Тема 11. Матричные игры

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 11. Матричные игры"

Транскрипт

1 Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между матричной игрой и задачей линейного программирования. Задачи: научиться находить минимаксные и максиминные стратегии игроков в матричных играх, ситуации равновесия в чистых стратегиях; научиться использовать графический метод для нахождения ситуаций равновесия в смешанных стратегиях для игр с двумя чистыми стратегиями у одного из игроков; получить представление о нахождение ситуации равновесия в смешанных стратегиях в любой матричной игре сведением ее к задаче линейного программирования. Оглавление Понятие матричной игры Максиминные и минимаксные стратегии Ситуации равновесия в матричных играх Смешанные стратегии. Смешанное расширение игры Существование решения матричной игры в смешанных стратегиях Применение методов линейного программирования к решению матричных игр Свойства оптимальных смешанных стратегий Графоаналитический метод решения игр Понятие матричной игры Антагонистическая игра (см. 1.1), в которой у каждого игрока конечное множество стратегий, называется матричной игрой. Матричную игру можно задать как набор объектов M, N,, где M 1,, множество стратегий первого игрока; N 1,,, M N ситуация в игре ; множество стратегий второго игрока; a выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока) в ситуации, M N ;,, a M N матрица выигрышей первого игрока. 1

2 Игра происходит следующим образом: игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свои стратегии M и N из множества своих возможных стратегий. В результате формируется пара стратегий (, ), (, ) M N, называемая ситуацией. После этого игра прекращается, первый игрок получает выигрыш a, а второй a Максиминные и минимаксные стратегии В теории игр предполагается, что оба игрока действуют рационально, т. е. стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим для себя образом. В основу выработки понятия оптимальности для матричной игры M, N, можно положить следующие соображения. Первый игрок может всегда себе гарантировать выигрыш v axa, 1 1 M N, принцип построения стратегии, основанный на максимизации минимального выигрыша называется принципом максимина, стратегия максиминной стратегией первого игрока. Таким образом, разумной стра- тегией игрока 1 можно считать ту, при которой его наименьший выигрыш окажется максимальным. который называется нижним значением игры,, Второй игрок может всегда себе гарантировать проигрыш v axa, 1 1 M N, принцип построения стратегии, основанный на минимизации максимального выигрыша называется принципом минимакса, стратегия минимаксной стратегией второго игрока. Таким образом, разумной стра- тегией игрока можно считать ту, при которой его наибольшие потери окажутся минимальными. который называется верхним значением игры,, Минимакс и максимин для игры,, M N можно найти по следующей схеме:

3 Для любой матричной игры справедливо следующее утверждение. a11 a1 a a 1 1 a1 a a a axa v a 1 a a a axa ax a ax a v ax a Лемма M, N, В матричной игре 1 1 v v, т. е. axa axa. 1 1 Пример Найти максиминные и минимаксные стратегии в игре и B : , B. 6 1 Решение. В игре нижнее значение игры (максимин) v 3, максиминной стратегией первого игрока является стратегия. Верхнее значение игры (минимакс) v 3, минимаксная стратегия второго игрока : a v ax a ax a : v ax a 3 В игре В нижнее значение игры (максимин) v, максиминной стратегией первого игрока является стратегия. Верхнее значение игры (минимакс) v, минимаксная стратегия второго игрока : 3

4 7 3 3 B v ax b ax b 7 b v ax b Ситуации равновесия в матричных играх Рассмотрим вопрос об оптимальном поведении игроков в мат- M, N, та- ричной игре. Естественно считать оптимальной в игре кую ситуацию, M N, от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться. Такая ситуация называется равновесной, а принцип оптимальности, основанный на построении равновесной ситуации, принципом равновесия. В матричной игре M, N, ситуация, называется ситуацией равновесия или седловой точкой, если для всех M и N выполняются неравенства: a a a. Число v a, равное значению функции выигрыша в ситуации равновесия,, называется значением игры M, N,. Стратегия называется оптимальной стратегией первого игрока, стратегия оптимальной стратегией второго игрока. Ситуация равновесия (седловая точка) является ситуацией равновесия по Нэшу в матричной игре (см. 1.). Теорема Для того, чтобы в матричной игре M, N, существовала ситуация равновесия, необходимо и достаточно, чтобы нижнее значение игры было равно верхнему значению игры, т. е. выполнялось равенство v axa ax a v Пусть, ситуация равновесия в игре, тогда значение игры v, определяется следующим образом: v v v a, где стратегии (максиминная) и (минимаксная) оптимальные стратегии игрока 1 и соответственно. 4

5 Пример Найти ситуации равновесия и значения следующих матричных игр: а) , б) B. 7 Решение. В игре v v, поэтому ситуация, образованная максиминной и минимаксной стратегиями игроков,,,1 является ситуацией равновесия. В игре B ситуации равновесия нет, т. к. v, v 3, следовательно, минимаксная ( ) и максиминная ( 1) стратегия не образуют ситуацию равновесия. Теорема Пусть 1, 1 и, две произвольные ситуации равновесия в антагонистической игре, K 1, 1,, выигрыши в соответствующих ситуациях. Тогда K, K, K, K, ; 1) ) ситуации 1,,, 1 ситуации равновесия в игре. K Пример Найти значение игры и оптимальные стратегии игроков в матричной игре: Решение. Нижнее значение игры v ax a, верхнее значение игры v axa, следовательно, v, а максиминные и минимаксные стратегии игроков образуют ситуацию равновесия. Первый игрок имеет две минимаксные стратегии,, второй игрок имеет две максиминные стратегии 1 1 1, 3. Следовательно, в игре существуют четыре ситуации равновесия 1,, 1,, 3,, 3, Смешанные стратегии. Смешанное расширение игры Если в игре не существует ситуации равновесия, то максиминная и минимаксная стратегии не являются оптимальными. В этом

6 случае игрокам разумно действовать случайно, что обеспечивает наибольшую скрытность выбора стратегий. Результат выбора не может стать известным противнику, поскольку до реализации случайного механизма не известен самому игроку. Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией. Вектор x называется смешанной стратегией первого игрока, если x,, R, 1,, 1,,,. 1 1 Вектор y называется смешанной стратегией второго игрока, если y,, R, 1,, 1,,,. 1 1 Множества X и Y называются множествами смешанных стратегий первого и второго игроков соответственно. Вектор u 1,, X, где 1,,, M, есть -я чистая стратегия первого игрока. Вектор w 1,, Y, где 1,,, N, есть -я чистая стратегия второго игрока. Пара x, y X Y смешанных стратегий называется ситуацией в смешанных стратегиях. Выигрыш первого игрока в ситуации x, y X Y определим как математическое ожидание выигрыша при условии, что игроки используют смешанные стратегии x и y. Математическое ожидание выигрыша первого игрока в ситуа- x, y X Y равно ции, K x y a, 1 1 или в матричной форме K x, y T T x y x y. Выигрыши при применении одним из игроков чистой стратегии ( или соответственно), а другим смешанной ( x или y ) имеют вид: где a -я строка, T K, y a a y, 1,,, 1 K x, a xa, 1,,, 1 a -й столбец матрицы. 6

7 Игру X, Y, K будем называть смешанным расширением игры M, N, Существование решения матричной игры в смешанных стратегиях Ситуация x, y в игре называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях, а число, игры, если для всех v K x y является значением x X и y Y выполняется неравенство,,, K x y K x y K x y. Пример Проверить, что смешанные стратегии x,,, y,, оптимальны, а v значение игры с матрицей Решение. Найдем T y 1,, 3 имеем T x 1,, 3 имеем, T K x, y x y. Для любой стратегии K x, y x y, для любой стратегии K x y x y. Следовательно, указанные стратегии являются оптимальными, а v. Теорема (О существовании ситуации равновесия в смешанных стратегиях). Всякая матричная M, N, игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях Применение методов линейного программирования к решению матричных игр Матричная игра в определенном смысле эквивалентна паре двойственных задач линейного программирования: xu Т x w x

8 ax yw y T u y где 1,1,,1 u R, w 1,1,,1 R. Теорема Пусть игра с положительной матрицей (все элементы положительны) и даны две задачи линейного программирования , Тогда имеют место следующие утверждения. 1. Обе задачи линейного программирования имеют оптимальное решение x и y, при этом Т Т xu ax yw.. Значение v игры равно а вектора x Т v 1, y x, y являются оптимальными смешанными стратегиями первого и второго игроков. 3. Любые оптимальные стратегии x X и y Y игроков могут быть построены указанным способом, т. е. x X y X, Y, где X множество оптимальных решений задачи ; Y множество оптимальных решений задачи Замечание Если матрица игры не является положительной, то существует такая константа, что матрица a положительна. 1,, 1,, Y Тогда значение игры равно v v 1, оптимальные стратегии в игре с матрицей и матрицей совпадают. Пример Решим матричную игру сведением ее к задаче линейного программирования, где 8

9 4. 3 Решение. Соответствующие задачи линейного программирования имеют вид: , 1, Оптимальные решения этих задач можно найти геометрически: ax x,, y, ; xu yw. 1 Тогда оптимальные смешанные стратегии: x 1 4, y 3 x, y,, значение игры: 1 1 v Свойства оптимальных смешанных стратегий Теорема Для того чтобы ситуация x, y была равно- весной в игре, а число, v K x y являлось значением игры, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств для всех M и N :,,, K y K x y K x. Теорема Для того чтобы ситуация в смешанных стратегиях x, y была равновесной в игре, необходимо и достаточно выполнение равенства K x, ax K, y. N Теорема Для матричной игры справедливы следующие соотношения: v ax K x, ax K, y, xx N M yy M. 9

10 причем экстремумы по смешанным стратегиям x и y достигаются на оптимальных стратегиях игроков. Теорема Пусть x 1,, и y 1,, оптимальные стратегии в игре, v значение игры. Тогда для любого M, при котором K y v, имеет место равенство, а для любого, N, при котором K x v, имеет место равенство Обратно, если K x, v.,, то K y Чистая стратегия,. v, а если, то M N первого (второго) игрока называется существенной или активной стратегией, если существует оптимальная стратегия x 1,, ( y 1,, ) этого игрока, для которой ( ). Из определения существенной стратегии и теоремы следует, что для каждой существенной стратегии игрока 1 и любой оптимальной стратегии y Y игрока в игре выполняется равенство, K y a v. 1 Аналогичное равенство имеет место для любой существенной стратегии игрока и оптимальной стратегии x X игрока 1:, K y a v. 1 Тогда теорема может быть переформулирована следующим образом: если чистая стратегия игрока существенна, то она уравновешивает любую оптимальную стратегию противника. Множество x, M M называется спектром смешанной Множество y стратегии x X. Спектр смешанной стратегии состоит из стратегий, которые выбираются с положительными вероятностями. N N, называется спектром смешанной стратегии y Y. Знание спектра оптимальной смешанной стратегии упрощает нахождение решения игры. Оптимальная смешанная стратегия и значение игры удовлетворяют системе: 1

11 1 1 1 для первого игрока a v, N, a v, N \ N, y y 1,, M, для второго игрока a v, M, a v, M \ M, x x 1,, N Графоаналитический метод решения игр В основе метода лежит свойство оптимальных стратегий доставлять внешние экстремумы в равенстве (теорема ): v ax K x, ax K, y. xx N Рассмотрим игру, в которой игрок 1 имеет только две стратегии чистые стратегии, игрок произвольное число чистых стратегий. Матрица игры имеет вид: yy M a a a a a a Пусть игрок 1 выбрал смешанную стратегию,1 чистую стратегию N. Тогда выигрыш игрока 1 в ситуации, x равен. x, y x, а игрок K x, a 1 a, геометрически он представляет собой прямую линию в координатах,k. Каждой чистой стратегии второго игрока N соответствует своя прямая. Графиком функции H K x, N которой достигается максимум функции является нижняя огибающая семейства прямых Точка, в H,,1, дает требуемое оптимальное решение x,1 v H., и значение игры равно Аналогично можно решить игру, в которой второй игрок имеет только две чистые стратегии. Тогда матрица игры имеет вид: 11

12 a11 a1 a1 a. a1 a Пусть y,1 смешанная стратегия второго игрока, тогда выигрыш игрока в ситуации, y, M, равен K, y a1 1 a, геометрически это прямая в координатах,k. Графиком функции H ax K, y M в которой достигается минимум функции является верхняя огибающая семейства указанных прямых. Точка, H, 1,, дает требуемое оптимальное решение y,1 и значение игры v H. Пример Решить матричную игру, заданную матрицей Решение. Ожидаемый выигрыш первого игрока при различных стратегиях второго имеет вид K x,1, K x, 1, K x,3 3 4, K x,4 4. Нижняя огибающая H K x, и сами прямые, K x изображены на рис Рис

13 Точкой максимума функции H является точка пересечения первой и четвертой прямой, значение можно найти из уравнения: K( x,1) K( x,4) 4. Получаем оптимальную стратегию первого игрока Заметим, что v K( x,1) K( x,4). 8 3 x,. Для оптимальной стратегии второго игрока y y 1, y, y3, y 4 должно выполняться: v K( x, y ) K( x,1) K( x,) K( x,3) K( x,4) При этом K( x,) 8, K( x,3) 8, следовательно,, 3 (см. теорему ), а и 1 4 можно найти из системы: 8 K 1, y K, y Таким образом, оптимальная стратегия второго игрока 4 1 y,,,. 3 Ответ: оптимальные смешанные стратегии игроков x,, 4 1 y,,,, значение игры v 8. Выводы Антагонистическая игра двух лиц с конечным множеством стратегий у каждого игрока называется матричной игрой. Принцип максимина (минимакса) позволяет определить гарантированный выигрыш первого (второго) игрока. Ситуация равновесия в чистых стратегиях не всегда существует, поэтому требуется вводить смешанное расширение матричной игры. Ситуация равновесия в смешанном расширении игры всегда существует, и ее можно получить, используя методы линейного программирования. Для матричных игр, в которых один из игроков имеет только две стратегии, решение можно найти графическим методом

14 Вопросы для самоконтроля 1. Что называется антагонистической игрой?. Дайте определение матричной игры. 3. Как реализуется матричная игра? 4. Что представляет собой чистая стратегия 1-го (-го) игрока?. Что такое максиминная и минимаксная стратегии игроков? 6. Что называется ситуацией равновесия? 7. Всегда ли максиминная и минимаксная стратегии игроков образуют ситуацию равновесия? 8. Что называется значением матричной игры? 9. Дайте определение смешанной стратегии 1-го (-го) игрока. 1. Что называется выигрышем 1-го игрока в смешанных стратегиях? 11. Что такое смешанное расширение матричной игры? 1. Что такое значение игры в смешанных стратегиях? 13. Всегда ли матричная игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях? 14. Как найти решение любой матричной игры в смешанных стратегиях? 1. Какая стратегия игрока называется существенной? 16. Что такое спектр смешанной стратегии? 17. В чем суть графического метода решения матричных игр? Библиография 1. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, Таха Х.А. Введение в исследование операций. 7-е изд. Изд. дом «Вильямс», М.,.. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997 г. 6. Зенкевич Н.А., Марченко И.В. Экономико-математические методы. Рабочая тетрадь 3. СПб, изд-во МБИ,. 7. Wsto W.L. Itroducto to Matheatcal Prograg: pplcatos ad lgorths. Bosto (Mass.): PWS-KENT Publ., Wsto W.L. Operatos Research: pplcatos ad lgorths. Bosto (Mass.): PWS-KENT Publ.,


12.1. Игра в форме характеристической функции

12.1. Игра в форме характеристической функции Тема 12. Кооперативное поведение Цель: познакомить читателя с понятием кооперативной игры, дать определение основных элементов игры в форме характеристической функции, дать представление об основных принципах

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

10.1. Понятие игры в нормальной форме. Классификация игр Принципы оптимальности в некооперативных играх Недостатки равновесия по Нэшу.

10.1. Понятие игры в нормальной форме. Классификация игр Принципы оптимальности в некооперативных играх Недостатки равновесия по Нэшу. Тема 10. Некооперативные игры Цель: познакомить читателя с понятием игры в нормальной форме, дать классификацию игр, познакомить с основными принципами оптимальности в некооперативных играх, а также с

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Тема 5. Дискретное программирование

Тема 5. Дискретное программирование Тема 5. Дискретное программирование Цель: познакомить читателя с постановкой задачи дискретного программирования, основными классами задач, которые можно сформулировать как модели дискретного программирования.

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения

Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения Портфолио arcadynovosyolov: игры и решения ОГЛАВЛЕНИЕ Типовые задачи... 2 Игры и решения... 2 Матричные игры... 2 Более сложные задачи... 7 Игры и решения... 7 Парето-оптимальное решение... 7 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

Подробнее

7.1. Особенности метода динамического программирования

7.1. Особенности метода динамического программирования Тема 7 Динамическое программирование Цель: познакомить читателя с задачей дискретного оптимального управления Сформулировать принцип оптимальности Беллмана для задачи дискретного оптимального управления

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

9.1. Основные элементы задачи принятия решений. Классификация задач принятия решений. Любой процесс принятия решения включает следующие элементы.

9.1. Основные элементы задачи принятия решений. Классификация задач принятия решений. Любой процесс принятия решения включает следующие элементы. Тема 9. Элементы теории принятия решений Цель: познакомить читателя с основными элементами задачи принятия решения и их классификацией. Рассмотреть постановку задачи принятия решения в условиях риска,

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса И.В. ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ ИГР Учебная программа

Подробнее

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ . ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Курс "Теория игр" является составной частью исследования операций и относится к циклу дисциплин, формирующих профессиональный уровень экономиста-математика. Теория игр дает формальный

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Программа, вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г.

Программа, вопросы и литература по с/курсу Элементы теории игр лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г. Программа вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 5 года; -5 курсы; 13/14 уч.г. I. Основные определения и положения теории игр. 1. Участники игры игроки стратегии

Подробнее

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет К В ГРИГОРЬЕВА БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Часть Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ А.И.Дворсон РАБОЧАЯ

Подробнее

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru)

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Содержание 1 Вопросы к экзамену 2 2 Примеры задач 3 2.1 Линейное программирование......................... 3 2.2 Теория двойственности............................

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия SOLUTION OF THE GAME BY SHAPLEY-SNOW Gleev R.R. Fcl uversty by The Govermet of the Russ Federto Moscow,

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается.

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЭКОНОМИКЕ Натёсова А.А., Фирсова Е.В. Коломенский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Лекция 9. I. После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой:

Лекция 9. I. После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой: Лекция 9 ТАБЛИЧНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Практические расчеты при решении реальных задач симплексным методом выполняются в настоящее время с помощью компьютеров. Однако если расчеты осуществляются

Подробнее

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р.

Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р. Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян ГР ЛЕКЦИИ ТЕОРИЯ ИГР для студентов экономических специальностей очной заочной

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

Тема 6. Нелинейное программирование

Тема 6. Нелинейное программирование Тема 6. Нелинейное программирование Цель: познакомить читателя с постановкой задачи нелинейного программирования (задача НП), необходимыми условиями оптимальности для различных видов задачи нелинейного

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения.

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения. Экзаменационная работа по теории игр года Решения Задача Два игрока играют в следующую игру Игрок называет целое число от до Игрок добавляет к числу, которое назвал игрок, целое число от до и называет

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математического обеспечения ЭВМ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю)

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) I. Аннотация 1. Цель и задачи дисциплины Целями и задачами освоения дисциплины являются: ознакомление студентов с теоретическими и практическими основами построения и анализа моделей теории игр и исследования

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ Е. Р. Даниловцева, В. Г. Фарафонов, Г. Н. Дьякова ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского И.А. Кузнецова, Н.В. Сергеева РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Двойственность и теорема о минимаксе в теории игр. В прошлый раз мы обсудили, как искать оптимальную

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа.

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа. Теория игр 2012-2013 уч. год Матричная игра это частный случай антагонистической игры, при котором обязательно выполняется одно из требований: один из игроков имеет бесконечное число стратегий. оба игрока

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

Содержание. О проекте

Содержание. О проекте О проекте Содержание Введение... Часть I Методы математического программирования в экономике... Постановка задачи математического программирования.... Классификация задач математического программирования......

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Майнор Исследование операций в инженерных и социально-экономических приложениях

Майнор Исследование операций в инженерных и социально-экономических приложениях Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский институт электроники

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Постановка и методы решения конечных игр

Постановка и методы решения конечных игр Постановка и методы решения конечных игр Методы теории игр рассматривают так называемые конфликтные ситуации, где сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих разные цели. Наибольшее распространение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 1. 2 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели освоения дисциплины: - оснастить обучающихся математическим инструментарием, необходимым для применения в практической профессиональной деятельности и в

Подробнее

Рабочая программа по дисциплине «Математические методы исследования операции»

Рабочая программа по дисциплине «Математические методы исследования операции» 1 НОУ ВПО Кабардино-Балкарский Институт Бизнеса Кафедра высшей математики и информатики Рабочая программа по дисциплине «Математические методы исследования операции» для специальностей: мировая экономика-

Подробнее

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР

1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 1 ТЕМА 6: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ -й игрок y y -й игрок y y y y -й игрок r y y y r y y r y y y -й игрок y y r y y r y y y r y y y Принцип максимального гарантированного результата Принцип максимального

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ, ДОПУСТИМЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА Сигал А.В., Козловская Е.В.

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ, ДОПУСТИМЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА Сигал А.В., Козловская Е.В. Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Экономика и управление». Том 7 (66. 04 г. 4. С. 59-68. УДК:0..7 ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ УРОВНЯ РИСКА ПОРТФЕЛЕЙ,

Подробнее