МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения"

Транскрипт

1 Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА Контрольные работы и Методические указания и задания для контрольных работ Для студентов ЗФ курса -го семестра обучения Красноярск 04

2 УДК 5 ББК. Математика: методические указания и задания для контрольных работ для студентов го курса (Контрольные и ).-Красноярск: с. Составила: Ирина Витальевна Мельникова СПбГУ ГА, 04

3 Общие методические указания Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам Университет организует чтение лекций и проведение практических занятий. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. Вопросы для подготовки к зачету (экзамену) по курсу «Математика» (первый семестр).элементы линейной алгебры.матрицы (основные определения).действия над матрицами (сложение, умножение на число, вычитание, умножение матрицы на матрицу, транспонирование). Определители -го и -го порядков, вычисление и свойства 4. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя. 5. Обратная матрица (определение, правило вычисления) 6.Ранг матрицы. Элементарные преобразования над матрицей. 7.Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. 8.Методы решения систем линейных уравнений : метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса ( метод последовательного исключения неизвестных). 9.Множества. Множество действительных чисел. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства.

4 0.Комплексные числа (алгебраическая, тригонометрическая формы). 4. Элементы векторной алгебры.векторные величины (основные определения).. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).. Проекция вектора на ось 4. Базис. Разложение вектора по базису. 5.Линейные операции над векторами в координатной форме. 6.Скалярное произведение векторов (определение, правило вычисления в координатной форме). 7. Длина вектора, угол между двумя векторами, условия параллельности и перпендикулярности векторов 8. Векторное произведение векторов (определение, геометрический смысл, правило вычисления в координатной форме). 9.Смешанное произведение векторов (определение, геометрический смысл, правило вычисления в координатной форме). Аналитическая геометрия.метод координат (прямоугольная и полярная системы координат и связь между ними)..прямая линия на плоскости (в пространстве R ).Различные виды уравнений : общее уравнение, каноническое, уравнение с угловым коэффициентом..угол между двумя прямыми в пространстве R. 4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола (определения, канонические уравнения). 5.Плоскость в пространстве R. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости. Проходящей через три заданные точки. 6. Угол между двумя плоскостями.

5 7.Прямая линия в пространстве R.Канонические уравнения прямой. 8. Угол между двумя прямыми в пространстве R. 9. Угол между прямой и плоскостью пространстве R. 5 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Таблицы номеров задач Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в контрольные работы. Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра Вариант Номера задач контрольных заданий Контрольная работа Контрольная работа,,, 4,5,6,7,,, 4,5,6,7,,, 4,5,6,7 4 4,4,4,4 44,54,64,74 5 5,5,5,5 45,55,65,75 6 6,6,6,6 46,56,66,76 7 7,7,7,7 47,57,67,77 8 8,8,8,8 48,58,68,78 9 9,9,9,9 49,59,69,79 0 0,0,0,40 50,60,70,80 ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цвета. Необходимо оставить поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

6 6. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия и инициалы студента, его учебный шифр, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и личную подпись.. В работу должны быть включены все задачи, указанные в контрольных заданиях, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не засчитываются. 4. Задачи и их решения следует располагать в порядке возрастания номеров, указанных в контрольных заданиях, сохраняя номера задач. 5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью записать ее условие 6. Решения задач должны быть изложены подробно с необходимыми пояснениями по ходу решения. 7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все ошибки, недочеты и выполнить рекомендации рецензента. 8. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново. При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных выше правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются.

7 7 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Контрольная работа Элементы алгебры матриц. ЗАДАНИЕ. Вычислить определитель третьего порядка а) по правилу Саррюса, б) разложением по строке ( столбцу), в) приведением к треугольному виду. Сравнить полученные результаты.. 4 5, , , , , , 7. 5, , , ЗАДАНИЕ. Найти матрицу T B A A A E.. А = А = А = А = А = А =

8 8 7. А = А = 4 9. А = А = ЗАДАНИЕ Показать, что система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение и решить ее а) по формулам Крамера, б) методом Гаусса. в) матричным методом. Сделать проверку.. x y z 5, x y z 6,. 9x 9y 5z 0, 4x y z 5, x 5y. 4x y 7z.. 7x y z 5, 5x y z 5, 4. x y 5, x z 6, 0x y 5z 6. 5y z x y z 9, x y z, 6. x 6y z 0, 9x 6y 7z, 8x y 6z. y z. 7. x y z 7, x y z, 8. x y z, x y z 4, x y z 6. 4x y 4z. 9. 8x y 6z 4, x y z, 0. x y z, x y 4z 6, 4x y z 5. 5x y z.

9 9 ЗАДАНИЕ4. Дано комплексное число z. Требуется ) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; ) построить на комплексной плоскости вектор, соответствующий числу z.. z. z 5. z 7. z 9. z. z i 4 i 4. z i 4 6. z i i 4 i 8. z i z i i i Контрольная работа Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. ЗАДАНИЕ 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры найти: ) длину ребра AB; ) угол между ребрами AB и AD; ) площадь грани ABC; 4) объем пирамиды. Сделать чертеж. 4. A ( 4,, 5 ); B ( 0,, 7 ); С ( 0, 5, 7 ); D (, 5, 0 ). 4. A (,, ); B ( 4, 0, ); С (, 8, 4 ); D ( 9, 6, 9 ).

10 4. A ( 4, 6, 5 ); B ( 6, 9, 4 ); С ( 5, 0, 4 ); D ( 7, 5, 9 ). 44. A (, 5, 4 ); B ( 8, 7, 4 ); С ( 5, 0, 4 ); D ( 4, 7, 8 ). 45. A ( 0, 6, 6 ); B ( -, 8, ); С ( 6, 8, 9 ); D ( 7, 0, ). 46. A (, 8, ); B ( 5,, 6 ); С ( 5, 7, 4 ); D ( 4, 0, 9 ). 47. A ( 6, 6, 5 ); B ( 4, 9, 5 ); С ( 4, 6, ); D ( 6, 9, 6 ). 48. A ( 7,, ); B ( 5, 7, 7 ); С ( 5,, ); D (,, 7 ). 49. A ( 8, 6, 4 ); B ( 0, 5, 5 ); С ( 5, 6, 8 ); D ( 8, 0, 7 ). 50. A ( 7, 7, 7 ); B ( 6, 5, 8 ); С (, 5, 8 ); D ( 8, 4, ). 0 ЗАДАНИЕ 6. Даны три силы P, Q, R, приложенные к точке А. Вычислить: а) работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В; б) момент равнодействующих этих сил относительно точки В. 5. P ( -5, 8, -4 ); Q ( 6, -7, ); R (,, -5 ); А (, -4, 7 ); В ( 0, 7, 4 ). 5. P ( 7, -5, ); Q (, 4, -8 ); R ( -, -4, );А ( -,, 0 ); В ( 6, 4, - ). 5. P (, -4, ); Q (,, -5 ); R ( -, -, 4 ); А ( 5,, -7 ); В ( 4, -, -4 ). 54. P ( 4, -, -5 ); Q ( 5,, - ); R ( -6,, 5 ); А ( -,, -6 );В ( 4, 5, - ). 55. P ( 7,, -4 ); Q ( 9, -4, ); R ( -6,, 4 ); А ( -7,, 5 );В ( 4, -, ). 56. P ( 9, -4, 4 ); Q ( -4, 6, - ); R (, 4, ); А ( 5, -4, ); В ( 4, -5, 9 ). 57. P ( 6, -4, 5 ); Q ( -4, 7, 8 ); R ( 5,, - ); А ( -5, -4, ); В ( 7, -, 6 ). 58. P ( 5, 5, -6 ); Q ( 7, -6, 6 ); R ( -4,, 4 ); А ( -9, 4, 7 ); В ( 8, -, 7 ). 59. P ( 7, -6, ); Q ( -6,, - ); R (, 6, 4 ); А (, -6, ); В ( 6, -, 7 ). 60. P ( 4, -, ); Q ( -, 5, 6 ); R ( 7,, - ); А ( -, -, 5 ); В ( 9, -5, 4 ).

11 ЗАДАНИЕ 7. Через точки А и В на плоскости проходит прямая. Записать уравнение этой прямой через две точки, в каноническом виде, в общем виде, через угловой коэффициент и в отрезках. Сделать чертеж, указать нормальный и направляющий векторы прямой. 6. А(;), В(-5;). 6. А(;9), В(;0). 6. А(;-), В(-4;0). 64. А(4;4), В(-;). 65. А(;0), В(4;). 66. А(-;-), В(;). 67. А(;8), В(;). 68. А(-;), В(4;). 69. А(4;), В(;). 70. А(;7), В(5;-4). ЗАДАНИЕ 8. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и разложить вектор x по этому базису: 7. x ( 7,, 4 ); a ( 5, 4,, ); b ( -, 5, ); c (, -, ). 7. x ( 0,, -4 ); a (, -, 4 ); b ( -, 0, - ); c ( -4, 5, - ). 7. x ( 8, -9, -7 ); a ( -,, ); b (, -, -5 ); c ( -6,, - ). 74. x (, -5, -4 ); a (,, 4 ); b ( -, 5, 0 ); c (, -, -4 ). 75. x ( -5, -, 5 ); a (, -, ); b ( -5, -, ); c (, -, 0 ). 76. x (, 6, 5 ); a (,, ); b ( -7, -, -4 ); c ( -4, 0, ). 77. x ( -,, ); a ( -, 0, ); b (, 7, - ); c ( -4,, 5 ). 78. x (, -, ); a ( 5,, ); b ( -,, - ); c ( 4, -, 5 ). 79. x ( -, -5, -4 ); a ( 0,, - ); b ( 4, -, - ); c ( -5, -4, 0 ). 80. x ( -,, - ); a (, -, ); b ( -,, ); c ( 4, -5, - ).

12 Образцы решения и оформления задач Вариант 0 ЗАДАНИЕ. Вычислить определитель третьего порядка , а) по правилу Саррюса, б) разложением по строке ( столбцу), в) приведением к треугольному виду. Сравнить полученные результаты. Решение а). Вычислим определитель по правилу Саррюса: (-) (-9) (-) (-)-(-) 5 5-(-9) 7= = =400 б). Вычислим определитель разложением по первой строке: (-) + +(-) (-) + +8 (-) + = 7(5+7)+(5-9)+8(5+)=4+48+8=400. Или разложением по первому столбцу: (-) + +5 (-) + +(-) (-) + = 7(5+7)-5(-5-4)-(7-8)=4+95-9=400.

13 в). Вычислим определитель приведением к треугольному виду: Поменяем местами строки определителя, сначала вторую и третью, знак перед определителем изменится на противоположный, потом первую со второй, знак вернется: Будем избавляться от ненулевых элементов в первом столбце ниже главной диагонали. Для этого всю первую строку умножим на 7, прибавим ко второй и запишем на месте второй строки: Чтобы обнулить элемент третьей и запишем на месте третьей строки: , первую строку умножим на 5, прибавим к Вынесем из третьей строки общий множитель 6 за определитель и поменяем местами вторую и третью строки, изменив при этом знак перед определителем: Теперь обнулим элемент, стоящий во втором столбце ниже главной диагонали. Для этого вторую строку умножим на (-8), прибавим к третьей и запишем на месте третьей строки:

14 Мы привели определитель к треугольному виду, вычислим его, перемножая элементы главной диагонали: ( ) Вывод: Все три способа решения дали одинаковый ответ: определитель равен 400. ЗАДАНИЕ. Найти матрицу T B A A A E. А = 4 0 Решение Решим задачу по действиям.. Запишем транспонированную матрицу: =. Перемножим 4 Т АА ( ) ( ) 4 0 ( ) ( ) ( ) 4 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 4 0 ( ) ( )

15 5 АА. Аналогично найдем это матрица, полученная путем умножения числа (-) на единичную матрицу Е: Е ( ) Искомая матрица В получается как сумма трех ранее вычисленных матриц: В Ответ: В ЗАДАНИЕ. Показать, что система имеет единственное решение и решить ее а) по формулам Крамера, б) методом Гаусса. в) матричным методом. 4x + y + z 7, x - y z 5, x 5y - z.

16 6 Решение. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Имеем: А Вычислим определитель основной матрицы системы: 4 det A 4 0 ( ) 0 ( ) 0 5 Найден ненулевой минор третьего порядка, поэтому rang(a) =. Так как этот же минор содержится и в расширенной матрице, то rang(ā)=. Неизвестных в системе тоже. Поэтому на основании теоремы Кронекера- Капелли система имеет единственное решение. а) Найдем его по формулам Крамера : x y z ( 6) 85 ( 5) ( 4) ( 7) Найдем неизвестные системы: x 60 y 40 z 0 x ; y ; z det A 0 det A 0 det A 0 Сделаем проверку, подставив найденные неизвестные в каждое уравнение системы:

17 , 7 7, - 5, 5 5, Ответ: x ; y ; z. б) Найдем решение методом Гаусса: Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду: А ( ) ( 4) (9) ( ) Обозначение ( ) следует понимать так: первую строку умножим на (-), прибавим ко второй и запишем на месте второй. Для проведения обратного хода метода Гаусса составим систему, которая соответствует последней матрице, эквивалентной исходной расширенной матрице системы: x + 5y z, - y z 9, -0 z 0. Из последнего уравнения находим z. Подставляя найденное значение z во второе уравнение, найдем y ( 9 ) /( ) ( ) /( ). Из первого уравнения найдем x x 5. Ответ: x ; y ; z.

18 8 в) Найдем решение матричным способом: Перепишем систему в матричном виде : A X B, 4 x 7 где A, X y, B 5. 5 z Решение представляется в виде X A B, где A обратную матрицу найдем методом присоединенной матрицы. Выпишем все алгебраические дополнения: A ( ) 4; A ( ) ; A ( ) 5 5 ; 4 4 A ( ) 6; A ( ) 7; A ( ) 5 5 9; 4 4 A ( ) 4; A ( ) ; A ( ) 6. Матрица из алгебраических дополнений: A Обратная матрица A T A 7. det A Решение системы неизвестная матрица Х вычисляется по правилам умножения матриц: X A B ( 7) ( 9) 5 ( 6) Ответ: x ; y ; z.

19 9 ЗАДАНИЕ 4. Дано комплексное число z. Требуется ) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; ) построить на комплексной плоскости вектор, соответствующий числу z. 0 z i Решение. Запишем число z в алгебраической форме, то есть в виде z=a+bi. Для этого умножим дробь на величину, сопряженную знаменателю дроби. i ( i) i. i i i i Принимая во внимание тот факт, что по определению мнимой единицы i, избавляемся от мнимой единицы в знаменателе дроби. z i i Комплексное число z записано в алгебраической форме. Здесь a действительная часть равна равна Итак, число в алгебраической форме, в мнимая часть комплексного числа z i

20 0 В тригонометрической и показательной формах комплексное число записывается так: z r(cos isin ), z r e i Здесь r модуль комплексного числа находится по формуле r z a b В нашем случае r 6 ( ) ( ) 4 4 Аргумент комплексного числа φ находится из системы: cos sin a a b a b b ; В нашем случае cos sin 6 ; 6 Угол, соответствующий этой системе φ=-π/4. Итак, в тригонометрической форме комплексное число запишем : z 6 (cos( ) i sin( ) 4 4.

21 В показательной форме Вектор, соответствующий комплексному числу z показан на рисунке 4 Y z 6 e i 4 X Рис.4 ЗАДАНИЕ 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 5) длину ребра AB; 6) угол между ребрами AB и AD; 7) площадь грани ABC; 8) объем пирамиды. Сделать чертеж. 0). A ( 5, 6, ); B (, -, -5 ); С ( -, 5, 9 ); D (,, - ) Решение ). Вычислим координаты вектора АВ: Далее находим длину вектора: AB ( ) ( 9) ( 6) 6,5. ). Для того, чтобы вычислить угол между ребрами AB и AD, найдем координаты соответствующих векторов : AB( ; 9; 6); AD( 5; 6; ) AD( 4; 4; ). Угол между векторами находим с помощью скалярного произведения AB AD ( ) ( 4) ( 9) ( 4) ( 6) ( ) cos ; AB AD

22 cos 0,98; ,875 ' " arccos (0.98) ). Площадь грани ABC. Из определения векторного произведения векторов следует, что площадь S параллелограмма, построенного на векторах и, равна модулю векторного произведения этих векторов. Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма. ABC AB AС. AB( ; 9; 6); AС( 5;5 6;9 ) AС ( 6; ;8). i j k AB AС 9 6 i j k 78i 60 j 5 k; ABC 85 ( 78) (60) ( 5) 55, 4. 4). Объем пирамиды ABCD найдем из геометрического свойства смешанного произведения векторов: модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем пирамиды ( тетраэдра) V равен одной шестой объема параллелепипеда. V AB AС AD. 6 V ( 9 88 ( 44) ( 4) ( 6) 96) 7, ЗАДАНИЕ6. Даны три силы P, Q, R, приложенные к точке А. Вычислить:

23 а) работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В; б) момент равнодействующих этих сил относительно точки В. 0). P ( -,, -8 ); Q (, -, ); R ( 4,, -9 ); А (, -, ); В ( 5, 0, - ) Решение Равнодействующая трех сил находится как векторная сумма трех заданных сил: F P Q R (,, 8) (,,) (4,, 9) (,0, 4); а) работа равна скалярному произведению равнодействующей силы на перемещение AB. AB(5 ;0 ( ); ) AB (4;; 5). A F AB 4 0 ( 4) ( 5) 0. б) Момент вычисляется как векторное произведение силы на плечо AB : i j k M F AB 0 4 i j k i 4 j 4 k Ответ: A ЗАДАНИЕ 7. 0; M( ; 4; 4). Через точки А и В на плоскости проходит прямая. Записать уравнение этой прямой через две точки, в каноническом виде, в общем виде, через угловой коэффициент и в отрезках. Сделать чертеж, указать нормальный и направляющий векторы прямой. 0. А(-; -7), В(4;5). Решение. Сделаем чертеж в декартовой прямоугольной системе координат.

24 4 s n Так как прямая задана проходящей через две точки, то первое уравнение это уравнение прямой, проходящей через две точки: x y , откуда, приведя действия сложение в знаменателе, следует каноническое уравнение прямой на плоскости Или, умножив обе части равенства на 6: x y 7. 6 x y 7. В знаменателе канонического уравнения прямой видим координаты направляющего вектора: s(;). Перемножив по свойству пропорции числители и знаменатели канонического уравнения и перенеся все в левую часть, получим общее уравнение прямой: x y 0. Коэффициенты при неизвестных дают координаты нормального вектора к прямой : n(;-). Выразив из общего уравнения y. получим уравнение прямой с угловым коэффициентом : y x. Уравнение прямой в отрезках легко записать, x y,5 из чертежа:

25 В знаменателе видим длины отрезков, отсекаемых от координатных осей. 5 ЗАДАНИЕ 8. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и разложить вектор x по этому базису: 0) x (, -0, -4 ); a (, -, ); b ( -,, 6); c (, 0, ) Решение.. Докажем, что векторы a, b, c образуют базис. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение векторов a, b, c : a b c 6 4 ( ) Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, эти три вектора не компланарны и могут образовывать базис. указывает на то, что образуют левую тройку. Разложим вектор x по этому базису : Знак смешанного произведения Следует найти такие числа α, β, γ, что x a b c. Подставляем в это равенство разложение векторов x, a, b, c. по базису i, j, k, которыми они заданы в условии задачи, получим i 0 j 4 k ( i j k ) ( i j 6 k ) ( i k ). Пользуясь свойствами линейных операций над векторами, заданными разложением по базису, получим из последнего равенства i 0 j 4 k i ( ) j ( ) k ( 6 ).

26 6 Так как в левой и правой частях этого равенства записаны разложения одного и того же вектора x по базису, то, следовательно, должны выполняться равенства:, 0, 6 4. Мы получили систему линейных уравнений для трех неизвестных величин,,. Решая эту систему, например, методом Гаусса, найдем искомые величины,,. Имеем : Из последней матрицы находим,,. Таким образом, искомое разложение имеет вид x a b c. i, j, k Ответ: x a b c.


Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов первого курса заочного обучения Москва

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ИНСТИТУТ - филиал ФГБОУ ВО «Иркутский государственный аграрный университет имени ААЕжевского» Экономический факультет Кафедра

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Общие сведения 1. Кафедра Общих дисциплин 2. Направление подготовки 38.03.01 «Экономика» 3. Дисциплина (модуль) Б1.Б.8 Линейная алгебра Перечень компетенций - способностью осуществлять

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) Министерство сельского хозяйства РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» ФГБОУ ВО СПбГАУ Кафедра

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ ВВЕДЕНИЕ Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения и являются руководством для изучения дисциплины Высшая математика Они содержат в себе основные рекомендации

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ТРЕБОВНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РБОТ При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Математика: векторный анализ

Математика: векторный анализ ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» Институт радиоэлектроники и информационных технологий РТФ Кафедра Вычислительных методов и уравнений математической

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Репозиторий БНТУ. Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Репозиторий БНТУ. Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет маркетинга менеджмента предпринимательства Кафедра «Бизнес-администрирование» МАТЕМАТИКА Методическое

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» Кафедра

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» В. Г. ДЕГТЯРЕВ,

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее