Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства"

Транскрипт

1 Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства1 / 45

2 Cодержание Содержание 1 Статистики первого типа Статистики первого типа Предельное распределение статистик первого типа 2 Точечные оценки Свойства точечных оценок Методы построения точечных оценок Неравенство Рао-Крамера Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства2 / 45

3 Статистики первого типа Статистики первого типа Статистики Рассмотрим генеральную совокупность ξ и выборку X [n] Определение 1 Статистикой будем называть любую борелевскую функцию, заданную на выборочном пространстве, S(X [n] ). Примеры X = 1 n X i S(X [n] ) = sup F (x) Fn (x) x Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства3 / 45

4 Статистики первого типа Статистики первого типа Статистики первого типа Рассмотрим функционал G(F ), заданный на множестве функций распределения: G(F ) = h g(x)df (x), где g : R R m заданная борелевская функция, h : R m R l некоторая борелевская функция, непрерывная в точке a = g(x)df ξ(x) R m. Назовем статистику S(X [n] ) = G(Fn ) статистикой первого типа. Таким образом, ( ) ( ) S(X [n] ) = G(Fn ) = h g(x)dfn 1 (x) = h g(x i ). n Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства4 / 45

5 Статистики первого типа Статистики первого типа Примеры a k = 1 n h(t) t, g(x) = x k, X k i G(F n ) = a k s 2 = 1 n s 2 = 1 n (X i X ) 2 X 2 i X 2 h(t 1, t 2 ) t 2 t 2 1, g(x) = (g 1 (x), g 2 (x)) = (x, x 2 ) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства5 / 45

6 Статистики первого типа Статистики первого типа Теорема 1 Пусть S(X [n] ) = G(Fn ) статистика первого типа, тогда имеет место сходимость: п.н. S(X [n] ) h(a) = G(F ξ). n Пусть у ξ существует a k = Eξ k R, тогда a k п.н. n a k. Пусть у ξ существует a 0 k = E(ξ Eξ)k R, тогда a 0 k п.н. n a0 k. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства6 / 45

7 Статистики первого типа Статистики первого типа Рассмотрим случайный вектор ξ = (ξ 1,..., ξ m ) T с m компонентами. Пусть имеется выборка: X 11 X X 1n (X 1, X 2,..., X n ) = X 21 X X 2n X m1 X m2... X nm Рассмотрим компоненты ξ k и ξ l, им соответствуют элементы выборки: X k1,..., X kn и X l1,..., X ln. 1 n X ki X li п.н. E(ξ п.н. kξ l ), Xk Xl Eξ keξ l, n n тогда имеет место сходимость почти наверное для выборочного коэффициента корреляции: ˆϱ(ξ k ξ l ) = ĉov(ξ k, ξ l ) sk 2s2 l п.н. n ϱ(ξ kξ l ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства7 / 45

8 Статистики первого типа Предельное распределение статистик первого типа Предельное распределение статистик первого типа Пусть задана статистика первого типа: ( S(X [n] ) = G(Fn 1 ) = h n ) g(x i ), ( ) где G(F ) = h g(x)df (x), g(x)df ξ(x) = a R m, т. е. G(F ξ ) = h(a). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства8 / 45

9 Статистики первого типа Предельное распределение статистик первого типа Теорема 2 Пусть имеется выборка X [n] из генеральной совокупности ξ с функцией ) распределения F ξ и S(X [n] ) = h g(x i ) статистика I типа, ( 1 n борелевские функции h : R R, g : R R, тогда справедливы утверждения: 1 Если существует h (a), то n ( S(X[n] ) h(a) ) d n h (a)ζ, где ζ случайная величина, распределенная нормально с параметрами (0, Dg(ξ)), ζ N(0, Dg(ξ)). 2 Если h (a) = 0 и существует h (a), то n ( S(X [n] ) h(a) ) d 1 n 2 h (a)ζ 2. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их2014 свойства9 / 45

10 Статистики первого типа Предельное распределение статистик первого типа Теорема 3 Пусть задана статистика I типа S(X [n] ) = h ( 1 n ) g(x i ) и борелевские функции h : R m R, g : R R m, тогда справедливы утверждения: ( ) 1 Если существует h (a) = h t 1,..., h t=a t m, где a = Eg(ξ) = (Eg 1 (ξ),..., Eg m (ξ)), то n ( S(X[n] ) h(a) ) d n h (a)ζ T, где случайный вектор ζ = (ζ 1,..., ζ m ) подчиняется многомерному нормальному распределению с параметрами (0, Dg(ξ)), ζ N(0, Dg(ξ)). 2 Если h (a) = 0 и существует h (a), то n ( S(X [n] ) h(a) ) d 1 n 2 ζh (a)ζ T. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 10 / 45

11 Статистики первого типа Пример Рассмотрим ξ, для которой Eξ = α > 0, Dξ = σ 2. Рассмотрим статистику 1/ X. Покажем, что 1/ X статистика первого типа. Предельное распределение статистик первого типа a = + h(t) = 1/t, g(x) = x ( ) 1 1/ X = h g(x i ). n g(x)df ξ (x) = Eg(ξ) = Eξ = α, Тогда 1/ X = h( 1 n n g(x i)) является статистикой первого типа. Из теоремы 2 следует, что ( n 1 X 1 ) ( ) d 1 α ζ n α 2 = ζ 1 α 2, где ζ N(0, σ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 11 / 45

12 Свойства точечных оценок Точечные оценки Рассмотрим генеральную совокупность ξ и ее функцию распределения F ξ (x; θ), где θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры в распределении случайной величины ξ. По имеющейся выборке X [n] = (X 1,..., X n ) необходимо построить оценку для этих параметров. Определение 2 Пусть θ Θ R. Под оценкой понимается статистика ˆθ(X [n] ) такая, что получившееся значение можно рассматривать как точечную оценку параметра θ (ˆθ(X [n] ) θ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 12 / 45

13 Свойства точечных оценок Пример ξ N(a, σ), Возможные оценки параметра a X = 1 n a неизвестно X i X 0.1 = 1 [0.9n] Какую оценку считать «хорошей»? [0.95n] i=[0.05n]+1 X (i) x med = { X(k+1), n = 2k + 1 X (k) +X (k+1) 2, n = 2k Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 13 / 45

14 Свойства точечных оценок Свойства точечных оценок 1. Несмещенность. Определение 3 Пусть параметр θ Θ R. Говорят, что оценка ˆθ(X [n] ) является несмещенной оценкой параметра θ, если для любого θ Θ. E ˆθ(X [n] ) = θ (1) Определение 4 Говорят, что оценка ˆθ(X [n] ) является асимптотически несмещенной оценкой параметра θ, если для любого θ Θ. E ˆθ(X [n] ) n θ (2) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 14 / 45

15 Свойства точечных оценок Свойство несмещенности позволяет агрегировать информацию, накопленную в различных научных центрах. Пусть ˆθ 1 несмещенная оценка параметра θ, полученная в некотором научном центре, ˆθ 2 несмещенная оценка того же параметра, полученная в другом научном центре. Предполагая, что техническая оснащенность научных центров одинаковая, будем считать, что дисперсии оценок одинаковы: Рассмотрим новую оценку: D(ˆθ i ) = E(ˆθ i θ) 2 = σ 2 (θ), E(ˆθ i ) = θ, i = 1, 2. ˆθ = ˆθ 1 + ˆθ 2, E ˆθ = E ˆθ 1 + E ˆθ 2 = θ, 2 2 тогда имеют место равенства: D ˆθ = E(ˆθ θ) 2 = 1 4 E{(ˆθ 1 θ) + (ˆθ 2 θ)} 2 = σ2 (θ). 2 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 15 / 45

16 Свойства точечных оценок Примеры Рассмотрим выборочную дисперсию, проверим, выполнено ли свойство несмещенности: Es 2 = E { 1 n ( X k a 1 1 n k=1 1 = E n = 1 n 2 (X i a 1 ))} = (X k a 1 ) 2 k=1 ( 1 n E(X k a 1 ) 2 1 n 2 k=1 ) 2 (X k a 1 ) = k=1 k=1 σ 2 = σ 2 1 n σ2 = n 1 n σ2 Cледовательно, s 2 смещенная оценка, однако она является асимптотически несмещенной оценкой: Es 2 n σ2. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 16 / 45

17 Свойства точечных оценок Рассмотрим исправленную оценку дисперсии: s 2 = n n 1 s2 = 1 n 1 (X k X ) 2, k=1 что доказывает, что s 2 несмещенная оценка дисперсии. Выборочное среднее является несмещенной оценкой для математического ожидания: { } 1 E X = E X k = 1 EX k = Eξ = a 1. n n k=1 k=1 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 17 / 45

18 Свойства точечных оценок 2. Состоятельность. Определение 5 Пусть параметр θ Θ R. Говорят, что оценка ˆθ(X [n] ) состоятельна, если p ˆθ(X [n] ) θ (3) n для любого θ Θ. Определение 6 Оценка ˆθ(X [n] ) называется сильно состоятельной оценкой параметра θ, если п.н. ˆθ(X [n] ) θ (4) n для любого θ Θ. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 18 / 45

19 Свойства точечных оценок Пусть существует Eξ k, тогда a k статистика первого рода, где a k эмпирический момент порядка k. Тогда a k a k = Eξ k, то есть, a k является сильно состоятельной оценкой. Пусть существует E(ξ Eξ) k, тогда ak 0 = 1 (X i X ) k сильно n состоятельная оценка для теоретического момента, то есть: a 0 k п.н. n a0 k = E(ξ Eξ)k. s 2 = 1 n X п.н a 1 = Eξ, n (x k X ) 2 п.н a0 2 = Dξ. k=1 n Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 19 / 45

20 Свойства точечных оценок 3. Эффективность. Рассмотрим некоторый класс оценок K = {ˆθ(X [n] )} параметра θ. Определение 7 Говорят, что оценка θ (X [n] ) K является эффективной оценкой параметра θ в классе K, если для любой другой оценки ˆθ K имеет место неравенство: E(θ θ) 2 E(ˆθ θ) 2 (5) для любого θ Θ. Класс несмещенных оценок обозначим через } K 0 = {ˆθ(X [n] ) : E ˆθ = θ, θ Θ. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 20 / 45

21 Свойства точечных оценок Рассмотрим случай, когда m > 1, то есть, θ = (θ 1,..., θ m ). Для любого y R m определим α y = (θ, y) = θ 1 y θ m y m. Тогда α y = (θ, y) оценка параметра α y. Определение 8 Будем говорить, что оценка θ K является эффективной оценкой параметра θ = (θ 1,..., θ m ) в классе K, если для любой другой оценки ˆθ K и любого y R m при любом допустимом значении θ Θ имеет место неравенство: где ˆα y = (ˆθ, y). E(α y α y ) 2 E(ˆα y α y ) 2, (6) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 21 / 45

22 Свойства точечных оценок Теорема 4 Пусть несмещенные оценки ˆθ 1 и ˆθ 2 параметра θ Θ R являются эффективными, тогда оценки ˆθ 1 и ˆθ 2 почти наверное совпадают. Определение 9 Оценка ˆθ эффективна в классе K 0, или просто эффективна, если D θ D ˆθ 0 (неотрицательно определенная матрица), где θ K 0 для любого θ Θ R k. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 22 / 45

23 Свойства точечных оценок 4. Асимптотическая нормальность. Определение 10 Пусть оценивается параметр θ Θ R. Оценка ˆθ называется асимптотически нормальной оценкой параметра θ с коэффициентом рассеивания σ 2 (θ), если n(ˆθ θ) d ζ N(0, σ(θ)). (7) n Из этого определения следует, что для любого x R имеет место сходимость: { } P n(ˆθ θ) x n 1 2πσ(θ) x e y 2 2σ 2 (θ) dy. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 23 / 45

24 Свойства точечных оценок Определение 11 Пусть оценивается параметр θ Θ R m. Оценка ˆθ = (ˆθ 1,..., ˆθ m ) называется асимптотически нормальной с матрицей рассеивания Σ(θ), если имеет место сходимость по распределению: n(ˆθ θ) d η N(0, Σ(θ)). n Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 24 / 45

25 Свойства точечных оценок 5. Асимптотическая эффективность. Определение 12 Оценка ˆθ называется асимптотически эффективной в класс K оценок параметра θ Θ R, если E(ˆθ θ) 2 lim n E( θ θ) 1 2 для любого параметра θ Θ R и любой оценки θ K. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 25 / 45

26 Свойства точечных оценок Статистическая оценка считается «хорошей», если она обладает хотя бы некоторыми из свойств 1-5. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 26 / 45

27 Методы построения точечных оценок Методы построения точечных оценок Метод моментов Пусть требуется оценить параметр θ Θ R по имеющейся выборке X [n] = (X 1,..., X n ). Рассмотрим борелевскую функцию g(x) : R R и определим функцию m(θ) = g(x)df ξ (x; θ). Далее положим, что g(x)df n (x) = 1 n g(x i ) = g. (8) Получим уравнение m(θ) = ḡ = 1 n g(x i ). (9) Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 27 / 45

28 Методы построения точечных оценок Предположим, что уравнение (9) имеет единственное решение ˆθ(X [n] ), тогда будем это решение называть оценкой ˆθ неизвестного параметра θ, полученной по методу моментов: ( ) ˆθ(X [n] ) = m 1 1 g(x i ). n Метод моментов легко обобщить на многомерный случай, при этом, g(x) = (g 1 (x),..., g k (x)), где k число неизвестных параметров, то есть, θ = (θ 1,..., θ k ) T Θ R k. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 28 / 45

29 Методы построения точечных оценок Свойства оценок, построенных по методу моментов: 1 Если функция m 1 (y) непрерывна на всей области определения, то оценка по методу моментов сильно состоятельна. 2 Если m (θ) 0 для всех θ Θ, тогда оценка по методу моментов асимптотически нормальна с коэффициентом рассеяния Dg(ξ), (m (θ)) 2 где θ истинное значение параметра. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 29 / 45

30 Методы построения точечных оценок Пример Пусть ξ N(a, σ), тогда θ = (a, σ 2 ) T Θ = R R +. Выберем g(x) = (x, x 2 ), тогда Eg(ξ) = ( Eξ Eξ 2 ) ( = a σ 2 + a 2 ), Нетрудно показать, что ḡ = 1 n 1 n X k k=1 Xk 2 k=1 ( = X s 2 + X 2 ), Следовательно, оценки по методу моментов имеют следующий вид: { â = X, ˆσ 2 = s 2. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 30 / 45

31 Методы построения точечных оценок Пример Рассмотрим равномерно распределенную случайную величину ξ с плотностью распределения: { 1 f ξ (x) = θ, x [0, θ]; 0, x / [0, θ]. Так как неизвестный параметр один, то g(x) = x. Вычислим математическое ожидание: Уравнение имеет вид: Eg(ξ) = Eξ = откуда получаем оценку: θ 0 x 1 θ dx = 1 2θ x 2 = θ 2. θ 2 = X, ˆθ = 2 X = 2 1 n X i. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 31 / 45 k=1

32 Методы построения точечных оценок Метод максимального правдоподобия построения точечных оценок. Пусть ξ непрерывная случайная величина с плотностью распределения f ξ (x, θ). Совместная плотность распределения выборки имеет вид: f X[n] (X [n] θ) = n f ξ (X i ; θ), где θ = (θ 1,..., θ m ) Θ. Пусть ξ дискретная случайная величина с распределением вероятностей p ξ (z, θ). Совместное вероятностное распределение выборки имеет вид: p X[n] (X [n] θ) = n p ξ (X i ; θ) где θ = (θ 1,..., θ m ) Θ. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 32 / 45

33 Методы построения точечных оценок Определение 13 Если генеральная совокупность имеет плотность распределения f ξ, то функцией правдоподобия выборки X [n] будем называть функцию Определение 14 L(X [n], θ) = n f ξ (X i ; θ). Если генеральная совокупность ξ дискретная случайная величина с возможными значениями {z i } и соответствующими вероятностями p ξ (z i ; θ), то функцией правдоподобия выборки X [n] будем называть функцию n L(X [n], θ) = p ξ (X i ; θ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 33 / 45

34 Методы построения точечных оценок Для нахождения оценки параметра θ решаем задачу: max L(X [n], θ). θ Θ Определение 15 Оценкой максимального правдоподобия параметра θ называется оценка ˆθ(X [n] ) = arg max θ Θ L(X [n], θ), (10) если решение задачи максимизации существует и единственно. Часто вместо функции L(X [n], θ) рассматривают функцию ln L(X [n], θ), поскольку функция ln(t) является строго возрастающей функцией своего аргумента t, и данный переход правомерен. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 34 / 45

35 Методы построения точечных оценок Свойства оценок максимального правдоподобия: Если функция правдоподобия непрерывно дифференцируема, и выполнены некоторые условия гладкости, то можно доказать, что оценки метода максимального правдоподобия сильно состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормальны. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 35 / 45

36 Методы построения точечных оценок Пример Рассмотрим случайную величину ξ N(a, σ) с плотностью распределения f ξ (x) = 1 e (x a)2 2σ 2. 2πσ Функция правдоподобия имеет вид: Тогда L(X [n], a, σ 2 ) = n f ξ (X i ; a, σ 2 ) = ln L = ln 1 ((2π) 1 2 σ) n 1 (2π) n 2 σ n e (X i a) 2 2σ 2, n (X i a) 2 2σ 2. продифференцируем по a: ln L/ a = 0, или n X i an = 0, откуда â = X. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 36 / 45

37 Методы построения точечных оценок Продифференцируем по σ: ln L σ = n σ + (X i a) 2 σ 3 = 0, откуда находим решение: nσ 2 = (x i a) 2, ˆσ 2 = 1 n (X i a) 2 = 1 n (X i X ) 2 = s 2. Нетрудно проверить, что X и s 2 доставляют максимум функции правдоподобия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 37 / 45

38 Методы построения точечных оценок Пример Пусть случайная величина ξ подчиняется равномерному распределению с плотностью: { 1 f (x, θ) = θ, x [0, θ]; 0, x [0, θ]. Запишем функцию правдоподобия: L(X [n], θ) = n f (X i ; θ) = { 1 θ, n если для i : X i [0, θ]; 0, если i : X i [0, θ]. Построим вариационный ряд X (1)... X (n). Таким образом, получаем: { 1 L(X [n], θ) = θ, X n (n) [0, θ]; 0, k : X (k) [0, θ]. Очевидно, что оценка максимального правдоподобия ˆθ(X [n] ) = X (n). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 38 / 45

39 Неравенство Рао-Крамера Неравенство Рао-Крамера Пусть имеется выборка X [n] из генеральной совокупности ξ с функцией распределения F ξ (x; θ) и плотностью распределения f ξ (x; θ), где θ Θ R неизвестный параметр. Функция правдоподобия имеет вид: n L(X [n], θ) = f ξ (X i ; θ), совместная плотность выборки имеет вид: f X[n] (x, θ) = L(x, θ) = n f ξ (x i ; θ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 39 / 45

40 Неравенство Рао-Крамера Имеет место следующее равенство: R n L(x, θ)dx = 1. (11) Пусть имеется оценка ˆθ(X [n] ) неизвестного параметра θ, и справедливо следующее равенство: E ˆθ = ˆθ(x1,..., x n )L(x, θ)dx = h(θ). (12) R n Обозначим через I n (θ) математическое ожидание: ( ) ln L(X(n), θ) 2 I n (θ) = E = θ R n ( ) ln L(x, θ) 2 L(x, θ)dx. θ Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 40 / 45

41 Неравенство Рао-Крамера Определение 16 Величина I n (θ), если математическое ожидание существует и конечно, называется информационным количеством Фишера (соответствующим выборке объема n). Будем предполагать, что выполнены условия регулярности: Для информационного количества Фишера выполнено неравенство 0 < I n (θ) < для любого θ Θ. Равенства (11) и (12) можно продифференцировать и получить следующие уравнения: L(x, θ) dx = 0, (13) θ R n R n ˆθ(x1,..., x n ) L(x, θ) dx = h (θ). (14) θ Множество N = {x R n : L(x, θ) = 0} не зависит от θ. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 41 / 45

42 Неравенство Рао-Крамера Теорема 5 (Неравенство Рао-Крамера) Пусть имеется генеральная совокупность ξ c функцией распределения F ξ (y, θ), где θ Θ R. Задана выборка X [n] из генеральной совокупности ξ, и выполнены условия регулярности, тогда имеет место неравенство: D ˆθ (h (θ)) 2 I n (θ). (15) Если E ˆθ = θ для любого θ Θ (то есть, оценка несмещенная), то справедливо неравенство: D ˆθ 1 I n (θ). Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 42 / 45

43 Неравенство Рао-Крамера По определению I n (θ) = E ( ) ln L 2. θ I n (θ) = ni 1 (θ), где I 1 (θ) информационное количество Фишера, соответствующее одному наблюдению. Как видим, наблюдается линейный рост информации. Из неравенства Рао-Крамера можно сделать вывод, что в регулярном случае дисперсия не может убывать быстрее чем 1/n. Для «хороших» оценок дисперсия должна убывать, разброс должен становиться меньше с ростом n. Для несмещенных оценок при выполнении условий регулярности оценка эффективна, если неравенство Рао-Крамера выполнено как равенство. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 43 / 45

44 Неравенство Рао-Крамера ример Пусть ξ N(a, σ 2 ), методы максимального правдоподобия и моментов дали оценку â = X, которая является сильно состоятельной, несмещенной, асимптотически нормальной оценкой. Выясним, обращается ли неравенство Рао-Крамера в равенство. Действительно, можно заметить, что где ln L a = (X i a) = n σ 2 ( X a), L(X [n], a) = σ 2 1 (2π) n 2 σ n e (X i a) 2 2σ 2. Случайные величины X и n σ 2 ( X a) пропорциональны, следовательно, X эффективная оценка. Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 44 / 45

45 Неравенство Рао-Крамера Биллингсли П.Сходимость вероятностных мер. М.: Изд. Наука, Боровков А.А.Теория вероятностей. М.: Изд. Наука, Боровков А.А.Математическая статистика. М.: Изд. Наука, Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург, оценки и их 2014 свойства 45 / 45

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2014 1 / 29 Cодержание Содержание

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов Весна 2014 1. Вероятностно статистическая модель. Понятия наблюдения и выборки. Моделирование выборки из неизвестного распределения.

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов Задачи по курсу Математическая статистика лектор доц. И.В. Родионов Весна 2017 1. Сходимости случайных векторов 1 Пусть последовательность случайных векторов ξ 1,..., ξ n,... сходится по распределению

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 1. Основная задача математической статистики. Понятие вероятностно-статистической модели. Примеры: выборка и линейная

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Оглавление Введение Выборка и ее характеристики Эмпирическая функция распределения Эмпирические (выборочные) моменты...

Оглавление Введение Выборка и ее характеристики Эмпирическая функция распределения Эмпирические (выборочные) моменты... Введение.... Выборка и ее характеристики... 3.. Эмпирическая функция распределения... 3.. Эмпирические (выборочные) моменты... 6.3. Примеры решения задач... 9. Теория точечных оценок... 4.. Несмещенные

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Н. И. Чернова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие Новосибирск 2009

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ кафедра теории вероятностей и математической статистики И. С. БОРИСОВ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Новосибирск 200 Введение

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика

Теория Вероятностей и Математическая Статистика ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА Наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) для направления 080100.62 Экономика; для направления

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Математическая статистика

Подробнее

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Учебное пособие Часть Фарафонов В. Г., Фарафонов Вяч. Г., Устимов В. И., Бутенина Д. В. 009 г. i 1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Массовые случайные

Подробнее

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних 1. Генеральная средняя. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность

Подробнее

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В.

Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика. Грауэр Л.В. Выборка. Выборочное пространство. Описательная статистика Грауэр Л.В. План лекций Классическая математическая статистика Описательная статистика Точечные и интервальные оценки Проверка статистических гипотез

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Математическая статистика

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров Оценка параметров Постановка задачи Пусть x вектор случайных величин, описываемых распределением f( x;,,,, параметры распределения (например, положение пика, ширина, масса частицы, { x, x, } Пусть ограниченная

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.И. Положинцев Теория вероятностей и математическая статистика Введение в математическую статистику Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

Подробнее

Лекция 12.Байесовский подход

Лекция 12.Байесовский подход Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, 2013 1 / 36 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому

Подробнее

Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике»

Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» Н. И. Чернова cher@nsu.ru Стр. 1 Предлагаемый вашему вниманию курс теоретической статистики

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С. Л. СОБОЛЕВА Д. А. КОРШУНОВ, Н. И. ЧЕРНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Учебное

Подробнее

тел. (3832)

тел. (3832) КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ для студентов 2 курса ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» семестр 997-98 уч.года) Чернова Н.И. cher@su.ru, тел.

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1 Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года 1 1. Основные понятия теории вероятностей. 1.1 1.2 A B = A B = A B (A \ B) (B \ A) = A B 1.3 A (A B) = A (A B) =

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1]

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1] Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. С.62-68. УДК 519.2 ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК

Подробнее

Лекция 8. Множественная линейная регрессия

Лекция 8. Множественная линейная регрессия Лекция 8. Множественная линейная регрессия Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 38 Cодержание

Подробнее

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8 Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок Лекция 8 CВОЙСТВА ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ Для того чтобы полученные по МНК оценки обладали некоторым полезными статистическими свойствами

Подробнее

Математическая статистика (программа учебного курса)

Математическая статистика (программа учебного курса) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА АННОТАЦИЯ К РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ ДИСЦИПЛИНЫ Б.1.Б.15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА уровень высшего образования бакалавриат направление подготовки 38.03.01 Экономика программа прикладного

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ» УТВЕРЖДАЮ Ректор Минского института управления Н.В.Суша 2009 г. Регистрационный УД- /р. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебная

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 :

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 : Семинары по эконометрике 0 год Преподаватель: Вакуленко ЕС Семинар 3 Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте

Подробнее

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ. анализа статистических данных. Е.Р. Горяинова А.Р.Панков Е.Н.Платонов

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ. анализа статистических данных. Е.Р. Горяинова А.Р.Панков Е.Н.Платонов ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕР Горяинова АРПанков ЕНПлатонов ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ анализа статистических данных Учебное пособие Рекомендовано УМО в области экономики

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее