Глава 2. Системы линейных равнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 2. Системы линейных равнений"

Транскрипт

1 Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь ( i m j ) коэффициенты системы (первый индекс указывает a ij номер уравнения второй номер неизвестного) ( i m) свободные члены b i b i Если b b b то система () называется однородной Если хотя бы одно m то система называется неоднородной Определение Решением () называется набор значений неизвестных обращающий все уравнения системы в числовые равенства ЛАУ называется разрешимой (совместной) если она имеет хотя бы одно решение В противном случае ЛАУ называется неразрешимой (несовместной) Если хотя бы одно из уравнений ЛАУ не имеет решения то ЛАУ несовместна Определение ЛАУ называется определенной если имеет только одно решение и называется неопределенной если имеет более одного решения Однородная ЛАУ всегда совместна тк имеет нулевое решение Определение овокупность всех решений ЛАУ называется общим решением Две ЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются равносильными (эквивалентными) если множества их решений совпадают Любые две несовместные ЛАУ с одинаковым числом неизвестных считаются равносильными Исследовать и решить ЛАУ это значит: ) установить совместна она или несовместна; ) если она совместна установить является она определенной или неопределенной при этом: в случае определенной системы найти единственное ее решение; в случае неопределенной системы описать множество всех ее решений Определение Матрица размера m a a a a a a A am am am () называется матрицей (или основной матрицей) системы ()

2 Определение Матрица размера m ( ) a a am a a a m a b a b () a m bm называется расширенной матрицей системы () истему () можно записать в матричном виде A b где A матрица системы ( ) вектор неизвестных b ( b b m ) вектор свободных членов Частным случаем () является ЛАУ состоящая из одного вида уравнения например Уравнение вида назовем «безразличным» уравнением тк этому уравнению удовлетворяет любой набор неизвестных Определение Элементарными преобразованиями ЛАУ называются следующие преобразования: перемена местами двух уравнений системы; умножение обеих частей одного уравнения на число отличное от нуля; прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения умноженных на некоторое число Напомним несколько определений для матриц системы () Определение Матрицу назовем приведенной если в каждой ее ненулевой строке имеется ненулевой элемент такой что все остальные элементы столбца содержащего этот элемент равны нулю Указанный ненулевой элемент назовем ведущим и будем заключать его в угловые скобки Пример Матрицы () являются приведенными а матрица () () (6) ( ) ( ) () приведенной не являются тк во -ой строке нет ведущего элемента 6 8 () () Отметим что ведущий элемент в строке можно выбрать не единственным способом

3 Например в матрице 6 () ( ) в первой строке в качестве ведущего можно выбрать любой ненулевой элемент Определение Назовем рангом матрицы число ненулевых строк соответствующей ей приведенной матрицы (обозначается aka A приведенная матрица матрицы A ) Определение ЛАУ называется приведенной если ее основная матрица приведенная При решении систем линейных алгебраических уравнений зачастую вместо самих систем выписывают их расширенные матрицы Так системе соответствует расширенная матрица И наоборот По расширенной матрице можно восстановить систему линейных уравнений Например матрице соответствует ЛАУ При этом элементарным преобразованиям системы соответствуют элементарные преобразования расширенной матрицы: перемена местами двух строк матрицы ) ; ( i j умножение одной из строк матрицы на число отличное от нуля ( i ) ; прибавление к строке матрицы другой строки умноженной на некоторое число прибавление к i ой строке j ой строки умноженной на Обратите ( i j внимание что при таком преобразовании изменяется я строка а j я остается неизменной) Проведение одного элементарного преобразования в ЛАУ вида () равносильно проведению соответствующего строчного элементарного преобразования в матрице вида () Например Y Y Метод Гаусса исследования ЛАУ сводится к построению с помощью элементарных преобразований приведенной ЛАУ равносильной исходной системе и последующего исследования и решения приведенной ЛАУ i

4 Метод Гаусса основан на следующих двух теоремах Теорема ЛАУ полученная из исходной ЛАУ с помощью конечного числа элементарных преобразований равносильна исходной ЛАУ Теорема Для любой ЛАУ существует равносильная ей приведенная ЛАУ Отметим что как правило приведенная ЛАУ равносильная исходной ЛАУ определяется неединственным образом (покажем ниже) Исследование приведенной ЛАУ распадается на этапа этап овместность и несовместность Если расширенная матрица приведенной ЛАУ содержит строку вида ( b) где b те сама приведенная ЛАУ содержит уравнение вида b () то она несовместна тк b ледовательно несовместна и исходная ЛАУ Если расширенная матрица ЛАУ содержит строку вида ( ) то ей в системе соответствует «безразличное» уравнение которое можно отбросить без ущерба для дальнейшего исследования тк получим равносильную систему Если же приведенная ЛАУ не содержит уравнений вида () то она совместна ледовательно совместна и исходная ЛАУ Заметим что появление уравнения вида () в процессе построения приведенной ЛАУ уже свидетельствует о несовместности исходной ЛАУ этап Описание общего решения В каждой строке приведенной ЛАУ есть ведущий элемент Неизвестные отвечающие ведущим элементам назовем связанными остальные неизвестные свободными Например (7) 6 если дана приведенная расширенная матрица то связанными () неизвестными в соответствующей ЛАУ будут и а свободными и Так как в каждом уравнении приведенной ЛАУ содержится только одно связанное неизвестное хотя и определяемое неединственным способом отсутствующее в остальных уравнениях то придавая свободным неизвестным произвольные значения мы единственным образом определяем значения связанных неизвестных а значит и решение ЛАУ Ясно что при наличии свободных неизвестных ЛАУ будет неопределенной и имеет бесчисленное множество решений

5 Описание общего решения дается следующим образом Пусть например переменные связанные а переменные свободные тогда матрица приведенной ЛАУ (с точностью до отброшенных нулевых строк) имеет вид f f f () () () () Здесь не нарушая общности мы считаем что ведущие элементы равны Этого всегда можно добиться с помощью элементарных преобразований -го типа ама приведенная ЛАУ имеет вид: f f f (6) а формулы выражающие связанные переменные через свободные принимают вид f f f (7) Иногда последние формулы называют общим решением исходной ЛАУ Однако строго говоря общим решением исходной ЛАУ является вектор об f f f (8) где произвольные действительные числа Для получения частного решения параметрам в формуле (8) следует придать конкретные числовые значения В случае отсутствия свободных переменных все переменных являются связанными матрица () приведенной ЛАУ имеет вид: f f f () () ()

6 а сама система (7) имеет вид: f f f Поэтому ЛАУ является определенной и ее единственное решение имеет вид ( f f f ) В приводимых ниже примерах необходимо выяснить совместна ли система а если да то найти ее общее решение и несколько частных решений Пример 7 Р е ш е н и е Выпишем расширенную матрицу системы: () 7 В качестве ведущего возьмем второй элемент в первой строке и выполним следующие преобразования: Это даст матрицу () Итак в первой строке есть ненулевой элемент в столбце которого все остальные элементы нули Прежде чем двигаться дальше обратим внимание на то что третью строку матрицы соответствующую уравнению можно упростить (сократим обе части уравнения на три) При этом матрица системы примет вид () () В качестве ведущего элемента третьей строки выберем первый Выполним преобразования: Это даст матрицу: () (9) 8 () Производя сокращение во втором уравнении и выбирая за ведущий третий элемент во второй строке матрицы получим выполнив преобразования : () () ()

7 Итак матрица системы приведенная Все неизвестные связанные свободных неизвестных нет ледовательно система имеет единственное решение или ( ) Для того чтобы убедиться в правильности полученного результата рекомендуем делать проверку Для этого необходимо подставить полученные значения в исходные уравнения и убедиться что последние обращаются в равенства Пример 9 Р е ш е н и е () 9 () (/ ) (/ ) () 9 (/ ) () 8 () 6 ( ) () () 8 () () () () 8 () () () Матрица системы теперь приведенная В соответствии с выбором ведущих элементов связанными неизвестными будут ледовательно свободное неизвестное Выпишем полученную систему: 8

8 Выразим связанные неизвестные через свободные: 8 (9) Получаем общее решение общ ( 8 ) R Для нахождения частного решения положим например тогда ) ( () Итак исходная система совместная и неопределенная общее решение задается выражениями (9) одно из частных имеет вид () Выше говорилось о том что ведущие элементы матрицы можно выбирать по-разному Так если начать преобразования выбирая первым ведущим -ый элемент в -ой строке то в итоге получим: 9 () ) ( () ) ( ) ( () 9 () / / () 9 ) ( - 8 () () 7 / / (6) 6 () 8 (8) Здесь уже свободным неизвестным будет переменная а общее решение примет вид: R с с с с с Остановимся отдельно на случае систем однородных линейных уравнений Такая система всегда совместна тк ей удовлетворяет нулевой набор значений неизвестных Поэтому основным здесь является вопрос о существовании ненулевого (нетривиального) решения Рассмотрим

9 Пример 7 Решим эту тривиальную (состоящую из одного уравнения) систему Р е ш е н и е оответствующая расширенная матрица есть 7 и имеет ранг ледовательно связанная неизвестная одна а свободных В качестве связанной можно выбрать любую например тогда общее решение будет иметь вид общ (( с 7 ) / с с с ) с с с R В качестве частного можно взять например следующее (положив с с с ) (/ ) Пример 7 6 Р е ш е н и е () () 7 () 6 () () () () () () ( () вободных неизвестных нет следовательно исходная система имеет лишь нулевое решение Пример Р е ш е н и е 7 7 () 6 6 ()

10 () () () () () () () () () () Как уже отмечалось выше отбрасывание нулевой строки (в данном случае последней) приводит к равносильной системе те получаем: Переменные связанные свободные ледовательно нетривиальные решения исходной системы определяются формулами: а общее ее решение имеет вид: ) ( R А теперь рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений коэффициенты или свободные члены которых могут зависеть от параметра Здесь задача ставится так: выяснить при каких значениях параметра система совместна и найти эти решения Если параметр входит в один коэффициент системы целесообразно при использовании метода Гаусса проводить такие элементарные преобразования которые не приводят к «расползанию» параметра по матрице Пример Р е ш е н и е 6 7 () 6 7 () 7 6 / 6 7 () 7 6 () 6) ( () ()

11 На этом этапе мы замечаем что при те при / система несовместна а при / система является определенной так как проводя преобразование /( ) мы получаем что () () () () () _ () и следовательно единственное решение системы имеет вид: Например при ( ) Предлагаем читателю для вычислительного контроля проверить что при вектор ( ) действительно удовлетворяет исходной системе уравнений Наличие параметра в ЛАУ не обязательно приводит к существованию таких его критических значений как в примере 7 при которых ЛАУ меняет свое качество Пример 8 - Р е ш е н и е () () ( ) ( ) /( ) () () () () () () Таким образом рассматриваемая ЛАУ при любых значениях определенной а ее единственное решение имеет вид: является Пример 9 = Предлагаем читателю убедиться что при любых значениях данная ЛАУ является несовместной Если параметр входит в несколько коэффициентов рассматриваемой системы уравнений то прежде чем применять метод Гаусса часто целесообразно провести вспомогательные преобразования учитывающие структуру матрицы ЛАУ

12 Пример = Р е ш е н и е Проведем следующее вспомогательное преобразование: 9 Ясно что при ) = ( система несовместна Полагая проводим преобразование ) /( после этого следуем стандартному алгоритму метода Гаусса 9 ) ( ) ( 9 Из вида последней матрицы следует что мы обнаружили еще одно критическое значение параметра Если мы можем провести элементарное преобразование ) /( ) /( И тогда применяя стандартный ход метода Гаусса получаем что: () 9 () () 6 () () () то есть ЛАУ является определенной а ее единственное решение имеет вид (9) Если же мы получаем ЛАУ которая совместна и неопределена а ее общее решение имеет вид: об ) ( где R ()

13 Таким образом при исходная ЛАУ несовместна при и она определена и имеет решение вида (9) а при она совместная неопределенная и имеет общее решение вида () Пример = Р е ш е н и е / 6 6 / 6 / ( ) / () () Для того чтобы эта система была совместна необходимо чтобы те Тогда общее решение имеет вид: Т или R При система несовместна Пример При каких значениях параметра система ( ) 6 ( ) ( ) имеет ненулевые решения Р е ш е н и е () 6 ( ) 8 ( ) Пусть (случай уравнении на Получим: () () 8 ( ) 7 (7 ) ( ) 8 ( ) 8 ( )( ) 8 ( )( ) 8 8 ( 6 9) ( ) 7 исследуем отдельно) ократим во втором ( )(7 ) 8 ( )( 7 ) Аналогично если то имеем систему с матрицей () ()

14 () ( ) () () () () () ледовательно если ( )( ) система имеет лишь тривиальные решения При имеем систему: 6 7 Используя предыдущие выкладки получаем: () 8 () / () 6 7 () () Так как является свободной переменной то общее решение ЛАУ в этом случае имеет вид Т R об При имеем систему 6 6 Используя предыдущие выкладки получаем () () 6 6 () В этом случае общее решение ЛАУ имеет вид R об () () Простейшие матричные уравнения Простейшие матричные уравнения имеют вид: AX F () YB G () AZB H () где A B F G H известные матрицы а X Y Z неизвестные матрицы соответствующих размеров Если матрицы A и B квадратные и обратимые тогда уравнения () () разрешимы при любых правых частях FG и H (соответствующих размеров) и имеют единственные решения которые определяются по формулам X A F () Y GB () Z A HB (6) Матричные уравнения тесно связаны с системами линейных алгебраических уравнений

15 Отправляясь от ЛАУ вида () введем столбец неизвестных и столбец правых частей X ) ( F b b b m Тогда произведение AX где A имеет вид () существует а ЛАУ () может быть представлена в виде матричного уравнения () эквивалентного ей в том смысле что они одновременно несовместны или совместны а в последнем случае имеют одинаковые решения Если матрица A обратима то уравнение () а с ним и ЛАУ вида () совместны при любых b b b а их единственное решение имеет вид () Заметим что в последнем случае применение метода Гаусса к ЛАУ () приводит исходную расширенную матрицу F E P где P единственное решение () A к виду Пример Вернемся к примеру Проводя в приведенной матрице элементарные преобразования получаем () A () () F E P то есть P A F Если матрицы A и B в уравнениях () () необратимы (например они могут быть неквадратными) тогда эти уравнения следует сводить к равносильным им системам линейных алгебраических уравнений следующим способом Пример Решить матричное уравнение X (7) при различных значениях R Р е ш е н и е Поскольку по условию задачи X квадратная матрица второго порядка положим X Подставляя эту матрицу в уравнение (7) проводя умножение и используя условие равенства матриц получаем равносильную систему линейных алгебраических уравнений следующего вида (8) Эту систему решаем методом Гаусса:

16 ( ) ( ) ( ) ( ) откуда следует что ЛАУ (8) совместна тогда и только тогда когда выполнены условия При выполнении последних условий ЛАУ (8) является неопределенной а ее общее решение имеет вид R X Но тогда матричное уравнение (7) разрешимо только для тех правых частей F которые имеют вид F а общее решение этого уравнения определяется формулой X где R Пусть например тогда X част Действительно с помощью простых вычислений убеждаемся что Применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы Рассмотренный выше метод Гаусса решения систем линейных уравнений позволяет указать один из способов нахождения обратной матрицы Как следует из определения матрица X будет обратной матрицей для матрицы A тогда и только тогда если AX E XA E A X E M (9) В то же время если матрица A обратима то она может быть найдена как единственное решение уравнения AX E () тк в силу () X A E= A Покажем как можно найти матрицу X из уравнения () Если элементы матрицы X рассматривать как неизвестные то это равенство можно трактовать как систем линейных уравнений матричная форма которых имеет вид i i AX = E i () i i где X E i тые столбцы матриц X и E (это следует из правила умножения матриц и определения равенства матриц) Отсюда следует что i тый столбец обратной матрицы мы получаем на месте столбца свободных членов после преобразования матрицы A соответствующей системы уравнений в единичную Поскольку у всех этих систем одна и та же матрица то можно все эти системы i преобразовывать одновременно те вместо матриц вида A E рассматривать сразу

17 матрицу A E Если при этом матрицу A преобразовать в единичную с помощью строчных элементарных преобразований одновременно подвергая тем же преобразованиям и матрицу E то на месте последней получаем матрицу A Указанная процедура позволяет одновременно ответить на вопрос: обратима ли матрица A? Если описанный процесс позволяет преобразовать матрицу A в единичную то это матрица обратима Если же строчными элементарными преобразованиями матрицу A в единичную превратить нельзя то A необратима игналом необратимости матрицы A является появление нулевой строки в процессе ее приведения квиду E Пример Выяснить является ли матрица A обратимой и в случае ее обратимости найти матрицу A A Р е ш е н и е () () ( ) () () / / () 7 / / () () / / () 8/ / () / / () 7 / / те матрица A обратима и 8 / / A / / 7 / / делаем проверку проверим равенство AA E 8 / / / / = E те матрица A 7 / / для данной действительно является обратной A

18 Р е ш е н и е () 7 8 () ( ) 8 () Здесь в левой части единичную матрицу получить уже не удается ледовательно матрица A необратима Пример 6 Решить матричное уравнение F B X A где A X B F M и F B A Р е ш е н и е Исследуем матрицы A и B на обратимость E A () () () () () ) ( A E то есть матрица A обратима и Аналогично E B ( ) ) ( ) ( ) ( ( () () B E то есть матрица B обратима и B Но тогда исходное матричное уравнение разрешимо а его единственное решение определяется по формуле (6): A

19 X A FB = = 8 6 Алгоритм используемый при нахождении обратной матрицы удобно применять и для решения уравнений () и () особенно в тех случаях когда заранее известно что матрицы A и B обратимы В самом деле повторяя для уравнения () рассуждения проведенные выше для уравнения () можно заметить что применение метода Гаусса к матрице F E дает решение A F уравнения () A Пример 7 Решить уравнение X 7 Р е ш е н и е () 9 7 () 9 () 9 () 9 () 7 8 то есть 9 X 7 8 Наконец заметим что применение операции транспонирования к уравнению вида () сводит его к уравнению вида () относительно неизвестной матрицы Y B Y G Историческая справка Метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений опубликован в 89 году немецким математиком физиком и астрономом Карлом Фридрихом Гауссом (777 8 гг) Но уже во в до нэ в Китае был известен метод фан-чен решения системы () линейных уравнений с () неизвестными по существу совпадающий с методом Гаусса от которого он отличается тем что все операции проводятся на счетной доске (само название «фан-чен» переводится как «выстраивание чисел по клеткам») Правильное расположение чисел на доске заменяло китайскому математику буквы и индексы нашей символики* * История математики с древнейших времен до начала XIX столетия т М 97

20 Вопросы и задачи для самостоятельной работы Решить систему уравнений Найти общее и одно частное решения

21 Исследовать систему уравнений в зависимости от параметра Найти общее и одно частное решения Найти A если матрица A имеет вид:

22 а) б) в) г) 6 д) Решить матричные уравнения: а) б) в) г) д) е) ж) з) 7 6 X X = 7 7 X 8 6 X X X X 6 6 X 8 6 и) 6 X = 8 9 Найти третий столбец A где

23 A Найти последнюю строку A A где m Что можно сказать о матрице AR m если система A b совместна при любом b? Доказать что если столбцы основной матрицы системы линейно независимы то эта система имеет не более одного решения () () ( k ) Векторы являются решениями неоднородной системы уравнений A b Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих A b? векторов чтобы она снова была решением системы Векторы () () ( k ) являются решениями неоднородной системы уравнений A b Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векторов чтобы эта комбинация была решением соответствующей однородной системы A? Найти необходимое и достаточное условие того что в любом решении совместной системы линейных уравнений неизвестное k принимает одно и то же значение m R 6 Пусть A Доказать следующие утверждения или если они не верны привести контпримеры к ним Если m и для некоторого b система A b не имеет решений то система A имеет бесконечно много решений Если m и для некоторого b система A b не имеет решений то система A имеет бесконечно много решений Если m и система A имеет бесконечно много решений то система A b не имеет решений для некоторого b Если m и система A имеет бесконечно много решений то система A b не имеет решений для некоторого b 7 Доказать что система уравнений совместна при любой правой части тогда и только тогда когда строки ее основной матрицы линейно независимы

24 8 Выяснить какие условия на основную матрицу A системы необходимы и достаточны для того чтобы при любой правой части b система A b a) не была неопределенной; b) не была определенной; ) была определенной; ) была неопределенной; e) была несовместной 9 Найти условия необходимые и достаточные для того чтобы в любом решении совместной системы линейных алгебраических уравнений k -е неизвестное было равно нулю


Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( )

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( ) МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система () m линейных уравнений с неизвестными Для ее решения нужно выполнить следующие действия: Составить расширенную матрицу (7) системы: m

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его

Подробнее

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Елабужский институт Казанского Федерального Университета Инженерно-технологический факультет Научный руководитель: Миронова Ю.Н. Ведение: Многие,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч45 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Недосекин Ю.А. Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Математика Серия: МАТЕМАТИКА Недосекин ЮА Полисистемный метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Аннотация Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее