательно, A = Теорема. (Об обратной матрице произведения матриц Матрица, обратная произведению двух матриц, равна произведению их обратных матриц, взятых в обратном порядке: AB = B A (. Пусть AB, невырожденные квадратные матрицы одного порядка. Тогда по теореме об определителе произведения квадратных матриц их произведение AB также является невырожденной матрицей. Следовательно, по теореме существуют обратные матрицы A, B,( AB. Рассмотрим произведение ( ( B A AB = B A A B= B B= E. Аналогично AB B A = A BB A = AA = E. ( (

11 Следовательно, матрица матриц AB. B A является обратной по отношению к произведению Теорема. (О матрице, обратной к транспонированной матрице Если квадратная матрица обратима, то и обратимой является и ее транспонированная матрица, причем ( A = ( A. Очевидно, что матрица при транспонировании остается невырожденной, следовательно, у нее существует обратная матрица. Легко проверить, что ( A A = ( AA = E = E; A ( A = ( A A = E = E, что и доказывает утверждение теоремы. Лекция Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Обратную матрицу можно также найти с помощью элементарных преобразований AE, строк исходной матрицы A. Для этого требуется составить блочную матрицу ( а затем с помощью элементарных преобразований строк привести эту блочную матрицу к виду ( EB. Полученная матрица B и будет обратной по отношении к матрице A. Пример. Найдем обратную матрицу для матрицы Преобразуем блочную матрицу ( AE A = ( AE I II IV = III IV IV

12 Таким образом, I III IV II III III IV = ( EA. A 3 0 = Решение матричных уравнений. Рассмотрим основные виды матричных уравнений: AX = B, XA = B, где A квадратная невырожденная матрица. Решением матричного уравнения называется такая матрица X, которая при подстановке в матричное уравнение обращает его в тождество. Умножим обе части уравнения AX = B слева на обратную матрицу A : A AX = A B, откуда X = A B. Аналогично, при умножении обеих частей уравнения XA = B справа на матрицу A, найдем решение X = BA. Замечание. Для уравнения AXB = C, где A, B квадратные невырожденные матрицы соответствующих размеров решение имеет вид: X A = CB.

13 4.7.. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ Матричный способ. Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений ax + a2x a x = b ; a2x + a22x a2x = b2 ; a x+ a2x ax = b. (4.2 Вводя в рассмотрение матрицу коэффициентов системы A, столбец неизвестных X и столбец свободных членов B a a2... a x b a2 a22... a 2 x 2 b 2 A=, X =, B=, a a... a x b 2 Перепишем систему уравнений (4.2 в виде матричного уравнения AX решение СЛАУ имеет вид X = A B Формулы Крамера. Заметим, что непосредственно из формулы (4.3 вытекают формулы Крамера. = det A и запишем решение (4.3 в явном виде: Обозначим ( = B. Отсюда (4.3 x j ki kj k = a... a b a a j j+ a2... a2 j b2 a2 j+ a2 j = Ab = =, j =, a... a b a a j j+ Величина j по традиции служит для обозначения определителя, у которого столбец j заменен на столбец свободных членов системы. Замечание. Матричный способ и формулы Крамера применимы лишь для СЛАУ в det A 0. случае невырожденной квадратной матрицы системы (

14 4.8. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы. Заметим, что строки и столбцы матрицы можно рассматривать как арифметические векторы размеров m и, соответственно. Таким образом, матрицу размеров можно интерпретировать как совокупность m -мерных или m-мерных арифметических векторов. По аналогии с геометрическими векторами введем понятия линейной зависимости и линейной независимости строк и столбцов матрицы Определение. Строка B ( b; b2;...; b строк A ( a ; a ;...; a, A ( a ; a ;...; a,..., A ( a ; a ;...; a = называется линейной комбинацией = 2 2 = k = k k 2 k с коэффициентами α, α2,..., α k, если для всех элементов этой строки справедливо равенство: b = α a + α a + + α a, j =,. j j 2 2 j... k kj Определение. Строки A = ( a; a2;...; a, A2 = ( a2; a22;...; a2,..., Ak = ( ak; ak 2;...; ak называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке, т.е. существуют такие не все равные нулю числа α, α2,..., αk α + α α k 0, αa + α2a α a = 0, j =,. j j k kj Определение. Строки A = ( a; a2;...; a, A2 = ( a2; a22;...; a2,..., Ak = ( ak; ak 2;...; ak называются линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке, т.е. αaj + α2a2 j αkakj = 0, j =, α = α2 =... = α k = Теорема. (Критерий линейной зависимости строк матрицы Для того, чтобы строки A = ( a ; a ;...; a, A = ( a ; a ;...; a,..., A = ( a ; a ;...; a k k k 2 k были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из них была линейной комбинацией остальных. Необходимость. Пусть строки A, A2,..., A k линейно зависимы, тогда существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке: αaj + α2a2 j αkakj = 0, j =,. Без ограничения общности предположим, что первый из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля (в противном случае можно перенумеровать строки. Разделив это соотношение на α, получим 2 k a = α α j a2 j... akj, α j = α,, то есть первая строка является линейной комбинацией остальных.

15 Достаточность. Пусть одна из строк, например, A k, является линейной комбинацией остальных, тогда akj = λaj λk ak j, j =, то есть существует нетривиальная линейная комбинация строк A, A2,..., A k, равная нулевой строке: λaj λk ak j akj = 0, а значит, строки A, A2,..., A k линейно зависимы, что и требовалось доказать. Замечание. Аналогичные определения и утверждения могут быть сформулированы и для столбцов матрицы Ранг матрицы Определение. Минором порядка r матрицы A размера называется определитель порядка r с элементами, расположенными на пересечении некоторых ее r строк и r столбцов Определение. Отличный от нуля минор порядка r матрицы A размера называется базисным минором, если все миноры матрицы порядка r + равны нулю. Замечание. Матрица может иметь несколько базисных миноров. Очевидно, что все они будут одного порядка. Также возможен случай, когда у матрицы A размера минор порядка r отличен от нуля, а миноров порядка r + не существует, то r= mi m ;. есть { } Определение. Строки (столбцы, образующие базисный минор, называются базисными строками (столбцами Определение. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Ранг Rg A. матрицы A обозначается rak ( A или ( Замечание. Отметим, что в силу равноправности строк и столбцов определителя ранг матрицы не меняется при ее транспонировании Теорема. (Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях. Без доказательства.

16 Теорема. (О базисном миноре. Базисные строки (столбцы линейно независимы. Всякая строка (столбец матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк (столбцов. Проведем доказательство для строк. Доказательство утверждения для столбцов может быть проведено по аналогии. Пусть ранг матрицы A размеров равен r, а M r базисный минор. Без ограничения на общность предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу (в противном случае можно привести матрицу к этому виду с помощью элементарных преобразований: a a... a M r 2 r a2 a22... a2r = a a... a r r 2 rr Докажем сначала линейную независимость базисных строк. Доказательство проведем от противного. Предположим, что базисные строки линейно зависимы. Тогда согласно теореме одна из строк может быть представлена в виде линейной комбинации остальных базисных строк. Следовательно, если вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию, то мы получим нулевую строку, а это означает, что минор M r равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Таким образом, мы получили противоречие, следовательно, линейная независимость базисных строк доказана. Докажем теперь, что всякая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Если номер рассматриваемой строки k от до r, то тогда, очевидно, она может быть представлена в виде линейной комбинации c коэффициентом, равным при строке k и нулевыми коэффициентами при остальных строках. Покажем теперь, что если номер строки k от r + до m, она может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Рассмотрим минор матрицы M r +, полученный из базисного минора M r добавлением строки k и произвольного столбца j ( j =, : a a... a a 2 r j a a... a a r 2 j M = r a a... a a r r 2 rr rj a a... a a k k 2 kr kj Покажем, что данный минор r M + равен нулю для любого номера строки k от r + до m и для любого номера столбца j от до.

17 Действительно, если номер столбца j от до r, то имеем определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, очевидно, равен нулю. Если же номер столбца j от r+ до, а номер строки k от r + до m, то M r + является минором исходной матрицы большего порядка, чем базисный минор, а это означает, что он равен нулю из определения базисного минора. Таким образом, доказано, что минор M r + равен нулю для любого номера строки k от r + до m и для любого номера столбца j от до. Разлагая его по последнему столбцу, получим: λaj + λ2a2 j λrarj + λ r + akj = 0, j =,. Здесь λ, λ2,..., λ r + соответствующие алгебраические дополнения. Заметим, что k j λ = ( + r+ M r 0, так как следовательно, M r является базисным минором. Следовательно, элементы строки k могут быть представлены в виде линейной комбинации соответствующих элементов базисных строк с коэффициентами, не зависящими от номера столбца j : ( λp akj = αaj + α2a2 j αrarj, j =,, где αp =, p=, r. M Таким образом, мы доказали, что произвольная строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк. Теорема доказана. Лекция Теорема. (О ранге невырожденной квадратной матрицы Для того, чтобы квадратная матрица являлась невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равен размеру этой матрицы. Необходимость. Пусть квадратная матрица A размера является невырожденной, det A 0, следовательно, определитель матрицы является базисным тогда ( минором, т.е. rak ( A =. Достаточность. Пусть ( A rak =, тогда порядок базисного минора равен размеру матрицы, следовательно, базисным минором является определитель матрицы A, т.е. det ( A 0 по определению базисного минора. Следствие. Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно независимыми. Необходимость. Так как квадратная матрица является невырожденной, то ее ранг равен размеру матрицы rak ( A =, то есть определитель матрицы является базисным минором. Следовательно, по теореме о базисном миноре строки матрицы являются линейно независимыми. Достаточность. Так как все строки матрицы линейно независимы, то ее ранг не меньше размера матрицы, а значит, rak ( A =, следовательно, по предыдущей теореме матрица A является невырожденной. k+ j r

18 Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы. Заметим, что частично этот метод уже был неявно описан в доказательстве теоремы о базисном миноре Определение. Минор M называется окаймляющим по отношению к минору M 0, если он получен из минора M 0 добавлением одной новой строки и одного нового столбца исходной матрицы Процедура нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров.. Находим какой-либо текущий минор матрицы отличный от нуля. 2. Вычисляем все окаймляющие его миноры. 3. Если все они равны нулю, то текущий минор является базисным, и ранг матрицы равен порядку текущего минора. 4. Если среди окаймляющих миноров находится хотя бы один отличный от нуля, то он полагается текущим и процедура продолжается. Пример. Найдем с помощью метода окаймляющих миноров ранг матрицы A = Легко указать текущий минор второго порядка, отличный от нуля, например, 0 M 2 = 0. 2 Вычисляем окаймляющие его миноры: = 0, 2 2 = 0, 3 2 = 0, 2 2 = Следовательно, так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то минор M 2 является базисным, то есть rak ( A = 2. Замечание. Из рассмотренного примера видно, что метод является достаточно трудоемким. Поэтому на практике гораздо чаще используется метод элементарных преобразований, речь о котором пойдет ниже Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

19 На основании теоремы можно утверждать, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях (то есть ранги эквивалентных матриц равны. Поэтому ранг матрицы равен рангу ступенчатой матрицы, полученной из исходной элементарными преобразованиями. Ранг же ступенчатой матрицы, очевидно, равен количеству ее ненулевых строк. Пример. Определим ранг матрицы A = методом элементарных преобразований. Приведем матрицу A к ступенчатому виду: 2 0 I 2 0 I II 0 2 II III 2 I III II IV III IV II Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно трем, следовательно, rak( A = Ранг системы векторов линейного пространства. Рассмотрим систему векторов x, x2,..., x некоторого линейного пространства L. Если она является линейно зависимой, то в ней можно выделить линейно независимую подсистему Определение. Рангом системы векторов x, x2,..., x линейного пространства L называется максимальное количество линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы векторов x, x2,..., x обозначается как rak { x, x2,..., x}. Замечание. Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количеству векторов системы. Сформулируем теорему, показывающую связь понятий ранга системы векторов линейного пространства и ранга матрицы.

20 Теорема. (О ранге системы векторов линейного пространства Ранг системы векторов линейного пространства равен рангу матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе линейного пространства. Без доказательства. Следствие. Для того, чтобы система векторов линейного пространства являлась линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе, был равен количеству векторов системы. Доказательство очевидно Теорема (О размерности линейной оболочки. Размерность линейной оболочки векторов x, x2,..., x равна рангу этой системы векторов: dimspa x, x,..., x = rak x, x,..., x. Без доказательства. { } { } 2 2 линейного пространства L


Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее