Казанский (Приволжский) федеральный университет

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Транскрипт

1 Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013

2 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Института математики и механики им НИ Лобачевского Протокол 6 от 13 июня 2013 г заседания кафедры общей математики Протокол 9 от 30 мая 2013 г Авторы-составители: ст преп Михаил Степанович Малакаев канд физ- мат наук доц Лилия Раилевна Секаева канд физ- мат наук доц Ольга Николаевна Тюленева Научный редактор рецензент Доктор физ- мат наук доц Елена Александровна Широкова Рецензент Доктор физ- мат наук проф Николай Георгиевич Гурьянов Элементы линейной алгебры: Учебно-методическое пособие / МС Малакаев ЛР Секаева ОН Тюленева Казань: Казанский университет с Данное пособие предназначено для студентов Института геологии и нефтегазовых технологий содержит описание основных приемов работы с компьютерной программой Mxim для решения задач линейной алгебры используя алгебру матриц Казанский университет 2013 Малакаев МС Секаева ЛР Тюленева ОН 2

3 СОДЕРЖАНИЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ) 4 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 9 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 12 МЕТОД КАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 14 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 18 МАТРИЦЫ 20 ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 23 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ 32 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 33 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА 34 3

4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Основная задача этого раздела научится решать большие системы уравнений в которых не всегда бывает единственное решение не всегда число уравнений совпадает с числом неизвестных Введем новые понятия необходимые нам для дальнейшей работы Определение: Матрица это прямоугольная таблица чисел содержащая m строк одинаковой длины A mn n n m1 m2 mn где числа ( i 1 m ; j 1 n) называются элементами матрицы ij Определение: Матрицы у которых число строк равно числу столбцов называется квадратной Для квадратных матриц существует числовая характеристика которая называется определителем ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ) Определение: 1 Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение Числа ( i 1 2 ; j 1 2) называются элементами ij определителя они расположены в двух строках и двух столбцах его (ряды определителя) 2 Под определителем (детерминантом) третьего порядка понимается выражение 4

5 Числа ij ( i j 1 2 3) - элементы определителя они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя) Первый индекс j номер столбца на i указывает номер строки а второй пересечении которых стоит элемент ij Схематично правило вычисления определителя третьего порядка (правило треугольника) можно представить в виде 3 Под определителем (детерминантом) первого порядка понимается выражение 1 4 Под определителем (детерминантом) N порядка понимается выражение n n n1 n2 nn Определение: Под минором некоторого элемента ij определителя N порядка понимается определитель N-1 порядка полученный 5

6 из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых стоит выбранный элемент Обозначение: Mij Примеры: 1 Для определителя третьего порядка минором элемента 21 является следующий определитель второго порядка M Для определителя второго порядка минором элемента 22 является определитель первого порядка (те число) M Определение: Элемент определителя занимает четное место если сумма номеров его строки и столбца есть четное число и нечетное место если эта сумма есть нечетное число Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента ij определителя называется минор этого элемента взятый со знаком плюс если элемент занимает четное место и со знаком минус если его место нечетное те A ij 6 1 i j M ij

7 Примеры: 1 Для определителя третьего порядка алгебраическим дополнением элемента 21 является А М Для определителя второго порядка минором элемента 22 является определитель первого порядка (те число) А M Знаки алгебраических дополнений элементов определителей второго третьего и четвертого порядка можно задать следующими таблицами: Теорема разложения определителя по элементам некоторого ряда: Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения те для определителя третьего порядка имеем:

8 A A A A A A A11 21A21 31A31 и тд Доказательство: Проиллюстрируем эту теорему на примере определителя третьего порядка В этом случае для первой строки имеем: 11 A11 12 A12 13 A Для второго столбца (по определению) 12 A12 22 A22 32 A D (по определению) Пример: Вычислить Решение: Разложим определитель по первой строке

9 Разложим определитель по первому столбцу СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Сформулируем основные свойства определителей присущие определителям всех порядков но доказывать и иллюстрировать их будем на примере определителей третьего порядка 1 Равноправность строк и столбцов Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами те При перестановке двух параллельных рядов определителя его абсолютная величина сохраняет прежнее значение а знак меняется на обратный Доказательство: Пусть например в определителе переставлены первая и вторая строки тогда получим определитель:

10 Разложим второй определитель по элементам второй строки = D ЧТД 3 Определитель у которого два параллельных ряда одинаковых равен нулю те Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя те k k k = k Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю то определитель равен нулю Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда то определитель равен нулю те k k k k

11 7 Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей те b b c c d d Элементарные преобразования определителя Величина определителя не изменится если к элементам какого-либо ряда его прибавить (или отнять) числа пропорциональные соответствующим элементам параллельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорциональности k k k В Mxim чтобы вычислить определитель нужно задать квадратную матрицу затем вычислить определитель 11

12 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Определение: Системой линейных алгебраических уравнений содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида: 11x1 12 x2 13 x3 1 nxn b1 21x1 22x2 23x3 2nxn b2 31x1 32x2 33x3 3nxn b3 x x x x b m1 1 m2 2 m3 3 mn n m где числа ij i 1 m j 1 n называются коэффициентами системы числа b ij - свободными членами системы Подлежат нахождению числа x n Решить систему уравнений значит найти такие числа x i ( i 1 n) что при подстановке в исходную систему уравнений каждое уравнение системы обратится в тождество Необязательно решение будет единственным Определение: Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если она не имеет ни одного решения Определение: Совместная система называется определенной если она имеет единственное решение и неопределенной если она имеет более одного решения В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы Совокупность всех частных решений называется общим решением Решить систему это значит выяснить совместна она или несовместна Если система совместна найти ее общее решение 12

13 Определение: Две системы называются эквивалентными (равносильными) если они имеют одно и то же общее решение Определение: Система уравнений называется однородной если все свободные члены равны нулю: x x x x n n 21x1 22x2 23x3 2nxn 0 31x1 32x2 33x3 3nxn 0 m1x1 m2x2 m3x3 mnxn 0 Однородная система всегда совместна тк x1 x2 x n 0 является решением системы Это решение называется нулевым или тривиальным В Mxim решение алгебраических уравнений и их систем осуществляется функцией solve в качестве параметров в первых квадратных скобках указывается список уравнений через запятую вовторых список переменных через запятую 13

14 МЕТОД КАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим: С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ x y b x y b Для нахождения решений системы применим метод исключения Для этого умножим первое уравнение системы на 22 а второе на и сложим их тогда получим x b b (1) Аналогично умножая первое уравнение системы на 21 а второе на 11 и складывая получим y b b (2) В полученных уравнениях в левой части стоят одинаковые выражения а в правой стоят выражения по структуре похожие на выражение в левой части Введем обозначения: b называется определителем системы Введем дополнительные определители 14

15 1 12 x b b1 22 b212 b y b 11b 2 21b1 b 21 2 Мы получили выражения стоящие в правых частях уравнений (1) и (2) Заметим что дополнительные определители x и получаются из определителя системы путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены y Уравнения (1) (2) принимают вид: x y x y Возможны два варианта: 1) Если 0 то отсюда получаем что исходная система уравнений имеет единственное решение x x y y (формулы Крамера) То что x y являются решением системы можно проверить подстановкой их в систему 2) Если 0: Если 0 и хотя бы один из определителей или 0 то система не имеет решений (те несовместна) Если 0 и 0 то система имеет бесчисленное x y множество решений (те система неопределенная) Доказательство: Из свойств определителя 0 x y 15

16 Если 0 и хотя бы один из определителей или 0 (пустьx 0 ) из первого уравнения системы (1) получаем x 0 0 противоречие Значит система уравнений не имеет решений x Если 0 и 0 то из системы (1) тождественные равенства x x 0 0 y 0 0 x y y x y 1 Примеры: 3x6y 3 4x8y x 0 y Решений нет Действительно сократим первое уравнение на 3 а второе на 4 получим x2y 1 1 x2 y 2 Нельзя найти такие x y которые бы обращали в тождество оба уравнения системы 2 2x3y 8 4x6y 16 Здесь x 0 y Одно из уравнений является следствием другого (например второе получается из первого умножением на 2) Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений содержащихся в формуле: 16

17 y 2 8 x 3 3 2x3y 8 3 7x 5y 3 Здесь x 31 y Система имеет единственное решение x y x 1 y 2 17

18 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11x 12 y 13 z b1 21x 22 y 23z b2 31x 32 y 33z b3 Введем определитель системы а также дополнительные определители x b b b y b b b z b b b Возможны два варианта: 1) 0 тогда решение исходной системы уравнений существует и оно единственное x y z x y z (формулы Крамера) (*) 2) 0 Если 0 и хотя бы один из определителей x или y или z 0 то хотя бы одно из равенств (*) невозможно те система не имеет решений (те несовместна) Если 0 и 0 то система имеет либо x y z бесчисленное множество решений (те система неопределенная) либо не имеет решений (те система несовместна) x y z 2 4 3x 2y 2z 1 4x 3y 3z 4 Не имеет решений тк 0 y

19 x y z 1 5 2x y z 2 3x 2y 2z 3 Имеет бесчисленное множество решений 0 x y z Ищем минор отличный от нуля M33 1 возьмем первые два 2 1 уравнения системы и запишем их в виде x y 1 z 2x y 2 z 1 1 Определитель этой системы M Воспользуемся формулами Крамера 1 z 1 x 1 z 2 z 1 2 z z y 2 z 2 2z z 2 2 z Тогда решение этой системы запишется в виде x 1 y z x 1 y z 1 1 Если возьмем z t то решение системы запишется в виде x 1 y t z t x y z 1 6 2x 2y 2z 3 3x 3y 3z 4 Не имеет решений тк 0 x y z 0 но уже первые два ее уравнения не совместны тк если умножить первое из них на 2 и вычесть из второго то получим невозможное равенство 0=1 19

20 x y z 1 7 2x 2y 2z 2 3x 3y 3z 3 Имеет бесчисленное множество решений Здесь 0 x y z 0 и все миноры равны нулю и пропорциональны свободные члены те второе и третье уравнения являются следствием первого Значит имеем одно уравнение с тремя неизвестными которое естественно имеет бесчисленное множество решений МАТРИЦЫ В отличие от определителей значения которых можно вычислить матрицы - это таблицы содержащие некоторую информацию Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины) Матрица записывается в виде n n A m1 m2 mn Обозначения: Коротко матрицу обозначают так: m n A ij где i 1 m j 1 n или A - здесь индекс внизу обозначает размер матрицы m n (те число строк равно m а число столбцов n ) и говорят А матрица размера m n 20

21 Определение: Элементы стоящие на диагонали идущей из верхнего угла образуют главную диагональ Определение: Квадратная матрица у которой все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю называется диагональной матрицей те A nn Определение: Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице называется единичной Обозначается буквой Е Пример: E единичная матрица третьего порядка En n единичная матрица n-го порядка Определение: Квадратная матрица называется треугольной если все элементы расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю те A n1 1n n1 2n n1 n1 n1n nn

22 Определение: Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой Обозначается буквой О В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике Определение: Матрица содержащая один столбец или одну строку называется вектор-столбец или вектор-строка соответственно Их вид: 1 2 A B b b b m 1 2 n Матрица размера 1 1 состоящая из одного числа отождествляется с 5 есть 5 этим числом те 11 Определение: Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется матрицей транспонированной к данной Обозначение: T A Пример: T A A T A A T A A СВОЙСТВО ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ: A T T 22 A

23 Определение: Матрицы равны между собой если равны все соответствующие элементы этих матриц те A B если b где i 1 m j 1 n ij ij Те сравнивать мы можем только те матрицы у которых равны размеры ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Матрицы это таблицы содержащие некоторую информацию а свойства матриц определяются ситуацией в которой они используются Наибольшее распространение матрицы получили в линейной алгебре в частности при решении систем линейных алгебраических уравнений упрощении квадратичных форм и тд Поэтому большинство свойств матриц приспособлено к решению этих задач СЛОЖЕНИЕ Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров A B b Определение: Суммой двух матриц mn ij mn ij называется матрица Cm n cij такая что Пример: cij ij bij i 1 m j 1 n РАЗНОСТЬ МАТРИЦ Аналогично определяется разность матриц 23

24 Определение: Разностью двух матриц Am n ij Bm n bij называется матрица Cm n cij такая что cij ij bij i 1 m j 1 n Пример: УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО Определение: Произведением матрицы Am n ij называется матрица Bm n bij такая что Пример: b ij k ij i 1 m j 1 n на число k A k 2 A k Определение: Матрица А=(-1)А называется противоположной матрице А Разность матриц А-В можно определить еще так А-В=A+(-B) СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО 1 свойство переместительности A B B A; 2 свойство сочетательности (слагаемые можно группировать как угодно) 24

25 A B C A B C ; 3 AO A; 4 AA O; 5 1A A 6 Свойство распределительности по отношению к матрицам A B A B; 7 Свойство распределительности по отношению к числовому множителю A A A; 8 Свойство сочетательности A A где A B C - матрицы - числа 9 T T T A B A B ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; Умножение всех элементов матрицы на число отличное от нуля; Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда умноженных на одно и то же число Определение: Две матрицы называются эквивалентным если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований Обозначение: А~В Это важное свойство матриц связано с решением систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) Рассматривая матрицу коэффициентов некоторой системы ЛАУ отметим что если умножить некоторую строку на какое-то число и прибавить ее к другой строке матрицы то получаем эквивалентную матрицу то есть матрицу 25

26 коэффициентов системы ЛАУ имеющей то же решение что и предыдущая Это свойство следует из того что аналогичную процедуру можно производить с системами линейных алгебраических уравнений При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц а все остальные элементы равны нулю Такую матрицу называют канонической например En n Пример: Привести к каноническому виду матрицу A Решение: 26

27 ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ Операция умножения двух матриц вводится только для случая когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы Определение: Произведением матрицы Am n ij Bn p bij называется матрица Cm p cij такая что ik i1 1k i2 2k in nk на матрицу c b b b где i 1 m k 1 p те элемент i -ой строки и k -го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В Получение элемента c ik схематично изображается так 27

28 Примеры: b11 b b21 b22 b b b 11 12b 21 13b 31 11b 12 12b 22 13b 32 21b11 22b21 23b31 21b12 22b22 23b32 31b11 32b21 33b31 31b12 32b22 33b 32 Итак мы перемножили матрицы размерами и получили матрицу - произведение размером b 11 11b 11 12b 21 13b b21 21b11 22b21 23b b31 31b11 32b21 33b 31 В результате получаем вектор-столбец СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 1) A B B A (переместительного свойства нет) Более того если матрица A B существует то матрица B A может не существовать Поэтому принято говорить «умножим матрицу A 28

29 справа на B» тогда получим AB При умножении матрицы A «слева на B» имеем B A Если матрицы А и В квадратные одного размера то произведения A B и B A всегда существуют Матрицы А и В называются перестановочными если AB B A 2) Произведение квадратной матрицы на единичную матрицу того же порядка равно самой матрице те Доказательство: AE E A A Итак AE A Нетрудно показать что E A A T T T 3) A B B A Доказательство: ЧТД Пусть A B b b b b Тогда A T T b11 b21 B b b b 11 12b 21 11b 12 12b 12 AB 21b11 22b21 21b12 22b 22 В то же время T 11b b21 21b11 22 b21 AB 11b b22 21b12 22 b22 29

30 B T T b11 b A b b b b21 21b11 22 b21 A B 11b b22 21b12 22 b22 T ЧТД Непосредственной проверкой можно убедиться что для суммы и произведения матриц справедливы следующие свойства: 4) T T T A B A B 5) ABC AB C (свойство сочетательности) 6) AB C AB AC (свойство распределительности) 7) A BC AC BC (свойство распределительности) 8) AB A B (свойство распределительности) ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение: Квадратная матрица называется невырожденной если ее определитель D 0 Определение: Обратной матрицей квадратной матрицы A называют матрицу 1 1 A A A A E Обратная матрица вычисляется по формуле 1 A для которой выполняется соотношение 30

31 A11 A21 A31 D D D A 1 12 A22 A A A D D D A13 A23 A33 D D D где D определитель матрицы A элементов матрицы A Aij алгебраические дополнения Эта формула легко доказывается перемножением 1 AA E Очевидно обратная матрица существует только для невырожденных матриц то есть матриц определитель которых не равен нулю Вырожденная матрица (ее определитель равен нулю) обратной матрицы не имеет СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1 Пусть определитель матрицы A равен det A определитель матрицы 1 A 1 равен det A тогда det A AB B A 1 4 T T 1 A A 1 1 det A РАНГ МАТРИЦЫ Определение: Рангом матрицы называют порядок наибольшего не равного нулю определителя составленного из ее элементов Пояснение: Рассмотрим матрицу размера m n 31

32 Выделим в ней k строк и k столбцов Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k порядка Все эти определители называются минорами матрицы А Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличных от нуля и является рангом матрицы Далее будет показано как ранг матрицы коэффициентов ЛАУ влияет на ее решение СВОЙСТВА РАНГА МАТРИЦЫ 1 При транспонировании матрицы ее ранг не меняется 2 Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд то ранг матрицы не изменится 3 Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ Решаем систему n уравнений с n неизвестными: 11x1 12 x2 13 x3 1 nxn b1 21x1 22x2 23x3 2nxn b2 31x1 32x2 33x3 3nxn b3 x x x x b n1 1 n2 2 n3 3 nn n n 32

33 Обозначим A n n n1 n2 nn X x1 b1 x2 b2 B xn bn Нетрудно заметить что в матричном виде система будет выглядеть следующим образом AX B РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1 Умножаем уравнение слева на матрицу A Ясно что она должна существовать то есть определитель матрицы A должен быть не равным нулю Это означает что данный метод пригоден только для случая единственного решения системы уравнений Итак A A X A B E X A B X A B Решение получено остается его реализовать Пример: Решить систему Очевидно 2 x 4x 9x x1 x2 x x1 9x2 9x3 5 33

34 2 4 9 A x1 28 X x2 B 1 x 3 5 Основной определитель этой системы уравнений совпадает с определителем матрицы A: Подсчитаем алгебраические дополнения элементов определителя: Тогда A 27 ; A 21; A 42 ; A 45 ; A 81; A 46 ; A 3 ; A 75 ; A A и X x ( 1) x x отсюда x1 2 x3 3 x3 4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА Процесс решения системы по методу Гаусса состоит из двух этапов На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности к треугольному) те 34

35 11x1 12x2 13x3 1k xk 1n xn b1 22x2 23x3 2k xk 2nxn b2 x x x b k k 3n n 3 x x b kk k kn n k где k n 11 ii 0 i 1 k Пояснение: k n если все уравнения в системе разные k n если в исходной системе уравнений есть уравнения являющиеся линейной комбинацией других уравнений системы Эти уравнения отбрасываются На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы На практике удобнее работать не с системой а с расширенной матрицей выполняя все элементарные преобразования над ее строками Пример: Рассмотрим систему x 2x 3x x1 x2 x x1 2x2 5x3 6 Итак решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса реализуется построением треугольной матрицы эквивалентной исходной Расширенная матрица этой системы

36 содержит все параметры системы Запишем эквивалентную ей матрицу у которой ниже главной диагонали стоят одни нули Для этого умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй затем первую строку умножаем на (-3) и суммируем с третьей: Полученная матрица соответствует системе x 2x 3x x2 x x эквивалентной исходной то есть имеющей то же решение Таким образом x3 2 x2 4 x Отметим что это не единственный вариант решения который можно получить методом Гаусса В последней строке могут быть три первых нуля и не нуль последний элемент Легко установить что система в этом случае несовместна Может случиться и так что вся последняя строка состоит из нулей Тогда следует рассмотреть вторую строку Если она также состоит только из нулей то остается одно уравнение относительно трех неизвестных и мы имеем бесчисленное множество решений когда одна из неизвестных выражается через две другие которые могут задаваться произвольно Если во второй строке нулем является только первый элемент то имеем также бесчисленное множество решений когда две неизвестные выражаются через одну задаваемую произвольно 36

37 Наконец во второй строке не равен нулю только последний элемент тогда система несовместна Пример: Рассмотрим систему Расширенная матрица этой системы x 2x 4x x1 x2 x x1 x2 x Мы пришли к системе двух уравнений с тремя неизвестными x1 2x2 4x3 1 x3 x2 1 3x2 3x3 3 x1 2x2 3 Ее решение имеет вид двух формул для вычисления неизвестных x1 x3 при любом заданном x 2 37


Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах.

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А. Б. СОБОЛЕВ, А. Ф. РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ. В двух книгах. ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ А Б СОБОЛЕВ, А Ф РЫБАЛКО МАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ В двух книгах Книга 1 Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее