называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е"

Транскрипт

1 Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать функции -х или 3-х переменных, те = f (,, w= f (,, ) Совокупность точек (, ), для которых значение f (, ) существует, называется областью определения D( f ) функции (ООФ) Область значений функции { R = f(, ) (, ) D( f) } Пример Изобразить на плоскости XOY область определения функции = 9 + ln( 1 Решение Запишем условия, при которых существуют слагаемые 9 (существование корня), 1 > (существование логарифма) 1) граница образа 9 определяется уравнением 9 = + = 9 Это окружность, неравенство определяет круг радиуса R = 3 ) Образ 1 > - это полуплоскость Область определения D( f ) равна пересечению построенных областей График функции Линии и поверхности уровня График функции = f (, - это множество точек (,,, ) для которых = f (, и (, D( f ) Как правило, график функции является поверхностью Линия уровня функции = f (, определяется уравнением f (, ) = C, где C - константа Она возникает как проекция линии пресечения горизонтальной плоскости = C и поверхности = f (, на плоскость XOY

2 Даже небольшое число линий уровня дают представление о графике функции Поверхность уровня функции w= f (,, ) определяется уравнением f (,, ) = C Пример Построить на плоскости XOY несколько линий уровня функции = Решение Уравнение линии уровня = C = C, = + C Это семейство парабол Построим, указывая для каждой параболы значение константы C C = C = 1 C = C = 3 Предел Предел функции f (, ) при, - это число, обозначаемое A = lim f (, или lim f ( M ), где точка M (, ) стремится к предельной точке M M M (, ),те расстояние ρ= MM Предел можно определить согласно равенству lim f ( M) = lim f ( M ) M M MM Это значит, что при M M вытекает f ( M) A Предел функции нескольких переменных обладает обычными свойствами предела Замечание Предел lim f ( M ) не зависит от пути, по которому точка M M M стремится к предельной точке M (, ) Если же такая зависимость имеет место, то предел не существует Пример Доказать, что предел + lim не существует

3 Y 3 M(, O X Решение Устремим точку M (, ) к точке O= M по прямой = k Вычисляем предел при этом условии + + lim = lim k ( 1+ k ) = lim = lim( 1+ k) = 1+ k Этот предел зависит от способа приближения M M Поэтому предел функции двух аргументов не существует При вычислении предела элементарных функций применяют принцип подстановки lim f ( M) = f ( M, если значение f ( M ) существует, те предел не ) M M имеет неопределенности Пример Вычислить + lim 1 3 = = 3 3 4Непрерывность Функция f (, ) непрерывна в точке M, если верно равенство lim f ( M ) = f ( M ) M M В противном случае M называется точкой разрыва функции Функция f (, ) непрерывна в области D, если она непрерывна в любой точке этой области Элементарные функции непрерывны в области D, если они в этой области определены, те D D( f ) Точки разрыва функции, как правило, образуют линии разрыва 5Приращение функции Частные приращения возникают при изменении одного аргумента Δ = f ( +Δ, f (, Δ = f (, +Δ f (, Полное приращение Δ = f( +Δ, +Δ f(, ) При малых приращения аргументов Δ =, Δ = справедливо приближенное равенство Δ Δ +Δ 6Частные производные Частные производные функции = f (, обозначаются,, f, f,,, f, f Запись читаем «дэ зэт по дэ икс»

4 Определение частных производных f f ( +Δ, f (, f f (, +Δ f = (, ) lim ; = lim Δ Δ Δ Δ Равносильное определение f Δ = lim f Δ = lim Δ Δ Δ ; Δ 3 Пример Найти частные производные функции = + При нахождении частной производной по переменной применяем обычные приемы дифференцирования, считая, что аргумент есть константа = 3 ( ) 3 + =( ) + ( ) = ( ) ( ) = 3 ( ) 3 + =( ) ( 3 + ) = ( ) + 3 = = 3 Для функции двух переменных сохраняется геометрический смысл частной производной первого порядка как тангенса угла наклона касательной к сечению графика 4 7 Дифференциал Дифференциал d функции = f (, вычисляется по формуле f f d = Δ + Δ Учитывая, что для независимых аргументов d = Δ, d = Δ, можно переписать формулу f f d = d + d, которая остается верной и для зависимых аргументов Это инвариантная форма записи дифференциала Определение дифференциала Запишем разложение приращения Δ функции в сумму главной части A Δ + B Δ и бесконечно малой α ρ более высшего порядка, те Δ = ( A Δ + B Δ +α ρ, где α при ρ = Δ +Δ, A, B - const Дифференциалом функции называется главная часть приращения Δ, линейная относительно Δ и Δ, те d = A Δ + B Δ

5 Можно доказать, что f A =, f B = При малых значениях Δ, Δ верно приближенное равенство Δ d Функция называется дифференцируемой, если у нее существует дифференциал Для дифференцируемости достаточно потребовать существование непрерывных частных производных 8Производная сложной функции 1) Формула полной производной Если аргументы, функции = f (, зависят от переменной t, то переменная = () t Ее производная равна d d d = + dt dt dt Эту формулу можно получить из формулы дифференциала делением обеих частей на dt ) Пусть = uv (, ) и = ( u, v) Тогда верно, что = ( u, v) Частные производные получаются на основе предыдущей формулы = + u u u ; = + v v v 5 9Производная неявно заданной функции 1) Уравнение F(, ) = определяет неявно зависимость = ( ) Верна формула d F = d F Доказательство Находим дифференциал F(, ) = F F d d F df =, d + d =, F + F =, = d d F F F =, Отсюда =, = F F ) F(,, ) = ( ) 1Уравнения касательной плоскости и нормали поверхности Касательная плоскость к поверхности F(,, ) = в точке M (,, ) определяется как множество векторов с началом в точке M, касающихся поверхности в этой точке

6 Нормаль касательной плоскости это вектор, равный N = ( A, B, C), где координаты A= F, B = F, C = F вычислены в точке M Нормаль к графику функции = f (, равна N = ( f, f, 1) Уравнение касательной плоскости A ( ) + B ( + C ( ) = Нормали поверхности- это прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания M Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением F(,, ) = в точке M (,, ), имеют вид: = = A B C 6 11Линеаризация функции Линеаризация функции = f (, возникает, если в окрестности точки M эту поверхность заменить на касательную плоскость с точкой касания M Дифференциал функции это приближенное значение приращения, вычисленное по касательной плоскости Получаем формулу Δ d f (, ) f(, + d, где дифференциал точке M f f d = Δ + Δ вычислен в 1Частные производные высших порядков Частные производные второго порядка получаются как производные от производных: =, = Смешанные производные = ; = Для дифференцируемых функций справедливо равенство = Это значит, что частные производные не зависят от порядка дифференцирования В общем случая производные порядка n записываются n при α+β= n α β 13 Дифференциалы высших порядков Дифференциал второго порядка получается как дифференциал от дифференциала, те d = d( d) Можно получить формулу d = d + dd + d, при обозначениях d =Δ, d =Δ Инвариантное свойство дифференциалов высших порядков не выполняется, но форма записи сохраняется

7 Удобно записать дифференциал порядка n в операторной форме n n d d = + d 7 14Формула Тейлора в окрестности точки M (, ) : n d d d f ( M) = f ( M ) Rn, где R n - остаточный член и n! = 1 3 n - 1!! n! факториал числа n Отсюда получаем линеаризацию функции = f (, в окрестности M(, при f f n = 1 f (, ) f(, + ( ) + ( Лекция Экстремум функция нескольких переменных 1 Основные понятия Функция = f (, имеет в точке M (, ) локальный максимум, если значение f ( M ) является единственным наибольшим значением в некоторой окрестности этой точки, те для такой окрестности верно M M f ( M) < f ( M ) f ( M ) Z ( ) Y X M Аналогично определяем локальный минимум функции в точке M как наименьшее значение f ( M ) в некоторой окрестности этой точки M, M M( f ( M) > f ( M) ) Локальные максимумы и минимумы называются экстремумами функции, а точка M - точкой экстремума ( максимума или минимума) Необходимые условия локального экстремума Необходимый признак экстремума Точка экстремума функции = f (, является стационарной, те в ней верно M дифференцируемой = и = f, ) Например, условие = вытекает из того, что функция = ( принимает локальный экстремум при = С геометрической точки зрения касательная плоскость к поверхности = f (, для точки M (, ) экстремума параллельна плоскости XOY

8 3 Достаточные условия локального экстремума функции = f (, Достаточный признак экстремума функции = f (, в стационарной точке (, ) : Вычислим значения в точке (, ) : A =, B =, C =, Δ= A B B C Возможны три случая Случай 1 При Δ> есть экстремум; при A > - минимум, A < - максимум Случай При Δ < - экстремума нет, точка (, -седловая, те в одном направлении у функции имеется максимум, а в другом минимум Случай 3 Δ= требуется дополнительное исследование Пример Найти экстремумы функции : = Решение Исследуем функцию на локальный экстремум Для этого определим ее стационарные точки - точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю Находим частные производные 1-го порядка функции : = = ( 4 8) ( ) = + 4; = + Находим стационарные точки функции Для этого приравниваем частные производные к нулю: = =, + 4 = = + Решаем систему: =, = 1 Стационарная точка ( ; 1) Проверим достаточные условия экстремума функции двух переменных Достаточный признак экстремума в стационарной точке (, ): Обозначения: A =, B =, C =, Δ= A B в точке B C (, ) 1) при Δ> есть экстремум; если A > - минимум, а при A < - максимум; ) при Δ< - экстремума нет, точка (, -седловая те в одном направлении функция имеется максимум, а в другом - минимум; 3) Δ = требуется дополнительное исследование Находим частные производные второго порядка в стационарной точке ( ; 1) A = + 4 = =( ) смешанная производная B = C = = ( + 4) =; =( ) = + 8

9 Определитель Δ= A B = 4 B C = >, A = > Следовательно, в этой стационарной точке исследуемая функции имеет локальный экстремум Так как A >, то это точка минимума min = f ( ; 1) =( ) + ( 1) + 4 ( ) + ( 1) 8= 13 Находим условный экстремум функции = при условии + = 9 4Условный экстремум Условный экстремум (те наибольшее или наименьшее значение) функции = f (, при условии, что ϕ (, ) = можно найти простых случая приведением функции к одной переменной Для этого, например, переменную = ( ) выражаем из условия связи ϕ (, ) = и подставляем эту переменную в формулу = f (, Далее находим экстремум функции одного аргумента Пример Найти условный экстремум функции = + 4 при условии + = 1 Решение Выразим = 1 из равенства + = 1 Находим 4 = + = ( ) + 1 4= = 4 4 Производная Критические точки: = 4 4=, 1 График функции 4 = ( 4 1) =, = 1 = 1 1= = + - это смещенный параболоид ( ) = + 4 Вертикальная плоскость + = 1 пересекает параболоид по параболе Поэтому найденная точка (1; ) соответствует условному минимуму этой функции для точек прямой + = 1 5Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области существуют и обозначается ma (, ) ; min (, ) (, ) R (, ) R Глобальный экстремум функция достигает внутри области R или на ее границе Пример Найти наименьшее и наибольшее значения функции = в замкнутой области, ограниченная линиями: + = 1, =, = Решение Изобразим область - треугольник OAB

10 1 B C O A Исследуем локальные экстремумы функции Для этого определим ее стационарные точки - точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю Находим частные производные 1-го порядка функции = + + = ( 3 ( ) = 6 ; = + = f (, : Приравниваем производные к нулю: = 6 =, = + = =, 1 Полученная стационарная точка ( ; 1) не принадлежит области OAB Находим точки, в которых возможны глобальные условные экстремумы на границе области Случай 1 Граница OA, ее уравнение = ; функция = = 3 Производная =( 3 ) = 6 Находим критические точки = 6 = ; = Точка (; ) является угловой точкой области OAB Значение ( O ) = = Случай Граница OB, уравнение = Отсюда = = Производная =( ) + = + ; = + = ; = 1 Эта точка( ; 1) не принадлежит области Случай 3 граница AB, уравнение = 1 Функция = ( 1 ) ( 1 ) Производная = ( 4 4 3) = + +, = =8 4 Критические точки: = 8 4= ; Полученная точка C 1 1 ; 1 = ; = 1 = 1 принадлежит области + =

11 Значение ( C ) = = = Вычислим значения функции = f (, в угловых точках O, 1;, B и точке 1 1 C ; ( O ) = ; ( A ) = 3 ; ( B ) = 3 ; ( C ) = Среди этих значений выберем наибольшее и наименьшее Имеем: = ( A) = ( B) = 3; min (, ) = ( O ) = ma (, ) OAB OAB A ( ) ( ;1) 11 6 Нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа Метод множителей Лагранжа позволяет найти условный экстремум (те наибольшее или наименьшее значение) функции = f (, при условии, что ϕ (, ) = Условный экстремум достигается в стационарной точке функции Лагранжа L= f(, ) +λ ϕ(, ) Число λ - множитель Лагранжа В частности, следует решить систему уравнений L =, L =, L = λ Проверка того, что в найденной точке достигается условный экстремум, может быть основана на геометрических или физических соображениях Пример Найти условный экстремум функции = при условии + = 5 Принимаем ϕ (, ) = + 5 =,те ϕ (, = + 5 Функция L f,, L = λ + 5 L L = ( ) +λ ϕ( ) ( ) ( ) λ + = + 4+λ ( ) = ( 4 8 ) ( 5 ) λ + = + +λ ( ) = ( 4 8 ) ( 5 ) L = ( ) +λ ( + 5 ) λ ( ) Стационарные точки =, L =, λ L L = + 4+λ = + +λ = + 5= Исключаем множитель Лагранжа + ( 1+λ) = = 1 +λ λ = = 1 +λ = + 5

12 1 + 5= + 5=, 1+λ 1+λ 1 =± 1; 1+λ=± 1; λ= 1± 1 1+λ 1 5 = 5 1+λ ; 1 Случай λ= 1+ 1=, = ; = 1 Случай λ= 1 1=, = ; = 1 Стационарные точки условного экстремума A ( ;1), B( ; 1) Находим значение = ( A ) = = 7 ( B ) = ( ) + ( 1) + 4 ( ) + ( 1) 8= 13 С геометрической точки зрения непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве принимает как наибольшее, так и наименьшее значения Поэтому = ( A) = ; = ( B) = ma 7 min 13 Лекция 3 Основы теории поля Градиент, ротор Производная по направлению 1Скалярное поле Градиент Производная по направлению Говорят, что в двумерной области D XOYВ задано скалярное поле, если в каждой точке M (, ) D задана скалярная функция координат точки: U = U(, Пример: скалярное поле температур T = T(, в области D Линии уровня скалярного поля это такие линии, на каждой из которых функция U(, сохраняет постоянное значение Уравнения линий уровня скалярного поля: U(, = const Геометрически линии уровня получаются, если поверхность u = U(, пересекать горизонтальными плоскостями u= C и проектировать линии пересечения на плоскость XOY В случае трехмерного скалярного поля U = U(,, ) говорят о поверхностях уровня U (,, ) = const Градиент Градиентом скалярного поля U = U(,, ) в фиксированной точке M (,, ) называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке M : U U U U U U gradu = i + j + k = ; ;, где векторы i, j, k это орты координатных осей U = U, градиент равен В случае двумерного скалярного поля ( ) U U U U gradu = i + j = ;

13 Свойства градиента 1Градиент gradu перпендикулярен линии уровня (поверхности уровня), проходящей через точку M Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции в точке M U Y 13 9 gradu M X O линия уровня Производная по направлению Отложим от точки M (,, ) некоторый вектор a = ( a; a; a) Скорость изменения скалярного поля U = U(,, ) в направлении этого вектора U U( M) U( M ) равна = lim a M M MM M a M Эта величина U называется производной функции U по направлению вектора a a в точке M В случае единичного вектора n = ( cos α;cos β;cos γ ), где cos α, cosβ, cos γ - направляющие косинусы, этот эта производная равна U U U U = cos α+ cosβ+ cos γ, n где частные производные вычислены в точке M Например, частная производная направлении оси абсцисс Если направление в точке U выражает скорость изменения поля в M задано произвольным вектором a ( a; a; a) a a его направляющие косинусы равны cos α=, cosβ=, cos γ= a a a Производные по направлению векторов n, a равны между собой Поэтому U U a a U U a = + + или окончательно U ( gradu, a) = a a a a a a =, то a

14 Пример Вычислить градиент gradu скалярного поля U = + и U производную в точке A ( 1;1) по направлению вектора a = (3;4) a Решение Находим частные производные первого порядка = ( ) + = ; = ( ) + = + А) Градиент в точке A (1;1) при = 1, = 1: gradu = i + j = ( i + ( + j = i + j = ( 1; 1) Производная по направлению вектора a = (3;4) равна проекции градиента gradu на направление вектора a : = Пр gradu a a U = a ( gradu, a) a 14 Вычислим модуль a = + = = 5 Скалярное произведение ( gradu, a ) = = 7 Отсюда производная по направлению вектора a в точке U = a ( gradu, a) a = 7 1, 4 5 = A( 1;1) равна: Векторное поле Дивергенция, ротор Векторное поле определяется векторная функция A= ( P, Q, R), где PQR,, - функции точки M (,, ) Например, скорость v( M) течения жидкости в точке M (,, ) Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина P Q R diva = + +, не зависящая от выбора системы координат Ротором (вихрем) векторного поля A= ( P, Q, R) называется вектор rot A = i j k P Q R Введем оператор «набла» = ; ; Тогда ротор выражается при помощи векторного произведения rot A = A Проекции ротора равны R Q rot A = ; P R rot A = ; Q P rot A = Ротор это векторная величина, указывающая на завихренность поля ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Уравнение линии уровня: f (, = C Полное приращение функции, Δ = f ( + Δ, + Δ f (,

15 Частные производные: 1) сложной функции, d d d = + ; = + u u u dt dt dt ) высших порядков = ; = ; 3) F(, = d F = ; d F F(,, )= F = F Дифференциалы 1) для независимых аргументов: d ) функции d = d + d = Δ, d = Δ, ; d = d ( d ) ; n d d dd n = + + d ; d d = + d ; 15 Формула Тейлора Разложение функции f (, ) в окрестности точки M (, ): n d d d f ( M) = f ( M ) Rn, где R n - остаточный член 1!! n! Линеаризация функции = f (, в окрестности M(, : f (, ) f f (, ) + ( ) + f ( ) Нормаль N = ( A; B; C) и касательная плоскость к поверхности F(,, ) = : F A ( ) + B ( + C ( ) =, A =, B F =, C F = f f В случае = f (, верно A =, B =, C = 1 Необходимый признак экстремума Точка экстремума M дифференцируемой функции = f (, является стационарной, те в ней верно = и = Достаточный признак экстремума в стационарной точке (, : Обозначения: A =, B =, C =, Δ= A B в точке B C (, ) 1) при Δ> есть экстремум; при A > - минимум, A < - максимум; ) при Δ< - экстремума нет, точка (, -седловая, те в одном направлении имеется максимум, а в другом - минимум; 3) Δ = требуется дополнительное исследование Метод множителей Лагранжа Условный экстремум функции = f (, при условии, что ϕ(, ) = достигается в стационарной точке M функции Лагранжа L L= f(, ) + λ ϕ(, ) Решаем систему =, L =, L =, исключая множитель λ Лагранжа λ Проверка того, что в точке достигается условный экстремум, может быть основана на геометрических или физических соображениях Градиент grad ϕ ϕ ϕ ϕ = i+ j+ k Производная функции ϕ=ϕ,, по направлению n = (cos α;cos β;cos γ ) ( )

16 ϕ ϕ ϕ ϕ = cosα+ cosβ+ cos γ ; n a gradϕ = a a = i+ j+ k: для направления вектора a производная функции ϕ Дивергенция и ротор векторного поля A A A A i j k A A A diva= + + ; rot A = A A A 16

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

Теория функций нескольких переменных (аргументов)

Теория функций нескольких переменных (аргументов) Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Дифференцирование функций нескольких переменных (теория к задачам) 015 1 6. Частные производные и дифференциал функции Частная производная функции u f(,,, ) нескольких

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое

Подробнее

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций СЮ Галкина ОЕ Галкин

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

«Функции нескольких переменных»

«Функции нескольких переменных» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии ОВ Исакова, ЛА Сайкова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Рекомендовано

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1,,, n,, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1,,, n соответствует единственное

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

P Проверим выполнение достаточных

P Проверим выполнение достаточных Функции нескольких переменных (ФНП). Локальный экстремум. 1) Исследовать на локальный экстремум функцию z z e ; а) -х переменных б) 3-х переменных 3 3 3 u u z z 17 48 z. а) z e e e e 1 1 z e e Находим

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

26. x x. y ; наибольшее значение функции y. 6 1, наименьшее значение функции x y 2 0. x z

26. x x. y ; наибольшее значение функции y. 6 1, наименьшее значение функции x y 2 0. x z 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции 1 1 на отрезке 6. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо: а) найти стационарные точки, расположенные на данном отрезке,

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Основные понятия теории поля

Основные понятия теории поля Глава 9 Основные понятия теории поля 9.1 Необходимые сведения из теории Данное занятие посвящено знакомству с основными понятиями и дифференциальными операциями теории поля. Как известно, математическая

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1 Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных α β Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле.

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Лекция 11 Основные понятия теории поля Скалярное поле Теория поля раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля К рассмотрению скалярных и векторных полей

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее