ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение. 5. Линейная замена переменной"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИИ 8А 9А Пространство D, продолжение 5 Линейная замена переменной Для введения операции линейной (точнее, аффинной замены переменной, как и прежде, воспользуемся принципом продолжения с множества регулярных обобщённых функций с бесконечно гладким представителем Пусть f D ( регулярная обобщённая функция с представителем f ( C ( Тогда при всяком > имеем для g( f ( + b, ϕ( D( + g(ϕ( d f ( + bϕ( d + ( t b f (tϕ dt а при всяком < g(ϕ( d + f ( + bϕ( d + ( t b f (tϕ f, ϕ dt f, ϕ ( b ( b, Итак, при всех для указанного типа регулярных обобщённых функций имеет место равенство Это позволяет ввести g(, ϕ( f, ϕ ( b Определение 3 Пусть f f( D (, Тогда символом f( + b обозначим обобщённую функцию, действующую по правилу f( + b, ϕ( f(, ϕ ( b Именно в этом смысле и следует понимать «аргумент» обобщённой функции Замечание Тривиальную проверку того факта, что данное определение вводит функцию из D, оставляем слушателям Легко видеть, что при имеем δ( δ( в D ( В самом деле, согласно определению 3 имеем δ(, ϕ( ( δ(, ϕ ϕ Упростим выражение θ(, ϕ( Имеем при > при < θ(, ϕ( ( θ(, ϕ θ(, ϕ( ( θ(, ϕ + ( ϕ( δ(, ϕ( ( ϕ d ( ϕ d + + ϕ(t dt θ(, ϕ(, ϕ( t dt θ(, ϕ(

2 Итак, θ(, ϕ( θ(, ϕ( sgn В случае пространства D ( N при произвольном N имеем (A матрица,, y, b столбцы f(a + bϕ( d d N f(yϕ(a (y b D(,, N N y N,, y N dy dy N det A f(yϕ(a (y bdy dy N f(yϕ(a (y bdy dy N, det A N N что мотивирует Определение 3 Пусть f f( D ( N, A невырожденная матрица размера N N Тогда символом f(a + b обозначим обобщённую функцию, действующую по правилу f(a + b, ϕ( f(, ϕ(a ( b det A 6 Сходимость в пространстве D Определение 4 Пусть f n, f D Тогда говорят, что f n D f при n, если для любой основной функции ϕ D имеет место предельное соотношение f n, ϕ f, ϕ, n Таким образом, речь идёт о -слабой сходимости Аналогично говорят, что f ε D f при ε +, если если для любой основной функции ϕ D верно f ε, ϕ f, ϕ при ε + 3 Очевидно, с учётом определения 3 в силу финитности основных функций имеем δ( n 4 Рассмотрим так называемые δ-образные семейства (смысл названия скоро будет ясен, ε, ε ε f ε ( f ε (, > ε, π( + ε, 3 f ε( πε e 4ε, ( 4 f ε ( π sin ε, 5 f ε( ε π sin ε Во всех случаях имеем f ε D δ( при ε + Докажем это для примера Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, имеем для произвольной функции ϕ( D( f ε, ϕ ε ε Таким образом, f ε, ϕ ϕ( ε ε ϕ( d ε ε ε ε ε[ϕ( + ϕ ( (] d ε εϕ( + ε ϕ ( ( d ε sup ε ϕ ( ε ε ε d sup ϕ ( ε ε ϕ ( ( d, ε +

3 Имеет смысл доказать более общее утверждение Лемма Пусть: функция f( кусочно непрерывна на, f( при всех, 3 f( d, 4 f ε ( ε f ( ε Тогда для регулярных обобщённых функций f ε, задаваемых функциями f ε (, верно предельное соотношение f ε D δ(, ε + Замечание Легко видеть, что лемма применима ко всем семействам (, кроме 4 При этом в семействе 3 роль ε играет ε Прежде чем перейти к доказательству леммы, опишем «на пальцах» его идею Она состоит в том, что: для каждой конкретной функции ϕ( D ( найдётся окрестность ω нуля, в которой её значение мало отличается от значения в нуле; с другой стороны, найдётся такое ε, что при всех < ε < ε функции f ε «сосредоточены» в выбранной окрестности нуля, т е их интеграл по этой окрестности «почти равен» единице, а интеграл по оставшемуся множеству «пренебрежимо мал», поэтому в сумме f ε (ϕ( d f ε (ϕ( d + f ε (ϕ( d ω \ω первое слагаемое мало отличается от ϕ(, а второе мал о Доказательство леммы Сформулируем на языке «ε-δ», что, собственно, нужно доказать: ϕ( D(, ζ > ε (ϕ, ζ > ε (; ε (ϕ, ζ f ε (ϕ( d ϕ( ζ ( Заметим прежде всего, что при всех, b верно равенство и, в частности, bε ε f ε ( d + bε ε f ε ( d ( ε f d ε b Заметим теперь, что в силу равенства f( d b f(t dt (3 f( d (4 γ (; (γ > (γ Следовательно, при тех же в силу (3 верно f( d γ (5 ε ε f ε ( d γ (6 3

4 Пусть теперь нам заданы конкретные ϕ( D(, ζ > и требуется построить ε (ϕ, ζ (см ( Заметим, что в силу непрерывности основной функции ϕ( η > r(ϕ, η > [ r(ϕ, η; r(ϕ, η] ϕ( ϕ( η (7 Положим C sup ϕ( Найдём µ > такое, что µ ϕ( < ζ 4 (Если ϕ(, то можно взять любое положительно число, в противном же случае достаточно положить < µ < ζ Далее, положим (см (5 4 ϕ( ( { } ζ γ min µ, C Тогда при всех ε > и всех имеем или, с учётом (4, ε ε ε ε f ε ( d µ, f ε ( d µ, ε ε \[ ε; ε] f ε ( d ζ C, f ε ( d ζ C (8 Далее, выберем (см (7 r r ( η ζ 4 такое, что ϕ( ϕ( ζ 4 при r, (9 и положим ε (ϕ, ζ r Тогда при всех < ε < ε будем иметь с учётом (8, (9 f ε (ϕ( d ϕ( f ε (ϕ( d + f ε (ϕ( d ϕ( [ε;ε] \[ε;ε] f ε ([ϕ( + (ϕ( ϕ(] d + f ε (ϕ( d ϕ( [ε;ε] \[ε;ε] f ε (ϕ( d ϕ( + f ε ((ϕ( ϕ( d + f ε ( sup ϕ( [ε;ε] [ε;ε] \[ε;ε] ζ ϕ( ( µ + sup ϕ( ϕ( f ε ( d + C [ε;ε] C ϕ( µ + ζ 4 + ζ ζ 4 + ζ 4 + ζ ζ Это и доказывает требуемый результат ( Лемма доказана 4 [ε;ε]

5 Замечание 3 Мы пользовались условием неотрицательности функции f ε ( в оценках типа f ε ( d f ε ( d, f ε (ϕ( d f ε ( sup ϕ( d A A A A Поэтому для рассмотрения примера 4 требуется либо сформулировать более общее утверждение, либо провести доказательство в частном случае непосредственно для f ε ( π sin ε Замечание 4 Удивительный факт состоит в том, что результат леммы имеет место, в частности, в том случае, когда f( и даже supp f, например, для f(,χ [9;] ( Конечно, этим мы всецело обязаны свойству непрерывности основных функций (см (7 cos k D 5 P при k, где ϕ( D ( P cos k, ϕ( v p cos k ϕ( d Действительно, пусть фиксирована некоторая произвольная основная функция ϕ(, supp ϕ [; ] Имеем cos k v p ϕ( d v p v p cos k ϕ( d cos k ϕ( d + v p ϕ( ϕ( cos k d Здесь первое слагаемое в правой части обращается в нуль как предел интегралов от нечётной функции по симметричному множеству Насчёт второго слагаемого заметим прежде всего, что в силу свойств гладкости основной функции подынтегральная функция содержит устранимую особенность: множитель ϕ( ϕ( имеет конечное предельное значение ϕ ( при, что вытекает из формулы конечной приращений Лагранжа и непрерывности производной основной функции Далее, в силу вышесказанного получаем где cos k v p ϕ( d cos k ψ( d, ϕ( ϕ(,, ψ( ( ϕ (, Но тогда в силу леммы Римана получаем требуемый результат (Формулировка леммы: b f( cos t d, b f( sin t d при, b const, t + для любой кусочно непрерывной функции f(, см, напр: А В Щепетилов, Лекции по математическому анализу для экспериментального потока Третий семестр, лемма 74 6 Формула Сохоцкого ±i iπδ( + P, где ±i lim ε + функций ±iε в смысле обобщённых 5

6 Имеем iε, ϕ( ϕ( iε d ϕ(( + iε d + ε ϕ( + ε d + i εϕ( + ε d Сходимость второго слагаемого в правой части к iπδ( следует из предыдущего пример (семейство Рассмотрим первое слагаемое Как обычно, фиксируем произвольную основную функцию ϕ( и выбираем так, что supp ϕ [; ] Тогда ϕ( + ε d ϕ( + ε d (ϕ( ϕ( ψ( d + ε + ε, ( где в предпоследнем равенстве мы воспользовались нечётностью функции, а в последнем +ε перешли к функции ψ(, определённой формулой ( C другой стороны, P, ϕ( ϕ( v p d ϕ( ϕ( d ψ( d, ( где мы снова воспользовались соображениями нечётности, а также сняли знак главного значения, поскольку, как и в предыдущем примере, в подынтегральном выражении теперь функция с устранимой особенностью Сравним теперь правые части ( и (: ψ( + ε ψ( d sup ε ε ψ( d C [;] + ε ε rctg Cεπ, ε + ε 7 Вычислить предел в смысле обобщённых функций при t + от выражения eit i Имеем при произвольном фиксированном ϕ( D( с supp ϕ [; ] с учётом предыдущего примера e it ϕ(e it i, ϕ( lim ε + iε d {ϕ(eit D( } lim i, ϕ(eit iπδ( + P, ϕ(eit iπϕ( + P, ϕ(eit iπϕ( + v p ε + ϕ((cos t + i sin t d iε ϕ(eit ϕ( ϕ( ϕ( iπϕ( + (cos t + i sin t d + v p cos t + i sin t d iϕ( sin t iπϕ( lim d iπϕ( + iπϕ( iπδ(, ϕ( t + Здесь в одном из последних переходов мы воспользовались равенством sin t sin y d dy π, y верном при всех t > Этот результат можно получить с помощью дифференцирования или предельного перехода по параметру (см материал 3-го семестра по математическому анализу 6

7 7 Прямое (тензорное произведение обобщённых функций из D Пусть M, y N, ϕ(, y D( M+N, f( C( M, g(y C( N Тогда верна формула сведения повторного интеграла к двойному (в более общем случае теорема Фубини ( f(g(yϕ(, y d dy d g(yϕ(, y dy d, M+N M N что позволяет сформулировать Определение 5 Пусть f( D ( M, g(y D ( N Тогда прямым (тензорным произведением функций f( и g(y называется функция h(, y f( g(y, действующая по правилу f( g(y, ϕ(, y M+N f(, g(y, ϕ(, y N M Проверка корректности определения остаётся для самостоятельной работы слушателей, равно как и доказательство следующих свойств введённой операции: коммутативность, непрерывность по каждому из сомножителей (в смысле предельного перехода, определённого выше, 3 ассоциативность, 4 для любого мультииндекса α (α,, α M верно D α [f( g(y] [D α f(] g(y, 5 для любой ( C ( N верно ((f( g(y ((f( g(y, 6 f(, ϕ(, y dy f(, ϕ(, y N M N M dy, 7 supp [f( g(y] supp f( supp g(y Для формулировки последнего свойства требуется ввести понятие носителя обобщённой функции Сделаем это Определение 6 Говорят, что обобщённая функция f( D обращается в ноль в области G, если для любой основной функции ϕ( с supp ϕ G верно f(, ϕ( Определение 7 Объединение всех областей, в которых обобщённая функция f( D обращается в ноль, называется нулевым множеством этой функции, а дополнение к нулевому множеству её носителем Обобщённые функции с компактным носителем называются финитными Например, supp δ( {}, supp θ( { } (докажите это непосредственно!, поэтому функция Дирака финитна, а функция Хевисайда нет Введём теперь обобщённую функцию δ(t θ(t δ(t + + θ(t δ(t (3 Здесь в правой части использованы тензорные произведения функции Хевисайда по переменной t на дельта-функции, в которых осуществлена линейная замена переменной t ±, при которой t рассматривается как параметр 7

8 8 Преобразуем тензорные произведения в правой части (3 Имеем ( θ(t δ(t +, ϕ(t, θ(t, δ(t +, ϕ(t, θ(t, δ(, ϕ t, t Аналогично получаем 9 Положим θ(t ϕ(t, t + θ(t δ(t, ϕ(t, ϕ(t, t dt + ϕ(t, t dt, t, θ(t, t < Требуется вычислить θ(t, где производная пониматеся в смысле обобщённых функций t Имеем с учётом предыдущего примера θ(t, ϕ(t, t d + t θ(t, t ϕ(t, ϕ(t, dt t ϕ(t, tdt + + Доказать, что θ(t, ϕ(t, Имеем с учётом примера 8 θ(t, ϕ(t, + t d ϕ ( ϕ ϕ(t, t δ(t {(t, t (, ϕ(t, dt d t ( ( d + + ϕ, d } θ(t δ(t +, ϕ + θ(t δ(t, ϕ + ϕ dt t d θ(t δ(t +, ϕ + θ(t, ( ϕ ϕ(t, ϕ (t, t (t, t dt θ(t δ(t, ϕ 8 Свёртка обобщённых функций ϕ {(t, t } dt d Пусть f( и g( непрерывные функции Тогда можно ввести в рассмотрение функцию h( f(tg( t dt N f( tg( dt N при условии, что эти интегралы сходятся Далее, для любой функции ϕ( D( N имеем ( h(, ϕ( d f(ξg( ξ dξ ϕ( d f(ξ g(ηϕ(η + ξ dη dξ N N N 8

9 Это позволяет ввести определение свёртки обобщённых функций Определение 8 Свёрткой f( g( обобщённых функций f( D, g( D называется обобщённая функция, действующая по правилу f( g(, ϕ( f(ξ g(η, ϕ(ξ + η (4 Замечание 5 Здесь в правой части происходит не линейная замена переменной в аргументе основной функции, а применение тензорного произведения к сложной функции ψ(ξ, η ϕ(ξ+η Вообще говоря, формула (4 имеет смысл не для всех f( D ( N, g( D ( N, ϕ( D( N, поскольку ϕ(ξ + η может уже не быть финитной Однако она заведомо имеет смысл, в частности, когда одна или обе обобщённые функции финитны или (при N когда носители функций f и g ограничены с одной стороны Упростим выражение θ( θ( Имеем для всякой ϕ( D( θ( θ(, ϕ( θ(ξ θ(η, ϕ(ξ + η θ(ξθ(η dξ dη + + или θ( θ( θ( ϕ(ξ + η dξ {ξ + η τ} τϕ(τ θ(, ϕ(, + Упростим выражение f( θ( θ( sin Имеем для всякой ϕ( D( f(, ϕ( ξ θ(ξ θ(η sin η, ϕ(ξ + η + + или θ( θ( sin θ( dη + η ϕ(τ dτ + ξ sin ηϕ(ξ + η dξ {ξ + η τ} dτ + ( τ dτϕ(τ(τ η sin 3 η dη dτ ϕ(τ 6 ( 3 cos sin τ + cos τ 4 Задачи для самостоятельного решения dτ τ sin τ 8 dη ϕ(τ dη ϕ(τ(τ η sin η, Доказать, что функционал, задаваемый определением 3, действительно определён на всём D( и является линейным и непрерывным Показать, что Показать, что (D α f( + h D α [f( + h], f D ( N, h N (D l f( + b l D l [f( + b], f D (, h,, l N 9

10 3 Показать, что при всех ( C ( N, F( D ( N верно (f(a+b (A+bf(A+b (det A 4 Упросить выражение δ( (в D ( N 3 Найти носители обобщённых функций δ(, θ(, P 4 Описать преобразование носителя при линейной замене переменной 5 Убедиться, что в примерах 4 43, 45 можно применить лемму, сформулированную на с 3 6 Обосновать требуемый результат для примера 44 * Сформулировать и доказать общее утверждение, подходящее для этого случая 7 Пусть f( D ( N финитная обобщённая функция (не обязательно регулярная! Показать, что если η( в окрестности supp f, то η(f( f( 8* Найти предел lim t + t m e it, где m N фиксировано 9 Исследовать на сходимость в D ( ряд n nn δ (n ( n * Проверить корректность определения тензорного произведения обобщённых функций (Что именно нужно проверить? * Проверить свойства тензорного произведения Показать, что θ(,, N θ( θ( θ( N ; δ(,, N δ( δ( δ( N ; 3 n θ(,, N N δ(,, N 3 Показать, что в D ( θ(t θ(t δ(t + θ(t δ(t ; ϕ(t, θ(t, ϕ(t, δ(t, t 4 Изобразить на координатной плоскости носители следующих обобщённых функций:, δ( δ(y b, θ( δ(y b, 3 θ( θ(y b 5 Упростить выражение f( θ( θ( sin 6 На примере обобщённых функций θ(, δ(, показать, что операция свёртки не ассоциативна 7* Выяснить, какие (какая из этих формул верны (верна: f α ( f β ( f α+β (, g α ( g β ( g α +β (, где f α ( π α α +, α > ; g α( α ep ( π α, α > 8* Показать, что в пространстве D ( свёртка θ(t t θ( не имеет смысла

11 9 Показать, что имеют место равенства: δ( f( f( ; δ( δ( b δ( b; 3 ( δ (l ( f( f (l (, l N Вычислить в D ( свёртку θ(t θ(t

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет» М. В. Фалалеев ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Учебно-методическое пособие УДК 517.982.4 ББК

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0.

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0. 13. Лемма Г. Вейля Начнем с того, что дадим еще одно определение гармонических функций на римановых поверхностях. Пусть X риманова поверхность и p X. Тогда касательное пространство T p X является не просто

Подробнее

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала.

Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Лекция 14. Пространства Соболева и решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. 1 Гладкость ньютоновского потенциала. Докажем, что ньютоновский потенциал гладок в тех точках, где гладка плотность. Положим:

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

М.М.Деркач, А.М.Филимонов, Д.А.Филимонов ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Прикладная математика-» М.М.Деркач,

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи Лекция 6 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Общие понятия Пространства основных и обобщенных функций 3 Операции над обобщенными функциями Общие понятия Понятие обобщенной функции было вызвано не стремлением к обобщениям

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

Операционное исчисление.

Операционное исчисление. Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ориентировочный план семинаров, 4 семестр, 213 1. Интегралы, зависящие от параметра. 1.1. Понятие равномерной интегрируемости параметризованного семейства функций. Критерий Коши Больцано

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ. Тема курса лекций: ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 8 Интеграл Эйлера-Пуассона Интеграл Лапласа Интеграл Френеля

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции.

Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция. ˆf = 1. f(x) = 1 R. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции. Лекция 5. Преобразование Фурье.. Определение и основные результаты. Пусть f L 2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция f(α) = f(x)t iαx dx () Нормированным преобразованием Фурье функции

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АП Аксёнов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ДВОЙНЫЕ

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки.

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Определение 1 Предельная точка для множества - это такая точка a, к которой сходится некоторая последовательность точек множества,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента Учебно-методическое пособие для вузов Составители: С.П. Зубова, И.Н. Гурова, М.И. Каменский,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Сибирский математический журнал Май июнь, 22. Том 43, 3 УДК 517.26 ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Аннотация: Доказаны некоторые асимптотические

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Лекция 7. Преобразование Фурье

Лекция 7. Преобразование Фурье Лекция 7. Преобразование Фурье Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 2 апреля 2012 г. Пространство P Напомним, что топология τ пространства

Подробнее