Неопределенный и определенный интегралы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Неопределенный и определенный интегралы"

Транскрипт

1 ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим соотношением: F ' f. Теорема : Если F первообразная от f, то F c также является первообразной от этой функции c const. Доказательство F F ' f f F -первообразная. f Теорема : Если одна и та же функция имеет две первообразные, то они отличаются друг от друга на величину произвольной постоянной. Доказательство F F ' F ' F ' f f ' - произвольная константа. Определение: Неопределѐнным интегралом называется бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на величину произвольной постоянной. Обозначение: f d F f - подынтегральная функция, f d - подынтегральное выражение.

2 ~ ~ войства неопределѐнного интеграла.. Производная от интеграла равна подынтегральной функции. ' ' f d F c F ' f. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению. d f d f d ' d f d 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. df F ' d f d F ледствие: d 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. f d f d, const. Доказательство: Вычислим производную от левой и правой части: f d ' f ' ' f d f d f. Получили одно и то же выражение, значит формула четвѐртого свойства верна. 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов вычисленных от каждой из этих функций. f f d f d f d Доказательство: f f d ' f f f d f d' f d' f d' f f Получили одно и то же выражение, значит формула пятого свойства верна. 6. Если аргумент подынтегральной функции в свою очередь является линейной f d F c функцией, то интеграл вычисляется по формуле: Доказательство: F c F ' f '

3 ~ 3 ~ Таблица неопределѐнных интегралов. n n d n d C ln sin хd cos cos d sin cos d rctg sin e d e C d tg c d ctg c Доказательство d ln d rcsin c d rcsin d ln ln rcsin ' ' rctg ' d rctg ln ' d ln d ln Аналогично tg d sin ln cos ln cos ' tg cos ctg d cos ln sin ln sin ' c tg sin Пример: 5 ln sin 5 ctg d 5

4 ~ 4 ~ Замена переменных в неопределѐнном интеграле. Целью замены переменных является преобразование подынтегральной функции так, чтобы получить один из табличных интегралов. f d f t ' tdt Замена: t; d ' td Для доказательства формулы вычислим производную от левой и правой части по одной и той же переменной. f d ' f f t ' tdt f t ' t t f t ' tdt ' f t f ' t ' t Используем функцию произвольной параметрической функции: y ' t y ' f t f t ' Правила замены переменных. Правило : Если подынтегральная функция представлена в виде произведения сложной и элементарной функцией, то в качестве новой переменной t выбирается аргумент сложной функции так, чтобы производная от него была пропорциональна элементарной функции. t dt t t e d e e dt e e c sin dt sin cos cos Пример: sin sin Замена: t cos ; dt sin d d Замечание: После получения первообразной, при замене переменных, осуществляется обратная замена переменных. Правило : Если подынтегральная функция содержит одно из следующих выражений, то применяется одна из следующих формул замены: ) sin ) 3) t sin t tgt d costdt cost d dt sin t d dt cos t Обратная замена: t rcsin t rcsin t rctg Замечание: Указанные формулы замены носят название тригонометрическая подстановка.

5 ~ 5 ~ Интегрирование по частям неопределѐнного интеграла. Интегрирование по частям применяется, если подынтегральная функция представлена в виде произведения двух элементарных функций, входящих в состав табличных. Вычислим дифференциал произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций: d uv vdu udv. Проинтегрируем левую и правую части: d uv uv vdu udv udv uv vdu - формула интегрирования по частям. лучаи интегрирования по частям.. Если подынтегральная функция представлена в виде произведения многочлена n -ой степени Pn и элементарной функции f, входящей в состав табличных, то: u Pn du Pn' d; dv f d v f d Замечание: В этом случае формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена.. Если подынтегральная функция содержит одну из следующих элементарных функций ln, rcsin, rccos, rctg, то в формуле интегрирования по частям в качестве u выбирается одна из указанных функций, в качестве dv все остальные, входящие в подынтегральное выражение. Замечание: Если подынтегральная функция представлена только одной из указанных функций, то dv d v. 3. Если подынтегральная функция представлена в одном из следующих видов: sin c, cos c, sin cos c, то формула интегрирования по частям применяется раза. В результате чего в левой и правой частях получится искомый интеграл, который находится из решений полученного уравнения, как уравнение с одним неизвестным. 4. Пример: I e sin d cos u e du e d; dv sin d V sin cos sin I e cos e d; u e du e d; dv cos d v sin I e cos e sin cos sin e d I e e I 4 4 I I e cos sin ; I e cos sin 4 5

6 ~ 6 ~ Интегрирование рациональных выражений. h hln d h d ; h h и где h const,,, k k h Замечание: Если интегралы представлены в виде: G ( ) k k h h d k Pn ( ) d, (n >) или d, ( > k), то по правилу деления столбиком многочлен числителя делится k на многочлен знаменателя, выделяется целая часть в виде многочлена соответственно n или k степени и одна из рассмотренных правильных дробей. Пример: 5 63 I d / I d Ln Ln = C 4 4 6

7 ~ 7 ~ Интегрирование рационального выражения: n,, c,, n const c Алгоритм решения. Выделяем полный квадрат из знаменателя ; c p q 4 c c c c Введѐм обозначение: c p q n n t p n. I d d c p q t q Замена: t p t p d dt. 3. Разобьѐм интеграл на сумму двух интегралов. t p n I dt dt t q t q I I I : t t du du I dt ln u t q u t u u t q du du tdt dt I ln t q ln p q t I : n p I dt t q, знак + в знаменателе: n p n p t n p p I dt rctg rctg q t q q q q, знак в знаменателе. I n p dt n p t q n p p q ln ln t q q t q q p q 4. Вычислим интеграл Замена:, 5. Вычислим интеграл случай: случай: 3 случай:, знак в знаменателе. I n p dt n p ln t q n p ln p q q t q t q q p q. 4 случай:, знак + в знаменателе. В этом случае первообразная такая же, как и в первом случае, только перед интегралом появится знак минус. n p p I rctg q q 6. I I I

8 ~ 8 ~ Интегрирование иррационального выражения h. c Алгоритм решения c p q. Выделяется полный квадрат из подкоренного выражения:. h h I d d c p q. 3. Замена: t p; d dt случай:, знак I h t q h h h I dt ln t t q ln p p q t q случай:, знак в знаменателе. h h rcsin t h rcsin I dt p q t q 3 случай:, знак + в знаменателе. Первообразной не существует, т.к. подкоренное выражение отрицательное. 4. Прибавляем к одной из первообразных произвольную постоянную. dt

9 . Выделяем полный квадрат. c p q. ~ 9 ~ Интегрирование иррационального выражения n c, где,, c,, n const n n t p tn I d d c p q t q Замена: t p, t p; d dt 3. Разбиваем на сумму двух интегралов. t n p I dt dt t q t q 4. Вычислим I. I I t t du u I dt u du t q p q t q t du Замена: u t q ; du tdt; dt t n p dt 5. Вычислим I : I t q случай:, знак в знаменателе. n p dt n p n p I ln t t q ln p p q t q случай:, знак в знаменателе. n p dt n p rcsin t n I p rcsin p q t q q 3 случай:, знак + в знаменателе. Первообразной не существует, т.к. подкоренное выражение отрицательное. 6. I I I.

10 ~ ~ Интегрирование иррационального выражения c Алгоритм решения. ; c p q I cd p q d ; ;. замена: 3., знак t p dt d I t q dt Интегрируем по частям: I t q dt I t q dt t I uv vdu; u t q du dt; dv dt v t t q I I t dt t q q I t t q I t t q dt t q t q Разобьѐм на интеграла. dt I t t q t q dt q I t t q I q ln t t q t q ln ln I t t q q t t q I t t q q t t q I p p q q ln p p q 4., знак I q t dt t t q u u dt q udu. q Применяем тригонометрическую подстановку: sin rcsin ; cos I q sin uq cosudu q sin u cosudu q cos udu q q q du u cos u sin u t t rcsin sin rcsin q q q p p I rcsin sin rcsin q q

11 ~ ~ Разложение рациональной дроби на простейшие и еѐ интегрирование. Pn Дано: Q, где P, n Q - многочлены степени n и, причѐм n, в противном случае необходимо разделить многочлены, выделить целую часть и правильную рациональную дробь. случай: корни многочлена знаменателя действительные. Замечание: Кратность корня показывает, сколько раз повторяется одно и то же значение корня. Пусть: -первый корень, с кратностью k ; - с кратностью k l - с кратностью k l В первом случае исходная дробь раскладывается на простейшие по следующей формуле: Pn A B C D E F k k Q Q H I... k n n n n A, B, C... неизвестные коэффициенты, которые находятся по следующей схеме: ) Правая часть, разложение (), приводится к общему знаменателю, в качестве которого буде выступать многочлен Q. ) Приравниваем многочлены числителей, стоящих в левой и правой части. 3) Приравниваем коэффициенты перед одинаковыми степенями у многочленов левой и правой части. В результате получится система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A, B, C... Решаем эту систему, находим неизвестные коэффициенты. Найденные коэффициенты A, B, C... подставляются в разложение () и интеграл от исходной рациональной дроби вычисляется через сумму интегралов от каждой из построенных дробей разложения. k Pn A B C B C d d d d A k Q k ln Пример: I 4 3 d 4 A B C 3 3 A A A B B B C C

12 ~ ~ A B A B C 4 5 A B C А 3 B C = -8 8 I 3 d d 8 d. 3ln 3 ln I ln 3 случай: Многочлен знаменателя имеет только комплексные корни. В этом случае исходная дробь раскладывается на простейшие по следующей формуле: Pn A B C B E F... k Q p q p q p q для первой парыкомплексныхкорней. H Q I K L M p q p q p q длявторой парыкомплексныхкорней. Замечание: Если многочлен знаменателя имеет и действительные и комплексные корни, то в этом случае формула разложения складывается и первой и второй формулы. Замечание: Для второго случая коэффициенты A, B, C... находятся также как и для первого случая. k () Пример: I A B C d A A A B B C C A B A B C A C А 7 B 7 C= 7 I ln 7 d d d I ln 7 7 d

13 Замена: ~ 3 ~ t t d dt t t I ln dt 7 7 I ln 3 dt dt 3 3 t 7 7 t t du Еще одна замена: u t du tdt dt t I ln du rctg 4 t 7 u 3 3 t 3 t 3 I ln du rctg 7 u I ln ln u rctg t 3 I ln ln t rctg I ln ln rctg I ln rctg Универсальная тригонометрическая подстановка. Эта подстановка применяется, если подынтегральная функция содержит синус и косинус. Универсальная подстановка имеет следующий вид: ; sin t ; cos t dt t tg rctgt; d t t t : cos sin cos tg : cos cos sin tg sin ; cos sin cos : cos tg sin cos : cos tg d I sin dt I t dt ln t ln tg C t t t Пример:

14 ~ 4 ~ Интегрирование целых положительных нечетных степеней синуса и косинуса. Дано: sin ; cos I d I d Этапы решения:. Нечѐтная степень разбивается на чѐтную и первую степени соответствующих функций. I sin sin d; I cos cos d. Чѐтная степень представляется в виде второй и - ной степени. I sin sin d; I cos cos d 3. Используя основное тригонометрическое тождество, представляем: sin cos I cos sin d cos sin I sin cos d 4. Замена: I t cos dt sin d; I t sin dt cos d ; I t dt I t dt 5. Возведение в любую степень выражения вида: 3..! 3! 4 6 t t I t... t dt 6 3 t I t t t... t I sin sin sin sin... sin I cos cos cos cos... cos Пример: I sin d 4 I sin sin d sin sin d cos sin d 4 Замена: t cos dt sind I t dt t t dt cos cos t t cos I t C

15 ~ 5 ~ Интегрирование целых положительных чѐтных степеней синуса и косинуса. Этапы решения: Дано: sin ; cos I d I d. Чѐтная степени представляется в виде второй и -ной степени. sin ; cos I d I d. Используется формула удвоения аргумента: cos cos sin I cos cos cos I d I cos d; I cos d 3. Возведение в любую степень и интегрирование: cos 3 cos I cos... cos d 6 sin cos 4 d sin cos d... cos d 6 Замечание: Начиная с третьего слагаемого, интеграл содержит чередование чѐтных и нечѐтных степеней косинуса. Чѐтные степени интегрируются по методике этого вопроса, нечѐтные степени по методике предыдущего вопроса. Замечание: В интеграле I все знаки будут противоположные. 6 Пример: I sin d 3 3 I sin d cos 4 d 3cos 4 3cos 4 cos d 8 3 I d 3 cos 4d + cos8 d sin 4cos4 d Замена: t sin 4 dt 4cos 4d I sin4 + sin8 + t dt d

16 ~ 6 ~ t I sin4 + sin8 + t sin 4 I sin4 + sin 8 + sin I sin4 + sin 8 + sin Интегралы не имеющие первообразных в элементарных функциях Интеграл вероятности: I e d Интегральный синус: I sin d Интегральный косинус: cos I d

17 ~ 7 ~ Понятие и геометрический смысл определѐнного интеграла. Понятие определѐнного интеграла выведем на примере вычисления площади криволинейной трапеции. y y f B A f n f f i i i Дано: y f, Определить: SAB? AB криволинейная трапеция. -непрерывна на отрезке n n Решение. Разобьѐм отрезок, на n частей, длиной i. Через границы каждой части проводим прямые параллельные оси ординат, в результате чего криволинейная трапеция разбивается также на n частей. Внутри каждой части выбираем произвольную точку i и вычисляем значение функции выбранной точки f i. Площадь каждой части криволинейной трапеции приближѐнно заменяем площадью прямоугольника со сторонами и f. Тогда площадь каждой части S f i Площадь всей криволинейной трапеции приближенно: i n S f получим, если число участков стремится к бесконечности: li i n i S f n i i i i i i. Точное число Определение: Определѐнным интегралом называется предел, составленной интегральной суммы, если этот предел не зависит от способа разбиения на участки и выбора точек внутри каждого участка. Обозначение определѐнного интеграла: S f d li f i i, где, нижняя n n i верхняя границы отрезка интегрирования, называемые нижним и верхним пределами интегрирования. i

18 ~ 8 ~ войства определѐнного интеграла.. Определѐнный интеграл от константы равен самой этой константе, умноженной на длину отрезка интегрирования. cd li c c li c i n n i i. Константу можно выносить за знак определѐнного интеграла. li li cf d cf c f c f d i i i i n n n i 3. Определѐнный интеграл от суммы двух функций равен сумме определѐнных интегралов, вычисленных от каждой функции в отдельности. li f f d f f i i i n i n n n li li f f f d f d i i i i n n i i 4. Если для двух функций выполняется следующее неравенство f f, то для определѐнных интегралов, вычисленных от этих функций на одном и том же отрезке интегрирования, выполняется тот же знак неравенства. Вычислим разность интегралов: 3свойство f d f d f f d f d fd 5. Оценка интеграла снизу и сверху. Если на отрезке функция, f имеет соответственно in и M значения, то определѐнный интеграл лежит в следующих пределах: f d M По условию: f M. Вычислим определѐнный интеграл от каждой части этого неравенства. d f Md f d M n i

19 6.Теорема о среднем. Теорема: Если функция выполняется следующее равенство: ~ 9 ~ f непрерывна,, то f d f Доказательство:, в которой, По пятому свойству имеем f d M. По свойствам непрерывных функций на отрезке, непрерывная функция на этом отрезке обязательно имеет in и значение. f M M f d Всегда можно подобрать из бесчисленного множества значение,, при котором будут равны средние части этих неравенств. f d f f d f 7.При смене мест пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный: f d f d число Это свойство следует из того, что для интеграла стоящего в правой части будет отрицательный. 8.Разбиение отрезка интегрирования на части. Для любых чисел c,, выполняется следующее неравенство: случай: c,, n n n c f d f d f d c n n n c li li li f d f f f f d f d i i i i i i n n n i i i c случай: c, c c по случаю: f d f d f d c c c с f d f d f d f d f d c 7свойство c

20 ~ ~ Определѐнный интеграл с переменным верхним пределом. t f d I t, const, t -переменная, t,. Замечание: определѐнный интеграл с переменным верхним пределом является функцией этого верхнего предела. Теорема: Определѐнный интеграл с переменным верхним пределом от функции является первообразной от этой функции, т.е. I t F t. Доказательство. требуется доказать, что F ' t I ' t f t tt t t tt t I I ' t li ; I I t t I t f d f d f d f d f d t t tt. tt, t t; t ; t t I ' t li f t f t I ' t f d f t t t t f t t t Значит It является первообразной от f t, значит мы имеем бесчисленное множество первообразных отличающихся друг от друга на величину c, значит t. F t f dt c t f Вычислим значение функции Формула Ньютона-Лейбница. Дано: t F t f dt c Ft на границах отрезка F f d c c F., Замечание: Определѐнный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю. f d F F - формула Ньютона-Лейбница. F f d F Правило: Определѐнный интеграл на, равен приращению первообразной на этом же отрезке. f d F

21 ~ ~ Методы вычисления определѐнного интеграла. Замена переменных в t d ' t dt f d f t ' t dt; Замечание: При замене переменных в определѐнном интеграле обязательно меняются пределы интегрирования. Для нахождения новых пределов интегрирования tв, t н необходимо подставить вместо формулу замены t старые пределы интегрирования.,, т.е. tн; tв Вычислим значение интегралов левой и правой части по формуле Ньютона- Лейбница. tв tн f d F F t в ' в н f t t dt F t F t F t F F tн Получилось одно и тоже выражение, значит формула замены верна. Замечание: При замене переменных в определѐнном интеграле обратная замена не осуществляется т.к. результатом этого интеграла является число. t tн Интегрирование по частям. Вычислим дифференциал произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций: d uv vdu udv Проинтегрируем левую и правую части: ( ) d uv uv udv vdu udv uv vdu - формула интегрирования по частям.

22 ~ ~ Определѐнный интеграл на отрезке симметричном относительно нуля. 8eсвойство f d f d f d I I I I I Для того чтобы исследовать поведение интеграла на чѐтность и нечѐтность осуществим замену переменной. t; d dt; t t ; t t, случай: f - нечѐтная. н н в в I f t dt f t dt f d I I I I f t dt интеграл на отрезке симметричном относительно нуля от нечѐтной функции равен нулю. случай: f - чѐтная. интеграл на отрезке симметричном I f t dt f d I I I I относительно нуля от чѐтной функции равен двум интегралам на половинном отрезке.

23 ~ 3 ~ Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования и теоремы сравнения для него. Определение: Несобственный интеграл называется сходящимся, если результат его конечное число и расходящимся, если результат его бесконечен. случай: li f d f d y Пример. d d li d li li случай: li f d f d y f d f d f d f d li f d 3 случай: li

24 Теорема : Пример. ~ 4 ~ Теоремы сравнения. для двух непрерывных функций выполняется неравенство, и несобственный интеграл I f сходится интеграл I d 3 e I f d, при чѐм I I f ( ) ( ) 3 e Из примера сходится I по теореме I - сходится.. d - сходится, то Теорема : Если для двух непрерывных функций выполняется неравенство f и I - расходится, то расходится интеграл I Пример 3. I d 3 f ; I d li d li li 3 3 теореме I - расходится. Теорема 3: Если сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл I sin d Пример 4: I sin sin I d f I d сходится I по теореме 3 сходится I сходится. по теореме

25 ~ 5 ~ Несобственный интеграл от разрывной функции и теоремы сравнения для него. Дано: Функция f( ) на отрезке интегрирования, имеет точку с - т. разрыва рода. случай: c y f Пример. d f d li f d d li li li - сходится. d случай c. y f 3 случай: c, y f d li f d f c c li li f d f d f d

26 Пример. d I ~ 6 ~ I li d li d li li li li расходится. Теоремы сравнения. Теорема : Если для двух функций является точкой разрыва и для этих функций выполняется неравенство f, и несобственный интеграл Пример 3. I I d - сходится, то сходится интеграл I f d, при чѐм I I d f ( ) ( ), т.к., [,] из примера I по теореме I - сходится. Теорема : Если для двух функций является точкой разрыва и для этих функций выполняется неравенство f и I -расходится, то расходится интеграл I Пример 4. I d f ( ) ( ) из примера I по теореме I - расходится. Теорема 3: Если является точкой разрыва сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл I Пример 5: I I sin d sin sin d f х х I d х сходится по теореме сходится I по теореме 3 сходится I из примера

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Первообразная функция Определение: Функция F называется первообразной функцией функции на отрезке [, ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Материалы для подготовки

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ АН Дук ЕГ Ткаченко НВ Целуйко ГМ Бартенев ВВ Толстой ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Разделы: Дифференциальное исчисление

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Глава 1. Основы математического анализа

ОГЛАВЛЕНИЕ. Глава 1. Основы математического анализа ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава. Основы математического анализа. Основные понятия математического анализа. Функция, способы задания функции. Предел функции. Производная функции 5. Дифференциал функции 6.

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНК- ЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНК- ЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕ- РАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, ОПТИКИ УНИВЕР- МЕХАНИКИ И ИА ЛАПИН ЛС РАТАФЬЕВА

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений.....интегрирование иррациональностей..... Интегрирование тригонометрических

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл 6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Второй семестр Лектор проф ВГЧирский

Подробнее

РАЗДЕЛ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ

РАЗДЕЛ 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ РАЗДЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ТЕМА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА... Функции и операции над функциями Категория функция является фундаментальной категорией всей математики.

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной

Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной Московский Государственный Университет Природообустройства А А Полежаев Лекции по интегральному исчислению Случай одной переменной Москва ISBN МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Содержание тем учебного курса 1. Функции и их графики (14 часов, из них 1 час контрольная работа) Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4)

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИ Лобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Курс лекций Рекомендовано методической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 080100.62 - «Статистика» Основная цель практических занятий способствовать усвоению

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов Тематическое планирование по алгебре 11а класса 2011 2012 у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов I полугодие [1 неделя] [1 2] Контрольная работа по курсу 10 класса [3 5] Первообразная. Неопределенный

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее