К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г."

Транскрипт

1 К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г.

2 ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА Общий план методов спуска Выбор направления спуска в градиентных методах Выбор шага спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска Критерий окончания итераций Геометрический смысл Сходимость и проблема "оврагов" Примеры.... МЕТОД ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА..... Алгоритм метода..... Геометрическая интерпретация..... Примеры МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ Алгоритм метода Геометрическая интерпретация Примеры ТИПОВОЙ РАСЧЕТ...5 ЛИТЕРАТУРА...5

3 . ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть M метрическое пространство в частности M может быть евклидовым E и банаховым пространствами с естественной метрикой. Определение.. Задачей нелинейного программирования или просто нелинейной программой (НП) называется задача минимизации функции f : ( D M) E при условии X M. Ее стандартное обозначение f ( ) m. (.) X D Функция f называется целевой или минимизируемой функцией. Если X M то тогда НП (.) еще называется задачей безусловной минимизации. Если X M то задачей условной минимизации. Когда X задается с помощью вектор-функции : m { ( ) } ( D D) E X : : (.) то НП принять записывать в виде f ( ) m (.) ( ) D где в (.) и (.) неравенство ( ) понимается покомпонентно. Компоненты вектор-функции называются функциями-ограничениями. Определение.. Решением задачи (.) будем называть либо пару ( f ) существует конечная точка минимума либо пару ({ } ) f { } X минимизирующая последовательность со свойством f ( ) f : f{ f ( ) X} если где. Конечная точка минимума существует не всегда. Например для выпуклой функции f ( ) e существует конечный инфимум f и минимизирующая последовательность но нет конечной точки минимума. Бывает что нет и конечного инфимума. Например ( ) ( ) ( ) если f l D + то инфимум f доставляется минимизирующей последовательностью. Минимизирующая последовательность существует всегда. Для задачи (.) имеется следующая классификация: ) линейная программа если линейны f и ; ) выпуклая программа если выпуклы f и ; ) квадратичная программа если квадратичная f и линейные. Здесь будет рассмотрена только задача безусловной минимизации квадратичной функции в пространстве столбцов M E. Квадратичная функция есть сумма квадратичной формы A линейной формы b и константы: f ( ) A + b + c (.4) где A симметричная матрица порядка b E c E. Определение.. Квадратичная форма A и матрица А называются положительно определенными (ПО) если A > при любом. Если же ( ) A то они положительно полуопределены (ППО). Аналогично определяются отрицательно определенные (ОО) и отрицательно полуопределенные (ОПО) формы и матрицы. Если возможны и положительные и отрицательные значения квадратичной формы то имеем знаконеопределенность. Поведение квадратичной формы определяется собственными числами матрицы А. Определение.4. Если выполнены условия A λ где λ число и то столбец называется собственным столбцом матрицы A. Скаляр λ называется собственным числом. Полный набор всех собственных чисел матрицы A будем обозначать через E ( A) EIG наименьшее через e A. Собственные числа наибольшее собственное число через ( A) удовлетворяют уравнению A λ I т. е. ( A) полинома ( ) E есть набор из корней характеристического A λi степени где I единичная матрица размерности.

4 Теорема.. Если матрица A симметрична то из ее собственных векторов можно построить ортонормированный базис ε ( e K e ) e E в котором квадратичная форма имеет вид y y A ( y K y ) ε Aε K ( y K y ) da[ E( A) ] K λ y. (.5) y y Здесь y координаты вектора в ортонормированном базисе: y где y y K y. Следствие.. Для ПО матрицы A необходимо и достаточно положительности ее собственных чисел а для ППО их неотрицательности. для m ( ) ε ( ) Обозначим через положительную оценку снизу для e A и через M оценку сверху. Поскольку ε ε является единичной матрицей имеет место y y и поэтому EIG( A) λ y A A M y y y y Проведя аналогичные рассуждения получаем в итоге m A M M A M. (.6) Напомним некоторые определения из теории функций нескольких переменных. Определение.5. Точка X называется точкой глобального минимума функции f на множестве X если для всех X выполняется неравенство f f. (.7) Значение ( ) ( ) ( ) f называется минимальным значением функции f на X. Точка X называется точкой локального минимума функции f если существует такая δ -окрестность X δ этой точки что для всех X δ выполняется неравенство (.7). Если X \ то точка имеет место f ( ) < f ( ) для всех X \ { } или для всех { } строгого глобального или локального минимума соответственно. δ. Рис... Глобальный (c) строгий локальный (d) и нестрогие локальные [ a b] минимумы. Определение.6. Вектор-столбец из первых частных производных функции f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f :... (.8) называется градиентом а вектор-столбец f ( ) называется антиградиентом. Определение.7. Точка для которой выполняется равенство f ( ) (.9) называется стационарной точкой функции f. Теорема.. Пусть f дифференцируема в точке. Если точка X является точкой локального минимума функции f то точка стационарная. Обратное не всегда верно. Для того чтобы стационарная точка оказалась точкой локального минимума или максимума нужны дополнительные требования. Теорема.4. Пусть f дважды дифференцируема в некоторой точке т. е. существует 4

5 матрица Гесса f ( ) f ( )... ( ) ( ) ( ) ( ) f f G f K (.) f ( ) f ( )... и стационарная точка функции. Тогда если матрица G ПО то точка локального f ( ) минимума а если G ( ) ОО то локального максимума. f f Известно [Рудин] что если или непрерывны в окрестности то они j j равны. Непрерывность часто реализуется для всех и j и тогда матрица Гесса симметрична. В нелинейном программировании особую роль играют выпуклые функции так как локальный минимум выпуклой функции является глобальным минимумом а строгая выпуклость обеспечивает еще единственность глобального минимума. Рис... Определение.8. Функция f называется выпуклой на множестве X если X λ ( ) выполняется неравенство f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ). (.) Если в (.) заменить на < то получим определение строго выпуклой функции. Геометрический смысл этого определения график функции f на отрезке выпуклости [ ] лежит ниже хорды соединяющей точки ( f ( ) ) и ( f ( ) ) (см. рис..). Заметим что функция может быть выпукла не во всей своей области определения а только на ее подмножестве. Так функция выпуклая на π π π. s ( ) [ ] но не на [ ]. Для того чтобы функция f была выпуклой необходимо и достаточно чтобы ее матрица Гесса f ( ) была ППО. Производные функции (.4) вычисляются по формулам f ( ) A + b и f ( ) A. Если в задаче минимизации квадратичной функции допустимое множество выпукло то ППО (ОПО) ее квадратичной формы (т. е. матрицы A ) достаточно чтобы локальный минимум (максимум) и допустимые стационарные точки были глобальными минимумами (максимумами) а если имеется еще ПО (ОО) то глобальный минимум (максимум) единственный. Таким образом ППО Теорема.5. Пусть f ( ) C ( E ) матрицы A определяет достаточность условия минимума в стационарной точке а ее ПО дает еще и единственность. Теорема.6. Если матрица A квадратичной функции (.4) ПО то (.4) имеет в E единственную точку минимума удовлетворяющую системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) A + b. Действительно f ( ) A + b т. е. является стационарной точкой функции f а так как f ( ) A ПО то в точке выполнены достаточные условия минимума. Поскольку точка минимума функции (.4) совпадает с решением системы A + b то методы минимизации функции (.4) могут применяться и как итерационные методы решения СЛАУ с симметричными ПО матрицами. ( ) 5

6 Определение.9. Множество точек Γ c для которых целевая функция принимает постоянное значение f ( ) c в случае > называется поверхностью уровня а в случае линией уровня. Например функция z f ( ) задает в трехмерном пространстве некоторую поверхность низшая точка которой согласно определению. есть решение задачи минимизации (см. рис..). Проведем несколько плоскостей вида z cost. Линиями уровня будут проекции на плоскость O линий пересечения этих плоскостей с поверхностью. Теорема.7. Если в точке градиент не равен нулю то он перпендикулярен к проходящей через эту точку поверхности уровня. В направлении антиградиента происходит наискорейшее убывание функции т. е. если мы делаем шаг бесконечно малой длины в некотором направлении (см. рис..) то наибольшее убывание функции произойдет тогда когда этот шаг совпадет по направлению с антиградиентом. Это свойство антиградиента лежит в основе ряда итерационных методов минимизации функций. Рис.... МЕТОДЫ СПУСКА ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА Определение.. Методами спуска называется итерационные методы применяемые для решения задачи минимизации функций нескольких переменных для которых каждая итерация (шаг) приводит к уменьшению значения целевой функции + f ( ) < f ( ). (.) В численных методах индекс итерации принято размещать сверху справа от обозначения итеративной точки если она векторная величина. Это позволяет сохранить обозначения компонент вектора с помощью нижнего индекса... Общий план методов спуска. Выбирается начальное приближение некоторая точка и каким-то образом выясняется что. Целесообразно использовать всю имеющуюся информацию о поведении f чтобы выбрать поближе к точке минимума. целевой функции ( ). Пусть приближение к точке минимума найдено. Выбирается вектор такой что для всех достаточно малых α > справедливо неравенство F α f + α < f (см. п..). Вектор α ( ) ( ) ( ) а иногда и сам вектор называется направлением спуска.. Определяется величина шага спуска по направлению т. е. положительное число > для которого выполняется неравенство ( ) f ( + α ) f ( ) F α < (см. п..). 4. За очередное приближение к точке минимума принимается + + α. (.) 5. Проверяется выполнение критерия окончания итераций (см. п..4 для + ). Если 6

7 критерий выполняется то итерации прекращаем и полагаем возвращаемся к п.. Определение.. Последовательность точек { } называют траекторией спуска... Выбор направления спуска в градиентных методах +. В противном случае генерируемую методом спуска Рассмотрим каким образом обычно выбирается направление которое обеспечивает убывание целевой функции на бесконечно малом положительном шаге α. Предполагая непрерывность первых частных производных целевой функции разложим ее в ряд Тэйлора в точке : f ( + α ) f ( ) + α( f ( ) ) + o( α ) где ( ) скалярное произведение. Тогда если выполняется f < (.) то ( + ) f ( ) < ( ( ) ) f α. Таким образом чтобы было направлением спуска необходимо и достаточно чтобы составляло острый угол с антиградиентом. Определение.. Методы основанные на выборе в качестве направления спуска антиградиента или βf ( ) β > называются градиентными. Иными словами градиентный метод заключается в построении последовательности по правилу + α f α > (.4) f Отметим что из (.4) следует ( ) K + + ( ) f ( ) ( f ( ) ) + o( α ) ( f ( ) α f ( ) + o( α ) α f ( ) + o( α ) что отрицательно при всех достаточно малых α >. Градиент меняется при переходе из точки в точку следовательно меняется и направление наискорейшего убывания функции. Антиградиентное направление может не являться наилучшим из возможных направлений поскольку всегда существует направление из текущей точки непосредственно в точку минимума (см. рис..) но мы его не знаем... Выбор шага спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска Если способ выбора направления спуска { } определяет конкретный численный метод то различные алгоритмы вычисления шага спуска α задают варианты этого метода. В рамках градиентного метода будем рассматривать следующий способ выбора шага. На луче { R : αf ( ) α } направленном по антиградиенту введем функцию одной скалярной переменной α F α f αf ( ) ( ( ) и определим α решая задачу одномерной минимизации ( α ) F m (.5) α либо аналитически например для квадратичной функции либо каким-либо итеративным методом. Градиентный метод (.4) (.5) т. е. метод в котором на каждой итерации используется шаг являющийся решением задачи (.5) был предложен в 845 г. О. Коши и называется методом наискорейшего спуска. Название однако не означает что метод позволяет подойти к точке минимума с меньшими вычислительными затратами по сравнению с другими методами. Отметим что минимум по направлению не является минимумом целевой функции если направление не указывает на точку минимума. Опишем алгоритм метода наискорейшего градиентного спуска (МНГС) для квадратичной функции (.4). Пусть построена точка E.. Вычислим ( A + b) E градиентное направление спуска. 7

8 α ( α ) f ( + α ) f ( ) α + α ( A ). Определим E шаг метода в данном направлении из условия (.5): F. F α с положительным старшим В силу выпуклости квадратного трехчлена ( ) коэффициентом единственная точка минимума α при условии что может быть найдена из необходимого условия экстремума Очевидно что при подстановке F ( A ) ( ) + α( A ) α : α >. (.6) α в формулу (.) построенная точка + будет удовлетворять условию (.).. Вычисляем следующую итерацию + по формуле (.). Проверяется выполнение критерия окончания итераций (см. (.7)-(.9) для + ). Если критерий выполняется то итерации прекращаем и полагаем +. В противном случае возвращаемся к п.. Продолжая убывания функции f (). указанные построения получим последовательность { }.4. Критерий окончания итераций Критерием прекращения процесса вычислений на -м шаге часто выбирается близость градиента к нулю f <. (.7) ( ) ε При необходимости проводится дополнительное исследование поведений функции в окрестности точки для выяснения того достигается ли в точке минимум функции f ( ) или не достигается. В частности если f ( ) выпуклая функция то в стационарной точке всегда достигается минимум. Помимо критерия (.7) используются также: < ε (.8) ( ) f ( ) < ε f (.9) где ε ε ε заданные положительные числа. Нередко используют различные их сочетания например требуют чтобы одновременно выполнялись условия (.8) и (.9) или даже все три условия (.7)-(.9). Теорема.. Пусть А симметричная положительно определенная матрица и минимизируется квадратичная функция (.4). Тогда при любом выборе начального приближения метод наискорейшего спуска (.4) (.5) сходится к точке минимума функции (.4) со скоростью геометрической прогрессии знаменатель которой EIG( A) e( A) q (.) EIG( A) + e( A) и верна следующая оценка погрешности: EIG( A) EIG( A) e( A) e( A) EIG( A) + e( A) Причем если e ( A) и EIG ( A) близки то ( A) e( A) достаточно быстро. Если же EIG ( A) >> e( A) то q сходимости метода. условия:. (.) Теорема.. Пусть для последовательностей { } { }. ( ] γ такое что ( A b) A + b EIG и q мало то метод сходится + γ ; и следует ожидать медленной { } α выполнены следующие 8

9 . ( ) ( ) ( A + b) α τ α τ ε ε < ε < α ( ) A ; +. + α K. Тогда A b и существует такое что + f ( ) f ( ). Теорема.. Оценка расстояния от произвольной точки R до точки минимума функции f ( ) может быть представлена в виде: A + b (.) m а для матриц с диагональным преобладанием величины δ оценка расстояния от произвольной точки R до точки минимума функции f ( ) может быть представлена в виде: A + b. δ A называется матрицей с диагональным Определение.4. Матрица { } j a aj преобладанием величины >.5. Геометрический смысл a j δ если δ. j МНГС имеет простой геометрический смысл. Из начальной точки стартует подвижная Γ f f в направлении антиградиента и точка перпендикулярно линии уровня { ( ) ( )} движется до тех пор пока не будет достигнуто минимальное на луче L αf α значение функции f. Из условия (.4) получаем { ( ) } F ( ) ( f ( α f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( ) означает что направление ( ) уровня { f ( ) f ( )} α при α. Это равенство f и следовательно луч являются касательными к линии Γ в точке. Из точки проводят спуск в перпендикулярном линии уровня Γ направлении пока соответствующий луч L не коснется в точке проходящей через эту точку линии уровня и т. д. (См. рис..). L > Рис... В градиентных методах спуск происходит по нормали к линии уровня траектория спуска носит зигзагообразный характер и градиенты в любых двух последовательных точках ортогональны..6. Сходимость и проблема "оврагов" Градиентный метод вообще говоря хорошо работает лишь на первых этапах поиска минимума когда точки удалены от точки минимума а вблизи точки величина может перестать монотонно уменьшаться и ведет себя хаотически. Таким образом сходимость метода ухудшается. Это связано с тем что в малой окрестности точки минимума антиградиент задающий направление поиска мал по модулю и если не обеспечено уменьшение абсолютной ошибки в вычислении компонент антиградиента такое что их относительные ошибки 9

10 останутся небольшими то вычисляемое приближенное направление сильно отличается от истинного. Кроме того градиентный метод сходится достаточно быстро если для минимизируемой функции поверхности уровня близки к сферам (при к окружностям). Если же линии уровня сильно вытянуты в каком-то направлении то по нормали к этому направлению целевая функция меняется значительно быстрее чем вдоль направления. Такой характер целевой функции называется овражным (рис.. а)). Дно оврага к тому же может быть искривлено (рис.. б)). Рис.. а). Рис.. б). Если начальная точка попадает на "склон оврага" то направление градиентного спуска из этой и последующих точек будет почти перпендикулярным ко "дну оврага" хотя надо бы двигаться вдоль "дна оврага". Из-за малых шагов (рис..) процесс практически останавливается вдали от точки минимума. Таким образом сходимость градиентного метода может быть очень медленной. Отметим что поверхностями уровня квадратичной функции (в случае ПО) служат - мерные эллипсоиды с центром в точке. В двумерном случае графику ПО формы соответствует поверхность которая называется эллиптический параболоид. Линии уровня этой поверхности концентрические эллипсы. Каноническое уравнение эллипса a + a где и a его полуоси. Перепишем выражение (.5) в виде y A ( λ ) a. Очевидно что длины полуосей эллипсоида (эллипса) обратно пропорциональны квадратным корням из собственных чисел. Если одно собственное число много меньше всех остальных то ему соответствует полуось длина которой много больше длин других полуосей т.е. эллипсоид (эллипс) будет иметь сильно вытянутую форму. Отношение большей оси каждого из этих эллипсоидов (эллипсов) к меньшей оси равно ν ( A ) EIG( A) e( A) числу обусловленности матрицы А. Очевиден вывод: чем отношение EIG ( A) e( A) больше тем ярче выражен овражный характер квадратичной функции тем медленнее сходимость метода..7. Примеры Пример.. Решить задачу минимизации квадратичной функции f ( ) с помощью метода наискорейшего спуска. Запишем функцию в виде (.4) где матрица A симметричная ( A A ) и ПО 4 ( λ λ 4 ) и вектор b 4 4) и заметим что f ( ) ( ) + ( ) 6 ( поэтому точка минимума ( ) приближение. Тогда ( ) заранее известна. Пусть начальное ( ) ( ) ( ) A + b 44 α + α 4 ( A ) ( ) ( ) ( ) A + b 4 4 α ( A ) + α ( ) ( 4 ) ( A + b) ( ) α + α ( ) A + b. A + b ; A + b ;

11 Заметим что A b. Таким образом последовательность + полученная по МНГС сходится со скоростью геометрической прогрессии знаменатель которой q. Траектория спуска представлена на рис... Рис... Пример.. Применение МНГС для минимизации квадратичной функции f ( ) с симметричной и ПО матрицей A ( λ λ ) при дает последовательность приближений ( ) ( A + b) ( 4 4) α + α ( 4 4 ) A + b ( A + b) ( 6 6 ) α + α ( 8 8 ) A ( A + b) ( 4 4 ) α + α ( 4 4 ) A + b + b A b 4 ( 9 ) где (. ) ; ; ;. Траектория спуска изображена на рис..4. Последовательность сходится здесь со скоростью геометрической прогрессии знаменатель которой равен q 9 т. е. существенно медленнее чем в предыдущем примере и полученный результат вполне согласуется с оценкой (.). Рис..4.. МЕТОД ПОКООРДИНАТНОГО СПУСКА В этом методе в качестве очередного направления спуска выбирается направление одной из координатных осей. Рассмотрим метод циклического покоординатного спуска... Алгоритм метода Пусть найдено приближение и требуется найти решение задачи (.). Цикл с номером + состоит из шагов.. Производим спуск по координате. Фиксируем значения координат... и решаем задачу минимизации функции одной переменной

12 + f (... ) m f (... ). + Например если f ( ) C ( E ) + + f (... ) Здесь α + > значения функции то значение может быть найдено как α (.) некоторый шаг. Соотношение (.) определяет движение в сторону уменьшения f + (если только шаг α не слишком велик).. Производим спуск по координате. Фиксируем значения координат +... и решаем задачу одномерной минимизации (... ) m f ( ) f f + Например α (... ). Аналогично осуществляем спуск по остальным координатам На последнем -м шаге координату определяют из условия f (... ) m f (... ). В результате этого процесса получается последовательность точек K... в которых значения целевой ( ) ( ) ( ) функции составляют монотонно убывающую последовательность f... f... K f... и очередное приближение ( ) ( ) ( ) + к точке минимума. 5. Проверяем условие окончания счета f... f... < (.) ( ) ( ). ε и если оно не выполняется возвращаемся к п.. Отметим что при наличии ограничений на отдельные переменные вида дополнительных сложностей не возникает. Нужно просто при изменении соответствующей координаты не нарушать это ограничение. Если точка минимума выходит за пределы ограничивающего отрезка [ a b ] нужно поставить ее на соответствующую границу отрезка. Применим МПКС для минимизации квадратичной функции (.4). Так как на + -м шаге очередного цикла значение координаты определяется из условия минимизации функции f ( ) по направлению то необходимо чтобы в точке f обращалась в нуль aj j + b a j m a производная b f +. Тогда j j + aj j + b откуда находим + + aj b + aj j + aj j. (.) j j + Последовательные вычисления по формуле (.) для и составляют один цикл МПКС. Заметим что этот метод применительно к решению СЛАУ A + b с симметричной ПО матрицей дает известный итерационный метод Зейделя сходящийся со скоростью геометрической прогрессии (см. теорему.)... Геометрическая интерпретация Геометрический смысл метода состоит в движении в направлениях параллельных координатным осям. На рис.. а) изображены линии уровня поверхности z f ( y). Точка ( y ) описывает начальное приближение. Проводя спуск по координате попадем в точку. Двигаясь параллельно оси ординат придем в точку ( y ) и т. д. При движении вдоль ( ) y j j +

13 координатной оси идем до точки минимума т.е. касания некоторой линии уровня. Число шагов зависит от начального приближения и самое главное от ориентации линий уровня относительно координатных осей. Так в задаче минимизации квадратичной функции при ориентации осей эллипсов вдоль координатных осей достаточно однократного применения цикла. В овражных случаях при произвольной ориентации относительно координатных осей даже в квадратичной задаче метод работает плохо (см. рис.. б)) тем более при искривленном дне оврага. Рис.. а). Рис.. б)... Примеры Пример.. Рассмотрим функцию f ( ) + +. Перепишем функцию в где A. Найдем собственные числа матрицы A. λ A λi ( λ)( λ) откуда λ ; λ. Построим собственные λ матричном виде f ( ) A столбцы матрицы A. λ ; ; + ; X C C E X.. λ ; ; + ; X C C E X. Ортонормированные собственные векторы e ( ) и e ( ) соответственно. Так как y ε а ( ) + ( ) ε ε то y. Таким образом новые переменные y ( + ) y ( ) и ( ) и F ( y ) ( ) ( ) + y Линии уровня целевой функции эллипсы с центром в начале координат так как отсутствует линейная часть (рис..).. Пусть задана ( ) f ( ). Фиксируем и решаем задачу ( ) ( ) + + m. Минимум достигается в точке и равен Фиксируем и ищем минимум функции + + который 4 4 достигается в точке 4 и равен 6. Получаем точку ( 4).. Фиксируем 4 и находим Фиксируем 8 и находим 6. В точке ( 8 6 ) значение целевой функции 56. Так как f ( 8 6) f ( 4) 56 <. 5 то процесс завершен. МНГС из той же начальной точки ( ) дает минимум за одну итерацию так как

14 ( A b) + + и при ( ) ( A ) + ( ) ( ) + α. получаем точку минимума ( ) α мы Рис... С другой стороны если взять за начальное приближение точку ( ) которая лежит на той же линии уровня что и точка ( ) и первой изменять а не то покоординатный из спуск дает минимум за один шаг в то время как наискорейший спуск ( ) точки ( ) дает за одну итерацию точку ( ) в которой целевая функция имеет значение 9 8. Если сделать еще один шаг по антиградиенту ( 6 4 ) 4 то получим (при α 5 6 ) точку ( 8) значение целевой функции в ней Таким образом после двух итераций по одной из координат отклонение от точки минимума составляет примерно.7 а по целевой функции примерно МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ 4.. Алгоритм метода Алгоритм сопряженных градиентов аналогичен алгоритму наискорейшего спуска. Отличие только в выборе направления. Идея этого метода в том чтобы на каждом шаге в качестве направления спуска использовать не антиградиент а его линейную комбинацию с прежним направлением спуска. Если обозначить через p направление спуска на -ой итерации то последовательность векторов p строится следующим образом:. p т.е. первый шаг делаем по антиградиенту + +. p + β p где β α p K. Заметим что при вычислении β используются только градиенты а для вычисления нового направления нужно помнить и использовать старое направление а не старый антиградиент. В методе сопряженных градиентов новое и старое направления не ортогональны. В случае минимизации положительно определенной квадратичной формы с матрицей A все направления спуска p оказываются A -ортогональными т.е. удовлетворяют условию ( Ap j ) p при любом j. Такие векторы называются сопряженными из чего и происходит название метода. При минимизации квадратичной формы с матрицей A независимо от того как получено направление спуска p для α справедлива формула аналогичная формуле (.6) для метода наискорейшего спуска. ( p ) ( ). Ap p α (4.) Теорема 4.. Если целевая функция от переменных представляет собой квадратичную форму то алгоритм сопряженных градиентов дает точку минимума не более чем за шагов. Практически же в овражных случаях из-за неточности вычисления шага может 4

15 потребоваться несколько больше шагов в некоторых случаях метод может зацикливаться. 4.. Геометрическая интерпретация Рис. 4.. Сделав из начальной точки шаг по методу наискорейшего спуска вычислим антиградиент в новой точке. Будем использовать вместо антиградиента направление спуска p + β в направлении которого нужно дойти до точки минимума в ней вычислить антиградиент β и p + β p и т.д. 4.. Примеры Пример 4.. Рассмотрим метод сопряженных градиентов на примере квадратичной функции из примера. f ( ) + + A A. Пусть ( ) ( ) ( ) ( 6 4 4). Сделаем второй 9 шаг не по антиградиенту а по сопряженному направлению p. Вычислим β. 4 p + β Точки на луче + αp имеют координаты Далее ( ) ( 5 + α 75 4) и 4 ( 4 α 6 4) 4. При α 4 5 обе координаты обращаются в нуль. Согласно теореме 4. метод сопряженных градиентов при минимизации квадратичной функции дает точку минимума не более чем за шагов (у нас ) независимо от выбора начальной точки. Это означает что направление p ведет в точку минимума ( ). 5. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ. Программная реализация на языке C + + метода решения задачи минимизации (.4). Метод определяется преподавателем. Построить линии уровня с указанием векторов спуска.. Найти решение СЛАУ A + b. Вывести точное и приближенное решение.. Сравнить с. Проверить вычисления при различных начальных векторах и проследить за зависимостью от. Указать скорость сходимости q. Параметр N равен номеру студента по списку группы. N N. N A ; b. N N + 5. N + ЛИТЕРАТУРА. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач М Пшеничный Б.Н. Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах М Карманов В. Г. Математическое программирование М

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Лекция 3 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Принципы построения численных методов. Применение необходимых и достаточных условий безусловного экстремума эффективно для решения ограниченного

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Департамент прикладной математики и бизнес-информатики И. Г. Михайлова Дифференциальное исчисление и исследование

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ А. В. Фоминых alexfomster@mail.ru 1 мая 16 г. Аннотация. В докладе рассматривается задача нахождения решения системы дифференциальных

Подробнее

Введение в решение СЛАУ

Введение в решение СЛАУ Введение в решение СЛАУ Нормы векторов и матриц. Число обусловленности матрицы СЛАУ к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич 1 e-mal: utkn@cad.org.ru, pavel_utk@mal.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы алгебраических уравнений Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Скалярные уравнения Постановка задачи Дана функция f (x). Найти решение уравнения f (x) = 0 В отличие от случая линейного уравнения,

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Параметрический анализ в задачах математического программирования

Параметрический анализ в задачах математического программирования ТРУДЫ МФТИ. 014. Том 6, 3 Е. А. Умнов, А. Е. Умнов 73 УДК 519.65 Е. А. Умнов, А. Е. Умнов Московский физико-технический институт (государственный университет) Параметрический анализ в задачах математического

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Постановка вопроса Содержание Некоторые напоминания Итерационные методы решения уравнений. Сжимающие отображения. Принцип неподвижной

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях.

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях. Лекция. Задача о назначениях. Постановка задачи. Институт получил гранты на выполнение четырех исследовательских проектов. Выходные результаты для первого проекта являются входными данными ля второго проекта

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

Общие положения Нелинейная оптимизационна модель имеет следующий вид:

Общие положения Нелинейная оптимизационна модель имеет следующий вид: НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Общие положения Нелинейная оптимизационна модель имеет следующий вид: Z g,...,,..., mi m,..., 0;,...,... g i,...,,...,... g m f,...,,..., 0. 0; ; В нелинейных моделях все или хотя бы

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

Семинары по линейным классификаторам

Семинары по линейным классификаторам Семинары по линейным классификаторам Евгений Соколов 27 октября 2013 г. Пусть X R d пространство объектов, Y = { 1,+1} множество допустимых ответов, X l = (x i,y i ) l i=1 обучающая выборка. Каждый объект

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов 7 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой переменных,, называется выражение вида q a, 7 в котором коэффициенты a, не все равные нулю, удовлетворяют условиям симметричности

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ УДК 59.8 О. А. Юдин, аспирант ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РАЗРЫВЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Проанализированы возможные варианты решения задачи поиска минимума функции, которая имеет разрыв частной

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f ( 0, () где функция f ( C[ a; Определение Число f ( ) 0 x называется корнем уравнения () или нулем функции f (,

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Метод Крылова и Черноусько.

Метод Крылова и Черноусько. Метод Крылова и Черноусько. Пусть управляемый процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f(t, x, u), t [t 0, T ], x(t 0 ) = x 0, u(t) U, где x R n вектор фазовых координат,

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Уравнение трансляции луча и уравнение преломления луча на сферической границе могут быть выражены через такие параметры

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Перечень методов,включенных в задачи к экзаменационным билетам. Билет 20 (метка) Метод Ньютона

Перечень методов,включенных в задачи к экзаменационным билетам. Билет 20 (метка) Метод Ньютона Перечень методов,включенных в задачи к экзаменационным билетам. Билет 20 (метка) Метод Ньютона Билет 12 (метка) калькулятор http://math.semestr.ru/simplex/simplex_manual.php Построить двойственную задачу

Подробнее

Спектральный анализ разностных схем

Спектральный анализ разностных схем Спектральный анализ разностных схем 1 Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник Одним из достаточно простых и эффективных способов исследования линейных разностных схем на

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

Подробнее