Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Исследование уравнений поверхностей второго порядка"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных и информационных систем Кафедра Высшей математики Исследование уравнений поверхностей второго порядка Методическое пособие Авторы С.Г. Гольдшмидт С.А. Цапаева Великий Новгород 8

2 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определение. В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек (г.м.т.) объединенных общим свойством. Обозначая через координаты произвольной точки поверхности относительно некоторой прямоугольной системы координат выражаем посредством уравнения между свойство общее всем точкам данной поверхности и только им. Таким образом составляем уравнение поверхности. Переменные называются текущими координатами. Обратно: всякое уравнение связывающее переменные определяет поверхность как геометрическое место точек координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Пример: составить уравнение сферы с центром в точке M ( ) радиусом R. и Сфера это геометрическое место точек равноудалённых от одной данной точки М о на расстояние R. Возьмём на поверхности сферы произвольную точку С (). Расстояние от точки С до точки М равно R следовательно СМ R. СМ ( ) ( ) ( ) то есть ( ) ( ) ( ) R или ( ) ( ) ( ) R. Полученное уравнение это уравнение сферы с центром в точке ( ) М радиуса R. Раскроем скобки получим ( ) R.

3 Итак уравнение сферы это уравнение второй степени относительно. Но не всякому уравнению второй степени соответствует сфера в пространстве. Очевидно что уравнение сферы должно иметь одинаковые коэффициенты при квадратах переменных и не должно содержать произведения переменных. То есть уравнение имеет вид D C B A. Выделив полные квадраты получим D C B A C B A. Это уравнение может быть уравнением сферы только в случае если > D C B A. Итак уравнение второго порядка в котором ) коэффициенты при равны ) отсутствуют члены 3) свободный член C B A D < определяет сферу с центром в точке C B A M и радиусом D C B A R. Например: Уравнение 5 8 определяет сферу ( ) ( ) 5 с центром в точке (- ) и радиусом 5. Определение. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей ( ) F и ( ) F. Пример: результатом пересечения сферы и плоскости

4 является линия то есть на плоскости 3 получится окружность 3. Поверхности разделяются по их уравнениям на алгебраические и трансцендентные. Уравнение алгебраической поверхности может быть приведено к виду F ( ) где F целый многочлен относительно. Среди алгебраических поверхностей рассмотрим основные типы цилиндрических конических поверхностей и поверхности вращения. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность описываемая прямой (называемой образующей) остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию Z (называемую направляющей). l L Рис.

5 Пусть направляющая определяется уравнениями F ( X Y Z ) и ( X Y Z ) F () а m n p координаты направляющего вектора образующей цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующей имеют вид X m Y n Z () p где текущие координаты XYZ координаты точки принадлежащей направляющей. Исключая X Y Z из четырёх уравнений () и () получим искомое уравнение цилиндрической поверхности. Рассмотрим частный случай. Пусть уравнение поверхности не содержит одной из переменных для определённости то есть ( ) F. На плоскости O это уравнение определяет некоторую кривую линию L. В пространстве этому уравнению удовлетворяют все те точки пространства первые две координаты которых совпадают с координатами линии L то есть те точки пространства которые проектируются на плоскость O в точки линии L. Совокупность всех точек M ( ) прямая параллельная оси O проходящая через точку M ( ) есть. Следовательно совокупность всех точек удовлетворяющих уравнению F ( ) есть поверхность описываемая прямой параллельной оси O и пересекающих линию L то есть цилиндрическая поверхность.

6 о M ( ) О M ( ) Аналогично ( ) Рис. F уравнение цилиндрической поверхности образующая которой параллельно оси O; F( ) - уравнение цилиндрической поверхности с образующей параллельной оси O. Перечислим прямые цилиндры с образующей параллельной оси O: ) эллиптический цилиндр с направляющей эллипсом в плоскости O. Частным случаем эллиптического цилиндра является прямой круговой цилиндр то есть. - - O Рис 3.

7 ) - гиперболический цилиндр с направляющей гиперболой плоскости O. - - Рис. 3) p - параболический цилиндр с направляющей параболой в плоскости O. O Рис.5

8 КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Определение. Конической поверхностью называется поверхность описываемая прямой (образующей конуса) проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса). L О Рис.6 Пусть направляющая задана уравнениями F ( X Y Z ) и ( X Y Z ) F () вершиной является точка M o ( o o o ). Канонические уравнения образующей конуса проходящей через точку М о и точку М(XYZ) лежащую на направляющей имеют вид: X Y Z. () Исключая из () и () XYZ получим искомое уравнение конической поверхности. Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале коорди- X Y нат и направляющей Z. Образующая имеет канонические уравнения X Y Z то есть Исключая XYZ из уравнений X. Y Z

9 X Y X Y Z Z X Y Z X Y X Y Z X Y получим уравнение эллиптического конуса:. (3) O Рис.7 Пример. Составить уравнение конуса с центром в начале коорди- Z Y нат и направляющей X. Образующей искомого конуса является прямая: X. Y Z

10 Исключая XYZ из уравнений направляющей и образующей полу- чим уравнение или. Обратим внимание что полученное уравнение совпадает с уравнением (3). Этот же конус можно получить взяв в качестве направляющей параболу. Объясняется это сечениями конуса различными плоскостями. Подробнее об этом ниже. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Составить общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно рассматривая поверхности вращения. Определение. Поверхностью вращения вокруг оси d называется поверхность каждое сечение которой перпендикулярное оси d является окружностью с центром лежащим на этой оси. Рассмотрим линию L которая вместе с осью d лежит в плоскости Р. Будем вращать эту линию вокруг оси при этом каждая точка линии опишет окружность а вся линия L опишет поверхность вращения. Введём систему координат. Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат на оси d ось O направим вдоль оси d ось O поместим в плоскости P перпендикулярно оси O. Допустим что линия L имеет в этой системе координат уравнение ϕ ( ). Выведем уравнение поверхности вращения этой линии вокруг оси O. Для этого выберем на поверхности произвольную точку M(). Расстояние от неё до оси O равно. Через точку М проходит окружность описываемая при вращении некоторой точки плоскости Р. Обозначим эту точку М о а её координаты в системе O ( o o ) (в системе O она будет иметь координаты ( o o )) очевидно что.

11 Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда когда на ней лежит точка М о а следовательно и симметричная с ней относительно оси O точка M ( ). Чтобы точки М о и М лежали на поверхности необходимо и достаточно чтобы координаты хотя бы одной из них удовлетворяли уравнению линии L то есть чтобы ϕ ( ± ). Получим условие для координат точки М ( ± ) ϕ. () Это и есть уравнение поверхности вращения линии L вокруг оси O. Случай когда уравнение () не имеет вещественных решений не исключается. В этом случае говорят о мнимой поверхности. Эллипсоид Рассмотрим поверхности которые получаются при вращении эллипса вокруг осей симметрии. Пусть в плоскости O задан эллипс (здесь через с обозначена малая полуось). Будем вращать его вокруг осей O и O. В силу формулы () уравнения соответствующих поверхностей вращения (). (3) Рис.8

12 Поверхности () и (3) называются сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения. Каждую точку M ( ) на эллипсоиде вращения () сдвинем к плоскости O так чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении λ <. После сдвига точка М совпадёт с с точкой М координаты которой определяются равенствами λ. Та- -а у ким образом все точки эллипсоида вращения () переходят в точки поверхности с х -с уравнением где λ. () Рис.9 Поверхность которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение () называется эллипсоидом. Уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Чтобы представить себе форму произвольного эллипсоида проще всего изучить его сечениями параллельными координатным плоскостям. Рассмотрим сечения эллипсоида (5) плоскостью h параллельной координатной плоскости O. Линия которая получается в сечении определяется двумя уравнениями (5) h. h

13 Легко заметить что плоскость hпри ) h > не пересекает эллипсоид (5) ) h с имеет с эллипсоидом (5) единственную общую точку ((с) при h и (-с) при h-) 3) h < пересекает эллипсоид (5) по эллипсу с полуосями * h * h ; ; * и * принимают наибольшие значения и при h и монотонно уменьшаются до нуля когда h возрастает от нуля до с. h Рис. Аналогично рассматриваются сечения эллипсоида (5) плоскостями параллельными координатным плоскостям O и O. Величины называются полуосями эллипсоида. Из уравнения (5) видно что начало координат - центр симметрии для эллипсоида а координатные плоскости его плоскости симметричны. Конус второго порядка Рассмотрим на плоскости O пару пересекающихся прямых заданную уравнением.

14 Поверхность получаемая вращением этой линии вокруг оси O имеет уравнение и называется прямым круговым конусом. Сжатие к плоскости O приводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением. (6) Поверхность которая в декартовой системе координат имеет уравнение (6) называется конусом второго порядка. O Рис. Определение. Конической поверхностью называется поверхность описываемая прямой (образующей конуса) проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса). Очевидно что направляющей конуса может быть произвольная расположенная на конусе линия обладающая тем свойством что любая прямолинейная образующая пересекает её в одной и только одной точке. Примерами направляющих конуса (6) могут служить его сечения плоско-

15 стями hhh где h. Сечение конуса (6) плоскостью h определяется уравнениями h. h Очевидно сечение представляет собой эллипс с полуосями * h * h монотонно возрастающими вместе с h от нуля до. Плоскость пересекает конус в точке O ( ). Сечениями конуса плоскостями h и h являются гиперболы с по- h луосями с h от нуля до прямых. h h h где h монотонно возрастающими вместе. Плоскости и пересекают конус по парам Плоскими сечениями конуса (6) являются и параболы. Так например параболой будет сечение конуса (6) плоскостью вида h где h. Нетрудно показать что в этом случае сечением является парабола определяемая уравнением h h. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса (6) а начало координат его центром симметрии. Однополостный гиперболоид Однополостный гиперболоид вращения это поверхность образованная вращением гиперболы

16 вокруг той оси которая её не пересекает то есть вокруг оси O. По формуле () мы получаем уравнение однополостного гиперболоида вращения. В результате сжатия этой поверхности мы получаем поверхность с уравнением. (7) Поверхность которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (7) называется однополостным гиперболоидом. Уравнение (7) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Рассмотрим сечения гиперболоида (7) плоскостями параллельными * h * координатной плоскости O. Сечение определяется уравнениями плоскость h h. Отсюда видно что h пересекает гиперболоид (7) по эллипсу с полуосями Рис. * h * h ; ; и расположенному симметрично относительно плоскостей O и O.

17 Величины а * и * имеют наименьшие значения при h (тогда * * ) и бесконечно возрастают при бесконечном возрастании h. Эллипс образующийся в сечении координатной плоскостью называется горловым эллипсом однополостного гиперболоида (7). Плоскость h параллельная координатной плоскости O при h < пересекает гиперболоид (7) по гиперболе с полуосями * h * h ;. Величины а * и с * имеют наибольшие значения при h (тогда а * а с * с) и монотонно убывают до нуля при возрастании h. При h она пересекает гиперболоид (7) по паре прямых имеющих уравнение При. h > сечением является гипербола с полуосями возрастающими от нуля до * h * h ; когда h возрастает от до. Мнимые (действительные) оси гипербол получающиеся при h > параллельны действительным (мнимым) осям гипербол получающимся при h <. Аналогично рассматриваются сечения гиперболоида (7) плоскостью h параллельной координатной плоскости O. Однополостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями а начало координат центр симметрии).

18 Величины называются полуосями однополостного гиперболоида. Самым замечательным свойством гиперболоида (7) является наличие у него прямолинейных образующих. Через любую точку гиперболоида (7) проходит ровно две различных прямых целиком на нём лежащих. Такие поверхности называются линейчатыми. Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (7) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений β α α β β α α β где β α - произвольные числа такие что β α. Двуполостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы вокруг той оси которая её пересекает то есть оси O. По формуле () мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения.

19 В результате сжатия этой поверхности получается поверхность с уравнением. (8) Поверхность которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (8) называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы соответствуют здесь не связанные между собой части «полости» - поверхности в то время как например при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность. Рассмотрим сечения гиперболоида (8) плоскостями параллельными координатным. Плоскость h при h < не пересекает гиперболоид при h с имеет с гиперболоидом единственную точку ((с) при h-) при h и (-с) при h > пересекает гиперболоид (8) по эллипсу с полуосями монотонно возрастающими (от до * h * h ; ) когда h возрастает от с до. Любая плоскость h пересекает гиперболоид (8) по гиперболе с * h * h полуосями и монотонно возрастающими (от до ) когда h возрастает от нуля до. плоскостью Аналогично рассматриваются сечения двуполостного гиперболоида h. Двуполостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе координатной системы эти плоскости являются координатными плоскостями а начало координат центром симметрии). Величины называются полуосями двуполосного гиперболоида.

20 h * * Рис.3 Эллиптический параболоид При вращении параболы p вокруг её оси симметрии то есть оси O мы получим поверхность с уравнением p называемую параболоидом вращения. Сжатие к плоскости у переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением. (9) Поверхность которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат называется эллиптическим параболоидом. Рассмотрим сечения параболоида (9) плоскостями параллельными координатным.

21 Плоскость h при h< пересекает параболоид при h имеет с ним единственную общую точку при h> пересекает параболоид по эллипсу с а * Рис. полуосями * ph * qh монотонно возрастающими вместе с h от нуля до. Плоскости h и h пересекают параболоид (9) по параболам с параметрами p и q с вершинами в точках h h q ветвями вверх. и h h p и с направленными Плоскости и являются плоскостями симметрии параболоида (9). При p q других плоскостей симметрии у него нет. Рассмотрим ещё один тип поверхностей второго порядка. * Гиперболический параболоид Простейшим уравнением гиперболического параболоида является ; (p>q>). () p q Плоскость пересекает поверхность () по параболе p. (*) Плоскость пересекает поверхность () по параболе p. Рассмотрим сечения параболоида () плоскостями параллельными координатным плоскостям O и O.

22 Сечение гиперболического параболоида () плоскостью h определятся уравнениями qh q (**) p h. Очевидно оно представляет собой параболу с ветвями направленными вниз и вершиной в точке болы (**) лежит на параболе (*). h h. То есть при h вершина пара- p Таким образом гиперболический параболоид () можно рассматривать как поверхность образованную движущейся параболой ось симметрии которой находится в плоскости O а вершина скользит по параболе (**). O Рис.5 Сечение поверхности () плоскостью есть две пересекающиеся прямые и. p q p q Сечение поверхности () плоскостью h определяется уравнениями

23 p q h. h Оно представляет собой гиперболу с полуосями hp и hq. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Определение. Линейчатой поверхностью называется поверхность образованная движением прямой которая называется прямолинейной образующей. Простейшими примерами линейчатых поверхностей являются цилиндры и конусы. Но кроме них среди поверхностей второго порядка линейчатыми являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Рассмотрим наличие прямолинейных образующих на примере однополостного гиперболоида Преобразуем это уравнение к виду. или. Составим систему первой степени k k произвольное k При различных значениях k эти уравнения определяют прямую линию. Меняя k получаем семейство прямых целиком лежащих на поверхности однополостного гиперболоида.

24 Существует и другое семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида l l произвольное. l Линейчатые поверхности широко используются в строительстве. Идея их использования принадлежит известному русскому инженеру почётному члену АН СССР Шухову Владимиру Григорьевичу ( ). Шухов осуществил конструкцию мачт башен и опор из металлических балок располагая их по образующим однополостного гиперболоида. Лёгкость и прочность конструкций определила их распространение и у нас и за рубежом.

25 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ I. Определить тип поверхности заданной уравнением A B C D E F G найти (если возможно) центр оси плоскости симметрии вершины полуоси. Изобразить поверхность. A B C D E F G

26 II. а) Составить уравнение цилиндра с образующей параллельной вектору ( ) p n m l и направляющей образованной пересечением двух поверхностей ( ) ( ) F F Изобразить поверхность.. ( ) l 9. ( ) l 3. ( ) 3 l 9. ( ) l 5 5. ( ) l 3 6. ( ) l ( ) ( ) ( ) 3 l 9 8. ( ) l 3 9. ( ) l. ( ) l 3 б) Составить уравнение конуса с вершиной в точке M и направляющей ( ) ( ) F F.

27 Изобразить поверхность.. ( ) M 9. ( ) M 3. ( ) M 9. ( ) 3 M 5 5. ( ) 3 M ( ) M 3 7. ( ) M ( ) ( ) ( ) ( ) M 6 9. ( ) M 3. ( ) M 3 6 5

28 с) Составить уравнение поверхности вращения линии L лежащей в плоскости P вокруг прямой d. Изобразить поверхность.. 3в плоскости O. 3в плоскости O 3. в плоскости O (>). 9 в плоскости O 5. 8 в плоскости O 6. плоскости O (<) 7. в плоскости O в плоскости O в плоскости O 3. 9 в плоскости O (>) 5. III. а) Найти и изобразить проекции тела ограниченного перечисленными поверхностями на координатные плоскости.. ( ) ( 5) ( )

29 . ( ) ( ) ( )

30 Список используемой литературы. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. СПб.: Лань 8.. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. М.: ФИЗМАТЛИТ Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров С.М. Никольский. М.: Дрофа.. Веселов А.П. Лекции по аналитической геометрии / А.П. Веселов Е.В. Троицкий. СПб.: Лань Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: Оникс 5. Ч.. 6. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. М.: ФИЗМАТЛИТ 5 7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. СПб.: Лань Профессия.

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

15. Поверхности второго порядка

15. Поверхности второго порядка 15 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(,,) = 0, где F(,,) многочлен степени

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. План лекции Лекция Квадрики в евклидовом пространстве. 1. Канонические уравнения квадрики в пространстве. 1.1. Эллипсоид; 1.2. Двуполостный гиперболоид;

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ 2000 г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность 2 + y2 2 z2 3 = 1 по линии, центр которой находится в точке (4, 4, 3). 2. Выписать уравнение плоскости,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

- параболический цилиндр.

- параболический цилиндр. Поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) =. Самый простой вид поверхности, изученный

Подробнее

Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Лекция 10 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек, координаты x, y, z которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второго

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

11. ПОВЕРХНОСТИ. ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

11. ПОВЕРХНОСТИ. ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 11. ПОВЕРХНОСТИ. ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 11.1. Поверхности. Способ образования 11.2. Поверхности вращения 11.3. Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности 11.1. Поверхности. Способ образования

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения

Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения Поверхность это множество точек пространства, координаты которых являются функциями двух параметров. Поверхность можно получить в результате перемещения в пространстве

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды

Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Лекция 15: Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Кривые и поверхности второго порядка

Кривые и поверхности второго порядка МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Л.К. Додунова Т.М. Митрякова Кривые и поверхности второго порядка Учебно-методическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Дифференциальные характеристики кривых линий

Дифференциальные характеристики кривых линий Лекция 6. Кривые линии Кривая линия (или просто кривая) - это геометрическое место точек, координаты которых являются функциями одной переменной. Если уравнение кривой в декартовой системе координат алгебраическое,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Владивостокский государственный университет экономики и сервиса МАТЕМАТИКА

Министерство образования и науки Российской Федерации. Владивостокский государственный университет экономики и сервиса МАТЕМАТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса МАТЕМАТИКА Учебная программа курса по специальности 281300 «Художественное проектирование

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Подробнее

Центр поверхности второго порядка

Центр поверхности второго порядка Центр поверхности второго порядка Напомним определение Определение Точка M 0 называется центром симметрии множества точек {M} (например, поверхности), если вместе с каждой точкой M, множеству {M} принадлежит

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ в 1 и 2 случаях Пример 1. I ГПЗ (1 случай). Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью. Σ - цилиндрическая повер

РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ в 1 и 2 случаях Пример 1. I ГПЗ (1 случай). Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью. Σ - цилиндрическая повер ЛЕКЦИИ 8 Классификация позиционных задач и выбор алгоритма решения. Примеры решения позиционных задач, если оба геометрических образа или один из геометрических образов занимают проецирующее положение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А.

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Кем ГУ, Геллерт В.А. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Физический

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - - Нижегородский Государственный Университет им Н И Лобачевского Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики http://vmucozet/ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автор: профессор В Н Шевченко (Copght

Подробнее

Лекция 11 ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ

Лекция 11 ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ Лекция 11 ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ Первоначальное понятие о касающихся друг друга линиях или поверхностях мы приобретаем из повседневного опыта. Например, интуитивно ясно, что лежащие на столе

Подробнее

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß È. È. Ïðèâàëîâ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß УЧЕБНИК ДЛЯ СПО 40-е издание, стереотипное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà åñòâå ó åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ îáðàçîâàòåëüíûõ

Подробнее

10. КРИВЫЕ ЛИНИИ Общие сведения о кривых линиях Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике Общие сведения о кривых линиях

10. КРИВЫЕ ЛИНИИ Общие сведения о кривых линиях Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике Общие сведения о кривых линиях 10. КРИВЫЕ ЛИНИИ 10.1. Общие сведения о кривых линиях 10.2. Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике 7.1. Общие сведения о кривых линиях Линию можно рассматривать как множество последовательных

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра высшей

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ

ЛЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ЛЕКЦИИ 4-5-6-7 Кинематический способ образования поверхностей. Условия задания поверхностей. Образующая, определитель и закон образования поверхности. Классификация поверхностей. Развертываемые линейчатые

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П.Гарькин 2011 г.

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П.Гарькин 2011 г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

I.1. ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. Аннотация. Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Аналитическая геометрия" и учебного плана по направлению

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Кафедра высшей математики. В.А. Геллерт. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Часть 2. Электронное учебно-методическое пособие

Кафедра высшей математики. В.А. Геллерт. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Часть 2. Электронное учебно-методическое пособие Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Кемеровский государственный университет" (КемГУ) Кафедра высшей математики В.А. Геллерт Линейная

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОБЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОБЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Донецкий национальный технический университет Червоненко А. П., Катькалова Е. А. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ. Построение касательной плоскости и нормали к ЛИНЕЙЧАТОЙ поверхности

ЛЕКЦИЯ 14 ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ. Построение касательной плоскости и нормали к ЛИНЕЙЧАТОЙ поверхности ЛЕКЦИЯ 14 Построение касательной плоскости и нормали к линейчатым и не линейчатым поверхностям вращения в заданной точке. ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ Построение касательной

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет прикладной математики процессов управления. Л.А. Свиркина

Санкт-Петербургский государственный университет. Факультет прикладной математики процессов управления. Л.А. Свиркина Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Л.А. Свиркина ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫХ СВОИМИ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее