Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин"

Транскрипт

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Л.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. Тимонин Методические указания к выполнению типового расчета по теории вероятностей Москва ИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана

2 Оглавление Введение. Примеры решения задач.. 4. Задачи типового расчета.. 9. Варианты типового расчета. Литература. 9 Введение Методические указания предназначены для студентов второго третьего курсов факультетов МТ, ИБМ, РК. Они предназначены для приобретения студентами навыков самостоятельного решения различных задач по теории вероятностей, подготовки их к изучению спецдисциплин, базирующихся на методах теории вероятностей (математической статистики, теории надежности, управления рисками и др.). В методических указаниях подробно рассмотрены примеры решения задач из различных разделов теории вероятностей вычислению вероятностей в классической схеме, геометрических вероятностей, условных вероятностей с применением формул Байеса и полной вероятности. Кроме того, большое внимание уделено анализу распределений случайных величин дискретных, непрерывных, скалярных и векторных. Проанализированы методы определения распределений функций от случайных величин (как скалярных, так и векторных).

3 Для овладения материалом студентам необходимо знание стандартных курсов математического анализа дифференциального и интегрального исчислений одной и нескольких переменных, читаемых в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Ввиду ограниченности объема издания, в методических указаниях отсутствуют теоретические сведения по рассматриваемой дисциплине. Их можно найти в литературе, рекомендованной учебными планами МГТУ им. Н.Э. Баумана (см., например, [,]).. Примеры решения задач. Пример. Одновременно подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: ) равна 8; ) меньше 6; ) больше 7; 4) заключена в промежутке [4; 8]. Решение. В качестве пространства элементарных исходов данного эксперимента будем использовать множество упорядоченных пар: Ω= { ω = (, ), =,...,6, =,...,6} (здесь и - число очков, выпавших соответственно на первой и второй кости). Таким образом, общее число элементарных исходов N = 6. В рамках классической схемы вероятность любого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. На следующем рисунке отмечены элементарные исходы, благоприятные для каждого из интересующих нас событий. Рис.. Диаграммы благоприятствующих элементарных исходов Таким образом p = 5/ 6, p = / 6 = 5 /8, p = 5 / 6 = 5 /, p 4 = / 6. Пример. На интервале времени [,T] = [,] в случайный момент t включается радиолокационная станция (РЛС), которая сканирует местность в течение τ = 5. В

4 другой случайный момент t появляется цель, которая находится в зоне видимости РЛС в течение времени τ =. Найти вероятность того, что РЛС запеленгует цель. Решение. В качестве элементарных исходов эксперимента будем рассматривать точки квадрата со стороной T : { ω ( t, t ), t T, t T} Ω= =, где t - момент включения РЛС, а t - момент входа цели в зону видимости РЛС. В рамках геометрической схемы, вероятность любого события Α вычисляется как отношение меры множества благоприятных исходов к мере всего пространства элементарных исходов ( Α) ( ) ( Α) ( ) mes S Ρ( Α ) = = mes Ω S Ω. Рис.. Геометрическое изображение события A Опишем множество благоприятных исходов Α= { t t t + τ } { t t t + τ } ( если цель появилась после включения РЛС, то она должна появиться до отключения РЛС, аналогично, если РЛС включилась после появления цели, то она должна включиться до выхода цели из зоны видимости РЛС). Следовательно ( ) Ρ Α = ( τ ) ( Τ τ ) Τ Τ / /. Подставив численные значения, Τ получаем Ρ( Α),97. На рисунке показано событие A в виде подмножества пространства элементарных исходов. Пример. На рисунке изображена физическая схема соединения системы, состоящей из 5 фильтров. Отказом фильтра является прорыв сетки (фильтр перестает фильтровать жидкость). Событие А - отказ -го фильтра за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы фильтров заданы: PA ( ) =,95, =,; PA ( ) =,9, =, 4; PA ( ) =,85. 5 Рис.. Физическая схема системы 4

5 Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события А независимы в совокупности). Требуется:) изобразить структурную схему надежности системы; ) выразить событие А через события ( =,,,4,5); ) найти вероятность P (А) безотказной работы системы. A или Решение. Система будет функционировать, если не откажут первый и четвертый фильтры или же второй и хотя бы один из двух оставшихся. Следовательно, структурная схема надежности данной системы фильтров имеет вид, изображенный на рисунке 4. А Данная схема может быть представлена как параллельное соединение блоков В и В. Рис. 4. Структурная схема надежности системы.. Блок В имеет вид, а блок В, в свою очередь, может быть представлен в виде где блок В имеет следующую структурную схему Пусть события B - безотказная работа го блока. Тогда при параллельном соединении А= B B, A= B B. Для последовательного соединения B = A A 4, B = A A 4. Далее B = A B, B = A B и B = A A, B = A A. Окончательно получаем 5 5 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) А= A A A A A, A= A A A A A Для подсчета вероятности безотказной работы системы воспользуемся формулой сложения вероятностей и формулой умножения вероятностей для независимых событий. ( B ) ( A A ) ( A ) ( A ) ( A A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) Ρ = Ρ = Ρ +Ρ Ρ = Ρ +Ρ Ρ Ρ = ,995; ( B ) ( A B ) ( A ) ( B ) Ρ =Ρ = Ρ Ρ =,895; ( B ) ( A A ) ( A) ( A ) Ρ = Ρ = Ρ Ρ =,95; ( A) ( B B ) ( B ) ( B ) ( B B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) Ρ =Ρ =Ρ +Ρ Ρ =Ρ +Ρ Ρ Ρ,989. 5

6 Пример 4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, последовательно наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется ровно белых шара при условии, что выборка производится: ) с возвращением (извлеченный шар возвращается обратно в урну); ) без возвращения (извлеченный шар в урну не возвращается). Решение. Введем следующие события: событие A, =,,...,5 состоит в том, что й в порядке извлечения шар оказался белого цвета. Тогда интересующее нас событие может быть выражено через события A следующим образом A= AAAAA AAAAA AAAAA... AAAAA AAAAA Заметим, что все слагаемые попарно несовместны. Следовательно, вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей ( A) ( AAAAA 4 5) ( AAAAA 4 5) ( AAAAA 4 5) ( AAAAA 4 5) Ρ =Ρ +Ρ... +Ρ +Ρ. Подсчет вероятностей для произведений событий зависит от способа извлечения шаров. Если выборка осуществляется с возвращением, то события A также как и A будут независимыми между собой (вероятность извлечь белый шар не зависит от того, какого цвета шары извлекались до этого, а зависит только от количества белых и черных шаров в урне). Для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей сомножителей. В этом случае Ρ ( A) = Все слагаемые одинаковые, а их число (число вариантов выбрать места из 5) равно 5! 46 C 5 = =. Таким образом Ρ ( A) = =,456. 5!! В случае извлечения выборки без возвращения события A являются зависимыми (вероятность извлечь белый шар зависит от того, какого цвета и сколько шаров извлекалось до этого). Поэтому, при подсчете вероятности слагаемых, будем использовать формулу умножения вероятностей для зависимых событий: ( BB... Bn) ( B) ( B B) ( B BB )... ( Bn BB... Bn ) Ρ =Ρ Ρ Ρ Ρ. Получаем Ρ ( A) =

7 Так же, как и в первом случае, все слагаемые равны между собой, поэтому Ρ ( A) = =, Пример 5. Из стрелков пять попадают в цель с вероятностью,4, три - с вероятностью,6 и два оставшихся с вероятностью,8. Найти вероятность того, что случайно выбранный стрелок попадет в цель. Известно, что случайно выбранный стрелок попал в цель. Найти вероятность того, что он принадлежит группе стрелков, поражающих цель с вероятностью,4. Решение. Пусть событие A состоит в том, что случайно выбранный стрелок поразил цель. Введем следующие события: H - что случайно выбранный стрелок поражает цель с вероятностью,4; H - с вероятностью,6; H - с вероятность,8. События H, =,, попарно несовместны ( H H =, ) и образуют полную группу событий H = Ω, то есть являются гипотезами. Поэтому для нахождения вероятности события A можно воспользоваться формулой полной вероятности ( ) ( ) Ρ ( A) = Ρ AH Ρ H. 5 Ρ = =,5; Ρ = =,; Ρ = =,. Априорные вероятности гипотез: ( H ) ( H ) ( H ) Условные вероятности: ( AH) ( AH) ( AH) Ρ =, 4; Ρ =,6; Ρ =,8. Таким образом Ρ ( A) =, 4,5 +,6, +,8, =,54. Для подсчета апостериорной вероятности гипотезы H воспользуемся формулами Байеса В нашем случае ( H A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ AH Ρ H Ρ AH Ρ H Ρ ( H A) = = Ρ A Ρ AH Ρ H, 4,5 Ρ =,7.,54 ( ) ( ). Пример 6. Среди 5 коммерческих банков региона 5 являются нарушителями финансовой отчетности. Центробанк для проверки отобрал случайным образом банка. При проверке банка- нарушителя комиссия с вероятностью,9 обнаруживает нарушения независимо от результатов проверки других банков. Найти вероятность того, что в результате проверки будет обнаружен хотя бы один банк, нарушающий финансовую отчетность. 7

8 Решение. Ясно, что вероятность обнаружить нарушения финансовой отчетности, зависит от того, сколько банков-нарушителей окажется среди трех, отобранных для проверки. Введем события: H событие, состоящее в том, что среди трех отобранных для проверки банков оказалось ровно нарушителей финансовой отчетности( =,,, ). События { H } являются гипотезами, то есть образуют полную группу попарно несовместных событий. Следовательно, по формуле полной вероятности = ( ) ( ) Ρ ( A) = Ρ AH Ρ H, где событие A состоит в том, что в результате проверки будет обнаружен хотя бы один банк-нарушитель. Сначала найдем априорные вероятности гипотез Ρ ( H ). Общее число способов отобрать банка из 5 (число сочетаний «из 5 по») равно 5! C 5 = = 455.! 5! ( ) Число благоприятных исходов равно Простой подсчет дает C C Следовательно, ( H ) 5. C C Ρ =, =,,,. 5 C5 5 Ρ ( H) =, 64; Ρ ( H) =, 494; Ρ ( H) =, ; Ρ ( H) =, Найдем условные вероятности Ρ ( АH ). Ясно, что Ρ ( АH ) =. Далее, ( ) вероятностей воспользуемся ( ) событий Ρ ( А) = Ρ( A) Окончательно получаем Ρ АH =,9. Для поиска остальных условных формулой сложения вероятностей для независимых. Эта формула дает ( АH) ( ) ( АH) ( ) Ρ =, 9 =, 99; Ρ =, 9 =, 999. Ρ ( A) =, 64 +,9, 494 +,99, +,999, =,68478,68. Пример 7. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, последовательно наугад извлекают 5 шаров (выборка с возвращением). Случайная величина ξ число белых шаров в выборке. Для случайной величиныξ найти: ) распределение вероятностей; ) функцию распределения и построить ее график; ) вероятность попадания случайной величины в интервал (;5) ; 4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. 8

9 Решение. Так как выборка осуществляется с возвращением, вероятность извлечь белый шар остается постоянной ( p =, 4 ) и не зависит от результатов предыдущих испытаний. Таким образом, случайная величина ξ - число успехов в схеме Бернулли с числом испытаний n = 5 и вероятностью успеха p =, 4. Для схемы Бернулли имеем k k ( ξ ) ( ) n k p = Ρ = k = C p p, k =,,..., n. В нашем случае k n ( ξ ) ( ) ( ξ ) ( ) p = Ρ = = C (, 4),6 =,7776; p = Ρ = = C (, 4),6 =, 59; ( ξ ) ( ) ( ξ ) ( ) 5 5 p = Ρ = = C (, 4),6 =,456; p = Ρ = = C (, 4),6 =, 4; ( ξ ) ( ) ( ξ ) ( ) p = Ρ = 4 = C (, 4),6 =,768; p = Ρ = 5 = C (, 4),6 =,4. Таким образом, закон распределения случайной величины ξ задается таблицей Функция x 4 5 k p,7776,59,456,4,768,4 k распределения кусочно постоянна, x,7776, < x,696, < x Fξ ( x) =Ρ ( ξ < x) = pk =,6856, < x { k< x},996, < x 4,98976, 4 < x 5, x > 5 На рисунке 5 представлен ее график. Рис. 5. График функции распределения 9

10 Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле ( ξ ( )) x a+ Ρ a; b = F ( b) F ( a+ ) = F ( b) lm F ( x). Следовательно ( ξ ( )) ξ ξ ξ ξ Ρ ;5 = F(5) F( + ) = F(5) F() =,98976,696 =,658. Найдем числовые характеристики случайной величины ξ. Математическое ожидание ( ξ ) xp,7776, 59,456, 4 4,768 5,4. Μ = = = k Дисперсия ( ) ( ) k k ( k ) k k ( ( )) k D ξ = x Μ ξ = x p Μ ξ = k =,7776 +, , , 4 + 6, ,4 4 =,. Среднеквадратическое отклонение σ ( ξ) = D ( ξ) =,,. Пример 8. Непрерывная случайная величина ξ распределена по закону Релея с плотностью λ x ( ) λ, f x = xe x >. Для случайной величины ξ с параметром λ =,5 найти : ) ее функцию распределения F (x) и построить графики функции распределения F (x) и плотности распределения вероятностей f (x) ; ) вероятность попадания случайной величины в интервал (,5;,5 ) ; 4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. запишем Решение. Исходя из определения плотности распределения случайной величины, x x, x x F( x) = f () t dt t = = 4 t e dt, x > > x 4 e, x Графики функции распределения и плотности изображены на рисунке 6. Рис. 6. Функция распределения и плотность случайной величины

11 Найдем вероятность попадания в интервал (,5;,5 ).,565,65 ( ξ ( )) F( ) F e e Ρ,5;,5 =,5 (,5) =,7. При подсчете числовых характеристик случайной α гамма-функцию Эйлера ( ) t Γ α = t e dt, обладающую свойствами: Γ ( α + ) = α Γ( α), Γ ( ) =, Γ = π. Найдем математическое ожидание ξ. x x 4 t Μ ( ξ) = x f ( x) dx = e dx = t e dt π. = Γ = Γ = величины ξ удобно использовать Здесь в интеграле использована замена переменной дисперсию ξ. t = x 4 / 4. Аналогично находим ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) D ξ = x Μ ξ f x dx = x f x dx Μ ξ = x x e 4 dx te t dt ( ) ( ) = π = 4 π = 4Γ π = 4Γ π = 4 π. Среднеквадратическое отклонение σ ( ξ) = D ( ξ) = 4 π,9. Пример 9. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид kx, x [;,5] fξ ( x) =. Случайная величинаη связана с ξ функциональной, x [;,5] зависимостью η = 4ξ 7 Найти: ) константу k ; ) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя плотность распределения вероятностей случайной величины ξ ; )функцию распределения и вероятностей случайной величины η и построить их плотность распределения графики; 4) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя найденную плотность распределения вероятностей. ξ Получаем Решение. Константу k находим из условия нормировки f ( x) dx =.,5 9k fξ ( x) dx = kxdx = =. 8 Следовательно 8 k =. 9

12 Для вычисления математического ожидания случайной величины η воспользуемся формулой ( η) ( ( ξ) ) ( ) ξ ( ) Μ =Μ g = g x f x d x. Получаем Дисперсия,5, x 7 xdx x x. ( η ) ( ) Μ = = = 9 9,5 8 5 D( η) = D( g ( ξ) ) = g ( x) fξ ( x) dx ( Μ ( η) ) = ( 4x 7) xdx = 9 4, x x x. = + = Найдем функцию распределения случайной величиныξ., x <, x < x x 8 4 Fξ ( x) = fξ ( t) dt = t dt, x, 5 = x, x, 5 9 9, x >, 5, x >, 5 Далее ищем функцию распределения случайной величины η., x < 7 x+ 7 x+ 7 x+ 7 Fη ( x) =Ρ ( η < x) =Ρ( 4ξ 7 < x) =Ρ ξ < = Ρ < x<, 7 x = 4 4 4, x >, x < 7, x < 7 x+ 7 x+ 7 4 x+ 7 = Fξ F, 7 x, 7 x 4 ξ 4 = 9 4 =, x >, x>, x < 7 = ( x+ 7, ) 7 x 9, x > По определению плотности распределения случайной величины, x 7; fη ( x) = F η ( x) = 9, x [ 7;] [ ] Таким образом, случайная величина η имеет равномерное распределение на отрезке [ 7;]. Графики ее плотности и функции распределения изображены на рисунке 7.

13 Найдем числовые характеристики случайной величины η, используя ее плотность распределения. Для математического ожидания получаем x 5 Μ ( η ) = x f ( x) dx = x dx = =. 9 8 η 7 7 Рис. 7. Плотность и функция распределения случайной величины η Аналогично, находим дисперсию случайной величины η. x D( η) = x fη ( x) dx ( Μ ( η) ) = x dx = = Видим, что результаты подсчета числовых характеристик различными способами совпадают. Пример. Дана система двух дискретных случайных величин ( ξ, η), закон x \ y - 4,,5,5,5,5, 5,, распределения которой задан таблицей. Найти: ) законы распределения случайных величин ξ и η ; ) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; ) коэффициент корреляции r ξη ; 4) условные распределения P ( x y), P ( y x) условные математические ожидания Μ( ξ y), Μ ( η x). ξ η ; 5) Решение. Найдем законы распределения случайных величин ξ и η. Пусть ( ξ η ) p =Ρ = x, = y, =,, y =,,,4. Тогда

14 η ( ξ ), ( η ). Простые вычисления дают законы p =Ρ = x = p p =Ρ = y = p ξ распределения случайных величин ξ и η ( их удобно изображать на таблице совместного распределения, добавив один столбец справа и одну стоку снизу). x 5 p ξ,,4, y - 4 p η,45,5,5,5 Ищем числовые характеристики случайных величин. ( ξ ) ξ Μ = xp =, +, 4 + 5, = ; η ( η ) yp ( ) Μ = =, 45 +,5 +, 5 + 4,5 =,65; D D ξ ( ξ) x p ( ξ) ( ) ( ) η ( η) y p ( η) = Μ =, + 9, 4 + 5, 9 =, 4; = Μ =,45 +,5 + 4,5 + 6,5,45 =,9775. Для подсчета коэффициента корреляции случайных величин ξ и η сначала найдем их ковариацию. ( ξ η) ( ξη) ( ξ) ( η) xy p ( ξ) ( η) ( ) cov, =Μ Μ Μ = Μ Μ =,+,5 + ( ) ( ) + 4,5 +,5 + 4,+ 5, + 5,,65 =,7. Коэффициент корреляции ρ( ξη) ( ξη) ( ξ) D( η) cov,, 7, = =,. D,4,9775 Далее находим условные законы распределения по формулам p Pξ ( x y) = Pη ( y x) = p p,. η ξ p x 5 ( x y ) P,6,4 ξ y - 4 ( y x ) P / / η 4

15 Пример. Дана система двух непрерывных случайных величин ( ξ, η) с совместной плотностью распределения x =, y =, y C,( xy, ) D f( xy, ) =. Область D ограничена кривыми, ( xy, ) D = x. Область D показана на рисунке 8. Рис. 8. Область D, на которой задано распределение ( ξ, η) Найти: ) совместную плотность распределения f ( x, y), предварительно построив область D ; ) плотности вероятности случайных величин ξ и η ; ) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; 4) коэффициент корреляции r ξη ; 5) условные плотности распределения f ξ ( x y) и f η ( y x) ожидания ( ξ y) Μ( η x) ; 6) условные математические Μ,, уравнения линий регрессии и построить их графики. Решение.. Константа C определяется из условия нормировки x C f x y dxdy dx C dy C x dx x = Ω = (, ) = = = С. Отсюда С =. Область D уже показана на рисунке 8.. Плотность fξ ( x) случайной величины ξ определяется интегрированием совместной плотности ( x, y) f по всем возможным при данном ξ = x значениям случайной величины η (из рисунка непосредственно видно, что η x < < ). Имеем 5

16 f ( x) ξ = x (, ),. Совершенно аналогично f ( y) f x y dy = dy = x < x < η = y dx= ( y ), < y <.. Математические ожидания и дисперсии каждой величины ξη, определяются согласно формулам для вычисления моментов скалярных случайных величин (см., например, пример 9). Имеем y y 5 ( ) 8 Μ η = y fη ( y) dy = ( ) ( ). y dy y = = = x Μ ( ξ ) = x fξ ( x) dx = x x dx = ( ) = y y D( η) = y fη ( y) dy ( Μ ( η) ) = y ( ) dy ( y ). = = x 9 9 D( ξ) = x fξ ( x) dx ( Μ ( ξ) ) = x x dx = ( ) = r ξη 4. Коэффициент корреляции r ξη вычисляется по формуле M( ξη) M( ξ) M( η) =. В этом выражении неизвестен только смешанный момент D( ξ) D( η) второго порядка M ( ξ η). f ξ x 5 M ( ) x y f ( x, y) dxdy xdx y dy x dx Тогда ξη = = = = D r 4 5 ξη =, Условные плотности распределения f ξ ( x y) и ( y x) ( xy) f η определяются по формулам f( xy, ) = = =. Необходимо обратить внимание на то, что fη ( y) y y 6

17 y возможные значения аргумента x здесь зависят от y и меняются в пределах,. Переменная y здесь играет роль параметра и может принимать любое значение в промежутке [, ]. Рассуждая аналогично, получим для ( y x) f( xy, ) f ( ) η yx = = = ; < y< x; < x<. f ( x) x x ξ f η выражение 6. Общие формулы для условных математических ожиданий Μ( ξ y), Μ ( η x) имеют вид Μ ( ξ y) = x fξ( x / y) dx, Μ ( η x) = y fη( y / x) dy. Учитывая замечание предыдущего пункта о возможных значениях случайной величины при фиксированном значении другой случайной величины, получим y y x + Μ ( ξ y) = x dx = = = y y ( y ) y y Μ ( η x) = y dy = = = x x x 4 y 4x ;. x x 4x Графики условных математических ожиданий показаны на рисунке 9.. Рис.9. Графики условных математических ожиданий 7

18 Пример. а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины z = ξ 8η + 4, где ( η) ξ, - система случайных величин из примера ; в) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (,), (,η ), (ξ,), ( ξη),, где ( η) случайных величин из примера. а) Решение. ξ, - система M( z) = M(ξ 8η + 4) = Mξ 8Mη + 4 = + 4 = 4 5 Dz ( ) = D(ξ 8η + 4) = D(ξ 8 η) = 9Dξ + 64Dη + ( 8) cov( ξ, η) = 7 68 = 9Dξ + 64Dη + ( 8) ( M( ξη) Mξ Mη) = ,49. в) Так как ξ >, η >, то площадь прямоугольника S равна S = ξ η. Проще всего вычислить среднее значение MS = M ( ξη) = cov( ξ, η) + Mξ Mη =,5. Нетрудно видеть, что возможные значения S лежат в интервале [, ]. Функция распределения F ( z) случайной величины S вычисляется как интеграл от совместной плотности ( x, y) S f по области Dz = {( xy, ) x y< z D,< z< } (см. рисунок ). Разбивая область интегрирования на две части D = D D, z {(, ), }, Dz = {( xy, ) x y< z Dx, < x< } D= xy x y< z D < x< x z z z, где x = z - абсцисса точки пересечения кривых y x, x y z = =, получим F ( z) = P( ξ η < z) = S f ( x, y) dxdy = f ( x, y) dxdy + f ( x, y) dxdy = z z z D D D z x x x x z x = ln dx dy + x dx dy = x dx dx x z x + = + = x x x z z = ln( ), < z. 8

19 Тогда плотность f ( z ) имеет вид S ln fs( z) = F S ( z) = z, z (,, z (,]. Рис.. Разбиение области интегрирования. Задачи типового расчета. Задача. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах - найти вероятность того, что сумма выпавших очков: ) равна k ; ) меньше k + ; ) больше k ; 4) заключена в промежутке [ ; ] αβ. В вариантах - найти вероятность того, что произведение выпавших очков: ) равно k ; ) меньше k + ; ) больше k ; 4) заключено в промежутке [ αβ ; ]. Задача. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любоймомент времени в течение Т минут. Время обслуживания первой заявки τ минут, второй - τ минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т, она обслуживается. Найти вероятность того, что: ) обе заявки будут обслужены; ) будет обслужена ровно одна заявка. Задача. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие А - отказ -го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы: 9

20 PA ( ) =,95, =,,5; PA ( ) =,9, =,4. Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события А независимы в совокупности). Требуется: ) выразить событие А через системы. A или А ( =,,,4,5); ) найти вероятность P (А) безотказной работы Задача 4. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k - высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно высшего сорта при условии, что выборка производится: ) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); ) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается). Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На -м станке изготовлено R % деталей ( =,, ). Вероятность выпуска бракованных деталей на -м станке равна ( =,, ). ) Определить вероятность того, что деталь, наудачу P взятая со склада оказалась бракованной. ) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на -м станке. Задача 6. В отдел технического контроля поступает партия, содержащая N изделий, среди которых имеется M бракованных. Контролер для контроля отбирает изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью P. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будут забракована. Задача 7. Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания p. Пусть случайная величина ξ - число попаданий в цель. Для случайной величиныξ найти: ) распределение вероятностей; ) функцию распределения и построить ее график; ) вероятность попадания случайной величины в интервал ( αβ ; ) ; 4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Задача 8. Непрерывная случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей f (x). Для случайной величины ξ найти : ) ее функцию распределения F (x) и построить графики функции распределения F (x) и плотности распределения вероятностей (x) f ; ) вероятность попадания случайной величины в интервал ( ; ) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. αβ ; 4)

21 Задача 9. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид kx, x [; c] f( x) =. Случайная величина η связана со случайной величиной ξ, x [; c] функциональной зависимостью η = a ξ + b. Найти: ) константу k ; ) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя плотность распределения вероятностей случайной величины ξ ; )функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины η и построить их графики; 4) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя найденную плотность распределения вероятностей. Задача. Дана система двух дискретных случайных величин ( ξ, η), закон распределения которой задан таблицей p =Ρ ( ξ = x, η = y ) =,,, =,,,4., где x =, x =, x = 5, y =, y =, y =, y =. Найти: ) законы 4 распределения случайных величин ξ и η ; ) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; ) коэффициент корреляции r ξη ; 4) условные распределения ξ ( ), η ( ) ; 5) условные математические ожидания ( ξ y), ( η x) P x y P y x Μ Μ. Задача. Система непрерывных случайных величин ( η, ξ ) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x= a, y = b, y = β x α. Найти: ) совместную плотность распределения f ( x, y), предварительно построив область D ; ) плотности вероятности случайных величин ξ и η ; ) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; 4) коэффициент корреляции r ξη ; 5) условные плотности распределения f ξ ( x y) и f η ( y x) ( ξ y) Μ( η x) Μ,, уравнения линий регрессии и построить их графики. ; 6) условные математические ожидания Задача. а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ = a ξ + bη + c, где ( ξ, η) - система случайных величин из задачи ; в) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (,), (,η ), (ξ,), ( ξη),, где ( η) случайных величин из задачи. ξ, - система

22 Вар.. Варианты типового расчета Задача Задача Задача 4 Задача 7 к α β T τ τ n k m l n p α β , -, ,, ,4,5, ,5, ,6, ,7, ,8, , ,, , -, ,, ,4,5, ,5, ,6, ,7, ,8, , , , ,, , , , ,7, , , , ,, , -, ,5 4

23 Схемы к Задаче.

24 4

25 Вар. R R R Задача 5 Задача 6 Задача 9 P P P N M P a в c 6,,, 6, ,,4, 5,9 6,,4, 4, ,,,5 6 4, ,,5, 6 5,9 6 6,,, 6 6, ,,,4 5 6, ,,,4 5 5, ,,5, 5 4, ,,,5 8 5, ,,,9 8 6, ,,,4 8 4, ,,4, 7 4, ,5,, 7 5, ,5,, 7 6, ,,, 5 7, ,,, 5 6, ,,4, 5 5, ,,,4 4 8, ,5,, 4 6, ,5,, 4 4, ,,, 5, ,4,, 5, ,4,, 4, ,,,5 7, ,4,, 6, ,,5, 5, ,4,, 7, ,,5, 6,9 5 55,4,, 5,95 5

26 Вар. Экспоненциальное Задача 8 Задача Задача f (x) λ α β a b α β x a b c Распределение f(x)=λe -λx, x>,5 > -7,4 4 > -6 -, 6 / > -5 4, 7 > -4-5, 4 - > - 6,6 4 - > - 7-7,7 / - > ,8 5 - > ,9 4 > > - -5 Гамма- распределение (α=) f(x)=λ x e -λx /, x> 5 / > > > > / - > < < / < < < - -6 Распределение Лапласа f (x) =,5 λ e -λ x, -<x< < / - < < < < / < < < < / - < -4-6

27 Вар. Задача p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4,5,8,,,,,,8,4,6,5,,8,,6,5,,4,,,5,8,8,,5,,4,6,,5,8, 4,6,5,,8,5,8,,4,, 5,8,5,8,,4,,,6,5, 6,5,,,4,5,8,,8,6, 7,5,8,8,,4,,6,,5, 8,,8,5,4,,6,,8,5, 9,4,,6,,8,5,,,8,5,,,,6,4,5,8,5,,8,4,6,,8,,5,5,,6,9,,,5,5,,,6,,4,8,9,,6,,75,75,6,9,75,75,6,9,,,8, 4,6,6,4,4,6,6,4,4,8,8,, 5,,4,,,9,,,6,8,4,6, 6,9,,,6,9,,,6,,6,4,8 7,5,5,5,5,45,5,75,75,9,,5,5 8,,,7,8,7,5,45,8,,5,5,4 9,,45,5,,5,75,75,,,,7,8,6,45,75,,4,,5,8,,75,5,,,,8,8,5,,4,6,,5,5,8,,,8,6,5,,,4,8,6,,,5,,5,4,,8 4,8,4,,5,,8,,5,,6 5,8,5,,,4,,5,6,,8 6,,6,8,,5,,4,8,5, 7,8,,5,,4,8,5,,6, 8,5,4,6,5,,8,,,,8 9,5,,4,,8,,5,8,6,,,,6,8,,,5,8,4,5 7

28 Литература. Печинкин А.В. и др. Теория вероятностей:учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. Сер. «Математика в техническом университете», вып. XVI. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, с.. Карташов Г.Д., Вилисова Н.Т., Тимонин В.И., Ветров Л.Г. Методические указания к выполнению ДЗ по теории вероятностей. М.:МГТУ им. Н.Э. Баумана,. 4 с. 8

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов -го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Практикум по теме 8 "Системы случайных величин"

Практикум по теме 8 Системы случайных величин Практикум по теме 8 "Системы случайных величин" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 8, а также развитие следующих навыков:

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

СК РГУТиС. Лист 1 из 20

СК РГУТиС. Лист 1 из 20 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА» СК РГУТиС Лист 1 из 0 1 1. Тестовые задания

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

«Теория вероятностей»

«Теория вероятностей» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1

Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для специальности «Финансы и кредит» Заочная форма обучения Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) 2.Среди 100 элементов находится 5 бракованных.

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

для студентов II курса направлений , дневной формы обучения

для студентов II курса направлений , дневной формы обучения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Л Д Жулёва, В С Козлова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ПОСОБИЕ по выполнению практических работ для студентов II

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Вариант 1

Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Вариант 1 Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Инструкция: Выполняется один вариант заданий. Вариант студенту назначает преподаватель

Подробнее

Определить значение константы a, функцию распределения

Определить значение константы a, функцию распределения Вариант 1. 1. Из полного набора костей домино наугад выбирается кость затем она возвращается обратно и извлекается еще одна кость. Опpеделить веpоятность того что сумма цифp на каждой из костей меньше

Подробнее

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина УДК 57. Теория вероятностей и математическая статистика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск,

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей

Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Контрольная работа по предмету Теория вероятностей Вариант Выполнил студент групы Преподаватель - 9 План:. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6).

Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи., второй с вероятностью p. попадания в цель ровно 3 раза. 6). Индивидуальные задания по теории вероятностей. Обязательные задачи.. Имеется деталей, среди которых деталей первого сорта. Наудачу отобрано деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Вопросы к зачету по математике IV семестр

Вопросы к зачету по математике IV семестр Вопросы к зачету по математике IV семестр Заочное отделение специальность 240406.65 - «Технология химической переработки древесины» Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X

3 0,1 0,2 0,7 a) Найдите функцию распределения случайной величины X Задачи по курсу ТВиМС для самостоятельного решения Часть II 1) Числовые характеристики и законы дискретного распределения вероятностей 1 Имеются десять билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) В заданиях этой контрольной параметры n и m требуется заменить на последнюю и, соответственно, предпоследнюю ненулевую цифру Вашего индивидуального

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки

Тест 02. Б2.Б.1.3 Теория вероятности и математическая статистика шифр и наименование дисциплины по учебному плану направления подготовки Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ.

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ. Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кузнецов

Подробнее

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Методические рекомендации к практической подготовке для студентов заочного отделения по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности 270102.65 - Промышленное и гражданское строительство IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Методические указания

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Методические указания СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Методические

Подробнее

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Классическое определение вероятности. Примеры. 2. Формула Байеса. 3. Каков смысл равенств а) А В С=А; б) АUВUС=А? ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Схема с возвращением и без выборок,

Подробнее

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Теоремы сложения и умножения вероятностей Формула полной вероятности Формула Байеса Пусть и B - несовместные события и вероятности

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

Подробнее

Практическая работа 3 Тема 4 Дискретные случайные величины

Практическая работа 3 Тема 4 Дискретные случайные величины Практическая работа Тема 4 Дискретные случайные величины Дискретной называют случайную величину X, принимающую конечное или счетное (можно перенумеровать) число значений: 1,,. Значение принимается с некоторой

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи Вариант 6 Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок? Вопросы для подготовки к экзамену (Уравнения математической физики. Теория вероятностей.) 1. Уравнения с частными производными. Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение к каноническому

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Заказать любой вариант данной работы на

Заказать любой вариант данной работы на Заказать любой вариант данной работы на http://sos6ru Контрольная работа Задача Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле Сделать чертеж области интегрирования d f (, d d f (, d d f (, d d f

Подробнее

A. В. Браилов С. А. Зададаев П.Е. Рябов ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

A. В. Браилов С. А. Зададаев П.Е. Рябов ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Теория вероятностей

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее