Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ"

Транскрипт

1 Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена следующая игра. Ведущий загадывал числа x и x 2 и объявлял их сумму 2p и произведение q оппонент должен был отгадать задуманные ведущим числа. Для решения вавилонской задачи удобно обозначить загаданные числа как x = p z и x 2 = p + z, где z неизвестная величина. Сумма чисел окажется вне зависимости от z равной 2p. Для произведения составим уравнение (p z)(p + z) = q, которое после раскрытия скобок ) принимает вид p 2 z 2 = q z 2 = p 2 q. При p 2 q находим 2 ): z = ± Ô p 2 q и x = p Ô p 2 q, x 2 = p + Ô p 2 q. (.) ) (p z)(p + z) = p 2 z 2 2 ) Напомним, что квадратным корнем a из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a: ( a ) 2 = a.

2 30 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов) При p 2 < q вавилонская задача решения не имеет...2. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение квадратного уравнения. Вавилонский метод можно использовать для разложения на множители квадратного трехчлена выражения вида ax 2 + bx + c при a 0. Поскольку коэффициент a всегда можно вынести за скобку, ограничимся рассмотрением случая a =, когда квадратный трехчлен можно представить как: y = x 2 2px + q. (.2) Подберем x и x 2 таким образом, чтобы выражение (.2) приняло вид: y = (x x )(x x 2 ). (.3) Раскрытие скобок в выражении (.3) приводит к выражению y = x 2 (x + x 2 )x + x x 2 ; следовательно, совокупность чисел x и x 2 является решением вавилонской задачи: x + x 2 = 2p, x x 2 = q и имеет вид (.). Таким образом, разложение квадратного трехчлена (.2) на множители возможно только ) при p 2 q, когда вавилонская задача имеет решение: x 2 2px + q = (x p + p 2 q )(x p p 2 q ). (.4) Решим при p 2 q с помощью разложения (.4) квадратное уравнение: Приводя уравнение (.5) к виду x 2 2px + q = 0. (.5) (x x )(x x 2 ) = 0, ) Соотношение (.4) можно использовать и при p 2 < q, если ввести в математику комплексные числа. Используя их, можно извлекать квадратные корни и из отрицательных чисел.

3 .. Квадратный трехчлен 3 находим ) корни x = x и x = x 2, задаваемые соотношением (.). Эти корни различны при p 2 > q и совпадают при p 2 = q. Отметим, что случай p 2 < q нуждается в дополнительном исследовании, к которому мы и переходим...3. Исследование квадратного трехчлена методом выделения полного квадрата. Минимально возможное значение квадратного трехчлена. Когда квадратное уравнение не имеет корней. Чтобы исследовать квадратный трехчлен при p 2 < q, когда разложение (.4) неприменимо, используется имеющее смысл при всех p и q преобразование, основанное на выделении полного квадрата: x 2 2px + q = (x p) 2 p 2 + q. (.6) Поскольку квадрат числа x p неотрицателен, минимальное значение выражения (.2) достигается при x = p и равно y min = q p 2 при x = p. В частности, x 2 2px + q > 0 при p 2 < q, (.7) поэтому квадратное уравнение (.5) при p 2 < q решений не имеет...4. Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического. Докажем неравенство, согласно которому среднее арифметическое (a + a 2 )/2 двух неотрицательных чисел a и a 2 не может быть меньше их среднего геометрического a a 2 : a + a 2 2 a a 2. Равенство в данном неравенстве достигается только при a = a 2. ) Произведение двух множителей обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю

4 32 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов) Для доказательства достаточно записать проверяемое неравенство как a 2 a a 2 + a 2 0 ( a a 2 ) Исследование неравенств, содержащих квадратный трехчлен, с помощью метода интервалов. Для решения неравенств, содержащих квадратные трехчлены, следует в зависимости от параметров p и q воспользоваться либо соотношением (.7), либо разложением на множители (.4), и привести неравенство к виду (x a )(x a 2 )... (x b )(x b 2 )... 0, где один из знаков >, <,,. Далее следует изобразить числа a, a 2,..., b, b 2,...на координатной оси и рассмотреть различные промежутки изменения переменной x. После этого следует отобрать те промежутки, на которых неравенство выполняется..2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ При изучении процессов, в которых изменяется некоторая величина a, бывает удобно обозначить значения этой величины на разных стадиях процесса как a, a 2,..., a n. Так возникают числовые последовательности a, a 2, Арифметическая прогрессия: определение, n-й член, сумма первых n членов. Часто бывает, что на каждом шаге значение величины a увеличивается на одну и ту же величину d: ) a n+ = a n + d. В этом случае говорят, что последовательность {a n } является арифметической прогрессией с разностью d. Учитывая, что на каждом шаге величина a возрастает на d, занесем в таблицу. значения величины a в ) Координата автомобиля, движущегося по прямой со скоростью 60 км/ч, каждый час увеличивается на 60 км.

5 .2. Числовые последовательности и прогрессии 33 зависимости от номера стадии n. Видно, что на шаге с номером n a n = a + (n )d. Действительно, к начальному значению a величины a за n шаг n раз добавили число d. Часто в задачах возникают суммы вида S n = a + a a n. Такие суммы удобно рассчитывать с помощью известного правила «сложим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т.д.» Для удобства применения этого правила удвоим эту сумму S n : 2S n = (a + a n ) + (a 2 + a n ) + (a 3 + a n 2 ) (a n + a 2 ) + (a n + a ). (.8) a + a n, a 2 + a n, a 3 + a n 2,... В сумме (.8) все n слагаемых одинаковы: последовательность является арифметической прогрессией с нулевой разностью. Следовательно, сумма (.8) равна n(a + a n ), и S n = n(a + a n )/2. Таблица.. Арифметическая прогрессия Номер n Величина a на n-м шаге (член арифметической прогрессии a n ) a 2 a 2 = a + d 3 a 3 = (a + d) + d = a +2d 4 a 4 = (a +2d) + d = a +3d......

6 34 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов).2.2. Геометрическая прогрессия: определение, n-й член. Степень с натуральным и нулевым показателем. Встречаются процессы, в которых величина b на каждом шаге увеличивается в одно и то же количество раз q ): b n+ = b n q. В этом случае говорят, что последовательность b n является геометрической прогрессией со знаменателем q. Чтобы составить таблицу значений величины в зависимости от номера стадии n, нам потребуется обозначение для произведения нескольких одинаковых множителей: q k q q... q (.9) }{{} k множителей Операция q k называется возведением числа q в степень k. Число q называется основанием степени, k показателем степени. Учитывая, что на каждом шаге величина b увеличивается в q раз, приходим к таблице.2. Видно, что на n-м шаге b n = b q n. (.0) ) банк с 0% годовых увеличивает каждый год сумму вклада в, раза Таблица.2. Геометрическая прогрессия Номер n Величина b на n-м шаге (член геометрической прогрессии b n ) b 2 b 2 = b q 3 b 3 = b q q = b q 2 4 b 4 = b q 2 q = b q

7 .2. Числовые последовательности и прогрессии 35 При этом следует положить: q Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Рассчитаем сумму S n = b + b b n, (.) содержащую члены геометрической прогрессии b, b 2,... Такие суммы вычисляются с помощью следующего приема. Умножая равенство (.) на q, приходим к соотношению: qs n = b 2 + b b n+ Вычитая из него равенство (.), получим: и (q )S n = b n+ b S n = b n+ b. q.2.4. Бесконечная периодическая дробь, метод ее перевода в обыкновенную. При делении одного числа на другое в столбик не всегда получается конечная десятичная дробь. Например, при делении на 3 получим: /3 = 0, Такая десятичная дробь, в которой цифры через некоторое количество повторяются, называется периодической; для краткости повторяющиеся цифры записывают в скобки, например /3 = 0,(3). Чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, можно воспользоваться тем же приемом, что и для расчета суммы геометрической прогрессии. Рассмотрим для примера периодическую дробь 0, = 0,(7). Введем для нее обозначение x = 0,(7), умножим ее на 00 (00x = 7,(7)), составим и решим уравнение: 00x x = 7 x = 7/99.

8 36 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов).3. СТЕПЕНИ И РАДИКАЛЫ.3.. Определение степени с отрицательным целым показателем. Выше мы сформулировали определение степени с положительным показателем (.9), которое использовалось для записи выражения (.0) для n-го члена геометрической прогрессии. Подумаем, как возвести число q в отрицательную степень. Продолжим таблицу.2 для членов геометрической прогрессии {b n }, предполагая, что n может быть отрицательным. Поскольку предыдущий член прогрессии должен быть в q раз меньше последующего, получим: b 0 = b /q, b = b /q 2 и т.д. С другой стороны, чтобы формула (.0) выполянлась и при отрицательном n, должны выполняться соотношения b 0 = b q, b = b q 2 и т.д. Чтобы не возникало противоречия, следует принять q k q k, k =,2,... (.2) Приходим к определению степени с отрицательным показателем Основные свойства степени с целым показателем (сложение и умножение показателей, умножение оснований). Исследуем основные свойства степени с целым показателем. Прежде всего, при перемножении степеней показатели складываются: q m q n = q m+n ; (.3) Проще всего проверить свойство (.3) при положительных m и n. Именно, q m = q... q, ßÞ Ð q n = q... q : ßÞ Ð m раз n раз тогда q m q n = q... q ßÞ Ð m + n раз

9 .3. Степени и радикалы 37 и свойство (.3) проверено. Приведем также способ обоснования, пригодный и для отрицательных показателей. Пусть {b n } геометрическая прогрессия. Для достаточно большого ) L можно записать: тогда q m = b L+m b L, q n = b L+m+n b L+m ; q m q n = b L+m+n b L = q m+n. Далее, при возведении степени в степень показатели перемножаются: При положительном k имеем: (q m ) k = q m... q m ßÞ Ð k множителей (q m ) k = q mk ; (.4) k слагаемых Þ Ð ß = q m m = q mk. Случай отрицательного k сводится к уже рассмотренному: (q m ) k = (q m ) = k q = m k q m k. При k = 0 свойство (.4) принимает вид =, Наконец, при перемножении оснований степени перемножаются: (q q 2 ) k = q k q k 2. (.5) При положительном k запишем: (q q 2 ) k = q q 2... q q ßÞ Ð 2 = ( q... q ) ( q ßÞ Ð 2... q 2 ) = q k q k 2. ßÞ Ð k множителей k множителей k множителей ) номера L, L + m, L + m + n должны быть положительны

10 38 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов) Случай отрицательного k сводится к рассмотренному: (q q 2 ) k = (q q 2 ) = k q k q k 2 = q k q k 2. Случай k = 0 соответствует равенству = Корень n-й степени при четном и нечетном n. Возведение корня n-й степени в степень n. Пусть требуется решить уравнение x n = a (.6) при натуральном n. При нечетном n уравнение (.6) имеет единственное решение как при положительных, так и при отрицательных a: оно называется корнем n-й степени из a и обозначается как x = n a, n нечетное, a любое. При четном n уравнение (.6) разрешимо только при a 0: квадрат (а значит и четная степень) любого числа неотрицателен. При этом при a > 0 уравнение имеет два корня, равных по величине и противоположных по знаку. Неотрицательное число x, удовлетворяющее уравнению (.6), называется корнем n-й степени из a и обозначается как x = n a n четное, a 0, x 0. Знак корня n-й степени также называют радикалом. Подставляя выражение для x в уравнение (.6), получаем: свойство читается так: если возвести число, которое при возведении в степень n дает a, в степень a, то мы получим a: ( n a ) n = a.

11 .3. Степени и радикалы Радикал произведения и степени, последовательное извлечение радикалов. Изучим основные свойства операции извлечения корня. Корень из произведения неотрицательных чисел a и a 2 равен произведению корней ): n a a 2 = n a n a 2. (.7) Для доказательства свойства (.7) следует установить, что неотрицательное число n a n a 2 при возведении в степень n действительно даст a a 2 : ( n a n a 2 ) n = ( n a ) n ( n a 2 ) n = a a 2. Свойство (.7) распространяется и на произведение нескольких множителей: n a... a k = n a... n a k, в том числе одинаковых: n ak = ( n a ) k. Отметим еще одно важное свойство: извлечь из неотрицательного числа сначала корень степени n, а затем еще и корень степени k все равно, что извлечь корень степени nk 2 ): k n a = kn a. (.8) Чтобы проверить свойство (.8), установим, что Ô при k возведении в степень kn неотрицательное число n a дает a: Õ Õ ( k n a ) kn = (( k n a ) k ) n = ( n a ) n = a. ) при нечетном n соотношение (.7) применимо и для отрицательных a или a 2 2 ) при нечетных n и k соотношение (.8) применимо и для отрицательного a

12 40 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов).3.5. Определение степени с дробным показателем. Как возвести число q в дробную степень? Для примера подумаем над возведением в степень /4. Что такое q /4? Представим, что в положительной геометрической прогрессии {b n } между членами b и b 2 = b q имеются члены с дробными номерами b 5/4, b 3/2, b 7/4, и каждый последующий член в одно и то же количество раз q больше предыдущего: b 5/4 = b q, b 3/2 = b q 2, b 7/4 = b q 3, b 2 = b q 4. Тогда это число q должно удовлетворять соотношению q 4 = q q = 4 q и b 5/4 = b 4 q, b 3/2 = b 4 Ô q 2, b 7/4 = b 4 Ô q 3. С другой стороны, при применении формулы (.0) и к промежуточным членам прогрессии, получилось бы, что b 5/4 = b q /4, b 3/2 = b q 2/4, b 7/4 = b q 3/4. Таким образом, следует принять, что q /4 = 4 q, q 2/4 = 4Ô q 2, q 3/4 = 4Ô q 3. Рассмотренный пример подводит нас к следующему определению степени с дробным показателем: q m/n = n q m. (.9) Определение (.9) можно использовать и для отрицательных дробных показателей. Поскольку знаменатель дроби может быть и четным, в положительную дробную степень мы будем возводить только неотрицательные числа, а в отрицательную только положительные числа.

13 .3. Степени и радикалы Равные дробные показатели и равные степени. Свойства степени с дробным показателем. Известно, что дроби (mk)/(nk) и m/n равны. Получим ли мы один и тот же результат при возведении числа q в степень (mk)/(nk) и в степень m/n? Имеем: q mk nk = nkô q mk = nkô (q m ) k = = ( nk Õ q m ) k = ( k n qm ) k = n q m = q m n. Результат получается действительно одинаковым. Свойства степени с дробным показателем почти точно повторяют свойства степени с целым показателем: (q q 2 ) r = q r q r 2, qr +r 2 = q r q r 2, q r r 2 = (q r ) r 2. Проверим при r = m/n первое соотношение: (q q 2 ) m/n = nô (q q 2 ) m = nô q m qm 2 = = nô Ô q m n q m 2 = q m/n q m/n 2. Для проверки второго свойства приведем сначала дроби r и r 2 к общему знаменателю: r = m /n, r 2 = m 2 /n. Тогда q m +m 2 n = nô q m +m 2 = n q m q m 2 = = n q m n q m 2 = q m /n q m 2 /n. Третье свойство удобно проверять, если числитель второй дроби равен знаменателю первой дроби ) : r = m/n, r 2 = n/k, r r 2 = m/k. Тогда Õ (q m/n ) n/k = k (q m/n ) n = Õ( k n q m ) n = k q m = q m/k. ) Произведение положительных дробей всегда можно привести a к такому виду: b c d = ac bc bc bd. Случай r 2 < 0 может быть сведен к случаю r 2 > 0 аналогично доказательству для целых показателей

14 42 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов).4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМ.4.. Графики функции y = 2 x и y = 0,5 x. Общие свойства показательной функции y(x) = a x при разных a (возрастание при a > и убывание при 0 < a <, достижение сколь угодно больших и сколь угодно близких к нулю значений). Рассмотрим показательную функцию y = a x при различных значениях a. Чтобы получить представление о ее графике, составим таблицу значений функции, изобразим их в виде точек на координатной плоскости и соединим эти точки гладкой кривой. Начнем с функции y = 2 x. Занесем ее значния в таблицу.3. Изображая эти значения в виде точек на координатной плоскости и соединяя их гладкой кривой, получим график функции y = 2 x, изображенный на рисунке.. Аналогично строится и график функции y = 0,5 x (рис..2). Обсудим свойства графика функции y = a x в общем случае. При a = график превращается в горизонтальную прямую y =. Интерес представляют два случая: a > и 0 < a <. Таблица.3. Таблица значений функции y = 2 x. Значение x Значение y = 2 x -2 /4 = 0,25 -,5 /(2 2) 0,35 - /2 = 0,5-0,5 / 2 0,7 0 0,5 2,4 2, ,8 2 4

15 .4. Показательная функция. Логарифм 43 y 4 y x Рис... График функции y = 2 x x Рис..2. График функции y = 0,5 x Пусть a >. Тогда функция y = a x возрастает и может принимать при x > 0 сколь угодно большие значения. При увеличении x на /n значение y изменяется в n a > раз, то есть увеличивается функция y(x) возрастает. При увеличении x от некоторого положительного значения c до c + увеличение y оказывается равным a c+ a c = a c (a ) это больше чем a. Прибавляя к x единицу достаточное количество раз, можно каждый раз увеличивать y каждый раз не менее чем на a и достичь таким способом сколь угодно больших значений. Рассмотрим отрицательные значения аргумента x = x. Поскольку a x = /a x, при достаточно больших x функ- y y 0 x 0 x Рис..3. Графики функций y = a x при различных значениях a: слева при a >, справа при 0 < a <

16 44 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов) ция y = a x принимает сколь угодно близкие к нулю (но положительные!) значения. Случай 0 < a < сводится к уже рассмотренному с помощью преобразования: ( ) y = a x x =. a Следовательно, при 0 < a < функция y = a x убывает; функция y = a x может принимать при x < 0 сколь угодно большие значения, а при x > 0 сколь угодно близкие к нулю (но положительные!) значения. График функции y = a x при a > изображен на рисунке.3 слева, при 0 < a < на рисунке справа Решение уравнения a x = b. Определение логарифма. Логарифмические тождества (показательная функция от логарифма и логарифм показательной функции). Представим себе, что требуется решить уравнение a x = b, (.20) где a и b известные величины, x неизвестная величина. Прежде всего, отметим, что уравнение (.20) представляет интерес только при a > 0 и a : отрицательные значения a в дробную степень возводить нельзя, а x =. Ограничимся поэтому двумя случаями a > и 0 < a <. y y = a x b y = b 0 x 0 x Рис..4. Графическое решение уравнения a x = b

17 .4. Показательная функция. Логарифм 45 Поскольку при возведении положительного числа в степень нельзя получить отрицательное число или нуль, уравнение (.20) будем рассматривать только при b > 0. Построить решение уравнения (.20) можно, изобразив на координатной плоскости график функции y = a x и горизонтальную прямую y = b; абсцисса точки пересечения x = x 0 и будет являться решением уравнения (.20). Для решения уравнения (.20) принято специальное название это логарифм числа b по основанию a: x = log a b, a > 0,a,b > 0. (.2) Величина log a b является показателем степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. Подставляя соотношение (.2) в (.20), получим тождество ): a log a b = b. (.22) Подстановка же соотношения (.20) в (.2) дает: 2 ) log a a x = x. (.23).4.3. Свойства логарифмов: логарифм произведения, степени, переход к другому основанию. Используя два базовых логарифмических тождества (.22) и (.23) и свойства степени, получим формулы для логарифмов произведения log a (b b 2 ) и степени log a b n. Для логарифма произведения получим: log a (b b 2 ) = log a (a log a b a log a b 2 ) = = log a (a log a b +log a b 2 ) = log a b + log a b 2. Аналогично преобразуется и логарифм степени: log a b n = log a (a log a b ) n = log a a nlog a b = nlog a b. ) свойство читается так: если возвести число a в степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить b, то получится b 2 ) свойство читается так: степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить a в степени x, равна x

18 46 Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов) Чтобы получить формулу для перехода к новому основанию логарифма, начнем с соотношения ) log a ka n = n/k, которое после подстановки k = log a b и n = log a c как раз и переходит в искомую формулу: log b c = log ac log a b Применение логарифмов (замена умножения на сложение, возведение в произвольную степень, извлечение корней). Исторически логарифмы использовались для замены умножения чисел сложением. Произведение двух чисел y и y 2 можно представить через сумму их логарифмов: y y 2 = 2 log 2 y +log 2 y 2, При наличии достаточно подробной таблицы 2 ) функции y = 2 x (при этом x = log 2 y) можно найти логарифмы чисел y и y 2, сложить их и по таблице степеней двойки возвести двойку в нужную степень. Этот прием был положен в основу конструкции важного счетного прибора логарифмической линейки. Извлечь из числа корень любой степени также можно по таблице логарифмов и степеней двойки: n a = 2 n log 2 a. Аналогично осуществляется и возведение числа в любую (в том числе дробную) степень. Таким образом, при работе без микрокалькулятора и компьютера логарифмы позволяют существенно упростить проведение расчетов. ) оно читается так: чтобы получить из числа a k число a n, надо возвести число a k в степень n/k 2 ) или изображенного на рис.. графика

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел».

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Числовым выражением называется одна или несколько числовых величин (чисел), соединенных между собой знаками арифметических действий: сложения,

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем

Подробнее

Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 А класса

Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс.

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. 1. Определение натуральных, целых, рациональных чисел. 2. Признаки делимости на 10, на 5, на 2. 3. Признаки делимости на 9, на 3. 4. Основное свойство

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем

Подробнее

Полугодие 1 Предмет. Алгебра и начала математического анализа Класс 11

Полугодие 1 Предмет. Алгебра и начала математического анализа Класс 11 ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ Полугодие 1 Предмет Алгебра и начала математического анализа Класс 11 ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ часто встречающихся натуральных чисел: а а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 а 10 2 4 8 16 32

Подробнее

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования Общие положения Содержание программы сгруппировaнo вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числовые вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Геометрические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений)

Календарно тематическое планирование по алгебре 8 класс. За год 136 часов, в неделю 4 часа. КПУ (коды проверяемых умений) п/п Тема урока 1 Числовые выражения. Проценты. Дата 8А 8Б КЭС (Код элемента содержания) 1.3.6 1.5.4 Элемент содержания Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс)

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) п/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В результате изучения курса алгебры в 8АВ, 8 ГД (группа А) классе учащийся научится знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ, ПРОВОДИМОГО ВУЗОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО по математике

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ, ПРОВОДИМОГО ВУЗОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО по математике МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа

Тема 7. Степени и корни. Степенная функция. 1. Корень n-й степени из действительного числа Тема 7. Степени и корни. Степенная функция 1. Корень -й степени из действительного числа Корнем -й степени (=2,,,5...) из числа а называется такое число b, -я степень которого равна а, то есть a= b, b

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль

Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль Вопросы по теории для экзамена по алгебре 8 класс профиль. Многочлен, определение. Деление многочлена с остатком. Теорема Безу.. Иррациональные числа. Доказательство существования иррационального числа.

Подробнее

Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю.

Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю. Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю. Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета Результаты обучения представлены в Требованиях

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э П О М А Т Е М А Т И К Е Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Подробнее

Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МАТЕМАТИКА 3.. УРАВНЕНИЯ n-й СТЕПЕНИ 3... Уравнение n-й степени. Исключение слагаемых (n )-й степени. Понижение степени уравнения с известным корнем (случай

Подробнее

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования)

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования) Республиканское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Карачаево-Черкесский педагогический колледж им. У.Хабекова» Программа по математике ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ

Подробнее

1. Требования к уровню подготовки учащихся.

1. Требования к уровню подготовки учащихся. 1. Требования к уровню подготовки учащихся. Учащийся, заканчивающий 9 класс, должен уметь: выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приёмы; находить значения корня натуральной степени,

Подробнее

Дата. Ко л- во ча со в. Тема

Дата. Ко л- во ча со в. Тема Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел не достаточно,

Подробнее