Определенный интеграл

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определенный интеграл"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Определенный интеграл Индивидуальные задания Новокузнецк

2 УДК 578(7) О 6 Рецензент доктор физико-математических наук, доцент кафедры физики имени профессора ВМ Финкеля Коваленко ВВ О 6 Определенный интеграл Индивидуальные задаия: метод указ / Сиб гос индустр ун-т; сост ВВ Варламов Новокузнецк : Изд центр СибГИУ, 7 с В работе приведены краткие теоретические сведения по теме «Определенный интеграл», разобраны примеры решения задач и даны задания для самостоятельной работы по этой теме Предназначены для практических занятий по теме «Определенный интеграл» для всех направлений подготовки, включающих изучение дисциплины «Математика» Печатается по решению Совета Института фундаментального образования

3 Теоретические сведения ) Формула Ньютона-Лейбница Если F() - произвольная первообразная для непрерывной на a, b функции f ( ), то имеет место равенство b a f ( ) d F( b) F( a) ) Замена переменных в определенном интеграле Пусть f ( ) - некоторая функция, определенная на отрезке a, b Введем новую переменную t по формуле ( t) Пусть ( ) a, ( ) b, функции ( t), ( t) и f ( ( t)) непрерывны на отрезке, Тогда b a f ( ) d f ( ( t)) ( t) dt ) Интегрирование по частям Для любых непрерывно дифференцируемых на отрезке a, b функций f ( ) и g( ) имеет место равенство b a f ( ) g( ) d ( f ( ) g( )) g( ) f ( ) d или, в обозначениях b a u f ( ) dv g( ) d, du f ( ) d v g( ) b a b a b a udv uv vdu ) Площадь криволинейной трапеции Напомним, что если для a, b имеет место неравенство f ( ), то площадь криволинейной b a

4 трапеции abba (см рис) равна b a f ( ) d Если f ( ) для a b,, то очевидно, что площадь фигуры abba (см рис) равна f ( ) d b a Рисунок Рисунок Если линия l из рисунка 6 задана параметрическими уравнениями ( t), y ( t), где t и ( ) a, ( ) b, то площадь фигуры abba равна ( t) ( t) dt Если имеется уравнение линии l (см рис ) в полярных координатах: f ( ), где, то площадь криволинейного сектора ОАВ равна ( f ( )) d Рисунок 5) Объём тела вращения Пусть некоторое тело образовано вращением вокруг оси O криволинейной трапеции abba, ограниченной линией l с уравнением y f ( ) и прямыми О, a, b Тогда объем V этого тела находится по формуле V f ( ) d Длина дуги кривой Длина L дуги AB кривой l, заданной уравнением y f ( ), где точка A соответствует значению a, точка В - значению b (см рис ), находится по формуле L ( f ( )) d b a b a Рисунок

5 Пример b b a ) d ) a b a d, Пример Для вычисления интеграла r d сделаем замену переменной: r sin t Имеем при t и r при t Таким образом, r r r / cos d tdt r / / r ( r sin cos t) dt t r cos tdt r r / t sin t ( ) r o sin / r t cos tdt Пример u arcsin arcsin d d du w w dw d dv d v dw w ( arcsin ) ( w / ) d Пример ) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми y и y (см рис 5) Находим точки пересечения кривых: 6,, и, значит,, Следовательно, S d d / 5 5

6 Рисунок 5 Рисунок 6 ) Вычислить площадь S эллипса, заданного параметрическими уравнениями acos t, y bsin t (рис 6) Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим полученный результат cos t S ( bsin t)( asin t) dt ab sin tdt ab dt t sin t ab ab ) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением cos (рис 7) Рисунок 7 Найдем четверть искомой площади (соответствующую изменению в пределах от до / ) и умножим ее на S / ( cos ) d / sin cos d / Пример 5 ) Найти длину L окружности y r Вычислим длину четверти окружности, лежащей в первом квадранте (длину дуги АВ с уравнением y r, когда r) и умножим результат на : r r r r L d d r arcsin r r r r ) Вычислить длину L кривой с уравнениями a cos t, y asin t при t 6

7 L Так как / 9a ( ) a cos cos t t sin t 9a t sin t и sin t cos ( y) a sin t t cos t, то / / / sin t a a sin t cost cos t sin tdt a sin t costdt a ) Найти длину L линии, заданной полярным уравнением cos, при Так как sin, то L ( cos) sin d cosd cos d sin tdt Задачи для самостоятельного решения Задача Вычислить определенные интегралы ( 5 6)cos d cos d cos d cos d 5 7 cos d cos d cos d 8 9 5cos d 7 cos d cos d 5 cos d 8 cos d sin d sin d

8 5 sin d sin d sin d 5 6 sin d 7,5 sin d sin d ln d e ln d 8 ln d ln d 5 ln d 6 ln d ln d 8 7 e ln d 9 e d e d e d Задача Вычислить определенные интегралы e e ln d d 8

9 arctg d d 5 7 cos d 6 sin 8 arctg d 8 cos sin d sin cos d 9 d 8 d 8 d arctg d arctg d d 5 arcsin sin d 6 d d 8 d d tg ln cos d arccos d 6 9 e ln d e ln d d cos ( ) tg( ) d cos d ( sin )

10 7 sin cos 5 d 8 cos sin cos sin d sin 9 d d 9 d Задача Вычислить определенные интегралы arctg d sin cos cos d cos arctg d sin cos arctg( ) cos d cos 5 cos sin d 6 sin arctg arctg d cos cos 7 arctg( ) d 8 sin sin arctg( ) arctg( ) d sin cos 9 cos d 5 cos cos d sin cos sin d cos sin cos d sin cos sin d sin cos arctg( ) sin sin d 5 cos d 6 sin cos arctg( ) cos d ( sin ) cos

11 7 9 cos d 8 cos sin cos d cos sin cos d arctg( ) cos sin sin d cos cos sin d sin sin d cos sin 5 sin d cos sin sin d cos sin 6 cos d cos sin cos d cos sin 7 9 arctg d 8 sin sin sin d sin sin d 5 sin d cos sin d cos cos Задача Вычислить определенные интегралы 8 8 sin d 6 sin cos d sin cos d 6 sin cos d cos d sin d

12 7 6 sin cos d 8 sin cos d 9 6 sin cos d 8 cos d sin d sin cos d 8 sin cos d 6 sin cos d 5 8 cos d 8 6 sin d sin cos d sin cos d sin cos d 8 cos d 8 sin d 6 sin cos d sin cos d 8 6 sin cos d cos d 6 8 sin d 7 6 sin cos d 8 sin cos d sin cos d cos d

13 sin cos d функций Задача 5 Вычислить площади фигур, ограниченных графиками 5 y y, 8 y 9, y, 5 5 y, y y sin cos, y, 5 55 y y,,, y y,, 56 y cos sin, y, y e, y, ln 59 y, y, ln, e 5 y arccos, y, 5 y y, 5 y, y y 6, y, arccos y,, y

14 55 y arctg, y, 56 y y 8,, 57 y e,, y ln y, y, y, y, 5 y, y, cos, 5 y, y8 y y 5 cos sin,, 5 y 5, y, 5 y, y y 55,, y ln y y, y e 56 e y, y,, y y 6,, y,, y, y

15 59 y y, y cos, y, 5 5 y, y y Задача 6 Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями 6 cos t, y sin t, 6 cos t, y sin t, y y 6 t sin t, y cos t, y 8, y 6 6cos t, y sin t, 65 cos t, y 6sin t, y y 66 t sin t, y cos t, y, y y 6cos t, sin t, 6 6 t sin t, y cos t, y 6, y cos t, y sin t, y y 8 cos t, y sin t, 5

16 6 cos t, y sin t, y y 6 6 t sin t, y 6 cos t, y 9, y 9 6 cos t, y sin t, 6 cos t, y 8sin t, y y 65 6 t sin t, y 6 cos t, y 6, y 6 66 y 8cos t, sin t, 67 y 6cos t, sin t, 68 t sin t, y cos t, y 5, y 5 69 y sin t, cos t, 6 cos t, y sin t, y y 6 t sin t, y cos t, y, y 6 8cos t, y 8sin t, 6 9cos t, y sin t, y y 6 8 t sin t, y 8 cos t, y 6, y 65 y cos t, sin t, cos t, y 8sin t, y y 6

17 67 t sin t, y cos t, y, y 68 y sin t, cos t, 69 cos t, y 5 sin t, y 5 y5 6 t sin t, y cos t, y 6 8, y 6 6 y cos t, sin t, Задача 7 Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах cos, 7 r cos 7 r r r 7 r cos, r sin, 7 r r r sin, 75 r cos, r sin, 76 r sin 77 r r r 6sin, 78 r cos r cos, 79 r sin, r sin, 7 r cos, 6cos, 7 r sin 7 r r r 7

18 r cos, r sin, 7 7 r r cos, sin, 75 r cos, r cos 76 r sin, r sin 77 r cos 78 r cos 7 r r 79 r sin 7 r r 5 sin, sin cos, 5 cos 7 r cos 7 r sin 6 7 r cos, r cos 75 r cos sin 76 r sin 77 r cos6 78 r cos sin 79 r sin, r 5sin 7 r sin, r sin 7 r 6sin, r sin Задача 8 Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат ln 8 y ln, 5 8 y, 8 y arcsin, y ln, 8 85 y ln cos, 6 86 y e 6, ln 8 ln 5 87 y arcsin, y ln, 88 8

19 89 y arccos, 8 9 y ln, 8 8 y ch, 8 y ln cos, 6 8 y e, ln 5 ln 8 y arccos, 85 y e, ln ln 8 86 y arcsin, y lnsin, y ln, y arccos 5, 9 8 y arccos, y lnsin, 8 y ln 7 ln, 8 8 y ch, 8 y arcsin, 85 y ln cos, 6 86 y e 6, ln 8 ln e e y, y arccos, e e y, 9

20 8 y e e, ln ln 5 8 e e y, Задача 9 Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями t sin t, y 5 cos t, t cost t sin t, y sint t cos t, t cos t, y sin t, t t sin t, y cos t, t cost t sin t, y sint t cos t, t 6cos t, 9 y 6sin t, t cost cos t, y sint sin t, t t sint t cos t, y t t t t t cos sin, t e cost sin t, t y e cost sin t, t cost cos t, y sint sin t, t t sint t cos t, y t t t t t cos sin, t e cost sin t, t y e cost sin t, t

21 ,5 t sin t, 9 y,5 cos t, t 6cost t sin t, 95 y 6sint t cos t, t 8cos t, 97 y 8sin t, t 6 t sin t, 99 y cos t, t 8cost t sin t, 9 y 8sint t cos t, t cos t, 9 y sin t, 6 t t sin t, 95 y cos t, t cost t sin t, 97 y sint t cos t, t ,5 cost cos t, y,5 sint sin t, t t sint t cos t, y t t t t t cos sin, t e cost sin t, t y e cost sin t, t cost cos t, y sint sin t, t t sint t cos t, y t t t t t cos sin, t e cost sin t, t y e cost sin t, t cost cos t, y sint sin t, t t sint t cos t, y t t t t t cos sin,

22 99 9 y t cos t, sin t, t sint t cos t, y t t t t cos sin, 9 t e cost sin t, t y e cost sin t, 6 t t Задача Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах e, e, e, 5 5e, 5 5 6e, 6 e, 7 e, 8 e, 9 5 5e, 5 e, sin, 6 cos, sin, 6 sin, 6 5 cos, 5 6 sin, 6 7 sin, cos, 8 9,,, 5, 5

23 ,, 5 5, 5 6 cos, 6 7 8cos, 8 6cos, 9 sin, 6 8sin, 6sin, Задача Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями y, z y, z y 9 z y, z y z, z, z 9 y z, z 9 6 y z 5, z, z 6 9 y 9, z y, z y 6 7 z 9 y, z 8 y z, z, z y z 9, z y z, z, z y, z y, z y z 8 y, z y z, z, z 8 5

24 y z, z 9 6 y z 5, z, z y 6, z y, z y 6 7 z 5 y, z 5 y 8 z, z, z 9 y z 9, z 9 5 y z, z, z y y, z, z y 7 5 z 9 y, z 6 y z, z, z y z, z 5 9 y z 5, z 5, z 6 9 y 6 y, z, z y 7 7 z 8 y, z 6 y 8 z, z, z 5 9 y z 9, z y z, z 6, z 6 9 y z, z 7, z

25 Задача Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций В вариантах 6 ось вращения O, в вариантах 7 ось вращения Oy y 5 6, y y, y y sin, y sin, y 5cos, y cos,, 5 y y sin,, 6 y,, y 7 y e, y, 8 y y,, 9 y, y y e, y,, y y, 5 y y y,,, y, y, y, y 6 y sin, y y arccos, y arccos, y y arcsin 5, y arcsin, y y,, y y y y,,, y, y, y,,5 y ln,, y y, y y y y y,,, 5 y, y 6 y arccos 5, y arccos, y 7 y arcsin, y arccos, y 5

26 8 y y,, 9 y, y y arccos, y arcsin, y,,, y Библиографический список Письменный Л Т Конспект лекций по высшей математике Полный курс / Москва : Айрис Пресс, 6 68 с Берман ГН Сборник задач по математическому анализу Изд 8-е М: Наука, 5 6 с Данко П Е Высшая математика в упражнениях и задачах Т / П Е Данко, А Г Попов, Т Я Кожевникова Москва : М: ОНИКС, 9 68 с Лунгу КН Сборник задач по высшей математике курс / КНЛунгу, ДТПисьменный, СНФедин, ЮАШевченко -е изд M: Айрис-пресс, с Минорский ВП Сборник задач по высшей математике М: Физматлит, 6 с 5 Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисление Т, -е изд М: Наука, 9 56 с, Т, -е изд М: Наука, с 6 Шипачев ВС Высшая математика М: Высшая школа, 8 с 6

27 Учебное издание Составитель Варламов Вадим Валентинович Определенный интеграл Индивидуальные задания Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать Формат бумаги 6 8 /6 Бумага писчая Печать офсетная Усл-печ,57л Уч-изд,76л Тираж 5 экз Заказ Сибирский государственный индустриальный университет 657, г Новокузнецк, ул Кирова, Издательский центр СибГИУ 7

28 8

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий

Дифференциал функций Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии АВ Аристархова, НГ Бабаева Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. Методические указания для практических занятий

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий Кафедра математики КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Семинар 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения

Семинар 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения Семинар. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения. Определенный интеграл и его геометрический смысл.. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные и криволинейные интегралы.

Подробнее

Молодежная научная конференция «Все грани математики и механики» (24 30 апреля 2015 г.)

Молодежная научная конференция «Все грани математики и механики» (24 30 апреля 2015 г.) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Молодежная научная конференция «Все грани математики

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) МАТЕМАТИКА Контрольно-измерительные

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальности АТ,ОБД семестр IV.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальности АТ,ОБД семестр IV. Билет. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование.. Найти неопределённые интегралы: а) + ; б) х cos. Вычислить определенный

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ СОСТАВИТЕЛИ:

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Криволинейный интеграл 1-го рода

Криволинейный интеграл 1-го рода Криволинейный интеграл -го рода ) Вычислить ( x + y) dl, где - контур треугольника с вершинами O( ; ), A( ; ), ( ; ) B. Здесь имеем дело с криволинейным интегралом -го рода. Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4.

С помощью обобщённых полярных координат вычислить площадь фигуры, которая ограничена следующей кривой: x 2 y 2 c 4. 12-е занятие. Вычисление объёмов с помощью двойных интегралов Матем. анализ, прикл. матем., -й семестр Повторение A1 Перейти к полярным координатам ρ и ϕ и расставить пределы интегрирования в том и другом

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ; КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры Найти косинус угла между векторами BA и BC если C Сделать чертеж B A Найти косинус угла между векторами AB и AC

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Контрольные работы по математике

Контрольные работы по математике МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Контрольные работы по

Подробнее

4.3 Геометрические приложения определенного интеграла.

4.3 Геометрические приложения определенного интеграла. 4.3 Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции yy = ff(xx) (ff(xx) ), прямыми х=а и х=b и отрезком [a;b] оси O (рис. 4.2)

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Лекция Интеграл как функция верхнего предела

Лекция Интеграл как функция верхнего предела СА Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Интеграл как функция верхнего предела Формула Ньютона-Лейбница Рекомендуется, чтобы студенты перед прослушиванием этой лекции повторили лекцию 5 о первообразных из

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная. Интеграл»

Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная. Интеграл» ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» Рабочая тетрадь по математике Тема «Первообразная Интеграл» Составитель: НовиковаНП, преподаватель ГОУ СПО «Осинниковский политехнический техникум» ГОсинники

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИБ Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет ИБ Болотин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Практические занятия для студентов курса специальности

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вариант 1. 8.Вычислить объем тела, получающегося при вращении параболы

Вариант 1. 8.Вычислить объем тела, получающегося при вращении параболы d d + e d + e d Вариант Найти площадь фигуры ограниченной линями: Найти площадь фигуры в полярной системе координат y e y = = log = r = asinϕ a= cons Найти площадь фигуры ограниченной линями = 9cos 5Найти

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

Контрольная работа 5

Контрольная работа 5 Вопросы по математике часть для студентов заочной формы обучения специальностей 19060165 Автомобили и автомобильное хозяйство 15040565 Машины и оборудование лесного комплекса 1906065 Сервис транспортных

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед. по дисциплине: по направлению подготовки факультеты: кафедра: курс: семестр: 2 Трудоёмкость: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть V для студентов-заочников всех специальностей МИНСК 999 4 Составители Гладков Л.Л. Назарова И.В.

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Материалы для подготовки

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Е.Г. Давыдов УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Конспект лекций Учебное пособие Москва 017 УДК 519.87(075.8) ББК.18я73 Д13 Рецензенты: С.Г. Журавлёв д-р физ.- мат. наук, проф.; А.Г. Таташев д-р физ.- мат.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Тема Множества точек пространства R Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R Сформулируйте определение

Подробнее

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x.

Задачи группы 5 (тип 6) 6 баллов Тема 6. на три группы: а) при x x0. Разбейте четыре пары бесконечно малых функций ϕ (x) x. , x. Тест модуля Студенты проходят промежуточный тест через Интернет В этот промежуточный тест выносятся следующие задания по темам 7- учебного пособия по математике В данном документе СПЕЦИАЛЬНО не приводятся

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Математический анализ 2 семестр

Математический анализ 2 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический анализ семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные и поверхностные интегралы Глава. Криволинейные и поверхностные интегралы.. Занятие 5... Способы задания кривых Криволинейный интеграл это интеграл, областью интегрирования для которого является кривая. Поэтому сначала напомним

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Министерство общего и профессионального образования РФ Назарова Л.И. Дифференциальные

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Логвенков СА, Мышкис ПА Самовол ВС СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии Москва Издательство МЦНМО

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Интегральное исчисление и ряды»

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Интегральное исчисление и ряды» Факультет геологии, геофизики и геохимии РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Интегральное исчисление и ряды» УЧЕБНЫЙ ПЛАН Всего часов 60 Весенний

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Контрольная работа 8 по математике (Операционное исчисление)

Контрольная работа 8 по математике (Операционное исчисление) Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им ДИ Менделеева» Новомосковский институт (филиал) Контрольная работа 8 по математике (Операционное

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» А.И. ФРОЛОВИЧЕВ, М.В.

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее