ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где p, q > 1, 1 p + 1 q = Заряды Пусть некоторое множество (которое мы часто будем называть пространством, подчёркивая тем самым, что в дальнейшем будут рассматриваться его подмножества), μ некоторая σ-алгебра его подмножеств. Напомним Определение. Числовая функция μ, определённая на μ, называется мерой, если 1) μ μ() 0; 2) μ обладает свойством σ-аддитивности, т. е. если { n } n=1 μ и при всех i, j N верно i j =, то μ( n=1 n ) = n=1 μ( n). Для простоты будем пока рассуждать о конечных мерах: μ() < +. Пусть f(x) некоторая неотрицательная измеримая по мере μ и интегрируемая (по Лебегу) на функция. Тогда величина Φ() = f(x) dμ (1) определена для всех μ и обладает всеми свойствами меры. Таким образом, формула (1) определяет некоторую новую меру на μ. Если снять условие неотрицательности функции, так уже не будет. Однако в определении меры тоже можно снять условие неотрицательности и прийти к обобщению понятия меры: Определение. Числовая функция Φ, определённая на σ-алгебре Φ подмножеств пространства и обладающая на этой σ-алгебре свойством σ-аддитивности, называется зарядом. Заряд называется конечным, если его значение на любом выражается конечным числом (± не допускается). Смысл такого названия ясен: Φ() можно представить себе как полный электрический заряд, заключённый в объёме. В этом случае f(x) будет иметь смысл объёмной плотности заряда. Нашей целью будет доказать, что не только всякая интегрируемая функция порождает заряд, но и, напротив, при некоторых условиях всякий заряд может быть представлен в виде (1) с некоторой функцией f(x). 2. Разложение Хана и разложение Жордана Итак, пусть рассматривается заряд Φ, определённый на σ-алгебре подмножеств пространства и принимающий лишь конечные значения (такой заряд называется конечным). Кратко 1

2 будем говорить, что заряд определён на пространстве, а множества из будем в этом параграфе называть измеримыми (рассматривая тем самым измеримость не относительно меры, а относительно заряда). Определение. Множество называется отрицательным относительно заряда Φ, если F верно Φ( F ) 0. Множество называется положительным относительно заряда Φ, если F верно Φ( F ) 0. Замечание. Вообще говоря, далеко не всякое множество, имеющее отрицательный заряд, является отрицательным. (В каком случае всё-таки это можно утверждать?) Лемма 1. Множество положительно относительно заряда Φ тогда и только тогда, когда всякое его измеримое подмножество имеет неотрицательный заряд. (Аналогичное утверждение можно сформулировать для отрицательного множества.) Доказательство рекомендуется провести самостоятельно (см. задачу 2). Лемма 2. Пусть 0, Φ( 0 ) < 0. Тогда в 0 найдётся измеримое отрицательное подмножество строго отрицательного заряда. Доказательство. Заметим, что 0 непусто (см. задачу 1). Далее, если в 0 нет подмножеств положительного заряда, утверждение доказано (см. лемму 1). Рассмотрим теперь случай, когда в 0 найдётся хотя бы одно подмножество положительного заряда. Тогда существуют такое k N и такое измеримое подмножество C 0, что Φ(C) 1 k. Выберем наименьшее из натуральных k, обладающее следующим свойством: в 0 есть измеримое подмножество C с Φ(C) 1. Зафиксируем такое k и такое C, обозначив их соответственно k 1, C 1. k Положим 1 = 0 C 1. Заметим, что Φ( 1 ) = Φ( 0 ) Φ(C 1 ) < 0, поэтому 1 непусто. Могут представиться два случая: либо 1 является отрицательным множеством, и тогда утверждение доказано, либо в 1 найдётся подмножество C положительного заряда. Во втором случае вновь выберем наименьшее натуральное k, для которого в 1 найдётся подмножество C с Φ(C) 1. Обозначим эти k число и множество соответственно k 2, C 2. Заметим, что с необходимостью k 2 k 1. В самом деле, в случае k 2 < k 1 получили бы, что k 1, найденное на первом шаге, не является минимально возможным, ведь для C имеем Φ(C 2 ) 1 k 2. Продолжим эту процедуру, если понадобится, до бесконечности. Чтобы корректно воспользоваться этим построением в дальнейшей части доказательства, опишем её более подробно. Итак, перед каждым шагом с номером l N имеем: Φ( l 1 ) < 0, но l 1 не является отрицательным множеством. Поэтому существует такое k l наименьшее из натуральных чисел k, для которых найдётся C l 1 с Φ(C) 1. (Отсюда следует, что k все подмножества D l 1 таковы, что Φ(D) < 1 m при всех m < k l.) (2) Выберем для этого числа k l такое множество C l 1, Φ(C) 1 k l, и зафиксируем его, обозначив через C l. Далее, k l k l 1, иначе имели бы: C l l 1 l 2 и Φ(C l ) 1 k l > 1 k l 1, что 2

3 противоречит определению числа k l 1. (Проверьте, что в случае l = 1 мы приходим к описанию первого шага, с которого начали изложение процедуры.) Полагаем теперь l = l 1 C l. (3) Заметим, что Φ( l ) = Φ( l 1 ) Φ(C l ) < 0. Следовательно, l непусто. Если l отрицательное множество, утверждение доказано. Если l не является отрицательным множеством, переходим к шагу l + 1. В результате мы либо за конечное число шагов придём к отрицательному множеству строго отрицательного заряда, либо построим бесконечную последовательность пар {(k l, C l )} l=1. Легко видеть, что множества C l попарно не пересекаются, поскольку при p < q имеем: C q q 1... p, C p p = в силу (3). Далее, легко видеть, что k l +. В противном случае имели бы: M > 0 N N l > N k l M, т. е. в последовательности {k l } имеется подпоследовательность {k ln } с k ln M, или Φ(C ln ) 1 M > 0. Но тогда, поскольку множества C k попарно не пересекаются, имели бы Φ ( N N C ln ) = N N Φ(C ln ) = +, что исключается условием конечности заряда Φ на всех множествах из. (На самом деле подпоследовательность выбирать даже не пришлось бы, т. к. из доказанной ранее монотонности следовала бы ограниченность всей последовательности.) Рассмотрим теперь множество := 0 l N C l = l N l. Поскольку Φ( 0 ) < 0, Φ ( l N C l ) > 0, то имеет строго отрицательный заряд. Докажем, что отрицательное множество. Предположим противное: пусть существует D такое, что Φ(D) > 0. Пусть m наименьшее натуральное число, для которого существует D с Φ(D) 1 m. Поскольку, как ранее показано, k l +, то найдётся такое наименьшее n, что k n > m: n = min{n N k n > m}. Тогда в силу (2) имеем для k n : все C n 1 таковы, что Φ(C) < 1. Но это противоречит m условию выбора m: Φ(D) 1, поскольку по предположению D m n 1. Лемма доказана. Докажем следующую важную теорему. Теорема 1. Если Φ конечный заряд, определённый на, то существует такое измеримое множество, что отрицательно относительно Φ, а + = положительно относительно Φ. 3

4 Доказательство. Тривиальный случай заряда, положительного на всяком измеримом множестве (т. е. являющегося мерой), можно не рассматривать: в этом случае достаточно положить =. Положим a = inf Φ(), где точная нижняя грань берётся по всем отрицательным измеримым множествам (семейство таких подмножеств непусто в силу леммы 2). Пусть последовательность { n } отрицательных измеримых множеств такова, что lim Φ( n) = a. n Такая последовательность существует в силу определения точной нижней грани. Положим теперь = n=1 n. Заметим, что измеримо (т. к. заряд определён на σ-алгебре) и Φ( ) = a (см. задачу 3). Отсюда, в частности, следует, что a >, иначе заряд принимал бы бесконечные значения. Кроме того, можно утверждать, что отрицательное множество (см. задачу 4). Докажем теперь, что + = положительное множество. Предположим противное (см. лемму 1): пусть + содержит измеримое подмножество 0 такое, что Φ( 0 ) < 0. В силу леммы 2 найдётся отрицательное подмножество 0 с Φ()<0. Но тогда +, откуда =, и Φ( ) = Φ( ) + Φ() < a. Но по построению числа a отрицательных множеств заряда меньше a нет. Полученное противоречие доказывает, что множество + является положительным относительно заряда Φ. Теорема доказана. Определение. Разбиение пространства на положительное и отрицательное множества называется разложением Хана пространства относительно заряда Φ. Легко видеть, что разложение Хана, вообще говоря, не единственно (почему?). Однако можно утверждать, что если = 1 + 1, = суть два таких разложения, то для любого измеримого множества Действительно, положим Φ( 1 ) = Φ( 2 ), Φ( + 1 ) = Φ( + 2 ) = , + 1 = , + 2 = Тогда Φ( + 1 ) = Φ( + 12) + Φ( + 1 ), Φ( + 2 ) = Φ( + 12) + Φ( + 2 ). 4

5 Но Φ( + 1 ) 0, Φ( + 1 ) 0. Следовательно, Φ( + 1 ) = 0. Аналогично Φ( + 2 ) = 0. Таким образом, Φ( + 1 ) = Φ( + 2 ) = Φ( + 12). Аналогично Φ( 1 ) = Φ( 2 ), что и требовалось. Таким образом, заряд Φ однозначно определяет на σ-алгебре две неотрицательные функции множества Φ + () = Φ( + ), Φ () = Φ( ), называемые соответственно верхней и нижней вариациями заряда Φ. При этом: 1) Φ = Φ + Φ (для каждого измеримого множества); 2) Φ +, Φ суть неотрицательные σ-аддитивные функции множества (см. задачу 6), т. е. меры. Поэтому функция Φ Φ + + Φ (полная вариация заряда Φ) тоже будет мерой. Определение. Представление заряда Φ в виде разности его верхней и нижней вариаций Φ = Φ + Φ называется разложением Жордана заряда Φ. Замечание. В этом определении существенно, что Φ и Φ + суть нижняя и верхняя вариации заряда Φ (определённые выше). Это гарантирует единственность разложения Жордана. Очевидно, что в общем случае представление заряда в виде разности двух мер не единственно (привести пример). 3. Типы зарядов Пусть μ некоторая σ-аддитивная мера, определённая на σ-алгебре подмножеств пространства. Множества, входящие в, будем называть измеримыми. Пусть на той же σалгебре определён заряд Φ. Определение. Говорят, что заряд Φ сосредоточен на множестве 0, если 0 Φ() = 0. Множество 0 в этом случае называется носителем заряда Φ. Определение. Заряд Φ называется дискретным, он сосредоточен на конечном или счётном множестве. Это равносильно утверждению {c n } (n = 1, N или n N) такое, что Φ() = k:c k 5 Φ({c k }).

6 Определение. Заряд Φ называется непрерывным, если Φ() = 0 для любого одноточечного множества. Определение. Заряд Φ называется абсолютно непрерывным относительно меры μ, если μ() = 0 Φ() = 0. Определение. Заряд Φ называется сингулярным относительно меры μ, если он сосредоточен на некотором множестве с μ() = 0. Заметим, что интеграл Лебега (1) от фиксированной интегрируемой по Лебегу функции является абсолютно непрерывным (относительно меры Лебега μ, фигурирующей в этом интеграле) зарядом. Оказывается, этим примером все абсолютно непрерывные заряды исчерпываются. 4. Теорема Радона Никодима Теорема 2 (Радона Никодима). Пусть μ конечная σ-аддитивная мера, определённая на σ-алгебре подмножеств пространства ; пусть Φ конечный заряд, определённый на и абсолютно непрерывный относительно μ. Тогда существует такая интегрируемая (по Лебегу) по мере μ функция f(x), определённая на, что Φ() = f(x) dμ. Эта функция (называемая производной заряда Φ по мере μ) определена с точностью до μэквивалентности. Замечание. Очевидно, что от условия абсолютной непрерывности заряда Φ относительно меры μ нельзя отказаться. (Почему? Приведите контрпример и покажите, где это условие используется в доказательстве.) Прежде чем перейти к доказательству, отметим, что простейшими примерами производной заряда по мере являются плотность (массы), плотность электрического заряда. Доказательство. Поскольку каждый заряд есть разность двух неотрицательных зарядов и при этом абсолютно непрерывный заряд представляется в виде разности двух абсолютно непрерывных (см. задачу 7), то доказательство достаточно провести для неотрицательных зарядов, т. е. мер. Итак, пусть Φ мера, абсолютно непрерывная относительно меры μ. Лемма 3. Пусть мера Φ абсолютно непрерывна относительно меры μ и Φ 0. Тогда существуют такие натуральное n и B, что μ(b) > 0 и B положительно относительно заряда Φ 1 μ. n Доказательство леммы. Пусть = n + n разложения Хана пространства относительно зарядов Φ 1 μ, n N, и пусть n = n=1 n, + = n=1 + n. 6

7 Тогда при всех n N имеем Φ( ) 1 n μ( ), поэтому Φ( ) = 0. Следовательно, Φ( + ) > 0 (почему?). Но тогда в силу абсолютной непрерывности меры Φ относительно меры μ имеем μ( + ) > 0. Поэтому существует такое m, что μ( + m) > 0: иначе μ( + ) = 0 в силу σаддитивности меры. Но m по условию положительно относительно заряда Φ 1 μ. Поэтому m множество B = m и число n = m и будут искомыми. Лемма доказана. Пусть теперь K множество функций φ на, удовлетворяющих условиям: 1) φ 0, 2) φ измеримы и интегрируемы по μ на, 3) φ(x) dμ Φ(). Пусть M = sup φ(x) dμ. φ K (M конечно в силу конечности меры Φ и определения множества K.) В силу определения точной верхней грани существует такая последовательность {f n } K, что Положим при каждом x lim n f n (x) dμ = M. (4) g n (x) = max(f 1 (x),..., f n (x)). (Докажите, что эти функции измеримы и интегрируемы на, см. задачу 7.) Покажем, что g n K, т. е. что для всех верно g n (x) dμ Φ(). Действительно, можно представить в виде дизъюнктного объединения измеримых множеств = n k=1 k, где g n (x) = f k (x) при всех x k, полагая, например, k = = {x g n (x) = f k (x), k min} 1. Поэтому g n (x) dμ = n k=1 k f k (x) dμ n Φ( k ) = Φ(). Заметим, что последовательность функций g n (x) обладает следующими свойствами: 1) она монотонно не убывает в каждой точке; 2) все g n измеримы и интегрируемы по мере μ; 3) g n(x) dμ Φ() и, в частности, 3 ) g n(x) dμ Φ(). 1 Если не позаботиться о том, к какому именно из k отнести точки, где несколько функций f k (x) принимают равные значения, мы рискуем столкнуться с неизмеримыми множествами. 7 k=1

8 Тогда из 1), 2), 3 ) по теореме Беппо Леви следует существование почти всюду на конечного предела f(x) := lim g n (x), n а также существование интеграла f(x) dμ и равенство f(x) dμ = lim g n (x) dμ. (5) n C другой стороны, из построения следует, что всюду на верно неравенство g n (x) f n (x), откуда g n (x) dμ f n (x) dμ. (6) Но по только что доказанному п. 2) имеем g n K, откуда по определению числа M следует, что M Тогда из (4) (7), а также теоремы «о двух милиционерах» получаем: g n (x) dμ. (7) f(x) dμ = M. Более того, применяя теорему Беппо Леви к любому множеству из, получаем из 1), 2), 3): т. е. f(x) K. Покажем теперь, что для любого Заметим, что функция множества Φ() f(x) dμ Φ(), (8) λ() Φ() f(x) dμ = 0. f(x) dμ неотрицательна в силу (8) и обладает всеми свойствами меры. Далее, она абсолютно непрерывна относительно меры μ. Если λ 0, то в силу леммы 3 существует такое число n N и такое множество B, что μ(b) > 0 и для любого верно неравенство 1 μ( B) λ( B). n Обозначим для краткости ε = 1 и положим h(x) = f(x) + εχ n B(x), где χ B (x) индикаторная функция множества B. Тогда при всех с учётом f(x) K получим h(x) dμ = = f(x) dμ + εμ( B) f(x) dμ + Φ( B) B Φ( B) + Φ( B) = Φ(). 8 f(x) dμ + λ( B) = f(x) dμ = f(x) dμ + Φ( B) B

9 Это означает, что h K. Но, с другой стороны, h(x) dμ = f(x) dμ + εμ(b) > M, что приводит нас к противоречию с определением M. Следовательно, существование такой функции f, что Φ() = f(x) dμ при всех, доказано. Докажем единственность (с точностью до μ-эквивалентности). Пусть при всех Тогда для всех n Φ() = имеем в силу неравенства Чебышёва f 1 (x) dμ = f 2 (x) dμ. { x f 1 (x) f 2 (x) > 1 }, n N, n μ( n ) n (f 1 (x) f 2 (x)) dμ = n n f 1 (x) dμ n n f 2 (x) dμ = n (Φ( n ) Φ( n )) = 0. n Аналогично, для B m = { x f 2 (x) f 1 (x) > 1 m} имеем μ(bm ) = 0. Следовательно, т. е. f 1 (x) = f 2 (x) почти всюду. Теорема доказана. μ{x f 1 (x) f 2 (x)} μ ( ( n N n ) ( m N B m ) ) = 0, Задачи для самостоятельного решения 0. Ответить на вопросы по ходу текста. 1. Доказать, что из счётной аддитивности меры (заряда) следует конечная аддитивность. Указание. Докажите сначала, что пустое множество имеет нулевую меру (заряд). 2. Доказать лемму 1 на с Показать, что в доказательстве теоремы 1 множество измеримо и Φ( ) = a. 4. Показать, что в доказательстве теоремы 1 отрицательное множество. Предостережение. Требуется показать существенно более сильное утверждение, чем Φ( ) < Показать, что верхняя и нижняя вариации заряда суть σ-аддитивные функции множества. 6. Показать, что если заряд Φ абсолютно непрерывен относительно меры μ, то то же можно сказать о его верхней и нижней вариациях. 7. Доказать, что функции g n (x), использованные в доказательстве теоремы Радона Никодима, измеримы и интегрируемы на. 8. 1) Определяет ли функция Кантора на отрезке [0; 1] некоторую меру по формуле (1)? 2) Что можно сказать об этой мере по отношению к мере Лебега? 9

10 9. Обобщить теорему 2 на случай, когда μ является σ-конечной мерой. 10*. Пусть g(x) произвольная монотонно неубывающая функция, определённая на отрезке [0; 1]. Продолжим её константой g(a) слева от a и константой g(b) справа от b. Рассмотрим полукольцо (см. лекцию 2а предыдущего семестра) S всех промежутков, вложенных в отрезок [0; 1], и определим на этом полукольце меру m следующим образом (при всех a, b [0; 1], b a): m([a; b]) = g(b + 0) g(a 0); m([a; b)) = g(b 0) g(a 0); m((a; b]) = g(b + 0) g(a + 0); m((a; b)) = g(b 0) g(a + 0). 1) Доказать, что m действительно мера на S, т. е. неотрицательная σ-аддитивная функция промежутка. (Доказательство σ-аддитивности развивает идеи лекции 1 первого семестра). Пользуясь продолжением меры с полукольца на σ-алгебру, можно получить меру μ g, определенную на некоторой σ-алгебре. (Нам важен лишь этот факт; доказательство можно, но не обязательно для решения данной задачи, прочитать у Колмогорова, Фомина.) 2) Будет ли мера μ g абсолютно непрерывной относительно классической меры Лебега? 3) Может ли при некоторой функции g(x) мера μ g быть сингулярной относительно классической меры Лебега (см. определение выше)? 4) Можно ли, сняв требование монотонности функции g, построить аналогичным образом заряд Φ g? 10

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении)

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении) ЛЕКЦИЯ 2А Системы множеств. Элементы общей теории меры 1. Системы множеств Как вы помните, в лекции 2 построение общей теории меры велось исходя из алгебры измеримых множеств, а прямоугольники, исходя

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные

Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. 1. Определение заряда. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные значения. Примеры 1 1. δ(0) δ(1). 2. f(x)dµ x, f : E R. Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А. 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств

ЛЕКЦИЯ 1А. 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств ЛЕКЦИЯ 1А 0. Тождества теории множеств. Свойства счётных множеств Пусть A P, B P. Тогда A \ B = A (P \ B), (1) A B = (P \ A) (P \ B), (2) а также P \ (P \ A) = A, A B = P \ [(P \ A) (P \ B)], A B = P \

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 10. 15 апреля 009 1 Действительный анализ. IV семестр. 009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmil.com Лекция 10 15 апреля 009 Продолжим доказательство

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда ЛЕКЦИЯ 1А Свойства измеримых множеств. Примеры вычисления меры. Отношение эквивалентности 0. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε.

ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции. (b k a k ) < δ, f(b k ) f(a k ) < ε. (1) (b k a k ) < δ 1, (2) f(b k ) f(a k ) < ε. ЛЕКЦИЯ 3А Абсолютно непрерывные функции. Гёльдеровы функции 0. Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для любого ε >

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 4 25 февраля 2009

Лекция 4 25 февраля 2009 Действительный анализ. Лекция 4. 25 февраля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmail.com Лекция 4 25 февраля 2009 Лебег определял класс

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение)

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение) Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ 1. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда Также нам понадобится, что A \ B = A (P

Подробнее

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая

Если мера, A S, то значение (A) (конечное или равное + ) функции называется мерой множества A., определенная на полукольце S, удовлетворяющая ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МЕРА. ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть S полукольцо подмножеств множества X. Функция : S [0+ ] тождественно не равная + называется

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини 4.1. Разложение Хана Определение 4.1. Напомним, что зарядом называется счетно-аддитивная функция на σ-алгебре, принимающая значения в R. Задача 4.1

Подробнее

Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса

Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса Комплексные меры, функции ограниченной вариации и теорема Рисса Из прошлого семестра вам известно, как устроены пространства, сопряженные к классическим банаховым пространствам l p, c 0, L p (X, µ), гильбертову

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Лекции по функциональному анализу

Лекции по функциональному анализу Ю.А. Чаповский Лекции по функциональному анализу Группы: КА 53, 54 III курс, семестр 5 Киев 2017 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Мера и интеграл 2 1.1 Семейства подмножеств................. 3 1.2 Мера множества......................

Подробнее

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах

1. Некоторые общие свойства линейных функционалов в банаховых пространствах ЛЕКЦИЯ 7Б Линейные функционалы (продолжение). Некоторые следствия из теорем Банаха Штейнгауза и Хана Банаха. Нерефлексивность некоторых функциональных пространств 1. Некоторые общие свойства линейных функционалов

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 11. 22 апреля 2009 1 Действительный анализ. IV семестр. 2009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tikh@gmil.com Лекция 11 22 апреля 2009 Задача 1. Привести

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.

1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте.. Теорема о промежуточных значениях Теорема. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Теория Меры 3: Интегрирование

Теория Меры 3: Интегрирование Теория Меры 3: Интегрирование 3.1. Измеримые функции Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй U. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в U. Пусть топологическое

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 1. Определение пространства BV[, b] и его свойства Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [,b] R 1. Рассмотрим на отрезке [,b] произвольное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши. 1. Определения. Рассмотрим задачу Коши { (1)

ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши. 1. Определения. Рассмотрим задачу Коши { (1) ЛЕКЦИЯ 4В Теорема Коши В этой лекции будет доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. 1. Определения Рассмотрим задачу Коши { y = f(t, y), y( ) = y 0. (1) Пусть функция f(t,

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Теория меры, лекция 4: мера Лебега

Теория меры, лекция 4: мера Лебега Теория меры, лекция 4: мера Лебега Миша Вербицкий 14 марта 2015 НМУ 1 Булевы кольца (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булево кольцо есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. ЗАМЕЧАНИЕ: В булевом кольце

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Приложение к программе курса Теория вероятностей, прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В данном приложении рассматриваются некоторые виды сходимости. В теории вероятностей

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Теоремы Витали и Безиковича.

Теоремы Витали и Безиковича. Тема 1 Теоремы Витали и Безиковича. Детали теории метрических и топологических пространств можно найти в [1], [2], [], [4], [5]. Напомним, что метрическим пространством называется пара (X, d), где X некоторое

Подробнее

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом».

Занятие 17. принципу индукции, мы уменьшаем число нужных «аксиом». Занятие 17 Заметим сразу, что приводимые нами далее доказательства утверждений из Лекций особенно, в леммах 7, 9 и теореме 21 не требуется (но и не возбраняется) заучивать и «сдавать». Эти рассуждения

Подробнее

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса

Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Лекция 1. Пространство функций ограниченной вариации. Интеграл Римана Стилтьеса Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 23 февраля 2012 г.

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C);

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C); Занятие 18 Задача 18.1. Пусть множества A и B равномощны. Докажите, что множества A A и B B также равномощны. Решение. Пусть имеется биекция f : A B. Рассмотрим отображение g : A A B B, т. ч. g(a 1, a

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики. Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики. Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ КАЗАНЬ 2006 П Е Ч А Т А Е Т С Я ПО РЕШЕНИЮ СЕКЦИИ НАУЧНО

Подробнее

ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев

ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2004. Том 45, 6 УДК 517.54 ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев Аннотация: Показано, что если отображение,

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Мартингалы. Неравенство Колмогорова. Стохастический интеграл с переменным верхним

Подробнее

Виды сходимости последовательностей случайных величин

Виды сходимости последовательностей случайных величин С.Я. Шатских Лекции по теории вероятностей Виды сходимости последовательностей случайных величин Черновик Сходимость по вероятности. Будем считать, что все интересующие нас случайные величины определены

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных с метрическими

Подробнее

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства

Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Лекция 5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Определение топологического пространства Определение 1. Произвольное множество X с выделенной системой подмножеств τ множества X называется топологическим пространством

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример.

(1=n; 1 1=n), и конечного подпокрытия из этого покрытия не выберешь. Приведем теперь позитивный пример. 21. Компактность Компактность чрезвычайно важное техническое понятие топологии и анализа. Начнем с определения. Определение 21.1. Топологическое пространство X называется компактным, если оно обладает

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Теория меры, лекция 9: мера Хаара (2)

Теория меры, лекция 9: мера Хаара (2) Теория меры, лекция 9: мера Хаара (2) Миша Вербицкий 2 мая 2015 НМУ 1 Объем на компактных множествах (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть M хаусдорфово топологическое пространство. Алгебра борелевских множеств

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры

Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ. 1. Примеры и контрпримеры Семинар Лекция 5 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных

Подробнее

Лекция 1 (12 января 2015)

Лекция 1 (12 января 2015) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА, интеграл Лебега математический анализ, 2 курс, 3 модуль, 2015 А.М. Красносельский Лекция 1 (12 января 2015) Буду рассматривать скалярные функции, заданные на пространстве с мерой, то

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией.

ТЕОРЕМА I. Если функция f измерима на E, а функция g борелевская, то композиция g f является измеримой на Е функцией. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть -аддитивная мера, определенная на -алгебре подмножеств множества X. Мы будем предполагать, что мера является

Подробнее

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойства функций, непрерывных на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке Лекция для групп МК-160001, МК-16000, МК-160005 по курсу Математический анализ (08.11.016) Институт математики и компьютерных наук Лектор А.А. Шабуров Уральский

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 9 Считается, что классический функциональный анализ стоит на «трех китах» на трех фундаментальных теоремах. Это теорема Хана Банаха, теорема Банаха об обратном

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Южный Федеральный Университет" Факультет математики, механики и компьютерных

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов.

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Лекция 7 Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Данный раздел посвящен описанию различных свойств семейств метрических пространств. Особое внимание уделяется семейству

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры

ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. 1. Примеры и контрпримеры ЛЕКЦИЯ 7А Слабая сходимость, дальнейшие факты. Примеры и контрпримеры Определение. Множество M в банаховом пространстве B называется слабо замкнутым, если из x x, {x } M следует x M. (Иными словами, речь

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

Лекция 5а Топологические пространства База топологии

Лекция 5а Топологические пространства База топологии Лекция 5а Топологические пространства 1 0. Открытые множества и окрестности Установим сначала одно простое, но важное утверждение, демонстрирующее то общее, что есть у понятия открытого множества в топологическом

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее