Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра математики Леора СН Тема 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения Компендиум по дисциплине «Математика» Санкт-Петербург 6

2 ББК 6 УДК 575 СН Леора Высшая математика Тема 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения Учеб пособие СПб: Изд Центр СПбГМТУ 6 с 75 Табл 4 Библиогр: 8 назв 5 илл Настоящее издание адресовано студентам инженерных специальностей для организации их самостоятельной работы Учебное пособие разработано в виде компендиума по изучаемой дисциплине Оно содержит тематический план выписки из календарных планов лекций и практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» теоретический материал по этой теме контрольные вопросы по теории и вопросы для подготовки к экзамену В разделе «Теоретический материал» содержится также необходимый набор типовых задач с подробным разбором решения Для самоконтроля полученных знаний в пособие введен тест в котором представлены тестовые задания с выбором ответа сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме В конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту Работа выполнена по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной подготовки специалистов СПбГМТУ СН Леора Тема 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ISBN Компендиум по дисциплине «Математика» СПбГМТУ 6 Редактор НВ Васильева

3 СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА Тематический план 3 го семестра Выписка из календарного плана лекций 3 Теоретический материал 4 Контрольные вопросы по теории 5 Вопросы для подготовки к экзамену 6 Выписка из календарного плана практических занятий 7 Тест по теме 9 «Обыкновенные дифференциальные уравнения» 8 Рекомендуемая литература 9 Ответы к тесту 3

4 4

5 ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения (4 часов) 3 Задачи приводящие к понятию дифференциального уравнения (ДУ) Обыкновенные ДУ Основные понятия: порядок уравнения частное и общее решения задача Коши Формулировка теоремы существования и единственности задачи Коши для уравнения первого порядка Геометрический смысл уравнения первого порядка и его решения Поле направлений и изоклины Понятие об особых точках и особых решениях ДУ 4 ДУ с разделенными и разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ первого порядка ДУ в полных дифференциалах 5 ДУ высших порядков Основные понятия Формулировка теоремы существования и единственности задачи Коши Уравнения допускающие понижение порядка 6 Линейные ДУ -го порядка Свойства решений линейного однородного ДУ Линейная зависимость и независимость решений Структура общего решения линейного однородного ДУ Решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера 7 Структура общего решения линейного неоднородного ДУ Принцип суперпозиции Решение линейного неоднородного ДУ методом Лагранжа 8 Решение линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами методом подбора неопределенных коэффициентов Физический смысл решений однородного и неоднородного ДУ (свободные и вынужденные колебания) 9 Системы дифференциальных уравнений Нормальная форма записи системы Решение системы сведением ее к одному уравнению Линейные системы Матричная запись Свойства решений Решение однородной линейной системы методом Эйлера (случай простых корней характеристического уравнения) 5

6 6 3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ 9 Дифференциальные уравнения 7 9 Введение 7 9 Задачи приводящие к понятию обыкновенного дифференциального уравнения 7 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Основные понятия 9 93 Задача Коши Особые и частные решения 94 Метод изоклин 4 9 Уравнения первого порядка допускающие интегрирование в квадратурах 6 9 Уравнения с разделяющимися переменными 6 9 Однородные дифференциальные уравнения 9 93 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 94 Уравнения в полных дифференциалах 5 93 Дифференциальные уравнения высших порядков 3 93 Основные понятия 3 93 Задача Коши для уравнений высших порядков Уравнения допускающие понижение порядка 3 94 Линейные дифференциальные уравнения ого порядка Линейные однородные уравнения ого порядка Линейные неоднородные уравнения ого порядка Линейные дифференциальные уравнения ого порядка с постоянными коэффициентами Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения Метод Лагранжа для линейных неоднородных уравнений Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Матричная запись систем Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами 59

7 9 Дифференциальные уравнения 9 Введение Дифференциальные уравнения можно разделить на две большие группы Это обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и уравнения в частных производных Решением обыкновенного дифференциального уравнения является функция одного переменного в то время как решением уравнения в частных производных является функция двух и более переменных Пример Уравнение описывающее свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления является ОДУ и d может быть записано в виде: k d Это уравнение может быть записано так же в виде k или k Здесь d d производную второго порядка функции и обозначают по переменной Пример Уравнение описывающее колебание струны является уравнением в частных производных и может быть u u u u записано в виде: a Здесь и обозначают u по переменным и частные производные функции соответственно Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения 9 Задачи приводящие к понятию обыкновенного дифференциального уравнения К понятию обыкновенного дифференциального уравнения приводят физические и геометрические задачи Пример Физическая задача Найти закон движения материальной точки под действием силы тяжести 7

8 Решение Как известно из физики движение материальной точки в данном случае подчиняется -му закону Ньютона r r ma F Таким образом задача сводится к решению ОДУ вида: d m mg d где g - ускорение силы тяжести m - масса Требуется найти закон движения материальной точки d Перепишем уравнение в виде g и проинтегрируем d его дважды по получим закон движения материальной точки: () g Пример Геометрическая задача Найти кривую проходящую через точку M (;) и обладающую таким свойством что в любой ее точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания Решение Пусть уравнение искомой кривой имеет вид Условие равенства углового коэффициента касательной удвоенной точке абсциссе касания можно записать в виде g α где α угол наклона касательной Так как g α то искомая кривая является решением дифференциального уравнения Интегрируя это уравнение получаем общий вид искомой Учитывая что кривая проходит через кривой заданную точку ( ;) M найдем Таким образом уравнение искомой кривой имеет вид это парабола проходящая через точку M (рис ) 8

9 M α Рис График искомой кривой 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Основные понятия Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F ( ) где - независимая переменная - дифференцируемая функция - производная этой функции по переменной Определение Уравнение вида f называется уравнением разрешенным относительно производной или уравнением в нормальной форме d Учитывая что дифференциальное уравнение d разрешенное относительно производной можно записать в виде M d N d Это симметричная форма записи дифференциального уравнения ϕ называется решением Определение Функция уравнения на интервале ( ) если она определена на этом интервале непрерывно-дифференцируема и подстановка этой функции в исходное уравнение обращает его в тождество для ( ) График функции ϕ называется интегральной кривой Определение 3 Решить дифференциальное уравнение ϕ являющуюся решением значит найти функцию 9

10 В дальнейшем эту функцию будем называть искомой функцией Процесс нахождения решения ОДУ называется интегрированием дифференциального уравнения 93 Задача Коши Особые и частные решения Определение Задача в которой требуется найти решение f дифференциального уравнения F или удовлетворяющее начальному условию ( ) называется задачей Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши Пусть дано дифференциальное уравнение f f определена в некоторой где функция области D плоскости O содержащей точку ( ) функция f ( ) удовлетворяет условиям: ) ( ) и в области D; в области D Если f есть непрерывная функция двух переменных ) ( ) f имеет частную производную тогда найдется интервал ( h h) единственное решение ϕ удовлетворяющее условию f ограниченную на котором существует данного уравнения ϕ Доказательство теоремы в данном курсе опускается ввиду сложности С ним можно ознакомиться в монографии [8] ϕ где - произвольная Определение Функция постоянная называется общим решением уравнения F если ) она является решением этого уравнения при любых допустимых значениях произвольной постоянной ; где ) каково бы ни было начальное условие точка ( ) принадлежит области в которой выполняются

11 условия существования и единственности решения задачи Коши можно подобрать такое единственное значение постоянной ϕ что ( ) Определение 3 Функция Φ( ) называется общим интегралом уравнения если она задает общее решение уравнения в неявном виде Определение 4 Решение в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши называется особым решением Определение 5 Решение полученное из общего при некотором допустимом значении произвольной постоянной называется частным решением Замечание Частное решение может быть получено из общего решения при некотором значении константы Особое решение не может быть получено из общего ни при каком значении произвольной постоянной Пример Найти интегральную кривую дифференциального уравнения M ; проходящую через точку Решение Общим решением уравнения является функция вида где - произвольная константа Действительно Функции отсюда d полученные из общего решения при конкретных значениях являются частными решениями данного уравнения Построив графики решения при различных значениях получим бесконечное множество непересекающихся интегральных кривых которое будем называть семейством интегральных кривых (рис )

12 M Рис Интегральные кривые уравнения Построим интегральную кривую проходящую через точку M ; Для этого требуется решить задачу Коши с начальным условием () Подставим значения в общее решение Полученное равенство решим относительно произвольной постоянной получим Таким образом решением поставленной задачи Коши является функция На рис это интегральная кривая проходящая через точку M ; ее график выделен жирной линией Данное уравнение не имеет особых решений так как f непрерывная функция и частная производная f ограничена Пример Построить интегральные кривые уравнение Решение Данное уравнение можно записать в виде Найдем для f ( ) или производную ( ) f

13 При нарушается условие теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши Уравнение может иметь особое решение вида Общим решение данного дифференциального уравнения является Заметим что при этом преобразовании мы могли потерять решение Частным решением уравнения являются функции при при и тд Семейство интегральных кривых показано на рис 3 Рассмотрим функцию Она является решением исходного уравнения которое не может быть получено из общего ни при каких значениях произвольной постоянной Следовательно это особое решение в каждой точке такого решения нарушается единственность задачи Коши Действительно если задать начальное условие ( ) то поставленная задача Коши будет иметь два решения Одно получится из общего решения Если в формуле общего решения положить то и решением задачи Коши является функция Это решение проходит через точку ( ) Вторым решением проходящим через эту точку является функция Таким образом в каждой точке решения нарушается единственность задачи Коши Такое решение является особым Рис 3 3

14 4 94 Метод изоклин Пусть задано дифференциальное уравнение f Если обозначить α угол между касательной к интегральной ϕ и положительным направлением оси O то кривой принимая во внимание что α g α f получим g f ( ) Из этого следует что дифференциальное уравнение в каждой задает направление касательных к точке плоскости интегральным кривым или поле направлений Поле направлений можно построить проводя в каждой точке f отрезок (для ( ) из области определения функции определенности единичной длины) с центром в этой точке образующий с положительным направлением оси O угол α g α f для которого Если в точке ( ) значение функции f ( ) то направление поля параллельно оси O В этом случае нужно использовать уравнение d d f ( ) Если же в точке ( ) lim f ( ) [ ] то в этой точке поле не определено Такую точку называют особой Поле направлений дает некоторое представление об интегральных кривых касательные к которым в каждой точке совпадают с полем направлений При построении поля направлений строят особые линии изоклины Определение Линии на которых поле направлений постоянно называются изоклинами Из определения изоклин следует что их уравнение имеет вид f где любое постоянное число

15 Пример Построить поле направлений и изоклины дифференциального уравнения Используя построенное поле направлений провести его интегральные кривые Решение Найдем уравнение изоклин По определению уравнение имеет вид f ( ) Следовательно или При уравнение изоклины имеет вид На этой изоклине поле направлений имеет угол наклона α такой что g α следовательно α 45 Аналогично находим при уравнение изоклины На этой изоклине g α α 35 При g α изоклине уравнение изоклины на изоклине α При уравнение изоклины на g α α 9 Изоклины и поле направлений приведены на рис 4 Поле направлений дает возможность установить что интегральными кривыми являются концентрические окружности с центром в начале координат (рис 5) В начале координат поле направлений не определено Это особая точка Рис 4 Изоклины и поле направлений 5

16 Рис 5 Интегральные кривые 9 Уравнения первого порядка допускающие интегрирование в квадратурах Дифференциальных уравнений общие решения или общие интегралы которых находятся элементарными приемами немного Далее рассмотрим некоторые из них 9 Уравнения с разделяющимися переменными Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: f g или M d N N d M Метод решения таких уравнений заключается в следующем d Рассмотрим первое уравнение Учитывая что d умножим уравнение на уравнение или d Получим дифференциальное g d f d g 6

17 d g f d Интегрируя это равенство получим d f d g Вычислив интегралы найдем решение уравнения в виде общего интеграла Если из этого уравнения можно выразить в явном виде тогда функция ( ) будет являться общим решением уравнения Рассмотрим второе уравнение Умножая уравнение на M N получим d d N M N M Это равенство можно интегрировать причем первое слагаемое в левой части по а второе по : M N N d M d Это выражение является общим интегралом уравнения Замечание Уравнения вида M d N d являются уравнения с разделенными переменными Общим интегралом такого уравнения будет выражение: M d N d Замечание При умножении уравнений на N M d g мы могли потерять решения исходного уравнения вида g для первого уравнения и M N для второго уравнения Эти решения необходимо рассмотреть отдельно Здесь возможны три варианта Решения удовлетворяющие соотношениям g M N : и 7

18 ) могут не являться решениями исходных дифференциальных уравнений; ) могут являться частными решениями исходных дифференциальных уравнений; 3) могут являться особыми решениями исходных дифференциальных уравнений Это проверяется непосредственной подстановкой решений в исходное уравнение Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения с разделяющимися переменными) Пусть дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными f g f и {( ) : a < < b c < < d} и где Π 8 g - непрерывные функции на прямоугольнике g Тогда для любой точки ( ) Π решение задачи Коши существует и единственно То есть через любую точку проходит одна и только одна интегральная кривая Π уравнения Доказательство Для данного уравнения выполнены условия теоремы существования и единственности задачи Коши приведенной в пункте 93 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения d d Решение В этом уравнении переменные разделены Интегрируя его d d получим общий интеграл: Пример Найти общее решение дифференциального d d уравнения Решение Разделяя переменные путем деления уравнения получим на выражение

19 d d ( ) ( ) Интегрируя полученное уравнение d найдем его общий интеграл d l l или l l Представив произвольную постоянную в виде l получим l l l Отсюда или ( ) ( ) ± Так как произвольная постоянная общее решение исходного уравнения можно записать в виде: Заметим что при делении исходного уравнения на выражение решения не потеряны так как ( ) ( ) ( ) ( ) Особых решений нет 9 Однородные дифференциальные уравнения Определение Функция ( ) f называется однородной функцией -го порядка относительно переменных и если выполняется равенство f f ( ) при f является Пример Функция однородной функцией второго порядка так как f ( ) f ( ) Пример Функция f ( ) является однородной функцией нулевого порядка относительно переменных и Действительно f f ( ) 9

20 Определение Дифференциальное уравнение первого порядка f ( ) называется однородным если ( ) f однородная функция нулевого порядка относительно переменных и Пусть ( ) f однородная функция нулевого порядка относительно переменных и Положив в тождестве f f ( ) получим f ( ) f т е однородная функция нулевого порядка зависит только от отношения аргументов и ее можно представить как функцию от аргумента Обозначая f через ϕ однородное дифферен- циальное уравнение всегда можно представить в виде: d ϕ d Метод решения однородного дифференциального уравнения заключается в следующем u формулой откуда Введем новую искомую функцию u d d u du u d du u ϕ u d du ( ϕ( u) u)d Подставляя эти выражения в или исходное уравнение получим:

21 Таким образом после замены мы получили уравнение с разделяющимися переменными Поделим обе части последнего ϕ u u и проинтегрируем равенства на ( ) du ( ϕ( u) u) d Заменяя затем u на его значение получим общий интеграл уравнения Теорема (О существовании и единственности задачи Коши для однородных уравнений) u a b причем Если функция ϕ непрерывна на промежутке ϕ ( u) u для любого u ( ab) тогда через любую точку ( ) принадлежащую области G проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения Доказательство теоремы следует из теоремы о существовании и единственности задачи Коши для уравнений с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение M ( ) d N( ) d можно привести к однородному уравнению если ( ) ( ) M и N являются однородными функциями одного и того же порядка Действительно уравнение можно записать в виде: Здесь правая порядка d d M N ( ) ( ) часть уравнения однородная функция нулевого Пример Решить уравнение ( ) d d Решение Запишем уравнение в виде d ( ) d Сделаем замену u получим уравнение

22 ( u ) u u u Проведем ряд алгебраических преобразований: ( u ) u u u u u u ( u ) ( u ) u u u u называется однородным линейным ОДУ Иначе уравнение называется неоднородным линейным ОДУ u u Получили уравнение с разделяющимися переменными Решим его u u du d Вычислив интегралы получим решение в виде общего интеграла l l u l или ( u ) исходной функции получим Возвращаясь к общий интеграл исходного уравнения Заметим что по ходу решения мы делили уравнение на и на выражение ( u ) что могло привести к потере решений вида u и Эти решения можно получить из общего интеграла при Следовательно они являются частными решениями и входят в общий интеграл уравнения Особых решений исходное уравнение не имеет 93 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение Линейным дифференциальным уравнением -ого порядка называется уравнение вида p g Определение Если функция принимает вид p g уравнение В этом случае уравнение

23 Найдем решение неоднородного уравнения методом Лагранжа Для этого сначала решается соответствующее однородное уравнение а затем неоднородное уравнение этап Рассмотрим однородное уравнение p где p непрерывная функция Оно является также уравнением с разделяющимися переменными Для него выполнены условия теоремы существования и единственности задачи Коши Пусть Перепишем уравнение в виде d d или p d p и проинтегрируем его: Получим d p l d d p d l l или p d В силу произвольности постоянной общее решение однородного уравнения примет вид: p d Заметим что решение было получено при условиях и Проверим является ли решением однородного уравнения Подставим его в уравнение Уравнение превращается в тождество Следовательно есть решение однородного линейного уравнения Проверим является оно особым или частным решением Так как это решение может быть получено из общего решения при то это решение частное Особых решений уравнение не имеет Таким образом на первом этапе было получено общее решение однородного уравнения этап Общее решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде что и полученное общее решение однородного уравнения заменяя произвольную постоянную на новую искомую функцию 3

24 4 p d следует подобрать так чтобы функция являлась решением исходного неоднородного уравнения Подставим ее в исходное неоднородное уравнение p d p d p d p p ( ) p d Отсюда g Интегрируя получим вид функции p d d g или g p g d p d Следует заметить что интеграл существует так как условию теоремы является непрерывной функцией Общее решение неоднородного уравнения имеет вид p d p d g d или p d p d p d g d g по Последняя формула дает структуру общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка Оно представляет из себя сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения Особых решений данное уравнение не имеет Замечание Если решается задача Коши с начальными то решение задается формулой данными p d p d g d Пример Найти общее решение уравнения

25 Решение Решение будем искать в два этапа этап Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение является также уравнением с разделяющимися d d переменными Запишем его в виде и проинтегрируем d d Вычислив интегралы получим l l l l l Общее решение однородного уравнения имеет вид этап Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде Подставляя его в исходное уравнение получим d или Общее решение исходного уравнения имеет вид 3 94 Уравнения в полных дифференциалах Определение Дифференциальное уравнение M d N d называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть является полным дифференциалом некоторой u то есть дифференцируемой функции двух переменных левая часть уравнения представима в виде 5

26 ( ) d N( ) d du( ) M Теорема Пусть задано дифференциальное уравнение где N - непрерывно дифференцируемые функции M и Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно выполнение следующего условия M ( ) N ( ) Доказательство Необходимость Пусть заданное уравнение уравнение в полных дифференциалах Тогда по определению существует дифференцируемая функция двух переменных M d N d du u такая что По определению полного дифференциала u u du( ) d d u u Следовательно M ( ) N( ) u Продифференцируем равенство M ( ) по а u N по Получим равенство M ( ) u N ( ) u N порядок В силу непрерывности функций M ( ) и дифференцирования в этих выражениях можно поменять то есть u u Следовательно M ( ) N ( ) 6

27 Достаточность Пусть M ( ) N ( ) существует функция u ( ) такая что M ( ) d N( ) d du( ) Напомним формулу полного дифференциала u u du( ) d d из которой следуют следующие равенства: u u M ( ) N( ) Покажем что Рассмотрим область G {( ) : ( ab) ( cd )} u Проинтегрируем равенство M ( ) Получим ( ) u d u u M ( ) d где ( ab) ( ) u( ) M ( ) d ( ) u( ) M ( ) d (*) Продифференцируем последнее равенство по ( ) du( ) u u Учитывая что N( ) N ( ) d получим ( ) du d M M по в этой области Отсюда ( ) d ( ) d 7

28 В силу непрерывности функции ( ) M порядок дифференцирования и интегрирования можно поменять du( ) N( ) M ( ) d d Из условия N M ( ) N ( ) ( ) ( ) du d следует что N Выполним ряд преобразований: du( ) N( ) N( ) d N ( ) d du ( ) d N du( ) N( )d u( ) N( ) ( cd ) Подставив ( ) u в выражение (*) получим u ( ) M ( ) d N( ) d u ( ) d где u Таким образом если M ( ) N( ) быть построена функция u ( ) такая что M ( ) d N( ) d du( ) то может Это означает что рассматриваемое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах Замечание Равенство M ( ) d N( ) d задает общий интеграл уравнения в полных дифференциалах Замечание Аналогично можно показать что равенство 8

29 M ( ) d N( ) d тоже задает общий интеграл уравнения в полных дифференциалах Замечание Значения и можно выбрать произвольно Необходимо только чтобы существовали подинтегральные функции M ( ) N( ) Если решается задача Коши то и соответствуют начальным данным Пример Проинтегрировать уравнение 3 d d M Решение Здесь M ( ) N( ) ( ) N( ) Уравнение является уравнением в полных дифференциалах Найдем общий интеграл уравнения Это можно сделать двумя способами Либо воспользоваться полученными формулами либо найти общий интеграл по алгоритму изложенному в доказательстве теоремы Способ Воспользуемся первой из полученных формул 3 ( ) d ( ) d 3 ( ) d ( ) d пусть Вычислив интегралы получим общий интеграл заданного уравнения 4 4 Способ Найдем общий интеграл непосредственно u M ( ) тогда u ( ) d ϕ 4 Продифференцируем полученное равенство по 9

30 3 4 u 4 u N ϕ ϕ Учитывая что ( ) получим Интегрируя уравнение ϕ получим ϕ u ( ) ϕ Отсюда 4 4 Следовательно общий интеграл уравнения имеет вид: Дифференциальные уравнения высших порядков 93 Основные понятия Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением -ого порядка называется уравнение вида F ( ) где независимая переменная производные функции искомая функция по переменной Определение Порядок старшей производной называется порядком уравнения ( 3) Например уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка Определение 3 Уравнение вида F называется уравнением разрешенным относительно старшей производной или уравнением в нормальной форме ϕ называется решением Определение 4 Функция уравнения на интервале ( ) если она определена на этом

31 интервале раз непрерывно-дифференцируема и подстановка ее в уравнение обращает уравнение в тождество при График этой функции называется интегральной кривой 93 Задача Коши для уравнений высших порядков Определение Задача нахождения решения ϕ уравнения F ( ) удовлетворяющего начальным условиям ( ) ( ) ( ) ( ) называется задачей Коши для уравнения -ого порядка Теорема существования и единственности задачи Коши Пусть задано уравнение f и начальные условия ( ( ) ( ) ) ( ) Если функция f ( ) непрерывна в некоторой окрестности начальных условий и ее частные производные первого порядка непрерывны по в этой же окрестности то заданным начальным условиям соответствует одно определенное решение дифференциального уравнения для всех из этой окрестности Определение Функция ϕ( ) где произвольные постоянные называется общим решением уравнения f если ( ) ) она является решением этого уравнения при любых допустимых значениях постоянных ; ) для любых начальных условий ( ) ( ) ( ) система уравнений 3

32 ( ) ( ) ϕ ϕ ( ) ϕ ( ) однозначно разрешима относительно произвольных постоянных То есть найдется единственный набор произвольных постоянных являющихся решением системы и таких что ϕ ( ) Замечание Общее решение дифференциального уравнения -ого порядка всегда содержит ровно произвольных констант Определение 3 Решение полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением Определение 4 Функция Φ( ) называется общим интегралом уравнения если она задает общее решение уравнения в неявном виде 933 Уравнения допускающие понижение порядка Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений высших порядков допускающие понижение порядка тип Уравнение вида f Общее решение данного уравнения находится -кратным интегрированием d d f d раз тип Уравнение вида ( k ) ( k ) F ( ) Это уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k включительно Порядок такого ( k ) уравнения можно понизить на k единиц заменой z Здесь функция z рассматривается как новая неизвестная функция от 3

33 то есть z z При такой замене уравнение примет вид ( k ) F ( zz z ) Если удастся найти общее решение полученного уравнения z ϕ( k ) то общее решение исходного уравнения найдется -кратным интегрированием уравнения ϕ( k ) 3 тип Уравнение вида F ( ) Это уравнение не содержит независимую переменную Порядок уравнения можно понизить на единицу используя подстановку p Здесь функция p рассматривается как новая неизвестная функция от то есть p Все производные p выражаются через производные от функции p по Соответствующие формулы имеют вид: d dp dp d dp dp p d d d d d d d dp d dp d d p dp p p p p d d d d d dp d и так далее Подставив эти выражения для производных в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение -ого порядка относительно новой неизвестной функции p Пример Найти общее решение уравнения si Решение Это уравнение относится к первому типу Интегрируя его последовательно три раза найдем общее решение: si d cos ( cos ) d si ( si ) d cos 3 33

34 Так как 3 - произвольные константы общее решение можно записать в виде cos Пример Найти общее решение уравнения Решение Это уравнение относится ко второму типу оно не содержит искомую функцию и ее производную первого порядка В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу заменой z тогда z Здесь функция z рассматривается как новая неизвестная функция от то есть z z При такой замене получаем уравнение с разделяющимися переменными z z Запишем его в виде dz d z и проинтегрируем dz d z Вычислим интегралы l z l Представим произвольную постоянную в виде l l z l l l z l z z ± Так как - произвольная константа знак ± можно опустить Возвращаясь к исходной функции получим z Это уравнение решается путем двукратного интегрирования: d 3 d

35 Пример 3 Найти решение задачи Коши () π / ( ) 4 3 3si cos Решение Это уравнение относится к третьему типу так как не содержит независимую переменную Введем новую неизвестную dp функцию p p Сделаем замену p Тогда p d Исходное уравнение приводится к виду 3 p p 3si cos Это уравнение с разделяющимися переменными Запишем его в 3 виде p dp 3si cos d и проинтегрируем Получим последовательно 3 p d p 3si cos d 4 3 p si p d p 3si d( si ) p 6si Воспользуемся начальными данными π / ( ) 4 4 π Получим 4 6si или 6 6 Отсюда и следовательно Вернемся к исходной переменной p 4 4 6si p ± 6 si ± 4si ± 4si Воспользуемся начальными данными чтобы выбрать знак Из начальных данных π / ( ) 4 следует что нужно выбрать () положительный знак: 4si Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными запишем его в виде d d 4d и проинтегрируем 4d si si Получим cg 4 Найдем константу используя π начальные данные: cg 4 4 Следовательно 35


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» П А Вельмисов

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее