Математика (БкПл-100)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математика (БкПл-100)"

Транскрипт

1 Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1

2 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий комбинации и перестановки объектов различного рода. Основные понятия перестановки, размещения, сочетания. Далее будем считать заданным некоторое множество из n объектов (цифр, букв, людей, предметов и т.п.). 2

3 Задачи комбинаторики С помощью комбинаторики можно ответить на следующие вопросы: 1. Сколько существует вариантов расположения заданных объектов в различном порядке? (Перестановки) Пример. Назначение трех специалистов на руководство тремя равнозначными участками работы. 2. Сколько существует вариантов расположения в разном порядке заданного числа объектов из совокупности всех имеющихся объектов? (Размещения) Пример. Сколько вариантов надо перебрать в худшем случае для подбора четырехзначного кода из различных цифр? 3. Сколько слов заданной длины можно составить из символов имеющегося алфавита? (Размещения с повторениями) Пример. Сколько символов можно закодировать последовательностью из 8 нулей и единиц? 4. Сколько вариантов выбора заданного числа объектов из совокупности всех имеющихся объектов? (Сочетания) Пример: Выбор в первом туре двух кандидатов из пяти претендентов. 3

4 1. Перестановки Опр. Перестановками называются всевозможные последовательности из всех n объектов, которые различаются только положением элементов в последовательности. Общее число перестановок: Pn n! n. Запись n! читается «эн-факториал». Свойства факториала: 1) 1!=1; 2) (n+1)!=n!(n+1); 3) 0!=1. 4

5 Примеры применения перестановок 1. Сколько вариантов расположить три объекта по трем участкам (дача; гараж; сарай)? Р 3 =3!=1*2*3= Сколько вариантов назначить 10 человек на 10 должностей (в кабинете министров)? Р 10 =10!=1*2*3*4* *10=

6 3. Сколько вариантов расположения (в театре) 4-х человекна4 свободных места? Р 4 =4!=1*2*3*4=24. 6

7 2. Размещения Опр. Размещениями называются упорядоченные комбинации k различных объектов из n (n >k). Общее число размещений: A k n ( n n! k)! n ( n 1)... ( n k 1). Пример: 1. Сколько вариантов кода из 2-х (4-х) различных цифр? 2 10! 10! Решение: A ; (10 2)! 8! A ! (10 4)! 10! 6!

8 Опр. Размещениями с повторениями называются упорядоченные комбинации k элементов (любых) из n. Общее число размещений с повторениями: k A k n n. Примеры: 1. Сколько вариантов кода из 2-х (4-х) любых цифр? Решение: A A ;

9 3. Сочетания Опр. Сочетаниями называются комбинации (без упорядочения) k объектов из n (n >k). Общее число сочетаний: Примеры: 1. Найти кол-во вариантов выбора 2-х человек из 3-х (A, Б, В) для назначения премии. Решение: АБ АВ ВБ C C k n 3! 2!(3 n! k!( n 2)! k. )!

10 2. Найти кол-во выбора 6 чисел из 36 (в лотерее): Решение: C ! 6!(36 6)!

11 Функции в Excel Название Формула Функция Перестановки n! ФАКТР(n) Размещения (без повторения) n* (n-1) * (n-m+1) ПЕРЕСТ(n;m) Размещения (с повторениями) n k n^k Сочетания n!/(m!*(n-m)!) ЧИСЛКОМБ(n;m) 11

12 Задачи на использование формул комбинаторики Имеется группа студентов, в которой 10 человек изучают английский язык и 12 человек - французский. 1) Сколькими способами можно составить группу из 5 человек, изучающих один и тот же язык? (ИЛИ - варианты складывать!) 2) Сколькими способами можно составить группу из 5 человек, в которой три изучают английский и два - французский? (И - варианты перемножать!) В этих примерах неважен порядок фамилий - использовать сочетания! 12

13 Тема: Основные понятия ТВ 1. Предмет ТВ Теория вероятностей (ТВ) раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. Предмет ТВ математические модели случайных явлений (случайных событий). Цель ТВ осуществление прогноза в области случайных явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. 13

14 Опр. Событие результат наблюдения или опыта. Опр. Случайное событие событие, наступление которого мы не можем в точности предвидеть из-за незнания причин, вызывающих его, или невозможности считаться со всеми причинами. Примеры (случайных событий): 1. Длительность произвольного разговора по телефону. 2. Кол-во присутствующих на лекции. 3. Результат бросания игральной кости. 4. Точное кол-во голосов «за» некоторого кандидата на выборах. 14

15 Можно ли изучать случайные события? Если рассматривать случайные события в совокупности, при их массовом повторении, то можно наблюдать определенную закономерность. Примеры (классические): 1. Подбрасывание монеты. 2. Извлечение шара из ящика с одинаковым количествомчерныхибелыхшаров. 15

16 Относительная частота имеет конечный предел: m lim h lim n p. n n n n Это число р - вероятность события А. Опр. Вероятность события количественная оценка степени объективной возможности этого события, теоретическая частота осуществления события. Примеры: 1. Р(выпадение герба)=1/2. 2. Р(извлечение белого шара)=1/2. 16

17 2. Операции над событиями Сумма Опр. Суммой двух событий A+B называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A или B. Произведение Опр. Произведением двух событий AB называется событие, состоящее в том, что произошли оба события A и B. Обозначения: событие, которое происходит заведомо (то есть всё, что возможно) называется достоверным. событие, которое не происходит никогда называется невозможным. 17

18 3. Классификация событий Опр. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого (АВ=). В противном случае события называются совместными (АВ). Опр. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными: A A A A. Опр. Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них: А+В+С=. Опр. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами: А+В+С= иавс=. и 18

19 Опр. Элементарные события все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта. В результате опыта обязательно происходит одно итолькоодноизэлементарныхсобытий. Примеры: 1. Бросание кубика: Е i ={выпадение i-очков}. 2. Бросание монеты: Е 1 ={выпадение герба} ие 2 ={выпадение решки}. 19

20 Опр. Составные события события, которые появляются при наступлении хотя бы одного из нескольких определенных для него элементарных событий. Пример: A={выпало четное число очков} A={Е 2, Е 4, Е 6 }. Опр. Равновозможные события, если появление какого-либо события из них не более возможно, чем появление любого другого из них. Обычно принято выбирать элементарные события так, чтобы они были равновозможными! 20

21 4. Классическое определение вероятности Опр. Если общее число элементарных событий в данном опыте конечно и все они равновозможны, то вероятность события А вычисляется по формуле: m PA ( ), n где n число всех исходов опыта, m-число всех тех элементарных исходов опыта, при которых наступает событие А (т.е. число благоприятствующих исходов). 21

22 Свойства вероятности: 1. 0 P( A) 1 A; 2. P( ) 1; 3. P( ) 0. 22

23 5. Основные теоремы Теорема (сложения вероятностей). 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B). 2. Вероятность суммы произвольных событий: P(A+B)=P(A)+P(B)-Р(АВ). 23

24 Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: Р(А)+Р(В)+Р(С)=Р()=1. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P( A) P( A) P( ) 1. Следствие 3. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле: Пример: P( A) 1P( A). Вероятность не сдать зачет по предмету для некоторого студента равна 0,8. Какова вероятность сдать зачет? PA ( ) 1 PA ( )

25 Формулы условных вероятностей: Опр. Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В: Р А (В) или Р (В/А). P( AB) P( B/ A) ; P( A) P( AB) P( A/ B) ( P( A), P( B) 0). P( B) Опр. Событие В называется независимым от события А, если P(B/A)=P(В); событие В называется зависимым от А, если P(B/A)P(В). Опр. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. 25

26 Теорема (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло: P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A/ B). Правило умножения вероятностей для независимых событий: P( AB) P( A) P( B). 26

27 6. Формула полной вероятности Теорема (формула полной вероятности). Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) H 1, H 2,,H n, образующих полную группу, тогда n ( ) ( ) ( / ). PA PH PA H i i i1 27

28 7. Схема Бернулли На практике часто возникают задачи, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа наступлений некоторого события вэтихиспытаниях. Примеры: 1. n раз подбрасывают монету; A={выпал герб}; P(B={3 раза выпал герб}) выстрелов; A={попадание в мишень} ; P(B={4 попадания из 5 выстрелов}). 28

29 Определение схемы Бернулли Пусть в результате некоторого опыта (испытания) может появиться событие A c вероятностью p. Этот опыт повторяется в одинаковых условиях n раз. Вероятности наступления события А вкаждом из этих испытаний одни и те же, и исход любого испытания не зависит от результатов других испытаний. Такую последовательность независимых испытаний с двумя исходами (появление А, непоявление А) называют схемой Бернулли. 29

30 Обозначим через Р n (k) вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз. Теорема (формула Бернулли). Вероятность Р n (k) в схеме Бернулли определяется по формуле: k k nk Pn ( k) Cn p q, где q 1 p. 30

31 8. Наивероятнейшее число Опр. Наивероятнейшим числом всхеме Бернулли называется число k 0 наступлений события А в n испытаниях, если Р n (k 0 ) Р n (k) (k=0, 1,, n). (вероятность этого события больше либо равна вероятностей всех остальных событий). 31

32 Теорема. Наивероятнейшее число k 0 определяется из неравенства: np-q k 0 np+p, причем если np+p нецелое, то существует одно наивероятнейшее число k 0 ; если np+p целое, то существует два наивероятнейших числа k 0 = np+p и k 0-1= np -q. 32

33 Задание. Вероятность опоздания на лекцию одного студента равна 0,3. Найти наивероятнейшее число опоздавших из 10 человек и вычислить вероятность этого числа. 33

34 Ответ: P (3) C *0.027*

35 Контрольные вопросы Комбинаторика 1. Определение и формула перестановок. 2. Определение и формула размещений. 3. Определение и формула размещений с повторениями. 4. Определение и формула сочетаний. Введение в ТВ 1. Что называется случайным событием? 2. Общее понятие вероятности события. 3. Дать определение суммы и произведения двух событий. 4. Достоверное и невозможное событие, их обозначения. 5. Классификация событий (совместные/несовместные, противоположные, единственно возможные, полная группа). 6. Элементарные и составные события, равновозможные события. 35

36 Контрольные вопросы (продолжение) 7. Классическое определение вероятности. 8. Три основных свойства вероятности. 9. Теорема сложения вероятностей. 10. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? полной группы событий? 11. Определение условной вероятности; события зависимые и независимые. 12. Теорема правило умножения вероятностей. 13. Формула полной вероятности. 14. Определение схемы Бернулли. 15. Теорема формула Бернулли. 16. Определение и формула наивероятнейшего числа. 36


Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Д.ф.-м.н., профессор Михаил Павлович Харламов Введение в теорию вероятностей УЗ-100 2011-2012 учебный год 2-й семестр 1 Тема: Комбинаторика Это раздел математики, изучающий комбинации и перестановки объектов

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

2. Действия над событиями

2. Действия над событиями Ответы 1.10. 14 17 = 238. 1.11. A 5 12 = 95040. 1.12. A3 7 = 7 3 = 343. 1.13. 6. 1.14. 4536. 1.15. 1120. 1.16. 720. 1.17. 125. 1.18. 165. 1.19. а) 126; б) 15. 1.20. P(4, 5, 6) = 630630. 1.21. а) P 4 =

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Кафедра высшей математики. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Кафедра высшей математики Лекции по теории вероятностей и математической статистике Раздел. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей изучение специфических закономерностей в массовых однородных

Подробнее

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1,, ; кроме того,

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Схема Бернулли.

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Схема Бернулли. Лекция 5 Тема Схема Бернулли. Содержание темы Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Биномиальная случайная величина. Основные категории бином Ньютона, схема

Подробнее

Перейти на страницу с полной версией»

Перейти на страницу с полной версией» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания

Теория вероятностей. (введение) Часть 1. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Теория вероятностей (введение) Часть 1 Методические

Подробнее

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема

Теория вероятностей. Лекция 1 Случайные события Классическая схема Теория вероятностей Лекция 1 Случайные события Классическая схема 1 Литература Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Айрис-пресс,

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский

Теория Вероятностей и Математическая Статистика. Ю. Л. Калиновский Теория Вероятностей и Математическая Статистика Ю. Л. Калиновский Введение Элементы комбинаторики Урновые схемы. События и операции над ними Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.

Подробнее

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Теория вероятностей и статистика класс Используемые учебные пособия: Учебник: Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика. М., МЦНМО: ОАО

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://inter.vags.ru/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ

Подробнее

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

Подробнее

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности. Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., H n, обладающая следующими свойствами: 1) Все события попарно несовместны: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Их объединение образует

Подробнее

Предмет теории вероятностей. Историческая справка

Предмет теории вероятностей. Историческая справка Лекция 1. Тема: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Историческая справка Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Методическая разработка открытого занятия по общеобразовательной учебной дисциплине МАТЕМАТИКА

Методическая разработка открытого занятия по общеобразовательной учебной дисциплине МАТЕМАТИКА ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ 50» (ГБПОУ ПК 50) Методическая разработка открытого занятия

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Учебное пособие Для студентов -го курса экономических специальностей Первый триместр Москва 0 С.Н. ОВСЯННИКОВА КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Интернет-ресурс с методическими материалами http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал

Подробнее

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ

Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ Лекция 1. Комбинаторные формулы и определения вероятности ВВЕДЕНИЕ СТОХАСТИКА СЕГОДНЯ. Начиная со второй половины прошлого века наблюдается все более возрастающий интерес к теории вероятностей, математической

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4 ЧАСТЬ 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Лекция 4 НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МУАВРА ЛАПЛАСА И ПУАССОНА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие независимого испытания и

Подробнее

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Вероятность. достоверные. случайные

Вероятность. достоверные. случайные 1 Вероятность Обработка экспериментальных данных происходит с помощью различных методов. Обычно исследователь, получив данные эксперимента на одной или нескольких группах испытуемых и определив по ним

Подробнее

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения.

1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? 1-й способ решения. 1) Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, у которых только две цифры меньше пяти? Цифр, меньших 5, всего пять: { 0; 1; 2; 3; 4 } Остальные пять цифр не меньше 5: { ; ; ; ; } 1-й способ решения

Подробнее

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения.

Распределение числа успехов (появлений события A) носит название биномиального распределения. 1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Подробнее

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи».

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». 11 класс Учитель математики Переверзьева Н.С. МОУ Лицей 6 Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 Аксиомы теории вероятностей Различные события можно классифицировать следующим образом: ) Невозможное событие событие, которое не может произойти ) Достоверное событие

Подробнее

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ

Лекция 2 Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Подробнее

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2).

Лекция 10 ТЕМА. Основы теории вероятности (часть 2). Лекция 10 ТЕМА Основы теории вероятности (часть 2). Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Основные определения теории

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Подробнее

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20

=n! n!= n - произведение натуральных чисел от 1 до n. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? 5! =20 Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. Элементы комбинаторики Комбинаторика раздел математики, изучающий методы решения задач, связанных с выбором и расположением элементов какого-либо множества, в соответствии

Подробнее

Комбинаторные формулы

Комбинаторные формулы Комбинаторные формулы Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U n. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве U n. Примеры перестановок: 1)распределение

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

Случайные события Действия над событиями

Случайные события Действия над событиями TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Лекция 1 Случайные события Действия над событиями Õppejõud: I. Gusseva ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Введение Tеория вероятностей занимается

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Теория вероятностей План лекции П. 1. О т ео р и и в е ро я тн о с т е й к ак н ау ке Теорию вероятности Задача теории вероятностей

Теория вероятностей План лекции П. 1. О т ео р и и в е ро я тн о с т е й к ак н ау ке Теорию вероятности Задача теории вероятностей Теория вероятностей План лекции П О теории вероятностей как науке П Основные определения теории вероятностей П Частота случайного события Определение вероятности П 4 Применение комбинаторики к подсчету

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Обязательный образовательный минимум

Обязательный образовательный минимум Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть II 1 Числовая последовательность Числовая последовательность a 1, a 2, a 3,, a n, это упорядоченный набор чисел. a 1 называют первым

Подробнее

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента

I. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 1.1 Вероятностный эксперимент. Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента I Определение вероятности и основные правила ее вычисления Вероятностный эксперимент Предмет теории вероятностей Результаты эксперимента зависят в той или иной степени от комплекса условий, при которых

Подробнее

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...

ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Подробнее

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс

Примеры контрольных и самостоятельных работ по теории вероятностей для учащихся 8 классов. 8 класс 8 класс Данные контрольные и самостоятельные работы рассчитаны для планирования курса теории вероятностей и статистики в количестве 34 часов в год по учебнику [1]. Планирование курса предложено в методическом

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Основы теории вероятностей Лекция 2

Основы теории вероятностей Лекция 2 Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Подробнее

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080.

ТЕМА 1. Комбинаторика. Вычисление вероятностей = 4080. ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Подробнее

ϕ обычно приводится в задачниках Теории Свойства функции ϕ(x): > 0

ϕ обычно приводится в задачниках Теории Свойства функции ϕ(x): > 0 Локальная теорема Лапласа Пусть проводится n испытаний Бернулли с вероятностью р появления события А в каждом из них. Пусть при этом n достаточно большое число (n >> и (n большое, а р не очень маленькое

Подробнее

Тема 33 «Вероятности событий»

Тема 33 «Вероятности событий» Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Подробнее

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен

Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ. Текст исправлен и дополнен Н. Г. ТАКТАРОВ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: КРАТКИЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕНИЯМИ Текст исправлен и дополнен АННОТАЦИЯ Книга является учебным пособием в котором кратко просто и доступно

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Ю В Щербакова Данная книга представляет собой полный конспект лекций по курсу «Теория вероятности и математическая статистика» Предназначена

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли

Схема независимых испытаний. Повторные испытания Бернулли Схема независимых испытаний Повторные испытания Бернулли 1 Схема независимых испытаний Предположим, что производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

1.5. Вероятность события в статистической формулировке

1.5. Вероятность события в статистической формулировке Лекция 2 Цель лекции приступить к изучению свойств вероятностей План лекции 1.5 Вероятность события. Статистическая формулировка 1.6 Аксиомы теории вероятностей 1.7 Основные свойства вероятности событий

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный социально-экономический университет»

Подробнее

Элементы теории вероятности

Элементы теории вероятности Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

Подробнее

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1

2) если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A 1 + A A k )= P(A 1 )+ P(A 2 )+ + P(A k )=1 13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ В.

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основным понятием естествознания является понятие эксперимента, независимо от него, осуществляет этот эксперимент природа или исследователь Условно будем считать, что эксперимент

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

С k n = n! / (k! (n k)!)

С k n = n! / (k! (n k)!) ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Рассмотрим некоторый стохастический эксперимент, который будем называть испытанием. Среди исходов этого испытания будем различать

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ. КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА. ДЖАМАНБАЕВ М.Дж.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ. КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА. ДЖАМАНБАЕВ М.Дж. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.РАЗЗАКОВА ДЖАМАНБАЕВ М.Дж. КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ КОНТРОЛЬНЫЕ

Подробнее