Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной форм обучения МИНСК 203

2 Литература ) Высшая математика Общий курс / Под ред С А Самаля Мн: Вышэйш шк, ) Высшая математика Общий курс / Под ред А И Яблонского Мн: Вышэйш шк, 993 3) Гусак А А Задачи и упражнения по высшей математике Мн: Вышэйш шк, 998 ч 2 4) Гайшун ЛН, Денисенко НВ, Марков АВ и др Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч / Минск: БГЭУ, 2009 Ч2 5) Сборник индивидуальных заданий по высшей / Под ред А П Рябушко Мн: Вышэйш шк, 99 ч 2 6) АИ Астровский, МП Дымков Высшая математика Учебное пособие (часть 2) Минск: БГЭУ, 20

3 Часть I Числовые ряды Основные понятия Определение Пусть дана бесконечная последовательность чисел Тогда формально составленная сумма вида называется числовым рядом; слагаемые ряда; общим членом ряда называются членами Вообще говоря, ряд () задан, если известен его общий член ), те известно правило, по которому каждому номеру ставится в соответствие определённый член ряда Пример Написать первые пять членов ряда, если общий член задан формулой: Решение 3

4 Таким образом, данный ряд можно записать Пример 2 Найти формулу общего члена ряда Решение Очевидно, что числитель каждой дроби число чётное, а знаменатель степень числа 3 Тогда Определение 2 Суммы вида частичными суммами ряда называются Определение 3 Сумма конечного числа первых членов ряда () называется -ой частичной суммой ряда: Если существует конечный предел, то его называют суммой ряда () и говорят, что ряд сходится не существует, то ряд () расходится и суммы не имеет Пример 3 Рассмотрим ряд, составленных из членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом геометрическим рядом Решение Сумма aq (3), который называется первых членов геометрической прогрессии равна ) Если то при и, следовательно, 4

5 Получим конечный предел, значит, ряд (3) сходится и его сумма равна 2) Если, то при, тогда lim S образом, ряд расходится не существует Таким 3) Если, то ряд (3) примет вид Тогда, lim S Значит, ряд (3) при расходится 4) Если, то ряд (3) примет вид В этом случае { Следовательно, последовательность { } предела не имеет, значит ряд расходится Пример 4 Показать, пользуясь определением, сходимость ряда и найти его сумму: Решение Общий член ряда представим в виде Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 5

6 Решив систему, получим Следовательно ( ) ( ) ( ) ( ) Очевидно, что в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего, поэтому ( ) равна Следовательно, lim S lim, те ряд сходится и его сумма 2 Пример 5 Показать, пользуясь определением, сходимость ряда и найти его сумму: Решение Общий член ряда 6

7 Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения и { ( ) (( ) ( ) ( ) ( )) Очевидно, в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего, поэтому ( ) Следовательно, сумма равна lim lim S 2 2 2, те ряд сходится и его Определение 3 Если в ряде () отбросить первые членов, то получится ряд называемый остатком ряда () после -го члена и он обозначается Теорема Если ряд () сходится, то сходится и его остаток (6), и наоборот, если сходится остаток (6), то и сходится ряд () 7

8 Теорема 2 Для того, чтобы ряд () сходился, необходимо и достаточно, чтобы Следствие Если в ряде () отбросить конечное число начальных членов, то это не повлияет на сходимость (расходимость) ряда также ряд Теорема 3 Если ряд a сходится и его сумма равна, то сходится Ca, где С любое действительное число, а его сумма равна Теорема 4 Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, так что ряды сходятся и их суммы равны соответственно, где суммы исходных рядов ЗАДАЧИ I Написать первые шесть членов ряда по заданному общему члену: 2 3 II

9 III Пользуясь непосредственно определением, исследовать сходимость ряда и найти его сумму, если ряд сходится ОТВЕТЫ 9

10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a 2 Необходимый признак сходимости ряда сходится, то его общий член стремится к нулю при те lim a 0 Обратное утверждение неверно Если lim a 0, то вопрос о сходимости ряда остается открытым Следствие Если lim a 0, a расходится Пример 6 Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости: Решение Найдем предел общего члена ряда: 0

11 lim lim a lim 0, значит, ряд расходится на основании следствия из необходимого признака Пример Решение Найдем предел общего члена ряда: [ ] Так как lim a 0, то на основании необходимого признака сходимости (расходимости) этого ряда ничего нельзя сказать Далее будет показано, что данный ряд расходится Пример 8 Исследовать сходимость ряда: 5 Решение Найдем предел общего члена ряда: lim a lim ( ) lim 5 e 0, значит ряд расходится ЗАДАЧИ Исследовать сходимость рядов, применяя необходимый признак сходимости: si 2 cos arctg

12 22 ОТВЕТЫ 2 3 Ряды с положительными членами Признаки сходимости рядов с положительными членами Ряд называется положительным, если все его члены положительны, то есть, и неотрицательным, если Интегральный признак Маклорена-Коши: Рассмотрим положительный ряд a a a2 a3 a Если существует функция ) задана на промежутке 2) непрерывная; 3) монотонно-убывающая; 4) то ряд a одновременно Пример 9, удовлетворяющая следующим условиям: и несобственный интеграл сходятся или расходятся Рассмотрим обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) и исследуем его на сходимость Решение Применим интегральный признак сходимости При функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака Маклорена-Коши 2

13 Рассмотрим три случая: те несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд ( ) те несобственный интеграл расходится Следовательно, обобщенный гармонический ряд p расходится при 3 Если, то dx lim b p x b dx p lim x b, те несобственный интеграл сходится b p b lim( ) p Замечание Интегральный признак Маклорена-Коши был высказан в геометрической форме еще в 742г Маклореном, но остался незамеченным и вновь был открыт в 827г Коши В литературе этот признак часто встречается под названием просто интегральный признак Пример 0 2 l Решение Функция 3 удовлетворяет условиям интегрального признака сходимости Рассмотрим несобственный интеграл b b dx dx d l x b x xl x b xl x b l x b 2 b lim lim lim l l lim(l lb l l 2) Несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится

14 ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ Рассмотрим два положительных ряда то ряд расходится то ряды Если, начиная с некоторого номера b сходится, a также сходится Если ряд a расходится, то и ряд b ВТОРОЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ Если существует конечный и отличный от нуля lim a a и b b сходятся или расходятся одновременно l, Замечание 2 Сходимость многих рядов может быть исследована сравнением с обобщенным гармоническим рядом рядом aq 0 Пример Исследовать сходимость ряда p или с геометрическим Решение Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом Так как то из сходимости ряда 3 следует 2 4

15 Пример 2 Исследовать сходимость ряда cos a 2cos a 3cos 2a 4cos 3a 2 cos a Решение Сравним данный ряд с рядом Этот ряд является гармоническим, у которого отброшен первый член Известно, что гармонический ряд расходится, но тогда в силу следствия из теоремы и ряд расходится Так как в данном случае a то из расходимости ряда (cos ) 2 те следует расходимость данного ряда Пример 3 Исследовать сходимость ряда Решение В числителе стоит многочлен первой степени знаменателе многочлен четвертой степени, а в Сравниваем данный ряд с обобщенным гармоническим рядом, у которого, те Этот ряд сходится, тк 3 Применим второй признак сравнения ( ) Следовательно, второй признак сравнения выполняется и данный ряд сходится 5

16 ЗАДАЧИ Исследовать сходимость рядов, применяя интегральный признак Маклорена-Коши: ОТВЕТЫ 30 Сходится 3 Расходится 32 Сходится 33 Сходится 34 Сходится 35 Сходится 36 Расходится 37 Расходится 38 Сходится 39 Расходится 40Расходится (указание: ) 4Сходится (указание: сравнить с l 5 ) 6

17 3 ) 43 Сходится (указание: 7 6 ) 44 Сходится (указание: сравнить с ) 45 Сходится 2 42 Сходится (указание: сравнить с сравнить с 5 (указание: сравнить с ) 46 Расходится (указание: сравнить с 2 ) 47 Расходится (указание: сравнить с ) 48 Сходится (указание: si3 ) 49 Сходится (указание: сравнить с 7 5 ) 5 Сходится (указание: сравнить с 2 ) 50 Сходится (указание: сравнить с сравнить с ) 53 Сходится (указание: сравнить с 3 2 (указание: l, сравнить с 4 3 2si, сравнить с ) ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА ) 52 Расходится (указание: ) 54 Сходится ) 55 Расходится (указание: Пусть для положительного ряда a существует конечный предел Тогда, если, то ряд сходится; если то ряд расходится; если, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, в этом случае следует применить другие признаки сходимости Пример 4 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Даламбера

18 a lim lim lim a сходится по признаку Даламбера Пример 5 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Даламбера:, следовательно, данный ряд 2!! 2 ( ) ( ) данный ряд расходится по признаку Даламбера Пример 6 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Даламбера, следовательно,! ( ) ( ) ( ) (использовали второй замечательный предел), значит, данный ряд расходится ПРИЗНАК КОШИ Пусть для положительного ряда a существует конечный предел 8

19 Тогда, если, то ряд сходится; если то ряд расходится; если, то признак Коши ответа на вопрос о сходимости ряда не дает, в этом случае следует исследовать ряд с помощью других признаков сходимости Пример 7 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Коши 2 lim a lim lim 2, следовательно, ряд сходится 2 2 Пример 8 Исследовать сходимость ряда Решение Применим признак Коши 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ряд сходится (применили второй замечательный предел), следовательно, ЗАДАЧИ Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера: 9

20 ОТВЕТЫ 56 Сходится 57 Сходится 58 Сходится 59 Расходится 60 Сходится ( ) 6 Расходится ( ) 62 Сходится ( ) 63 Сходится 64 Сходится 65 Сходится 66 Сходится 67 Сходится ЗАДАЧИ Исследовать сходимость рядов, применяя признак Коши: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ОТВЕТЫ 68 Сходится 69 Сходится 70 Расходится 7 Расходится 72 Сходится 73 Сходится 74 Расходится 75 Расходится 76 Сходится 20

21 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость Признак Лейбница Определение 4 Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным Определение 5 Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки Таким образом, знакочередующийся ряд это ряд вида Замечание Знакочередующиеся ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, называются рядами Лейбница Теорема Коши Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т е Замечание2 Теорема Коши является только достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся a Определение 6 Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин a 2

22 Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд из абсолютных величин расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся Для знакочередующихся рядов применяется признак Лейбница ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА Если члены знакочередующегося ряда a монотонно убывают по абсолютной величине, те и, то ряд сходится и его сумма меньше первого члена, те S<a, а остаток ряда удовлетворяет неравенству Пример 20 Исследовать сходимость ряда 2 Решение Данный ряд знакочередующийся, те Составим ряд их абсолютных величин членов данного ряда a 2 Сравним этот ряд с рядом 2 для всех Ряд 2 расходится, так как расходится ряд (обобщенный гармонический ряд где ) p, Значит, ряд по первому признаку сравнения, составленный из абсолютных величин расходится 2 Применим признак Лейбница для ряда 22 2 Условия признака Лейбница выполняются, тк

23 ) a > a +, те Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по 2 признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, поэтому данный ряд сходится условно Пример 2 Исследовать сходимость ряда 3 Решение Исследуемый ряд является знакочередующимся Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, те Применим признак Даламбера: 3 ( ) Следовательно, ряд 3 исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно Пример 22 Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера сходится, значит, Решение Исследуемый ряд является знакочередующимся Составим ряд 2 из абсолютных величин членов данного ряда : Следовательно, ряд из абсолютных величин расходится, тк не выполняется необходимый признак сходимости 23

24 Замечание 3 Для сходимости знакочередующегося ряда a недостаточно, чтобы lim a 0 Условия и lim a 0 означают, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена стремится к нулю монотонно Замечание 4 Признак Лейбница это только достаточный признак, он не является необходимым, те у сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная величина его общего члена может стремиться к нулю при и не монотонно Пример 23 Решение Общий член данного ряда хотя и не монотонно, те не выполнено условие стремится к 0 при те Однако данный ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, и, каждый член которого не превосходит соответствующего члена сходящегося обобщенного гармонического ряда 3 p 3 5 Приближенное вычисление с помощью рядов Пример 24 Найти приближенно сумму ряда 2! с точностью до 0,00 Решение Запишем ряд в развернутом виде: 24

25 Данный ряд является знакочередующимся, который удовлетворяет признаку Лейбница, те сходится следовательно, ряд Чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого меньше 0, 00, те надо определить число, равное количеству первых членов ряда, которые надо оставить, чтобы заменить сумму ряда S его частичной суммой, а остальные члены отбросить, оценив сумму отброшенных членов r По условию Для получения приближенного значения суммы ряда с точностью до 0,00 надо взять сумму первых 2-х членов ряда, тк r 2 < a 3 < 0,00 Следовательно, S = a a 2 = 0,67 0,0047 0,63 Пример 25 Найти приближенно сумму ряда с точностью 2 до Решение Запишем ряд в развернутом виде Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяющим условиям признака Лейбница, те Следовательно, данный ряд сходится по признаку Лейбница Но этот ряд сходится абсолютно, тк ряд, составленный из абсолютных величин, сходится по признаку Даламбера, 25

26 Чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого меньше 0,0, те, тк Следовательно, нужно взять сумму первых четырех членов ряда,, то оценка для остатка будет r < 0,0 и Пример 26 Исследовать сходимость ряда и найти сумму ряда с точностью до 0,0: Решение Это знакочередующийся ряд, который удовлетворяет признаку Лейбница, те a > a + Следовательно, ряд сходится Но этот ряд сходится абсолютно, тк ряд, составленный из абсолютных величин, сходится по предельному признаку сравнения со сходящимся рядом (обобщенный гармонический ряд, где p=3>) Для того, чтобы найти с 3 точностью до 0,0 сумму данного ряда, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,0 Тогда весь остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 0,0 Для данного ряда модуль четвертого члена Следовательно, для решения данной задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых трех членов, что обеспечит заданную точность Тогда ЗАДАЧИ Исследовать сходимость рядов В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость

27 8 82 e l l 2!!4 3 ОТВЕТЫ 77 Расходится 78 Сходится абсолютно 79 Сходится абсолютно 80 Сходится условно 8 Сходится абсолютно 82 Расходится 83 Сходится условно 84 Сходится абсолютно 85 Сходится абсолютно 86 Расходится 87 Сходится условно 88 Сходится абсолютно ЗАДАЧИ Вычислить сумму ряда с заданной точностью ; = 0, ; =0, ; = 0,00 92 ; = 0, ; = 0,00 94 ; =0, ! 27

28 ОТВЕТЫ 89 0, ,7 9 0, , , ,32 6 Степенные ряды Интервал и радиус сходимости степенного ряда Степенным рядом называется ряд вида a x x a a x x a x x (9), членами которого являются степенные функции Числа ( = 0,, 2, ) называются коэффициентами степенного ряда Общий член степенного ряда будем обозначать При степенной ряд (9) примет вид 2 ax a0 ax a2x ax 0 (20) Ряд (9) называют степенным рядом по степеням, а ряд (20) степенным рядом по степеням Область сходимости степенного ряда устанавливается следующей теоремой Теорема Абеля Если степенной ряд ax сходится при, 0 то он сходится при всех, удовлетворяющих условию Если же ряд расходится при, то он расходится и при всех, удовлетворяющих условию Область сходимости степенного ряда Теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд сходится при, то он сходится абсолютно при любом из интервала Если же ряд расходится при, то он расходится во всех точках, расположенных вне интервала 28

29 Определение Радиусом сходимости степенного ряда (20) называется неотрицательное число R, такое, что при ряд сходится, а при расходится Интервалом сходимости ряда (20) называется интервал (рис ), а для ряда (9) интервал сходимости (рис 2) Радиус сходимости можно найти, используя признак Даламбера:, отсюда следует Следовательно, радиус сходимости определяется формулой Если к ряду (20) применить признак Коши, то получим следующую формулу для нахождения радиуса сходимости Если, то ряд (9) сходится только в одной точке, а ряд (20) сходится только в одной точке Если, то ряды (9) и (20) сходятся на всей числовой оси Таким образом, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости и интервал сходимости При ряд может либо сходиться, либо расходиться Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда индивидуально Следовательно, областью сходимости степенного ряда (20) является интервал сходимости с возможно присоединенной к нему одной или двумя точками в зависимости -R от того, как ведет R себя ряд на концах интервала, те при и расходится сходится расходится рис 29

30 расходится сходится расходится рис 2 Пример 27 Найти область сходимости степенного ряда! x3 2 Решение Найдем радиус сходимости ряда по формуле ; = = Следовательно, ряд сходится только при, те в одной точке Пример 28 Найти область сходимости ряда 3 x Решение Найдем радиус сходимости ряда по формуле ; = = R = Интервал сходимости ряда Итак, при ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится Исследуем сходимость ряда на концах интервала, те при 30

31 ) При получим ряд Это знакочередующийся ряд Запишем его в развернутом виде Применим признак Лейбница ) Признак Лейбница выполняется, следовательно, ряд сходится Проверим, как ведет себя ряд из абсолютных величин 3 2 расходится Это обобщенный гармонический ряд, где, который По признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, а знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, следовательно, знакочередующийся ряд сходится условно 0 2) При получим ряд Этот ряд расходится по признаку сравнения с обобщенным гармоническим рядом Следовательно, областью сходимости степенного 3 ряда является полуинтервал [ Пример 29 Найти область сходимости степенного ряда x Решение Найдем радиус сходимости ряда по формуле 3

32 ; Ряд сходится, если = = 5 Итак, интервал сходимости степенного ряда ( 3;7) При ( 3;7) ряд сходится абсолютно, а при ( 3;7) расходится Исследуем сходимость ряда на концах интервала ) При = 3 получим ряд Это знакочередующийся ряд Составим ряд из абсолютных величин 5 Сравним данный ряд с гармоническим рядом 2, который расходится По признаку сравнения рядов в предельной форме имеем: Поскольку ряд расходится, то 5 также расходится 2 Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, используя признак Лейбница: ), те ; 5 2) lim a lim

33 Итак, для знакочередующегося ряда 5 выполнены оба условия 2 признака Лейбница, значит, данный ряд сходится Ряд из абсолютных величин расходится, а знакочередующийся ряд сходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится условно 2) При получим ряд Данный ряд расходится по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом (см выше) Таким образом, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал [ 3; 7) Пример 30 Найти область сходимости ряда 5 x 3 4 Решение Найдем радиус сходимости ряда по формуле ; = ( ) = ( ) Ряд сходится для всех, удовлетворяющих неравенству те Итак, интервал сходимости степенного ряда ( 33

34 расходится При ( ) ряд сходится абсолютно, а при ( Исследуем сходимость ряда на концах интервала ) При получим ряд Это знакочередующийся ряд Применим признак Лейбница: = Условие признака Лейбница не выполняется, следовательно, знакочередующийся ряд расходится 2) При получим ряд Применим необходимый признак сходимости = = Следовательно, данный ряд расходится, тк не выполняется необходимый признак сходимости Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал ( Пример 3 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда 2 x 2 Решение Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле 34

35 , где ( ), тогда ( ) ( ) ( ) Интервал сходимости ряда ( ) расходится Итак, при х ( ) ряд сходится абсолютно, а при ( ) Пример 32 Найти область сходимости степенного ряда x Решение Найдем радиус сходимости ряда по формуле ; ( ) = 3 Получим Найдем интервал сходимости степенного ряда Интервал сходимости ряда ( ) Итак, при ( ) ряд сходится абсолютно, а при ( ) расходится Исследуем сходимость ряда на концах интервала, те при x = ; x = ) При = получим ряд

36 Этот ряд сходится, тк это обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), где 2) При получим ряд Этот ряд сходится (показано выше) Следовательно, областью сходимости степенного ряда является закрытый промежуток [ ] ЗАДАЧИ Найти область сходимости степенных рядов: x 95 5! 2 96 x 3 x x! x l 2 3 x x x 03 4 x 5 x x 2! x x 2 2 x 08 l 2 2 x ( ) 96[ ) 97 (0; 6) 98 ( е; е) ОТВЕТЫ 99 ] 00 [ 0 [ ] 02 ( ) (указание ) 03 ( ) 36

37 04 ( 05 [ 06 = ( 2; 0) 08 [ 2; 0) 09 ( ] 7 Ряды Тейлора и Маклорена Если функция является суммой степенного ряда на некотором промежутке, то говорят, что она разлагается в степенной ряд на этом промежутке, или степенной ряд сходится к функции на указанном промежутке Пусть функция имеет в окрестности точки производные до (+)-го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора: где остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда),, где, те заключено между и Степенной ряд ( ) f ( x0) ( 0 ) xx +! 0 называется рядом Тейлора функции в точке Если Маклорена:, то получим ряд (22), который называется рядом 37 ( ) f (0) x (22)! Теорема Для того, чтобы ряд Тейлора (2) сходился к функции, необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при, те = 0 0

38 Теорема 2 (Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора) Если производные любого порядка функции ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом М, те, то ряд Тейлора функции сходится к для любого из этой окрестности Теорема 3 Если функция разложение единственно разложима в ряд Тейлора, то это Пример 3 Разложить в ряд Тейлора функцию и найти интервал сходимости полученного ряда Решение Запишем ряд Тейлора для функции по степеням в окрестности точки Применим формулу Вычислим значения функции и ее производных в точке х = 2 Составляем ряд: - = 38

39 ( ) ( x 2) Найдём радиус сходимости ряда : 2 0 Следовательно, ряд сходится при Ряд сходится в интервале (0;4) Разложение функций в ряд Маклорена ) (23) 2) (24) 3) (25) 4) (26) 5) (27) 6) ( ) (28) 7) (29) 8) (30) 9) (3) 0) (32) Пример 33 Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию Решение Найдём производные функции и их значения в точке 39

40 вид: Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет Пример 34 Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию Решение Найдём производные функции и их значения в точке Подставляя эти значения в ряд получим ряд Тейлора данной функции: Пример 35 Разложить в ряд Маклорена функцию Решение Воспользуемся формулой (3) 40

41 Заменим на в формуле (3), тогда получим: ( ( ) ( ) ) или где те Пример 36 Разложить в ряд по степеням функцию Решение Найдём производные функции и их значения в точке [ ] [ ] Находим остаточный член: где те при любом, а величина ограниченная, то lim R 0 Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена: Задачу можно решить иначе В равенстве его разложением в степенной ряд: заменим 4

42 ( ) ЗАДАЧИ Разложить в ряд Маклорена следующие функции: ( ) x, 0 3( ) 0 2, x ОТВЕТЫ 3 4 x, ( ) 0 ( )

43 ЗАДАЧИ Разложить в ряд Тейлора следующие функции: 8 по степеням 9 по степеням 20 по степеням 2 по степеням 22 по степеням 23 по степеням 24 по степеням ОТВЕТЫ 8 ( ) ( x 2) x, ( ) (2 3) ( 3) x 2 2!, 20 [ ] 2 22 [ ] 23 [ ] 24 43

44 8 Применение рядов в приближенных вычислениях Представление элементарных функций в виде степенных рядов позволяет применять эти ряды для приближенных вычислений С заданной степенью точности можно вычислить значения тригонометрических функций, логарифмов, корней, определенных интегралов, которые не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, а также можно интегрировать дифференциальные уравнения Пример 37 Вычислить si2, взяв два члена разложения функции в ряд Оценить погрешность Решение Переведем 2 в радианы: Используем разложение синуса в степенной ряд Маклорена который сходится на интервале (- ; ) Получим, ( ) ( ) + Действительно, если взять в этом равенстве два первых члена, то будем иметь приближенное равенство погрешность которого равна сумме отброшенного знакочередующегося ряда ( ) ( ) ( ) Согласно признаку Лейбница погрешность не превзойдет по абсолютной величине абсолютного значения первого отброшенного члена ряда, те, в нашем случае ( ) 44

45 Поэтому мы допускаем ошибку меньше 0,000 Итак, В случае знакопостоянного ряда оценка погрешности сложнее Во многих случаях можно использовать прием, когда ряд из отброшенных членов сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией Пример 38 Вычислить определенный интеграл 0,00, разложив подынтегральную функцию в ряд 2 si x 2 dx с точностью до 0 x Решение Применить формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интеграла не предоставляется возможным, так как соответствующий интеграл не выражается через элементарные функции Тем не менее с помощью степенных рядов его можно вычислить с любой степенью точности Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, для этого воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Заменив в этом ряде на, получим x x x si x x 3! 5! 7! x x x dx dx dx x x 3! 5! 7! ( ) Получим знакочередующийся ряд Вычисляя члены этого ряда с точностью до 000, замечаем, что третий член ряда по абсолютной величине меньше 000 Согласно признаку Лейбница, остаток ряда не превзойдет по абсолютной величине первого отброшенного члена ряда, те 45

46 Следовательно, для решения данной задачи достаточно взять сумму первых двух членов, что обеспечит требуемую точность 2 0 si x 29 0, dx x 53! до 0,00 Пример 39 Вычислить определенный интеграл 0,6 0,4x2 e dx с точностью 0 Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, для этого воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: Заменив в этом ряде на, получим: x 04x 04 x 04 x 04 x! 2! 3! 4! 0 0 e dx dx x 008x 04 x 04 x x Получили знакочередующийся ряд Вычисляя члены этого ряда с точностью до 0,00, замечаем, что 4-ый член ряда по абсолютной величине меньше 0,00 Cогласно признаку Лейбница, остаток ряда не превзойдет по абсолютной величине первого отброшенного члена ряда, те Следовательно, для решения данной задачи, достаточно взять сумму первых 3-х членов ряда, что обеспечит требуемую точность 0,6 0,4x2 e dx 0 46

47 Пример 40 Вычислить с точностью до 0,000 Решение Воспользуемся разложением функции в ряд, те В нашем случае Получим знакочередующийся ряд Вычисляя члены этого ряда, замечаем, что 3-й член ряда по абсолютной величине меньше 0,000 Следовательно, для решения данной задачи, согласно признаку Лейбница, достаточно взять сумму первых двух членов ряда, что обеспечит требуемую точность Пример 4 Вычислить с точностью до 0,000 Решение Для вычисления логарифмов эффективна формула [ ] [ ] Заменив каждый из множителей (2+3); (2+5); (2+7); меньшим числом 2+, получим неравенство [ ] Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках: ],те ( ) ; 47

48 Если, то ; если, то Значит, достаточно взять два члена ряда, чтобы вычислить с заданной точностью Следовательно, ( ) ЗАДАЧИ Вычислить значения функции с точностью до 0,000: ОТВЕТЫ 25 0, , ,3956 ЗАДАЧИ Вычислить определенные интегралы с точностью до 0,00: 3 28 x cos xdx ,8 si,25x dx x ,4 7x2 e dx 3 0 0,8 0 x si xdx 0 cos xdx 0 ОТВЕТЫ 28 0, , , , ,006 48

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей

Методические рекомендации по дисциплине «Математика» для студентов заочного и дистанционного обучения экономических и инженерных специальностей Федеральное агентство по сельскому озяйству Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математики

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее