Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета по теме «Определенный интеграл» (часть 1) Ростов-на-Дону 2003

2 Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета по теме «Определенный интеграл», часть 1. Ростовна-Дону: УПЛ РГУ Данные указания написаны на основе лекций, читаемых на физическом факультете РГУ. Это позволит студентам многие теоретические разделы курса «математический анализ», относящиеся к данной теме, изучать самостоятельно. Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений от 6 мая 2003 г. (протокол ).

3 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Определение определенного интеграла Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла Понятие о равномерной непрерывности функции Классы интегрируемых функций Свойства определенного интеграла Интеграл с переменным верхним пределом Основные методы нахождения определенного интеграла Литература

4 4 1. Определение определенного интеграла Сначала рассмотрим две задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задача 1. Площадь криволинейной трапеции. y y = f(x) O =x 0 ξ 1 x 1 x k 1 ξ k x k x n =b x Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную отрезком [, b] оси Ox, отрезками прямых x =, x = b и графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), x [, b]. Найдем площадь трапеции. Разобьем промежуток [, b] произвольно на n частей точками = x 0 < x 1 <... < x k 1 < x k <... < x n = b. Через точки деления проведем прямые x = x k, k = 1, 2,..., n 1 до пересечения с графиком функции y = f(x). Криволинейная трапеция разобьется на n элементарных трапеций. Будем считать, что площадь элементарной криволинейной трапеции приближенно равняется площади прямоугольника с основанием [x k 1, x k ] и высотой f(ξ k ), ξ k произвольно-выбранная точка отрезка [x k 1, x k ]. Тогда S кр. трап. f(ξ k ) x k, x k = x k x k 1. Чтобы получить точное значение площади криволинейной трапеции, надо перейти к пределу при условии λ = mx 1kn x k 0: S кр. трап. = lim λ 0 f(ξ k ) x k.

5 5 Задача 2. Определение пути, пройденного материальной точкой за некоторый промежуток времени. Пусть точка совершает прямолинейное движение и v = f(t) ее скорость. Определим путь s, пройденный точкой за промежуток времени [T 1, T 2 ]. Разобьем отрезок [T 1, T 2 ] произвольно на n частей точками T 1 = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k <... < t n = T 2. Рассмотрим [t k 1, t k ], тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени [t k 1, t k ], равен f(τ k ) t k, где τ k произвольная точка сегмента [t k 1, t k ], t k = t k t k 1 (мы считаем, что в это время точка двигалась с постоянной скоростью, равной f(τ k )). Тогда весь путь, пройденный за промежуток времени [T 1, T 2 ], приближенно равен s f(τ k ) t k. Точное значение пути мы получим, переходя в этом равенстве к пределу при условии, что λ = mx 1kn t k 0 s = lim λ 0 Общая постановка задачи f(τ k ) t k. Пусть функция y = f(x) определена на сегменте [, b]. Произведем разбиение сегмента на n частей: x 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. x k 1 x k... x n b На каждом маленьком сегменте [x k 1, x k ] выберем произвольную точку ξ k, ξ k [x k 1, x k ] и составим сумму σ = n f(ξ k ) x k, где x k = x k x k 1. Эту сумму назовем интегральной суммой, составленной для данного разбиения и данного выбора точек ξ k. Обозначим через λ: λ = mx 1kn x k и назовем это число λ шаг разбиения.

6 6 Определение 7.1. Число I называется пределом интегральных сумм σ при λ 0, если для ε > 0 δ(ε), что будет выполняться I σ < ε для любого разбиения сегмента [, b], такого что λ < δ и не зависимо от выбора точек ξ k. Определение 7.2. Функция y = f(x) называется интегрируемой на сегменте [, b], если существует конечный предел ее интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения [, b], ни от выбора точек ξ k. При этом предел называют определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [, b] и обозначают f(x) dx. Теорема 7.1 (Необходимое условие существования определенного интеграла). Если функция y = f(x) интегрируема на [, b], то она ограничена на этом сегменте. Доказательство. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что это не так, и функция не является ограниченной на [, b]. Тогда она не будет ограниченной на каком-то частичном сегменте [x k 1, x k ] и значит, за счет выбора точки ξ k [x k 1, x k ] слагаемое f(ξ k ) x k можно сделать как угодно большим. Поэтому интегральная сумма σ не может иметь конечного предела при λ 0, что противоречит интегрируемости функции f(x) на сегменте [, b]. Теорема доказана. Замечание. Требование ограниченности функции не является достаточным условием. Рассмотрим, например, функцию Дирихле: 1, если x рациональное число, f(x) = 0, если x иррациональное число. Очевидно, что эта функция является ограниченной на всей числовой оси. Покажем, что она, тем не менее, не является интегрируемой на любом сегменте. Рассмотрим произвольное разбиение [, b]. Точки ξ k выберем так,

7 7 чтобы они были рациональными, и составим интегральную сумму σ 1 : σ 1 = f(ξ k ) x k = 1 x k = b. Для того же разбиения в качестве ξ k выбираем иррациональные точки и вновь составим интегральную сумму σ 2 : σ 2 = f(ξ k ) x k = 0 x k = 0. Значит, σ зависит от выбора точек ξ k, тогда σ не имеет предела, не зависящего от выбора точек ξ k (даже для одного разбиения) и, следовательно, функция не интегрируема. Пример. Пользуясь определением, вычислить Решение. Составим интегральную сумму σ = c x k = c(b ), f(x) dx, если f(x) = c. I = f(x) dx = c dx = c(b ). 2. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла Вернемся к геометрической задаче 1. y O x 0 x 1 x k 1 ξ k x k x n b x

8 8 Очевидно, что интегральная сумма σ = n f(ξ k ) x k есть сумма площадей прямоугольников с основаниями x k и высотой f(ξ k ). Обозначим через m k = inf f(x), x [x k 1, x k ], M k = sup f(x), x [x k 1, x k ]. Составим сумму S = n M k x k и сумму s = n m k x k. Заметим, что в отличие от интегральной суммы σ, зависящей как от способа разбиения, так и от выбора точек ξ k, суммы s и S зависят только от разбиения. y M M k N B m k C f(ξ k ) x k = S кр.трап.abnd m k x k = S ABCD M k x k = S AMND O x k 1 x k ξ k A D x Вся сумма s есть площадь наибольшей ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, которая целиком лежит внутри данной криволинейной трапеции, вся сумма S это площадь наименьшей ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, которая содержит криволинейную трапецию. Практически очевидна следующая теорема: Теорема 7.2 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы функция y = f(x) была интегрируема на [, b], необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 существовало такое разбиение сегмента [, b], для которого выполнялось бы неравенство: S s < ε. Иногда необходимое и достаточное условие записывается так: lim(s s) = 0, где λ шаг разбиения. λ 0 (Без доказательства.)

9 9 3. Понятие о равномерной непрерывности функции Рассмотрим функцию y = f(x) непрерывную на множестве X. Это значит, что она непрерывна в каждой точке этого множества, например в точке x и в точке x. Из определения непрерывности в точке следует, что для ε > 0 δ : f(x) f(x ) < ε; x x < δ, δ : f(x) f(x ) < ε; x x < δ. Очевидно, что для одного и того же ε > 0, δ будет, вообще говоря разным, следовательно δ зависит не только от ε, но и от x. Особенно наглядно это утверждение рассматривается на геометрической картинке. y y = f(x) Очевидно, что для одного и того же ε число δ на разных участках оси Ox выбирается разным: там, где график растет быстро δ выбирается, ε вообще говоря, меньше, чем там, где график растет медленно. ε O δ x x δ x x b x Определение 7.3. Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на некотором множестве X, если для ε > 0 существует δ, зависящее только от ε ( δ = δ(ε)), такое что будет выполняться f(x ) f(x ) < ε, для x, x X : x x < δ. Примеры. 1) y = x, x 1 (x = [1, + )).

10 10 Тогда f(x ) f(x ) = x x = 1 2 ξ x x (мы воспользовались теоремой Лагранжа). Совершенно очевидно, что ξ > 1, значит 1 2 ξ x x < 1 2 x x. (1) Зададим ε > 0, и покажем, что δ(ε). Выберем δ = 2ε. Как только x x < δ, так обязательно f(x ) f(x ) < 1 2ε в силу неравенства (1), 2 следовательно, функция f(x) = x равномерно непрерывна на множестве X. 2) y = x 2, x 1, X = [1, + ) Тогда f(x ) f(x ) = (x ) 2 (x ) 2 = 2ξ x x. Покажем, что функция y = x 2 не является равномерно непрерывной. Для этого, очевидно, достаточно показать, что хотя бы для некоторого ε 0 соответствующего δ не найдется, т. е. каким бы образом мы не выбрали число δ найдутся x, x X, такие что x x < δ, f(x ) f(x ) ε 0, где ε 0 хотя бы одно единственное. Покажем, что в данном конкретном примере «плохим» окажется любое ε > 0. Выбираем δ и x > ε/δ, x = x + δ/2. Тогда очевидно, что x x = δ/2 < δ, следовательно ξ > ε/δ (так как лежит между x и x ) и f(x ) f(x ) = 2ξ (x x ) > 2 ε δ δ 2 = ε. Теорема 7.3 (Кантора). Если функция y = f(x) непрерывна на сегменте [, b], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство (метод от противного). Предположим, что y = f(x) не является равномерно непрерывной, т. е. ε 0 > 0, что для δ x, x [, b] : x x < δ, а f(x ) f(x ) ε 0. Выберем δ = 1. Найдутся точки x 1, x 1 [, b], x 1 x 1 < 1; f(x ) f(x ) ε 0. Выберем δ = 1/2. Найдутся

11 11 x 2, x 2 [, b] x 2 x 2 < 1 2 ; f(x 2) f(x 2) ε 0, δ = 1 3, , δ = 1 n, x n, x n [, b], x n x n < 1 n ; f(x n) f(x n) ε 0 ; (2) Рассмотрим последовательность {x n}. Она ограничена, так как принадлежит сегменту [, b], и, следовательно, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся {x n k } {x n k } c [, b]. Рассмотрим подпоследовательность {x n k }. Выбираем x n k с теми же n k, тогда в силу неравенства x n k x n k < 1/n k последовательность {x n k } так же стремится к c, {x n k } c. Отсюда, в силу непрерывности функции f(x) на сегменте [, b] имеем {f(x n k )} f(c), {f(x n k )} f(c) и, следовательно {f(x n k ) f(x n k )} 0. Но этого не может быть, так как в силу неравенства (2) f(x n k ) f(x n k ) ε 0, значит наше предположение неверно. Что и требовалось доказать. 4. Классы интегрируемых функций Используя теорему Кантора, перейдем к рассмотрению основных классов интегрируемых функций. Теорема 7.4. Всякая функция y = f(x), непрерывная на [, b], интегрируема на этом сегменте.

12 12 Доказательство. Зададим ε > 0. Используя необходимое и достаточное условие интегрируемости функции, покажем, что для этого ε найдется такое разбиение [, b] на части, что будет выполняться S s < ε. Сначала воспользуемся теоремой Кантора и по заданному ε подберем такое δ, зависящее от ε и только от ε (δ(ε)), что f(x ) f(x ) < ε, как только x x < δ (для x, x [, b]). Произведем теперь разбиение [, b] на части так, чтобы шаг разбиения λ (λ = mx 1kn x k) был меньше δ и составим разность x k 1 S s = M k x k ξ k ξ k x k m k x k = (M k m k ) x k. Из непрерывности функции на сегменте [, b] следует непрерывность ее на любом сегменте [x k 1, x k ], а потому в силу второй теоремы Вейерштрасса на этом сегменте она достигает своих точных границ, т. е. M k = f(ξ k ), m k = f(ξ k ), ξ k, ξ k [x k 1, x k ]. S s = (M k m k ) x k = [f(ξ k) f(ξ k)] x k < < ε x k = ε(b ) = ε 1 ( x k < δ, значит ξ k ξ k < δ). Теорема доказана. Замечание. Теорема остается справедливой, если функция y = f(x) непрерывна во всех точках [, b], кроме их конечного числа, где она терпит разрыв первого рода. Теорема 7.5. Если функция y = f(x) ограничена на [, b] и монотонна на нем, то она интегрируема на этом сегменте. Доказательство. Рассмотрим для определенности случай монотонного

13 13 возрастания функции. Разобьем [, b] произвольно на части, длины которых не превосходят ε (здесь ε любое f(b) f() число). Составим разность: S s = так как x k < = (M k m k ) x k < y O x 0 = ε f() f(b) ε [f(b) f()] = ε, f(b) f() ε f(b) f() и y = f(x) x 1 x 2 (M k m k ) = (M k m k ) = M 1 m 1 + M 2 m M n m n = b=x n = f(x 1 ) f() + f(x 2 ) f(x 1 ) f(b) f(x n 1 ) = f(b) f(). Следовательно, согласно необходимому и достаточному условию интегрируемости функции (достаточности), мы получим утверждение теоремы. x 5. Свойства определенного интеграла 1. f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx. b 3. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [, b], то функции f(x)±g(x), c f(x) также интегрируемы на [, b], причем: [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx, (3)

14 14 cf(x) dx = c f(x) dx. (4) Доказательство. Докажем первое утверждение. Сначала покажем интегрируемость функции f(x)±g(x). Для этого составим интегральную сумму для этой функции: σ = [f(ξ k ) ± g(ξ k )] x k = f(ξ k ) x k + g(ξ k ) x k. Так как функции f(x) и g(x) интегрируемы (по условию), то обе суммы, стоящие в правой части, имеют пределы и они не зависят от способа разбиения сегмента [, b] и от выбора точек ξ k. Поэтому сумма, стоящая в левой части, так же имеет предел, что и доказывает интегрируемость функции f(x) ± g(x). Кроме того, так как пределы сумм правой части равны соответственно f(x) dx и g(x) dx, то предел суммы, стоящей в левой части и равный [f(x) ± g(x)] dx, будет с другой стороны равен f(x) dx ± g(x) dx. Второе утверждение доказывается аналогично. 4. Если функция y = f(x) интегрируема на [, b], и [c, d] часть [, b], [c, d] [, b], то функция y = f(x) интегрируема на [c, d]. (Без доказательства.) 5. Если функция y = f(x) интегрируема на [, c] и [c, b], то она интегрируема также на [, b] и справедливо равенство f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. (5) c

15 15 Доказательство. 1) Предположим сначала, что c (, b). Покажем сначала интегрируемость f(x) на [, b]. Для этого зададим произвольное ε > 0 и покажем, что найдется такое разбиение [, b], для которого будет выполняться S s < ε. Так как f(x) интегрируема на [, c], то для выбранного ε найдется разбиение [, c] на части, для которого S s < ε/2. Аналогично с [c, b]: S s < ε/2. Объединяя разбиения сегментов [, c] и [c, b], мы получим такое разбиение [, b] на части, для которого будет иметь место неравенство S s = S s + S s < ε 2 + ε 2 = ε. Перейдем к доказательству равенства (5). Произведем разбиение [, b] на части произвольно, но так, чтобы точка x = c была точкой деления. Тогда очевидно имеет место равенство m σ = f(ξ k ) x k = f(ξ k ) x k + f(ξ k ) x k = σ 1 + σ 2, k=m где σ 1 сумма, составленная для [, c]; σ 2 сумма, составленная для c [c, b]. При λ = mx x k 0 σ 1 и σ 2 имеют конечные пределы, равные соответственно f(x) dx и f(x) dx. Следовательно, σ тоже имеет предел, равный c f(x) dx и имеет место равенство (5). 2) Рассмотрим другое расположение точек < b < c. Так как [, b] [, c], то интегрируемость f(x) на [, b] следует из интегрируемости f(x) на [, c] и свойства 4. Кроме того, из пункта 1 свойства 5 следует c f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. b

16 16 Отсюда, используя свойство 2, получаем f(x) dx = c f(x) dx c f(x) dx, b f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Что и требовалось доказать. b Свойства, выражающиеся с помощью неравенств 6. Пусть функция y = f(x) интегрируема на [, b] и пусть f(x) 0 для x [, b]. Тогда f(x) dx 0. Доказательство. Составим произвольную интегральную сумму: σ = n f(ξ k ) x k. В силу условия теоремы каждое слагаемое этой суммы неотрицательно, следовательно, неотрицательной будет и вся сумма σ, а следовательно, и ее предел, равный определенному интегралу. Следствие. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [, b] и всюду на этом отрезке f(x) g(x), то f(x) dx g(x) dx. Доказательство. Обозначим через ϕ(x) = f(x) g(x). Функция ϕ(x), очевидно, интегрируема на [, b] как разность интегрируемых функций. Кроме того, по условию теоремы f(x) 0, следовательно в силу предыдущего свойства 6 ϕ(x) dx 0, [f(x) g(x)] dx 0, f(x) dx g(x) dx 0, f(x) dx g(x) dx.

17 17 В частности, если имеет место неравенство f(x) m, x [, b], то f(x) dx m(b ). В самом деле, в силу следствия f(x) dx m dx = m(b ). Замечание (к свойству 6). Если функция y = f(x) непрерывна на [, b], неотрицательна на нем и не равна тождественно нулю, то f(x) dx c > 0, y c где c некоторая константа. O b x 7. Если функция y = f(x) интегрируема на [, b], то функция f(x) также интегрируема на этом сегменте, причем выполняется неравенство f(x) dx f(x) dx. (6) Доказательство. Прежде всего докажем интегрируемость функции f(x). Зададим ε > 0. Тогда, так как f(x) интегрируема на [, b], то найдется такое разбиение этого сегмента, что будет выполняться неравенство S s < ε. Обозначим через S, s суммы, составленные для f(x). Легко показать, что имеет место неравенство S s S s < ε, из которого следует интегрируемость функции f(x). Переходим к доказательству неравенства (6). Очевидно, что имеют место следующие неравенства: f(x) f(x) f(x). Отсюда, в силу следствия к свойству 6 имеем f(x) dx f(x) dx f(x) dx.

18 18 Отсюда, в силу свойств модуля ( b c b c b) имеем f(x) dx Что и требовалось доказать. f(x) dx. 8. Теорема о среднем Теорема 7.6. Пусть функция f(x) интегрируема на [, b], и M, m точные границы этой функции на [, b]. Тогда найдется такое число µ, m µ M, что будет выполняться равенство f(x) dx = µ(b ). (7) Доказательство. Имеем m f(x) M, поскольку M и m точные границы функции f(x), тогда в силу свойства 6 будет выполняться m(b ) f(x) dx M(b ) или m 1 f(x) dx M. (8) b Обозначим 1 f(x) dx через µ = f(x) dx = µ(b ). Кроме того, b в силу неравенства (8) имеем m µ M, что и требовалось доказать. Следствие. Если f(x) непрерывна на [, b], то существует точка γ [, b], такая, что f(x) dx = f(γ)(b ). Доказательство. Так как f(x) непрерывна на [, b], то она интегрируема на [, b]. Кроме того, f(x) ограничена на [, b]. Следовательно, запишем

19 19 теорему о среднем: f(x) dx = µ(b ), m µ M. Так как функция f(x) непрерывна на [, b], то в силу второй теоремы Коши существует γ [, b] такая, что f(γ) = µ, что и требовалось доказать. 6. Интеграл с переменным верхним пределом Пусть функция f(x) интегрируема на [, b], и пусть c некоторая фиксированная точка этого сегмента, не совпадающая с b, в силу свойства 4 f(x) будет интегрируема на [c, x] при любом x [, b] и следовательно можно рассмотреть интеграл с переменным верхним пределом x c f(t) dt. Обозначим этот интеграл через F (x) и займемся изучением свойств функции F (x) = x c f(t) dt. Теорема 7.7 (о существовании первообразной у непрерывной функции). Всякая функция f(x), непрерывная на [, b], имеет первообразную на этом сегменте, и одной из первообразных является F (x). Доказательство. Докажем, что F (x) имеет производную и F (x) = f(x) F (x + x) F (x) x = 1 [ x f(t) dt + x c = 1 x x+ x x = 1 [ x+ x f(t) dt x x+ x x c xf(t) dt x c x c ] f(t) dt = ] f(t) dt = f(t) dt = 1 f(γ)(x + x x) = f(γ), x γ (x, x + x) (по следствию к теореме о среднем). Сравнивая начало и конец равенства, и переходя к пределу при x 0, получим утверждение теоремы.

20 20 Замечание 1. Попутно мы получили формулу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом: [ x ] d f(t) dt = f(x). dx c Замечание 2. Из предыдущих рассуждений следует, что если f(x) непрерывна на [, b], то F (x) дифференцируема на [, b]. Пусть f(x) просто интегрируема на [, b]. Покажем, что F (x) непрерывна на этом сегменте. Оценим F (x + x) F (x) = f(t) dt = µ x в силу теоремы о x+ x среднем. x Итак, если x 0, то F (x) = F (x + x) F (x) 0, что и означает непрерывность функции F (x). Следовательно, интеграл с переменным верхним пределом улучшает свойства подинтегральной функции. Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(x) непрерывна на [, b], F (x) = x f(t) dt ее первообразная по доказанному. Пусть Φ(x) какая-то другая первообразная той же x функции, как известно, Φ(x) = f(t) dt + c. Полагая в этом равенстве x =, получим Φ() = c, полагая в этом же равенстве x = b, получим Φ(b) = f(t) dt + c; Φ(b) = f(t) dt + Φ(). Отсюда f(x) dx = Φ(b) Φ() = Φ(x) b. (9) Эта формула позволяет вычислять определенный интеграл, если известна любая первообразная подинтегральной функции. Она называется формулой Ньютона-Лейбница.

21 21 7. Основные методы нахождения определенного интеграла 1. Замена переменных. Теорема 7.8. Пусть x = g(t) непрерывно-дифференцируема на [α, β], сегмент [, b] является множеством значений этой функции, причем g(α) =, g(β) = b. Пусть, кроме того, функция y = f(x) непрерывна на [, b]. Тогда справедлива следующая формула замены переменных в определенном интеграле f(x) dx = β f[g(t)]g (t) dt. (10) α Доказательство. Прежде всего заметим, что слова «функция x = g(t) непрерывно-дифференцируема на [α, β]» означают, что существует производная g (t) в любых точках сегмента, и эта производная непрерывна на [α, β]. Пусть Φ(x) есть некоторая первообразная функции f(x). Тогда, в силу формулы Ньютона-Лейбница f(x) dx = Φ(b) Φ(). (11) Легко показать, что функция Φ[g(t)] является первообразной для функции f[g(t)] g (t), так как d dt Φ(g(t)) = Φ [g(t)] g (t) = f[g(t)]g (t) (здесь мы использовали равенство Φ (x) = f(x) и теорему и дифференцировании сложной функции). Отсюда в силу формулы Ньютона-Лейбница можно записать, что β α f(g(t)) dt = Φ(g(β)) Φ(g(α)) = Φ(b) Φ(). (12) Сравнивая равенства (11) и (12) видим, что правые части у них совпадают, а следовательно, совпадают и левые, что и требовалось доказать.

22 22 2. Интегрирование по частям. Теорема 7.9. Пусть u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемые на [, b] функции. Тогда справедливо следующее равенство: или u(x) v (x) dx = [u(x) v(x)] b b v(x) u (x) dx u(x) dv = u(x)v(x) b b v(x) du. (13) Доказательство. Очевидно, что функция u(x) v(x) является первообразной для функции [u(x) v(x)], но тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница Отсюда [u(x) v(x)] dx = [u(x) v(x)] b. Теорема доказана. Примеры. 1) Вычислить [u(x)v (x) + u (x)v(x)] dx = [u(x) v(x)] b, u(x)v (x) dx = [u(x) v(x)] b b v(x) u (x) dx. 1 2/2 1 x 2 dx. x 2 Решение. Замена x = sin t dx = cos t dt. Пересчитаем пределы интегрирования: x = 2 2 = sin t = 2 2 = t = π 4 = α, x = 1 = sin t = 1 = t = π 2 = β.

23 23 На отрезке [π/4; π/2] функция g(t) = sin t определена, непрерывно-дифференцируема и ее значения не выходят за пределы [ 2/2; 1], когда t [π/4; π/2]. Поэтому справедлива формула (10): 1 2/2 1 x 2 x 2 dx = π/2 π/4 1 sin 2 t sin 2 t cos t dt = π/2 π/4 cos 2 t sin 2 t dt = = π/2 π/4 1 sin 2 t sin 2 t dt = π/2 π/4 ( ) 1 sin 2 t 1 dt = = ( ctg t t ) π/2 π/4 = ctg π 2 π 2 + ctg π 4 + π 4 = 1 π 4. 2) Вычислить e x 2 ln x dx. 1 Решение. Положим u = ln x, dv = x 2 dx. Отсюда du = dx x ; v = x3 3. Применим формулу интегрирования по частям (13): e 1 e x 2 ln x dx = x3 3 ln x e 1 1 x x dx = e3 ln e ln e 3 = e3 3 1 ( e 9 x3 = e3 e ) = 9 1 x 2 dx = e3 9 = 1 9 (1 + 2e3 ).

24 24 Литература [1] Ильин В. А., Поздняк Э. П. Основы математического анализа. М.: Наука, [2] Щипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, [3] Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу (для втузов). М.: Астрель-АСТ, [4] Гаврилова Р. М., Говорухина А. А., Карташева Л. В., Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. Ростов н/д: УПЛ РГУ, 1994.

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание

ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) Содержание ФОРМУЛИРОВКИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ВТОРОЙ СЕМЕСТР (1998 Г.) А.В.СТЕПАНОВ Содержание Часть 1. Дифференциальное исчисление (продолжение) 2 1. Элементы дифференциальной геометрии 2 2. Дифференцирование

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АП Аксёнов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ДВОЙНЫЕ

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу УДК 5 Мироненко ЛП, Прокопенко НА Донецкий национальный технический университет, кафедра высшей математики им ВВПака Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу Анотація

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 1. Определение пространства BV[, b] и его свойства Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [,b] R 1. Рассмотрим на отрезке [,b] произвольное

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

А.А.Быков boombook.narod.ru,

А.А.Быков boombook.narod.ru, 1 MA k1sm3-n10-определенный интеграл 9. Лекция 9. Определенный интеграл. 7 9.1. Определенный интеграл... 7 9.1.1. Разбиение, выборка, интегральные суммы.... 7 9.1.. Верхние и нижние суммы. 9 9.1.3. Потомки

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

Лекция Интеграл как функция верхнего предела

Лекция Интеграл как функция верхнего предела СА Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Интеграл как функция верхнего предела Формула Ньютона-Лейбница Рекомендуется, чтобы студенты перед прослушиванием этой лекции повторили лекцию 5 о первообразных из

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 11. 22 апреля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmil.com Лекция 11 22 апреля 2009 Задача 1. Привести

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед. по дисциплине: по направлению подготовки факультеты: кафедра: курс: семестр: 2 Трудоёмкость: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Автор: док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Наименование дисциплины: Математический анализ и дифференциальные уравнения 1. Аннотация Аннотация: в курсе излагаются: теория пределов

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее