ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин"

Транскрипт

1 УДК: ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 008 А. М. Фрумкин доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mil: Курский государственный технический университет Статья посвящена задаче минимизации максимума вещественных частей корней для многочлена вида f( )= при варьировании коэффициента. Ключевые слова: многочлен, корень, показатель Гурвица, критерий Гурвица, семейство многочленов, минимакс. В данной статье аналитически решается следующая задача, расширяющая набор задач, рассмотренных в [Фрумкин 008]. Пусть f(, )= семейство многочленов, зависящих от параметра. Коэффициенты, имеют фиксированные положительные значения. Необходимо описать множество значений, при которых показатель Гурвица многочлена имеет минимальное значение. Настоящая статья непосредственно продолжает статью [Фрумкин 008], и, соответственно, использует терминологию и систему обозначений из [Фрумкин 008]. Сначала покажем, что постановка задачи корректна, то есть по крайней мере одно значение существует. Для дальнейшего изложения введем следующую терминологию. Определим на множестве комплексных чисел C отношение ={(,y) C: Re()<Re(y) (Re()=Re(y) Im() Im(y)}. Нетрудно показать, что это отношение нестрогого порядка. Далее оно обозначается как (так же, как для вещественных чисел). Пусть n натуральное число. Обозначим через T n множество T n ={ C n : k,n k k+ }. Основная теорема алгебры [Курош 949] в расширенном варианте может быть сформулирована так. Отношение n ={(,) C n n T n : C k n k n ( k ) } k k является непрерывной функцией. Функцию можно назвать корневой функцией для многочленов n-ой степени. Имеет место следующее утверждение. Лемма. Пусть f(,)= семейство многочленов,, >0 константы. Тогда при достаточно больших значениях корень (,, ) вещественный, корни (,, ) (,, ) комплексные и имеют место следующие пределы: lim (,, )+ =0, lim (,, ) =0, lim (,, )=0. Сначала покажем, что при достаточно большом многочлен имеет единственный вещественный корень. Найдем производную f(,) по. f(,)= + +. Если <, то f(,) монотонно по возрастает и корень единственный. Если >, то корни производной ( ), ( ). Соответствующие значения функции есть

2 f(, ) = , f(, ) = Заметим, что f(, ) f(, ) = = = [ 9 ( - ) + ] > 0, то есть f(, )>f(, ). Покажем, что при достаточно больших f(, )>0. Обозначим t=. Тогда f(, ) = t t 9t + 9 9t t +. Для того, чтобы доказать, что f(, )>0, достаточно доказать, что t t 9t + 9 9t t >0, или t (t- 9t )+ ( 9t 9 -t)>0, или t t t > 9 9 ( t t )( t t ) = = t t 9 t ( t ) 9 9 t t 9, или t > 9t +. Последнее неравенство всегда выполняется, если t >t+, так как 9t <t. Поэтому при достаточно больших t, а именно, при t ( 8 9 ) имеем f(, )>0. Если f(, )>0, то многочлен имеет единственный корень в промежутке (-, ]. Пусть при [ 0, ) многочлен имеет единственный вещественный корень. Обозначим этот корень через ( ). Покажем, что ( )+ =0. Для этого lim обозначим ( )+ = или ( )=- +. Покажем, что >0 при достаточно больших. Имеем f(,- ) = - +. При > = f(,- )<0. Пусть >. Заметим, что >- >. В промежутке (-, ] f(,) монотонно возрастает, поэтому из ( )<- следует, что f(, ( ))<0. Итак >0 при достаточно больших. Пусть >m{, }. Запишем уравнение f(,)=0 в виде: (- + ) + (- + ) + (- + )+ =0, или ( - ) - ( - )+ =0. Пусть >. Тогда ( - ) + ( - )+ >0. Итак, >. Следовательно, ( - ) = ( - )- < ( - ), то есть ( - )< - + >0. Отсюда следует, что либо, либо 4 4.

3 Пусть. Тогда < =. При достаточно больших последнее выражение не больше, чем с/, где с константа. Тогда ( ) ( )+ > ( ) -c/ +. При достаточно большом ( ) c/ + >0. Следовательно, при достаточно больших имеет место только один вариант: = 0 при. 4 4 Теперь оценим оставшиеся корни многочлена. Пусть многочлен допускает разложение f(,)=(+ - )( +p+q). Тогда имеют место соотношения - +p=, ( - ) +q=, ( - )q=. Возьмем только первое и третье равенство. Из них следует, что p=, q. Знак дискриминанта трехчлена +p+q определяется знаком выражения 4 или знаком ( - )-4. Так как при достаточно больших <с/, то ( - )<c / и при >c /(4 ) оба корня комплексные: z i, z i 4. Вещественная часть корня убывает как 4 c /, мнимая часть корня убывают как c / (c,c числа). Поэтому при достаточно больших имеют место отмеченные в условии теоремы пределы. Непосредственным следствием леммы является лемма. Лемма. Пусть f(,)= семейство многочленов,, >0 константы. Тогда имеет место равенство: lim (,, )=0. Действительно, при достаточно больших (,, ) = Re( (,, )) = Re( (,, )). Следствием леммы является теорема. Теорема. Пусть f(,)= семейство многочленов,, >0 константы. Тогда существует значение >0, при котором показатель Гурвица минимален. Заметим, что по критерию Гурвица [Курош 949] при / ( ) 0, при > / ( )<0. Возьмем произвольное число > / и найдем (согласно лемме ) такое, что для всех ( )< ( )<0. Функция ( ) непрерывна и на отрезке [ /, ] имеет минимум. Этом минимум не превышает ( ) и потому является абсолютным минимумом. Cформулируем и докажем основное утверждение статьи. Теорема. Пусть f(, )= семейство многочленов, зависящих от параметра. Коэффициенты, имеют фиксированные положительные значения. В этом случае существует единственное значение, при котором показатель Гурвица многочлена имеет минимальное значение. В зависимости от соотношения между и оптимальное значение и соответствующее минимальное значение показателя ( ) вычисляются по следующим правилам.

4 ) если 6 /, то = 4 +, ( ) = - 8 ; ) если 6 / < /, то =, ( )=, где меньший положительный вещественный корень многочлена ()= ()= +; ) если > /, то = +, ( )=, где меньший положительный вещественный корень многочлена (t)= t t+. Согласно лемме из [Фрумкин 008], необходимо найти тройку чисел s, p, q>0 так, чтобы s, p, q удовлетворяли условиям sp+q=, sq=, p s, p 4q и при этом p имело максимальное возможное значение. Если такой набор единственный, то соответствующее значение определится из соотношения =p+s, а показатель Гурвица как - p. Систему условий можно упростить, если исключить q= s обозначить = >0. Тогда задача может быть переформулирована: необходимо найти s такую пару чисел,p>0, чтобы выполнялись условия p/+ =, p /, p 4 и р имело максимальное возможное значение. Ограничения на p, могут быть переписаны так: p= -, p /, p. Для того чтобы решить оптимизационную задачу, сначала отдельно выясним, как выполняются условия g()= - и g()= - / в зависимости от соотношений между,. Лемма. Если, то >0 g(), причем равенство имеет место только в случае, если = и =. Если >, то уравнение g()= имеет два корня в промежутке (0, ): ( ) ( ). При этом как функция монотонно убывает, как функция монотонно возрастает. Имеют место равенства: =, =, где < положительные вещественные корни многочлена (t)= t - t+. Имеют место пределы: lim ( )=0, lim ( )=. Для каждого > при (0, ( )] и [ ( ), ) имеет место неравенство g(), а при ( ( ), ( )) имеет место неравенство g()>. Рассмотрим функцию q()= -g()= +. Неравенство q() 0 при >0 эквивалентно неравенству / + 0. Обозначим t=. Тогда неравенство q() 0 эквивалентно неравенству (t)= t - t+ 0. Производная : (t)= t -. Функция имеет локальный минимум при t 0 = : и

5 (t 0 )= ( ) - + = - + =- + и локальный максимум при t=-t 0 ; (-t 0 )> (0)= >0. На промежутке [0,t 0 ] монотонно убывает, а на [t 0, ) возрастает. Условие (t 0 )>0 эквивалентно такому: - + >0 < <. Соответственно, условие (t 0 )=0 эквивалентно условию =, и условие (t 0 )<0 эквивалентно условию >. Следовательно, если <, то уравнение (t)=0 положительных решений не имеет: t>0 (t)>0. Если =, то уравнение (t)=0 имеет единственное положительное решение t 0 = = 6, то есть t>0 (t) 0. Если >, то (t 0 )<0 и, в силу монотонности на каждом из промежутков [0,t 0 ] и [t 0, ), уравнение (t)=0 имеет два решения. Одно из них меньше t 0, другое больше t 0. При этом на [0, ] и [, ) (t) 0 и на (, ) (t)<0. Для того чтобы исследовать монотонность и по, рассмотрим (t) как функцию двух переменных: и t. Пусть (,t)= t - t+. Ее частные производные по и t есть (,t) = -t, (,t)= t -. Так как ( )<t 0, то (, ( ))<0 и по ( ) теореме о неявной функции ( ) 0. Следовательно, ( ) убывает (, ( )) по. Далее ( )>t 0, то есть (, ( ))>0, и, по теореме о неявной функции, ( ) ( ) 0. Следовательно, ( ) возрастает по. Так как (, ( )) ( )>t 0 ( )=, то lim ( )=. Далее (t)=6 t>0 при t>0, то есть при t>0 функция вогнута. Это значит, что в промежутке [0,t 0 ] график лежит ниже прямой, соединяющей точки (0, (0)) и (t 0, (t 0 )), или формально t [0,t 0 ] ( 0) (t) (t)= (0)+( (t 0 )- (0))(t/t 0 ). Корень уравнения (t)=0 есть t = t0 = ( 0) ( t0). Пусть t <. Тогда, согласно вогнутости, имеет место неравенство 0= ( )< (t ), но при t < ( )<0. Следовательно, ( ), то есть lim ( )=0. Так как функция монотонно возрастает, то доказанные свойства функции (t) переносятся на функцию q()= ( ). При этом положительные корни < уравнения q()=0 вычисляются так: =, =

6 Лемма 4. Если, то >0 g(), причем равенство имеет место только в случае, если = и =. Если >, то уравнение g()= имеет два корня в промежутке (0, ): < ; ( ) как функция монотонно убывает, ( ) как функция монотонно возрастает. Имеют место равенства: lim ( )=0, lim ( )=. Для каждого > при (0, ( )] и при [ ( ), ) имеет место неравенство g(), а при ( ( ), ( )) имеет место неравенство g()>. Рассмотрим функцию q()= -g()= - +. Неравенство q() 0 при >0 эквивалентно неравенству ()= ()= -. Функция имеет локальный максимум при =0 и локальный минимум при = 0 = : (0)=>0, ( 0 )= ( ) - ( ) += = На промежутке [0, 0 ] монотонно убывает, а на [ 0, ) возрастает. Условие ( 0 )>0 4 эквивалентно такому: < <7 <. Соответственно, условие 7 ( 0 )=0 эквивалентно условию =, и условие ( 0 )<0 эквивалентно условию, то уравнение ()=0 положительных >. Следовательно, если < решений не имеет: >0 ()>0. Если = единственное положительное решение 0 =, то уравнение ()=0 имеет 4 =, то есть >0 () 0. Если >, то ( 0 )<0 и, в силу монотонности на промежутках [0, 0 ] и [ 0, ), уравнение ()=0 имеет два положительных решения. Одно из них меньше 0, другое больше 0. При этом на [0, ] и [, ) () 0 и на (, ) ()<0. Исследование монотонности и по и доказательство равенства lim ( )= проводятся по схемам рассуждений, проведенных в доказательстве леммы. Для доказательства равенства ( )=0 заметим, что функция g()= - при 0 = lim имеет максимальное значение. Прямая, соединяющая точки (0,0) и 4

7 (, 4 ), имеет уравнение y=. Найдем точку пересечения этой прямой с гиперболой y=/. Ее абсцисса = < 0 при достаточно больших : неравенство < 0 эквивалентно > 6 /. Далее, из < 0 следует, что g( )> =. При достаточно малых g()<, поэтому меньший положительный корень уравнения g()= лежит между нулем и : ( ), то есть lim ( )=0. Продолжим доказательство теоремы. Наша задача состоит в том, чтобы найти точку максимума функции g()= Уравнение = если >, то < при ограничениях g() имеет единственный корень =, g().. Если, то,. Поэтому ограничения можно переформулировать так: (g() ) ( g() ). Уже отмечалось, что функция g()= при 0 = имеет максимальное значение. Если выполняется неравенство g( 0 ) / 0, то автоматически 4 выполняется неравенство g( 0 ) 0. Действительно, g( 0 ) / 0 4 /( ) 6 / 4 6 /. Условие g( 0 ) 0. 4 / 4. Из / 4 следует, что / 4. Следовательно, если 6 /, то максимальное значение p есть, соответственно =, s= и 4 минимальное значение показателя Гурвица есть. Это значение достигается при 8 = +. 4 Пусть теперь > 6 / но ( ). В силу монотонности функции последнее неравенство означает, что - ( ). Число - ( ) ищется из условия - ( ) =,

8 то есть - ( )= /. Если ( 6, ], то > и, в силу леммы 4, уравнение g()= имеет два корня в промежутке (0, ): ( )< ( ). В силу последнего неравенства, поэтому ( ) ( ) ( ) g() < <. Далее, из > 6 ( ) ( ) следует g( 0 )>/ 0, то есть ( )< 0. На отрезке [0, 0 ] функция g() монотонно растет, поэтому 0 ( ) g() g( ( ))=. C другой стороны, ( ( ), ( )) g()>. Кроме того, так ( ) как ( ), то ( ). Следовательно, максимум g() при ограничениях ( ) g(), g() есть. Соответственно, = ( ), s=, =, ( ) ( ) ( ) ( )=. ( ) Пусть >. В этом случае ( )<, то есть g( ( ))= > ( ). При ( ) достаточно малых < ( ) g()<, потому что при малых g () c, где с константа. Следовательно 0< ( )< ( ). Заметим, что точка максимума функции g() > =, поэтому в промежутке [0, ( )] [0, ] g() монотонно возрастает и, как следствие, [0, ( )] g() g( ( )). Далее, величина t 0 = из доказательства леммы оценивается так: t 0 > -/6. Поэтому ( )= ( )>t 0 > и, в силу леммы, ( ( ), ] g()>. Таким образом, максимальное значение g() в промежутке [0, ] при ограничении g() есть g( ( ))= ( ). Максимальное значение g() в промежутке [, ) при ограничении g() есть g( ( ))= ( ). Покажем, что при всех > имеет место неравенство g( ( ))>g( ( )). Пусть найдется > : g( ( )) g( ( )). При = имеем g( ( ))>g( ( )). Поэтому по теореме о промежуточном значении непрерывной функции найдется > : g( ( ))=g( ( )). Для компактности изложения обозначим ( ) и ( ) просто как и. Имеем: - =, - =,

9 =. Перепишем первые два равенства так: = +, = +, исключим : + =t, =/t, t + t = +t t = +. Обозначим t=. Тогда =t, = /t, и последнее уравнение перепишется так: t = t= t = = =, что противоречит исходному предположению >. Таким образом, максимальное значение g() в промежутке [0, ) при ограничениях g() Соответственно, = ( ), s=, = ( ) ( ) и g() есть g( ( ))= ( ). + ( ) = +, ( )=- ( ) =. Мы показали, что если точка минимума существует, то она однозначно определяется по соответствующим формулам. Но, по теореме, такая точка существует. Библиографический список. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М-Л. : ГИТТЛ, с.. Фрумкин, А. М. О задачах оптимизации показателя Гурвица для семейств многочленов [Электронный ресурс] / А. М. Фрумкин // Ученые записки : электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск : Курск.гос.ун-т, Режим доступа к журналу: http//scientific-notes.ru, свободный. Загл. с экрана гос. регистрации

О ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВ МНОГОЧЛЕНОВ

О ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВ МНОГОЧЛЕНОВ УДК: 59.85.4 О ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВ МНОГОЧЛЕНОВ 008 А. М. Фрумкин доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mail: frumkiam@mail.ru Курский государственный

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal Math-Net.Ru All Russian mathematical portal A. L. Pavlov, Holomorphic factorization of polynomials, Sibirsk. Mat. Zh., 2016, Volume 57, Number 5, 1102 1108 DOI: http://dx.doi.org/10.17377/smzh.2016.57.515

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм биномиальных

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин УДК: 5171 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 2010 А М Фрумкин канд тех наук, доцент каф электротехники, электроники и автоматики, e-mail: frumkinam@mailru Курский государственный технический

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Выпуклые множества и функции

Выпуклые множества и функции Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n ) будем обозначать

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f ( ) C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Сибирский математический журнал Май июнь, 22. Том 43, 3 УДК 517.26 ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Аннотация: Доказаны некоторые асимптотические

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

= 0. В левой части его. x =, поэтому x1 x2,3. ( x 3)( 16) 0

= 0. В левой части его. x =, поэтому x1 x2,3. ( x 3)( 16) 0 Корни многочлена Б. М. Писаревский (Москва) Если в задаче требуется найти корни многочлена второй степени, т. е. решить квадратное уравнение, то с помощью известной формулы мы делаем это спокойно и уверенно.

Подробнее

III. ГРАФИКИ. Теоретические вопросы

III. ГРАФИКИ. Теоретические вопросы III ГРАФИКИ Теоретические вопросы 1 Условия возрастания функции на отрезке Условия убывания функции на отрезке Точки экстремума Необходимое условие экстремума 4 Достаточные признаки максимума и минимума

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида

п Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида п 6 Метод знакотождественных множителей Метод, о котором пойдет речь, позволяет решать многие из неравенств вида a( ) a( ) an( ) a( ) a( ) an( ) () или () an ( ) an( ) anm( ) (здесь знаком обозначен один

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее