ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

2 УДК 5995 (758) Рецензенты: канд физ-мат наук, доцент А Л Трескунов (СПбГАСУ); канд физ-мат наук, доцент М Ю Фёдорова (СПбГУ) Морозова, Л Е Определённый интеграл: учеб пособие /Л Е Морозова, В Б Смирнова; СПбГАСУ СПб, 99 с ISBN Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Определённый интеграл» студентами специальностей с сокращенным курсом математики Даны основные определения и теоремы Приводится методика решения задач Рассмотрены многочисленные примеры Глава ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА Задача о площади криволинейной трапеции Рассмотрим промежуток [, ] ( < ) и заданную на нём непрерывную неотрицательную функцию f () Фигура, ограниченная прямыми,, и кривой f () называется криволинейной трапецией (рис ) f () Табл Ил 65 Библиогр: назв Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия n Рис ISBN Л Е Морозова, В Б Смирнова, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, Будем решать задачу о вычислении площади криволинейной трапеции Для этого разобьём отрезок [, ] на части точками i ( i,, n) : < < < n < n Проведём прямые (,, n) наша криволинейная трапеция будет представлять собой сумму n узких «криволинейных полосок» (каждая -я полоска ограничена линиями,

3 ,, f ( ) (,, n) ) Обозначим площадь криволинейной трапеции через S, а площадь каждой -й полоски через Получим f ( ) Рис S S f () n S n S Площадь каждой полоски приближённо равна площади прямоугольника с основанием (,, n) и высотой f ( ), где произвольно выбранная точка из промежутка [, ] (,, n) (рис ) Это приближённое равенство тем ближе к точному равенству, чем ýже ширина полоски Таким образом, f ( ) () Введём понятие ранга дробления Среди всех значений выберем наибольшее, обозначим его через λ и назовём рангом дробления, так что λ наиб {,, n } Можно показать, что в силу непрерывности функции f () при λ приближённое равенство () переходит в точное равенство n S lim f ( ) () λ Более того, величина S в этом случае не зависит от выбора точек,, n,,, n Глава Определённый интеграл и его свойства К необходимости изучать пределы вида () приводят многие задачи геометрии, механики, физики Пределы вида () обобщены с помощью понятия определённого интеграла Определение определённого интеграла Рассмотрим функцию f (), заданную на промежутке [, ] ( < ) Проделаем следующие операции: Разделим промежуток [, ] на части произвольно выбранными точками,, n : < < < n < n, составим величины (,,, n) и определим ранг дробления λ наиб {,, n } На каждом промежутке [, ] выберем произвольным образом точку и вычислим f ( ) (,,, n) Вычислим парные произведения f ( ) (,,, n) Сложим все парные произведения и получим сумму вида 5 n f ( ), называемую интегральной суммой 5 Перейдем к пределу при λ и вычислим (если это возможно) lim n λ f ( ) () Если предел () существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [, ] на части, ни от выбора точек, то он называется определённым интегралом от функции f () по промежутку [, ] и обозначается так: f ( ) d

4 Глава Определённый интеграл и его свойства Функция f () называется подынтегральной функцией, [, ] промежутком интегрирования, нижним пределом, верхним пределом интегрирования Итак, n f ( ) d lim f ( ) () λ Замечания: Из самого определения определённого интеграла следует, что он может для данной функции не существовать, так как может не существовать предел () Функции, для которых определённый интеграл существует, называются интегрируемыми по Риману Любая непрерывная на [, ] функция, а также любая кусочно-непрерывная на [, ] функция интегрируема по Риману (Этот факт мы приводим без доказательства) Но класс интегрируемых функций значительно шире Если функция f () интегрируема по Риману на промежутке [, ], то функция ϕ (), отличающаяся от f () в конечном числе точек, также интегрируема по Риману на [, ] и f ( ) d ϕ( ) d Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле роли не играет: f ( ) d f ( t) dt f ( z) dz Если λ, то число точек дробления n стремится к бесконечности, но не наоборот Действительно, мы можем зафиксировать две точки дробления, не помещая между ними никаких других точек λ останется постоянным, на какие бы мелкие части мы ни дробили отрезки вне этих точек Геометрический смысл определённого интеграла следует из задачи о площади криволинейной трапеции Если функция f () непре- рывна и неотрицательна на промежутке [, ] ( < ), то f ( ) d равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями,,, f () Расширим определение определённого интеграла на случаи и > Положим: Функция f () называется кусочно-непрерывной на промежутк [, ], если она имеет λ наиб,, n на этом промежутке конечное число разрывов I рода 6 7 f ( ) d, (5) f ( ) d f ( ) d (6) Обе формулы не противоречат приведённому выше определению определённого интеграла Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами Теорема Если функция f () интегрируема на [, ], то для любого числа α верно равенство α f ( ) d α f ( ) d (7) Доказательство проведём на основании определения определённого интеграла от функции α f () Проделаем следующие операции: Разделим промежуток [, ] на части произвольно выбранными точками,, n : < < < n < n, составим величины (,,, n) и определим ранг дробления { }

5 На каждом промежутке [, ] выберем произвольным образом точку и вычислим α f ( ) (,,, n) Вычислим произведения ( α f ( )) (,,, n) Сложим все произведения и получим интегральную сумму вида n ( α f )) ( 5 Устремим ранг дробления λ к и будем искать lim n λ ( α ( )) f (8) Поскольку функция f () интегрируема на отрезке [, ] по условию теоремы, получим следующую цепочку равенств: α f ( ) d lim λ α lim n λ α f ( n f ( ) ) lim λ α α n f ( ) d f ( ) Таким образом, предел (8) существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [, ] на части, ни от выбора точек Теорема доказана Теорема Если функции f () и g () интегрируемы на промежутке [, ], то их алгебраическая сумма f ( ) ± g( ) тоже интегрируема на промежутке [, ] и справедлива формула ( f ( ) ± g( )) d f ( ) d ± g( ) d (9) Доказательство аналогично предыдущему доказательству: ( f ( ) ± g( )) d lim ( f ( ) ± g( )) n λ lim λ lim λ ± lim 8 9 n f ( ) n f ( ) n λ ± g( n ) g( ) f ( ) d ± g( ) d Заметим, что так как обе функции f () и g () интегрируемы на промежутке [, ], то разбиение отрезка [, ] на части и выбор точек можно для них обеих и их алгебраической суммы осуществить одинаково Теорема доказана Теорема Для любых трёх чисел,, справедлива формула ) d f ( ) d + f ( f ( ) d, () если все три интеграла существуют Доказательство Рассмотрим два случая Пусть < < Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения промежутка [, ] на элементарные части, то будем разбивать [, ] на промежутки так, чтобы точка с была точкой деления Обозначим её через n (т е n ) lim n λ Глава Определённый интеграл и его свойства f ( lim λ ) f ( ) d lim n f ( + lim n λ ) n λ n + + f ( f ( ) n + n ) f ( ) f ( ) d + f ( ) d В рассматриваемом случае теорема допускает простую геометрическую иллюстрацию Предположим, что функция f () неотрица-

6 Рис Определённый интеграл ) d f ( ) d + тельна на отрезке [, ] формула () означает, что площадь криволинейной трапеции на отрезке [, ] равна сумме площадей криволинейных трапеций на отрезках [, ] и [, ] соответственно (рис ) Пусть теперь заданные числа произвольны Рассмотрим, например, случай < < в силу доказанного в п равенства справедливо f ( f ( ) d Воспользуемся формулой (6) и поменяем пределы интегрирования Получим f () f ( ) d f ( ) d f ( ) d ) d f ( ) d + f ( f ( ) d () В остальных случаях: < < ; < < ; < < ; < < формула () выводится аналогично Теорема доказана Свойства определённого интеграла, выражаемые неравенствами Теорема Пусть <, функции f () и g () интегрируемы на промежутке [, ] и при всех [, ] справедливо неравенство f ( ) g( ) () f ( ) d g( ) d () Доказательство Рассмотрим разность интересующих нас интегралов как интеграл разности данных функций В силу (9) f ( ) d g( ) d ( f ( ) g( )) d Последний интеграл запишем по формуле (), т е следуя определению определенного интеграла ( f ( ) g( )) d lim n λ ( f ( ) g( )) Здесь все парные произведения интегральной суммы неотрицательны Действительно, по условию () f ( ) g( ) при всех,,n, а > при всех,, n, поскольку < Значит, и сама интегральная сумма неотрицательна по теореме о предельном переходе в неравенстве неотрицателен и её предел Таким образом, получаем: f ( ) d g( ) d ( f ( ) g( )) d lim n λ ( f ( ) g( )) Теорема доказана Следствие Пусть <, функция f () интегрируема на промежутке [, ] и при всех [, ] справедливо неравенство f ( ) f ( ) d Глава Определённый интеграл и его свойства Теорема 5 Если функция f () интегрируема на промежутке [, ], то функция f () также интегрируема на промежутке [, ] и при < справедливо неравенство f ( ) d f ( ) d ()

7 Доказательство Проведём его только для непрерывных функций Заметим, что f ( ) f ( ) f ( ) () для всех [, ] К цепочке неравенств () применим теорему Получим что равносильно неравенству () f ( ) d f ( ) d f ( ) d, 5 Теорема о среднем значении Теорема 6 Пусть функции f () и ϕ () непрерывны на промежутке [, ] и пусть функция ϕ () не меняет знака на этом промежутке найдётся такая точка [, ], что справедливо равенство f ( ) ϕ( ) d f ( ) ϕ( ) d (5) Доказательство Без ограничения общности будем считать, что <, а ϕ( ) при [, ] Рассмотрим два случая Пусть ϕ( ) при всех [, ] равенство (5) выполнено очевидным образом Пусть ϕ () не является тождественно равной нулю в силу непрерывности функции ϕ () можем утверждать, что ϕ( ) d > Поскольку функция f () непрерывна на замкнутом промежутке [, ], то она достигает на этом промежутке своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m, т е при всех [, ] справедливы неравенства m f ( ) M (6) Домножим неравенства (6) на положительные значения функции ϕ () и получим справедливые при всех [, ] неравенства mϕ ( ) f ( ) ϕ( ) M ϕ( ) (7) К цепочке неравенств (7) применим теорему и получим справедливые неравенства m ϕ( ) d f ( ) ϕ( ) d M ϕ( ) d (8) Разделим все части цепочки неравенств (8) на положительное число ϕ ( )d Получим Глава Определённый интеграл и его свойства m f ( ) ϕ( ) d M ϕ( ) d Поскольку непрерывная функция f () принимает на промежутке [, ] все значения между своим наибольшим M и наименьшим m, существует такая точка [, ], что Отсюда следует, что f ( ) f ( ) ϕ( ) d ϕ( ) d f ( ) ϕ( ) d f ( ) ϕ( ) d Таким образом, теорема 6 доказана

8 Следствие Если функция f () непрерывна на промежутке [, ], то можно указать такое значение [, ], что f ( ) d f ( )( ) (9) Доказательство Будем считать ϕ( ) при [, ] согласно теореме 6 найдётся такая точка [, ], что f ( ) d f ( ) d f ( )( ) В случае, когда f ( ) при всех [, ], формула (9) имеет простой геометрический смысл Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями,,, f ( ) Согласно равенству (9) площадь этой криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием ( ) и высотой f () (рис ) f () Рис 6 Теорема Барроу Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом Глава Определённый интеграл и его свойства Здесь число; переменная Таким образом, F() является функцией верхнего предела В силу геометрического смысла определённого интеграла, если f ( t),, то величина f ( t) dt является + t площадью криволинейной трапеции, ограниченной справа Рис 5 прямой t Так как переменная, то и интеграл () изображает трапецию с переменной площадью (рис 5) Справедливо следующее важное утверждение Теорема Барроу Если функция f () непрерывна, то F ( ) f ( t) dt f ( ), т е производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования Доказательство По определению производной F( ) F( + ) F( ) F ( ) lim lim, где ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F ( ) f ( t) dt () ( + F f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt 5 / + f ( t) dt F ( ) F( + ) F( ) f ( t) dt () Во втором слагаемом правой части () поменяем пределы интегрирования по формуле (6) и на основании теоремы получим: f (t) F()

9 Глава Определённый интеграл и его свойства Величина + f ( t) dt является площадью заштрихованной криволинейной трапеции (см рис 5) Поскольку функция f () непрерывна, по теореме 6 о среднем значении найдётся такая точка [, + ], для которой справедливо + F( ) F ( ) lim Теорема доказана f ( t) dt f ( )( + ) f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Приведём примеры применения теоремы Барроу sin t sin Пример 6 dt t f ( ) 5 Пример 6 t t dt dt 5 t + t sin Пример 6 t dt, так как определённый интеграл t с постоянными пределами это постоянная величина Пример 6 sin tdt t + sin Здесь мы имеем дело со + сложной функцией: F ( ) Fz ( z) z sin tdt ( ), где z ( ) ; F( z) t + Следствие Любая непрерывная на промежутке [, ] функция имеет на этом промежутке первообразную z 6 7 Действительно, если f () непрерывна, то существует f ( t) dt F( ) Но по теореме Барроу F ( ) f ( ), т е F () перво- образная для f () Таким образом, f ( t) dt первообразная для f () Замечание Первообразная непрерывной функции не всегда может быть выражена в терминах элементарных функций 7 Формула Ньютона Лейбница Вычисление определённого интеграла На основе теоремы Барроу выведем формулу для вычисления определённого интеграла от непрерывных функций Пусть f () определена и непрерывна на промежутке [, ] она имеет на этом промежутке первообразную f ( t) dt Φ( ) Пусть F () любая дру- гая первообразная для f () на промежутке [, ] Известно, что две любые первообразные одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное значение, т е Φ ( ) F( ) C Справедливо равенство f ( t) dt F( ) + C, () где С какая-то постоянная Вычислим величину С Положим в () Поскольку f ( t) dt, получим C F() и формула () примет вид Положим в () f ( t) dt F( ) F( ) () f ( t) dt F( ) F( ), () где F () любая первообразная для функции f ()

10 Глава Определённый интеграл и его свойства Формула () носит название формула Ньютона Лейбница d С помощью формулы () можно вычислить определённый интеграл Пример 7 rtg от любой непрерывной функции + Введём обозначение Пример 75 d F ( ) F( ) F( ) ln + + ln( + 8) ln ln( + ) d 7 Символ F ( ) называется двойной подстановкой в функцию Пример 76 ln ln ln ln F () в пределах от до С его помощью формулу () можно записать в виде Пример 77 d rsin rsin rsin f ( ) d F( ) 6 Пример 78 или в виде [ ] f ( ) d f ( ) d tg d ln os ln + ln ln ln 6 6 Если функция F () имеет сложный вид, то используют запись d d [ ] Пример 79 Вычислить Сначала найдём F ( ) + + Используем замену переменной z + Приведём примеры применения формулы Ньютона Лейбница d d( + ) dz 6 ln ln Пример 7 z + C + + C d + + z d ln( + ) ln ln ln5 Пример 7 sin d os + Пример 7 Вычислить sin d Сначала найдём d Пример 7 tg tg ( ) sin I sin d Используем интегрирование по частям Положим

11 u, dv sin d Получим du d, v os I os + os d os + sin + C Окончательно sin d [ os + sin ] Пример 7 Вычислить + m d Сначала найдём + m d При вычислении этого интеграла используем приём интегрирования по частям для того, чтобы свести его к себе Положим d u + m, dv d Найдём du, v Получим + m d + m d + m + m + m + m + m + m d + + m + m d + mln + md + m + m Получили уравнение относительно искомого интеграла + m m d + m + md + m + m d + mln + + m Решим его и получим + md + m + mln + + m, m + m d + m + ln + + m + C (5) Окончательно m + m d ( + m + ln + + m ) m m + m + ln + + m ln m (6) Замечание Двойная подстановка обладает двумя очевидными свойствами: ) [ λ F ( )] λ[ F( )] ; ) [ F ( ) + G( )] [ F( )] + [ G( )] Действительно, Глава Определённый интеграл и его свойства [ F( ) + G( )] ( F( ) F( )) + ( G( ) G( )) [ F( )] ( F( ) + G( )) ( F( ) + G( )) + [ G( )] Замечание Формула Ньютона Лейбница () справедлива только для непрерывных функций Ее можно использовать и для кусочно-непрерывных функций Пусть теперь функция f () имеет на заданном промежутке [, ] конечное число конечных разрывов, например, в точках и определённый интеграл по промежутку [, ] в силу формулы () вычисляется так: f ( ) d f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d

12 Это естественно и в силу геометрического смысла определённого интеграла (рис 6), f () [ u( ) v( ) v( ) u ( ) d] поскольку площадь всей фигуры равна сумме площадей кри- [ u( ) v( ) ] [ v( ) u ( ) d] волинейных трапеций на отдельных частичных промежутках, на которых функция [ u( ) v( ) ] v( ) u ( ) d непрерывна Рис 6 8 Интегрирование по частям в определённом интеграле Для того чтобы применить формулу Ньютона Лейбница, нужно сначала найти неопределённый интеграл от подынтегральной функции Для этого часто применяются формулы интегрирования по частям в неопределённом интеграле (примеры 7 и 7) и замены переменной в неопределённом интеграле (пример 79) Но одноименные формулы существуют и для определённого интеграла И гораздо удобнее использовать для вычисления определённого интеграла именно эти формулы Теорема 7 Пусть функции u( ) и v ( ) дифференцируемы на промежутке [, ] Справедлива формула [ u( ) v( ) ] u ( ) v ( ) d v( ) u ( ) d, (7) или в более компактной записи [ u( ) v( ) ] u ( ) dv( ) v( ) du( ) (8) Доказательство Применим формулу Ньютона Лейбница и формулу интегрирования по частям в неопределённом интеграле: [ u( ) v ( ) d] u( ) v ( ) d В интегралах, участвующих в формуле (8), переменной интегрирования является Формула (7) доказана Замечания: При решении задач обычно пользуются компактной формой (8), а не развёрнутой формой (7) Типы функций, которые следует интегрировать по частям, такие же, как и в случае вычисления неопределённого интеграла Форма записи решения такая же, как и в случае неопределённого интеграла Приведём примеры Пример 8 Вычислить ln d d Положим u ln, dv d Получим du, v ( ln ) d ln ln ( ) ln d Пример 8 Вычислить os d Положим u, dv os d Получим du d, v sin Глава Определённый интеграл и его свойства os d [ sin ] sin d + os

13 Глава Определённый интеграл и его свойства Пример 8 Вычислить rtg d d Положим u rtg, dv d Найдем du, v Получим + rtg d [ rtg ] d + Воспользуемся тем, что rtg d [ rtg ] Получим ln( Пример 8 Вычислить Положим rsin d [ rsin ] + d вычислен в примере 79 + ) rsin d rtg ln ln d u r sin, dv d Найдём du, v d + 6 Мы воспользовались первообразной для функции, полученной с помощью замены d d( + z следующим образом: ) dz z z + C + C Пример 85 Вычислить + d 5 При вычислении этого интеграла используем приём интегрирования по частям, для того чтобы свести его к самому себе Положим d u +, dv d Найдём du, v Получим + d + + d + d d + d + d + ln d + ln ln + ln + d Получили уравнение относительно искомого интеграла: Доказательство Пусть F () какая-либо первообразная для функции f () + d + ln + Решим его и получим d + d + ln Сравните полученный результат с результатом (6) примера 7 9 Замена переменной в определённом интеграле Òåî ðåì à 8 Справедлива формула z( ) f ( z( )) z ( ) d f ( t) dt (9) z( ) Используем для левой части формулы (9) теорему о замене

14 переменной в неопределённом интеграле и формулу Ньютона Лейбница: f ( z( )) z ( ) d [ f ( z( )) z ( ) d] [ F( z( ))] F( z( )) F( z( )) Найдём dt ( ) d d и новые пределы интегрирования t ( ), t( ) Глава Определённый интеграл и его свойства К правой части формулы (9) достаточно применить формулу Ньютона Лейбница: d ( ) dt z( ) z( ) d t t + f ( t) dt [ F( t)] F( z( )) F( z( )) t z( ) z( ) (Сравните с примером 8) Таким образом, левая часть формулы (9) равна её правой части, и тем самым справедливость формулы (9) доказана d Замечание Применяя формулу (9), мы переходим к новой переменной интегрирования (делаем подстановку z ( ) t ) При этом ме- Пример 9 Вычислить Сделаем замену t няется вид подынтегральной функции, изменяется дифференциал Найдём dt ( ) d d и вычислим t ( ), t() 6 dt z ( ) d, изменяются пределы интегрирования (они теперь отраæàþ ò èçì åí åí èå ï åðåì åí í î é t) Воспользовавшись формулой (9), 6 d ( ) d dt 8 8 уже не нужно возвращаться к первоначальной переменной интегрирования t + t + Приведём примеры замены переменной в определённом интеграле 6 dt 6 Пример 9 Вычислить + d rtg( ) (rtg7 ) Сделаем замену t + t + ( t + ) + Найдём dt ( + ) d d и вычислим новые пределы интегрирования t ( ), t() d Пример 9 Вычислить ln Сделаем замену t ln + dt d ( + ) d d Найдём dt (ln ) d и новые пределы интегрирования + + t t ( ), t( ) lnt (ln ln ) ln 5 d (ln ) d dt + (Сравните с примером 79) ln ln t + t + ln ln t + d Пример 9 Вычислить Сделаем замену t 6 7

15 Пример 95 Вычислить Определённый интеграл os tg d Сделаем замену tg + 9 d t tg Найдём dt (tg ) d и новые пределы интегрирования t ( ) tg, t( ) os os tg d tg (tg ) d tg d tg tg + 9 tg + 9 tg + 9 t dt ( t + 9) dt 9 t + t + 9 Снова введём новую переменную z t + 9, найдём dz tdt и поменяем пределы интегрирования: z ( ) 9, z() Получим ( t + 9) dt dz + 9 z t z 9 9 os d Пример 96 Вычислить 5 Сделаем замену t sin sin Найдём dt (sin ) d os d и вычислим новые пределы интегрирования t ( ) sin, t( ) os d os os d ( sin 5 sin sin 5 5 )(sin ) d sin t dt ( t 5 t 5 5 Пример 97 Вычислить t ) dt [ t t 5 ] d Сделаем замену t Найдём dt ( ) d d и новые пределы интегрирования: t (), t() ( )( ) + + t + d d 6 6 dt + + t + 6 t t ln( 6) rtg dt + 6 dt t + + t + t + 6 ln( + 6) ln7 + rtg rtg Пример 98 Вычислить Сделаем замену Глава Определённый интеграл и его свойства d sin t () и найдём d ( sin t) dt ostdt Чтобы найти новые пределы интегрирования, нужно решить два уравнения, которые получатся, если в () подставить исходные пределы интегрирования и соответственно Таким образом, решая уравнения sin t и sin t, получим значения нижнего t и верхнего t пределов интегрирования Окончательно 8 9

16 d os Определённый интеграл t dt ( + ost) dt ( t + sin t) Несобственные интегралы Расширим понятие определённого интеграла Несобственный интеграл по бесконечному промежутку Пусть функция f () определена при всех и интегрируема на каждом конечном промежутке [, A] ( A > ) Рассмотрим предел lim A A + f ( ) d () Его называют интегралом функции f () в пределах от до + или несобственным интегралом II рода, и обозначают символом Таким образом, + + A A + f ( ) d () f ( ) d lim f ( ) d Если предел () существует и конечен, то говорят, что интеграл () существует или сходится Функцию f () при этом называют интегрируемой на промежутке [, + ) Если же рассматриваемый предел () не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл () не существует, или расходится Пример d d lim lim rtg A + + A + Пример + A + A + + A A lim rtg A rtg d d lim lim lim ( + ) A + A + A + A Пример + d d lim lim ln lim (ln A ln ) + A + A + A + A + d Таким образом, несобственный интеграл расходится A Пусть теперь функция f () определена на промежутке (, ] и интегрируема на любом конечном промежутке [ B, ] ( B < ) Несобственным интегралом II рода, или интегралом функции f () в пределах от до, называется B B A lim f ( ) d () Этот интеграл обозначается следующим образом: Таким образом, Глава Определённый интеграл и его свойства f ( ) d () f ( ) d lim f ( ) d B B Если предел () существует и конечен, то говорят, что интеграл () существует или сходится Функцию f () при этом называют интегрируемой на промежутке (, ] В противном случае говорят, что несобственный интеграл () не существует, или расходится Пусть функция f () определена на всей числовой оси и интегрируема на каждом промежутке [ B, A] ( B < A)

17 будем говорить, что функция f () интегрируема на всей числовой оси и + + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d, (5) где любое число, если оба интеграла в правой части (5) сходятся Вычисляя интегралы по бесконечным промежуткам, можно пользоваться формулой Ньютона Лейбница Пусть функция F() является первообразной для функции f () в промежутке [, + ) Введём обозначение F( + ) lim F( A), A + если вычисляемый предел существует + f ( ) d F( + ) F( ) F( ) Точно так же, если функция F () является первообразной для функции f () в промежутке (, ] и если положить то справедлива запись F( ) lim F( B), B f ( ) d F( ) F( ) F( ), если функция F () первообразная для функции f () при (, + ), то + f ( ) d F( ) + Пример Вычислить Сначала вычислим d + + d, применяя интегрирование по час- тям Положим u, dv d Получим du d, v d + d Затем, применяя правило Лопиталя, найдём: lim + Таким образом, + lim + lim + lim + + d + C Рассмотрим по-прежнему функцию f (), интегрируемую на любом конечном промежутке Пусть существует конечный предел вида lim A A + A f ( ) d + Этот предел называется главным значением интеграла f ( ) d и обозначается следующим образом: + Vp f ( ) d Несобственный интеграл от неограниченной функции Рассмотрим теперь конечный промежуток [, ], на котором функция f () не ограничена Пусть функция f () задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке [, ε] ( ε > ), но в точке функция f () является бесконечно большой, т е Глава Определённый интеграл и его свойства Рассмотрим предел lim ε + f ( ) ε lim f ( ) d (6)

18 Этот предел называется несобственным интегралом функции f () от до, или несобственным интегралом I рода, и обозначается как обычно: f ( ) d (7) Если предел (6) существует и конечен, то говорят, что интеграл (7) существует, или сходится, а функция f () интегрируема на промежутке [, ] Если предел (6) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл (7) не существует, или расходится Пример 5 ε d d ε lim lim ( ) lim ( ε + ε + ε + Пример 6 ε ε ε + ) d d lim lim rsin lim rsin( ) ε ε + ε + ε + Пусть теперь функция f () задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке [ + ε, ] ( ε > ), но в точке функция f () является бесконечно большой, т е интеграл функции () lim + f ( ) несобственный f в пределах от до определяется равенством ε + + ε f ( ) d lim f ( ) d (8) Если предел, стоящий в правой части (8), существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует, или сходится, а функция f () интегрируема на промежутке [, ] Если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует, или расходится Пример 7 d lim ε + ε d lim ln ε + ε lim ( ln ε) ε + Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится Теперь рассмотрим случай, когда функция f () определена, ограничена и интегрируема в промежутках [, ) и (, ] и является бесконечно большой в точке, т е lim f ( ) несобственный 5 интеграл функции f () в пределах от до определяется равенством Глава Определённый интеграл и его свойства ε f ( ) d lim f ( ) d + lim f ( ) d (9) ε + ε + +ε Если оба предела в правой части (9) существуют и конечны при стремлении к нулю ε и ε ( ε >, ε > ) произвольно и независимо друг от друга, то несобственный интеграл сходится В противном случае он расходится Сравнивая (6), (8) и (9), видим, что справедливо равенство f ( ) d f ( ) d + f ( ) d () Несобственный интеграл в левой части () сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл слева Главным значением несобственного интеграла функции f () от до в этом случае называется конечный предел ε ( f ( ) d + f ( ) d), ε + lim +ε если он существует Главное значение обозначается так: Vp f ( ) d Пример 8 Вычислить несобственный интеграл d или доказать, что он расходится

19 Глава Определённый интеграл и его свойства Решение Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв внутри промежутка интегрирования при Согласно определению ln 6 lim 6 lim ε + + lim lim d d + d ε + ε + +ε Следовательно, подынтегральная функция является бесконечно Рассмотрим каждый из двух пределов отдельно: большой при + Согласно определению ε ε а) lim d lim ln ε + ε + d d lim lim ln ε ln + ε ln ; ε + ε ln ε + d б) lim d lim ln Вычислим, сделав замену z ln dz d, z( ε) ε + ε + +ε + ε ε ln ln 5 lim ln ε + ε + ln ε, z ( ) Получим: ε + В итоге рассматриваемый интеграл расходится Но он сходится в смысле главного значения Действительно, d dz + ε ε ln ln ε z z ln ε ln ε Vp lim ( ) d d + d В результате ε + +ε ε ε 5 ε 5 ln 5 ln + lim ln ln + lim ln ln d ε + ε + ε ε + ε + lim ln ε + ln ε Пример 9 Вычислить несобственный интеграл Пример Вычислить несобственный интеграл d d ln ( ) или доказать его расходимость или доказать его расходимость Решение Подынтегральная функция является бесконечно большой при Согласно определению Решение С помощью правила Лопиталя вычислим L lim ln + ε ln ln d d ln ln L lim lim lim lim lim ( ) ε + ( ) 6 7

20 Вычислим ε Определённый интеграл d, сделав замену переменной ( ) z ( z > ) Найдём d zdz и новые пределы интегрирования z ( ), z( ε) ε ε d ( ) В итоге ε zdz ( + z ) z ε dz ( + z rtg rtg ε rtg z ) d rtg lim rtg ε rtg ( ) ε + Пример Вычислить несобственный интеграл ln d или доказать его расходимость Решение Подынтегральная функция стремится к при стремлении переменной к нулю справа Согласно определению ln d lim ln d ε + ε Применим метод интегрирования по частям, выбрав u ln, dv d, и вычислим ε ln d ( ln ) ε ε d εln ε ε εln ε + ε Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся правилом Лопиталя ln ln d ε lim ( εln ε + ε) lim lim ε ε + ε + ε + ε ε ε Глава ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА Общий подход к приложениям определённого интеграла Прежде чем использовать определённый интеграл для нахождения неизвестных величин в области геометрии, механики и физики, изложим общий подход к решению прикладных задач с применением определённого интеграла Отметим, что при этом обобщаются рассуждения, изложенные нами при вычислении площади криволинейной трапеции Пусть нужно найти значение некоторой величины G, являющейся функцией промежутка [, ] При этом предполагается, что если [, ] [, ] [, ] ( < < ), то значение G для промежутка [, ] равно сумме значений G для промежутков [, ] и [, ] Для вычисления величины G выполним следующие действия: Выделим внутри отрезка [, ] элементарный отрезок [, + ], где бесконечно малая величина Пусть G значение величины G для промежутка [, + ], а dg значение, удовлетворяющее условию G dg + o( ), () где o( ) бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем d Назовём dg бесконечно малым элементом величины G Исходя из условий задачи, составим формулу для вычисления бесконечно малого элемента dg: dg g( ) d, () «пожертвовав» величинами более высокого порядка малости, чем d Вычислим величину G, интегрируя равенство () на промежутке [, ] 8 9 G g( ) d ()

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей)

Методические указания к изучению темы. (для студентов всех специальностей) Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина А.Н. Филиппов В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Определенный интеграл»

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл и его приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

Математический анализ-2

Математический анализ-2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-2 Баку - 215 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-2. Учебное

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. правлении оси Оу. Аналогично Рассмотрим область D, ограниченную линиями

Подробнее

Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Практическое занятие Тема 5 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур Найти площади плоских фигур ограниченных линиями уравнения которых заданы в прямоугольных декартовых и полярных

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу УДК 5 Мироненко ЛП, Прокопенко НА Донецкий национальный технический университет, кафедра высшей математики им ВВПака Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу Анотація

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Криволинейные интегралы 2-го типа

Криволинейные интегралы 2-го типа Глава 2 Криволинейные интегралы 2-го типа 2. Необходимые сведения из теории Напомним, обсужденный нами на предыдущем занятии криволинейный интеграл -го типа был удобен при отыскании скалярных величин,

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АП Аксёнов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ДВОЙНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Лекция Интеграл как функция верхнего предела

Лекция Интеграл как функция верхнего предела СА Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Интеграл как функция верхнего предела Формула Ньютона-Лейбница Рекомендуется, чтобы студенты перед прослушиванием этой лекции повторили лекцию 5 о первообразных из

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

А.В. Аристархова, Н.Г. Бабаева. Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии АВ Аристархова, НГ Бабаева Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x.

(2 балла) 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OY : 4x 2 + y 2 = 4. ln cos 1 x x 2 dx. (1 балл) 1 x. Вариант.. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: x + y = 6; x = 6y.. Найти обьем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси OX и проходящей через { вершину циклоиды,

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Тема: Применение определенного интеграла.

Тема: Применение определенного интеграла. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лектор Пахомова Е.Г. 013 г. II Плоская кривая, заданная параметрическими

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ Г А Павлова, С В Горбунов ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРАКТИКУМ Самара МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Глава 4. Функции одной переменной 69

Глава 4. Функции одной переменной 69 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

РАЗДЕЛ 5 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РАЗДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Первообразная функция Определение: Функция F называется первообразной функцией функции на отрезке [, ], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Подробнее