Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители: Симонов А.А. Выск Н.Д. Москва 005

2 Пособие предназначено для студентов второго курса, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Математическая статистика». В нем рассматриваются методы проверки статистических гипотез. Приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам. Задания для курсовой работы включают 7 задач по теме «Проверка статистических гипотез». Настоящее пособие может быть использовано на всех факультетах и специальностях. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестного распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Н о формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная) Н 1, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза. Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения). При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза. Для проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками k р. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством K > k ), левосторонней ( K < kкр ) или двусторонней кр ( K < ( kкр) 1, K > ( kкр) ). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием p ( K > kкр ) = α. Порядок проверки статистической гипотезы таков: 1) задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k кр ; определяется вид критической области; ) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия К набл ; 3) если К набл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании К набл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.

3 Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез. 1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей Пусть имеются две выборки объемов п 1 и п, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям s x и s y проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей: H o : D (X) = D (Y). sб Критерием служит случайная величина F = отношение большей sм исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k 1 = n 1 1 и k = n 1. Критическая область зависит от вида конкурирующей гипотезы: 1) если H 1 : D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя: F > F ( α, k, k )) =. p( кр 1 α F кр ( α, k 1, k Критическая точка ) находится по таблице критических точек sб распределения Фишера-Снедекора. Если Fнабл = < Fкр нулевая гипотеза sм принимается, в противном случае отвергается. ) При конкурирующей гипотезе H 1 : D (X) D (Y) критическая область α α двусторонняя: p ( F < F1 ) =, p( F > F ) =. При этом достаточно найти α sб F = Fкр (, k1, k ). Тогда, если Fнабл = < Fкр нет оснований отвергнуть sм нулевую гипотезу, если F F нулевую гипотезу отвергают. набл > кр Пример 6. Даны две независимые выборки объемов п 1 = 10 и п = 15, извлеченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормальному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии s =, 67 и s y = 1,88. Проверим при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H 1 : D (X) > D (Y). Решение. Найдем значение F кр ( 0,05; 9; 14) =,65. Критическая область правосто-,67 ронняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия: F набл = = 1,4 < F кр. 1,88 Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 3 x

4 . Сравнение двух средних генеральных совокупностей 1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние х В и у В. При заданном уровне значимости α проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей: Н о : М (Х) = М (Y). Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормированная нормально распределенная случайная величина M ( X ) M ( Y ) Z =. D( X ) D( Y ) + m n xb yb Наблюдаемое значение критерия zнабл = D( X ) D( Y ). Вид критической + m n области зависит от типа конкурирующей гипотезы: а) Н 1 : М (Х) М (Y) критическая область двусторонняя, z кр определяется 1 α как аргумент функции Лапласа, при котором Ф ( z кр ) =, и критическая область задается неравенством Z > z кр. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) критическая область правосторонняя, z кр определяется 1 α как аргумент функции Лапласа, при котором Ф ( z кр ) =, и критическая область определяется неравенством Z > z кр. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) критическая область левосторонняя, заданная неравенством Z < -z кр, где z кр вычисляется так же, как в предыдущем случае. ) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид: X Y Z = Z =. DB ( X ) DB ( Y ) + m n Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле 4

5 xb yb z набл =. DB ( X ) DB ( Y ) + m n При этом выбор вида критической области и определение критических точек проводятся так же, как в пункте 1. 3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генеральные дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипотезы Н о : М (Х) = М (Y) служит случайная величина T = ( m 1) s X Y nm( n + m ) n + m, x + ( n 1) s y имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле T набл = х ( m 1) s у nm( n + m ) n + m В В. x + ( n 1) s y Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. а) Н 1 : М (Х) М (Y) критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством T > t двуст.кр., где t двуст.кр. (α, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) критическая область правосторонняя, определяемая условием T > t прав.кр.. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) критическая область левосторонняя, T < t прав.кр.. Пример 7. Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин Х:,, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 и Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9. Требуется проверить для уровня значимости α = 0,1 при условии равенства генеральных дисперсий нулевую гипотезу Н о : М (Х) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н 1 : М (Х) М (Y). Решение. Объемы выборок т = 10, п = 15. Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии: x B = 3,8; yb = 4,93; sx = 1,73; s y = 3,1. Вычислим наблюдаемое значение критерия: 3,8 4, T набл = = 1,706. Критическая область двусторонняя, t двуст.кр. (0,1; 3) = 1,71 (см. [], приложение 6). Итак, T набл < t двуст.кр. 9 1, ,1 5, 5

6 следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны. 3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п 1 опытов, и событие А появилось т 1 раз; во второй серии из п опытов событие А появилось т раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р 1, а во второй серии через р. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н о : р 1 = р. В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина M1 M n1 n U =. 1 1 p(1 p) + n1 n Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле: m1 m n1 n U набл = +. m1 + m m1 m n1 + n n1 + n n1 n Построение критической области: а) при конкурирующей гипотезе Н 1 : р 1 р u кр определяется из равенства 1 α Ф ( и кр ) =, и двусторонняя критическая область задается неравенством U > u кр. б) при конкурирующей гипотезе Н 1 : р 1 > р u кр для правосторонней критической области находится из условия Ф ( и кр 1 α ) =, и вид критической области: U > u кр. в) при конкурирующей гипотезе Н о : р 1 < р левосторонняя критическая область имеет вид U < u кр, где u кр находится по формуле из пункта б). Пример 8. В серии из 0 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н о : р 1 = р при конкурирующей гипотезе Н о : р 1 < р. Решение. 1 0,05 Критическая область левосторонняя, Ф ( и кр ) = = 0,45, следова- 6

7 тельно, и кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим = и набл = 0, U набл > u кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова. 4. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r B 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции: H o : r Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н 1 : r Г 0. Критерием является случайная величина rb п Т =, 1 r B имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n степенями свободы. Критическая область при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством T > t кр, где t кр (α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента. Пример 9. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r B = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу H o : r Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н 1 : r Г 0. Решение. Критическая точка t кр (0,01; 150) =,58. Вычислим наблюдаемое значение 0, критерия: Т набл = = 4,85. Поскольку T набл > t кр, нулевая гипотеза отвергается, то есть Х и Y 1 0,37 коррелированны. 5. Критерий согласия Пирсона Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение: 7

8 Варианты x i x 1 x... x s Частоты n i n 1 n... n s С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты n i, и в качестве критерия выбирается случайная величина ( ni ni ) χ =, n i имеющая закон распределения χ с числом степеней свободы k = s 1 r, где s число частичных интервалов выборки, r число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α χ кр ( α, k) находится по таблице критических точек распределения χ. Теоретические частоты n i вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно: а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения n i = п Р i, где xi+ 1 xb xi xb п объем выборки, Рi = Φ Φ, x s s i и x i + 1 левая и правая границы i-го интервала, x B - выборочное среднее, s исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n 3; б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной 1 совокупности в качестве оценки параметра λ принимается λ * =. Тогда λ i+1 теоретические частоты n i = п Р i, = x λ Р i x i e e. Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n ; в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные значения Х, оцениваются по формулам: * * a = x 3 σ ; b = x + 3 σ. B B * 1 n( x1 a ) Тогда плотность вероятности f ( x) = ; n 1 = ; * * * * b a b a B B х В 8

9 * n( xi xi 1) n( b xs 1) n = n 3 =... = n s 1 = ; i =,3,..., s 1, n. * * s = * * b a b a Число степеней свободы k = n 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами. Пример 10. Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид Номер интервала Границы интервала Эмпирические частоты проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о: а) показательном; б) равномерном; в) нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона. Решение. Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х 1 = 3,5, х = 6,5,, х 6 = 18,5. Найдем x B = 11,43; σ В = 4,03; s = 4,05. а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном * 1 распределении генеральной совокупности при λ = = 0,087 : 11,43 0,087 0, ,174 0,435 n 1 = 70( e e ) = 70( e e ) = 13,44; аналогично n = 10,37; n =,05; n = 6,3; n = 4,76; n 3,64. Наблюдаемое значение критерия = (6 13,44) (5 3,64) χ набл = = 69,0. Критическая точка 13,44 3,64 χ (0,05;4)=9,5; χ набл > χ кр, и гипотеза о показательном распределении отклоняется. * б) Для равномерного распределения a = 11,43 3 4,03 = 4,45; * 1 b = 11, ,03 = 18,41. f ( x) = = 0,07; теоретические 18,41 4,45 частоты: n = = 1 = 70 (5 4,45) 0,07 =,77; n = n3 n4 n5 = , 07 = = 15,1; n 6 = 70 (18,41 17) 0,07 = 7,1. Наблюдаемое значение критерия 9

10 (6,77) (5 7,1) χ набл = = 10,95. Критическая точка χ (0,05;3) = 7,8;,77 7,1 χ набл > χ кр, и гипотеза о равномерном распределении отклоняется. в) Теоретические частоты для нормального распределения: 5 11,43 11,43 n 1 = 70 Φ Φ = 70 ( Φ( 1,588) Φ(,38) ) = 4,05 4,05 = 70 ( Φ(,38) Φ(1,588) ) = 70 (0,4900 0,4441) = 3,. Так же вычисляются n =,9; n = 18,; n = 19,6; n = 1,5; n 4,7. Наблюдаемое значение = (6 3,) (5 4,7) критерия χ набл = = 3,87. Критическая точка 3, 4,7 χ (0,05; 3) = 7,8. Поскольку χ набл < χ кр, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается. 6. Проверка гипотез о значимости коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла Напомним, что при исследовании объектов генеральной совокупности, обладающих двумя качественными признаками: A: x 1, x,..., x n B: y 1, y,..., y n (x i порядковый номер объекта в последовательности убывания качества по признаку А, y i номер того же объекта в последовательности убывания качества по признаку В), для оценки степени связи между этими признаками можно вычислить выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена: 6 d ρ i B = 1 3, n n где d i = x i y i, n объем выборки, или Кендалла: 4R τ B = 1, n( n 1) где R = R 1 + R R n, а R i количество чисел, больших y i, стоящих справа от y i в последовательности рангов по признаку В. Для проверки при уровне значимости α нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена (Н 0 : r Г = 0) при конкурирующей гипотезе Н 1 : r Г 0 нужно вычислить критическую точку: 1 ρ B Т кр = tкр ( α, k), n где п объем выборки, а t кр (α, k) критическая точка двусторонней критической области для распределения Стьюдента при числе степеней свободы k = n. Если ρ B < T кр нулевая гипотеза принимается (связь 10

11 между качественными признаками незначима). При ρ B > T кр нулевая гипотеза отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. Аналогичным образом проверяется гипотеза Н 0 : τ Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н 1 : τ Г 0. Критическая точка вычисляется по формуле: (п + 5) Т кр = zкр, 9п( п 1) 1 α где z кр аргумент функции Лапласа, при котором Ф ( z кр ) = (критическая область двусторонняя). Если τ B < T кр нулевая гипотеза принимается (связь между качественными признаками незначима). При τ B > T кр нулевая гипотеза отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. Варианты курсовых заданий включают по 7 задач. В них требуется выполнить следующие действия: Задача 1. По данным выборки выбрать гипотезу о виде закона распределения и проверить ее, используя критерий Пирсона при уровне значимости α. В ответе привести: 1) выбранную гипотезу о виде закона распределения; ) вычисленное значение критерия; 3) критическое значение; 4) вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача. По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0.1. Определить: 1) дисперсию первой выборки; ) дисперсию второй выборки; 3) вычисленное значение критерия; 4) теоретическое значение критерия; 5) вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 3. По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α. В ответе привести: 1) выборочное среднее для первой выборки; ) выборочное среднее для второй выборки; 3) вычисленное значение критерия; 4) табличное значение; 5) вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 4. По данным двух выборок нормального закона распределения 11

12 (первая - с дисперсией S 1, вторая - с дисперсией S ) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости α (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве). В ответе привести: 1) выборочное среднее для первой выборки; ) выборочное среднее для второй выборки; 3) вычисленное значение критерия; 4) критическое значение; 5) вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 5. При проведении n 1 испытаний в первой серии число благоприятных исходов равнялось m 1. Во второй серии из n испытаний число благоприятных исходов равнялось m. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α. В ответе привести: 1) вычисленное значение критерия; ) критическое значение; 3) вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 6. По данным выборки двумерной случайной величины и уровню значимости α определить: 1) вектор математического ожидания; ) вектор дисперсии; 3) выборочный коэффициент корреляции; 4) вычисленное значение критерия; 5) критическое значение; 6) результат проверки гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Задача 7. По данным двух выборок проверить гипотезы о значимости выборочного рангового коэффициента Спирмена и Кендалла при уровне значимости α. В ответе привести: 1) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; ) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла; Т ; 3) критическую точку для коэффициента Спирмена ( кр ) Сп 4) критическую точку для коэффициента Кендалла ( Т кр ) Кен ; 5) вывод о принятии или не принятии каждой гипотезы. Примечание 1. Ответы на курсовые задания имеются у авторов данного методического пособия и могут быть предоставлены преподавателям, использующим его в работе со студентами. Примечание. Для выдачи большего количества различных вариантов заданий преподаватели могут воспользоваться программой «TASKMAKER», содержащей все задания, приведенные в пособии, практически в неограниченном количестве вариантов. 1

13 ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант 1 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 38, S = 4, α = Задача 5. n 1 = 500, m 1 = 391, n = 700, m = 53, α = Задача 6. α = ( 51.,-104.1) ( 58.0,-118.4) ( 55.1,-111.9) ( 5.7,-107.1) ( 5.,-106.7) 13

14 ( 6.6,-17.7) ( 7.0, -56.4) ( 5.0,-105.9) ( 41.5, -85.4) ( 5.7,-107.6) ( 49.9,-101.9) ( 44.3, -91.3) ( 56.1,-114.9) ( 36.0, -74.3) Задача 7. α = Вариант Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 31, S = 38, α =

15 Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 58, n = 900, m = 3, α = Задача 6. α = ( 6.3, -1.9) ( 65.4, -.7) ( 75.7, -6.) ( 67.4, -3.5) ( 76.5, -6.7) ( 76.0, -6.5) ( 77.9, -7.7) ( 71.7, -5.0) ( 84.0, -9.) ( 65.4, -3.5) Задача 7. α = Вариант 3 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 4, S = 39, α =

16 Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 418, n = 700, m = 445, α = Задача 6. α = 0.00 ( 7.0, -13.4) ( 35.9, -18.8) ( 35.9, -18.9) ( 30., -15.3) ( 4.8, -1.1) ( 18.0, -7.5) ( 4.6, -11.9) ( 4.7, -11.8) ( 9.8, -14.9) ( 31.5, -16.0) ( 9.3, -14.8) ( 41.4, -.6) ( 33.7, -17.3) ( 33., -17.) Задача 7. α = Вариант 4 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 30, S = 1, α =

17 Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 15, n = 400, m = 165, α = Задача 6. α = 0,050 ( 47.4, 8.) ( 40.0, 4.7) ( 45.4, 7.3) ( 46.7, 7.6) ( 45.3, 6.7) ( 51.6, 9.8) ( 43.6, 6.3) ( 41., 5.6) ( 47.8, 8.6) ( 45.3, 7.0) ( 4.9,5.9) Задача 7. α = Вариант 5 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 =, S = 39, α =

18 Задача 5. n 1 = 500, m 1 = 08, n = 1000, m = 433, α = Задача 6. α = ( 71.5, 45.1) ( 77.7, 100.4) ( 46.3, 63.3) ( 70.5, 68.4) ( 53.5, 61.) ( 40.7, 78.7) ( 59.4, 90.1) ( 68.8, 68.8) ( 68.0, 81.) ( 74.3, 64.3) ( 55.4, 57.1) ( 48.8, 54.4) ( 3.7, 69.8) ( 75.5, 70.8) Задача 7. α = Вариант 6 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α =

19 Задача 4. S 1 = 1, S = 38, α = Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 94, n = 400, m = 10, α = Задача 6. α = 0.00 ( 50.8, 7.5) ( 37.8, 0.0) ( 34.7, 18.8) ( 85.8, 45.0) ( 50.8, 6.7) ( 60.1, 31.8) ( 49.0, 6.) ( 63.8, 34.3) ( 67.4, 35.6) ( 4.7,.4) ( 7.0, 37.9) ( 54.3, 8.8) Задача 7. α = Вариант 7 Задача 1. α = Задача. Первая выборка:

20 Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 37, S = 9, α = Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 158, n = 900, m = 639, α = Задача 6. α = 0.00 ( 6.7, -8.3) ( 48.0, -51.7) ( 54.9, -58.6) ( 58.5, -6.9) ( 39.9, -4.3) ( 43.3, -46.4) ( 58.6, -63.1) ( 54., -58.7) ( 59.5, -64.3)( 58.6, -6.6)( 59.9,64.9) Задача 7. α = Вариант 8 Задача 1. α =

21 Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 0, S = 38, α = Задача 5. n 1 = 600, m 1 = 505, n = 900, m = 78, α = Задача 6. α = ( 63.3, 58.0) ( 46.8, 53.3) ( 50.4, 71.) ( 64.1, 60.0) ( 5.1, 53.5) ( 50.3, 45.0) ( 73.7, 6.0) ( 53.8, 7.3) ( 65.6, 60.8) ( 53., 6.4) Задача 7. α = Вариант 9 Задача 1. α =

22 Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 3, S = 33, α = Задача 5. n 1 = 1000, m 1 = 376, n = 00, m = 65, α = Задача 6. α = ( 35.5, 61.1) ( 43.4, 74.8) ( 37.1, 64.3) ( 46.8, 81.3) ( 47.8, 83.0) ( 46.4, 80.3) ( 38., 66.4) ( 36.9, 63.9) ( 34.3, 58.7) ( 4.0, 73.0) Задача 7. α =

23 Вариант 10 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 4, S = 36, α = Задача 5. n 1 = 700, m 1 = 496, n = 800, m = 576, α = Задача 6. α = (75.9, 36.7) (80.6, 5.6) (68.9, 41.6) (61.0, 34.3) (71.8, 41.4)(74.0, 39.8) (7., 4.1) (89.6, 49.8) (66., 41.0) (81.5, 36.3) (68.7, 3.) (84.0, 5.) 3

24 Задача 7. α = Вариант 11 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 0, S = 30, α = Задача 5. n 1 = 300, m 1 = 114, n = 800, m = 393, α =

25 Задача 6. α = ( 64.5, 33.3) ( 84.7, 15.4) ( 75.9, 8.8) ( 7.6, 0.5) ( 5.9, 30.9) ( 61.0, 9.5) ( 67.1, 6.7) ( 59.9, 9.6) ( 59.4, 7.5) ( 64., 46.5) (5.3, 43.4) Задача 7. α = Вариант 1 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 38, S = 4, α =

26 Задача 5. n 1 = 300, m 1 = 17, n = 500, m = 191, α = Задача 6. α = (6.9, 30.8) ( 53.1, 6.6) ( 53.1, 6.5) ( 60.8, 9.6) (5.3, 6.3) ( 56.1, 7.9) ( 54.9, 7.0) ( 6., 30.8) ( 57.4, 8.4) ( 70.0, 34.) ( 65., 3.3) ( 68.0, 33.5) ( 44.3,.5) Задача 7. α = Вариант 13 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 7, S = 35, α =

27 Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 96, n = 00, m =, α = Задача 6. α = (.5, 8.8) (45.6, 0.5) (40.3, 17.) (5.5, 3.5) (3.9, 13.4) (30.3, 1.0) (38.9, 16.5) (41.7, 18.5) (51.0,.8) (4.5, 18.9) (49.0, 1.8) (38.0, 16.) (4., 9.4) Задача 7. α = Вариант 14 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α = Задача 4. S 1 = 33, S =, α =

28 Задача 5. n 1 = 900, m 1 = 386, n = 400, m = 134, α = Задача 6. α = ( 33., -9.1) ( 38.1, -34.5) ( 44.4, -40.9) ( 41.9, -37.6) ( 4.0, -38.5) ( 47., -43.6) ( 33.8, -9.8) ( 8.3, -4.8) ( 37.7, -34.0) ( 39.4, -35.9) ( 33.4, -30.1) ( 3.8, -9.1) ( 34.4, -30.4) ( 40.5, -36.) Задача 7. α = Вариант 15 Задача 1. α = Задача. Первая выборка: Вторая выборка: Задача 3. α =

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Теория вероятностей и медицинская статистика

Теория вероятностей и медицинская статистика Теория вероятностей и медицинская статистика СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Лекция 6 Кафедра медицинской информатики РУДН Содержание лекции 1. Определение термина статистическая гипотеза 2. Статистические критерии

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная корреляция Как показано выше, облако точек можно описать двумя линиями регрессии регрессией X на Y и Y на X. Чем меньше угол между этими прямыми, тем сильнее зависимость

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

7 Корреляционный и регрессионный анализ

7 Корреляционный и регрессионный анализ 7 Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ статистических данных.. Регрессионный анализ статистических данных. Статистические связи между переменными можно изучать методами дисперсионного,

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЛИПЕЦКИЙ ФИЛИАЛ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1 Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии, доле изнака генеральной совокупности Проверка гипотезы о математическом ожидании

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Статистическая гипотеза Статистической гипотезой (statistical hypothesis) мы называем любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей, которое может быть проверено

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ОПОРНЫЕ СХЕМЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Техносферная и информационная безопасность» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

1. Краткие теоретические сведения

1. Краткие теоретические сведения . Краткие теоретические сведения.. Основные распределения, используемые в математической статистике Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД. гипотезы. 1. Введение в проблему статистического вывода. 2. Статистические гипотезы. 3. Статистический критерий

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД. гипотезы. 1. Введение в проблему статистического вывода. 2. Статистические гипотезы. 3. Статистический критерий СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД 1. Введение в проблему статистического вывода 2. Статистические гипотезы 3. Статистический критерий 4. Статистическая значимость 5. Классификация статистических критериев 6. Содержательная

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (СПбГМТУ) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ по математической статистике кафедра математики СанктПетербург 0 Оглавление

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике А.Г. РЕННЕР, О.А.

Подробнее

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ВВЕДЕНИЕ Одним из основных разделов математической статистики является проверка статистических гипотез. В этом разделе разрабатываются методы проверки соответствия экспериментальных данных или наблюдений

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО МОДУЛЮ 2

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО МОДУЛЮ 2 ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО МОДУЛЮ 2 1. Предположение, проверяемое при помощи научных методов а) научная гипотеза; б) статистическая гипотеза; в) гипотеза исследования; г) задача исследования. 2. Проверяемое

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Математическая статистика ПРОВЕРКА СТПТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ОМОИ Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Статистические критерии Мощность критерия это способность выявлять различия или

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

Практикум по теме 11 "Статистическая проверка гипотез"

Практикум по теме 11 Статистическая проверка гипотез Практикум по теме 11 "Статистическая проверка гипотез" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 11, а также развитие следующих

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Л.Ф. Ямщиков ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ Учебное электронное текстовое

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее