ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ"

Транскрипт

1 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ А.В. Антонов, Н.Г. Зюляева, В.А. Чепурко В настоящее время особую актуальность имеют вопросы обеспечения надежного функционирования объектов ядерной энергетики. Известно, что объекты ядерных энергетических установок относятся к категории высоконадёжного оборудования. Отказы их события редкие. Поэтому возникает необходимость в разработке специальных методов обработки статистической информации, с целью определения характеристик надёжности этих объектов. Информация, поступающая на обработку с атомных станций, имеет следующие особенности: ограниченный объём данных об отказах; наличие цензурированных данных. Наличие цензурированных данных обусловлено тем, что в процессе эксплуатации объекты стараются не доводить до отказа. На предприятии, как правило, существует система предупредительных профилактических мероприятий, суть которых заключается в том, чтобы как раз не допустить возникновения отказов изделий в процессе их функционирования. Таким образом, при проведении анализа надежности приходится сталкиваться с ситуациями, когда определенная часть элементов или систем не отказывает за период наблюдения, а другая часть отказывает, но моменты отказов точно неизвестны. В таких ситуациях возникает необходимость проведения статистического анализа надежности на основе специфических выборок, основной особенностью которых является отсутствие сведений о моментах отказов контролируемой части изделий. Классический подход в проведении анализа информации состоит в применении параметрических методов. Однако, использование параметрических методов связано с формулировкой предположений о виде закона распределения наблюдаемых случайных величин. При ограниченном объёме информации нельзя указать каких-либо веских причин, по которым конкретное распределение результатов наблюдений должно входить в то или иное параметрическое семейство. Поэтому для анализа статистической информации, поступающей с атомных станций, рациональнее использовать непараметрические методы. В настоящее время развитию непараметрических методов уделяется большое внимание. Среди непараметрических методов построения плотности (функции) распределения широкое распространение находят гистограммные (построение гистограммы или вариационного ряда), проекционные, ядерные и вейвлет-оценки. Наиболее общей характеристикой, описывающей поведение одномерной случайной величины, является ее плотность распределения f t. Зная плотность распределения случайной величины, можно однозначно определить такие характеристики как вероятность отказа, интенсивность отказа, среднее время между отказами и пр. Таким образом, зная плотность или функцию распределения случайной величины, можно перейти к определению характеристик надежности объекта. Задача оценки плотности распределения наблюдаемой случайной величины является одной из ключевых задач статистического анализа. Данная статья посвящена исследованию методов построения непараметрических оценок плотности распределения. В частности, - исследованию ядерного метода оценки плотности распределения на основании информации, содержащей как полные наработки, так и цензурированные данные. Ядерная оценка плотности распределения впервые была получена Парзеном и Розенблаттом и имеет вид: 1

2 1 t Ti f() t K, h 0, h, (1) h i1 h где Т 1, Т 2,..., Т п выборка, полученная в результате наблюдения за объектом исследования; K(x) - ядро предлагаемой оценки; h ширина окна или параметр сглаживания, который оказывает существенное влияние на вид и точность оценок; объём наблюдений. Плотность распределения, построенная на основании данной формулы, при соответствующем выборе ядра, будет представлять собой непрерывную функцию. В последующих за исследованиями Парзена и Розенблатта работах было предложено использовать в качестве ядра ряд функций. Основные из них треугольная функция, функция Гаусса, функция Епанечникова и т.д. Выбор конкретного ядра обусловлен начальными предпосылками, касающимися класса функций, которому принадлежит оцениваемая плотность. Также На современном этапе представляет интерес получение оценок плотности распределения с учётом цензурированной информации. Цензурирование - это процесс возникновения неопределенности момента отказа, причем интервал неопределенности считается известным. Интервалом неопределенности называется интервал времени, внутри которого произошел либо произойдет отказ объекта, при этом точное значение времени отказа неизвестно. Этот интервал может быть неограниченным справа и ограниченным справа. В первом случае говорят, что выборка цензурирована справа, во втором случае цензурирована слева. Если интервал неопределенности момента отказа ограничен слева и справа, то говорят о цензурировании интервалом. Описание моделей, используемых в работе Рассмотрим обозначения, используемые в данной работе. Предположим, что у нас имеется следующая статистическая информация: T T T,..., 1, 2 T p - массив полных наработок, l1, r1 ; l2, r2 ;...; ls, rs LR - массив интервалов, на которых произошло 1, 2,..., s - случайное число отказов. При этом будем предполагать, что li 0, если i - тый интервал цензурирован слева и r, если - тый интервал цензурирован справа. Также очевидно, что p q - общее число наблюдений, где s q - общее количество цензурированных наблюдений. Тогда, как показано в [1], выражение для ядерной оценки плотности распределения выборки, цензурированной интервалом, будет иметь вид: 1 f x 1 h p 1 x Ti V h s 1 1 x l u V h 0 du (4) 2

3 Данное выражение справедливо и для цензурированных слева данных, в этом случае левая граница интервалов цензурирования l 0, 1, s. В выражении (4) используются величины, характеризующие ширину -ого интервала цензурирования. Данные величины имеют конечное значение только в случае цензурирования слева и интервалом. При цензурировании справа правая граница равна бесконечности, и поэтому данная формула не имеет практического применения. Для этого случая в [1] получено выражение f ( x) 1 h p x Ti V h 2 1 s 1 x x V h u l du. (5) Таким образом, имеются выражения для построения ядерной оценки плотности распределения в случае наличия информации в виде полных наработок, а также цензурированных слева, справа и интервалом. Постановка задачи. В данной статье будем решать задачу исследования свойств оценок, построенных на основе полученных в [1] выражений для ядерной плотности распределения случайной величины. Попытаемся выявить зависимость качества восстанавливаемой по результатам наблюдений плотности распределения от различных параметров выборки. Исследования качества ядерной оценки будем проводить для таких параметров, как общий объём наблюдений, доля цензурированной информации в исходной выборке, значение ширины окна в выражении для ядерной оценки плотности и ширина интервала неопределённости для цензурирования интервалом. Отметим, что на качество оценки плотности распределения существенное влияние оказывает величина параметра h. Поэтому в работе рассмотрена разработанная методика определения оптимального значения ширины окна h, основанная на методе максимального правдоподобия. Для проведения исследований по описанным выше математическим моделям разработано программное обеспечение, на основании которого осуществлялась обработка результатов наблюдений. Определение точности того или иного способа оценивания осуществлялось как на основе анализа графического представления получившихся плотностей, так и на основе анализа ошибок оценок. Расчёт ошибок в работе проводился в виде: ист. d max f x f x (6) x f f dx, (7) ист. x где f ист истинная плотность распределения, на основании которой осуществлялось моделирование статистических данных, f ядерная оценка плотности распределения, область определения наблюдаемой случайной величины, d ошибка в метрике C - пространства непрерывных функций ( C - расстояние), ошибка оценивания в метрике L1 - пространства ( L 1 - расстояние). 3

4 На основе анализа вычисленных ошибок попытаемся сформулировать выводы о зависимости качества оценок плотности распределения от значений параметров выборки. Определение оптимального значения параметра h. Качество восстановленной с помощью ядерного оценивания плотности зависит от выбора величины параметра h. Параметр локальности h выступает в качестве основного управляющего параметра. Его значение оказывает существенное влияние на вид оценок плотностей распределения и на их точность. 1 В работе [2] показано, что дисперсия оценки Df ~. Следовательно, h нельзя h брать бесконечно малым, т.к., при этом дисперсия оценки плотности распределения будет стремиться к бесконечности. С другой стороны, нельзя брать параметр h слишком большим, поскольку при этом увеличивается систематическая ошибка: M f f ~ h. Таким образом, возникает оптимизационная задача выбора параметра сглаживания. Существуют различные методы определения оптимального значения параметра h. В данной статье предлагается метод, основанный на вычислении функции правдоподобия. Суть метода состоит в следующем. Пусть имеется выборка Т 1, Т 2,..., Т п. На первом шаге выбираем произвольное значение параметра h 1. Далее исключаем из выборки значение Т 1 1 f h t. Затем и на основании оставшихся значений Т 2, Т 3,...,Т п строим плотность, определяем значение плотности в точке Т 1. В результате получаем h f 1 1,T1. На следующем шаге исключаем значение Т 2. На основании оставшихся значений T 1, Т 3,..., Т п 2 f h, t. Далее вычисляем значение ядерной оценки плотности в точке строим плотность Т 2. Получаем f 1 h1,t2 i f h T, i 1, 1 1 i,. Повторяем данную процедуру по всем T i до Т п. Получаем массив. На основании вычисленных значений оценок плотностей в точках строим функцию правдоподобия L i h, T f h T 1 1 1, i1 i На втором этапе устанавливаем значение константы h, равное h 2, и повторяем описанную процедуру заново. Вычисляем функцию правдоподобия L i h T f h T, , i1 i Далее изменяем значение параметра h таким образом, чтобы значение функции правдоподобия возрастало. Оптимальное значение h определяется как результат решения уравнения h опт arg max Lh, T. h (8) 4

5 Исследование ядерной оценки плотности распределения На модельных данных проводились исследования зависимости качества восстановленной с помощью ядерного оценивания плотности в зависимости от параметров входной выборки. В качестве исходной информации использовалась информация, полученная в результате моделирования случайной величины в соответствии с заданным законом распределения. На основе полученной выборки строилась ядерная оценка. Далее проводился анализ вида восстановленной плотности распределения, значений её параметров, выполнялся расчёт точности оценивания, на основе чего делался вывод о степени соответствия полученной оценки истинному закону распределения. Все исследования проводились на примере случайной последовательности, содержащей как полные, так и цензурированные наработки. Моделировались данные, распределённые по нормальному закону с параметрами m = 5 и = 1 ( N 5, 1 ). Для построения ядерной оценки использовалось гауссовское ядро. Результаты расчетов представлены на рисунках Прежде всего, были проведены исследования зависимости ошибок оценивания от объёма исходной выборки, как для непараметрического, так и для параметрического подхода. В качестве непараметрического метода был взят метод ядерного оценивания, а в качестве параметрического метода - метод максимального правдоподобия. Для последнего предполагалось известным, что случайная величина распределена по нормальному закону, с оцениваемыми по выборке математическим ожиданием и дисперсией. Выборка на начальном этапе состояла исключительно из полных наработок до отказа. Для обоих подходов рассчитывались ошибки оценивания (е L 1 - расстояние, d - C - расстояние), и по их значениям строились линии регрессии (рисунок 1). На основе получившихся зависимостей можно отметить общую для обоих подходов тенденцию ухудшения точности оценивания с уменьшением объёма наблюдений. Однако, с уменьшением объёма исходной выборки, ошибка оценивания для параметрического подхода растёт быстрее, чем для ядерного оценивания. С другой стороны, при большом объёме наблюдений параметрическая оценка гораздо точнее оценки, полученной ядерным методом. Таким образом, для выборок исходных данных большого объёма более точные оценки плотности распределения можно получить параметрическими методами, а при ограниченном объёме наблюдений непараметрическими методами. Также были проведены исследования зависимости качества получаемой оценки от величины параметра сглаживания h. На рисунках 2 4 представлены оценки плотности распределения, построенные на основе выборки объёмом = 100, при оптимальном значении ширины окна рисунок 2 при значении ширины окна меньшем (рисунок 3) и большем (рисунок 4) оптимального. Вместе с графиками оценок, на рисунках представлен график истинной плотности распределения нормального закона. На рисунке 5 представлен вид функции правдоподобия, на основе которой определяется оптимальное значение ширины окна. Видно, что эта функция имеет ярко выраженный максимум при h Это значение и бралось в качестве h опт. На рисунках используются следующие обозначения: f ист - плотность распределения, по которому моделировалась входная выборка, а fˆ - ядерная оценка плотности; ядерной оценки плотности. hопт - оптимальное значение ширины окна для Таким образом, представленные на рисунках результаты оценивания, подтверждают, что вид и точность ядерной оценки плотности распределения зависят от 5

6 значения ширины окна. В данных примерах прослеживается уже описанная выше тенденция, что при малых h растёт дисперсия оценки, а при больших систематическая ошибка. Действительно, график оценки, при, h<h опт, менее гладкий и имеет большее количество выбросов, больший разброс относительно истинного распределения (рисунок 3), а график оценки, при h>h опт, являясь более гладким, сильнее удалён от истинного значения плотности, нежели при h опт, поскольку имеет очевидное смещение (рисунок 4). Далее было проанализировано поведение ядерной оценки плотности для всех видов цензурирования при различных параметрах цензурированной выборки. На рисунках 6 и 7 представлены оценки плотности распределения на основании группированных данных, объёмом = 200, при количестве интервалов цензурирования s = 5 и 50. При этом исходная выборка подвергалась обычной (гистограммной) процедуре группировки. Выделялось множество, которому принадлежали все элементы выборки. Затем это множество разбивалось на S одинаковых по ширине интервалов. Далее считались частоты попадания в соответствующие интервалы. На рисунках f - это плотность распределения, по которому моделировалась входная выборка, а fˆгрупп. - ядерная оценка плотности. При оценке плотности распределения по группированным данным, оценка получается тем точнее, чем больше число интервалов, на которые разбивается период проведения наблюдений. Об этом можно судить по значениям ошибок оценивания e и d. Для числа интервалов цензурирования s = 5 значения ошибок равны e = 0.157, d = 0.072, в то время как для s = 50 - e = 0.134, d = Это связано с тем, что с увеличением числа интервалов снижается уровень неопределённости, а, следовательно, оценки становятся более точными. График зависимости ошибок оценивания ( е L 1 - расстояние, d - C - расстояние) для одной и той же выборки, от числа интервалов цензурирования S изображён на рисунке 8. На рисунке 9 представлена зависимость ошибки оценивания от доли цензурированных данных q в исходной выборке. Так как цензурированные наблюдения содержат в себе неопределённость, оценка получается точнее для выборок с меньшим объёмом цензурированной информации. При цензурировании справа и слева моделирование статистических данных осуществлялось из нескольких однородных и независимых источников двух типов. Источники первого типа генерируют только полные наработки, а источники второго типа, помимо полных, - ещё и цензурированные данные. Для каждого источника второго типа, в зависимости от вида цензурирования, случайным образом задавалась либо левая (цензурирование справа) либо правая (цензурирование слева) граница интервала цензурирования. Подсчитывалось количество наблюдений, попавших в отдельно взятый интервал, и эти данные использовались в качестве цензурированных. Остальные наблюдения рассматривались как полные наработки. На рисунках 10, 11 и 12 представлены графики получившихся оценок плотности с учётом цензурирования слева, справа и интервалом. Параметры выборок, на основе которых строились представленные на графиках оценки, следующие: общий объём наблюдений = 200, число цензурированных данных q = 50, число полных наработок p = 150, число интервалов цензурирования для цензурирования справа и слева s = 5, для цензурирования интервалом s = 10. На рисунках f - плотность распределения, по которому моделировалась входная выборка; fˆполн. ист - ядерная оценка плотности, построенная на основе только полных наработок; fˆценз. - ядерная оценка плотности, построенная на основе и полных наработок, и цензурированных данных. Таким образом, можно сделать вывод, что учёт цензурированной информации повышает точность оценивания. Об этом можно судить, как по графикам получившихся оценок с учётом и без учёта цензурирования, так и по значениям соответствующих ист 6

7 отклонений оценок от истинной плотности распределения. Так, например, на рисунке 12 ошибки оценивания для плотности распределения, построенной на основе и полных, и цензурированных интервалом данных равны e = 0.079, d = и имеют меньшие значения, чем ошибки оценивания для плотности распределения, построенной на основе только полных наработок, e = 0.087, d = Рисунок 1 Зависимость ошибок параметрического и непараметрического оценивания от объёма исходной выборки, где е пар.,d пар. и e яд., d яд. линии регрессии, построенные по значениям ошибок параметрического и непараметрического (ядерного) оценивания, соответственно 7

8 Рисунок 2 Оценка плотности распределения. Значение ширины окна оптимальное Рисунок 3 Оценка плотности распределения. Значение ширины окна меньше оптимального 8

9 Рисунок 4 Оценка плотности распределения. Значение ширины окна больше оптимального Рисунок 5 Функция правдоподобия 9

10 Рисунок 6 Оценка плотности распределения по группированным данным при малом числе интервалов цензурирования s = 5 Рисунок 7 Оценка плотности распределения по группированным данным при большом числе интервалов цензурирования s = 50 10

11 Рисунок 8 Зависимость ошибок оценивания e и d от числа интервалов цензурирования s Рисунок 9 Зависимость ошибок оценивания e и d от доли цензурированных данных в исходной выборке q 11

12 Рисунок 10 Оценка плотности при цензурировании справа Рисунок 11 Оценка плотности при цензурировании слева 12

13 Рисунок 12 Ядерная оценка нормального распределения при цензурировании интервалом Литература: 1. Антонов А. В., Чепурко В. А. Построение непараметрической плотности распределения на основании цензурированной информации // Надёжность. М.: Издательский дом «Технология», 2005, 2. - С Антонов А.В. Системный анализ. М.: Высшая школа, с. 3. Деврой Л., Дьёрфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. L1-подход. / Пер. с англ. М.: Мир с. 4. Пенская М.Я. Об оценках априорной плотности. - В кн.: Статистические методы. Пермь:1982, с

КОРНЕВАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО НЕПОЛНЫМ ДАННЫМ

КОРНЕВАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО НЕПОЛНЫМ ДАННЫМ Структурная надежность. Теория и практика Малеев Е.А., Чепурко В.А. КОРНЕВАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО НЕПОЛНЫМ ДАННЫМ В статье предложены две модификации непараметрической корневой оценки плотности

Подробнее

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ Структурная надежность. Теория и практика Русин А.Ю. Абдулхамед М. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ Повышения экономической эффективности системы испытания оборудования на надежность

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а).

ния которой изменяются в диапазоне от 0 до 1 (рисунок 33а). Лекция 8 8.1. Законы распределения показателей надежности Отказы в системах железнодорожной автоматики и телемеханики возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Процедура Экспресс-оценки

Процедура Экспресс-оценки Процедура Экспресс-оценки Канонические определения рыночной стоимости объекта оценки трактуют ее как наиболее вероятную величину цены по которой данный объект оценки может быть отчужден на открытом рынке

Подробнее

УДК , А.Ю. Русин, М. Абдулхамед (Тверской государственный технический университет;

УДК , А.Ю. Русин, М. Абдулхамед (Тверской государственный технический университет; УДК 004.94, 519.2 А.Ю. Русин, М. Абдулхамед (Тверской государственный технический университет; e-mail: alrus@tvcom.ru) ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМЕ ИСПЫТАНИЙ ПРОМЫШЛЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЁЖНОСТЬ

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Точечное оценивание Как уже говорилось, наиболее полной и исчерпывающей характеристикой для случайной величины является закон распределения:

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ Уфа: УГАТУ, 202 Т. 6, 8 (53. С. 67 72 В. Е. Гвоздев, М. А. Абдрафиков СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ УДК 68.5 Статья посвящена вопросам доверительного

Подробнее

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И ОРГАНИЗМОВ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И ОРГАНИЗМОВ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И ОРГАНИЗМОВ. Вероятностный закон распределения длительности функционирования и жизни на индивидуальном уровне Все рассмотренные в настоящей главе законы,

Подробнее

Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической нелинейной регрессии

Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической нелинейной регрессии Санкт-Петербург 1/19 Горлова Марина Владимировна, гр. 5222013г. Существенная выборка в задачах регрессии Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных

Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных Лектор Пахомова Е.Г. 2016 г. Цель любой науки: описание,

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

3.7. Нормальное распределение

3.7. Нормальное распределение 3.7. Нормальное распределение Нормальное распределение, распределение Гаусса предельный закон распределения событий и явлений, являющихся результатом действия множества детерминированных факторов (физических

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

Behind LDA. Часть 1. Кольцов С.Н.

Behind LDA. Часть 1. Кольцов С.Н. Behind LDA Часть 1 Кольцов С.Н. Различия в подходах к теории вероятностей Случайная величина это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом

Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом Занятие 2. Невосстанавливаемые системы с резервом 2.. Система без резерва Определение 2.. Система это объект, состоящий из нескольких изделий, которые называются элементами. Рассмотрим систему без резерва

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Моделирование случайных процессов методом Монте-Карло

Моделирование случайных процессов методом Монте-Карло Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет

Подробнее

А. Ю. Русин, М. А. Абдулхамед. Тверской государственный технический университет. Поступила в редакцию г. 1. ВВЕДЕНИЕ

А. Ю. Русин, М. А. Абдулхамед. Тверской государственный технический университет. Поступила в редакцию г. 1. ВВЕДЕНИЕ УДК 59: 00494: 685: 623 ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ДВУХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО, ВЕЙБУЛЛА, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПО СФОРМИРОВАННЫМ ВЫБОРКАМ СЛУЧАЙНЫХ

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

1. Статистический анализ данных типа времени жизни

1. Статистический анализ данных типа времени жизни . Статистический анализ данных типа времени жизни Пусть время наступления системного события непрерывная случайная величина ξ, значение которой зависит от ряда факторов, и необходимо построить модель зависимости

Подробнее

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения

Лабораторная работа 3 Оценки параметров распределения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ Лекция 1-2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод

Подробнее

ОБ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ИНТЕРВАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

ОБ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ИНТЕРВАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ Вычислительные технологии Том 3, 2, 1998 ОБ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ИНТЕРВАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов Новосибирский государственный технический университет, Россия e-mail:

Подробнее

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Направление 280700.68 «Техносферная безопасность» ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Для проверки практических навыков

Подробнее

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОТКАЗА В ВЫСОКОНАДЕЖНОЙ СИСТЕМЕ ПУТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПРОГОНА МОДЕЛИ Ю.П. Титов (Москва)

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОТКАЗА В ВЫСОКОНАДЕЖНОЙ СИСТЕМЕ ПУТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПРОГОНА МОДЕЛИ Ю.П. Титов (Москва) ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОТКАЗА В ВЫСОКОНАДЕЖНОЙ СИСТЕМЕ ПУТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПРОГОНА МОДЕЛИ Ю.П. Титов (Москва) Введение В современном мире очень часто возникает необходимость имитационного моделирования

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы Теория надежности раздел прикладной математики, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы изделий. Под надежностью в широком смысле слова понимается способность технического устройства

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО

ЛЕКЦИЯ 2. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО ЛЕКЦИЯ. Основные статистические характеристики показателей надёжности ЭТО Математический аппарат теории надёжности основывается главным образом на теоретико-вероятностных методах, поскольку сам процесс

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

СВОЙСТВА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ МНОГОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СВОЙСТВА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ МНОГОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Стохастические системы 0 (3 УДК 597 0 г АВ Лапко д-р техн наук ВА Лапко д-р техн наук (Институт вычислительного моделирования СО РАН Красноярск (Сибирский государственный аэрокосмический университет имени

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I Задачи диагностики и прогнозирования некоторой величины по доступным значениям переменных X,, 1 Xn часто возникают

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Статистическое исследование алгоритма случайного поиска

Статистическое исследование алгоритма случайного поиска Статистическое исследование алгоритма случайного поиска В. Т. Кушербаева, Ю. А. Сушков Санкт-Петербургский государственный университет 1 В работе рассматривается статистическое исследование одного алгоритма

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Утверждаю: Зав. каф. АТП. факультет: теплоэнергетический курс: четвертый Основные элементы АСНИ.

Утверждаю: Зав. каф. АТП. факультет: теплоэнергетический курс: четвертый Основные элементы АСНИ. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 Нормальный закон распределения и его характеристики. Правило трех сигм. Показатели надежности. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Основные элементы АСНИ. Оптимальная двухуровневая структура

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

В.П. Пяткин, Г.И. Салов ОБНАРУЖЕНИЕ ПОЯВЛЕНИЯ ОБЪЕКТА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАШУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ

В.П. Пяткин, Г.И. Салов ОБНАРУЖЕНИЕ ПОЯВЛЕНИЯ ОБЪЕКТА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАШУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ В.П. Пяткин, Г.И. Салов ОБНАРУЖЕНИЕ ПОЯВЛЕНИЯ ОБЪЕКТА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАШУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ Введение. Обратимся к проблеме скорейшего обнаружения появления

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними

Курс: Статистические Методы Обработки Данных. Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними Курс: Статистические Методы Обработки Данных Лекция 3. Гистограммы и Операции над ними Специальность: 1-53 01 02 Автоматизированные системы обработки информации УО «ГГУ им. Ф. Скорины» Преподаватель: Бабич

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Линейная регрессионная модель и эмпирическое уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК)

Линейная регрессионная модель и эмпирическое уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК) Линейная регрессионная модель и эмпирическое уравнение регрессии Метод наименьших квадратов (МНК) Предпосылки МНК Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии Обе переменные равноценны нельзя

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее