Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел. Теоретический материал"

Транскрипт

1 Тема 3. Элементы алгебраической и аналитической теории чисел Теоретический материал 1. Цепные дроби. Конечной цепной дробью называется выражение a +, (1) где a - целое число, a, i > 0, натуральные числа, a > 1. Будем записывать цепную дробь (1) в виде [a : a : : a ]. Каждое рациональное число можно представить единственным образом в виде конечной цепной = [a : a : : a ], при этом a - неполные частные алгоритма Евклида нахождения наибольшего общего делителя чисел p и q, то есть p = a q + r, q = a r + r, r = a r + r, r = a r + r, r = a r. Для заданной конечной цепной дроби [a : a : : a ] цепная дробь [a : a : : a ] (0 k) называется -й подходящей цепной дробью. Бесконечной цепной дробью называется выражение a +, () где a - целое число, a, i > 0, натуральные числа. Будем записывать цепную дробь () в виде [a : a : : a : ]. Для заданной бесконечной цепной дроби [a : a : : a : ] цепная дробь = [a : a : : a ] ( 1) называется -й подходящей цепной дробью. Цепная дробь () называется сходящейся, если существует конечный предел lim. Любая бесконечная цепная дробь сходится. Для любого действительного числа α существует единственное разложение в цепную дробь (): α = [a : a : : a : ]. 1

2 Приведем алгоритм поиска разложения действительного числа α в цепную дробь. Если α рациональное, то, применяя алгоритм Евклида, построим разложение числа α в конечную цепную дробь. Пусть число α иррациональное. Пусть a = [α], α = a +, число α является положительным иррациональным, большим 1. Далее a = [α ], α = a +, α > 1 иррациональное число, и так далее, получим α = [a : a : : a : ]. Рациональное число называется наилучшим приближением к действительному числу α, если не существует ни одной рациональной дроби, y b, которая была бы ближе к числу α, чем. Известно, что при 1 любая подходящая дробь к действительному числу α является наилучшим приближением. Бесконечная цепная дробь [a : a : : a : ] называется периодической, если последовательность чисел a, a,, a, является периодической, т.е. существует числа k и s такие, что a = a для любых s s. Если s = 0, то цепная дробь называется чисто периодической. Иррациональное число α называется квадратической иррациональностью, если α является корнем некоторого квадратного уравнения ax + bx + c = 0 с целыми коэффициентами. Известно, что все квадратические иррациональности (и только они) разлагаются в периодическую цепную дробь.. Алгебраические и трансцендентные числа. Комплексное число α называется алгебраическим, если существует ненулевой многочлен f(x) Q[x] с рациональными коэффициентами такой, что f(α) = 0. Если f(x) - многочлен наименьшей степени среди всех таких многочленов, для которых f(α) = 0, то f(x) называется минимальным многочленом алгебраического числа α, а степень минимального многочлена f(x) называется степенью алгебраического числа α. Для каждого алгебраического числа α существует единственный минимальный многочлен f(x) Q[x] со старшим коэффициентом, равным 1. Например, степень любого рационального числа равна 1, степень числа равна, а f(x) = x является минимальным многочленом для. Многочлен f(x) Q[x] называется неприводимым над Q, если не существует многочленов g(x), h(x) Q[x], степени, меньшей чем степень f(x), таких, что f(x) = g(x)h(x). Достаточное условие неприводимости многочлена над полем Q даёт следующий признак Эйзенштейна: пусть f ( x) a x a x... a x a - многочлен с целыми коэффициентами положительной степени и существует простое число p, такое, что числа a 1, a,..., a1 делятся на p, число a не делится на p, число a 0 делится на p, но не делится на p, тогда многочлен f ( x ) неприводим над полем Q.

3 Для любого алгебраического числа α минимальный многочлен f(x) является неприводимым над Q. Если α - корень неприводимого над Q многочлена f(x) степени, то α - алгебраическое число степени. Сумма α + β, разность α β, произведение αβ, частное α/β ( β 0 ) алгебраических чисел α, β являются алгебраическими числами. Комплексное число α называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим. Известно, что числа π, e являются трансцендентными. Лиувилль доказал следующее достаточное условие трансцендентности числа. Теорема Лиувилля. Пусть α - действительное число такое, что для любого натурального и любого действительного c > 0 существует хотя бы одна рациональная дробь α такая, что α <, то α - трансцендентное число. 3. Приложения цепных дробей к решению диофантовых уравнений. Линейное уравнение. Решение линейного уравнения ax + by = c, где (a, b) c, задается формулой: x = ( 1) q p c/a + q t, y = ( 1) p q c/b p t, t Z, где = [a : a : : a ] =, [a : a : : a ] =. Уравнение Пелля. Пусть d - натуральное число, не являющееся точным квадратом. Уравнение x dy = 1 в натуральных числах называется уравнением Пелля. Для нахождения решений уравнения Пелля нужно разложить число d в цепную дробь: d = [a : (a : a : : a )]. Все решения уравнения Пелля находятся по формулам: x = x + y d + x y d, y = x + y d x y d, где x = p, y = q, - подходящая дробь для d, k четное число, такое a является концом периода наименьшей четной длины с началом в a. 3

4 Задачи 1. Разложить число 17/4 в конечную цепную дробь. Применяем алгоритм Евклида: 4 = , 17 = 7 + 3, 7 = 3 + 1, 3 = 3 1. Поэтому = [0: 1: : : 3].. Разложить в цепную дробь число 5. Имеем a = 5 =, α = = 5 +, a = 5 + = 4, α = = α. Поэтому 5 = [: (4)]. 3. Найти решение уравнения 17x + 4y = 1. Имеем = [0: 1: : : 3], k = 4, p = 17, q = 4, p = 5, q = 7, x = ( 1) q p c/a + q t = 7 + 4t, y = ( 1) p q c/b p t = 5 17t. 4. Решить уравнение Пелля x 5y = 1. Имеем 5 = [: (4)], тогда k =, = [: 4] =. Поэтому x = 9, y = 4, x = , y = Доказать, что существуют трансцендентные числа. Докажем, что число α = является трансцендентным. Воспользуемся теоремой! Лиувилля. Возьмем произвольные натуральное и действительное c > 0. Выберем натуральное k так, чтобы 10!, k. Положим a = 10! имеем α = <! ()! + = 6. Найдите минимальный многочлен для элементов 1)!!! c. a 3 5, a 3. 3 x 5. Допустим, степень минимального многочлена равна, тогда 5, b = 10!. Тогда = α + β d, где α, β Q, d N, d N. Имеем 5 = α + 3αβ d + 3α β d + β d d. Отсюда 3α β + β d = 0. Следовательно, β = 0. Но тогда 5 Q. Противоречие. ) a 5 6, 4

5 4 x x x x x x 10 1 ( 3)( 3)( 3)( 3). Если предположить, что f ( x ) - минимальный многочлен для a, то 4 f ( x) x 10x 1. Из множителей x 3 нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени, меньше четвертой. Поэтому 4 f ( x) x 10x Докажите, что многочлен Q f ( x) x x... x 1 является неприводимым над Достаточно показать, что многочлен g( x) f ( x 1) неприводим над Q. Имеем 011 ( x 1) g( x) x C011x... C011 x C011. Так как простое x k число, то C 011 делится на 011 для любого k 1,010. При этом 010 C 011 не делится на 011. Согласно признаку Эйзенштейна многочлен g( x ), а значит и многочлен f ( x ), неприводим над Q. 8. Пусть - натуральное число, - действительное положительное число. Докажите, что если числа и ( 1) рациональные, то число также рациональное. Число является алгебраическим и степень числа не превосходит. Обозначим p, ( 1) q. Рассмотрим многочлены ( ) g1 x x p, g ( ) ( x x 1) q. Пусть f ( x ) - минимальный многочлен числа, тогда g ( x) f ( x) 1, g ( x) f ( x). Докажем, что не существует числа C,, такого, что g1( ) g( ) 0. Допустим, такое число существует. Тогда g ( ) 0 1, h ( 1) 0, где ( ) h x x q. Очевидно, q p, q 1. Рассмотрим комплексную плоскость и окружности C :, 1 z p C : z q. Расстояние между этими окружностями равно 1, т.к. q p

6 Имеем OA p, AB 1, пусть точке C соответствует число, точке F соответствует число 1. Продлим OC до пересечения с окружностью C в точке D, пусть CF пересекает BD в точке E. Треугольники OAC и OBD подобны, следовательно, AC BD. Кроме того, CF AB. Следовательно, ACEB - параллелограмм. Значит, CE AB 1. Но тогда CF CE 1, что невозможно. Так как g ( x) f ( x) 1, g ( x) f ( x) и многочлены g 1, g не могут иметь общих корней, отличных от, то f ( x) ( x ) k, где k N. Поскольку f ( x) Q[ x], то Q. 9. Доказать, что для любых натуральных взаимно простых m, (m 3 ) обобщённое уравнение Ферма x / + y / = z / не имеет решений в натуральных числах x, y, z. 1) Случай m = 1. Уравнение имеет вид + 1 =. В силу задачи 8 числа и рациональные. Поэтому x = ta, y = tb, z = t(a + b), где t, a, b натуральные, (a, b) = 1. ) Случай произвольного m 3. Предположим, существует решение (x, y, z). Тогда x = ta, y = tb, z = t(a + b), где (a, b) = 1. Отсюда следует, что t = q. Тогда числа x =, y =, z = натуральные и x = a /, y = b /, z = (a + b) /. Отсюда a = p, b = q, a + b = r. Поэтому p + q = r, что противоречит большой теореме Ферма. Задачи для самостоятельного решения 1. Пусть - натуральное число, - комплексное число, такие, что числа и ( 1) рациональные. Можно ли утверждать, что число также рациональное?. Докажите, что многочлен f x 7 ( ) x 14 является неприводимым над Q. 3. Найдите минимальный многочлен для элемента a Найти (с обоснованием) 3 решения уравнения Пелля x 7y = 1 с наименьшими по модулю значениями y. 5. Найти пять членов разложения в цепную дробь чисел π, e. 6. Решить в натуральных числах уравнение x / + y / = z /. 6

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины =

a 1 + a цепная дробь длины 1, a 0 + a цепная дробь длины = Цепные дроби Конечные цепные дроби Определение Выражение вида a 0 + a + a + + a m где a 0 Z a a m N a m N/{} называется цепной дробью а m - длиной цепной дроби a 0 a a m будем называть коэффициентами цепной

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

А. А. БУХШТАБ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ», МОСКВА 1966 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Обозначения 5 Введение 7 1. Предмет теории чисел 7 2.

А. А. БУХШТАБ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ», МОСКВА 1966 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Обозначения 5 Введение 7 1. Предмет теории чисел 7 2. А. А. БУХШТАБ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ», МОСКВА 1966 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Обозначения 5 Введение 7 1. Предмет теории чисел 7 2. Краткий исторический очерк развития теории чисел 9 Глава

Подробнее

1 Алгоритм Евклида и его сложность

1 Алгоритм Евклида и его сложность 1 Алгоритм Евклида и его сложность Определение 1. Общим делителем чисел a и b называется такое число c, что c a и c b. Определение 2. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется такой их общий делитель,

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9 класс Модуль «Уравнения и неравенства с одной переменной. Системы уравнений и неравенств» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Уравнения второй степени с двумя переменными и их системы.

Подробнее

9.1 класс Модуль 3 «Уравнения и неравенства с одной переменной» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

9.1 класс Модуль 3 «Уравнения и неравенства с одной переменной» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9.1 класс Модуль 3 «Уравнения и неравенства с одной переменной» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 1. Примерные практические задания: Укажите корень уравнения: 5x 4 7x + 2 = 0 а).

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Неприводимые и приводимые многочлены. Теорема о построении полей из p n элементов, где p простое число, n 2. Вычисления в конечных полях, алгоритм Евклида. Расширения полей. Мультипликативная группа

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 17 ПОЛЯ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример 2. Для каждого простого числа

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная.

МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная. МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. 1 порция. Неприводимые многочлены. Производная. Определение. Z p множество всех остатков по модулю p. Определение. Z[x] множество всех многочленов с коэффициентами из Z. Q[x]

Подробнее

Разложение многочлена на неприводимые множители

Разложение многочлена на неприводимые множители Разложение многочлена на неприводимые множители Рассмотрим самый общий случай. Пусть дано некоторое поле многочленов GF(q), где q = p n, n степень модуля q, а p характеристика. Обозначим через g 1 (x),

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИКА В первой части лекции будет показано, как в качестве тренировки преобразований

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИКА В первой части лекции будет показано, как в качестве тренировки преобразований РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИКА В первой части лекции будет показано, как в качестве тренировки преобразований выражений научиться решать уравнения 3-й и 4-й степени.

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ КУРС СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ МФТИ 08 ДЕКАБРЯ 03 КУРС. При каких n 3 можно утверждать, что для всякой пирамиды с выпуклым n-угольником в основании и всякой точки X внутри неё сумма расстояний от

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 11. Критерий неприводимости многочленов степени 2 или 3. Расширения полей. Вычисления в полях, алгоритм Евклида. Теорема о мультипликативной группе конечного поля. Лектор Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО Переходя от сравнений первой степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль простое число В этом случае

Подробнее

Глава VIII. Общая теория делимости

Глава VIII. Общая теория делимости Глава VIII. Общая теория делимости 1. Простые и неприводимые элементы области целостности 1. Основные понятия теории делимости в областях целостности. Напомним, что областью целостности называется коммутативное

Подробнее

Особенности решения уравнений в целых числах

Особенности решения уравнений в целых числах Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Особенности решения уравнений в целых числах Селькова Мария Александровна,

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА. Aut K L n.

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА. Aut K L n. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА Для того, чтобы ввести основные понятия теории Галуа, нам понадобятся некоторые пройденные знания о группах и о расширениях полей. Если говорить более конкретно, мы будем опираться на

Подробнее

СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ВЫРАЗИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРО- ЕНИЕ

СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ВЫРАЗИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРО- ЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 22 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ГРУППА ГАЛУА ВЫРАЗИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРО- ЕНИЕ 1 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ Определение 1. Многочлен f K[x] называется сепарабельным, если он

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

3. Получите на калькуляторе число cos 2π, используя извлечения только квадратных

3. Получите на калькуляторе число cos 2π, используя извлечения только квадратных Задачи к лекции А. Скопенкова 23.07 Перед походом на лекцию обязательно решите задачи 1-4 (или вспомните их решения; если не получается, узнайте решение у любого преподавателя или некоторых участников

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:.

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ. 1. Разложить в конечную цепную дробь:. РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ РЕЙТИНГОВЫХ РАБОТ РЕЙТИНГОВАЯ РАБОТА 1 1 Разложить в конечную цепную дробь: 2 Найти НОД и НОК: 14 16i и 3 9i 3 Разложить на простые множители 8 15i 4 Найдите все

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель Глава Целые, рациональные и действительные числа. Деление с остатком. Каждое из чисел ±23, ±4 разделите с остатком на каждое из чисел ±5. 2. Найдите все положительные делители числа 42. 3. Сейчас 3 часов.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ

ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ ЛЕКЦИЯ 19 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ В СУММУ ПРОСТЕЙШИХ 1 ЛЕММА ГАУССА И КРИТЕРИЙ ЭЙЗЕНШТЕЙНА Назовем содержанием многочлена f = a 0 + a 1 X +... a n X n R[X] наибольший общий

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67 Часть I Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 2 / 67 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы для практических занятий по алгебре со студентами специальности Математика

Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы для практических занятий по алгебре со студентами специальности Математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики Группы. Кольца. Поля Методические указания и материалы

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2001 год 9 КЛАСС. x 4 + y 4 = 1,

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2001 год 9 КЛАСС. x 4 + y 4 = 1, Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2001 год 9 КЛАСС Задача 1. Найти все решения системы { x 4 + y 4 = 1, x + y = 1. Решение. Из первого уравнения следует, что x 1 и y 1. Поскольку x + y =

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции.

Неравенства с двумя переменными и их системы. Взаимно-обратные функции. 9 класс Модуль «Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными. Степени и корни.» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Проверяемые знания/ умения Уравнения второй степени

Подробнее

1.1. Многочлены от одной переменной. О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение

1.1. Многочлены от одной переменной. О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение 1. Многочлены 1.1. Многочлены от одной переменной О п р е д е л е н и е. Многочленом f(x) от переменной x называется выражение a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 + a n x n, (1) где a 0, a 1, a 2,...,

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов.

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Задача (Теорема Блихфельда). Пусть k > 0 - натуральное число, X R n, Vol(X) > k. Докажите, что найдется k + различных точек s 0,..., s k X с

Подробнее

ABSTRACT ALGEBRA AND CONSTRUCTION PROBLEMS

ABSTRACT ALGEBRA AND CONSTRUCTION PROBLEMS АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА И ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ И. Б. КОЖУХОВ, А. А. ПРОКОФЬЕВ Московский институт электронной техники (технический университет) Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., 001 ABSTRACT ALGEBRA AND CONSTRUCTION

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 10. Идеалы, главные идеалы колец. Кольцо главных идеалов. Теорема о главном идеале кольца главных идеалов. Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов. Построение конечных полей из p n элементов,

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

Подробнее

Основы высшей алгебры и теории кодирования

Основы высшей алгебры и теории кодирования Основы высшей алгебры и теории кодирования Предварительная программа экзамена (МФТИ, весенний семестр 2017 года) Экзамен состоит из трёх частей: определения и формулировки основных теорем; доказательства

Подробнее

Эквивалентные множества

Эквивалентные множества Эквивалентные множества Теоретические вопросы. Множества конечные и бесконечные.. Сравнение множеств.. Счетные множества..4 Свойства счетных множеств..5 Эквивалентные множества..6 Несчетные множества..7

Подробнее

Занятие 3. перебором убеждаемся, что k = 1 и δ 2 = 2.

Занятие 3. перебором убеждаемся, что k = 1 и δ 2 = 2. Занятие 3 Задача 1. a)найти все первообразные корни по модулю 27. Заметим, что ϕ(27) = 27 9 = 18 = 2 3 2. Воспользуемся критерием и проверим, является ли 2 первообразным корнем по модулю 27: 2 6 64 10

Подробнее

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования»

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» 03.06.15 Вариант 1. 1. Порядок элемента g группы G равен 104. Чему равен порядок элемента g 39? Запишите подробное решение. Решение. Обозначим

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

МНОГОЧЛЕНЫ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

МНОГОЧЛЕНЫ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Глава 1 МНОГОЧЛЕНЫ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1.1. Основные понятия, связанные с многочленами Действия над многочленами; степень многочлена Напомним, что многочлен от одной переменной x это выражение вида f =

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов

Тематическое планирование по алгебре 11а класса у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов Тематическое планирование по алгебре 11а класса 2011 2012 у.г. (Трушин Б.В.) 5 часов в неделю, всего 170 часов I полугодие [1 неделя] [1 2] Контрольная работа по курсу 10 класса [3 5] Первообразная. Неопределенный

Подробнее

Теория чисел. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Цветков В.П. 2015г.

Теория чисел. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Цветков В.П. 2015г. Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП Цветков ВП 2015г Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Теория чисел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 23 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИ- КАЛАХ НЕРАЗРЕШИМЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ В РАДИКАЛАХ Лемма 1. Пусть L расширение Галуа поля K такое, что группа G = Gal L/K циклическая. Тогда расширение

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Казань 2016 Казанский (Приволжский) федеральный университет Н.А. Корешков, М.Ф. Насрутдинов СБОРНИК ЗАДАЧ

Подробнее

12. Целые расширения колец

12. Целые расширения колец 12. Целые расширения колец В этом параграфе слово «кольцо» по умолчанию означает коммутативное кольцо с единицей, а гомоморфизмы колец предполагаются отображающими единицу в единицу. 12.1. Целые элементы.

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Р. М. Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ

Р. М. Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ Р М Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ Самара 009 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич Прикладная алгебра 1 / 160 Прикладная алгебра Лекции для групп 320 328 (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года Лектор Гуров Сергей Исаевич Ассистент Кропотов Дмитрий Александрович Факультет Вычислительной

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения.

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения. Экзаменационные вопросы по алгебре 1. Доказать, что число N An всех подмножеств конечного множества A n, состоящего из n элементов, равно N An = 2 n. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна

Подробнее

Дата. Ко л- во ча со в. Тема

Дата. Ко л- во ча со в. Тема Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс. 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс. 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Решение. 1-й способ.. 2-й способ.,,. Тогда Обоснованно получен

Подробнее

Кольца целых чисел квадратичных полей

Кольца целых чисел квадратичных полей УДК 511. Кольца целых чисел квадратичных полей Журавлев Е.В., Токарев В.Н. Алтайский государственный университет, Алтайский государственный технический университет evzhuravlev@mal.ru, tok31.1973@mal.ru

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Содержание. АлгебрА. Числа и операции над ними

Содержание. АлгебрА. Числа и операции над ними Содержание Числа и операции над ними АлгебрА действительные числа..................................................... 7 операции над числами..................................................... 8 делимость

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 2006 Печатается по решению учебно-методического совета механико-математического факультета КГУ Составители: доц. Корешков Н.А., асс.

Подробнее

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11)

так что x = , и подставим в выражение числителя: 11) 5 Решение уравнений в целых числах В решении даже таких простейших уравнений, как линейное уравнение с одним неизвестным, есть свои особенности, если коэффициенты уравнения являются целыми числами, и требуется

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Для интегрирования рациональной функции

Для интегрирования рациональной функции Интегрирование рациональных функций Для интегрирования рациональной функции последовательность шагов:, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая 1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) степени

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

1 n k n k. 27. Отбросим в [q 1 ;... ; q k ] последнее слагаемое 1

1 n k n k. 27. Отбросим в [q 1 ;... ; q k ] последнее слагаемое 1 Алгебра. Все числа в этом листке целые, если не оговорено иное. Разделить число a на число b 0 с остатком означает найти такие целые q(неполное частное) и r (остаток), что a = bq + r и 0 r < b. 1. Разделите

Подробнее

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством Лекция. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию Она обладает свойством Эта функция обозначается e iϕ : это формула Эйлера. fϕ) = cosϕ + i sin ϕ. fϕ ) fϕ ) = fϕ + ϕ ). e

Подробнее

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ экзаменационной работы по курсу Избранные вопросы дискретной математики Задача 1 (3 балла. При помощи производящих функций доказать комбинаторное тождество ( C k 2 = C 2. Задача 2 (3

Подробнее

Методы математических доказательств

Методы математических доказательств Методы математических доказательств Гуев Т.А. 22 декабря 25 г. 2. Доказательство «методом от противного». Иногда для доказательства отдельных утверждений, нам не удается найти прямого рассуждения, с помощью

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) А.С. Солодовников, проф. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) А.С. Солодовников, проф. (Финакадемия) УДК :5(0758) ББК 8 Б Рецензенты: МВ Зайцев, проф (МГУ им МВ Ломоносова) АС Солодовников, проф (Финакадемия) Б Винюков ИА, Попов ВЮ, Пчелинцев СВ Линейная алгебра Ч : Многочлены и комплексные числа Собственные

Подробнее