РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин"

Транскрипт

1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y= 6 Построить прямую, определить угол наклона α этой прямой к оси OX Решение Выразим переменную y из уравнения прямой: x y= 6 x = 6+ y, y = ( x 6 ), y = x Получили уравнение y = kx+ b прямой с угловым коэффициентом Следовательно, угловой коэффициент k =, отрезок, отсекаемый прямой на оси OY, равен b = Находим угол наклона α прямой: k = tgα= α= arctg,7 α Пример Привести уравнение прямой x+ 4y = к виду " уравнение прямой в отрезках" Построить прямую x y Решение Запишем уравнение прямой в отрезках: + = Преобразуем p q данное уравнение прямой к этому виду Для этого в правой части уравнения следует получить единицу; разделим обе части уравнения на : x y x+ 4y = x 4y= ; + = 4

2 Находим отрезки p = 4, q =, которые прямая отсекает на координатных осях Пример Определить неравенствами область BCD, изображенную на чертеже C D O B Решение Определим каждую часть границы области уравнением: граница B, уравнение y = ; граница CD, уравнение x = ; x y x y граница D, уравнение + = ; граница BC, уравнение + = Представим область BCD как пересечение полуплоскостей Очевидно, что эта область лежит в полуплоскостях x, y ( у которых границы CD и B соответственно) Эти неравенства означают, что область BCD лежит выше оси абсцисс и правее оси ординат x y Граница CB задана уравнением + =, она определяет полуплоскость x y +, внутри которой лежит область BCD Для проверки этого факта возьмем контрольную точку, лежащую по ту же сторону от границы, что и заданная область Например, точка O Подставим

3 x y координаты x =, y = этой точки в неравенство +, получается верное числовое неравенство Поэтому контрольная точка вместе с областью лежит в указанной полуплоскости x y Определим неравенство, возникающее из уравнения + = границы D x y Область лежит в полуплоскости + Для проверки подставим координаты x =, y = точки, принадлежащей области BCD, в уравнение и отметим знак неравенства x y + = + Итак, область BCD - это множество точек M ( xy,, ) координаты которых удовлетворяют системе неравенств: x ; y x y + x y + Пример 4 Найти уравнение прямой, проходящей через две точки ( ; ), B ( ;5) Решение Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: x x y y x = y = x x y y 5, y = x+ B B Пример 5 Найти угол ϕ между прямыми y= x, y = 5 x Решение Угловые коэффициенты прямых: k =, k = Применим формулу угла ϕ между прямыми: k k ( ) tgϕ= tgϕ= =, ϕ= arctg 6 + k k + ( )

4 4 ϕ Ответ ϕ= arctg 6 Пример 6 Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( ;4) и параллельной прямой x+ y =6 Решение Построим прямые x+ y = 6 Вычислим угловой коэффициент прямой x+ y = 6 y = x, k = Запишем уравнение пучка прямых: y y = k ( x x ) в точке Угловые коэффициенты параллельных прямых равны между собой, те k = k = Далее y y = k ( x x ) y 4= ( x ), x+ y = 6 Ответ x+ y = 6

5 5 Пример 7 Написать уравнение прямой, проходящей через точку (5;) и перпендикулярной прямой y = x+ Найти координаты точки M пересечения этих прямых Решение Угловой коэффициент данной прямой: y = x+ k = Применим признак перпендикулярности двух прямых - произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, те k k = k = k Угловой коэффициент перпендикулярной прямой k = Уравнение пучка прямых y y = k ( x x ) в точке : 7 y y = k ( x x ) y = ( x 5), y = x+ Находим координаты точки пересечения двух прямых Составим и решим систему y = x+ 7 7 x+ = x+, 4x+ = x+ 7, 5x = 5, x =, y = x+ = + = y = x + Выполним чертеж M Ответ 7 y = x+ ; M ( ; ) Занятие Плоскость в пространстве Пример Построить плоскости: x y z z ) + = ; ) y + + = ; ) x+ 6y z = ; 4) y =

6 Решение Плоскость - неограниченная фигура Поэтому для создания ее образа следует построить какую-то характерную ее часть, например, в виде треугольника или параллелограмма x y z x y z ) Дано уравнение плоскости в отрезках + + = + + =, в p q r котором p =, q =, r = Это отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, зная которые можно построить часть плоскости - треугольник BC Z B Y 6 X C - z ) в уравнении y + + = отсутствует переменная x, поэтому плоскость z параллельна оси OX Построим прямую y + + = в плоскости YO Z как y z прямую, заданную уравнением в отрезках + = Затем эту прямую параллельно перенесем вдоль оси OX Z - Y - X Возникает параллелограмм - как часть построенной плоскости ) Приводим уравнение к уравнению плоскости в отрезках: x y z x+ 6y z = + + =, p =, q =,5, r =, 5,5 /

7 Z 7,5 Y X -,5 4) в уравнении y = отсутствуют переменные x и z Поэтому эта плоскость параллельна осям OX, OZ и параллельна плоскости XOZ Следовательно, плоскость перпендикулярна оси OY Через точку y = на оси OY проводим оси, параллельные координатным осям, и строим в плоскости этих вспомогательных осей параллелограмм со сторонами, параллельными координатным осям Z Y X Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору B, где ( ;;), B ( ;;5) Решение Выполним схематический чертеж, на котором укажем все упомянутые в примере геометрические объекты и связи между ними B P Применим каноническое уравнение плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) =, где n= ( abc,, ) - нормаль плоскости и ( x, y, z) - точка этой плоскости Принимаем ( x, y, z ) = ( ;;) Нормаль это любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, например, n= B= ( abc,, ) = B( ;;5) ( ;; ) =( 5; ; 5)

8 Подставим координаты точки и координаты нормали в каноническое уравнение плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) = ( 5) ( x ) + ( y ) + 5 ( z ) =, x z = Ответ x z = 8 Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через ( ;; ), параллельно плоскости x y+ z =8 Решение Выполним схематический чертеж n Q n P Применим общее уравнение плоскости a x+ b y+ c z+ d =, где n= ( abc,, ) - нормаль плоскости Найдем нормаль из уравнения данной плоскости P : x y+ z = 8 n= ( a, b, c) = ( ; ;) Нормаль плоскости P является также нормалью параллельной плоскости Q Итак, можно считать, что параллельные плоскости имеют одну и ту же нормаль Запишем каноническое уравнение плоскости, у которой известна нормаль n и точка ( x, y, z ), принадлежащая этой плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) = ( x ) + ( ) ( y ) + ( z+ ) =, x y+ z+ = Ответ x y+ z+ = Пример 4 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( ; ; 5) и отсекающей на осях OY, OZ вдвое большие отрезки, чем на оси OX Решение Построим схематически данную плоскость На чертеже отметим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях

9 Z 9 r =p M Y X p q=p x y z Применим уравнение плоскости в отрезках + + =, в котором q= r = p p q r Чтобы найти значение константы p, необходимо использовать тот факт, что плоскость проходит через точку M ( ; ; 5) Подставим ее координаты в уравнение плоскости x y z + + = =, + =, p =, q= p= 4, r = p= 4 p p p p p p p x y z Ответ + + = 4 4 Пример 5 Найти угол ϕ между плоскостями y+ z =, x+ y 4= Решение Угол между плоскостями равен углу ϕ между нормалями этих плоскостей Находим нормали плоскостей: y+ z = n = ( ;;) ; x+ y 4= n = ( ;; ) n n Q ϕ ϕ P Вычисляем скалярное произведение n n = x x + y y + z z = + + = Модули n = x + y + z = ; n = + + = 5 n n Косинус угла между двумя векторами cos ϕ= = n n Ответ ϕ= arccos 7, ϕ= arccos

10 Пример 6 Написать уравнение плоскости P, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскостям x+ y z+ =, x+ y+ z = Решение Обозначим данные плоскости Q, R найдем их нормали x+ y z+ = n = ( ;; ) ; x+ y+ z = n = ( ;;) Изобразим две перпендикулярные плоскости PQ, Q P n Очевидно, что нормали n, n можно взять так, чтобы они лежали в плоскости P Сделаем второй схематический чертеж, на котором изобразим плоскость P, содержащую два вектора N n, n n P Векторное произведение N = n n перпендикулярно плоскости векторов n, n, те плоскости P Поэтому в качестве нормали плоскости P можно принять векторное произведение N = n n Вычислим эту нормаль i j k N = n n= = i j k + =( 4; ; ) n Каноническое уравнение плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ответ 4 x y z = x + y + z = Пример 7 Составить уравнение плоскости (BC), проходящей через три точки ( ; ;), B ( ; ; ), C ( ;;) Решение Уравнение плоскости, проходящей через три точки: x x y y z z x x y y z z = x y z = x x y y z z

11 Преобразуем: x y z 4 = Ответ x y+ z = 7, ( x ) ( y ) ( z ) + = Пример 8 Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ( ; ; ), B ( ;;) и параллельной оси OY Решение В уравнении плоскости отсутствует переменная y, так как плоскость параллельна оси OY Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точку (; ; ), имеет вид a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) = a ( x x) + ( y y) + c ( z z) = a ( x ) + c ( z ) = Подставим в это уравнение координаты второй точки B ( ;;) Получаем: a ( x ) + c ( z ) = a ( ) + c ( ) =, a c = Заметим, что один из неизвестных коэффициентов можно принять равным любому ненулевому числу (что повлияет только на изменение длины нормали плоскости) Например, полагаем a =, тогда из равенства a c = находим c = Подставим эти значения в уравнение искомой плоскости a ( x ) + c ( z ) = x + z =, x+ z = Ответ x+ z = Пример 9 Найти расстояние от точки M ( ;;) до плоскости x y+ z = Решение Расстояние h точки M ( x; y; z ) до плоскости a x+ b y+ c z+ d = вычисляется по формуле a x + b y + c z + d h = a + b + c Приводим уравнение к общему уравнению x y+ z = a x + b y + c z + d x + ( ) y + z + ( ) + h = h = ; h = a + b + c + ( ) + Ответ h = Занятие Прямая в пространстве Пример Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ( ; ; ) и параллельной вектору s = ( ;; ) Сделать чертеж

12 Решение Построим схематически прямую, проходящую через точку M ( x; y; z ), параллельно ненулевому вектору s = ( m; n; p), который называется направляющим вектором прямой s M Запишем параметрические уравнения прямой: x = mt + x y = n t + y z = p t + z В нашем случае направляющий вектор прямой равен s =( ;; ), те и p = n = Прямая проходит через точку M ( ; ; ), поэтому x =, y = z = Подставим значения m =, n =, p =, x =, y = z = в параметрические уравнения прямой x = mt + x x= t+ x = t + y = n t + y y = t+, y = z = p t + z z = t + z = t Заметим, что прямая лежит в плоскости y =, перпендикулярной оси ординат Поэтому прямая также перпендикулярна этой оси Для построения прямой находим вторую точку, через которую прямая проходит Например, при t = получаем x =, y =, z =, те точку M ( ; ;) m =, Z ( ) M ;; X - M Y Пример Составить канонические уравнения прямой B, если ( ; 4; ), ( ;;) B

13 Решение Подставим в канонические уравнения прямой проекции направляющего вектора s = B= B( ;;) ( ; 4;) =( ; 5; ) и координаты ( x ; y ; z ) точки ( ; 4; ) : x x y y z z x x y y z z = = = =, x y+ 4 z = = m n p 5 5 Деление на нуль означает, что числитель дроби также равен нулю, те прямая лежит в плоскости z = Пример y = x = Построить прямые: ) ; ) z = z = y Решение ) прямая состоит из точек M ( x;;) и перпендикулярна осям OY, OZ ; поэтому данная прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку M, лежащую в плоскости YO Z ( ;; ) Z M Y X x = ) Прямая определена уравнениями в проекциях z = y Прямая лежит в плоскости x = и поэтому перпендикулярна оси абсцисс Сначала построим прямую B, заданную уравнением z = y в плоскости YOZ, эта прямая отсекает на осях единичные отрезки Построенную прямую B параллельно переносим в плоскость x = и получаем требуемую прямую CD Z C B Y X D

14 Пример 4 x y z+ x = z + Вычислить угол между прямыми = =, y = z 5 Решение Угол ϕ между прямыми L и L равен углу между их направляющими векторами s и s 4 L s M ϕ s L Направляющий вектор первой прямой равен s = ( ;;) Вторая прямая определяется уравнениями в проекциях, у которых аппликата z является параметром и поэтому в систему уравнений следует записать тождественное равенство z = z x = z + x = z + y = z 5 y = z 5 z = z Направляющий вектор этой прямой ( ;;) Вычислим скалярное произведение s s s = = + + = 9; модули s = + + = 6, s = + + = 4 s s Косинус угла между векторами cos ϕ= = s s Ответ ϕ, , ϕ,9 Пример 5 Составить канонические уравнения прямой, заданной как пересечение двух x + y z = плоскостей x + y z = Решение Примем одну из переменных за свободную, а остальные выразим через нее В качестве зависимых переменных принимаем те, для которых определитель, составленный их коэффициентов, не равен нулю Например, z - свободная переменная: x + y z = x + y = + z x + y z = x + y = z

15 Далее, из обеих частей первого уравнения вычитаем обе части второго: y = z Находим x из второго уравнения: x + y = z x = z y, x = z ( z), x = 5 z Заметим, что можно применить формулы Крамера для решения системы x = 5 z Получаем уравнения прямой в проекциях y = z Выразим переменную z Получаем канонические уравнения прямой x+ y = = z 5 x+ y Ответ = = z 5 5 Пример 6 x = 4 z Найти след прямой на каждой координатной плоскости y = + z Решение След прямой на плоскости XOY - это точка пересечения прямой с этой плоскостью Точка пересечения ( те след ) прямой и плоскости XOY имеет аппликату z, равную нулю; остальные ее координаты находим из уравнений прямой, подставляя в них z = Отсюда: x = 4 z x = 4 x = 4, и ( 4;; ) y = + z y = + y = Аналогично определим след прямой на плоскостях x =, y = Подставим x = x = 4 z = 4 z z = z =,, ; B ( ;; ) y = + z y = + z y = + z y = Подставим y = x = 4 z x = 4 z x = 4 z x = 6,, ; C ( 6; ; ) y = + z = + z z = z =

16 Z B 6 Y 4 - X 6 C Ответ Следы: ( 4;; ), B ( ;; ), ( 6; ; ) C Пример 7 Найти положение B точки M, движущейся по прямой x y z + 4 = = из 6 начального положения ( ; ; ) в сторону положительных ординат со скоростью V = 4, в момент времени t = Решение Определим вектор скорости V из условия ее сонаправленности направляющему вектору s = ( ;; 6) Находим модуль вектора s = + + ( 6) = 7; единичный направляющий вектор a= s= s 7 s Увеличим единичный вектор в 4 раз, те V = 4 s= s V = ( 4;6; ) 7 Составим новые параметрические уравнения движущейся точки M со скоростью V = ( m; n; p) из положения Подставим в эти уравнения значения m = 4, n = 6, p =, x =, y =, z = : x = mt + x x = 4 t y = n t + y y = 6 t z = p t + z z = t + Конечное положение B получается при t = Ответ B 4;5; ( ) Пример 8 x y+ z Найти расстояние точки ( ; ;) до прямой = = Решение Построим схематически прямую, проходящую через точку M и вектор s

17 7 h M α h s B = B BM : Перпендикуляр h находим из прямоугольного треугольника M s sin α = M sin α= Применим формулу модуля векторного s произведения M s = M s sin α Получаем формулу расстояния точки до прямой: M s h = s Принимаем M ( ; ; ), s = ( ;; ) Вычисляем: M = M ( ; ; ) ( ; ;) = ( ; ;), модуль 6 векторное произведение i j k M s= = i j + k = ( ; 4;) ; модуль M s = M =, Расстояние точки до заданной прямой: M s h = =, 8 s 6 = Ответ h = Занятие 4 Прямая и плоскость в пространстве Пример Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( ; ; ), перпендикулярно плоскости x+ y z = 6 Решение Изобразим схематически взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве S = N P

18 Нормаль N плоскости x+ y z = 6 равна N =( ;; ) Прямая, перпендикулярная плоскости, будет параллельной нормали N Поэтому в качестве направляющего вектора S этой прямой можно принять нормаль, те S = N= ( ;; ) Применим канонические уравнения прямой в пространстве x x y y z z x = = y z = = m n p x y z Ответ = = Пример x y z Найти угол между прямой = = и плоскостью x+ y z = Решение Изобразим схематически прямую и плоскость в пространстве N α= 9 ϕ S L 8 P ϕ Угол между прямой L и плоскостью P равен углу ϕ между прямой и ее проекцией B на эту плоскость Угол между нормалью N и направляющим вектором S равен α= 9 ϕ Находим косинус этого угла ( ) cos 9 ϕ = N S N S sin ϕ= N S N Скалярное произведение векторов N = ( ;; ), S = ( ; ; ) равно N S= + = Модули N =, S = 5 sin ϕ= N S N S Ответ ϕ 5 sin ϕ=, 5 S B ϕ=arcsin, ϕ 5 5 Пример Найти точку пересечения прямой x+ y+ z = x y+ z = = и плоскости

19 9 Решение Точка пересечения прямой и плоскости называется следом прямой на плоскости Запишем параметрические уравнения прямой Для этого введем параметр t и выразим координаты текущей точки M ( xyz,, ) прямой через параметр: x y+ z = = = t x = t, y = t, z = + t Решим систему, составленную из уравнений прямой и плоскости Для этого переменные x, yz, из параметрических уравнений прямой подставим в уравнение плоскости: x+ y+ z = x= t t+ ( t ) + ( + t) =, t = y = t z = + t Подставим значение t = в уравнения прямой: x = t x = y = t y = z = + t z = 4 Координаты точки пересечения ( ; ; 4) Ответ ( ; ; 4) Пример 4 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y + z + 8 = = и точку ( ;;) Решение Изобразим схематически плоскость, проходящую через прямую L и точку N S L P M Находим координаты точки M, принадлежащей плоскости из канонических уравнений прямой x x y y z z = = ; x y + = = z+ 8 ( ) ; ; 8 m n p M Направляющий вектор S =( ; ; ), вектор M = ( ;;) M ( ; ; 8) =( ; 4; 9) Нормаль N плоскости находим как векторное произведение N M S Векторное произведение это вектор, перпендикулярный векторам M, S Поэтому вектор N перпендикулярен плоскости =

20 Вычислим координаты нормали плоскости: i j k N = M S= 4 9 = i j k 4 +, ( 6;; 6) N = Применим каноническое уравнение плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) = ( 6) ( ) ( ) ( 6)( ) Ответ x y+ z+ 5= x + y + z = Пример 5 Найти проекцию точки (; ;) на плоскость x+ y+ z = 7 Решение Проекция точки на плоскость - это основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из точки B S = N B P Составим уравнения прямой, проходящей через перпендикулярно плоскости Ее направляющий вектор S = N=( ; ; ) ) Параметрические уравнения прямой: x = mt + x x = t+ x = t y = n t + y y = t +, z = p t + z y = t z = t + z = t + Находим точку пересечения B перпендикуляра B и плоскости Решаем систему уравнений прямой и плоскости x+ y+ z = 7 x = t x = x= t t+ t+ t+ = 7, t = ; y = t y = t z t y = = + z = t+ z = Ответ B ; ; ( ) Пример 6 Показать, что прямые x= z, y = z + x y 4 z = = пересекаются

21 Решение Решим совместно "переопределенную" систему, составленную из уравнений двух прямых Например, подставим переменные x, y из первых двух уравнений в остальные: x y 4 z ( z ) ( z+ ) 4 z z 4 = = = =, = z = z Из последней пары уравнений находим z = z z = z 4 При этом значении z уравнения = z = z превращаются в числовые тождества Вывод Система уравнений совместна Точка пересечения двух прямых x= z x = имеет аппликату z = и поэтому y = z + y = Ответ Прямые пересекаются в точке ( ; ;) Пример 7 Найти расстояние между параллельными плоскостями x y+ 6 z = 68, x y+ 6 z = 4 Решение Плоскости параллельны, так как они перпендикулярны одной нормали N = ( ; ;6 ) N P h=b Q Найдем какую-нибудь точку, принадлежащую первой плоскости Например, полагаем в первом уравнении y = z = : x y+ 6 z = 68 x + 6 = 68, x = 4 Находим расстояние точки ( 4;;) Расстояние точки ; ; ) B до второй плоскости x y+ 6 z = 4 h ( x y z до плоскости a x+ b y+ c z+ d = a x + b y + c z + d h = a + b + c x y+ z = вычисляется по формуле Приводим второе уравнение к общему уравнению 6 4 Расстояние h = a x + b y + c z + d x + ( ) y + 6 z 4 ( ) h = = a + b + c + ( ) h = 4 Ответ h = ;

22 Теория Прямая на плоскости, ax + by + c = ; y= kx+ b; k = tgα - тангенс угла наклона прямой к оси OX ; отрезок, отсекаемый прямой на оси OY, равен b x y Уравнение прямой в отрезках : + =, где p, q - отрезки, отсекаемые p q прямой на осях координат Уравнение пучка прямых y y = k ( x x) x x y y Уравнение прямой, проходящей через две точки: = ; x x y y Условие перпендикулярности прямых, k k = ; k k Угол между прямыми, tgα= + k k Плоскость и прямая в пространстве Каноническое уравнение плоскости a ( x x) + b ( y y) + c ( z z) =, проходящей через точку M ( x, y, z ), перпендикулярно вектору n= ( abc,, )- нормаль плоскости Общее уравнение плоскости ax + by + cz + d = ; x y z Уравнение плоскости в отрезках + + =, где p, q, r - отрезки, p q r отсекаемые плоскостью на координатных осях n n Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, cos ϕ= n n Расстояние h точки M ( x y z до плоскости a x+ b y+ c z+ d = вычисляется по формуле a x + b y + c z + d h = a + b + c x x y y z z Канонические уравнения прямой = =, проходящей через m n p точку M ( x ; y ; z ), параллельно направляющему вектору s= ( m; n; p) ; ; ) Параметрические уравнения прямой: x = mt + x y = nt + y z = pt + z x x y y z z = = x x y y z z проходящей через две точки: ; уравнение прямой, Уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей: ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = направляющий вектор s n n, =, где n ( a; b; c) =, n ( a ; b ; c ) ; =

23 Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, s s 9 cos ϕ= = s s 6 4 x x y y z z Расстояние точки до прямой = = равно m n p M ( x ; y ; z ), направляющий вектор s= ( m; n; p) h M s =, где s


1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), перпендикулярно вектору N { A, B, C} Вектор, перпендикулярный

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве 3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

Факультет прикладной математики процессов управления. Н. В. Распопова, Л. А. Свиркина

Факультет прикладной математики процессов управления. Н. В. Распопова, Л. А. Свиркина Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Н. В. Распопова, Л. А. Свиркина Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Учебные материалы

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее