Определенный интеграл

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определенный интеграл"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет Определенный интеграл Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск 8

2 Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией строительного факультета Архангельского государственного технического университета Составитель ЕНЕрилова, ассистент Рецензент НАШиловская, ст преп Ерилова ЕН Определенный интеграл: Методические рекомендации по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы- Архангельск: Изд-во АГТУ, 8-7 с Методические рекомендации по выполнению расчетно-графической (контрольной) работы по курсу «Высшая математика» включают основные теоретические положения по теме «Определенный интеграл», разбор примеров и индивидуальные задания для студентов Предназначены для студентов строительного государственный технический университет, 8

3 Геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Пусть непрерывная и неотрицательная функция f определена на отрезке ; Разделим отрезок ; на n частей точками n n и выберем на каждом отрезке i ; i произвольную точку i Интегральной суммой для функции f на отрезке ; называется сумма вида f i i f f f n n, где i i i r Определенным интегралом от функции ; ( или в пределах от до ) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из отрезков m стремится к нулю: f d f i i n lim m k i f на отрезке Теорема о существование определенного интеграла от непрерывной функции: если функция f непрерывна на ;, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка ; и от выбора точек i k Если f на ;, то определенный интеграл f d геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями f,,, (рис) Рис Свойства определенного интеграла В определенном интеграле можно поменять пределы интегрирования, при этом изменится знак перед интегралом, т е f d f d () Определенный интеграл на отрезке ; равен нулю, т е f d ()

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, те f d f d, где с некоторое число () Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т е f gd f d gd () Это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых 5 Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, те при любых f d f d f d (5) Рассмотрим геометрический смысл свойства 5 Пусть функция f ; Согласно геометрическому смыслу неотрицательна на с определенного интеграла f d s, f d s (см рис ), f f ; (площадь всей заштрихованной фигуры на рис ) Тогда при сделанных предположениях равенство (5) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями: s s s Пусть, и функция f Рис неотрицательна на отрезке ; с Применяя равенство () ко второму интегралу из правой части (5), запишем этот интеграл так, чтобы верхний предел был больше нижнего (для остальных интегралов (5) верхний предел больше нижнего по предположению): с d s, где s площадь под кривой на отрезке

5 f d f d f d (6) Тогда равенство (6) утверждает наличие следующего соотношения между площадями криволинейных трапеций (см рис ): s s s - площадь под кривой f ; с на отрезке Рис 6 Если на отрезке ;, где, f g, то и f d gd (7) 7 Оценка определенного интеграла: если m f M на ;, где, то m f d M (8) 8 Теорема о среднем Если функция f непрерывна на отрезке ;, (где ), то найдется такое значение ;, что f d f (9) Теорема о среднем утверждает: найдется такая точка из отрезка ;, что площадь под кривой f на ; равна площади прямоугольника со сторонами f и (-) (см рис ) Рис 9 Если f на отрезке ;, то f d ; если f для всех точек ;, то f d Формула Ньютона Лейбница Теорема Пусть функция f непрерывна на отрезке ; и любая первообразная для f на ; Тогда определенный интеграл от F - 5

6 функции f на ; равен приращению первообразной F на этом отрезке, те f d F F () Пример Вычислить интеграл d, используя формулу Ньютона Лейбница Подынтегральная функция f на отрезке ; имеет первообразную d F Тогда по формуле () имеем 5 Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле Пусть требуется вычислить интеграл f d, где f непрерывная в промежутке ; функция Положим, подчинив функцию условиям: ) определена и непрерывна в некотором промежутке ; и ее значения не выходят за пределы промежутка ;, когда изменяется в ; ; ), ; ; непрерывная производная ) существует в Тогда имеет место формула f d f d () Формула () называется формулой замены переменной в определенном интеграле Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной как решение относительно переменной уравнений, Пример При помощи замены переменной вычислить интеграл 7 d Полагая, получим:, d d Пределы интегрирования: ; Результаты запишем в таблицу: X 6

7 d d 9 d sin Пример При помощи замены переменной вычислить интеграл os d 6 sin os d = sin, d os d 6 Теорема Пусть функции производные на отрезке = d 6 и и и v v имеют непрерывные ; Тогда иv иdv vdи, () где иv иv иv Формула () называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла Пример Вычислить ln d е Применим формулу интегрирования по частям Положим и ln, dv d Тогда du d, v d По формуле () получим е е е d ln d ln е d е е е е 5 е е Пример Вычислить sin d Пусть и, dv sin d, тогда du d, v sin d os Применяя формулу (), получим sin d е os os d os Применим формулу () второй раз Пусть du d, v os d sin Итак, получим os d sin sin d sin os е os d е и, dv os d, тогда е 7

8 Окончательно получаем sin d os sin os sin os os В случае если первообразную в классе элементарных функций найти не удается, то для вычисления определенного интеграла обычно используют один из способов приближенных вычислений Если встречается определенный интеграл в симметричных пределах интегрирования, то следует проверить на четность нечетность функцию, стоящую под знаком интеграла, и применить формулу, еслиf нечетная а f d f d, еслиf четная 7 Пример 5 Вычислить os 7 Так как f sin os sin 7 sin d - нечетная функция ( f f ), то os d Пример 6 Вычислить sin os d Подынтегральная функция четная, а потому Интегрируем по частям, полагая Отсюда находим sin os d sin os sin и, dv d ; тогда du d, os d v os sin d d ln g ln g ln g os os os 6 os 5 ln g Следовательно, sin 5 d ln g os При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, объемы и поверхности тел вращения, длины дуг кривых 8

9 Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры Если непрерывная кривая задана уравнением f, f, то площадь криволинейной трапеции (рис ), ограниченной прямыми,, ; оси х, вычисляется по формуле и отрезком S f d () Пример Вычислить площадь, ограниченную параболой, прямыми, и осью абсцисс (рис 5) Решение Искомая площадь вычисляется по формуле (): 8 S d Рис5 Если площадь S ограничена графиками непрерывных функций f и g и двумя прямыми и, где f g и, то площадь вычисляют по формуле S g f d () Пример Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой от параболы Решение Найдем точки пересечения параболы и прямой, те решим систему уравнений, Выполним чертеж к задаче (рис 6) Вычислим площадь сегмента при f, Рис6 g, если, : d 9 S d, 5 9

10 Если криволинейная трапеция ограничена кривой, прямыми, d и отрезком с; d оси Тогда площадь этой трапеции вычисляется по формуле d S d (5) Пример Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, =, = Решение Из чертежа (см рис 7) видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: S S OABC SOBC, каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла Решая систему, получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (;) Рис7 Тогда S OABC d d 8, 8 S OBC d Окончательно, 8 6 S 8 ед Данная задача может быть также решена другим способом По определению определенного интеграла d d lim i i i m i n Если на с; d, то интеграл d численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми, d, (см рис 8) (Другими словами, в данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат) Теперь возвращаясь к задаче нашего примера, можем записать:,, d Рис8 d 6 S d ед

11 Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрическими уравнениями,, ;, прямыми и ; оси, то ее площадь вычисляется по формуле и отрезком d S, где и определяются из равенства, (6) Пример Вычислить площадь фигуры (рис 9), ограниченной одной sin аркой циклоиды и осью х os Решение Арка циклоиды описывается при изменении в пределах от до, так как, а в остальных точках указанного промежутка Рис9 Пределы интегрирования соответственно равны и Сделаем подстановку: sin, os, d osd При изменении на отрезке ; изменяется от S os os osd os d os d Рис sin sin sin sin Пример 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой os (рис ) sin Решение Так как фигура симметрична относительно осей координат O и O, то можно вычислить четверть искомой площади S Для S :, или os, те ;, или os, те Четверть искомой площади: S d sin os sin d

12 sin d sin os d sin Таким образом, площадь фигуры S S 8 6 sin d sin d 5 Если непрерывная плоская кривая задана уравнением, ; в полярных координатах, то площадь криволинейного сектора АОВ (рис), который ограничивает дуга кривой и два полярных радиуса ОА и ОВ, соответствующие значениям углов и, выразится интегралом S, d (7) Рис Пример 6 Вычислить площадь фигуры (см рис ), ограниченной лемнискатой Бернулли os Решение В силу симметричности данной фигуры относительно оси достаточно вычислить одну четверть искомой площади: S os sin d Рис Следовательно, S Пример 8 Вычислить площадь фигуры (см рис ), ограниченной кардиоидой os Решение В силу симметричности данной фигуры относительно оси достаточно вычислить площадь верхней половины Рис os d os os S d d osd os d os sin d sin sin sin

13 Длина дуги кривой Пусть кривая на плоскости задана уравнением f или На кривой выбраны точки А и В с координатами: А( а; ), B ; d Длина дуги кривой l от точки А до точки В вычисляется по формуле: l d f d или l d (8) Пример 9 Вычислить длину дуги полукубической параболы (рис ), заключенной между точками О(;) и М(;8) Решение Построим кривую по точкам: =, =, =, = ; =, = Функция определена для всех Так как, 9,,, то Рис l 9 d d 9 d Если кривая задана параметрическими уравнениями, где, l d (9) Пример Вычислить длину одной арки циклоиды (рис 9) sin при os Решение Так как os, sin, то l sin d os sin d osd sin d os 8 Если кривая задана уравнением в полярных координатах ( ), то длина дуги l d ()

14 Пример Вычислить длину кардиоиды os при (рис 5) Так как кардиоида симметрична относительно оси ох, то d При sin l ( ) sin,, l sin Рис5 os d os 8 sin d 6sin 6 Объем тела вращения Объемы тела (рис 6), образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой f ( f ) и прямыми,,, вычисляется по формуле: V d () Рис6 Рис7 Объемы тела (рис 7), образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми f, f, ( f f) и прямыми, ( ), равен разности объемов, полученных от вращения вокруг оси х криволинейных трапеций, ограниченных линиями f,,, частью оси х ( ) и f,,, частью оси х ( ) В этом случае объем вычисляется по формуле V f f d () или V d

15 Если тело образуется при вращении вокруг оси у криволинейной трапеции (рис 8), ограниченной кривой и прямыми,, d, с d то объем тела вращения равен V d или V d () Рис8 Пример Найти объем тела (рис 9), образованного вращением вокруг оси х одной полуволны синусоиды sin,, Решение V Рис9 Пример Найти объем тела (рис ), образованного вращением вокруг оси у фигуры, ограниченной параболой, осью у и прямой Решение V d sin d d os d d os sin d d d уd Рис Пример Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми, вокруг оси х (рис ) Решение Используем формулу () d ( ) d V Рис 5

16 Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений Пусть в пространстве задано тело Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными оси х и проходящими через точки ; (рис ) Площадь фигуры, образующейся в сечении зависит от точки, определяющей плоскость сечения Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на ; функцией S Тогда объем части тела, Рис находящейся между плоскостями и вычисляется по формуле: V Sd () Пример 5 Найти объем тела, ограниченного поверхностями, z ( ), z Решение В результате пересечения эллиптического цилиндра плоскостями z и z получим тело, изображенное на рисунке Сечение тела, перпендикулярное оси х, проведенное на расстоянии от начала координат представляет собой прямоугольник ABCD Найдем его площадь S S Высота (ширина) MN прямоугольника равна, те MN (в прямоугольном треугольнике NMO угол NOM равен 5 ) Точка D ; Рис лежит на эллипсе Значит, MD, те MD Следовательно, S AD MN MD MN, те S По формуле (5) находим V d d Пример 6 Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами R и z R Решение Изобразим на 6

17 S Рис R R V 8 рисунке восьмую часть тела, расположенную в I октанте (см рис ) В поперечном сечении (перпендикулярном оси ) тела получится квадрат Его сторона равна ординате точки M ;, лежащей на окружности R, те Следовательно, площадь сечения равна R, R Используя формулу, () находим R R d R R 6, те V R R 5 Площадь поверхности вращения Если дуга кривой, заданная функцией f,, вращается вокруг оси х, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: S d, где и - абсциссы начала и конца дуги (5) Пример 7 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги параболы, ; вокруг оси х (рис 5) Решение Выразим из уравнения параболы ; Найдем ; Для нахождения площади поверхности воспользуемся формулой (5) Рис5 d S d d d 5 7 7

18 Если дуга кривой, заданная функцией, d, вращается вокруг оси у, то площадь поверхности вращения вычисляется по d формуле S d, (6) где и d - ординаты начала и конца дуги Пример 8 Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой, вокруг оси у (рис 6) Решение Воспользуемся формулой (6) Получим,, Рис6 9d Тогда, 9 S d 9 9 d 9 d 9 9 Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями где 6,, то S d (7) Пример 9 Найти площадь поверхности тела, образованного os вращением астроиды вокруг оси х sin Решение Воспользуемся формулой (7) os sin, sin os ; os sin sin os os sin 6 sin os 9 sin os sin os os sin 8

19 Тогда, S sin sin os sin os sin sin d d d sin 5 6 Следовательно, S Если дуга кривой задана уравнением в полярных координатах ( ), то S sin d (8) Пример Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой os, вокруг полярной оси, Решение Найдем os sin sin os ; os sin os os os sin os os S os sin os os d os os d os d sin os os os d os d d u du d dv d v d Несобственные интегралы Необходимым условием существования определенного интеграла является ограниченность подынтегральной функции на отрезке между конечными пределами интегрирования Однако при рассмотрении теоретических вопросов и решении прикладных задач нередко появляется необходимость использовать при интегрировании неограниченные функции и бесконечные промежутки Возникающие при этом интегралы принято называть несобственными d 9

20 Определение Функцию f называют интегрируемой (интегрируемой по Риману) на отрезке ;, если существует конечный предел I R ее интегральных сумм на этом отрезке Каждая интегральная сумма функции f на отрезке ; соответствует некоторому разбиению Т этого отрезка и некоторому набору выбранных точек i на частичных отрезках i ; i, i, n, этого разбиения Предел I интегральных сумм при стремлении максимального шага m k разбиения отрезка к нулю, и этот предел не зависит от выбора точек i на частичных отрезках Этот предел обозначают I f d и называют интегралом Римана от функции f по отрезку ; 5 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования Пусть функция f определена и интегрируема на произвольном отрезке ;, где Определение Несобственным интегралом f d от функции f на полуинтервале ; называется предел функции при, стремящемся к, те f d lim f d (9) Если предел, стоящий в правой части равенства (9), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае расходящимся d Пример 5 Вычислить d d Решение По определению lim Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: d d Тогда lim, те искомый несобственный интеграл сходится к Аналогично, используя формулу Ньютона-Лейбница, d можно убедиться, что является сходящимся к m m, если m, и

21 расходящимся, если m Геометрический смысл этого результата заключается в том, что все кривые вида, проходящие ниже гиперболы на ;, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если кривая лежит выше или совпадает с гиперболой, Рис7 то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь (см рис 7) По аналогии с () определяется несобственный интеграл на полуинтервале ;: f d lim f d () Определение сходимости интеграла f d m аналогично приведенному выше Пример 5 Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость: e d Решение По определению e d lim Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: u du d e d e e d e e e e dv e d v e Тогда d lim e e e Введем понятие несобственного интеграла на интервале ; Пусть для некоторого числа несобственные интегралы e d f d и f d сходятся Тогда положим, что f d f d f d, () при этом интеграл f d называется сходящимся Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (), расходится, то несобственный интеграл f d называется расходящимся

22 d Пример 5 Вычислить Решение Подынтегральная функция четная, поэтому d d Тогда d d lim lim lim lim rg rg rg rg образом, Таким d, те несобственный интеграл сходится Пример 5 Вычислить Решение e d lim e d e d e d lim e d lim e d lim e lim e e e lim e e lim e lim e Следовательно, интеграл расходится Несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть функция f непрерывна, но не ограничена на полуинтервале ; Определение Если существует и конечен предел lim f d, где, то он называется несобственным интегралом от функции обозначается f на ; и f d, те f d lim f d () В этом случае данный несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся d Пример 55 Вычислить 9 Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при По формуле d d () имеем lim lim rsin lim rsin rsin 9 9 lim rsin Следовательно, интеграл сходится d Пример 56 Вычислить os

23 Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при () получаем По формуле d d d lim lim lim g lim g g os os 8 os Интеграл расходится Аналогично, вводится понятие несобственного интеграла от функции f непрерывной, но неограниченной на ; : f d lim f d () Пример 57 Вычислить ln d Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при По формуле () имеем ln d lim ln d Вычислим u ln ln d dv d Тогда ln d lim lim lim v du d ln ln d lim ln d ln lim d ln ln ln ln lim lim lim ln lim ln lim Следовательно, интеграл сходится d Пример 58 Вычислить os Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при По формуле () имеем d d d d lim lim lim lim os os sin sin g

24 lim g g Следовательно, интеграл расходится Если функция f терпит бесконечный разрыв во внутренней точке с ;, то несобственный интеграл определяется формулой f d f d f d () В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства, сходятся 5 d Пример 59 Вычислить Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при По формуле (5) получаем 5 d d 5 d lim lim 5 lim lim lim lim 5 lim lim Следовательно, интеграл расходится d Пример 5 Вычислить Решение Подынтегральная функция терпит разрыв при По формуле () имеем d lim d d d d 5 lim d d lim lim lim 6 lim Интеграл сходится 6 Физические приложения определенного интеграла 6 Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур Пусть на плоскости ху задана система материальных точек A ;, A ;,, An n; n с массами m, m,, mn Статическим моментом M этой системы относительно оси х называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты: Аналогично (как сумма произведений масс точек на их абсциссы) определяется статический момент системы оси у: M M i k у m k i k k m k k

25 Моментами инерции I и I системы относительно осей х и у называются суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси Таким образом, I i k mk k ; I mk За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью, равной единице Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой вычисляются по формулам: M dl, i k k M dl, I dl f, I dl, где dl d - дифференциал дуги кривой Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой f, осью х и двумя прямыми и, вычисляются по формулам: I dl, I ds M d ds d, M ds d, В этих формулах ds d - дифференциал площади криволинейной трапеции Пример 6 Найти статический момент и момент инерции полуокружности r r r относительно оси х Решение Статический момент M будем вычислять по формуле M dl, где dl d, r r M r d r d r r r r Находим момент инерции относительно оси х: r Тогда получим к к к r r d r r d r r d I dl к r к Введем подстановку r sin, d r osd ; если, то ; если r, то к Следовательно, I r r d r r r sin r osd r r os d r sin 5

26 Пример 6 Найти момент инерции площади эллипса os, sin относительно оси у Решение Момент инерции площади эллипса относительно оси у равен I ds, где ds d Из параметрических уравнений эллипса находим ds sin sin d sin d, откуда I os sin d os sin d os d Пример 6 Найти статические моменты и моменты инерции дуги астроиды os, sin, лежащей в первой четверти (рис) Решение В силу симметрии астроиды относительно координатных осей M M, I I Поэтому достаточно вычислить моменты относительно оси х Для I четверти имеем Находим: dl d sin osd, M I dl dl sin sin sin osd 5 6 sin osd 8 sin 5 sin Итак, M M ; I I Нахождение координат центра тяжести Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой выражаются по формулам: L, dl, dl, где L dl d, а L - длина дуги Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам: ds d, S S ds d, где ds d, а S - S S площадь фигуры Пример 6 Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса os, sin, расположенной в I четверти, и осями координат f 6

27 Решение В I четверти при возрастании от до величина убывает от до ; поэтому S S sin sin d d ossin os sin sin d d sin d sin osd sin S Аналогично находим d sin sin os d os os os d Таким образом,, Пример 65 Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного линиями, (рис8) Решение Так как кривая симметрична относительно оси у, то ее центр тяжести лежит на оси у, те Найдем S Рис8 d S d Тогда найдем ; d d d 6 5 S 8 Таким образом, координаты центра тяжести, 5 Пример 66 Найти координаты центра тяжести однородной дуги окружности R, расположенной в третьей координатной четверти Решение Так как длина дуги окружности равна L R 8 5 R, то для четверти R R R Найдем dl ; dl d d d 7

28 L R Тогда dl R R R R ; Rd R R R R d R dl R L R R R R R Таким образом,, 6 Вычисление работы и давления Работа переменной силы X f, действующей в направлении оси х R d на отрезке ;, вычисляется по формуле A f d R Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S, умноженной на глубину погружения h, на плотность и ускорение силы тяжести g, те P ghs По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями,, f и f ; система координат выбрана так, как указано на рисунке 9 d R R Тогда, g f f P d Рис9 Пример 67 Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на см, если известно, что от нагрузки в Н она растягивается на см? Решение Согласно закону Гука, сила Х Н, растягивающая пружину на м, равна X k Коэффициент пропорциональности k найдем из 8

29 условия: если, м, то X Н; следовательно, k и,,, X Тогда A d 5, 8Дж Пример 68 Найти работу, затраченную на выкачивание воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого, радиус r (рис ) Решение Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине и имеющего длину, ширину m r и толщину d, равен dv md r d Рис Элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя воды на высоту, равна da g r d, где - плотность воды r Следовательно, A g r d g r gr Пример 69 Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6м и находится на поверхности воды (рис ) Плотность воды кг м Решение Дифференциал давления на элементарную площадку выглядит так: dp g 9 d 96 9 d Отсюда Рис r 9 96 P 96 9 d 76Н 76,кН Пример 6 Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h, 5м и радиусом основания r, 5 м, на его стенки, если 9кг м Решение Элемент давления на поверхность стенки в выделенной полоске выразится так: dp grd Отсюда h P rg d grh 9,8,5,5 9 67Н 6, 7Н Пример 6 Найти давление на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями и и высотой h, погруженную в жидкость на глубину (рис ) 9

30 Рис Решение Площадь элементарной полоски выражается так: d l ds, где h l (l определяется из подобия треугольников) Следовательно, d h g P h g h h h g h 6

31 Вычислить интегралы: а) d ln e б) d e Варианты заданий I вариант в) d os Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) d ln б) d Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а),,, ; б) r sin 5 Вычислить длину дуги кривой: а) lnsin от, ; os sin б), sin os 5 а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями z 5, z 5 б) Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси х фигуры, ограниченной линиями,, II вариант Вычислить интегралы: а) sin sin d 8 б) d в) e d Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: d а)

32 d б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) 5,, ; os б), 5, 5 5 sin Вычислить длину дуги кривой: а) lnos от, ; б) r sin, 6 5 а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями z, z, z 6 9 б) Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси х фигуры, ограниченной линиями,, III вариант Вычислить интегралы: sin а) d 5 os 5 б) d в) ln d Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: d а) 8 5 d б) 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а),, ; б) Вычислить длину дуги кривой: а) ln от точки А(;) до точки В(, ln );

33 5 б) r 5е, 5 а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями z, z, z 5 9 б) Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси х фигуры, ограниченной линиями, IV вариант Вычислить интегралы: а) d d б) 8 7 os в) d Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) 5 d d б) 8 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) 8, 8 ; sin б),,, 8 os Вычислить длину дуги кривой: а),, ; e б) os, e sin 5 а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями z,, z, 9 б) Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси х фигуры, ограниченной линиями,,

34 d d n n d n d ln 5 d ln 6 e d e 7 sin d os 8 os d sin 9 gd ln os gd ln sin d g os d g sin d ln g os d ln g sin Приложение Таблица интегралов rg d 5 rg 6 rsin d ros d 7 ln d 8 ln 9 d rsin d ln

35 Декартовые Параметрические Полярные Геометрические приложения определенного интеграла Формулы Площадь Длина дуги кривой Площадь поверхности вращения S d f d S d l l d f d d S d d S d S d l ( ) d S d S d l d ) Объем тела ( sin d S Объем тела по известной площади поперечного сечения: V Sd Объем тела вращения: V d ; V d Физические приложения определенного интеграла Формулы Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой d Декартовые Параметрические Полярные Статические моменты M M dl, M dl, где dl d dl M dl dl, M dl, где d dl, M dl, где d I I Моменты инерции dl, I dl, где dl d dl I dl dl, I dl, где d dl, I dl, где d 5

36 Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой L dl, dl L, где dl d Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции M ds d, M ds d, I dl, I ds Координаты центра тяжести криволинейной трапеции S ds S d, ds d S S 5 Давление жидкости на пластинку P g f f свободного падения, где ds d d d, где - плотность жидкости, g - ускорение 6 Работа переменной силы: A f d 6

37 Список использованной литературы Высшая математика для экономистов: Учебн Пособие для вузов/нш Кремер, БА Путко, ИМ Тришин, МН Фридман; Под ред проф НШ Кремера М: Банки и биржи, ЮНИТИ, 997-9с Данко П Е, Попов А Г, Кожевникова Т Я Высшая математика в упражнениях и задачах В ч Ч 6-е изд М: Издательский дом «Оникс век»: Мир и Образование, 6 Зарубин ВС, Иванова ЕЕ, Кувыркин ГН Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб для вузов/ Под ред ВС Зарубина, АП Крищенко М: Изд-во МГТУ им НЭ Баумана, - 58 с Лунгу К Н, Письменный Д Т, Федин С Н, Шевченко Ю А Сборник задач по высшей математике курс -е изд, испр М: Айрис пресс, 576 с 5 Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред В И Ермакова М: ИНФРА М, Сборник задач по математике для втузов В частях Ч : Учебное пособие для втузов / Под общ ред А В Ефимова, А С Поспелова -е изд перераб и доп М: Издательство Физико математической литературы, 7 Фихтенгольц Г М Основы математического анализа, том - 6-е издание, стереотипное- М: Изд-во Наука, 968-7

38 Оглавление Определенный интеграл Геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Свойства определенного интеграла Формула Ньютона Лейбница Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры Длина дуги кривой Объем тела вращения Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений Площадь поверхности вращения 5 Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 5 Несобственные интегралы от неограниченных функций 6 Физические приложения определенного интеграла 6 Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур 6 Нахождение координат центра тяжести 6 Вычисление работы и давления Варианты заданий Приложение Список использованной литературы 8

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ Г А Павлова, С В Горбунов ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ Самара МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии АВ Аристархова, НГ Бабаева Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные и криволинейные интегралы.

Подробнее

Семинар 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения

Семинар 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения Семинар. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения. Определенный интеграл и его геометрический смысл.. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем

Подробнее

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Первообразная функция Определение: Функция F называется первообразной функцией функции на отрезке [, ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Двойные и тройные интегралы

Двойные и тройные интегралы Кафедра медицинской и биологической физики Дифференциальное и интегральное исчисление Тема лекции: Двойные и тройные интегралы Лекция 1 Для студентов 1 курса обучающихся по специальности «Медицинская кибернетика»

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» А.И. ФРОЛОВИЧЕВ, М.В.

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода: а) (x + y) dl, где L граница треугольника с вершинами А(1, 0), В(0,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Е.И. Федорако Минск 7 7 Кафедра

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» ВАРИАНТ 1 y = +1, y = 9.. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ρ = 4cosϕ, 0 ϕ 4 ρ = y =, y = 0 y =, y = +, = 1, = 4. 4 4 y = от начала координат до точки с

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

А.Н.Филиппов, Т.С.Филиппова

А.Н.Филиппов, Т.С.Филиппова Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМГУБКИНА»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Глава 4. Функции одной переменной 69

Глава 4. Функции одной переменной 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Глава 4. Двойной интеграл.

Глава 4. Двойной интеграл. Глава 4. Двойной интеграл. 4.. Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай. Вместо функции одной переменной = f( ), определенной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ; КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры Найти косинус угла между векторами BA и BC если C Сделать чертеж B A Найти косинус угла между векторами AB и AC

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции Численное интегрирование Квадратурные формулы прямоугольников Пусть требуется найти значение интеграла I Римана I d для некоторой заданной на отрезке, функции а Хорошо известно, что для функций, допускающих

Подробнее

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ в -х частях часть Дифференциальное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанская государственная академия ветеринарной медицины имени

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

Контрольная работа 5

Контрольная работа 5 Вопросы по математике часть для студентов заочной формы обучения специальностей 19060165 Автомобили и автомобильное хозяйство 15040565 Машины и оборудование лесного комплекса 1906065 Сервис транспортных

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции

Глава 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 1 Интегралы по фигуре от скалярной функции 272 Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Интегралы по фигуре от скалярной функции Определение Множество точек называется связным, если две любые точки можно соединить линией, все точки

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур

Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Отчет 2806-1807-97294-0815 Определение геометрических характеристик эллипса и некоторых производных фигур Данный документ составлен на основе отчета о проведенном пользователем admin расчете по определению

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ И.М.ГУБКИНА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ И.М.ГУБКИНА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ ИМГУБКИНА ТС Филиппова АНФилиппов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к изучению темы «Кратные и криволинейные

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ Í. Â. Áîãîìîëîâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ àñòü 2 Ó ÅÁÍÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ ÄËß ÏÐÈÊËÀÄÍÎÃÎ ÁÀÊÀËÀÂÐÈÀÒÀ 2-å èçäàíèå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ â

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее