Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}"

Транскрипт

1 Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью ординат Обычно их откладывают от начала координат: у j 0 i х Координатами произвольного вектора а называются коэффициенты разложения вектора а по координатным векторам Те если а = х i + у j, то вектор а имеет координаты х, у Это обозначается так: а {x; y} Например, если а 3 i j, то вектор а имеет координаты а {3; }

2 Основные формулы Если А(х ; у ), В(х ; у ), то АВ х х; у у - так можно вычислить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца Если А(х ; у ), В(х ; у ), а точка О середина отрезка АВ, то х х у у О ; - так находятся координаты середины отрезка Если а {x ; y }, b {x ; y },то: o а b x x ; y }; { y o а b x x ; y } Если а {x; y}, то: o { y k а {kx; kу}, где k произвольное число; o а = х у - так находится длина вектора а Если О(х 0 ; у 0 ) центр окружности, r еѐ радиус, то уравнение окружности будет таким: (х х 0 ) + (у у 0 ) = r Если А(х ; у ), В(х ; у ), то уравнение прямой АВ будет таким: х х у у х х у у Виды деятельности Нахождение координат вектора, если известны координаты его начала и конца Нахождение координат середины отрезка, если известны координаты его концов Нахождение длины вектора, если известны его координаты Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости Нахождение координат суммы или разности двух векторов, если известны координаты каждого вектора Нахождение координат произведения вектора на число Составление уравнения окружности, у которой известны координаты центра и радиус

3 Определение центра и радиуса окружности по данному уравнению окружности Составление уравнения прямой, проходящей через две точки, у которых известны координаты Алгоритмы Различные задачи в координатах Как найти координаты вектора АВ, если известны координаты его начала и конца: А(х ; у ), В(х ; у ) Из координат конца вектора (точки В) нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора (точки А): АВ {x x ; y y } Пример Если точка А имеет координаты А(- ; 3), а точка В имеет координаты В(- 3; 0), то вектор АВ будет иметь координаты АВ {- 3 (- ); 0 3} или АВ {- ; - 3} Как найти координаты середины О отрезка АВ, если известны координаты его концов: А(х ; у ), В(х ; у ) Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат его концов: х х у у О ; Пример Если точка А имеет координаты А(- ; 3), а точка В имеет координаты В(- 3; 0), то координаты середины отрезка АВ таковы: О ; или О(- ;,5) Как найти длину вектора, если известны его координаты: а {х; у} а Пример х у Если вектор а имеет координаты а {- ; 3}, то его длина равна: а ( ) 3 0 Как найти расстояние между точками А и В 3

4 Вычислить координаты вектора АВ Найти длину вектора АВ Это и есть расстояние между точками А и В Пример Вычислим расстояние между точками А(5; - 7) и В(- ; ) АВ { 5; ( 7)} ; AB { 7;} AB AB ( 7) 9 70 Как найти координаты суммы векторов а {x ; y } и b {x ; y } а b {x + x ; y + y } Пример Если векторы а и b имеют координаты а {- ; 3}, b {3; - 7}, то сумма этих векторов будет иметь координаты а + b {- + 3; 3 7} или а + b {; - } Как найти координаты разности векторов а {x ; y } и b {x ; y } а b {x - x ; y - y } Пример Если векторы а и b имеют координаты а {- ; 3}, b {3; - 7}, то разность этих векторов будет иметь координаты а - b {- - 3; 3 - (- 7)} или а - b {- ; 0} Как найти координаты произведения вектора а {x; y} на число k Каждую координату вектора нужно умножить на число k: k а {kx; ky} Пример Если вектор а имеет координаты a { ;}, то 3а { 3;} Уравнение окружности Как записать уравнение окружности с центром в точке О(х 0 ; у 0 ) и радиусом r (х х 0 ) + (у у 0 ) = r

5 Пример Если центр окружности имеет координаты О(5; - 7), а радиус окружности r =, то уравнение этой окружности будет иметь вид: (х 5) + (у (- 7)) = или (х 5) + (у + 7) = 6 Как определить центр и радиус окружности, если дано еѐ уравнение Представить уравнение в виде (х х 0 ) + (у у 0 ) = r Тогда координаты центра будут (х 0 ; у 0 ), а радиус равен r Пример Найдѐм центр и радиус окружности (х ) + (у + 7) = 9 Запишем уравнение таким образом: (х ) + (у (-7)) = 3 Отсюда видно, что х 0 = ; у 0 = - 7; r = 3 Пример Найдѐм центр и радиус окружности х + х + у = 0 Преобразуем уравнение таким образом: (х + х + ) + у = К обеим частям исходного уравнения мы прибавили, чтобы выделить квадрат двучлена: (х + ) + у = ; (х (- )) +( у 0) = Сейчас уже видно, что х 0 = - ; у 0 = 0; r = Уравнение прямой Как записать уравнение прямой, проходящей через две точки А(х ; у ) и В(х ; у ), у которых известны координаты х х у у Записать общее уравнение прямой АВ: х х у у Подставить вместо х и у координаты точки А, вместо х и у координаты точки В 3 Вычислить значения знаменателей дробей Воспользоваться основным свойством пропорции (перемножить крест накрест) 5 Раскрыть скобки 6 Перенести все слагаемые в левую часть, привести подобные 7 Поделить обе части уравнения на одно и то же число (если этим можно упростить) Пример Найдѐм уравнение прямой, проходящей через точки А(; - ) и В(; 3) 5

6 х х Запишем общее уравнение прямой: у у х х у у Подставим в это уравнение координаты точек А и В: х у 3 3 х у 7 7(х ) = -(у + ) 5 7х = - у 6 7х + у 0 = 0 7 Уравнение, полученное в п 6, дальше упростить нельзя Ответ: искомое уравнение прямой имеет вид: 7х + у 0 = 0 Замечание Данным алгоритмом можно пользоваться даже тогда, когда знаменатель какой-то дроби (в п 3) обращается в нуль Например, запишем уравнение прямой, проходящей через точки А(; - ) и В(; 3) х х Запишем общее уравнение прямой: у у х х у у Подставим в это уравнение координаты точек А и В: х у 3 3 х у 0 7 7( х ) 0( у ) 5 7х Разделим обе части уравнения на 7: х 0 Ответ: искомое уравнение прямой имеет вид х 0 6

7 Тема Теоремы синусов и косинусов Скалярное произведение векторов Основные понятия Полуплоскость, расположенная выше оси абсцисс, делится осью ординат на две части Правая часть I координатная четверть (I квадрант), левая II координатная четверть (II квадрант) II I Единичная полуокружность часть окружности с центром в начале координат и радиуса, расположенная выше оси абсцисс Синусом угла α (sin α) называется ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки А(; 0) вокруг начала координат на угол α Косинусом угла α (cos α) называется абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки А(; 0) вокруг начала координат на угол α Тангенсом угла α (tg ) называется отношение синуса угла α к sin косинусу этого же угла: tg cos Синус, косинус и тангенс называют тригонометрическими функциями Решить треугольник найти все его неизвестные элементы (стороны и углы) Два вектора, отложенные от одной точки, образуют угол, который называется углом между этими векторами α М(cos α; sinα) А(; 0) А(; 0) 7

8 с а с а β Обозначается так: а, с Если векторы сонаправлены, угол между ними равен 0 ; если векторы противоположно направлены, угол между ними равен 80 Вообще угол между векторами находится в следующих границах: 0 80 Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: а b a b cos, где β угол между векторами Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 : с а Обозначается: а с Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, тк cos 90 = 0 Основные формулы Основное тригонометрическое тождество: sin α + cos α = Это равенство верно при любых значениях α Следствие из основного тригонометрического тождества: tg cos Для нахождения по таблицам Брадиса косинусов тупых углов полезной оказывается формула cos (80 - α) = - cos α Теорема синусов Если в треугольнике АВС обозначить длины сторон АВ = с, ВС = а, АС = b, то справедливо равенство: a b c sin A sin B sin C R, где R радиус описанной окружности Теорема косинусов Если в треугольнике АВС обозначить длины сторон АВ = с, ВС = а, АС = b, то справедливы равенства: o а = b + c bc cos A; 8

9 o b = a + c ac cos B; o c = a + b ab cos C То есть квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих (других) сторон на косинус угла между ними Скалярное произведение двух векторов а {x ; y } и b {x ; y } можно вычислить по формуле: a b xx y y Формулы для вычисления площади треугольника a 3 Если треугольник правильный со стороной а, то S Если треугольник прямоугольный с катетами a и b, то S ab 3 Если известен периметр Р и радиус вписанной окружности r, то S P r Если известны стороны a, b, c и радиус описанной abc окружности R, то S R 5 Если известны две стороны а и b и угол между ними α, то S ab sin 6 Если в треугольнике известны высота h и его основание a, то S ah 7 Формула Герона Если известны три стороны треугольника a, b, c, то S р( p a)( p b)( p c), где р полупериметр a b c треугольника, p Виды деятельности Нахождение значений остальных тригонометрических функций по значению одной функции Решение треугольника (нахождение остальных элементов по известным трѐм) 9

10 Вычисление площади треугольника; радиусов вписанной и описанной окружностей Нахождение скалярного произведения векторов Нахождение угла между векторами Нахождение угла ВАС, если известны координаты точек А, В и С Алгоритмы Тригонометрические функции Нахождение значений остальных тригонометрических функций по известному значению одной функции Записать основное тригонометрическое тождество (sin α + cos α = ) или следствие из него ( tg ) cos Подставить в него значение известной функции 3 Решив получившееся уравнение, найти квадрат искомой функции (sin α, tg α) Определить знак искомой функции в данной координатной четверти 5 Из пп 3 и найти искомую функцию Пример Дано: sin α = 0,6; 90 < α < 80 Найти: cos α и tg α Запишем основное тригонометрическое тождество: sin α + cos α = Подставим в него sin α = 0,6: 0,6 + cos α = 3 Найдѐм cos α: 0,36 + cos α =, cos α = 0,36, cos α = 0,6 По условию, α угол II четверти, поэтому cos α < 0, значит, 5 cos α = - 0,8 sin 0,6 3 Отсюда tg cos 0,8 Пример 3 Дано: tg ; 0 < α < 90 Найти: cos α и sin α 0

11 Запишем следствие из основного тригонометрического тождества: tg cos 3 Подставим в него tg : 3 cos Найдѐм cos α: 9, 6 cos 5, 6 cos 6 cos 5 3 α угол I четверти, поэтому cos α > 0, значит, cos Отсюда sin tg cos Ответ: sin, cos 5 5 Решение треугольников Как решить треугольник (найти оставшиеся элементы по известным трѐм) Сделать рисунок, отметить на нѐм заданные величины Записать формулу теоремы синусов (равенство трѐх дробей) 3 В этой формуле выделить (обвести карандашом в кружочек) известные величины Выбрать две дроби, в которых неизвестна (не обведена) только одна величина (если такие дроби есть) 5 Приравняв эти дроби и решив пропорцию, найти неизвестную величину 6 Если в п таких двух дробей нет, применить теорему косинусов Пример

12 Дано: а = 6, с =, А 63 Найти: b, углы В и С Замечание В подобных задачах предполагается, что в треугольнике АВС против стороны а лежит угол А, против стороны b лежит угол В, против стороны с лежит угол С Решение Сделаем рисунок, выделим известные элементы треугольника В 6 А 63 a b c Запишем теорему синусов: sin A sin B sin C 3 Выделим в ней известные величины: a/sin A = b/sin B = c/sin C В первой и третьей дробях неизвестна только одна величина sin C 5 Приравняем эти дроби: a c, sin A sin C 6 sin 63 sin C sin 63 0,89, потому получаем: 6, 0,89 sin C sin C 6,73, sin C, 6,73 sin C 0,59 По таблицам Брадиса находим, округляя до градусов, что С 36 Сразу можно найти угол В: В С

13 Снова повторяем алгоритм, начиная с п 3, но теперь у нас уже выделены sin B и sin C: 3 a/sin A = b/sin B = c/sin C Выберем первую и вторую дроби 5 Приравняем их и решим получившееся уравнение: a b, sin A sin B 6 b, sin 63 sin 8 6 b, 0,89 0,9877 b 6,73, 0,9877 b 0,9877 6,73 6,65 Ответ: b = 6,65, В 8, С 36 Пример Дано: а = 6, с =, В 63 Найти: b, углы А и С Решение Сделаем рисунок, выделим известные элементы треугольника В 63 6 С А a b c Запишем теорему синусов: sin A sin B sin C 3 Выделим в ней известные величины: a/sin A = b/sin B = c/sin C Здесь нельзя выбрать две дроби, в которых была бы неизвестна только одна величина 3

14 5 6 Используем теорему косинусов: b = a + c ac cos B b = cos 63, b = 5 8 0,5, b = 30,, b = 5,5 Снова повторяем алгоритм, начиная с п3, но теперь у нас уже выделена величина b: 3 a/sin A = b/sin B = c/sin C Выберем первую и вторую дроби a b 5, sin A sin B 6 5,5, sin A sin ,8, sin A 6 sin A, 6,8 sin A 0,970, А 76 Теперь можно найти угол С: С Ответ: b = 5,5, А 76, С Как можно вычислить площадь треугольника a 3 Если треугольник правильный со стороной а, то S Если треугольник прямоугольный с катетами a и b, то S ab 3 Если известен периметр Р и радиус вписанной окружности r, то S Рr Если известны стороны a, b, c и радиус описанной окружности R, abc то S R

15 5 Если известны две стороны а и b и угол между ними α, то S ab sin 6 Если в треугольнике известны основание a и его высота h, то S ah 7 Формула Герона Если известны три стороны a, b, c, то S р( p a)( p b)( p c), где р полупериметр треугольника, р = (a + b + c)/ Замечание Формулы 3 и обычно используются для нахождения радиусов вписанной или описанной окружностей, а не для вычисления площади Пример Найти площадь прямоугольного треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей, если его катеты равны 5 см и см Решение По формуле вычислим площадь этого треугольника: S ab 5 30 (см ) Радиус вписанной окружности найдем из формулы 3: S Рr Но для этого нужно сначала найти периметр Р данного треугольника, вычислив длину третьей стороны с (гипотенузы) по теореме Пифагора: с = a + b = 5 + = 69, отсюда с = 3 см, Р = = 30(cм) нашли периметр Подставим S = 30 и Р = 30 в формулу 30 30r, 30 5r, r Радиус вписанной окружности равен см S Рr : 5

16 abc Радиус описанной окружности найдѐм из формулы S R Подставим в эту формулу S = 30, a = 5, b =, c = 3: , R 95 30, R R = 95 : 30, R = 6,5 Радиус описанной окружности равен 6,5 см Замечание В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, поэтому его можно было найти значительно проще Ответ: S = 30 см, r = см, R = 6,5 см Пример Найти площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей, если стороны треугольника равны 5; 6 и 7 Решение Площадь треугольника удобнее всего найти по формуле Герона р = ( ) : = 9 (см) полупериметр S 9(9 5)(9 6)(9 7) площадь треугольника Радиус вписанной окружности найдем из формулы 3: 6 6 = 9r, r = радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности найдѐм из формулы , R , R 6 S S Рr abc : R

17 05 35 R, R 6 6 Ответ: S 6 6 ; r = 6 ; R = Векторы, угол между векторами Как найти скалярное произведение векторов а иb Если известны координаты векторов а {x ; y } и b {x ; y }, то a b = x x + y y Если известны длины векторов и угол между ними β, то а b a b cos Примеры Если векторы а и b имеют координаты а {- ; 3}, b {3; 7}, то скалярное произведение этих векторов равно а b = = = 8 АВС равносторонний треугольник со стороной 6 Найти скалярное произведение АВ АС Решение Угол между векторами АВ и АС равен 60, поэтому АВ АС = АВ АС cos 60 = 6 6 ½ = 8 Как найти угол между векторами а и b, если известны их координаты Вычислить длины векторов а и b Вычислить скалярное произведение векторов а и b по формуле a b = x x + y y 3 Полученные значения подставить в формулу а b a b cos 7

18 Решив получившееся уравнение с одним неизвестным, найти косинус угла β между векторами 5 Если cos β > 0, то по таблицам Брадиса найти угол α 6 Если cos β < 0, то угол β тупой, и тогда по таблицам Брадиса найти угол, соответствующий cos β Искомый угол будет равен разности 80 и найденного значения угла Здесь мы пользуемся формулой cos (80 - α) = - cos α Пример Пусть векторы а и b имеют координаты а {- ; 3}, b {3; 7} Найдѐм угол β между ними а ( ) 3 0 ; b а b = = = 8 3 Подставив эти значения в формулу а b a b cos, получим: 8 = 0 58 cos β Найдѐм отсюда cos β: cos β = ; cos β 0,77 5 В таблицах Брадиса находим угол, соответствующий 0,77 Это примерно Ответ: β = Пример Пусть векторы а и b имеют координаты а {- ; 3}, b {3; - 7} Найдѐм угол α между ними а ( ) 3 0, b 3 ( 7) 58 а b = (- 7) = - 3 = - 3 Подставив эти значения в формулу а b a b cos, получим: - = 0 58 cos β 8

19 Найдѐм cos β: cos β = = - 0, Косинус угла между векторами отрицателен cos β = 0,9965 В таблицах Брадиса находим угол, соответствующий 0,9965 Это примерно 5 Отсюда β = 80-5 = 75 Ответ: β = 75 Как найти угол ВАС, если известны координаты точек А, В и С Вычислить координаты векторов АВ и AC Вычислить длины отрезков (векторов) АВ и АС 3 Вычислить скалярное произведение векторов АВ и AC (по формуле a b = x x + y y ) Полученные значения подставить в формулу а b a b cos 5 Решив получившееся уравнение с одним неизвестным, найти косинус угла β между векторами 6 Если cos β > 0, то по таблицам Брадиса найти угол β 7 Если cos β < 0, то угол β тупой, и тогда по таблицам Брадиса найти угол, соответствующий cos β Искомый угол будет равен разности 80 и найденного значения угла Пример Даны координаты трѐх точек: А(; ), В(; 3), С(8; -) Вычислить градусную меру угла ВАС Решение Вычислим координаты векторов АВ и АС : АВ {- ; - }, АС {6; - 5} Найдѐм длины отрезков (векторов) АВ и АС: АВ =, АС = Найдѐм скалярное произведение векторов: АВ АС = = - Получаем уравнение: - = 6 cos β 9

20 5 Отсюда cos β = - 0,0905 Это отрицательное число, его нет в таблицах Брадиса 6 7 cos β = 0,0905 В таблицах Брадиса этому числу соответствует угол 85 Поэтому искомый угол будет равен = 95 Ответ: ВАС 95 0

21 Тема 3 Длина окружности и площадь круга Основные понятия Если у многоугольника n сторон, он называется n-угольником Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны: На рисунке изображены правильный (равносторонний) треугольник, правильный -угольник (квадрат), правильный 5- угольник и правильный 6-угольник Для правильного n-угольника мы будем использовать следующие обозначения: а n сторона правильного n-угольника; β n угол правильного n-угольника Дуга окружности часть окружности, ограниченная двумя точками Круговой сектор часть круга, ограниченная двумя радиусами: Основные формулы C = πr длина окружности радиуса r S = πr площадь круга радиуса r l r - длина дуги, стягивающей центральный угол β 360

22 S сект r - площадь сектора с центральным углом β ( n ) n - каждый угол правильного n-угольника n R и r обозначения радиусов описанной и вписанной окружностей соответственно S Рr площадь многоугольника, в который вписана окружность радиуса r 80 a n Rsin - связь между стороной а n правильного n- n угольника и радиусом описанной окружности 80 r Rcos - связь между радиусами вписанной и описанной n окружностей в правильном n-угольнике Виды деятельности Решение задач на вычисление a n, r, R, C, n, P, S, β n, l, S сект Алгоритмы Как решать любую задачу этой темы Выяснить, какие из величин a n, r, R, C, n, P, S, β n, l, S сект известны и какую надо найти Установить взаимосвязь между известными величинами и неизвестной величиной (найти нужную формулу) 3 Применить эту формулу (подставить вместо букв значения известных величин) Решив уравнение с одним неизвестным, найти искомую величину Замечание Задачи этой темы, как правило, решаются без рисунка Пример В правильном 8-угольнике радиус вписанной окружности равен 5 см Найти его угол и сторону 8-угольника и площадь описанного круга Решение Дано: r = 5 см, n = 8 Найти: β 8, a 8, S оп

23 Угол правильного многоугольника связан с количеством сторон 80 ( n ) формулой n n 3 При n = 8 получаем: β 8 = 80 (8 ) : 8 β 8 = 35 Итак, угол правильного 8-угольника равен 35 Найдѐм теперь сторону а 8 Снова возвращаемся на п алгоритма Сторона правильного n-угольника связана с другими величинами формулой 80 a n Rsin n Но в этой формуле неизвестен радиус R Мы не найдѐм a 8, пока не вычислим R Радиус R связан с другими величинами формулой 80 r Rcos n 3 При n = 8, r = 5 получаем уравнение с одним неизвестным: 5 = R cos (80 : 8) R = 5 : cos ( 30 ) 5 : 0,9 5, (см) Получили, что радиус описанной окружности равен R = 5, см 80 Он нам был нужен, чтобы найти a 8 из формулы a n Rsin n 3 При n = 8, R = 5, получаем: a 8 = 5, sin (80 : 8) a 8 = 0,8 sin ( 30 ) 0,8 0,38, (см) Сторона данного 8-угольника равна, см Осталось найти площадь описанного круга S оп Опять идѐм на п алгоритма Площадь описанного круга S оп связана с его радиусом формулой S оп = πr 3 При R = 5, см получим: S оп = π 5, S оп 3, 9,7 9,9 (см ) Площадь описанного круга примерно равна 9,9 см Ответ: β 8 = 35, a 8 =, см, S оп = 9,9 см Пример Из правильного треугольника со стороной а вырезан вписанный круг Найти площадь оставшейся фигуры Сделаем рисунок 3

24 Конечно, для вычисления площади закрашенной фигуры нет готовой формулы Однако еѐ площадь можно представить в виде разности площадей треугольника и круга: S = S тр S кр Дано: n = 3; а 3 = а Найти: S тр, S кр Площадь правильного треугольника со стороной а проще всего 3 вычислить по формуле a 3 S из предыдущей темы a 3 Получаем, что S тр Площадь круга вычисляется по формуле S = πr Значит, надо найти радиус r вписанного круга 80 Для его вычисления есть формула r Rcos Однако, нам n неизвестен радиус R описанной окружности Есть ещѐ одна формула, в которой присутствует r: S Рr Она здесь намного полезнее, тк и площадь треугольника, и периметр у нас уже известны a 3 S тр, Р = 3а, поэтому получаем уравнение: а 3 3а r Решим это уравнение Умножим обе части уравнения на и поделим на а: а 3 6r, a 3 r - мы нашли радиус вписанного круга для того, чтобы 6 найти его площадь: S кр = πr = а 3 6 = а 3 = 36 а

25 Осталось найти площадь искомой фигуры: S = S тр S кр = Ответ: S = а (3 3 a 3 ) - а а (3 3 = ) 5

26 Содержание Тема Метод координат Основные понятия 3 Основные формулы 3 Алгоритмы и примеры их выполнения Различные задачи в координатах Уравнение окружности 6 Уравнение прямой 7 Тема Теоремы синусов и косинусов Скалярное произведение векторов Основные понятия 9 Основные формулы 0 Алгоритмы и примеры их выполнения Тригонометрические функции Решение треугольников 3 Векторы, углы 9 Тема 3 Длина окружности Площадь круга Основные понятия 3 Основные формулы 3 Алгоритмы и примеры их выполнения Содержание 7 6

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Рис.64. Итак, для острого угла А соs A= AC (16) Для тупого угла А соsa= - AC (17)

Рис.64. Итак, для острого угла А соs A= AC (16) Для тупого угла А соsa= - AC (17) 6. Косинус и тангенс. Значение синуса угла не определяет величину угла однозначно: например, если синус угла равен 0,5, то угол может быть равен и 30 о и 150 о. Вторая тригонометрическая функция угла косинус

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные.

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные. Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B,

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B, Треугольники Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами,, C (записываем треугольник C или символически C ), при этом буквы,, C обозначают как точки вершины треугольника, так и величины

Подробнее

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от 23.12.2011 813 Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее базовое образование, для получения

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач по планиметрии (В5 и В8) Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 Необходимо знать все фигуры планиметрии. А также следующие

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Геометрия ЧАСТЬ 1 (без доказательства) 1. Дайте определение вектора. Дайте определение нулевого вектора.. Дайте определение длины вектора. 3. Дайте определение

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Подготовка к ОГЭ по математике. Задание 9 раздел «Прямоугольные треугольники»

Подготовка к ОГЭ по математике. Задание 9 раздел «Прямоугольные треугольники» Все задания в ОГЭ по геометрии на тему «Прямоугольные треугольники» можно разделить на несколько типов. Ниже предлагается ознакомиться со всеми из них. 1 тип задач по теме «Прямоугольные треугольники»

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Тематическое планирование уроков по геометрии в 9 классе. 1 многоугольник, элементы многоугольника, свойства, площадь многоугольника

Тематическое планирование уроков по геометрии в 9 классе. 1 многоугольник, элементы многоугольника, свойства, площадь многоугольника Рабочая программа учебного курса по геометрии для 9 класса разработана на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного)

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

ББК я72 М52 ISBN

ББК я72 М52 ISBN ББК 22.151я72 М52 Мерзляк А.Г. М52 Геометрия : 9 класс : рабочая тетрадь 1 для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. По лонский, М.С. Якир. М. : Вен тана-граф, 2016. 112 с. : ил.

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

Рабочая программа по математике (геометрии) 9 класс

Рабочая программа по математике (геометрии) 9 класс Рабочая программа по математике (геометрии) 9 класс Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Результаты изучения курса по темам: Векторы - понятия вектора, его начала и конца, нулевого

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс Мы начинаем с известного вам геометрического определения тангенса и котангенса как отношения катетов прямоугольного

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

Часть А А1 Вас даже в Пединститут не возьмут, если Вы не сможете самостоятельно решить эту задачу. А2 Вспоминаем формулы сокращенного умножения

Часть А А1 Вас даже в Пединститут не возьмут, если Вы не сможете самостоятельно решить эту задачу. А2 Вспоминаем формулы сокращенного умножения Часть А А1 Вас даже в Пединститут не возьмут, если Вы не сможете самостоятельно решить эту задачу. А Вспоминаем формулы сокращенного умножения Ответ: 1. А3 Рассмотрим два случая Решаем уравнения и получаем

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

МАТЕМАТИКА, 5класс 6 часов в неделю, всего 204 часа. урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п.1 «Натуральные числа и шкалы» (18 уроков)

МАТЕМАТИКА, 5класс 6 часов в неделю, всего 204 часа. урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п.1 «Натуральные числа и шкалы» (18 уроков) МАТЕМАТИКА, класс часов в неделю, всего 0 часа урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п. «Натуральные числа и шкалы» (8 уроков) Дата - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8- -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

Тригонометрические функции. Синус и косинус

Тригонометрические функции. Синус и косинус И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Синус и косинус В геометрии синус и косинус определяются как функции острого угла прямоугольного треугольника. Давайте вспомним

Подробнее

Поурочное планирование по геометрии. 9 класс (Л.С. Атанасян)

Поурочное планирование по геометрии. 9 класс (Л.С. Атанасян) Поурочное планирование по геометрии. 9 класс (Л.С. Атанасян) п\п Тема а Тип а Элементы содержания Требования к уровню подготовки учащихся 1 2 3 4 5 6 1 Повторение Урок повторения и 2 Повторение Урок повторения

Подробнее

Математика Вариант для 5 класса 1. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в

Математика Вариант для 5 класса 1. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в Математика Вариант для 5 класса. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в нескольких больших палатках, по 6 человек в каждой. Сколько

Подробнее

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса.

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Центр Образования 1434 г.москвы, Физико-математический класс Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Учитель математики Друца Алексей Валерьевич

Подробнее

Все прототипы заданий В3

Все прототипы заданий В3 1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство «Тульский колледж технологий, экономики и права» ПРОГРАММА вступительных испытаний по математике

Подробнее

Предметные результаты.

Предметные результаты. Предметные результаты. В результате изучения курса геометрии 9 класс учащиеся должны: Знать/ понимать определение окружности и ее элементов; Возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности;

Подробнее

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Подробнее

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Программа вступительного испытания по математике для поступающих на бюджетную форму обучения Основные понятия

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Методическая разработка урока-практикума

Методическая разработка урока-практикума Министерство образования Московской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области «Подольский колледж имени А.В. Никулина» Методическая разработка урока-практикума

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

, а это и есть радиус окружности.

, а это и есть радиус окружности. B3 Найдите радиус окруж ности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно ( 2; 2), (6; 2), (6; 4), ( 2; 4) Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных

Подробнее

1.Планируемые результаты обучения

1.Планируемые результаты обучения .Планируемые результаты обучения Знать определения вектора и равных векторов; изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; уметь решать задачи. Уметь объяснить,

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

Рабочая программа по геометрии для 9 класса 2 часа в неделю, 68 часов за год Учебник «Геометрия 7 9» под редакцией Атанасяна Л. С.

Рабочая программа по геометрии для 9 класса 2 часа в неделю, 68 часов за год Учебник «Геометрия 7 9» под редакцией Атанасяна Л. С. Рабочая программа по геометрии для 9 класса 2 часа в неделю, 68 часов за год Учебник «Геометрия 7 9» под редакцией Атанасяна Л. С. Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса геометрии для 9

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 6 7 4 5 6 5 4 4 6 6 4 4 Решение Пользуясь свойствами арифметического

Подробнее

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Наглядная геометрия Выпускник научиться: 1) Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. Реквизиты программы: Программа министерства образования РФ по геометрии 7-9 классы: авторы Атанасян Л.С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Составитель сборника

Подробнее

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК

МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК МАТЕМАТИКА КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК Алгебра Модуль действительного числа Модулем числа называется само это число если оно неотрицательно и противоположное ему число если оно отрицательно: { Выделим несколько

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс

Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс Мы начинаем с известного вам геометрического определения тангенса и котангенса как отношения катетов прямоугольного

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Скворцова Д.А. 1.02.15 Содержание 1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ Приведем пример решения тестового задания второго уровня сложности из пособия для подготовки к тестированию, изданного Центром тестирования Министерства Образования РФ

Подробнее

Ликбез по тригонометрии

Ликбез по тригонометрии Ликбез по тригонометрии Б. А. Баев (под редакцией А. В. Пастора) Мотивация Представим, что у нас есть треугольник BC со сторонами B =, BC =, BC = 60. Из первого признака равенства треугольников (по двум

Подробнее

- его дробную часть). Вычислить 2 2

- его дробную часть). Вычислить 2 2 0 0 ( день) класс Задача ( балл) Решить неравенство,, 8, Решение Бесконечная сумма в правой части неравенства представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом b,

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач.

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач. Теорема косинусов. Теорема косинусов. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а противолежащие им углы, и (рис. 1), то выполняются следующие равенства: a b b c c a bccos ca cos c a

Подробнее

Геометрия 11 класс. Тема 1. Объёмы многогранников. Основные понятия. Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками.

Геометрия 11 класс. Тема 1. Объёмы многогранников. Основные понятия. Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками. Геометрия 11 класс Тема 1 бъёмы многогранников сновные понятия Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками Призма Призма многогранник, состоящий из двух равных n-угольников, расположенных

Подробнее

Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Блиц опрос 5 класс

Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Блиц опрос 5 класс Блиц-опрос для использования на уроке и во внеурочных занятиях. Вопросы задаются в течение 1 минуты. Блиц опрос 5 класс 1. Результат умножения называется 2. Наименьшее натуральное число 3. Знаменатель

Подробнее

МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов

МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов Тема «Векторы» 1.Назначение работы - проверить соответствие знаний, умений и основных видов учебной деятельности

Подробнее

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Подробнее

Рабочая программа. по геометрии 9 класс. Автор: Атанасян Л.С. Учитель: Пантюхина М.Е.

Рабочая программа. по геометрии 9 класс. Автор: Атанасян Л.С. Учитель: Пантюхина М.Е. Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Юговская средняя школа» Рабочая программа по геометрии 9 класс Автор: Атанасян Л.С. Учитель: Пантюхина М.Е. 2016 г. 1 1 неделя Вводное повторение

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты освоения геометрии в 9 классе 2.Содержание

Подробнее

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b ) +

Подробнее

Разбор задач по теме: «Плоская система координат».

Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Задача 1 Даны две вершины треугольника М 1 (-10;2) и М2 (6;4); его высоты пересекаются в точке Н (5;2). Определить координаты третьей вершины М3. Разметим

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел.

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел. Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Предметная область «Арифметика» Выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел на

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЛИЦ, ИМЕЮЩИХ ОБЩЕЕ БАЗОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЛИЦ, ИМЕЮЩИХ ОБЩЕЕ БАЗОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министерства образования Республики Беларусь 10.11.2006 670 ( в редакции приказа Министерства образования Республики Беларусь 08.02.2008 г. 81) ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ

Подробнее

Треугольник. 2. Задание На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Треугольник. 2. Задание На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см Треугольник 1. Задание 15 27543. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. О т в е т : 6 2. Задание 15 27544.

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее