Дополнительный материал. Степенные вычеты. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Дополнительный материал. Степенные вычеты. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней"

Транскрипт

1 Дополнительный материал Степенные вычеты Пусть дан модуль n и некоторое число, взаимно простое с модулем n Рассмотрим последовательность степеней, 2,, t, Найдем наименьшее число k, при котором k mod n Определение Показателем по модулю n называется наименьшее, положительное число k для которого выполняется сравнение k mod n В некоторой литературе это наименьшее число k называется показателем, которому принадлежит по модулю n В некоторой литературе число k обозначается следующим образом k = P n () Если модуль n фиксирован, то для краткости P n () обозначается через P() Пример Найти показатель, которому принадлежит 3 по модулю, те P (3) Для этого вычисляем последовательность степеней по модулю, те Ответ: P (3) = 5 3 mod 3 mod, 3 2 mod 9 mod, 3 3 mod 27 mod 5 mod, 3 4 mod (3 3 mod ) (3 mod ) (5*3) mod 4 mod, 3 5 mod (3 4 mod ) (3 mod ) 4*3 mod mod Пример Найти показатель, которому принадлежит 2 по модулю 5, те P 5 (2) Для этого вычисляем последовательность степеней по модулю 5, те 2 mod 5 2 mod 5, 2 2 mod 5 4 mod 5 4 mod 5, 2 3 mod 5 8 mod 5 8 mod 5,

2 2 4 mod 5 6 mod 5 mod 5 Ответ: P 5 (2) = 4 Теорема Если mod n b mod n, то P n () = P n (b) Теорема Если k = P n () показатель, которому принадлежит по модулю n и t mod n mod n, то k делит t, те k t Теорема Если k = P n () показатель, которому принадлежит по модулю n и φ(n) функция Эйлера, то k делит ϕ(n), те k φ(n) Теорема Пусть k = P n () показатель, которому принадлежит по модулю n Сравнение t mod n s mod n справедливо тогда и только тогда, когда t mod k s mod k Пусть дан модуль n, некоторое число, взаимно простое с модулем n, и k показатель, которому принадлежит по модулю n Рассмотрим последовательность степеней, 2,, t, Тогда справедлива следующая теорема Теорема В последовательности степеней числа все степени принадлежат k классам, представителями (вычетами) которых являются числа, 2,, k Таким образом, все степени числа принадлежат k классам, где k показатель, которому принадлежит по модулю n Пример Рассмотрим модуль 2 и число = 2 Определим показатель, которому принадлежит 2 по модулю 2 Имеем 2 mod 2 2 mod 2, 2 2 mod 2 4 mod 2, 2 3 mod 2 8 mod 2 8 mod 2, 2 4 mod 2 6 mod 2 6 mod 2,

3 2 5 mod 2 32 mod 2 mod 2, 2 6 mod 2 64 mod 2 mod 2 Итак, искомый показатель k равен 6 Отсюда следует, что все числа вида 2 t принадлежат классам [], [2], [4], [8], [], [6] Теорема Пусть k показатель, которому принадлежит по модулю n Если числа s и k взаимно просты, те (s, k) =, то k является показателем числа s по модулю n Пример Рассмотрим модуль 9 и число = 5 Определим показатель, которому принадлежит 5 по модулю 9 Имеем 5 mod 9 5 mod 9, 5 2 mod 9 25 mod 9 6 mod 9, 5 3 mod 9 25 mod 9 mod 9, 5 4 mod 9 (5 3 mod 9) (5 mod 9) 55 mod 9 7 mod 9, 5 5 mod 9 (5 4 mod 9) (5 mod 9) 85 mod 9 9 mod 9, 5 6 mod 9 (5 5 mod 9) (5 mod 9) 45 mod 9 7 mod 9, 5 7 mod 9 (5 6 mod 9) (5 mod 9) 35 mod 9 6 mod 9, 5 8 mod 9 (5 5 mod 9) (5 3 mod 9) 99 mod 9 4 mod 9, 5 9 mod 9 (5 8 mod 9) (5 mod 9) 20 mod 9 mod 9 Итак, искомый показатель k = 9 Отсюда следует, что показатели, 2, 4, 5, 7, 8 взаимно просты с k Поэтому числа 5 2 mod 9 6, 5 4 mod 9 7, 5 5 mod 9 9, 5 7 mod 9 6,

4 5 8 mod 9 4 имеют тот же показатель k по модулю 9 Теорема Пусть k показатель, которому принадлежит по простому модулю p Тогда классы [], [ 2 ],, [ k ] представляют собою все решения сравнения x k mod p Пример Пусть простой модуль равен Тогда φ() = -= 0 = 2 5 Любое число может принадлежать показателю, 2, 5 или 0, тк показатель k должен делить φ() Возьмем число 3 Найдем показатель k, которому принадлежит 3 по модулю Имеем 3 mod 3 mod, 3 2 mod 9 mod, 3 5 mod 243 mod mod Итак, k = 5 Отсюда следует, что решениями уравнения являются числом из классов x 5 mod [3], [3 2 ], [3 3 ], [3 4 ], [3 5 ] Например, решением могут быть следующие числа 3 [3], 9 [3 2 ], 5 [3 3 ], 4 [3 4 ], 2 [3 5 ] Рассмотрим при заданном модуле n все классы, взаимно простые с n Напомним, что эти классы порождаются числами от 0 до n- Заметим, что если модуль равен простому числу, то все классы взаимно просты с модулем Пусть k показатель, которому принадлежит число по модулю n Обозначим через ψ(k) число классов, взаимно простых с n, для которых показатель по модулю n равен k Пример Рассмотрим простой модуль n =, тогда значение функции Эйлера φ() = 0 Показателями k для любых чисел по модулю могут быть только делители значения функции Эйлера φ() = 0, те числа, 2, 5,

5 0 Определим для чисел, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 (те чисел, которые являются представителями классов, порожденными числом 0) показатели по модулю Заметим, тк модуль n = является простым числом, то все классы взаимно просты с n Для каждого числа от до 0 вычислим показатель по модулю Вычисляем показатель k для числа, то есть mod mod Получаем k = Вычисляем показатель k для числа 2: 2 3 mod 8 mod, 2 4 mod 6 mod 5 mod, 2 5 mod 32 mod 0 mod, 2 6 mod (2 5 mod ) (2 mod ) 20 mod 9 mod, 2 7 mod (2 6 mod ) (2 mod ) 8 mod 7 mod, 2 8 mod (2 7 mod ) (2 mod ) 4 mod 3 mod, 2 9 mod (2 8 mod ) (2 mod ) 6 mod, 2 0 mod (2 9 mod ) (2 mod ) 2 mod mod Получаем k = 0 Вычисляем показатель k для числа 3: Получаем k = mod 9 mod, 3 3 mod 27 mod 5 mod, 3 4 mod (3 3 mod ) (3 mod ) 5 mod 4 mod, 3 5 mod (3 4 mod ) (3 mod ) 2 mod mod Вычисляем показатель k для числа 4: 4 2 mod 6 mod 5 mod, 4 3 mod 64 mod 9 mod, 4 4 mod (3 3 mod ) (4 mod )

6 36 mod 3 mod, 4 5 mod (4 4 mod ) (4 mod ) 2 mod mod Получаем k = 5 Вычисляем показатель k для числа 5: 5 2 mod 25 mod 3 mod, 5 3 mod (5 2 mod ) (5 mod ) 5 mod 4 mod, 5 4 mod (5 3 mod ) (5 mod ) 20 mod 9 mod, 5 5 mod (5 4 mod ) (5 mod ) 45 mod mod Получаем k = 5 Вычисляем показатель k для числа 6: 6 2 mod 36 mod 3 mod, 6 3 mod (6 2 mod )(6 mod ) 8 mod 7 mod, 6 4 mod (6 3 mod )(6 mod ) 42 mod 9 mod, 6 5 mod (6 4 mod )(6 mod ) 54 mod 0 mod, 6 6 mod (6 5 mod ) (6 mod ) 60 mod 5 mod, 6 7 mod (6 6 mod ) (6 mod ) 30 mod 8 mod, 6 8 mod (6 7 mod ) (6 mod ) 48 mod 4 mod, 6 9 mod (6 8 mod ) (6 mod ) 24 mod 2 mod, 6 0 mod (6 9 mod ) (6 mod ) 2 mod mod Получаем k = 0 Вычисляем показатель k для числа 7: 7 2 mod 49 mod 5 mod, 7 3 mod (7 2 mod )(7 mod ) 35 mod 2 mod, 7 4 mod (7 3 mod )(7 mod ) 4 mod 3 mod,

7 7 5 mod (7 4 mod )(7 mod ) 2 mod 0 mod, 7 6 mod (7 5 mod )(7 mod ) 70 mod 4 mod, 7 7 mod (7 6 mod )(7 mod ) 28 mod 6 mod, 7 8 mod (7 7 mod )(7 mod ) 42 mod 9 mod, 7 9 mod (7 8 mod )(7 mod ) 63 mod 8 mod, 7 0 mod (7 9 mod )(7 mod ) 56 mod mod, Получаем k = 0 Вычисляем показатель k для числа 8: 8 2 mod 64 mod 9 mod, 8 3 mod (8 2 mod )(8 mod ) 72 mod 6 mod, 8 4 mod (8 3 mod )(8 mod ) 48 mod 4 mod, 8 5 mod (8 4 mod )(8 mod ) 32 mod 0 mod, 8 6 mod (8 5 mod )(8 mod ) 80 mod 3 mod, 8 7 mod (8 6 mod )(8 mod ) 24 mod 2 mod, 8 8 mod (8 7 mod )(8 mod ) 6 mod 5 mod, 8 9 mod (8 8 mod )(8 mod ) 40 mod 7 mod, 8 0 mod (8 9 mod )(8 mod ) 56 mod mod, Получаем k = 0 Вычисляем показатель k для числа 9: 9 2 mod 8 mod 4 mod, 9 3 mod (9 2 mod )(9 mod ) 36 mod 3 mod, 9 4 mod (9 3 mod )(9 mod ) 27 mod 5 mod, 9 5 mod (9 4 mod )(9 mod )

8 45 mod mod, Получаем k = 5 Вычисляем показатель k для числа 0: 0 2 mod 00 mod mod, Получаем k = 2 Итак, для модуля n= имеются: класс [], показатель которого равен, те ψ() = ; класс [0], показатель которого равен 2, те ψ(2) = ; 4 класса [3], [4], [5], [9], показатель которого равен 5, те ψ(5) = 4; 4 класса [2], [6], [7], [8], показатель которого равен 0, те ψ(0) = 4 Рассмотрим теперь случай, когда число классов взаимно простых с модулем, меньше чем сам модуль Пример Рассмотрим простой модуль n = 20, тогда значение функции Эйлера φ(20) = φ(2 2 5) = 2 2- (2-) (5-) = 8 Перечислим классы, порожденные модулем n = 20, которые взаимно простые с модулем 20: [], [3], [7], [9], [], [3], [7], [9] Вычисляем показатель k для числа : mod 20 mod 20 Получаем k = Вычисляем показатель k для числа 3: 3 2 mod 20 9 mod 20 9 mod 20, 3 3 mod mod 20 7 mod 20, 3 4 mod 8 mod 20 mod 20 Получаем k = 4 Вычисляем показатель k для числа 7: 7 2 mod mod 20 9 mod 20, 7 3 mod 20 (7 2 mod 20)( 7 mod 20) 63 mod 20 3 mod 20, 7 4 mod (7 3 mod 20)(7 mod 20) 2 mod 20 mod 20

9 Получаем k = 4 Вычисляем показатель k для числа 9: 9 2 mod 20 8 mod 20 mod 20, Получаем k = 2 Вычисляем показатель k для числа : 2 mod 20 2 mod 20 mod 20, Получаем k = 2 Вычисляем показатель k для числа 3: 3 2 mod mod 20 9 mod 20, 3 3 mod 20 (3 2 mod 20)( 3 mod 20) 7 mod 20 7 mod 20, 3 4 mod (3 3 mod 20)(3 mod 20) 22 mod 20 mod 20 Получаем k = 4 Вычисляем показатель k для числа 7: 7 2 mod mod 20 9 mod 20, 7 3 mod 20 (7 2 mod 20)( 7 mod 20) 53 mod 20 3 mod 20, 7 4 mod (7 3 mod 20)(7 mod 20) 22 mod 20 mod 20 Получаем k = 4 Вычисляем показатель k для числа 9: 9 2 mod mod 20 mod 20, Получаем k = 2 Итак, для модуля n=20 имеется: класс [], показатель которого равен, те ψ() = ; 3 класса [9], [], [9], показатель которого равен 2, те ψ(2) = 3; 4 класса [3], [7], [3], [7], показатель которого равен 4, те ψ(4) = 4 Заметим, что показатели, которым принадлежат числа по модулю n, являются делителями φ(n) Поэтому показатели надо искать среди чисел k, которые делят φ(n) Из предыдущих примеров видно, что может быть несколько классов, которые взаимно просты с модулем и которые имеют один и тот же показатель Справедливо следующее утверждение Теорема Пусть k i, i =, 2, t, делители значения функции Эйлера φ(n) для модуля n, где t число делителей φ(n) Тогда справедливо равенство

10 ψ(k ) ψ(k 2 ) ψ(k t ) = φ(n), где ψ(k i ) число классов, которые взаимно просты с модулем n и показатель которых равен k i, i =, 2, t Первообразные корни Определение Класс [], где (, n) =, называется первообразным корнем по модулю n, если показатель числа по модулю n равен φ(n) значению функции Эйлера для модуля n Известно, что любой показатель k числа по модулю n делит φ(n) Поэтому, чтобы убедиться, что число является первообразным корнем по модулю n, надо проверить, что для любого числа k делителя φ(n) k mod n Пример Рассмотрим модуль n = 54 Тогда φ(54) = φ(2 27) = φ(2 3 3 ) = = (2-) 3 3- (3-) = 8 = Делителями числа 8 являются числа, 2, 6, 9, 8 Рассмотрим число 5 Проверяем, являются ли числа, 2, 6, 9 показателями для числа 5 по модулю 54 Имеем 5 mod 54 5 mod 54, 5 2 mod mod 54, 5 3 mod mod 54 7 mod 54, 5 6 mod 54 (7 7) mod mod 54 9 mod 54, 5 9 mod 54 (5 6 mod 54)(5 3 mod 54) mod mod 54, 5 9 mod 54 (5 9 mod 54) mod 54 mod 54 Из приведенных вычислений ясно, что показатель, которому принадлежит число 5 по модулю 54, равен 8, те значению φ(54) Отсюда следует, что класс [5] является первообразным корнем по модулю 54 Заметим, что первообразных корней по модулю n может и не быть Напомним, что для модуля n=20, рассматривая все классы взаимно простые с модулем, мы получили следующие результаты: для класса [] показатель равен ; для классов [9], [], [9] показатель равен 2; для классов [3], [7], [3], [7] показатель равен 4

11 Нет ни одного класса взаимно простого с модулем, у которого показатель равен φ(20)=8 Отсюда следует вывод, что для модуля 20 первообразный корень отсутствует Теорема По любому простому модулю p существует φ(p-) классов первообразных корней Индексы Определение Пусть числа и b взаимно просты с n, те (, n) =, (b, n) = Число s называется индексом b по модулю n и основанию, если s b mod n При фиксированном модуле n для индекса s принята следующая форма записи s = ind b Для данной формы записи из определения индекса следует следующее тождество ind b b mod n Заметим, что если s индекс числа b по основанию, те s = ind b, то s является индексом для любого числа β из класса [b] по любому основанию α из класса чисел [] Понятие индекса представляет собой аналогию понятия логарифма Пример Пусть дано модуль n = 3 и основание = 2 Тогда имеем 2 2 mod 3, те ind 2 2 = ; mod 3, те ind 2 4 = 2; mod 3, те ind 2 8 = 3; mod 3 3 mod 3, те ind 2 3 = 4; mod 3 6 mod 3, те ind 2 6 = 5; mod 3 2 mod 3, те ind 2 2 = 6; 2 3 ( ) mod mod 3 2 mod 3, те ind 2 2 = 3; Обратим внимание на два соотношения ind 2 2 = и ind 2 2 = 3, которые показывают, что одно число может иметь разные индексы

12 Пример Дано модуль n = 2, основание = 5, тогда имеем mod 2 4 mod 2, те ind 5 4 = 2; mod 2 6 mod 2, те ind 5 6 = 4; mod 2 64 mod 2 mod 2, те ind 5 = 6; Обратим внимание, что для модуля 2 не существует индекса для числа 2 по основанию 5, те значения ind 5 2 Действительно, не существует числа s, для которого сравнение 5 s 2 mod 2 справедливо На основании приведенного примера возникает вопрос при каких условиях индекс числа b по основанию существует для данного модуля n? Для решения этого вопроса напомним, что если число g = φ(n), где φ(n) значение функции Эйлера для модуля n, является наименьшим из всех чисел, при котором справедливо сравнение g mod n, то g называется первообразным корнем В этом случае справедливо следующее утверждение Теорема Пусть число g любой первообразный корень по модулю n Для каждого числа b, взаимно простого с модулем n, существуют индексы по основанию g, те найдутся такие числа s, что выполняется сравнение g s b mod n Множество всех таких индексов s для данного фиксированного b совпадает с неотрицательными числами некоторого класса по модулю φ(n) Теорема Пусть g первообразный корень по модулю n и b число взаимно простое с модулем n Тогда сравнение с b mod n справедливо тогда и только тогда, когда ind g c ind g b mod φ(n) Теорема Пусть g первообразный корень по модулю n, и b числа, взаимно простые с модулем n, те

13 Тогда (, n) =, (b, n) = ind g (, b) (ind g ind g b) mod φ(n) Теорема Пусть g первообразный корень по модулю n и число взаимно простое с модулем n, те (, n) = Тогда ind g k (k ind g ) mod φ(n) Определение Если k mod n, n > и (b, n) =, b где число b взаимно простое с n, то за ind g b принимается значение indg k Теорема Пусть g первообразный корень по модулю n и b число взаимно простое с модулем n, n >, те Тогда (b, n) = ind g b (indg - ind g b) mod φ(n) Рассмотрим случай, когда модуль простое число В этом случае известно, что по любому простому p существуют φ(p-) классов первообразных корней Если взять за основание какое-либо g из любого класса первообразных корней, то для любого числа b, которое не делится на p, существует индексы Будем рассматривать наименьший из всех возможных индексов числа b по основанию для простого модуля p При этих условиях для простых модулей p иногда вычисляют таблицу индексов для всех целых чисел из интервала [, p-] Кроме того, известно, если число p, p > 2, простое, то для составных модулей вида p t и 2p t существуют первообразные корни Поэтому для чисел взаимно простых с модулями p t и 2p t существуют индексы Пример Пусть дан модуль n = 27 = 3 3 = p 3, где p простое число Вычислим φ(n) = φ(27) = φ(3 3 ) = 3 3- (3-) = 9 2 = 8 Известно, что показатели k, для которых k mod n

14 должны быть делителями φ(n) Делителями числа 8 являются числа, 2, 3, 6, 9 Однако существует теорема, которая утверждает, что первообразные корни по модулю p 2 являются первообразными корнями и по модулю p t, t 2 По этой логике для того, чтобы найти показатели для некоторого числа, для которого выполняется сравнение k mod n по модулю n = 27, достаточно рассмотреть только показатели, которые являются делителями значения функции Эйлера для числа 3 2 = 9 Имеем, φ(9) = φ(3 2 ) = 3 2- (3-) = 3 2 = 6 Итак, среди показателей k <φ(9) числа, для которых выполняется сравнение k mod 9, могут быть только делители числа φ(9) = 6 Отсюда следует, что для любого числа показатель k<φ(9), для которого выполняется сравнение k mod n, могут быть только числа, 2, 3 Рассмотрим число g = 5 Проверим, является ли число g первообразным корнем по модулю n = 27 Для этого вычислим g, g 2 и g 3 : 5 mod 9 5 mod 9, 5 2 mod 9 25 mod 9 (2 9 7) mod 9 7 mod 9, 5 3 mod 9 25 mod 9 (3 9 8) mod 9 8 mod 9 По теории в условиях данной задачи существует такое k, для которого 5 k mod 9 mod 9, причем показатель k является делителем φ(9) Из выкладок следует, что таким показателем может быть только число φ(9) = 6 Проверим данный вывод: 5 6 mod 9 ( ) mod 9 (8 8) mod 9 64 mod 9 (7 9 ) mod 9 mod 9 Из вычисления 5 6 mod 9 следует, что 5 является первообразным корнем по модулю 9, а значит, число g = 5 является первообразным корнем и по модулю n = 27 Убедившись, что g = 5 является первообразным корнем по модулю n = 27, те 5 ϕ (27) mod mod 27 mod 27,

15 перейдем теперь к вычислению индексов по модулю 27 с основанием g=5 Имеем следующие индексы чисел по основанию g = 5 по модулю 27: 5 0 mod 27 mod 27, 5 mod 27 5 mod 27, 5 2 mod mod 27, 5 3 mod mod 27 (4 277) mod 27 7 mod 27, 5 4 mod mod 27 (23 274) mod 27 4 mod 27, 5 5 mod 27 (5 4 5) mod 27 (4 5) mod mod 27, 5 6 mod 27 (5 5 5) mod 27 (20 5) mod mod 27 9 mod 27, 5 7 mod 27 ( ) mod 27 (20 25) mod mod 27 4 mod 27, 5 8 mod 27 ( ) mod 27 (4 4) mod 27 6 mod 27, 5 9 mod 27 (5 8 5) mod 27 (6 5) mod mod mod 27, 5 0 mod 27 (5 9 5) mod 27 (26 5) mod mod mod 27, 5 mod 27 (5 0 5) mod 27 (22 5) mod 27 0 mod 27 2 mod 27, 5 2 mod 27 (5 5) mod 27 (2 5) mod 27 0 mod 27, 5 3 mod 27 (5 2 5) mod 27 (0 5) mod mod mod 27, 5 4 mod 27 ( ) mod 27 (0 25) mod mod 27 7 mod 27, 5 5 mod 27 (5 4 5) mod 27 (7 5) mod mod 27 8 mod 27, 5 6 mod 27 (5 5 5) mod 27 (8 5) mod mod 27 3 mod 27, 5 7 mod 27 (5 6 5) mod 27 (3 5) mod mod 27 mod 27, 5 8 mod 27 (5 7 5) mod 27 ( 5) mod mod 27 mod 27

16 В итоге проделанных вычислений получаем следующие значения дискретных логарифмов по модулю 27 при основании 5: для числа ind 5 = 0, для числа 2 ind 5 2 =, для числа 4 ind 5 4 = 4, для числа 5 ind 5 5 =, для числа 7 ind 5 7 = 4, для числа 8 ind 5 8 = 5, для числа 0 ind 5 0 = 2, для числа ind 5 = 7, для числа 3 ind 5 3 = 6, для числа 4 ind 5 4 = 7, для числа 6 ind 5 6 = 8, для числа 7 ind 5 7 = 3, для числа 9 ind 5 9 = 6, для числа 20 ind 5 20 = 5, для числа 22 ind 5 22 = 0, для числа 23 ind 5 23 = 3, для числа 25 ind 5 25 = 2, для числа 26 ind 5 26 = 9 В заключении рассмотрим сравнение y g x mod p Вычислить y при заданных значениях p, g и x не представляет труда Обратная задача по значениям p, g и y вычислить x, те определить индекс или дискретный логарифм является трудной задачей с точки зрения числа арифметических операций Сложность этой задачи для реально используемых значений модуля p находится за пределами возможностей современных вычислительных систем Поэтому некоторые современные криптографические системы с открытыми ключами создаются на базе задачи дискретного логарифмирования Конечные цепные дроби Определение Конечной непрерывной дробью называется число, записанное в виде где целые числа 0 b b2 2 bs, 0,,, s, b, b 2,, b s s

17 Ниже будем предполагать, что все знаменатели, встречающиеся в этой дроби, отличны от нуля Очевидно, что величина такой непрерывной дроби может быть записана в виде P/Q, где P и Q целые числа Если b =b 2 = =b s =, i при всех i=, 2,, s- и s >, то такую непрерывную дробь называют о б ы к н о в е н н о й непрерывной дробью или цепной дробью Определение Конечной цепной дробью называется число, записанное в виде 0 2 s где 0,,, s целые числа Примечание При s =0 число o может быть любым целым числом Будем для удобства записывать цепную дробь () в виде s, s s () Числа 0,,, s будем называть элементами цепной дроби Теорема Любое рациональное число равно некоторой конечной цепной дроби Доказательство Любое рациональное число можно записать в виде P/Q, где P и Q целые, причем Q Алгоритм Евклида для таких чисел P и Q дает цепь равенств

18 ,,,,, s s s s s s s P Q Q = = = = = (2) где Q > > 2 > > s > 0 Равенства (2) можно записать в следующем виде 0, P Q Q =, 2 = Q, =,, 2 = s s s s s s s s = Отсюда получаем = Q P 2 0 s s, или в сокращенной записи

19 P = 0 Q 2 3 s s Для данной цепной дроби s s (5) будем рассматривать так называемые подходящие дроби A s = 0 A 0 = 0, A = 0, A 2 = 0,, s s Определение n-й подходящей дробью к конечной цепной дроби (5) будем называть величину A n = 0 2 (6) n Рассмотрим теперь две последовательности чисел и P 0, P,, P s Q 0, Q,, Q s, определенные рекуррентными соотношениями Pn = Pn n Pn 2, Q = Q Q, n n n n 2 2 n s, (7) и начальными условиями P 0 = 0, Q 0 =, P = 0, Q 0 = (8)

20 Отсюда видно, что соотношения (7) вместе с условиями (8) при данных 0,,, s однозначно определяют величины P 0, P,, P s и Q 0, Q,, Q s Теорема Если 0,,, s элементы цепной дроби (5), то последовательности чисел P n и Q n, n=0,,,s, определенные формулами (7) и (8), обладает тем свойством, что при всех этих n отношение P n /Q n равно n-й подходящей дроби (6) Определение Числителями и знаменателями подходящих дробей к конечной цепной дроби называются величины P n и Q n (n = 0,,, s), определенные рекуррентными условиями (7) и (8) Эти названия оправданы тем, что отношение P n к Q n, согласно данной теоремы, равно n-й подходящей дроби Мы будем поэтому в дальнейшем n-ю подходящую дробь (6) обозначать через P n /Q n Последовательное вычисление числителей P n и знаменателей Q n подходящих дробей по формулам (7) удобно располагать по схеме: A 0 A A 2 s P n A 0 o Q n Рассмотрим ряд свойств подходящих дробей, их числителей и знаменателей Теорема При n=, 2,, s, выполняется равенство P n Q n- -P n- Q n =(-) n- (9) Доказательство Проведем индукцию по n При n= равенство (9) справедливо Действительно, P = 0, Q 0 =, P 0 = 0, Q =, Поэтому P Q 0 -P 0 Q = Пусть (9) верно при некотором n, n s- Тогда P n Q n -P n Q n = = (P n α n P n- )Q n (Q n α n Q n- )P n = = (P n Q n- P n- Q n )= ( ) n- = ( ) n

21 То есть равенство (9) верно при (n) Согласно принципу полной математической индукции, равенство (9) верно при всех n, n s Теорема Числитель и знаменатель любой подходящей дроби взаимно простые числа Доказательство При n=0, P 0 = 0, Q 0 =, так что (P 0, Q 0 )= Пусть n > 0 Обозначим через d наибольший общий делитель P n и Q n, те Из равенства n (P n, Q n )= d P Q, n n Pn Q n = ( ) поскольку d P n и d Q n, получаем d (-) n-, где d>0 и, следовательно, d= Список дополнительных лабораторных работ Создать программу для взлома шифра замены 2 Создать программу для моделирования колеса Джеферсона 3 Создать программу для формирования криптографической системы с открытым ключом на базе задачи о рюкзаке 4 Создать программу для шифрования сообщение с использованием криптографической системы на базе задачи о рюкзаке 5 Создать программу для расшифровки сообщения с использованием криптографической системы на базе задачи о рюкзаке 6 Создать программу для взлома шифра аффинной криптосистемы Аффинная криптосистема определяется формулой где c (s b) mod n, n число символов в алфавите,, b целые числа, 0, b n и взаимно простое с n, s код символа сообщения, c код символа шифра, в который преобразовался символ s Дополнительные упражнения Показать, что стандартный и расширенный алгоритм Евклида могут использоваться для работы с многочленами 2 Вычислить символ Якоби 3 Разложить в непрерывную дробь число = 539/3976 и составить таблицу подходящих дробей 4 Составить таблицу простых чисел от 000 до Используя формулы

22 φ(p α ) = p α- (p-) и φ(p) = p-, где p простое число, составить таблицу значений функции φ() для всех целых чисел из интервала [, 60] 6 Найти остаток от деления числа ( ) 28 на число 7 Решить сравнение 256x 79 mod Решить сравнение 25x 560 mod Указать общее решение для системы x b mod 3, x b 2 mod 7 0 Указать общее решение для системы x b mod 25, x b 2 mod 27, x b 3 mod 59 Вычислить символы Якоби J(226, 563), J(429, 563), J(3766, 5987) 2 Существуют ли решения у сравнения x 2 3 mod 3 3 Существуют ли решения у сравнения x 2 2 mod 3 4 Построить таблицу индексов для модуля n = 4, по основанию g = 6 5 Какие буквы русского алфавита наиболее часто встречаются в тексте 6 Дана криптографическая система RSA с открытым ключом e = 3 и n=3599 пользователя Определить закрытый ключ пользователя 7 Дана криптографическая система RSA с открытым ключом e = 5 и n=35 пользователя Расшифровать перехваченный текст C = 0 8 Вычислить наибольший общий делитель чисел =2440 и b= Вычислить наибольший общий делитель чисел = 4655 и b= Указать общее решение для системы x 2 mod 3, x 3 mod 5, x 3 mod 7 2 В адрес олимпиады пришла шифротелеграмма

23 Ц Д О З И Ф К Д Ц Ю Прочитать сообщение, если известно, что использован шифр, по которому к двузначному порядковому номеру буквы в алфавите (от 0 до 33) прибавлялось значение многочлена f(x) = x 6 3x 5 x 4 x 3 4x 2 4x 5, вычисленное в случайном порядке при x = x или при x = x 2, где x и x 2 корни уравнения x 2 3x, а затем полученное число заменялось соответствующей ему буквой При решении задачи использовать компьютер 22 Используя шифр Виженера зашифровать с ключом «солнце» следующее сообщение: Не доверяйте представителю фирмы Дополнительные вопросы Почему алгоритм шифрования не должен включать секретные компоненты? 2 К какому классов шифров относится шифр Вернама? 3 Почему криптосистема, основанная на базе одноразового блокнота, абсолютно защищена от взлома? 4 Почему в наборе параметров открытого ключа (e, d) криптосистемы RSA показатель степени e должен быть взаимно простым со значением функции Эйлера φ(n)? 5 На базе какой трудной задачи сформирована криптографическая система RSA? 6 На базе какой трудной задачи сформирована криптографическая система Рабина? 7 В чем заключается основное различие между симметричными и асимметричными криптографическими системами? 8 В чем разница между понятиями аутентификации и целостности данных? 9 Приведите пример шифров, которые применялись до нашей эры 0 Являются ли трафареты, которые использовал Грибоедов и Ришелье для передачи сообщений, средствами шифрования? Почему правило Керкгоффса является общепринятым в криптографии? 2 Что такое целостность информации? 3 Какие средства используются для невозможности отказа от авторства?

24 4 Существуют ли шифры, которые не являются шифрами замены и перестановки? 5 В чем достоинства и недостатки поточного шифра по сравнению с блочным? 6 Какая сложная математическая задача определяет стойкость системы RSA? 7 Для каких целей применяются хэш-функция? 8 Каким требованиям должны удовлетворять хэш-функции? 9 Какие задачи позволяет решить цифровая подпись? 20 Чему равна длина ключа в алгоритме шифрования IDEA? 2 Длина каких блоков в алгоритме IDEA составляет 6 бит 22 Описать фрагмент алгоритма шифрования DES, в котором используются S-блоки 23 Описать фрагмент алгоритма шифрования ГОСТ, в котором используется блок подстановки 24 Описать процесс формирования ключей, которые используются при шифровании в алгоритме IDEA

ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ

ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ Определение. Класс [a], где (a, n) = 1, называется первообразным корнем по модулю n, если показатель числа a по модулю n равен φ(n) значению функции Эйлера для модуля n. Известно,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней.

ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней. ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней a, a 2,, a t, Найдем наименьшее число k, при котором a k 1 mod n. Определение.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ

ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ ЛЕКЦИЯ 5 КРИПТОГРАФИЯ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ Продемонстрируем, как изложенные выше факты из теории чисел используются в современной криптографии с открытым ключом. Кстати, заметим, что фактически новый подход

Подробнее

Лабораторная работа 5. Программная реализация ЭЦП

Лабораторная работа 5. Программная реализация ЭЦП Лабораторная работа 5 Программная реализация ЭЦП Цель работы создать программу, которая реализует учебный вариант схем ЭЦП, используя алгоритмы с открытыми ключами. Задание к работе Реализовать ЭЦП на

Подробнее

Экзаменационный билет Группы, кольца, поля. Классы вычетов по модулю.

Экзаменационный билет Группы, кольца, поля. Классы вычетов по модулю. Экзаменационный билет 1 1. Схема Шеннона. Симметричные криптосистемы. Перестановки и подстановки. Одноалфавитные и многоалфавитные криптосистемы. Потоковые и блочные шифры. 2. Группы, кольца, поля. Классы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 Вычисление квадратных корней по составному модулю. Из приведенной выше теории следует, что если n = pq, где p и q простые числа, группа Z n

ЛЕКЦИЯ 14 Вычисление квадратных корней по составному модулю. Из приведенной выше теории следует, что если n = pq, где p и q простые числа, группа Z n ЛЕКЦИЯ 14 Вычисление квадратных корней по составному модулю Из приведенной выше теории следует, что если =, где и простые числа, группа Z изоморфна пространству Z Z. Поскольку изоморфизм сохраняет свойства

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Тема 2. Основы элементарной теории чисел и приложения-2. Теоретический материал. тогда, согласно теореме Эйлера, a m ) Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения-. Первообразные корни, индексы. Теоретический материал Пусть а, m натуральные взаимно простые числа, причем m, тогда, согласно теореме Эйлера, a m )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 8 АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 8 АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМИРОВАНИЯ Задача дискретного логарифмирования, как и задача разложения на множители, применяется во многих алгоритмах криптографии с открытым ключом. Предложенная в

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 2006 Печатается по решению учебно-методического совета механико-математического факультета КГУ Составители: доц. Корешков Н.А., асс.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Казань 2016 Казанский (Приволжский) федеральный университет Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ

Подробнее

«Северо-Кавказский институт бизнеса, инженерных и информационных технологий» (ЧОУ ВО СКИБИИТ) Кафедра информационных технологий ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ

«Северо-Кавказский институт бизнеса, инженерных и информационных технологий» (ЧОУ ВО СКИБИИТ) Кафедра информационных технологий ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ «Северо-Кавказский институт бизнеса, инженерных и информационных технологий» (ЧОУ ВО СКИБИИТ) Кафедра информационных технологий ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ методические указания по выполнению лабораторных работ

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 9. Шифрование

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 9. Шифрование Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 2013 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 9. Шифрование 9.1 Введение... 1 9.2 Симметричные алгоритмы шифрования...

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ

КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67 Часть I Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 2 / 67 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ

ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Вспоминаем теорию чисел

Вспоминаем теорию чисел Computer Science Club, 2015 Outline 1 по модулю n Z + n это группа по сложению. Z n это группа по умножению. Сколько элементов в Z n? по модулю n Z + n это группа по сложению. Z n это группа по умножению.

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12 СРВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ И КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ. Общий вид сравнения второй степени по простому модулю р имеет вид

ЛЕКЦИЯ 12 СРВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ И КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ. Общий вид сравнения второй степени по простому модулю р имеет вид ЛЕКЦИЯ 12 СРВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ И КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ Общий вид сравнения второй степени по простому модулю р имеет вид (1) с 0 х 2 + с 1 х + с 2 0 mod p. Поиск решения сравнения (1)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ. Определение 1. Двучленным сравнением называется сравнение вида. ax n b mod m.

ЛЕКЦИЯ 11 ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ. Определение 1. Двучленным сравнением называется сравнение вида. ax n b mod m. ЛЕКЦИЯ 11 ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ Определение 1. Двучленным сравнением называется сравнение вида ax n b mod m. Мы рассмотрим двучленные сравнения по простому модулю р > 2 вида x n a mod p. (1) Теорема 1.

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

, частное обозначается a divb

, частное обозначается a divb 4 Теория чисел 4 Целые числа 7 Определение Пусть, b Z Тогда делит b, если существует целое число такое что b (обозначается b ) 73 Теорема (деление с остатком) Если, b Z и b, тогда найдутся такие целые

Подробнее

Семинар 1. Самохина Марина

Семинар 1. Самохина Марина Семинар 1 Самохина Марина Криптография Наука о математических методах обеспечения конфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним) и аутентичности (целостности и подлинности авторства,

Подробнее

Симметричные системы шифрования Симметричные системы шифрования: E k (M) = P, D k (P) = M или D k (E k (M)) = M Ключ секретный ключ Проблема как преда

Симметричные системы шифрования Симметричные системы шифрования: E k (M) = P, D k (P) = M или D k (E k (M)) = M Ключ секретный ключ Проблема как преда Лекция 11 Криптография с открытым ключом 1 Симметричные системы шифрования Симметричные системы шифрования: E k (M) = P, D k (P) = M или D k (E k (M)) = M Ключ секретный ключ Проблема как предать ключ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АСИММЕТРИЧНОГО АЛГОРИТМА ШИФРОВАНИЯ ДАННЫХ RSA

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АСИММЕТРИЧНОГО АЛГОРИТМА ШИФРОВАНИЯ ДАННЫХ RSA ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АСИММЕТРИЧНОГО АЛГОРИТМА ШИФРОВАНИЯ ДАННЫХ RSA ВВЕДЕНИЕ Процесс криптографического закрытия данных может осуществляться как программно, так и аппаратно. Аппаратная реализация отличается

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:.

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:. РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ РЕЙТИНГОВАЯ РАБОТА 1 1 Разложить в конечную цепную дробь: 2 Найти НОД и НОК: 14 16i и 3 9i 3 Разложить на простые множители 8 15i 4 Найдите все

Подробнее

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии www.cryptolymp.ru XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии (11 класс) Решение задачи 1 Сначала заметим, что если N pq, где p и q простые числа, то количество натуральных чисел,

Подробнее

Название документа: Программа учебной дисциплины «Основы криптографии» Разработчик доцент кафедры В.В.Попов Версия 1 стр. 2 из 10 Копии с данного

Название документа: Программа учебной дисциплины «Основы криптографии» Разработчик доцент кафедры В.В.Попов Версия 1 стр. 2 из 10 Копии с данного Разработчик доцент кафедры В.В.Попов Версия 1 стр. 2 из 10 РАЗДЕЛ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. 1.1. Требования к студентам Курс требует знаний по дисциплинам: «Информатика и программирование», «Дискретная

Подробнее

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины =

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины = Цепные дроби Конечные цепные дроби Определение Выражение вида a 0 + a + a + + a m где a 0 Z a a m N a m N/{} называется цепной дробью а m - длиной цепной дроби a 0 a a m будем называть коэффициентами цепной

Подробнее

Раздел 2. Теоретико-численные методы в криптографии. ax=b mod n;

Раздел 2. Теоретико-численные методы в криптографии. ax=b mod n; Раздел 2. Теоретико-численные методы в криптографии Задание на самостоятельную работу Изучить алгоритмы, которые широко применяются в криптографии. Элементы теории чисел: расширенный алгоритм Евклида;

Подробнее

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года)

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) 1 УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Осмысленная фраза на русском языке записана

Подробнее

Глоссарий основных терминов

Глоссарий основных терминов Глоссарий основных терминов Абелева группа(коммутативная группа) группа по сложению, в которой групповая операция коммутативна: a + b = b + a. Авторизация это процедура разделения пользователей на группы

Подробнее

Задачи к экзамену. 17. Найдите сумму C 0 m+1c k n C 1 m+1c k 1. n+m. n m+1 = C m 1. n ( 1) k C k m+1c 0 n.

Задачи к экзамену. 17. Найдите сумму C 0 m+1c k n C 1 m+1c k 1. n+m. n m+1 = C m 1. n ( 1) k C k m+1c 0 n. Задачи к экзамену. Правило сложения и умножения 1. Сколько существует шестизначных чисел, у которых хотя бы две цифры совпадают? 2. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а, когда пришёл

Подробнее

Теория чисел. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Цветков В.П. 2015г.

Теория чисел. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Цветков В.П. 2015г. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП Цветков ВП 2015г Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Теория чисел

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 ШИФРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ ЦЕЗАРЯ И СИСТЕМЫ ТРИСЕМУСА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 ШИФРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ ЦЕЗАРЯ И СИСТЕМЫ ТРИСЕМУСА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 ШИФРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ ЦЕЗАРЯ И СИСТЕМЫ ТРИСЕМУСА Цель работы: формирование умений шифрования с использованием систем Цезаря и системы Трисемуса. Теоретические сведения

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

обозначает операцию, определенную на группе.

обозначает операцию, определенную на группе. Лекция 4. СТАНДАРТ AES. АЛГОРИТМ RIJNDAEL. Стандарт AES (Advnced Encrypton Stndrd) представляет собой новый стандарт шифрования с одним ключом, который заменил стандарт DES. Алгоритм Rjndel (рейн-дал)

Подробнее

Технологии формирования компетенции. Средства и технологии оценки Знания (З) Индекс компетенции. Умения (У)

Технологии формирования компетенции. Средства и технологии оценки Знания (З) Индекс компетенции. Умения (У) 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель: Ознакомить с наиболее фундаментальными принципами защиты информации от несанкционированного использования, методами построения современных криптосистем и оценкой их

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

О С Н О В Ы И Н Ф О Р М А Ц И О Н Н О Й Б Е З О П А С Н О С Т И

О С Н О В Ы И Н Ф О Р М А Ц И О Н Н О Й Б Е З О П А С Н О С Т И ЗРОССИЙСКАЯ ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Одобрено кафедрой «Железнодорожная автоматика, телемеханика и связь» О С Н О В Ы И Н Ф О Р М А Ц И О Н

Подробнее

Современные технологии программирования Лабораторная работа 13

Современные технологии программирования Лабораторная работа 13 Современные технологии программирования Лабораторная работа 13 Алгоритмы криптографии. Шифрование с открытым ключом. Цель: научиться использовать класс BigInt в Scala и java.math.biginteger для шифрования

Подробнее

Раздел 3. Криптографические системы с открытым ключом

Раздел 3. Криптографические системы с открытым ключом Раздел 3. Криптографические системы с открытым ключом 1 Принципы построения криптографических систем с открытым ключом (ОК) Основная идея состоит в создании таких криптосистем, когда алгоритм шифрования

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Занятие 3. перебором убеждаемся, что k = 1 и δ 2 = 2.

Занятие 3. перебором убеждаемся, что k = 1 и δ 2 = 2. Занятие 3 Задача 1. a)найти все первообразные корни по модулю 27. Заметим, что ϕ(27) = 27 9 = 18 = 2 3 2. Воспользуемся критерием и проверим, является ли 2 первообразным корнем по модулю 27: 2 6 64 10

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В КРИПТОГРАФИЮ

ВВЕДЕНИЕ В КРИПТОГРАФИЮ Министерство образования Российской Федерации Ростовский государственный университет М.Г. АДИГЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В КРИПТОГРАФИЮ Методические указания для студентов механико-математического факультета Часть 1

Подробнее

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Лабораторная работа 8 Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Цель работы используя алгоритм Эвклида создать программу, которая для чисел a и b определяет наибольший

Подробнее

Запечников Сергей Владимирович Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра «Криптология и кибербезопасность» 23 ноября 2016 г.

Запечников Сергей Владимирович Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра «Криптология и кибербезопасность» 23 ноября 2016 г. Криптографические протоколы Лекция 12 Запечников Сергей Владимирович Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра «Криптология и кибербезопасность» 23 ноября 2016 г. Лекция 12 Схемы

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

Псевдослучайные генераторы

Псевдослучайные генераторы Псевдослучайные генераторы Ю. Лифшиц. 26 ноября 2005 г. План лекции 1. Понятие псевдослучайного генератора 2. Односторонние функции и генераторы 3. Криптосистема на основе генератора 1 Понятие псевдослучайного

Подробнее

Криптография: вчера, сегодня, завтра

Криптография: вчера, сегодня, завтра Криптография: вчера, сегодня, завтра Содержание 1. Древний Рим: шифр Цезаря 2. Шифры простой замены 3. Частотный метод дешифровки, частотный анализ 4. «Пляшущие человечки» 5. Теоретико-числовые результаты

Подробнее

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии Задачи для 11 класса Решение задачи 1 Сначала заметим, что если N = pq, где p и q простые числа, то количество натуральных чисел, меньших

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

1 Показатели. Первообразные корни.

1 Показатели. Первообразные корни. 1 Показатели. Первообразные корни. 1.1 Понятие показателя. Простейшие свойства. Определение. Будем говорить, что число a, (a, n) = 1 принадлежит показателю N по модулю n, если - минимальное число, такое

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ УТВЕРЖДАЮ 06 сентября 20г. Рабочая программа дисциплины

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ. Алгоритм Евклида ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ Алгоритм Евклида При работе с большими составными числами их разложение на простые множители, как правило, неизвестно. Но для многих прикладных задач теории

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев

Компьютерная алгебра. (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Компьютерная алгебра (курс лекций) Игорь Алексеевич Малышев Computer.Algebra@yandex.ru (С) Кафедра «Компьютерные системы и программные технологии», Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Подробнее

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a)

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a) 4.6. Постройте график функции: ) = []; ) = { }. 4.7. Постройте график функции: ) = ; ) = {}. Упражнения для повторения 4.8. Решите уравнение 3 = 3. 4.9. Постройте график уравнения + =. + 4.. Упростите

Подробнее

Лекция 2. ?? сентября 2008

Лекция 2. ?? сентября 2008 Лекция Квадратичные вычеты и невычеты Лектор: НЮ Золотых Записал: Е Замараева?? сентября 00 Содержание Квадратичные вычеты и невычеты Символ Лежандра Свойства символа Лежандра Квадратичный закон взаимности

Подробнее

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими,

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, 5 Конечные поля 5.1 Конечные поля Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, что 1) R, + абелева группа; 2) операция ассоциативна, т. е. (a b) c = a

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

11 Поточные криптосистемы

11 Поточные криптосистемы 11 Поточные криптосистемы 11.1 Поточные криптосистемы Напомним наше определение поточной криптосистемы. Пусть имеется слово X A длины X = T. Для зашифрования данного слова на ключе θ Θ выполняются следующие

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее