Неопределенный и определенный интегралы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Неопределенный и определенный интегралы"

Транскрипт

1 ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим соотношением: F ' f. Теорема : Если F первообразная от f, то F c также является первообразной от этой функции c const. Доказательство F F ' f f F -первообразная. f Теорема : Если одна и та же функция имеет две первообразные, то они отличаются друг от друга на величину произвольной постоянной. Доказательство F F ' F ' F ' f f ' - произвольная константа. Определение: Неопределѐнным интегралом называется бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на величину произвольной постоянной. Обозначение: f d F f - подынтегральная функция, f d - подынтегральное выражение.

2 ~ ~ войства неопределѐнного интеграла.. Производная от интеграла равна подынтегральной функции. ' ' f d F c F ' f. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению. d f d f d ' d f d 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. df F ' d f d F ледствие: d 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. f d f d, const. Доказательство: Вычислим производную от левой и правой части: f d ' f ' ' f d f d f. Получили одно и то же выражение, значит формула четвѐртого свойства верна. 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов вычисленных от каждой из этих функций. f f d f d f d Доказательство: f f d ' f f f d f d' f d' f d' f f Получили одно и то же выражение, значит формула пятого свойства верна. 6. Если аргумент подынтегральной функции в свою очередь является линейной f d F c функцией, то интеграл вычисляется по формуле: Доказательство: F c F ' f '

3 ~ 3 ~ Таблица неопределѐнных интегралов. n n d n d C ln sin хd cos cos d sin cos d rctg sin e d e C d tg c d ctg c Доказательство d ln d rcsin c d rcsin d ln ln rcsin ' ' rctg ' d rctg ln ' d ln d ln Аналогично tg d sin ln cos ln cos ' tg cos ctg d cos ln sin ln sin ' c tg sin Пример: 5 ln sin 5 ctg d 5

4 ~ 4 ~ Замена переменных в неопределѐнном интеграле. Целью замены переменных является преобразование подынтегральной функции так, чтобы получить один из табличных интегралов. f d f t ' tdt Замена: t; d ' td Для доказательства формулы вычислим производную от левой и правой части по одной и той же переменной. f d ' f f t ' tdt f t ' t t f t ' tdt ' f t f ' t ' t Используем функцию произвольной параметрической функции: y ' t y ' f t f t ' Правила замены переменных. Правило : Если подынтегральная функция представлена в виде произведения сложной и элементарной функцией, то в качестве новой переменной t выбирается аргумент сложной функции так, чтобы производная от него была пропорциональна элементарной функции. t dt t t e d e e dt e e c sin dt sin cos cos Пример: sin sin Замена: t cos ; dt sin d d Замечание: После получения первообразной, при замене переменных, осуществляется обратная замена переменных. Правило : Если подынтегральная функция содержит одно из следующих выражений, то применяется одна из следующих формул замены: ) sin ) 3) t sin t tgt d costdt cost d dt sin t d dt cos t Обратная замена: t rcsin t rcsin t rctg Замечание: Указанные формулы замены носят название тригонометрическая подстановка.

5 ~ 5 ~ Интегрирование по частям неопределѐнного интеграла. Интегрирование по частям применяется, если подынтегральная функция представлена в виде произведения двух элементарных функций, входящих в состав табличных. Вычислим дифференциал произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций: d uv vdu udv. Проинтегрируем левую и правую части: d uv uv vdu udv udv uv vdu - формула интегрирования по частям. лучаи интегрирования по частям.. Если подынтегральная функция представлена в виде произведения многочлена n -ой степени Pn и элементарной функции f, входящей в состав табличных, то: u Pn du Pn' d; dv f d v f d Замечание: В этом случае формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена.. Если подынтегральная функция содержит одну из следующих элементарных функций ln, rcsin, rccos, rctg, то в формуле интегрирования по частям в качестве u выбирается одна из указанных функций, в качестве dv все остальные, входящие в подынтегральное выражение. Замечание: Если подынтегральная функция представлена только одной из указанных функций, то dv d v. 3. Если подынтегральная функция представлена в одном из следующих видов: sin c, cos c, sin cos c, то формула интегрирования по частям применяется раза. В результате чего в левой и правой частях получится искомый интеграл, который находится из решений полученного уравнения, как уравнение с одним неизвестным. 4. Пример: I e sin d cos u e du e d; dv sin d V sin cos sin I e cos e d; u e du e d; dv cos d v sin I e cos e sin cos sin e d I e e I 4 4 I I e cos sin ; I e cos sin 4 5

6 ~ 6 ~ Интегрирование рациональных выражений. h hln d h d ; h h и где h const,,, k k h Замечание: Если интегралы представлены в виде: G ( ) k k h h d k Pn ( ) d, (n >) или d, ( > k), то по правилу деления столбиком многочлен числителя делится k на многочлен знаменателя, выделяется целая часть в виде многочлена соответственно n или k степени и одна из рассмотренных правильных дробей. Пример: 5 63 I d / I d Ln Ln = C 4 4 6

7 ~ 7 ~ Интегрирование рационального выражения: n,, c,, n const c Алгоритм решения. Выделяем полный квадрат из знаменателя ; c p q 4 c c c c Введѐм обозначение: c p q n n t p n. I d d c p q t q Замена: t p t p d dt. 3. Разобьѐм интеграл на сумму двух интегралов. t p n I dt dt t q t q I I I : t t du du I dt ln u t q u t u u t q du du tdt dt I ln t q ln p q t I : n p I dt t q, знак + в знаменателе: n p n p t n p p I dt rctg rctg q t q q q q, знак в знаменателе. I n p dt n p t q n p p q ln ln t q q t q q p q 4. Вычислим интеграл Замена:, 5. Вычислим интеграл случай: случай: 3 случай:, знак в знаменателе. I n p dt n p ln t q n p ln p q q t q t q q p q. 4 случай:, знак + в знаменателе. В этом случае первообразная такая же, как и в первом случае, только перед интегралом появится знак минус. n p p I rctg q q 6. I I I

8 ~ 8 ~ Интегрирование иррационального выражения h. c Алгоритм решения c p q. Выделяется полный квадрат из подкоренного выражения:. h h I d d c p q. 3. Замена: t p; d dt случай:, знак I h t q h h h I dt ln t t q ln p p q t q случай:, знак в знаменателе. h h rcsin t h rcsin I dt p q t q 3 случай:, знак + в знаменателе. Первообразной не существует, т.к. подкоренное выражение отрицательное. 4. Прибавляем к одной из первообразных произвольную постоянную. dt

9 . Выделяем полный квадрат. c p q. ~ 9 ~ Интегрирование иррационального выражения n c, где,, c,, n const n n t p tn I d d c p q t q Замена: t p, t p; d dt 3. Разбиваем на сумму двух интегралов. t n p I dt dt t q t q 4. Вычислим I. I I t t du u I dt u du t q p q t q t du Замена: u t q ; du tdt; dt t n p dt 5. Вычислим I : I t q случай:, знак в знаменателе. n p dt n p n p I ln t t q ln p p q t q случай:, знак в знаменателе. n p dt n p rcsin t n I p rcsin p q t q q 3 случай:, знак + в знаменателе. Первообразной не существует, т.к. подкоренное выражение отрицательное. 6. I I I.

10 ~ ~ Интегрирование иррационального выражения c Алгоритм решения. ; c p q I cd p q d ; ;. замена: 3., знак t p dt d I t q dt Интегрируем по частям: I t q dt I t q dt t I uv vdu; u t q du dt; dv dt v t t q I I t dt t q q I t t q I t t q dt t q t q Разобьѐм на интеграла. dt I t t q t q dt q I t t q I q ln t t q t q ln ln I t t q q t t q I t t q q t t q I p p q q ln p p q 4., знак I q t dt t t q u u dt q udu. q Применяем тригонометрическую подстановку: sin rcsin ; cos I q sin uq cosudu q sin u cosudu q cos udu q q q du u cos u sin u t t rcsin sin rcsin q q q p p I rcsin sin rcsin q q

11 ~ ~ Разложение рациональной дроби на простейшие и еѐ интегрирование. Pn Дано: Q, где P, n Q - многочлены степени n и, причѐм n, в противном случае необходимо разделить многочлены, выделить целую часть и правильную рациональную дробь. случай: корни многочлена знаменателя действительные. Замечание: Кратность корня показывает, сколько раз повторяется одно и то же значение корня. Пусть: -первый корень, с кратностью k ; - с кратностью k l - с кратностью k l В первом случае исходная дробь раскладывается на простейшие по следующей формуле: Pn A B C D E F k k Q Q H I... k n n n n A, B, C... неизвестные коэффициенты, которые находятся по следующей схеме: ) Правая часть, разложение (), приводится к общему знаменателю, в качестве которого буде выступать многочлен Q. ) Приравниваем многочлены числителей, стоящих в левой и правой части. 3) Приравниваем коэффициенты перед одинаковыми степенями у многочленов левой и правой части. В результате получится система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A, B, C... Решаем эту систему, находим неизвестные коэффициенты. Найденные коэффициенты A, B, C... подставляются в разложение () и интеграл от исходной рациональной дроби вычисляется через сумму интегралов от каждой из построенных дробей разложения. k Pn A B C B C d d d d A k Q k ln Пример: I 4 3 d 4 A B C 3 3 A A A B B B C C

12 ~ ~ A B A B C 4 5 A B C А 3 B C = -8 8 I 3 d d 8 d. 3ln 3 ln I ln 3 случай: Многочлен знаменателя имеет только комплексные корни. В этом случае исходная дробь раскладывается на простейшие по следующей формуле: Pn A B C B E F... k Q p q p q p q для первой парыкомплексныхкорней. H Q I K L M p q p q p q длявторой парыкомплексныхкорней. Замечание: Если многочлен знаменателя имеет и действительные и комплексные корни, то в этом случае формула разложения складывается и первой и второй формулы. Замечание: Для второго случая коэффициенты A, B, C... находятся также как и для первого случая. k () Пример: I A B C d A A A B B C C A B A B C A C А 7 B 7 C= 7 I ln 7 d d d I ln 7 7 d

13 Замена: ~ 3 ~ t t d dt t t I ln dt 7 7 I ln 3 dt dt 3 3 t 7 7 t t du Еще одна замена: u t du tdt dt t I ln du rctg 4 t 7 u 3 3 t 3 t 3 I ln du rctg 7 u I ln ln u rctg t 3 I ln ln t rctg I ln ln rctg I ln rctg Универсальная тригонометрическая подстановка. Эта подстановка применяется, если подынтегральная функция содержит синус и косинус. Универсальная подстановка имеет следующий вид: ; sin t ; cos t dt t tg rctgt; d t t t : cos sin cos tg : cos cos sin tg sin ; cos sin cos : cos tg sin cos : cos tg d I sin dt I t dt ln t ln tg C t t t Пример:

14 ~ 4 ~ Интегрирование целых положительных нечетных степеней синуса и косинуса. Дано: sin ; cos I d I d Этапы решения:. Нечѐтная степень разбивается на чѐтную и первую степени соответствующих функций. I sin sin d; I cos cos d. Чѐтная степень представляется в виде второй и - ной степени. I sin sin d; I cos cos d 3. Используя основное тригонометрическое тождество, представляем: sin cos I cos sin d cos sin I sin cos d 4. Замена: I t cos dt sin d; I t sin dt cos d ; I t dt I t dt 5. Возведение в любую степень выражения вида: 3..! 3! 4 6 t t I t... t dt 6 3 t I t t t... t I sin sin sin sin... sin I cos cos cos cos... cos Пример: I sin d 4 I sin sin d sin sin d cos sin d 4 Замена: t cos dt sind I t dt t t dt cos cos t t cos I t C

15 ~ 5 ~ Интегрирование целых положительных чѐтных степеней синуса и косинуса. Этапы решения: Дано: sin ; cos I d I d. Чѐтная степени представляется в виде второй и -ной степени. sin ; cos I d I d. Используется формула удвоения аргумента: cos cos sin I cos cos cos I d I cos d; I cos d 3. Возведение в любую степень и интегрирование: cos 3 cos I cos... cos d 6 sin cos 4 d sin cos d... cos d 6 Замечание: Начиная с третьего слагаемого, интеграл содержит чередование чѐтных и нечѐтных степеней косинуса. Чѐтные степени интегрируются по методике этого вопроса, нечѐтные степени по методике предыдущего вопроса. Замечание: В интеграле I все знаки будут противоположные. 6 Пример: I sin d 3 3 I sin d cos 4 d 3cos 4 3cos 4 cos d 8 3 I d 3 cos 4d + cos8 d sin 4cos4 d Замена: t sin 4 dt 4cos 4d I sin4 + sin8 + t dt d

16 ~ 6 ~ t I sin4 + sin8 + t sin 4 I sin4 + sin 8 + sin I sin4 + sin 8 + sin Интегралы не имеющие первообразных в элементарных функциях Интеграл вероятности: I e d Интегральный синус: I sin d Интегральный косинус: cos I d

17 ~ 7 ~ Понятие и геометрический смысл определѐнного интеграла. Понятие определѐнного интеграла выведем на примере вычисления площади криволинейной трапеции. y y f B A f n f f i i i Дано: y f, Определить: SAB? AB криволинейная трапеция. -непрерывна на отрезке n n Решение. Разобьѐм отрезок, на n частей, длиной i. Через границы каждой части проводим прямые параллельные оси ординат, в результате чего криволинейная трапеция разбивается также на n частей. Внутри каждой части выбираем произвольную точку i и вычисляем значение функции выбранной точки f i. Площадь каждой части криволинейной трапеции приближѐнно заменяем площадью прямоугольника со сторонами и f. Тогда площадь каждой части S f i Площадь всей криволинейной трапеции приближенно: i n S f получим, если число участков стремится к бесконечности: li i n i S f n i i i i i i. Точное число Определение: Определѐнным интегралом называется предел, составленной интегральной суммы, если этот предел не зависит от способа разбиения на участки и выбора точек внутри каждого участка. Обозначение определѐнного интеграла: S f d li f i i, где, нижняя n n i верхняя границы отрезка интегрирования, называемые нижним и верхним пределами интегрирования. i

18 ~ 8 ~ войства определѐнного интеграла.. Определѐнный интеграл от константы равен самой этой константе, умноженной на длину отрезка интегрирования. cd li c c li c i n n i i. Константу можно выносить за знак определѐнного интеграла. li li cf d cf c f c f d i i i i n n n i 3. Определѐнный интеграл от суммы двух функций равен сумме определѐнных интегралов, вычисленных от каждой функции в отдельности. li f f d f f i i i n i n n n li li f f f d f d i i i i n n i i 4. Если для двух функций выполняется следующее неравенство f f, то для определѐнных интегралов, вычисленных от этих функций на одном и том же отрезке интегрирования, выполняется тот же знак неравенства. Вычислим разность интегралов: 3свойство f d f d f f d f d fd 5. Оценка интеграла снизу и сверху. Если на отрезке функция, f имеет соответственно in и M значения, то определѐнный интеграл лежит в следующих пределах: f d M По условию: f M. Вычислим определѐнный интеграл от каждой части этого неравенства. d f Md f d M n i

19 6.Теорема о среднем. Теорема: Если функция выполняется следующее равенство: ~ 9 ~ f непрерывна,, то f d f Доказательство:, в которой, По пятому свойству имеем f d M. По свойствам непрерывных функций на отрезке, непрерывная функция на этом отрезке обязательно имеет in и значение. f M M f d Всегда можно подобрать из бесчисленного множества значение,, при котором будут равны средние части этих неравенств. f d f f d f 7.При смене мест пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный: f d f d число Это свойство следует из того, что для интеграла стоящего в правой части будет отрицательный. 8.Разбиение отрезка интегрирования на части. Для любых чисел c,, выполняется следующее неравенство: случай: c,, n n n c f d f d f d c n n n c li li li f d f f f f d f d i i i i i i n n n i i i c случай: c, c c по случаю: f d f d f d c c c с f d f d f d f d f d c 7свойство c

20 ~ ~ Определѐнный интеграл с переменным верхним пределом. t f d I t, const, t -переменная, t,. Замечание: определѐнный интеграл с переменным верхним пределом является функцией этого верхнего предела. Теорема: Определѐнный интеграл с переменным верхним пределом от функции является первообразной от этой функции, т.е. I t F t. Доказательство. требуется доказать, что F ' t I ' t f t tt t t tt t I I ' t li ; I I t t I t f d f d f d f d f d t t tt. tt, t t; t ; t t I ' t li f t f t I ' t f d f t t t t f t t t Значит It является первообразной от f t, значит мы имеем бесчисленное множество первообразных отличающихся друг от друга на величину c, значит t. F t f dt c t f Вычислим значение функции Формула Ньютона-Лейбница. Дано: t F t f dt c Ft на границах отрезка F f d c c F., Замечание: Определѐнный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю. f d F F - формула Ньютона-Лейбница. F f d F Правило: Определѐнный интеграл на, равен приращению первообразной на этом же отрезке. f d F

21 ~ ~ Методы вычисления определѐнного интеграла. Замена переменных в t d ' t dt f d f t ' t dt; Замечание: При замене переменных в определѐнном интеграле обязательно меняются пределы интегрирования. Для нахождения новых пределов интегрирования tв, t н необходимо подставить вместо формулу замены t старые пределы интегрирования.,, т.е. tн; tв Вычислим значение интегралов левой и правой части по формуле Ньютона- Лейбница. tв tн f d F F t в ' в н f t t dt F t F t F t F F tн Получилось одно и тоже выражение, значит формула замены верна. Замечание: При замене переменных в определѐнном интеграле обратная замена не осуществляется т.к. результатом этого интеграла является число. t tн Интегрирование по частям. Вычислим дифференциал произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций: d uv vdu udv Проинтегрируем левую и правую части: ( ) d uv uv udv vdu udv uv vdu - формула интегрирования по частям.

22 ~ ~ Определѐнный интеграл на отрезке симметричном относительно нуля. 8eсвойство f d f d f d I I I I I Для того чтобы исследовать поведение интеграла на чѐтность и нечѐтность осуществим замену переменной. t; d dt; t t ; t t, случай: f - нечѐтная. н н в в I f t dt f t dt f d I I I I f t dt интеграл на отрезке симметричном относительно нуля от нечѐтной функции равен нулю. случай: f - чѐтная. интеграл на отрезке симметричном I f t dt f d I I I I относительно нуля от чѐтной функции равен двум интегралам на половинном отрезке.

23 ~ 3 ~ Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования и теоремы сравнения для него. Определение: Несобственный интеграл называется сходящимся, если результат его конечное число и расходящимся, если результат его бесконечен. случай: li f d f d y Пример. d d li d li li случай: li f d f d y f d f d f d f d li f d 3 случай: li

24 Теорема : Пример. ~ 4 ~ Теоремы сравнения. для двух непрерывных функций выполняется неравенство, и несобственный интеграл I f сходится интеграл I d 3 e I f d, при чѐм I I f ( ) ( ) 3 e Из примера сходится I по теореме I - сходится.. d - сходится, то Теорема : Если для двух непрерывных функций выполняется неравенство f и I - расходится, то расходится интеграл I Пример 3. I d 3 f ; I d li d li li 3 3 теореме I - расходится. Теорема 3: Если сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл I sin d Пример 4: I sin sin I d f I d сходится I по теореме 3 сходится I сходится. по теореме

25 ~ 5 ~ Несобственный интеграл от разрывной функции и теоремы сравнения для него. Дано: Функция f( ) на отрезке интегрирования, имеет точку с - т. разрыва рода. случай: c y f Пример. d f d li f d d li li li - сходится. d случай c. y f 3 случай: c, y f d li f d f c c li li f d f d f d

26 Пример. d I ~ 6 ~ I li d li d li li li li расходится. Теоремы сравнения. Теорема : Если для двух функций является точкой разрыва и для этих функций выполняется неравенство f, и несобственный интеграл Пример 3. I I d - сходится, то сходится интеграл I f d, при чѐм I I d f ( ) ( ), т.к., [,] из примера I по теореме I - сходится. Теорема : Если для двух функций является точкой разрыва и для этих функций выполняется неравенство f и I -расходится, то расходится интеграл I Пример 4. I d f ( ) ( ) из примера I по теореме I - расходится. Теорема 3: Если является точкой разрыва сходится интеграл от модуля функции, то сходится интеграл I Пример 5: I I sin d sin sin d f х х I d х сходится по теореме сходится I по теореме 3 сходится I из примера


3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.2 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция. Аннотация Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию.

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Задача о площади криволинейной трапеции =f() B A f(ξ i ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ i ξ 1 2 i-1 i S k 1 f ( ) k Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 8.. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница В главе 7 рассмотрели процесс интегрирования, который Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм 646-76 немецкий философ, математик,

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д.

Математический анализ Часть 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие. Н.Д. Математический анализ Часть. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Глава 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций Теперь мы научимся решать

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. СУШКО ВИЩА МАТЕМАТИКА Частина IV Друкується за Планом навчальної та методичної

Подробнее

Методы вычисления определённых интегралов

Методы вычисления определённых интегралов Занятие 7 Методы вычисления определённых интегралов Понятие определенного интеграла f(x) функции y = f(x), определенной на отрезке [ ; b ], является одним из центральных в математическом анализе. Конструкция

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. http://www.tpu.ru/ Национальный исследовательский

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Работу выполила преподаватель высшей квалификационной категории Беккер М.С. Кисловодск 2010 год

Работу выполила преподаватель высшей квалификационной категории Беккер М.С. Кисловодск 2010 год Министерство здравоохранения Ставропольского края Государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования Ставропольского края «Кисловодский медицинский колледж» Методическое

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Программа, методические указания и контрольные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Интегральное исчисление Составила: Миргородская Ирина

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Е В НОВАК Т В РЯЗАНОВА И В НОВАК ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие МИНИТЕРТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.М. СИРОШ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций Математический анализ_- уч.год ТЕМА. Пределы последовательностей и функций Если lim ( ), то функция (х) называется бесконечно большой функцией в точке х= бесконечно малой функцией в точке х= постоянной

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Содержание. В2-05, В2-12 Весна Условные обозначения 2

Содержание. В2-05, В2-12 Весна Условные обозначения 2 В-5, В-1 Весна 8 Содержание Условные обозначения 1. Неопределённый интеграл 3 1.1. Понятия первообразной и неопределённого интеграла............... 3 1.. Основные свойства неопределённого интеграла...................

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ а В -а а А -а Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический

Подробнее

MATHCAD В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

MATHCAD В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра высшей математики MATHCAD В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее