Учебный центр «Резольвента»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Учебный центр «Резольвента»"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», (495) Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие для школьников К. Л. Самаров, 00 ООО «Резольвента», 00 Квадратным трехчленом относительно называют многочлен -й степени a + b + c, где a, b, c - числа, называемые коэффициентами квадратного трехчлена, a 0. Квадратным уравнением называют уравнение относительно вида: a b c + + = 0. Решения квадратного уравнения, т.е. значения, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена (уравнения). Пример. Найти все значения параметра p, при которых один из корней уравнения равен. 3 + p + 8p = 0 ООО «Резольвента», (495)

2 ООО «Резольвента», (495) Решение. Подставив в уравнение число =, получим Ответ: p =. + + = = 3 p 8 p p 0, p =, p =. Выделением полного квадрата называют представление квадратного трехчлена в виде: 4 b b ac a + b + c = a +. a 4a Чтобы получить эту формулу, проведем следующие вычисления, основой которых является формула для квадрата суммы двух слагаемых: b c b c + + = + + = + + = a a a a a b c a a b b b c b b b c = a = a = a a a a a 4a 4a a b b b c b b b 4ac = a + + a a a + = = a 4a 4a a a 4a 4a 4a b b = a + a 4ac. 4a Выделение полного квадрата позволяет также найти корни квадратного трехчлена. Действительно, если квадратный трехчлен имеет корни, то a b c 0 a 0 a b b 4ac b b 4ac + + = + = + = a 4a a 4a b b 4ac + = a 4a Поскольку левая часть последнего выражения неотрицательна, то для того, чтобы у уравнения существовали корни, необходимо и достаточно, чтобы и правая часть была неотрицательной, а это возможно лишь в том случае, когда число D = b 4ac, ООО «Резольвента», (495)

3 ООО «Резольвента», (495) называемое дискриминантом квадратного уравнения, больше или равно нулю. При этом b b 4ac b b 4ac + = ± = ± a 4a a 4a b b 4ac b ± b 4ac b ± D = ± = = a a a a Итак, формула корней квадратного уравнения имеет вид:, b ± b 4ac =. a Если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет два совпавших корня. Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение корней не имеет. Из формулы для корней квадратного уравнения вытекает теорема Виета: Корни квадратного уравнения a b c являются решениями системы уравнений + + = 0 b + =, a с =. a Действительно, если и корни квадратного уравнения, то b b 4ac b + b 4ac b b + = + = =, a a a a Таким образом, первое уравнение системы выполнено. Чтобы проверить выполнимость второго уравнения системы, нужно воспользоваться одной из формул сокращенного умножения, а именно, формулой разности квадратов двух чисел:. ООО «Резольвента», (495)

4 ООО «Резольвента», (495) ( ) b b 4ac b b + 4ac 4ac c 4a 4a 4a a ( b) ( b 4ac ) b b 4ac b + b 4ac = = = a a 4a Теорема Виета доказана. = = = = Справедлива и обратная теорема Виета: Если пара чисел ( u, v ) является решением системы уравнений b u + v =, a с u v =, a то эти числа u и v являются корнями квадратного уравнения a b c + + = 0. Очень важной является формула разложения квадратного трехчлена на множители. Чтобы получить эту формулу, проведем следующие вычисления, основой которых является теорема Виета: ООО «Резольвента», (495) ( ) a( )( ) = a( + ) = a( + + ) = b c = + + = + + a a a a b c Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена неотрицателен, то квадратный трехчлен раскладывается на множители: где a + b + c = a b b 4ac =, a ( )( ), b + b 4ac =. a При этом в случае, когда дискриминант равен нулю, выполняется соотношение = и разложение на множители имеет вид: Пример. Сократить дробь a + b + c = a( )..

5 ООО «Резольвента», (495) Решение. Разложим сначала квадратный трехчлен, стоящий в числителе дроби, на множители: Поэтому Ответ:. 6 ± ± = 0, = =, = 7, =, = + 7., ( )( ) ( + )( ) = = Перейдем теперь к свойствам графика квадратного трехчлена. График функции y a b c ( a 0) = + + называется параболой. На рис. изображен график параболы y =. Рис. При a > 0 ветви параболы y = a направлены вверх. При 0 a < ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы совпадает с началом системы координат. В соответствии с формулой 4 b b ac a + b + c = 0 = a +, a 4a ООО «Резольвента», (495)

6 ООО «Резольвента», (495) графиком функции (квадратного трехчлена) y = a + b + c является пара- бола y = a, сдвинутая так, чтобы ее вершина (Рис. ) попала в точку ( ) M = ; y, где v v v v b =, a b b b b b 4ac b D yv = a + b + c = + c = + c = =. a a 4a a 4a 4a 4a Рис. Последнюю формулу запоминать не нужно. Значение помощи подстановки координаты вершины y = a + b + c. y v вычисляется при b = в формулу a Парабола y = a + b + c пересекает ось OY в точке с координатами (0, с). При a > 0 ветви параболы направлены вверх. При a < 0 ветви параболы направлены вниз. В случае a > 0 функция y = a + b + c в точке v достигает наименьшего значения. В случае a < 0 функция y = a + b + c в точке v достигает наибольшего значения. ООО «Резольвента», (495)

7 ООО «Резольвента», (495) Если квадратный трехчлен имеет два различных корня (дискриминант положителен), то парабола пересекает ось OX в точках с координатами ( ;0 ) и ( ;0 ). Если квадратный трехчлен имеет два совпавших корня (дискриминант равен 0), то парабола касается оси OX в точке с координатой ( ;0 v ). В этом случае b = = v =. a Если квадратный трехчлен корней не имеет (дискриминант отрицателен), то парабола ось OX вообще не пересекает. Пример 3. Определить знаки коэффициентов a, b, c, исходя из расположения параболы a + b + c, изображенной на рис., относительно осей координат (стр. 6). Решение. Поскольку ветви параболы направлены вверх, то a > 0. Поскольку парабола пересекает ось OY в точке с отрицательной ординатой, то b c < 0. Поскольку я координата вершины параболы v = > 0, то, в силу a того, что a > 0, заключаем, что b < 0. Ответ: a > 0, b < 0, c < 0. Пример 4. Найти координаты точек пересечения графиков функций y = 5, y = 3 +. Решение. Координаты ( ; y ) каждой точки пересечения графиков указанных функций удовлетворяют системе уравнений: Поэтому, y = 5, y = 3 +. ООО «Резольвента», (495)

8 ООО «Резольвента», (495) Ответ: ( ;6 ), ( 3; ). 3 + = 5, 3 = 0, =, = 3, y = 5 = 6, y = 5 =. Пример 5. Найти все значения параметра p, при которых один из корней уравнения на 3 больше другого. ( ) p ( p 4) = 0 Решение. Пусть и корни данного уравнения. По условию задачи и в соответствии с теоремой Виета числа,, p удовлетворяют системе уравнений: Решим эту систему уравнений: + = 4, =, p = + 3. p p p 4 p 4 p 4 + = = + 3 = p p p = ( + 3 ) = ( + 3 ) = p p p = + 3 = + 3 = + 3 Из первого уравнений полученной системы находим: p 4 p 4 3p + 6 p + p = 3. = = = p p p p Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: ООО «Резольвента», (495)

9 ООО «Резольвента», (495) p p p 3p 6 p + ( + 3) = + 3 = = p p p p Следовательно, p p 5 = =. p p p p p 5 = ( p )( p 5) = ( p ) p p p p p p p p p = = 0 3 Ответ: p =, p = p = = = =, p = = = = Пример 6. Найти все значения параметра p, при которых отношение корней уравнения равно (-). p p ( + 3) + 3 = 0 Решение. Пусть и корни данного уравнения. По условию задачи и в соответствии с теоремой Виета числа,, p удовлетворяют системе уравнений: Решим эту систему уравнений: p =, p 3 =, p =. ООО «Резольвента», (495)

10 ООО «Резольвента», (495) p + 3 p + 3 p + 3 = + = p = p p 3 3 p = = p p p = p = = = Из второго уравнения полученной системы находим: p ( 3) = p + = p p + p + = p p p p + 5 p + 8 = p = = = p = = = = Ответ: p = 6, p =. Пример 7. Найти все значения параметра p, при которых сумма квадратов корней уравнения p p p ( + ) + + = 0 минимальна. Чему равно минимальное значение? Решение. Поскольку дискриминант уравнения ( ) ( ) D = p + p + p = p + p + p p + = , то корни уравнения p + 3 p p p + 4 = = = ( p ), = = = ( p + ) Следовательно, + = ( p ) + ( p + ) = ( p p + + p + 4 p + 4) = причем функция p p 5 = ( p + p + 5) = + +, ООО «Резольвента», (495)

11 ООО «Резольвента», (495) достигает минимума в точке p p p 5 f ( p ) = v = =. 4 Наименьшее значение этой функции равно 5 8 f () = + + = = Ответ: минимальное значение суммы квадратов корней уравнения равно и достигается при p =. Пример 8. Найти все значения параметра p, при которых неравенство выполняется при всех значениях. p p p < 0 Решение. Рассмотрим 3 случая: p>0, p=0, p<0.. Число p не может быть положительным, т. к. в этом случае ветви параболы направлены вверх и обязательно найдутся такие значения, при которых значения квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, будут положительными.. В случае p=0 неравенство выполняется при всех значениях. 3. В случае p<0 ветви параболы направлены вниз и для выполнимости неравенства при всех значениях необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен из левой части неравенства не имел корней. Другими словами, его дискриминант должен быть отрицательным: D p p p p p = 64 4 (7 ) < < 0 p( p + ) < 0 p,0 9 9 Добавляя к найденному интервалу точку p=0, получаем ответ задачи. ООО «Резольвента», (495)

12 ООО «Резольвента», (495) Ответ: p (,0] 9 Пример 9. Найти все значения параметра p, при которых уравнение имеет корни разных знаков. ( p + 3) p + 5 p = 0 Решение. В случае p = 3 уравнение имеет вид 8 6 = 0и обладает един- 3 ственным корнем =, что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, 4 p 3 и уравнение можно разделить на отличное от нуля число ( p + 3). В результате оно преобразуется к виду: 8 p( p + 5) + + = 0. p + 3 p + 3 Если, и корни этого уравнения, то, по теореме Виета, p( p + 5) =, p + 3 причем в случае, когда корни имеют разные знаки, их произведение отрицательно и выполняется неравенство p( p + 5) < 0. p + 3 С другой стороны, если это неравенство выполняется, то дискриминант уравнения 8 p( p + 5) D = 4 > 0, p + 3 p + 3 и уравнение имеет два различных корня. Таким образом, наша задача свелась к неравенству p( p + 5) < 0. p + 3 Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получаем ответ задачи. Ответ: p (, 5) ( 3,0) ООО «Резольвента», (495)

13 ООО «Резольвента», (495) Пример 0. Найти все значения параметра p, при которых корни уравнения p + = 0 лежат в интервале (0, 3). Решение. Для существования корней необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения был неотрицателен: D p p p p = (, ] [, + ). Теперь найдем корни уравнения: p p p + p = = 4 4,. Таким образом, условие задачи можно записать в форме системы неравенств: p p 4 0 < 0 < p p 4 p 4 < p p + p 4 < 3 p + p 4 < 6 p 4 < 6 p p (, ] [, ) p (, ] [, ) + + p (, ] [, + ) p < p < p 0 > p > 0 0 p 4 < p p + 36 p < 40 p [, ). 3 p < 6 p < 6 p (, ] [, + ) p (, ] [, + ) Ответ: 0 p [, ). 3 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Найти все значения параметра a, при которых один из корней уравнения 3a + 7a = 0 ООО «Резольвента», (495)

14 ООО «Резольвента», (495) равен 3.. Сократить дробь Найти координаты точек пересечения графиков функций y = 3 7 = 0, y = Найти все значения параметра p, при которых один из корней уравнения ( p + ) + 0 p = 0 в 5 раз больше другого. 5. Найти все значения параметра p, при которых один из корней уравнения p p = 0 на 4 больше другого. 6. Найти все значения параметра p, при которых сумма кубов корней уравнения p p = 0 минимальна. Чему равно минимальное значение? 7. Найти все значения параметра p, при которых неравенство p p p > 0 выполняется при всех значениях. 8. Найти все значения параметра p, при которых уравнение ( p + ) + + 3p + 7 p = 0 имеет корни разных знаков. 9. Найти все значения параметра p, при которых корни уравнения меньше. 4( p + ) + p + = 0 ООО «Резольвента», (495)

15 ООО «Резольвента», (495) Известно, что квадратный трехчлен a + b + c не имеет корней и его коэффициенты связаны соотношением 4a b + c < 0. Найти знаки коэффициентов a и c. ООО «Резольвента», (495)

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С С САМАРОВА МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Учебно-методическое

Подробнее

Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОЧНО ЗАОЧНАЯ ШКОЛА Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Ижевск

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

Решение квадратных неравенств графическим способом.

Решение квадратных неравенств графическим способом. Учитель математики Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5-«Школа здоровья и развития» градужный Решение квадратных неравенств графическим способом Пример 1 х 4х 5 1 Рассмотрим функцию у х 4х 5 графиком которой

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (9) 09-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Исследование квадратного трехчлена

Исследование квадратного трехчлена Исследование квадратного тречлена Пусть f(x) = ax 2 + bx + c имеет действительные корни x 1 и x 2, а M какое-нибудь действительное число, D = b 2 4ас - дискриминант При решении конкретны задач нужно особо

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. ( *часов)

Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. ( *часов) Календарно-тематическое планирование уроков алгебры в 8 классе по УМК Колягина Ю.М. (102 + 16 *часов) урока Раздел тема урока Коли чество часов Требования к подготовке По плану фактически 8-А 8-Б 8-В 8-А

Подробнее

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (14 апреля 2013). Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев АА Задачи с параметрами Москва 004 ББК 4 П78 УДК 5(0754) Рецензенты: Кожухов ИБ доктор физико-математических

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 9 Математика. 9 класс Вариант - Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом x y= 8 Решите систему уравнений x y + =. x = Ответ: ( ; 6); другие возможные формы ответа: ; х =, у = 6. y = 6 Решение.

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ. по алгебре и началам анализа для кадет I курса. Неравенства (подготовка к ГИА)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ. по алгебре и началам анализа для кадет I курса. Неравенства (подготовка к ГИА) ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС 3 Дисциплина: «Математика, основы информатики и вычислительной техники» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по алгебре и началам анализа для кадет I курса Неравенства (подготовка к ГИА)

Подробнее

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ:

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ: Контрольные работы по алгебре в 9 классах за І полугодие, для тех, кто обучается по учебнику авторов: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ десять способов решения Улевский С.А. ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ 11, 9 класс Научный руководитель: Шаповалова Л.А., учитель математики, ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ 11 75 Теория уравнений занимает ведущее

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Квадратичная функция Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Квадратичная функция: Учебно-методическое пособие, 4-е изд.- Ханты-Мансийск,

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Квадратичная функция Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 07 В.П. Чуваков Квадратичная функция: Учебно-методическое пособие, 4-е изд.- Ханты-Мансийск,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 4. Задачи с параметрами.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 4. Задачи с параметрами. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 4 Задачи с параметрами Теоретический материал При решении задач с параметром часто приходится иметь дело с многочленами Сформулируем теорему иета для

Подробнее

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными Система уравнений вида называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений

Подробнее

Научно-исследовательская работа. «10 способов решения квадратных уравнений» Выполнил. Улевский Сергей Алексеевич. учащийся 9 класса МБОУ ЕСОШ 11

Научно-исследовательская работа. «10 способов решения квадратных уравнений» Выполнил. Улевский Сергей Алексеевич. учащийся 9 класса МБОУ ЕСОШ 11 Научно-исследовательская работа «10 способов решения квадратных уравнений» Выполнил Улевский Сергей Алексеевич учащийся 9 класса МБОУ ЕСОШ 11 Руководитель Шаповалова Людмила Алексеевна учитель математики

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Квадратные уравнения В данной статье мы разберём основные вопросы, связанные с квадратным уравнением: выведем формулу корней, докажем теорему Виета и научимся

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы.

Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Программа занятий по математике заочной физико-математической школы. Тема Алгебраические уравнения и неравенства. (8 занятий) Почти все необходимые теоретические сведения для решения предлагаемых задач

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Тест 1 по теме «Свойства функции» I вариант 1.Функция задана формулой y x. Найдите y (-5). А) 2,4; Б) -2,6; В) 24; Г) -26

Тест 1 по теме «Свойства функции» I вариант 1.Функция задана формулой y x. Найдите y (-5). А) 2,4; Б) -2,6; В) 24; Г) -26 Тест 1 по теме «Свойства функции» 1 1Функция задана формулой y x Найдите y (-5) 10 А),4; Б) -,6; В) 4; Г) -6 Функция задана формулой у 1 5x Найдите значение x, при котором y ( x ) =0 5 А) -,4; Б) ; В),4;

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

Домашняя работа по алгебре за 9 класс Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. 9 класс» Ю.Н. Макарычев и др., М.: «Просвещение», 999 г. учебно-практическое пособие . а) f() () 07; б) f(0)0 0 00; в) f( ) ( ) 0 9 0 9.. 0 0,5

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

Домашняя работа по алгебре за 9 класс Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра 9 класс» ЮН Макарычев и др, М: «Просвещение», 999 г учебно-практическое пособие wwwllsru а f 07; б f00 0 00; в f 0 9 0 9 0 0, 0, а f0 ; 0 0, 0,,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

1. Решите графически систему уравнений: ( )

1. Решите графически систему уравнений: ( ) Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛВ Лобанок, ЖИ Покляк УДК 5(7) ББК я7 К 78 Рекомендовано

Подробнее

Рабочая программа по алгебре 8 А класса

Рабочая программа по алгебре 8 А класса Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год

МАТЕМАТИКА. Задание 1 для 9-х классов учебный год МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Гельфман Э.Г. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

= 2. 3x + 2y + z, если x : y : z = 2 : 1 : 3. 2x 3y z

= 2. 3x + 2y + z, если x : y : z = 2 : 1 : 3. 2x 3y z В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 С1 С2 С3 С4 Сумма ШИФР Заполняет сотрудник ОКО Вступительная работа по математике для поступающих в 10 физико-химический и химико-биологический классы СУНЦ УрФУ 1 мая 2017 года

Подробнее

Уравнения высших порядков

Уравнения высших порядков И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Подробнее

Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю.

Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю. Рабочая программа по алгебре в 9 классе рассчитана на 136 часов, из расчета 4 часа в неделю. Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета Результаты обучения представлены в Требованиях

Подробнее