МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

2 Интуитивно представление о числовой последовательности связано с представлением о наличии бесконечного числа мест, занумерованных натуральными числами,,,,, и т.д. на которых расставлены действительные числа, причём некоторые из них (и даже все) могут быть одинаковы. Невозможно перечислить все члены последовательности, хотя, имея в виду под член последовательности, стоящий на м месте, мы часто записываем последовательность в виде,,,,,. Для того, чтобы задать последовательность, нужно каждому натуральному числу сопоставить действительное число. Таким образом, представляется естественным дать следующее Определение: Бесконечной числовой последовательностью называется функция f, отображающая по некоторому закону множество N натуральных чисел в множество R действительных чисел. Обозначая f ( ), f ( ), f ( ),, f ( ),, всю последовательность f будем обычно записывать ( ) ; число называют -м членом последовательности, натуральное число его номером. Как уже говорилось, значения f при различных не обязательно различны. Чаще всего (хотя и не обязательно!) последовательность ( ) задаётся формулой её общего члена, позволяющей по номеру сразу находить значение. Например, последовательность, 4, 9, 6, 5, 6, 49, можно задать формулой, последовательность,,,,, - 4 5

3 формулой ( )., последовательность,,,,,,, Рассмотрим теперь поведение некоторых последовательностей при неограниченном возрастании.. Сходимость последовательности к нулю... Пример. Возьмём последовательность,,, 4,, общий член которой задается формулой. Мы видим, что точки ; ; 4 6 ; по мере возрастания номер располагаются все ближе и ближе к точке 0. При этом какое бы положительное число мы ни взяли, в интервал между числами 0 и попадут все точки последовательности ( ) как только их номер будет больше некоторого числа M, зависящего от M будут выполняться неравенства 0. Например, если 0 00 таком что 00. Это значит, что при всех, то неравенства или выполняются при всех 50. Таким образом, для можно взять M 50 и получить, что при любом, M, выполняются неравенства 0.

4 Аналогично можно взять любое другое положительное число, например, если, то неравенство выполняется при всех. Таким образом, для 6 6 можно взять M и получить, что при всех таких, что M, выполняются неравенства 0. Точно так же можно провести рассуждение для каждого положительного числа. Учитывая отмеченную особенность, говорят, что последовательность,,, сходиться к нулю 4 6 или имеет предел, равный нулю, и пишут lim 0. Прочитать эту запись можно так: «предел эн равен нулю при эн, стремящемся к бесконечности». Пример. Возьмем теперь геометрическую прогрессию b ; b ; b ; b 4 ; 4 8 Точки b, b, b, по мере возрастания номера также располагаются все ближе и ближе к точке 0, но уже с двух сторон: то слева, то справа. Геометрически это означает, что какое бы положительное число мы ни взяли, в интервал ; попадут все точки последовательности ( b ) c номерами, большими некоторого подходящего числа M, зависящего от. Это значит, что для этого числа M при всех выполняться неравенства b. M будут 4

5 Например, если, то b при всех , так как тогда Поэтому при всех 0 выполняются неравенства b Таким образом, для можно взять M 0 и 000 получить, что при любом таком, что > M, выполняются неравенства b. Аналогично можно рассмотреть произвольное положительное число, и для него найти подходящее M, что при любом M, выполняются неравенства b. И в этом случае также говорят, что последовательность b ; b ; b ; 4 сходиться к нулю, то есть lim b 0. b 4 ; 8.. Оба примера последовательностей удовлетворяют следующему общему определению сходимости числовой последовательности к нулю. Последовательность положительного числа сходится к нулю, если для каждого найдется такое число М, зависящее от числа, что для всех номеров таких, что M, выполняются неравенства. Когда последовательность ) сходится к нулю, говорят также, что она имеет предел, равный нулю, и записывают в виде lim 0. ( 5

6 Вопрос. Какое число М при k 900 можно взять для последовательности с общим членом, чтобы при 0 любом M выполнялось неравенство 6? k.. Сходимость последовательности ( ) к нулю геометрически означает следующее: для каждого положительного числа интервал (- ; ) числовой прямой содержит все члены последовательности, номера которых больше некоторого числа М, зависящего от. Это условие для каждого неравенства которое выполняется при >М. записывается в виде двойного, Это же условие можно записать в виде одного неравенства выполняющегося при M. <, Следовательно, определение сходящейся к нулю последовательности можно записать в таком виде: Последовательность ( ) сходится к нулю, если для всякого положительного числа найдется такое число М, что для всех номеров, таких, что > М, выполняется неравенство а <. Приведем несколько новых примеров. ( ) Пример. Пусть. Тогда 0 при нечетном 0000 и при четном. Хотя число очень малое,

7 но считать нуль пределом последовательности,,,, нельзя. Действительно, возьмем число, 0000 и в интервал (- ; ), то есть в интервал. Тогда 500 ; , не попадут все члены последовательности с четными номерами:, 4, 6,. Это значит, что какое бы число М мы ни взяли, все члены последовательности ( ) с номерами M не могут входить в интервал ; , то есть последовательность ( ) не удовлетворяет определению сходимости к нулю. Пример 4. Рассмотрим последовательность ( ), где Начальные члены этой последовательности выглядят так: 0000; 5000; ; 500; 000; 666 ; и являются довольно большими числами. Тем не менее, последовательность сходится к нулю. Действительно, возьмем, например, число 00 и решим неравенство а < или 0000 < 00. Получаем 0 6. Это 7

8 значит, что если мы возьмем М = 0 6, то при всех M будет выполняться неравенство а < Аналогично для каждого положительного числа, можно найти такое число М, что а < при всех M. Для этого достаточно решить неравенство Следовательно, если взять а < или M будет, выполняться неравенство а <. M 0000 <, откуда 0000, то при всех Мы показали, что для последовательности ( ), где 0000, выполняются условия, записанные в определении сходимости к нулю. Вопрос. Известно, что lim 0. Может ли миллионный член этой последовательности оказаться равным миллиону?.4. Посмотрим еще раз на приведенные примеры последовательностей. Последовательность с общим членом сходится к нулю. Это значит, что если нас интересуют члены последовательности, которые, например, с точностью до 0,0 приблизительно равны нулю, то такими будут все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера. Действительно, неравенство а <0,0 или 8 <0,0

9 выполняется при всех 50. Можно рассмотреть другую точность, например, до число М, например, М = Но и в этом случае найдется такое 7 0, что при всех M члены можно считать равными нулю с выбранной точностью. Аналогично можно рассмотреть любую другую точность приближения. ( ) Последовательность с общим членом также сходится к нулю. Если нас интересуют члены этой последовательности, которые, например, с точностью до можно считать приблизительно равными нулю, то начиная с некоторого номера такими будут все члены последовательности. Действительно, при любом натуральном k число больше k. Поэтому если мы возьмем М = 0 8, то при любом > k будет иметь ( ) а = = < 8. Следовательно, 0 каждое такое число равным нулю. с точностью до 8 0 можно считать Аналогично можно рассмотреть всякую другую точность Последовательность с общим членом также сходится к нулю. Начальный член этой последовательности нельзя считать близким к нулю. Тем не менее с любой 9

10 выбранной точностью, начиная с некоторого номера, все члены этой последовательности можно считать равными нулю. Действительно, рассмотрим, например, неравенство 0 а < или <0. Это неравенство выполняется при всех 5 0. Поэтому каждое число при > 0 5 можно считать приблизительно равным нулю с точностью до 0. Аналогично можно рассмотреть всякую другую точность. Рассмотрим теперь последовательность ( ), ( ) ( ) Все члены этой последовательности можно считать приблизительно равными нулю, если нас интересует точность до, до, до. Однако, если находить члены этой последовательности с точностью до последовательности, , , то члены , и любой другой член последовательности с четным номером уже нельзя считать приближенно равными нулю с указанной точностью. Таким образом, сходящиеся к нулю числовые последовательности выделяются свойством: Для всякой указанной точности, начиная с некоторого номера, все члены этой последовательности можно считать равными нулю.

11 Вопрос. Начиная с какого номера члены последовательности 0, ; 0, ; 0, ; приближенно равны нулю с точностью до 0-4?.5. Запись действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей позволяет иначе определить понятие сходящейся к нулю последовательности. Последовательность ( ) сходится к нулю, если для каждого натурального m найдется такое число K, что при всех запятой. K числа х равны нулю с точностью до m цифр после Иными словами, последовательность ( ) сходится к нулю, если с некоторого номера 0 целые части всех чисел х равны нулю; с некоторого номера целые части и первые цифры после запятой всех чисел х равны нулю; с некоторого номера целые части и первые две цифры после запятой всех чисел х равны нулю; и так далее. Таким образом, сходящиеся к нулю числовые последовательности обладают тем свойством, что для всякой наперед указанной точности все члены последовательности с достаточно большими номерами можно с этой точностью считать равными нулю. Вопрос. Может ли миллионный член последовательности ( ) оказаться равным миллиону, если известно, что lim 0?

12 .6. Если последовательность ( ) сходится к нулю, то ее иногда называют бесконечно малой. Например, последовательность можно назвать бесконечно малой, так как в начале параграфа было доказано, что lim 0. Приведём ещё один пример бесконечно малой последовательности. Рассмотрим последовательность ( ), заданную формулой =. Пусть произвольное положительное число. Двойное неравенство выполняется для тех и только тех, для которых, откуда. Таким образом, для любого 0 найдется такое число M, что как только номер M <. Следовательно, lim 0. Вопрос. Как доказать, что если бесконечно малая, то b также бесконечно малая?. Свойства бесконечно малых.. Бесконечно малые последовательности обладают свойствами, которые часто используются. Рассмотрим следующее свойство. Пусть и бесконечно малые. Тогда их сумма ( ) также бесконечно мала.

13 Часто это свойство формулируют по-другому. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Пример. Возьмем бесконечно малые, ( ). Тогда по свойству из данного пункта переменная ( ) также бесконечно мала. Вопрос. Как доказать, что 5 есть бесконечно малая, если известно, что ( ) бесконечно малая?.. Рассмотрим доказательство утверждения, что сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Доказательство. Пусть lim 0, lim 0. Для доказательства того, что последовательность ( ) сходится к нулю, надо показать, что эта последовательность удовлетворяет определению сходимости к нулю, то есть для каждого положительного числа требуется найти такое число M, что неравенство выполняется при всех M. Сначала возьмем такое число M, что < при всех M. Число M существует, так как lim 0. Затем найдем такое число M, что при всех M. Число M существует, так как lim 0. Если теперь в качестве M взять наибольшее из чисел M и M, то при всех выполнены неравенства: + < + =. M будут

14 В итоге показано, как для каждого 0 выбрать зависящее от число M так, что неравенство < выполняется при всех M, что и требовалось для доказательства сходимости последовательности ( ) к нулю. Вопрос. Как доказать, что разность двух бесконечно малых также бесконечно мала?.. Последовательность, называется ограниченной, если найдется такое число С, что С при всех натуральных. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей обладает следующим свойством. Пусть бесконечно малая, а ) - ограниченная ( последовательность. Тогда их произведение бесконечно малая. Это свойство может сформировать короче. также Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Пример. Переменная при всех. Зная, что ограничена, так как бесконечно малая, заключаем, что y тоже бесконечно малая. Вопрос. Пусть бесконечно малая последовательность, а c число. Как доказать, что произведение c также бесконечно мало? 4

15 .4.* Докажем, что произведение бесконечно малой последовательности и органичной последовательности является бесконечно малой последовательностью. Доказательство. Пусть lim 0 и известно, что для всех номеров. Возьмем произвольное положительное число. Зная, что последовательность сходится к нулю, найдем число M такое, что при всех M. Тогда при C всех M выполняются также неравенства: C C. C В итоге показано, что для каждого числа 0 найдется зависящее от число M, такое, что неравенство выполняется при всех M. Поэтому lim 0. Вопрос. Как доказать, что если последовательность сходится к нулю, то для каждого числа 0 можно найти такое число M, что неравенство выполняется при всех M?.5. Приведем так называемую теорему о пределе промежуточной последовательности для бесконечно малых. Пусть ( ) и ( ) бесконечно малые последовательности, причем C для всех номеров M 0, где M 0 некоторое число. Тогда также бесконечно малая. Пример. Рассмотрим последовательность с общим членом si. Так как si, то для каждого справедливы неравенства si. 5

16 Переменные и бесконечно малые, а поэтому si также бесконечно малая, то есть lim 0. Вопрос. Пусть при всех K. Как доказать, что если бесконечно малая, то также бесконечно малая?.6.* Докажем теорему, сформулированную в пункте.5. Доказательство. Пусть lim 0, lim 0 и известно, что при всех M 0, где M 0 некоторое число. Возьмем произвольное положительное число. Сначала для последовательности ( ) выберем число M такое, что при всех M. Затем для последовательности ( ) выберем число M такое, что при всех M. Если теперь в качестве M взять наибольшее из чисел M 0, M, M, то при всех M будут выполнены неравенства, откуда. В итоге доказано, как для каждого положительного числа найдется зависящее от число M, такое, что неравенство выполняется при всех M. Поэтому lim 0. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена. Вроде бы понятно, что для очень больших член этой последовательности становится все меньше и все больше приближается к 0. Однако если мы пойдем по уже знакомому нам пути и начнем определять для каких 6

17 будет выполняться неравенство 7, то нам нужно будет решать квадратное неравенство ( ) 0. Вместо этого заметим, что, и 0 воспользуемся только что доказанной нами теоремой о пределе промежуточной последовательности: 0, бесконечно малые последовательности. Поэтому ( ) бесконечно малая. Вопрос. Как доказать, что lim 0?!.7. Полезным является следующее свойство бесконечно малых. Пусть ненулевое число, и, бесконечно малые, причем сумма + не обращается в нуль ни при каком. Тогда величина бесконечно малая. Для иллюстрации этого свойства можно воспользоваться предыдущим примером, но мы возьмем более сложную последовательность. Пример 4. Пусть равенства: и Справедливы 8 5, где. Из предыдущих свойств

18 бесконечно малых следует, что и бесконечно малые. Поэтому также бесконечно малая. Вопрос. Как показать, что последовательность с общим членом сходится к нулю? 4.8. На примере q 0, 99 покажем, что lim q Выражение 99 q 99 откуда. Так как q 0 q следует, что 0 q. можно представить в виде. Применив неравенство Бернулли, получим 99, 99, то из полученного неравенства 99 Переменные 0 и b являются бесконечно малыми, а для всех натуральных выполняются неравенства q b. По свойству из пункта.5 следует, что q бесконечно малая, то есть lim q 0. Вопрос. Как доказать, что lim q 0 при q 0, 99?.9. Перечислим основные свойства бесконечно малых и примеры бесконечно малых, которые в дальнейшем будут часто встречаться.. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.. Произведение бесконечно малой и ограниченной переменной является бесконечно малым.. При умножении бесконечно малой на фиксированное число получается бесконечно малая. 8

19 4. Если, бесконечно малые и при всех K, то бесконечно малая. 5. Бесконечно малая величина ограничена. 6. Если 0 ; бесконечно малая; 0 для всех номеров, то ограниченная величина. 7. Если 0 ;, бесконечно малые; 0 для всех номеров, то величина бесконечно малая. 8. Последовательности,,, сходятся к нулю. 9. Последовательности,, 4, сходятся к нулю. 0. Если q, то последовательность ( q ) сходится к нулю. ( ) Вопрос. Как доказать, что lim 0?. Предел последовательности.. Рассмотрим последовательность с общим членом. Она образуется как последовательность чисел,, 4, 4 5 и так далее. Если изобразить их на числовой прямой, то легко заметить, что они располагаются все ближе и ближе к единице. Рассмотрим разность между членами последовательности ( ) и единицей. Последовательность с общим членом 9

20 имеет своим пределом нуль, так как для любого положительного числа неравенство выполняется для всех. Поэтому естественно считать число пределом данной последовательности ( ). Всякое другое число, не равное, уже не может быть пределом этой последовательности. Общее определение предела последовательности следующее: Число а называется пределом последовательности ( ), если последовательность ( ), где, сходится к нулю. В том случае, когда число является пределом последовательности ( ), используют запись lim. Если последовательность ( ) имеет предел, то также говорят, что она сходится к числу, и пишут: при, что читается так: эн стремится к при эн, стремящемся к бесконечности. Для сходящейся последовательности только одно число может быть ее пределом. Вопрос. Какой предел имеет последовательность 0,9 ; 0, 99 ; 0, 999 ;? 0

21 .. Сходимость последовательности ( ), где, к нулю означает, что для всякого положительного числа найдется такое число M, что для всех неравенство, то есть M выполняется () Условие () можно переписать в виде. () Прибавив ко всем частям этих неравенств число, получаем. () Таким образом, из условия () получено условие (). Если в условии () во всех частях неравенства вычесть число, то в результате получим условие (), а затем и условие (). Это означает, что условия () и () эквивалентны. Геометрически сходимость последовательности,,,, к числу означает, что для любого натурального числа интервал ; содержит все члены последовательности с номерами, большими числа M, зависящего от. Рассмотрим еще несколько примеров. Пример. Покажем, что последовательность с общим членом сходится к.

22 Положим. Тогда,. Если взять произвольное положительное число неравенство или, то выполняется для всех, то есть при всех. Следовательно, lim 0, откуда lim. Пример. Покажем, что последовательность с общим ( ) членом сходится к 4. Так как то ( ) ( ) 4, ( ) ( ) 4 4. Получаем уже знакомую нам последовательность из примера. Поэтому lim 4. Пример. Покажем, что последовательность с общим 0000 членом сходится к. Так как 0000, то рассмотрим разность

23 b Получаем последовательность из примера 4. Поэтому lim b 0, откуда lim. Вопрос. Как доказать, что если lim, то lim ( )?.. Пусть известно, что при. Тогда разности стремятся к нулю при. Поэтому для любой выбранной точности, начиная с некоторого числа M, все разности при M можно считать приблизительно равными нулю с такой точностью. Это значит, что сами члены последовательности при равными числу. Например, для последовательности M можно считать приближенно 0,; 0,; 0,; имеем 0,; 0,0; 0,00; ; Отсюда следует, что с точностью до 0, все члены последовательности приближенно равны ; с точностью до 0,0, начиная со второго, все члены приближенно равны ;

24 с точностью до 0, 00, начиная с третьего, все члены последовательности приближенно равны, и так далее. Вопрос. Начиная с какого номера члены последовательности ( ) с точностью до 0, 00 равны нулю?.4. Рассмотрим сумму сходящихся последовательностей. Справедлива следующая теорема. Пусть b lim, lim b. Тогда последовательность имеет предел, равный b. b Доказательство. По условию c, b b d бесконечно малые. Поэтому b b b b c d бесконечно малая как сумма двух бесконечно малых. Следовательно, lim ( b ) b. Доказанную теорему кратко записывают в виде: lim ( b ) lim lim b. lim Пример 4. lim lim ( Вопрос. Как доказать, что ) lim ( b lim ) lim 0. lim b, если ( ) и ( b ) сходящиеся последовательности? 4

25 .5. В этом пункте рассмотрим теорему о пределе произведения. Пусть lim, lim b. Тогда последовательность b ( b ) имеет предел, равный b. Доказательство. Пусть, c b b d. По условию c и d бесконечно малые. Поэтому b b ( c ) ( b d ) b d и b d bc cd b d bc cd. Переменные bc бесконечно малые; переменная d ограничена, как сходящаяся к нулю, поэтому c d бесконечно малая; сумма d bc c d бесконечно малых также бесконечно малая. Следовательно, b b бесконечно малая и, по определению, lim b b. lim Сокращенно доказанную теорему записывают в виде: Пример 5. 4 lim Вопрос. Пусть lim lim b lim lim b. lim lim lim. Как доказать, что lim 7.6. Рассмотрим, наконец, теорему о пределе частного. 7?. 5

26 Пусть lim, lim b, причем b 0 при всех и b b 0. Тогда последовательность b также имеет предел, равный b. Сокращенно это утверждение записывается так: lim lim, lim b 0 b lim b Доказывать эту теорему мы не будем. 7 lim 5 Пример 6. lim 7 lim 5 lim 7 где. : lim Вопрос. Чему равен предел последовательности если lim, причем для всех N? 5 7 : z,.7. Одна из самых важных теорем в теории пределов теорема о пределе промежуточной последовательности. Пусть lim lim b и c b при всех K, где K некоторое число. Тогда последовательность c также имеет предел, равный. 6

27 Доказательство. Так как последовательности ( ) и ( b ) сходятся к числу, то, y b, где ) и y ) ( ( бесконечно малые. Из неравенства c b вытекают неравенства c y, c y, которые выполняются при всех K. На основании теоремы о промежуточной последовательности для бесконечно малых получаем, что разность z c бесконечно малая, а поэтому lim. c Пример 7. Пусть. Тогда Следовательно, ( )( ). 0 y при всех. Так как lim lim 0 0, lim y lim 0, то по теореме о пределе промежуточной последовательности lim 0. Пример 8. Рассмотрим последовательность с общим членом c. Сделаем преобразования: c. 7

28 Для выражения неравенства при натуральных можем записать ( ). Поэтому для членов последовательности значении получаем неравенства c. c при каждом Если обозначим, b, то последние неравенства запишутся в виде c b. Так как lim, lim b, то отсюда по теореме о пределе промежуточной последовательности lim c lim. Пример 9. Рассмотрим последовательность с общим членом c. Запишем неравенства которые выполняются при любом натуральном. Тогда по свойству арифметического корня получаем неравенства, ( ) или. 8

29 Если обозначим, запишутся в виде c b. b, то последние неравенства Так как lim, lim b, то отсюда по теореме о пределе промежуточной последовательности lim c lim. Вопрос. Как доказать, что lim?.8. Теорему о пределе промежуточной последовательности удается применить тогда, когда члены некоторой последовательности ограничиваются сверху и снизу членами двух последовательностей, пределы которых известны и совпадают между собой. В качестве ограничивающих последовательностей стараются выбирать достаточно просто устроенные последовательности. Перечислим некоторые из них. I. Последовательность ( ) с общим членом, где фиксированное число, имеет пределом число. II. Последовательность ( ) с общим членом b, где и b фиксированные числа, имеет пределом число. 8 Например, lim

30 III. Последовательность ( ) с общим членом b, где и b фиксированные числа, имеет пределом число. 000 Например, lim 0. IV. Последовательность ( ) с общим членом b q, где, b, q фиксированные числа и 0 q, имеет пределом число. Например, lim ( 0,9). Перечисленные примеры последовательностей удобно применять при решении некоторых задач на вычисление пределов. Вопрос. Как показать, что lim 0?.9. Ответим одно простое, но важное свойство последовательностей, имеющих предел. Сначала дадим определение. Последовательность ( ) называется ограниченной, если ее члены принадлежат некоторому отрезку оси. m; M числовой Ограниченность последовательности ( ) означает, что можно найти два таких числа m и M, что m M для всех натуральных чисел. 0

31 Теорема. Всякая последовательность, имеющая предел, ограничена. Доказательство. Пусть lim. Возьмем произвольное положительное число, например,. По определению предела найдется такое число M 0, что при M 0 все члены ( ) этой последовательности будут принадлежать интервалу ;, то есть при будут принадлежать интервалу ;. Следовательно, вне этого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности ( ). Например, пусть такими оказались,, 4, 8, 9. Поэтому, если взять число m как наименьшее из чисел, и, а число M как наибольшее из чисел, 4, 8, 9, и, то все члены последовательности, 4, 8, 9 ( ) будут содержаться в отрезке m; M. А это и означает, что последовательность ( ) ограничена. Доказанная теорема иногда позволяет установить, что некоторая последовательность не имеет предела. Например, последовательность,,, 4,,,... не ограничена, а поэтому предела не имеет. Вопрос. Верно ли утверждение, обратное доказанной в этом пункте теореме, то есть, что если последовательность ограничена, то она имеет предел?

32 .0. Для решения практических задач важно иметь утверждения, с помощью которых можно доказывать сходимость последовательности, не зная ее предела. Одним из таких утверждений является теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Чтобы сформулировать эту теорему, напомним некоторые определения. Последовательность ( ) называется возрастающей, если при любом N. Последовательность ( ) называется строго возрастающей, если при любом N. Последовательность ( ) называется убывающей, если при любом N. Последовательность ( ) называется строго убывающей, если при любом N. Последовательности любых перечисленных типов возрастающие, строго возрастающие, убывающие или строго убывающие принято назвать монотонными. Теорема Вейерштрасса. Каждая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Примем эту теорему без доказательства и рассмотрим некоторые применения. Заметим, что теорема Вейерштрасса верна и в том случае, когда последовательность монотонна, начиная с некоторого номера.

33 Вопрос. Как с помощью теоремы Вейерштрасса доказать, что lim q 0, когда 0 q?.. Пример 0. Найдем теперь предел последовательности, при каждом. Заметим, что. Так как при, то последовательность ( ) убывающая при номерах, которые больше числа вследствие теоремы о пределе. Далее, 0 для всех. Поэтому монотонной ограниченной последовательности существует число p такое, что. Но Поэтому p 0, p 0. тоже сходится к p. p при lim lim lim, откуда p p, Пример. Вычислим предел последовательности при. Тогда,,, является убывающей последовательностью, ограниченной снизу. Следовательно, существует число z такое, что z, где z. Но если z, то выбрав 0 настолько малым, чтобы z, получим z t, где t 0. Тогда t или ( t) t для

34 почти всех. Но t за счет выбора может быть сделано больше любого наперед выбранного числа. Следовательно, неравенство t для почти всех невозможно. Вопрос. Как доказать, что при 0?..* Пусть последовательность ( ) задана рекуррентным соотношением, где данное положительное число, а произвольное положительное число. Докажем, что независимо от выбора последовательность ( ) сходится к. Если последовательность ( ) сходится, то ее предел p должен являться корнем уравнения p p p, которое приводится к уравнению p. Так как 0, то пределом может быть только. Но для такого вывода нужно еще обосновать сходимость последовательности ( ). Какое бы мы ни выбрали больше или меньше, имеем ( ) ( ), откуда. Вообще, для всякого 4

35 ( ) ( ). Далее,, поэтому последовательность ( ) убывает, как только, то есть при. Таким образом, при начальном выборе последовательность,,,,, убывает и ограничена снизу числом ; как мы уже показали, ее предел p. Если же, то последовательность убывает, начиная со второго члена, и предел ее опять равен. Оценим скорость сходимости последовательности к. Обозначив через, из формулы находим. С каждым шагом отличие мере вдвое. от уменьшается по крайней Рекуррентная формула дает нам очень простой и удобный вычислительный алгоритм, обладающий к тому же высокой скоростью сходимости. Очень легко составить 5

36 по этому алгоритму программу вычисления корня квадратного из числа. Даже, взяв начальное приближение равное 000, через 0 итераций погрешность будет составлять число, заведомо меньше ( 0 04). Наш алгоритм оказался не только быстросходящимся, но и устойчивым при любом выборе начального приближения он приводит к с нужной степенью точности, а при случайном сбое в вычислении го приближения, сделанная ошибка быстро стремится к 0; при сбое для получения требуемой точности нужно взять чуть больше итераций. Формула нахождения приближения квадратного корня из числа известна как формула Герона (I век н. э.). В древней Греции этот метод был известен Архиту из Тарента (первая половина IV в. до н. э.), но еще в древнем Вавилоне для приближенного извлечения квадратного корня использовалась формула формуле Герона., эквивалентная Вопрос. Пользуясь указанным алгоритмом, с помощью калькулятора приближенно вычислить для нескольких значений. Составитель: к.ф.-м.н., профессор А. С. Марковичев. Новосибирский государственный университет. 0 6

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ;

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ; НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа Математическое отделение МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 0-й класс, задание ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ Приступая

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Последовательности. Пределы Задание

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия и свойства.. Определение числового ряда и его суммы. Пусть задана бесконечная последовательность чисел ) u, u, K, u,k. (.) (Напомним, что

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Домашняя работа по алгебре за 10 класс Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов ША и др, М: «Просвещение», 00 г учебно-практическое пособие Содержание Глава I Действительные числа Глава II

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее