ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко Л. И., Кирютенко Ю. А., Спинко Л. И. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I КУРС, -Й СЕМЕСТР ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Ростов-на-Дону 007 год

2 Методические указания разработаны сотрудниками кафедры математического анализа Коршиковой Т. И., Калиниченко Л. И., Кирютенко Ю. А., Спинко Л.И. В них рассматриваются методы решения типовых примеров, традиционно решаемых на практических занятиях по математическому анализу в первом семестре первого курса на отделениях «Математика» и «Механика». После каждого раздела приведены задачи для самостоятельной работы. В указаниях авторы существенно опираются на теоретический материал, изложенный в курсе лекций по математическому анализу [3], используют его определения и обозначения. Ответственный редактор Компьютерный набор и верстка доктор физ.-мат. наук А. В. Абанин канд. физ.-мат. наук Ю. А. Кирютенко Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа факультета «Математика, механика и компьютерные науки», протокол 8 от 7 апреля 007 г.

3 Предел функции. Предельная точка множества Определение. Пусть X R и X. Точка a конечная или бесконечно удаленная) называется предельной точкой множества X, если в любой ее окрестности содержится хотя бы один элемент множества X, отличный от a. С помощью логической символики определение можно записать так: a предельная точка множестваx U a U ) a X. Определение равносильно следующему. Определение. Точка a R называется предельной точкой множества X X R, X ), если в любой ее окрестности содержится бесконечно много элементов множества X. Теорема. Для того чтобы точка a R была предельной точкой множества X R, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность { n } элементов множества X, отличных от a, сходящаяся к a. Существует большое разнообразие возможных ситуаций: множество может состоять только из предельных точек или не иметь ни одной предельной точки; предельные точки могут принадлежать или не принадлежать множеству и так далее. Рассмотрим примеры. Пример. Указать множество предельных точек следующих множеств: a) X = { ) n, n N}; b) X = { πn, n N}; c) X = {sin n + n. n N}. a) Множество X состоит из двух элементов: и. Поэтому для любой точки a R в любой окрестности U a содержится не более двух точек множества X. В силу определения точка a не является предельной точкой X. Следовательно, множество X не имеет предельных точек в R. b) Рассмотрим числовую последовательность { n } n= : n =. Ее элементы n составляют множество X и, кроме того, n n = 0, причем n N n 0. Следовательно, согласно критерию предельной точки числового множества, точка = 0 является предельной точкой множества X. Заметим, что так как множество элементов последовательности { n } и исследуемое множество X 3

4 совпадают, то вне любой окрестности точки = 0 содержится не более конечного числа элементов из X. Поэтому, a R\{0} U a : U a X. Следовательно, X не имеет предельных точек, кроме = 0. c) Элементы последовательности { n } n= : n = sin πn + n, составляют множество X. Рассмотрим последовательность { n} n= : n = sin πn. Ясно, что для всех n N n = n + n. ) Выпишем первые элементы последовательности { n} n= : 0,, 0,, 0,, 0,,.... Можно утверждать, что данная последовательность исчерпывается подпоследовательностями : { k } k= : k = 0, { 4k } k= : 4k = и { 4k} k= : 4k = то есть каждый элемент последовательности принадлежит одной и только одной из указанных подпоследовательностей). Далее, так как n /n = 0, существуют следующие пределы А поскольку для всех k N k = 0, 4k =, 4k =. ) k k k k = k 0, 4k = + 4k, 4k = + 4k, по критерию предельной точки числового множества, точки 0,, предельные точки множества X. Докажем, что X не имеет других предельных точек. Так как n, 0 < n, n N, то, в силу ), n, n N. Поэтому множество X ограничено, а значит бесконечно удаленные точки не являются его предельными точками. Пусть a R \ { ; 0; }. В силу аксиомы непрерывности для множества вещественных чисел, существуют попарно непересекающиеся окрестности U, U 0, U, U a, точек, 0,, a, соответственно. Из ) следует, что вне окрестностей U, U 0, U находится не более конечного числа элементов подпоследовательностей { k } k=, { 4k } k=, { 4k} k=, 4

5 а значит, не более конечного числа элементов последовательности { n } n=. Тогда в окрестности U a находится не более конечного числа членов последовательности { n } n=. Последнее означает, что точка a не является предельной точкой множества X см. определение ). Итак, в силу сказанного ранее, предельными для множества X являются точки, 0, и только они... Задания для самостоятельной работы Найти предельные точки следующих множеств: { } a) X = ) n n + ) n +, n N. b) X =, n N n. c) X = 0, ). d) X = { n + cos nπ), n N}. e) X = {sin nπ } 3, n N. f) X = {cos π } n, n N.. Определение предела функции в точке Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела функции в точке a, связанное с поведением функции в проколотой окрестности этой точки. Определение 3 Коши). Пусть X R, f : X R и a предельная точка множества X. Точка A R называется пределом функции f) в точке a или, говорят, при стремящемся к a), если для любой окрестности U A точки A существует окрестность U a точки a такая, что f) U A, U a X; при этом используют одно из следующих обозначений: A = a f), A = a f, f) A при a. Данное определение можно записать, используя логические символы: A = a f) U A U A : U a X f) U A ). Замечание. Используя понятие окрестности точки из R определение 3 можно записать в эквивалентном виде на языке ε δ. ) a, A R, A = a f) ε > 0 δ = δε) > 0 : X : 0 < a < δ) f) A < ε) ; 5

6 ) a R, A =, a f) = ε > 0 δ = δε) > 0 : X : 0 < a < δ) f) < ε) ; 3) a = +, A R, f) = A + ε > 0 δ = δε) > 0 : X : > δ) f) A < ε). Аналогично описываются остальные возможные случаи. Из указанного определения следует, что существование и величина предела функции f) в точке a не зависит ни от значения функции f) в точке a функция может быть даже не определена в этой точке), ни от поведения функции f) вне некоторой окрестности точки a. Приведем еще одно, равносильное первому, определение предела функции в точке в терминах последовательностей. Определение 4 Гейне). Пусть f : X R R, a предельная точка множества X. Точка A R называется пределом функции f) в точке a, если для любой последовательности { n } n= такой, что n X, n a, n N, n n = a, соответствующая ей последовательность образов {f n )} n= имеет предел, равный A, то есть n f n ) = A. Это определение можно записать с помощью логических символов: A = a f) def { n } n= : n X, n a, n n = a n f n ) = A Следует отметить, что последнее определение часто используется для доказательства отсутствия предела функции в точке. Тот факт, что a из R не является пределом функции f в точке a означает следующее. ) по Коши в случае a, A R): ε 0 > 0 : δ > 0 δ X : 0 < δ a < δ, f δ ) A ε 0 ; ). ) по Гейне: { n } n= : n X, n a, n N, является пределом последовательности {f n )}. n n = a, но A не 6

7 Из определения предела функции в точке по Гейне следует, что если существуют последовательности аргументов { n } n= и { n} n=, удовлетворяющие всем требованиям определения 4, но соответствующие им последовательности {f n )} n= и {f n)} n= имеют различные пределы либо предел одной из них вовсе не существует), то не существует и a f). Пример. Используя определение предела функции в точке доказать: a) ) = 3 b) c) + sin = 0 d) 3 = ) = a) Рассмотрим функцию f) =. Понятно, что Df) = R и точка a = предельная точка множества Df). Фиксируем число ε > 0. Найдем те Df), для которых выполняется неравенство f) 3 < ε: ) 3 < ε + < ε + < ε. Положим δ = ε, тогда получим: ε > 0 δε) = ε > 0 : R, 0 < + < δ f) 3 < ε. По определению предела функции в точке по Коши f) = 3. b) Рассмотрим функцию f) =. Так как Df) = R, то точка a = 3 предельная для множества Df). Фиксируем число ε > 0. Найдем те R, для которых выполняется неравенство f) 9 < ε. Так как f) 9 = 9 = 3 + 3, то оценим сверху 3 в некоторой окрестности точки a = 3. Например, в окрестности U 3 ) Следовательно, 3 = + 3) < 7. 9 < 7 + 3, U 3 ). 3) Далее, заметим, что < ε + 3 < ε 7. Чтобы можно было использовать полученное неравенство 3), искомая δ-окрестность точки a = 3 должна лежать в U 3 ). Поэтому положим δ = min{; ε/7}. Таким образом, получаем, что ε > 0 δ > 0 : : 0 < + 3 < δ 9 < ε ). По определению предела функции в точке по Коши f) =

8 sin c) Рассмотрим функцию f) =. Нетрудно убедиться в том, что Df) = R и, следовательно, точка + является предельной точкой множества Df). Фиксируем произвольное число ε > 0. Покажем, что существует число δ > 0 такое, что δ, + ) выполняется неравенство f) < ε. Выберем удобную для дальнейших оценок окрестность точки +, например, U + ) =, + ). Тогда для всех U + ) > и sin, значит, f) =. Но < ε >. Чтобы использовать полученные оценки, искомая окрестность U + δ) = δ, ) должна содержаться ε в U + ). Положим δ = ma {; /ε}. Тогда из неравенства > δ следует, что f) < ε. Таким образом, { ε > 0 δ = ma ; } : f) < ε, δ, + ). ε По определению предела функции в точке по Коши 3 f) = 0. + d) + ). Область определения этой функции Df) = R \ { }. Точка a = является предельной точкой множества Df). Фиксируем ε > 0. Докажем, что функция f) является бесконечно большой в точке =, для чего оценим f) в некоторой + ) =. Положим f) = 3 окрестности этой точки, например, в U /) = { R : + < }. Так как для всех U /) + < / и = + ) + > / = /, то f) = 3 + ) > 8 + ) > 4 +. Но > ε 0 < + < 4 + { 4 ε, поэтому положим δ = min ; }. Заметим, что в U /), а, значит, и 4ε для U δ), f) < 0. Поэтому f) > > ε. Итак, 4 + { ε > 0 δ = min 4ε} ; > 0 : R, 0 < + < δ = f) < ε. По определению предела функций в точке по Коши f) =. Пример 3. Доказать, что функция f) = sin не имеет предела при 0. Воспользуемся следствием из определения Гейне об отсутствии предела 8

9 функции в точке. Рассмотрим последовательность { n } : n = π Очевидно, что n R \ {0}, n N, и n + πn. ) π n = 0. Так как sin + πn =, n N, то f n ) =. Аналогично, для последовательности n : n = /πn имеем: n R \ {0}, n N, n n = 0, sin n = 0, n f n) = 0. Следовательно, не существует sin. Из приведенных выше примеров видно, что определение предела функции в точке позволяет доказать, что данная величина является пределом рассматриваемой функции в точке, но не дает конструктивного метода вычисления предела... Задания для самостоятельной работы. Что означает на языке ε δ утверждение: a) f) = 3; b) f) = 5; c) f) = ; d) f) +?. Используя определение предела функции в точке, доказать: a) 3 + ) = 8; c) cos = 0; e) + g) 9 b) 3 3 = 6; + d) = 0; arctg + ) sin + 3 = 0; f) = 0; 3 cos + ) = + ; h) = Примеры вычисления предела функции Чтобы вычислить предел функции в точке, следует использовать теоремы [3,.34.44] и их следствия о свойствах функций, имеющих предел в точке, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. 9

10 Но непосредственное применение этих результатов часто невозможно, например, при вычислении a f), когда f) = g) = 0. В этом случае g) a a говорят, что имеет место неопределенность вида 0. Аналогично вводятся 0 символические обозначения других неопределенностей:, 0,,, 0 0, 0. В тех случаях, когда имеет место неопределенность, для вычисления предела раскрытия неопределенности выражение следует преобразовать так, чтобы получить возможность применить теоремы о функциях, имеющих предел. Для таких преобразований используют либо тождественные в проколотой окрестности предельной точки) преобразования, либо сравнение поведения функций при стремлении аргумента к предельной точке. Определение 5. Если в некоторой проколотой окрестности U a точки a определены функции f, g, h такие, что f) = g)h) и a h) =, то функции f) и g) называют эквивалентными при a и пишут f) g) при a. В частности, если g) 0, U a, то f) f) g) при a a g) =. Отношение эквивалентности обладает свойствами: ) если f) g) при a, то g) f) при a свойство симметричности); ) если f) g) при a и g) h) при a, то f) h) при a свойство транзитивности); При вычислении пределов часто используют следующий результат. Теорема. Если f ) f), g ) g) при a, то из существования предела функции f ) при a следует существование предела g ) функции f) g) при a и справедливость равенства a f) g) = f ) a g ). Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела функции состоит в замене функции, не являющейся множителем, на эквивалентную функцию чаще всего, это ошибочная замена в отдельном слагаемом алгебраической суммы или в суперпозиции функций). 0

11 Напомним некоторые эквивалентные при 0 функции: sin + ) / e cos e ctg a ln a tg ln + ) arcsin log a + ) a > 0, a ) ln a arctg + ) µ µ µ R \ {0}) Кроме перехода к эквивалентным при вычислении пределов функций надо помнить некоторые результаты о сравнении поведения двух функций при стремлении аргумента к предельной точке. Напомним два определения для бесконечно больших функций. Определение 6. Говорят, что бесконечно большая функция g) по сравнению с бесконечно большой функцией f) имеет при a более высокий порядок роста и пишут f) = og)), если f) = α) g) где α) бесконечно малая функция при a. В частности, log β a ) так как = 0 α, β > 0; a > ), то α бесконечно большая + α функция более высокого порядка роста по сравнению с log β a при + ; α ) так как + a = 0 α > 0; a > ), то a бесконечно большая более высокого порядка роста по сравнению с α при +. Определение 7. Говорят, что f) и g) являются бесконечно большими функциями одного порядка роста при a, если функции f/g и g/f ограниченные функции в некоторой проколотой окрестности точки f) a в частности, если a g) = A R \ {0}). Например, функции f) = +, g) = + ln бесконечно большие f) функции одного порядка роста при +, поскольку a g) = /. Аналогичные определения существуют и для бесконечно малых функций см., например, [3, раздел..8].

12 .4 Вычисление предела рациональной функции Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция вида f) = P n) Q m ), где P n), Q m ) многочлены степеней n и m, соответственно. Множество предельных точек области определения рациональной функции есть R. Рассмотрим вычисление пределов a P n ), где a R. Q m ) Если a R и a P n ) = a Q m ) = 0, то для вычисления указанного предела раскрытия неопределенности вида 0/0) обычно преобразуют дробь, выделяя в числителе и знаменателе множитель вида a). Если a = или ± ), то a P n ) = a Q m ) = и для раскрытия неопределенности вида выносят в числителе и в знаменателе за скобку n и m, соответственно, а, затем, используют свойства пределов и сравнивают рост бесконечно больших функций n и m при : : P n ) n a 0 + a Q m ) = m b 0 + b = + a a n n + b b n m a 0, если n = m b 0 0, если n < m, если n > m ) ) = a b n = m 3 Пример 4. Вычислить Так как 3 ) = 4 3) = 0, то имеем неопределенность вида 0/0. Представим числитель и знаменатель в виде 3 = ) + + ), = ) 3). 3 При имеем: = Но + + ) = 3, а 3) =, поэтому по теореме о пределе 3 частного = + + = 3 3. Замечание. При делении многочлена на a) часто используются при n N следующие равенства: n a n = a) n + n a + n 3 a + + a n + a n ),

13 n a n = + a) n n a + n 3 a + a n a n ), n+ a n+ = a) n + n a + n a + + a n + a n) Пример 5. Вычислить Так как ) = ) = 0, то имеем неопределенность вида 0 и для ее раскрытия выделим в числителе и знаменателе 0 множитель + ): = ) = + ) ) + + ) = = + ) ), = 30 ) ) = + ) ) ) = = + ) ) Итак, = ) ) + 3 = 8 7 = 3. Заметим, что вычисление этого предела, завершается применением утверждения см. теорему [3,.36]) о пределе суммы и частного. ) ) Пример 6. Вычислить. 5 7) 30 Так как )0 3 + ) =, 5 7)0 = +, то имеем неопределённость вида. Преобразуем исходное отношение: 0 ) ) ) ) ) ) 5 7) 30 = ) 30 = 5 7 Применяя теорему о пределе суммы, произведения и частного, имеем: ) 0 ) ) 30 = Теперь, учитывая свойства бесконечно больших функций, получаем, что ) ) 30 ) ) =. 3

14 .4. Задания для самостоятельной работы Вычислить пределы: 3 ) + ), ; ) + ) + ) ), ) ), 4) , 3 5) + ) + 5) 5 + 6) 5, 6) 3, ) 5 + 3) ) 5 7), 8) 3 + 5) 35, 3 5 n 9), n, m N), m 00 + ) 50 +, 0) ) n n, n n + ) + n. ).5 Вычисление предела иррациональной функции Общих указаний, как вычислять предел иррациональной функции, дать нельзя. Все зависит от вида функции. Поэтому рассмотрим применяемые методы на конкретных примерах. Пример 7. Вычислить 3 +. Имеем неопределённость вида 0. Поскольку нуль в числителе получается 0 от разности двух функций, одна из которых иррациональное выражение, умножим числитель и знаменатель на выражение ), то есть на выражение, «сопряжённое» к числителю, и получим 3 + = Пример 8. Вычислить 8 ) ) = = 4. Имеем неопределённость вида 0/0. В числителе и знаменателе данной дроби имеем почти ту же ситуацию, что и в числителе предыдущего примера. Отличие состоит в том, что в знаменателе стоит корень кубический. В этом случае выражением «сопряженным» к знаменателю будет неполный квадрат разности. В остальном метод решения остается прежним: умножим 4

15 и разделим исходное отношение на выражения, «сопряжённые» к числителю и знаменателю, и получим )4 3 + ) = = + 3)8 + ) = = =. Пример 9. Вычислить Имеем неопределённость вида 0/0. Числитель рассматриваемой функций является суммой степенных функций и 7/5. Так как 0, то для выяснения порядка малости этой суммы вынесем в числителе за скобку слагаемое с наименьшей степенью, то есть. Знаменатель является разностью двух функций, одна из которых является иррациональной. Отношение умножим и разделим на выражение, «сопряжённое» к знаменателю = + /5 ) ) ) 8 ) ) = =. = + /5 ) f) При вычислении пределов вида, где f) и g) бесконечно g) большие функции при, часто бывает полезно вынести за скобку в числителе и знаменателе функцию, имеющую наибольший рост при. 3 + Пример 0. Вычислить Имеем неопределённость вида. Так как при + функция + 5 имеет тот же порядок роста, что и, а /3 имеет меньший рост, чем, то в числителе вынесем за скобки. Аналогично, в знаменателе наибольший порядок роста при + имеет функции 7/5, поэтому вынесем за скобки ее: A = = + 7/5 / /5 + 4/5 = = 5

16 = + /5 + / /5 4/5 Используя свойства бесконечно больших функций и результаты о пределе суммы и частного [3, теорема.36]), получим, что + = 0, /5 + + / /5 + 4/5 =. Окончательно, из утверждения о пределе произведения той же теоремы, следует, что A = 0 = 0. При вычислении пределов вида f) g)), где f) = g) = + или ), то есть при раскрытии неопределенности вида ), поступают следующим образом: ) если f) и g) не являются функциями одного порядка роста при, то выносят за скобку функцию, имеющую больший рост; ) если f) и g) функции одного порядка роста при, то выполняют тождественные преобразования в проколотой окрестности U так, чтобы можно было воспользоваться свойствами пределов. В частности, если одна из функций f), g) является иррациональной, то часто полезно умножить и разделить исходное выражение на «сопряжённое» к f) g). Пример. Вычислить A = ). + Имеем неопределённость вида ), при этом слагаемые являются иррациональными выражениями. Поэтому умножим и разделим исследуемую разность на «сопряжённое» к ней выражение и получим, что A = Последнее отношение представляет собой неопределённость вида / при +, но в знаменателе стоит сумма двух бесконечно больших функций одного знака, порядок роста каждой их которых при + равен. 6

17 Вынося в знаменателе за скобку, имеем: A = = = 3. Пример. Вычислить + + ). Заметим, что + = +, ) =. Так как + = +, = то при функции + и имеют одинаковый порядок роста. Вынесем в исходном выражении за скобку и получим: ) + + = + + = +, поскольку предел последнего сомножителя равен Пример 3. Вычислить Нетрудно видеть, что + 6+ ) = +, а знаменатель представляет собой неопределённость вида ) и является разностью эквивалентных при функций. Для её раскрытия можно было бы умножить и разделить исходное отношение на выражение, сопряжённое знаменателю. Однако, оно имеет достаточно громоздкий вид. Поэтому выполним следующие преобразования: = = = +, 4 так как предел числителя равен, а знаменатель является положительной бесконечно малой функцией при Задания для самостоятельной работы Вычислить следующие пределы: 7

18 ) , ), + + 3) , 4) 5) + + ), 6) + +, ) 3 + 5), 7) + ), 8) ) + 3/ )..6 Первый замечательный предел Прежде всего напомним, что a sin = sin a, a cos = cos a, для любого числа a R, и a arcsin = arcsin a для любого числа a [, ]. В частности, sin = 0, arcsin = 0, cos =. sin Имеет место равенство =, называемое первым замечательным пределом, из которого следует, что arcsin tg =, arctg =, =. Таким образом, sin, arcsin, tg, arctg при 0. Используя эти соотношения и теорему о пределе суперпозиции, получаем, что при a, если a α) = 0, sin α) α), arcsin α) α) tg α) α), arctg α) α). cos 3 cos 7 Пример 4. Вычислить. sin Имеем неопределенность вида 0/0. Поскольку sin α) α) при α) 0 и эквивалентными можно заменять функции только в произведении и частном, то cos 3 cos 7 sin = sin 5 sin sin = 5 = 0. sin 7π Пример 5. Вычислить sin π. Имеем неопределенность вида 0/0. Следует обратить внимание на то, что хотя sin nπ = 0, n N, но nπ nπ 0 при, поэтому sin nπ 8 ),

19 nπ при. Чтобы применить первый замечательный проедел, используем представление nπ = nπ + nπ ) и формулы приведения sin 7π = sin7π + 7π )) = sin 7π ), sin π = sinπ + π )) = sin π ). При sin 7π ) 7π ), sin π ) π ), поэтому sin 7π sin π = sin 7π ) sin π ) = 7π ) π ) = 7π π = 7. Пример 6. Вычислить π π ) tg. Имеем неопределенность вида 0. Так как tg = sin cos и sin при π, а cos π = cos + ) π) = sin π), то cos π) при π. Тогда π ) tg π = / π )sin π cos/ = π ) π π) =. cos π Пример 7. Вычислить A = 3 ). π/6 3 cos Имеем неопределенность вида 0/0). Но ) )) ) π π π π cos 3 = cos + 6 = sin 6, 3 cos = 3 cos = cos π ) 6 cos = = 4 sin ) π 6 + sin ) π 6. Переходя в числителе и знаменателе при π/6 к эквивалентным и учитывая, что при этом sin ) π 6 + sin π 6 =, получим A = π/6 4 π 6 ) π 6 sin ) π = 6 + π/6 sin ) π =

20 + arcsin cos Пример 8. Вычислить sin. 3 Имеем неопределенность вида 0/0. Так как sin 3 9 при 0, то A = + arcsin cos sin 3 = arcsin 9 + cos 9. Но arcsin, cos = sin при 0, поэтому arcsin 9 = 9 = 9, cos 9 = 9 = 8. Пользуясь теоремой.36 из [3], получаем, что A = = 6. Пример 9. Вычислить sin + sin ). Заметим, что при каждое из слагаемых не имеет предела, но sin + sin + + = cos + sin Так как при + + то sin + cos = = 0. Но ) 0, Поэтому по свойству бесконечно малых функций, :. sin + sin ) = 0. π 4 arctg Пример 0. Вычислить +. π Так как π 4 arctg + = 4 4 arctg + π 4 arctg π + tg 4 arctg + ) 0 при 0, то ).. 0

21 Воспользуемся формулой тангенса разности: tg ) π 4 arctg = + Таким образом, π 4 arctg + = 4 tg π arctg 4 tg + + tg π arctg 4 tg + ) ) = π tg = 4 4 arctg + ) = 4 + = ) = = Задания для самостоятельной работы Вычислить следующие пределы: cos 3 3 ) sin 6 sin 5 3) π sin 3, 5) π 3, ) 4) sin π 3 ), 6) cos π 4 7) + sin + sin ), 9) π sin + cos + sin cos +, π ) tg, sin sin sin tg, cos ), tg 3 arcsin 4 8) sin 5 6 arctg 6, arctg 0). + sin cos.7 Второй замечательный предел и его следствия Справедливо утверждение: + ) = e. Этот предел называется вторым замечательным пределом. Используя теорему о пределе суперпозиции, получаем, что + α) = e, a α) если α) 0 в некоторой проколотой окрестности U a и a α) = 0. В частности, + ) / = e. Из второго замечательного предела получаем как следствия следующие три часто используемых предела:

22 . log a + ). a = log a e = ln a a > 0, a ), в частности, ln + ) =. = ln a a > 0, a ), в частности, e =. + ) µ 3. = µ, µ R. Используя теорему о пределе суперпозиции в предположении, что α) 0 в некоторой проколотой окрестности U 0 и 0 α) = 0, легко устанавливаем справедливость следующих равенств:. 0 log a + α)) α). 0 a α) α) α)) µ α) Если ) u) при 0, = ln a a > 0, a ), = ln a a > 0, a ), = µ, µ R. ) u) в некоторой проколотой окрестности точки 0, то при 0 log a u) u) a > 0, a ); ln a u)) µ µ u) ), µ R\{0}. Замечание. Следует отметить, что в силу теоремы 3.4 из [3] последние соотношения эквивалентности остаются справедливыми и в том случае, когда условие ) не выполняется. В последующем мы не будем проверять это условие. Рассмотрим примеры. ln + sin ) Пример. Вычислить. Имеем неопределенность вида 0/0. Так как sin = 0, то ln + sin ) sin при 0. Поэтому ln + sin ) = sin =.

23 Пример. Вычислить A = 0 lg + 0. Имеем неопределенность вида 0/0. Легко видеть, что lg A = 0 0 0) ). Так как 0 при 0 и в некоторой проколотой окрестности 0 точки a = 0, то lg ) 0 0 lg e, и 8 при 0. Поэтому A = 0 0 ) lg e 0) ) = lg e 0 0 Пример 3. Вычислить ln cos ln cos 5. 0) 0) ) = lg e 80. Так как cos = cos 5 =, то при 0 ln cos cos, ln cos 5 cos 5. Поэтому, ln cos ln cos 5 = cos cos 5 = sin sin 5 = 5) = ) π ln tg Пример 4. Вычислить arctg Имеем ) неопределенность вида ) 0/0. Так как ) при 0 arctg, π π π tg 4 + 4, то ln tg tg при 0. Поэтому, переходя к эквивалентным, получим: ) ) ) π π π ln tg tg = tg = tg π 4 = arctg sin 4 = ) π cos cos π = 4 ) π = 4 = 4. cos Для сравнения рассмотрим методы вычисления пределов вида a ln f), когда f) = g) = +. ln g) a a 3

24 Пример 5. Вычислить Имеем неопределенность вида /. = ln ) ln ) = ln + ln ) 0 ln + ln ln ) ln ). ln )) )) = 7 9 ln ) = + ln ln ) 0 + ln ln ) = = = 5, так как функции ln ln ), ln ln + + ) являются бесконечно малыми функциями при. 7 9 ln ) Пример 6. Вычислить + ln ). Имеем неопределенность вида /. Преобразуем аргументы логарифмов, вынося за скобку функции, имеющие наибольший рост при + : 3 в числителе, 3 в знаменателе. = + так как ln + + 3) + ln ) = 3 ln + ln + ln 3 + ln + ln ln ln ln + ln + = + ln 3 + ln = 3 ln ln 3, + = 0, Пример 7. Вычислить A = ln + ) ln + 4 ). = ln = 0. = 4

25 Имеем неопределенность вида 0/0. Переходя к эквивалентным, получим: A = Но функции,, 4, являются бесконечно малыми одного порядка при 0, а функция бесконечно малая более высокого порядка. Поэтому, вынося за скобки в числителе и знаменателе и пользуясь теоремой об арифметических операциях с пределами, получим, что + A = + 4 = = + ln ln 4 Пример 8. Вычислить A = sin Имеем неопределенность вида 0/0. Заметим, что при 0 = ln e ln sin, + 0 +, Поэтому A =. Так как то A = 0 7 = = 5 + 0) = =, = 0 7, cos 7 Пример 9. Вычислить. Имеем неопределенность вида 0/0. При 0 cos, поэтому cos 7 cos 7 7cos ) и 7cos ) sin = = 7 Пример 30. Вычислить sinπ α ) a a a > 0, a, α 0). = 7 = 7. Имеем неопределенность вида 0/0). При π α π, поэтому sinπ α ) = sinπ + π α )) = sin π α ) π α ) πα ), 5

26 a a = aa ) a ) ln a, и sinπ α ) a a = πα ) a ) ln a = πα a ln a..7. Задания для самостоятельной работы Вычислить следующие пределы: ) + 3 ) 0 3 ) 3) 5) π 7) e 9) ) 0 tg π 4 sin 0 cos 7 + ln + ) 4) cos π 3 6) sinπ α ) sinπ β ) cos sin 8) 4 sin 0) 5 sin 5 sin 3 α, β 0) α α α 0) ln ln 7 cos 3 arcsin sin ln + ) ln ) 5 ) + + ) arctg + ) arctg ).8 Односторонние пределы Пусть a R, ε > 0. Правосторонней правой) ε-окрестностью U a + ε) точки a называют интервал a, a + ε). Левосторонней левой) ε-окрестностью Ua ε) точки a интервал a ε, a). Очевидно, что U a = Ua ε) U a + ε). Определение 8. Пусть X R, X, a R. Точка a называется левосторонней предельной точкой множества X, если a предельная точка множества X, a). Аналогично, точка a называется правосторонней предельной точкой множества X, если a предельная точка множества X a, + ). Точка a называется двусторонней предельной точкой X, если она является и левосторонней, и правосторонней предельной точкой X. Точка a называется односторонней предельной точкой множества X, если она либо только левосторонняя, либо только правосторонняя предельная точка X. Введем понятие одностороннего предела функции в точке. 6

27 Определение 9. Пусть функция f : X R R, a R является левосторонней правосторонней) предельной точкой множества X. Величина A R называется левым правым) пределом функции f) в точке a при a), если A = a f) X,a) При этом пишут: A = A = a f) X a,+ ) f) или A = fa 0), a 0 A = f) или A = fa + 0). a+0 Если A R, то в терминах "ε δ" по Коши) определение одностороннего предела функции в точке a имеет вид: A = A = f) a 0 ) ε > 0 δ = δε) > 0 : X a δ, a) f) A < ε, f) a+0 ) ε > 0 δ = δε) > 0 : X a, a + δ) f) A < ε, a в терминах последовательностей по Гейне): A = A = f) a 0 {n } + n= : n X, a), n = a f n ) = A ), f) a+0 {n } + n= : n X a, + ), n = a f n ) = A ). Односторонние пределы обладают теми же свойствами, что и пределы. Связь между пределом функции в точке и ее односторонними пределами в этой же точке устанавливает следующая теорема. Теорема 3 критерий существования предела функции в точке через односторонние пределы). Пусть f : X R, a двусторонняя предельная точка множества X. Для того чтобы существовал предел функции f в точке a, равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела функции f в точке a, равные A. Из теоремы и ее доказательства см. [3, теоремы.4]) следует: ) если существуют оба односторонних предела и fa 0) fa+0), причем хотя бы одно из значений конечно, то не существует a f); 7 ).

28 ) если оба односторонних предела бесконечны и имеют разные знаки, то f) бесконечно большая функция при a, то есть a f) = ; 3) если не существует хотя бы один из односторонних пределов функции f) в точке a, то не существует и предела f) в точке a. Замечание. Если a односторонняя предельная точка области определения функции f, то понятие предела функции в точке a и соответствующего ее одностороннего предела в этой точке совпадают. Пример 3. Вычислить односторонние пределы функции f) в точке a: a) f) = 3, a = ; b) f) = + e/+), a =. a) Область определения функции множество Df) = R\{0; }, = ее двусторонняя предельная точка., δ, ) Для любого δ > 0 =,, + δ). Поэтому f) = 0 f) = ) = ) = 0 =, 0 =. Поскольку f 0) f + 0), то не существует f). b) Область определения функции множество Df) = R \ { }. Точка a = двусторонняя предельная точка множества R\{ }. Так как то e/+) 0, e/+) +, =, 0 + e/+) По теореме 3 не существует f). +0 = 0. + e/+).8. Задания для самостоятельной работы. Вычислить следующие односторонние пределы : 8

29 ) +0 0) 3) +0 0) 5) 0 sin sgnsin ); 7) +0 0) 9) +0 ; ) 0 +0) ) / arccos tg π 4 e arcsin ; a a) 3 ; 6) + + ; 4) +0 ln + e )) / arctg ; π+0 8) +0 + cos ; π e cos ; sin ; 0) arctg 4 +0 ). 0). Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения: a) f) = + ); a+0 b) f) = ; +0 c) f) = ; d) f) = 0. a Непрерывность функции в точке Всюду далее будем считать, что функция f : X R R Определение 0. Функция f называется непрерывной в точке a X, если для любого ε > 0 найдется такое δ = δε) > 0, что для всех X таких, что a < δ выполняется неравенство f) fa) < ε. Тот факт, что функция f непрерывна в точке a записывают коротко в виде f C{a}). Сравнивая определения непрерывности и предела функции в точке, замечаем следующее.. В определении непрерывности функции точка a обязательно принадлежит множеству X, в то время, как в определении предела она является предельной точкой множества X, а значит может как принадлежать X, так и не принадлежать ему.. В определении непрерывности рассматриваются значения функции f в U a δ) X, а в определении предела в U a δ) X. 3. Если a X и a предельная точка множества X, то непрерывность функции f в точке a, означает, что существует a f) = fa). 9

30 Из определения 0 следует, что если a X и a изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в точке a. Определение. Если функция f непрерывна в каждой точке множества X, то её называют непрерывной на множестве X. Класс функций, непрерывных на множестве X, обозначают CX). При исследовании функции на непрерывность часто используются следующие результаты. Теорема 4 об арифмических операциях). Если функции f и ϕ определены на множестве X, непрерывны в точке a, то функции f ±ϕ, f.ϕ, f/ϕ при условии, что ϕa) 0) непрерывны в точке a. Теорема 5 о непрерывности суперпозиции функций). Пусть функция ϕ : X R) Y R) непрерывна в точке a X, а функция f : Y R непрерывна в точке b = ϕa). Тогда суперпозиция этих функций f ϕ непрерывна в точке a. Теорема 6 о непрерывности обратной функции). Если функция f возрастает убывает) на промежутке X и непрерывна на нём, то обратная функция f : fx) X возрастает убывает) и непрерывна на промежутке fx). a 0 Напомним, что все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей естественной области определения. По аналогии с понятием левого правого) предела функции в точке вводится понятие непрерывности слева справа) в точке. В частности, если a левосторонняя предельная точка множества X, a X и сушествует f) = fa), то есть fa 0) = fa), то функция f называется непрерывной слева в точке a. Поэтому определение непрерывности функции в односторонней предельной точке a X множества X совпадает с определением ее односторонней непрерывности. Если же a двусторонняя предельная точка множества X, a X, то функция f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда она непрерывна в точке a слева и справа. Определение. Точка a называется точкой разрыва функции f, если либо a X и f не является непрерывной в ней, либо a / X, но a является двусторонней предельной точкой множества X. Пусть f : X R, a двусторонняя предельная точка множества X и точка разрыва функции f. Если существуют конечные односторонние пределы 30

31 fa 0), fa + 0), то a называется точкой разрыва первого рода функции f, а разность fa + 0) fa 0) скачком функции f в точке a. Если при этом существует предел a f), то a называется точкой устранимого разрыва. Пусть a X левосторонняя предельная точка множества X и точка разрыва функции f. Если существует конечный односторонний предел fa 0), то a также называется точкой разрыва первого рода. Скачком функции f в точке a тогда называют разность fa 0) fa). Аналогично рассматривается и правосторонняя предельная точка множества X, являющаяся точкой разрыва функции f. Скачком функции f в точке a тогда называют разность fa) fa + 0). В этих двух случаях существует конечный предел a f), и точка a точка устранимого разрыва. Замечание. Если a точка устранимого разрыва f, то функция f) = a f), если X \ {a}, f), если = a, является непрерывной в точке a. Если a точка разрыва функции f, но a не является точкой разрыва первого рода, то её называют точкой разрыва второго рода функции f. В точках разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен. Рассмотрим несколько примеров. Пример 3. Используя определение доказать, что функция f) = непрерывна на множестве [0, + ). ). Пусть a 0, + ). Зафиксируем ε > 0. Так как для всех > 0 f) fa) = a = a + a < то, полагая δ = ε a, получим, что для всех U a δ) f) fa) < a a < δ a = ε. a a, Следовательно, f C{a}), a > 0. ). Пусть a = 0. Тогда f) fa) =, 0. Найдем те 0, для которых < ε: < ε < ε [ 0, ε ). 0 Положим δ = ε и получим, что f) fa) = < δ = ε, [0, δ). 3

32 Значит f непрерывна в точке a = 0 и f C [0; )). Заметим, что непрерывность функции f в данном случае можно доказать и с помощью теоремы 6 о непрерывности функции, обратной к монотонной. Покажем это. Положим ϕ ) =, [0, + ). Функция ϕ на промежутке X = [0, + ) возрастает и непрерывна. Из теоремы Дарбу и замечания к ней см. [3, теорема 3.9]) следует, что ϕ X) = [ϕ0), + ϕ )) = [0, + ). А потому, в силу теоремы 6 f) = ϕ ) C[0, + )) и возрастает. Пример 33. Используя определение, доказать непрерывность функции f) = 3 на множестве R. Пусть a некоторая точка из R, ε > 0. Если U a ), то есть a <, то = a) + a < + a, а, значит, для всех U a ) f) fa) = 3 a 3 = a + a + a a + a + a ) < a + a ) + a + a ) + a ) = a 3a + 3 a + ). Положим δ = min ; ε 3a + 3 a +. Тогда для всех U aδ) f) fa) < a 3a + 3 a + ) < δ3a + 3 a + ) < ε, то есть f C{a}), и значит f CR). Пример 34. Исследовать на непрерывность следующие функции f), найти их точки разрыва, классифицировать их род: a) f) = ln + ), b) f) =, c) f) = a). Область определения функции f : Df) = R \ {; }. Поскольку f рациональная функция, то f CDf)). Точки =, = являются двусторонними предельными точками множества Df) и не принадлежат ему. Поэтому они являются точками разрыва функции f. Установим их характер. Прежде всего заметим, что на множестве Df) f) = + CR \ {}), f) =. Поэтому точка = точка устранимого разрыва функции f. Далее, f) = + =. Поэтому точка = является 0 0 точкой разрыва второго рода функции f. b). Область определения функции f : Df) = R \ { 3; 0}. Функция f является отношением функций ϕ) = и g) = + 3, которые, очевидно, 3

33 непрерывны в R. Следовательно, в силу теоремы 4 об арифметических операциях с непрерывными функциями, функция f непрерывна на множестве R \ { R : g) = 0} = Df).Точки = 3 и = 0 являются двусторонними предельными для множества Df) и не принадлежат ему, поэтому являются точками разрыва функции f. Установим их характер. Так как f) = ) = = ±, то у функции f в точке = 3 разрыв -го рода Так как f) = sgn = 3 sgn =, то = 0 точка 0 3 разрыва первого рода, причем неустранимого. Заметим, что функция f ) = f), / { 3, 0}, 3, = 0, является непрерывной слева в точке = 0, a функция f ) = f), / { 3, 0}, 3, = 0, является непрерывной справа в точке = 0. c). Область определения функции f : Df) =, 0) 0, + ). Функция f отношение функций ϕ) = ln+) и g) = +3. Функция ϕ суперпозиция функций P ) = + и ψ) = ln). P ) CR), поэтому P ) C, + ). Множество значений функции P ) на, + ) совпадает с + 0, + ), поскольку функция P возрастает, непрерывна и P ) = 0, +0 P ) = +. Так как ψ) C0, + )), то, в силу теоремы 5 о непрерывности сложной функции, ϕ) C, + )). Далее, g) C, + )) и = 3, g) = 0 = 0. Поскольку = 3 /, + ), то из теоремы 4 об арифметических операциях с непрерывными функциями следует, что f) CDf)). Изучим точку = 0. Она не принадлежит Df), но является двусторонней предельной точкой. Поэтому = 0 точка разрыва f. Далее, ln + ) f) = ±0 ±0 + 3) = ±0 + 3 = 3, 33

34 так как ln + ) при 0. Следовательно, существует f) = 3, и потому = 0 точка устранимого разрыва функции f. Пример 35. Выяснить, существует ли число a, при котором функция f непрерывна в точке = 0, если a) 0 = 0, f) = б) 0 =, f) = ln + ),, 0) 0, + ), + 3 a, = 0. + e/ ),, a, =. Так как 0 предельная точка множества Df), то для решения поставленной задачи следует выяснить, существует ли предел 0 f). Если он существует и конечен, то полагая a равным этому числу, получим непрерывность функции f в точке = 0. В противном случае функцию нельзя доопределить в точке 0 по закону непрерывности. ln + ) a). Так как f) = + 3) = + 3 = см. пример 34 c)), то 3 при a = 3 функция f непрерывна в точке 0 = 0. b). Справедливы утверждения: Аналогично: 0 0 e/ ) 0 f) =, то есть f 0) =. + e/ ) e/ ) + f) = 0, то есть f + 0) = 0. + e/ ) Таким образом, функция f не имеет предела и точке 0 =. Следовательно, нельзя подобрать такое a, что функция f непрерывна в точке 0 =. Пример 36. Исследовать на непрерывность функцию f, найти ее точки разрыва, классифицировать их род, если a) f) = sgn 3 + ); b) f) =, если 0, sin, если > 0. 34

35 a). Прежде всего напомним, что sgn =, если < 0, 0, если = 0,, если < 0. Для решения поставленной задачи найдем промежутки знакопостоянства функции y = 3 +. Так как 3 + = 0 в точках = и =, то квадратный трехчлен имеет следующие знаки + + и потому f) =,, ), + ), 0, {, },,, ). Следовательно, Df) = R. Изучим поведение функции f на интервале, ). Если a, ), то δ a = a > 0 : U a δ a ), ). Поэтому f ) =, U aδ a ), значит, Ua δ a ) a f Ua δ a ) ) = и a f) = f ) = = fa), a Ua δ a ) то есть функция f непрерывна в точке a. Поскольку точка a произвольная точка интервала, ), то f C, ). Аналогично доказывается, что функция f непрерывна на интервалах, ),, + ), то есть f) CR \ {; }). Точки =, = двусторонние предельные точки Df) и принадлежат Df). Найдем односторонние пределы функции f в этих точках: f) = =, 0 0 f) = ) =, f) = ) =, f) = = Поскольку f 0), f + 0) R и f 0) f + 0), то = точка разрыва -го рода, причем неустранимого. Аналогично, = также точка неустранимого разрыва -го рода. Замечание. Если функция f определена на множестве X, а функция ϕ на a, b), a, b) X,f = ϕ, a, b) и ϕ Ca, b)), то f Ca, b)). a,b) b). Функция f определена на R. Функция ϕ) = f) =,, 0).,0) 35

36 Поскольку постоянная функция непрерывна на, 0), то есть ϕ C, 0)), то f C, 0)). Пусть g) = f), то есть g) = sin, > 0. Функция g) явля- 0,+ ) ется суперпозицией функций g ) =, g : 0, + ) 0, + ) и g ) = sin, g : 0, + ) R, то есть для всех 0, + ) g) = g g )). Так как функция g ) является рациональной и ее знаменетель отличен от нуля на 0, + ), то g ) C0, + )). Функция g ) является элементарной, поэтому g ) C0, + )). В силу теоремы 5 о непрерывности сложной функции g) C0, + )), а значит f C0, + )). Итак, f CR \ {0}). Для изучения поведения функции в = 0 двусторонней предельной точке Df), найдем ее односторонние пределы. Так как f), то,0) 0 f) = = f) и функция f непрерывна слева в точке = 0. Так как f) = sin, и не существует предела 0,+ ) то f), а значит = 0 является точкой разрыва -го рода. +0 Пример 37. Доказать непрерывность функции f) = [] sin π в R. Напомним, что функция [] = n, если = n, n, если n, n), n Z, sin t, t + является непрерывной на множестве R \ Z, а в точках = n, n Z, имеет разрыв -го рода, так как [] = n, [] = n. n 0 n+0 Функция f является произведением функций [] и g) = sin π. Функция g) является суперпозицией функций y = sin и y = π, которые непрерывны на R, и действуют из R в R. В силу теоремы 5 о непрерывности сложной функции g) CR). По теореме 4 об арифметических операциях с непрерывными функциями f CR \ Z). Если n 0 Z, то n 0 двусторонняя предельная точка Df) и fn 0 + 0) = fn 0 0) = [] sin π = n 0 0 = 0 = fn 0 ), n 0 +0 [] sin π = n 0 ) 0 = 0 = fn 0 ). n 0 0 Следовательно, n0 f) = 0 = fn 0 ), и f C{n 0 }). В силу произвольности n 0 Z и непрерывности функции f на R \ Z получаем, что f CR). Так 36

37 как f) = 0, если = n, n sin π, если n, n + ), n Z, то эскиз графика функции принимает следующий вид: y Пример 38. Найти числа a и b, при которых функция f) = +, если 0, a + b, если > 0, непрерывна на R. Область определения функции f : Df) = R. Пусть ϕ) = f),, 0); ψ) = f), > 0.,0) 0,+ ) Поскольку ϕ) и ψ) являются многочленами на соответствующих множествах, то они непрерывны на них. С учетом сделанного выше замечания получаем, что f R\{0}). Изучим поведение функции f в точке = 0. Точка = 0 является двусторонней предельной точкой множества Df), поэтому найдем односторонние пределы: f) = ) = = f0), f) = a + b) = b, a R Поскольку f) = A R) f 0) = f+0) = A, то функция f будет непрерывной в точке = 0 тогда и только тогда, когда b =, а a произвольное число.. Задания для самостоятельной работы. Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, их род: 37

38 ) f) = cos 3, ) f) = arctg +, 3) f) = + sin π ln + ), 4) f) = +, + 5) f) = 7) f) = 9) f) = arctg + cos, 6) f) = + π,, 8) f) = /, +, 0) f) = sgn sin π. Выяснить, существует ли число a, при котором функция f непрерывна в точке 0 : ) f) = sin, если a, если =, 0 =, ). ) f) = ln + ), + 3 если >, 0 a, если = 0, 0 = 0, 3) f) = sin +, если >, 0 a, если = 0, 0 = 0, 4) f) = ln cos +, если 0 < < π a, если = 0, 0 = 0, 5) f) = 3 +, sin если π < < π a, если = 0, 0 = 0, 6) f) = e sin, если 0 a, если = 0, 0 = 0. 38

39 3. Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, их род: ) f) = ) f) = 3) f) = 4) f) = 5) f) = 4, если < 4, 4 4) ln 4), если > 4. / ), если <, sin π, если. ln + ), если < 0, , если > 0. arctg +, если <, sin, если >. e / ), если <, arcsin, если, ) ln ), если >., 6) f) = 3 sin, если < 0, sin π., если > Исследовать на непрерывность функцию f, построить эскиз графика функции: ) f) = sgn ), ) f) = sgn +, 3) f) = sgn arctg ), 4) f) = log / + ), 5) f) = sgn + ), 6) f) = []. 39

40 Список литературы [] Виноградова И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу, т. [Текст]: учебное пособие для вузов/ Виноградова И. А. С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. М. : Высшая школа, 000. [] Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст]: учеб. для вузов/ Демидович Б. П. М. : Наука, 990. [3] Курс лекций по математическому анализу, I курс, -й семестр [Текст]: учебное пособие для вузов/ Коршикова Т.И. [и другие] Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 006. Содержание Предел функции 3. Предельная точка множества Задания для самостоятельной работы Определение предела функции в точке Задания для самостоятельной работы Примеры вычисления предела функции Вычисление предела рациональной функции Задания для самостоятельной работы Вычисление предела иррациональной функции Задания для самостоятельной работы Первый замечательный предел Задания для самостоятельной работы Второй замечательный предел и его следствия Задания для самостоятельной работы Односторонние пределы Задания для самостоятельной работы Непрерывность функции в точке 9. Задания для самостоятельной работы Литература 40 40

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Предел и непрерывность функций одной переменной (теория к задачам) 4 Предел функции f( ), при, a нестрого означает, что становится почти равной (стремится, приближается

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru ksm-n05-производная и дифференциал А.А.Быков bykovaa.ru abkov.ru Оглавление 5. Лекция 5. Понятие производной... 4 5.. Производная... 4 5... Определение производной в точке 4 5... Производная степенной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее