Дистанционная подготовка Abitu.ru ФИЗИКА. Статья 11. Тепловые машины.

Транскрипт

1 Дистанционная подготовка bituru ФИЗИКА Статья Тепловые машины Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим замкнутые процессы с газом Любой замкнутый процесс называется циклическим процессом или циклом Пусть с газом проводят некоторый цикл ---- Для изучения поведения газа в цикле достаточно знать, как он себя ведёт в каждом из незамкнутых процессов -, -, - и - Работа газа в цикле ---- равна сумме всех работ газа в каждом из процессов -, -, - и -, те Работа газа в цикле ---- численно равна площади S фигуры, ограниченной замкнутой кривой процесса в координатах p и V (на pv -диаграмме), если цикл обходится по часовой стрелке (рис), и она равна этой площади S, взятой со знаком минус, если цикл обходится против часовой стрелки (рис) Изменение внутренней энергии U в цикле ----, а также в любом другом цикле, равно нулю, те U 0 Пусть рис рис рис Схема работы тепловой машины сумма всех подведённых теплот к газу за весь цикл Пусть сумма всех отведённых теплот от газа за весь цикл Например, если в процессе - теплота подводится к газу, в процессе - он теплоизолирован, а в процессах - и - теплота отводится от газа, то, а Отметим, что всегда 0 и 0 Тепловая машина устройство, преобразующее тепловую энергию в механическую Она состоит из двух тепловых резервуаров и рабочего тела Один тепловой резервуар называется нагревателем, а другой холодильником Температура каждого из резервуаров поддерживается неизменной, причём температура нагревателя больше температуры холодильника, те Рабочее тело тепловой машины вещество, через которое происходит процесс передачи теплоты от нагревателя к холодильнику Обычно рабочим телом тепловой машины является газ Схема работы тепловой машины приведена на рис За один цикл работы от нагревателя к газу подводится количество теплоты, которое частично идёт на совершение полезной механической работы (работы тепловой машины), а частично на подведение теплоты ( взято по модулю, так как теплота отводится от газа, те 0 ) По закону сохранения энергии, откуда к холодильнику Тепловая машина тесно связана с циклическими процессами Поведение её рабочего тела описывается циклом в координатах p и V (на pv -диаграмме) Для тепловой машины этот цикл всегда обходится по часовой стрелке Коэффициентом полезного действия (далее КПД) тепловой машины называется отношение работы тепловой машины к сумме Из соотношений и подведённых теплот к газу за весь цикл, те получаем другое соотношение для КПД, а именно

2 Идеальная тепловая машина (машина Карно) тепловая машина, работающая по циклу Карно Цикл Карно цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм КПД ИД идеальной тепловой машины: ИД, где температура нагревателя, где температура холодильника Теорема Карно утверждает о том, что КПД любой тепловой машины не превышает КПД ИД идеальной тепловой машины (машины Карно) между теми же тепловыми резервуарами, те ИД Рассмотрим несколько примеров тестовых вопросов Примеры тестовых вопросов Вопрос Температуры нагревателя и холодильника тепловой машины Карно повысили на одинаковое количество градусов 0 Как изменится при этом КПД тепловой машины? ) увеличится ) уменьшится ) не изменится, КПД уменьшится Ответ: ) Вопрос Тепловая машина за цикл совершает работу 0 Дж и отдает холодильнику количество теплоты, равное 0 Дж КПД тепловой машины равен ) ) ) ) ) Дж, 0 Дж 80 Дж 8 Ответ: ) Вопрос В идеальной тепловой машине абсолютная температура нагревателя в раза больше абсолютной температуры холодильника Работа, совершаемая этой машиной за один цикл, в котором рабочее тело машины получает от нагревателя кдж теплоты, равна ) 0 кдж ) кдж ) кдж ) 0 кдж ) 0 кдж 6) 00 кдж, Дж,, кдж 0 кдж Ответ: ) Вопрос Чему равно максимальное значение КПД, которое может иметь тепловая машина с температурой нагревателя 0 0 С и температурой холодильника С? ) 9% ) 6,% ),% ) 6% ) % 6) % 6)

3 Тепловая машина имеет максимальное значение КПД, если она работает по циклу Карно Тогда: 800 К, 00 К, 6,% 8 8 Ответ: ) Рассмотрим несколько примеров решения задач Примеры решения задач Примеры и являются наиболее показательными Они содержат наибольшее количество моментов, которые обычно используются при решении подобного рода задач В них приводятся подробные решения задач В примерах -6 будут приводиться краткие решения задач Если в условии задачи сказано, что mk работа над газом в процессе m-k, то в решении задачи следует за mk принимать именно работу над газом Тогда работа газа в процессе m-k будет равна mk Если же в условии задачи это не сказано, то в её решении за mk следует принимать работу газа в процессе m-k Пример [МФТИ 000] Рабочим телом тепловой машины, работающей по циклу, изображённому на рис, является двухатомный идеальный газ Цикл --- состоит из изобарического расширения -, участка - линейной зависимости давления от объёма и адиабатического сжатия - Известно, что в процессе - газ совершает работу, а в процессе - над газом совершается работа Точки и на pv -диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат O ) Найти работу сжатия, совершённую над газом в процессе - ) Найти работу, которую совершает газ за весь цикл ) Найти КПД данной тепловой машины Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Пусть количество моль идеального газа Для каждого из его состояний, и запишем уравнение Менделеева-Клапейрона: pv R, pv R и pv R Заметим, что идеальный газ является двухатомным, значит, и 0 CV R и P C R В процессе - тепло к газу подводится (газ расширяется) В процессе - тепло от газа отводится 0, так как U 0 0, так как U 0 и 0 (газ сжимается) В процессе - газ теплоизолирован 0 Следовательно, и В соответствии с обозначениями в условии задачи в процессе - работа газа равна, в процессе - работа газа равна и в процессе - работа газа равна, поэтому работа газа во всём цикле равна, те Рассмотрим процесс -: U C R U R V ; рис

4 R p V V p V p V R U R R R R Отметим, что в данном процессе удобно искать по определению: C p R Рассмотрим процесс -: U CV R ; Прямая - pv -диаграммы проходит через начало координат O, поэтому tg p p V V p V p V ; p p V V pv pv pv pv pv pv R R Рассмотрим процесс -: U C R U R V ; U 0 U R ) Из уравнений и следует, что и R R R R R R R, значит, уравнение примет вид: ) Работа газа за весь цикл: ) КПД данной тепловой машины: Ответ: ) ; ) 6 ; ) Пример [МФТИ 006] С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс ---, состоящий из адиабатического расширения -, расширения в процессе -, в котором теплоёмкость газа оставалась постоянной, и сжатия в процессе - с линейной зависимостью давления от объёма V Найти молярную теплоёмкость газа в процессе -, если работа, совершённая над газом в цикле, составляет / от работы, совершённой над газом в процессе - Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Давление газа, его объём и температуру в состоянии, изображаемом точкой на pv -диаграмме, обозначим p и соответственно Заметим, что идеальный газ является одноатомным, значит, CV R и CP R Пусть количество моль идеального газа Для каждого из его состояний, и запишем уравнение Менделеева-Клапейрона: pv R, pv R и pv R

5 По условию: и V V, следовательно, p p Пусть в процессе - работа газа равна, в процессе - работа газа равна, а в процессе - работа газа равна, тогда работа газа во всём цикле равна, те Отметим, что работа газа в цикле отрицательна 0, так как цикл обходится против часовой стрелки По условию: 8, откуда, следовательно, Рассмотрим процесс -: U C R U R U 0 V U R ; Так как, то: R Рассмотрим процесс -: U C R U R V Пусть C молярная теплоёмкость газа в процессе -, тогда C U C R C R ; C R Так как, то: C R Рассмотрим процесс -: p p V V pv pv pv pv pv pv pv pv Так как, p p и V V, то: R R R R 8 Из уравнения и соотношения следует, что R, откуда R Подставляя соотношения и 8 R C R, откуда Ответ: R 8 C 8 в уравнение, получаем, что Из соотношений и Пример Тепловая машина, рабочим телом которой является одноатомный идеальный газ, работает по циклу, изображённому на рис Найти её КПД получаем, что C R рис Пусть,, и температуры газа в состояниях, изображаемых на pv -диаграмме точками,, и соответственно Заметим, что идеальный газ является одноатомным, значит, CV R и CP R Пусть количество моль идеального газа Для каждого из его состояний,, и запишем уравнение Менделеева-Клапейрона: p0v0 R, p0v0 R, 6 p0v0 R и p0v0 R В процессе - тепло к газу подводится 0, так как U 0 и 0 В процессе - тепло к газу подводится 0, так как U 0 и 0 (газ расширяется) В процессе - тепло от газа отводится

6 0, так как U 0 и 0 В процессе - тепло от газа отводится 0 (газ сжимается) Следовательно, и, так как U 0 и Работа газа во всём цикле равна площади S фигуры, ограниченной замкнутой кривой процесса на pv - S p0 p0 V 0 V0 p0v 0, значит, 0 0 диаграмме p V Рассмотрим процесс -: 0 U CV R R p0v0 p0v0 p0v0 U p0v 0 ; 0 ; U U p0v 0 p0v 0 U CV R R 6 p0v0 p0v0 6 p0v0 Рассмотрим процесс -: U p V ; p V ; p0 V 0 V0 p0v U 6 p0v0 p0v0 0 p0v p V Отметим, что в данном процессе удобно искать по определению: C p R R p V p V p0v0 p0v0 КПД тепловой машины: Итак: p 0V0 0 p0v0 Ответ: Пример [МФТИ 00] Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой машине Цикл ---- состоит из двух изохор - и - и двух изобар - и - (рис6) Цикл --- состоит из участка - линейной зависимости давления от объёма, изохоры -, изобары - Найти КПД цикла ----, если КПД цикла --- равен В цикле --- к газу было подведено количество теплоты Значит, газом в цикле --- По первому началу термодинамики u, откуда u, где работа совершённая В цикле ---- к газу было подведено тепло Легко видеть, что в цикле ---- газ совершает работу (так как площади треугольников и равны), поэтому По первому началу термодинамики u, u, значит, u Подставляя уравнения и в, получаем Остаётся заметить, что, откуда Ответ: рис6

7 Пример [МФТИ 00] На рисунке для моль гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления p от объёма V и изобары (рис) На изобаре - над газом совершили работу 0, и его температура уменьшилась в раза Температуры в состояниях и равны Точки и на pv -диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат O ) Определить температуру в точке ) Определить работу газа за цикл рис Если температура в точке равна, то в точках и температура будет Пусть p давление в точках и, p давление в точке и V объёмы в точках, и Работа газа на участке -: p V V Поскольку pv R и pv R, то: R, значит, R Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей цикл на pv -диаграмме: p p p p V V Выразим p через p Имеем V V, p V p V Из последних двух уравнений p p Тогда p V V Ответ: ) ; ) R Из соотношения следует, что p V V Пример 6 КПД цикла (рис8), состоящего из участка -, адиабаты - и изотермы -, равен, а цикла, состоящего из изотермы -, изобары - и адиабаты -, равен Чему равен КПД тепловой машины, работающей по циклу ----? Все циклы обходятся по часовой стрелке Рабочим веществом является идеальный газ, следовательно, рис8 Заметим, что: в процессе - тепло к газу подводится 0, так как U 0 и 0 (газ расширяется); в процессе - тепло газ теплоизолирован 0 ; В процессе - тепло от газа отводится 0, так как U 0 и 0 (газ сжимается); в процессе - тепло от газа отводится 0, так как U 0 и 0 (газ сжимается); в процессе - тепло газ теплоизолирован 0 ; В процессе - тепло к газу подводится 0, так как U 0 и 0 (газ расширяется); КПД цикла ---, откуда КПД цикла ---- следовательно, КПД цикла ---, откуда Заметим, что, значит,, Итак: Ответ:

8 Домашнее задание Задача [МФТИ 00] Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из адиабатического расширения -, изотермического сжатия - и изобарического расширения - (рис9) КПД цикла равен, при изотермическом сжатии над газом совершается работа 0 Какую работу совершает машина в указанном цикле? Задача [МФТИ 00] Тепловая машина работает по циклу, состоящему из процесса адиабатического расширения -, процесса изотермического сжатия - и изохорического процесса - Рабочее вещество моль идеального одноатомного газа В процессе, где теплота к газу подводится, давление газа увеличивается в раза В процессе сжатия от газа отводится количество теплоты 0 Во всём цикле --- машина совершает работу Найти максимальную температуру газа в цикле рис9 рис0 Задача [МФТИ 000] Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем Газ сжимают в адиабатическом процессе, переводя его из состояния в состояние (рис0) Над газом совершается работа сжатия 0 Затем газ расширяется в изотермическом процессе -, и, наконец, из состояния газ переводят в состояние в процессе, когда его давление p прямо пропорционально объёму V Найти работу, которую совершил газ в процессе изотермического расширения, если во всем замкнутом цикле --- он совершил работу Задача [МФТИ 006] Тепловая машина работает по циклу (рис), состоящему из изохоры -, изобары - и участка - прямо пропорциональной зависимости давления от объёма Найти КПД цикла, если объём на изобаре изменяется в раза Рабочее вещество идеальный одноатомный газ рис 9 декабря 009 г Межвузовский центр воспитания и развития талантливой молодежи в области естественно-математических наук "Физтех-центр" Составители: Пенкин МА, Шувалов НД, Беляков ОЕ Сайт: wwwabituru