Элементы линейной алгебры

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы линейной алгебры"

Транскрипт

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика» М.М. Сирош Элементы линейной алгебры Учебное пособие Москва 4 3

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика» М.М. Сирош Элементы линейной алгебры Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов направления 8.6 «Экономика» Москва 4 4

3 В B E Д Е Н И Е Цель настоящего учебного пособия состоит в том, чтобы быстрее ввести студента в круг изучаемых вопросов. Учебное пособие не заменяет учебную литературу. Доказательство утверждений, приводимых в нём, студент должен сам разобрать по учебной литературе. Если при самостоятельной работе над материалом возникнут затруднения или какие-либо вопросы, то следует обратиться за консультацией к преподавателю. Пользоваться можно любым учебником по линейной алгебре для вузов, например [] [4]. Для успешного усвоения материала необходимо решить задачи для упражнений, предварительно проанализировав решения типовых задач.. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. МЕТОД ГАУССА Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными: ax + ax + + anxn = b ax + ax + + anxn = b, {.., amx + amx + + amnxn = bm. (..) Здесь x, x,, xn - неизвестные; a, a,, amn - коэффициенты при неизвестных; b, b,, bm - свободные члены. В системе уравнений (..) число уравнений не предполагается равным числу неизвестных. Решением системы (..) называется совокупность n значений неизвестных x = x, x = x,, xn = xn при подстановке которой в систему (..) все её уравнения обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной; совместная система, имеющая более одного решения, называется неопределенной. Матрицы А = ( a a an a a an am am amn a a an b a a an b ) и А = ( ) am am amn bm называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (..). Для совместности системы (..) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу её расширенной матрицы (теорема Кронекера-Капелли): r(а) = r(a) = r. В этом случае число r называется рангом системы (..). Если b = b = = bm =, то система линейных уравнений (..) называется однородной. 5

4 Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет, например, нулевое решение: x =, x =,..., xn =. Совместность однородной системы следует также из равенства r(а) = r(a). Задание системы уравнений всегда подразумевает, что надо получить какую-то информацию о множестве её решений: либо решить систему (т.е. найти все множество решений), либо - частный случай того же аспекта - исследовать её, т.е. выяснить, существует ли хотя бы одно решение (совместна ли система) и если существует, то единственно ли оно (является ли система определённой). Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают, т.е. каждое решение первой системы есть решение второй, и обратно. Если нас интересует множество решений системы, то замена данной системы на равносильную не влияет на результат, который должен быть получен. При элементарных преобразованиях строк (но не столбцов) расширенная матрица системы переходит в расширенную матрицу равносильной системы. Метод (или схема) Гаусса решения системы линейных уравнений заключается в приведении расширенной матрицы данной системы элементарными преобразованиями строк к некоторому специальному виду (прямой ход схемы Гаусса) и нахождению затем множества решений системы с полученной расширенной матрицей (обратный ход схемы Гаусса). Запишем систему (..) в виде таблицы: x x xn a a an b a a an b (..) am am amn bm Допустим, что не все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Пусть, например, a. Назовем этот элемент разрешающим элементом. Строку и столбец, в которых находится разрешающий элемент, будем называть разрешающей строкой и разрешающим столбцом. Все элементы первой строки разделим на a. Получим: x x xn a an a a b a a a an b (..3) am am amn bm Система (..) равносильна системе (..3). Пользуясь первой строкой таблицы (..3), получим нули в первом столбце под элементом a (т.е. исключим x из остальных уравнений системы). Для этого умножим первую строку на a и прибавим ко второй строке, далее умножаем первую строку последовательно на a3,, am и прибавляем к третьей,, m-й строкам таблицы (..3). Приходим к системе: x x xn b Система (..4) равносильна системе (..3). a a n a a n b a m a mn b m (..4) 6

5 Снова выберем разрешающий элемент a, разделим второе уравнение на a и исключим x из третьего, четвертого,... и последнего уравнений системы (..4). Получим нули во втором столбце под a. Приходим к системе (..5). Если в процессе преобразований получится нулевая строка, то её можно отбросить. Продолжаем процесс дальше. В результате могут встретиться случаи: ) после некоторого шага получим строку, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю. Такая строка соответствует уравнению x + x + x xn = b i, которое не имеет решений. Следовательно, система уравнений несовместна; ) если такой строки не получим, то система уравнений совместна. x x x3 xn a a 3 a n b b a 3 a n a 33 a 3n b 3 a m3 a mn b m (..5) В последнем случае приходим к системе: x x x3 xr xn c c3 cr cn d c3 cr cn d c3r c3n d3 (..6) crn dr На этом прямой ход схемы Гаусса заканчивается. Если r(а) = r(a) = r = n, то система имеет единственное решение. Чтобы получить это единственное решение, необходимо в предпоследнее уравнение системы вместо xn подставить его значение из последнего уравнения и вычислить xn- и так далее. Это будет обратный ход схемы Гаусса. Это единственное решение системы при r = n можно получить, если продолжить преобразование расширенной матрицы системы (..6) и получить нулевые элементы в разрешающих столбцах, расположенные выше разрешающих элементов: x x x3 xn d d d 3 (..7) d n Если r(а) = r(a) = r < n, то система приводится к виду: x x x3 xr xr+ xn c,r+ c n d c,r+ c n d c 3,r+ c 3n d 3 (..8) c r,r+ c rn d r 7

6 Матрица системы (..8) имеет вид, который называется нормальным ступенчатым видом. Система (..8) является неопределенной. Первые r переменных x, x,, xr выражаем через остальные (n r) переменные xr+, xr+,, xn: x = c,r+ xr+ c n xn + d, x = c,r+ xr+ c n xn + d,.., { xr = c r,r+ xr+ c rn xn + d r. (..9) Система (..9) называется общим решением системы уравнений (..8). Переменные x, x,, xr называются главными (или базисными) переменными, переменные xr+, xr+,, xn - свободными переменными. Придавая свободным переменным произвольные значения, будем получать частные решения. Придадим свободным переменным нулевые значения и найдем из системы (..9) соответствующие значения базисных переменных: x = d, x = d,, xr = d r. Получили решение системы (d, d,, d r,,...,), которое называется базисным решением. Число главных (базисных) переменных всегда равно рангу системы r, а число свободных переменных равно числу (n r). Главными переменными могут быть такие переменные, коэффициенты при которых образуют один из базисных миноров матрицы системы. Решая систему уравнений (..) методом Гаусса, целесообразно преобразовывать расширенную матрицу системы сразу к нормальному ступенчатому виду (..8) по следующему алгоритму: ) выбрать разрешающий элемент aij ; ) вычислить элементы разрешающей строки делением прежней строки на разрешающий элемент по формуле a ik = a ik ; a ij 3) все остальные элементы матрицы А (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) пересчитать по правилу прямоугольника: aij aqj aik aqk a qk = aqk aqj ( a ik ), b a q = bq aqj ( b i ). ij a ij Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах. Пример. Решить систему уравнений x 3x + x3 =, { 3x + x 5x3 = 9, 4x + 5x x3 = 4. (..) Решение.. Систему уравнений записываем в виде таблицы x x x (..)

7 . Выбираем разрешающий элемент a =. Преобразовываем элементы таблицы в соответствии с описанным алгоритмом. Так как разрешающий элемент a =, то элементы разрешающей строки не изменятся; элементы разрешающего столбца, кроме a =, будут равны нулю; остальные элементы таблицы пересчитываются по правилу прямоугольника. Для элементов первой строки, например, будем иметь: a = a a ( a ) = ( 3) ( 3 ) = 7; a a 3 = a3 a ( a 3 ) = ( 3) ( 5 ) = 3; a b = b b ( a a ) = ( 9) ( 3 ) = 46. Таблица системы, равносильной системе (..), будет иметь вид: x x x (..3). Выбираем разрешающий элемент a = 7 (можно в качестве разрешающего элемента взять элемент a 3 = 9). Применяя к таблице (..) алгоритм преобразования её, получим: x x x (..4). Теперь за разрешающий элемент принимаем = 79. Окончательный вид системы, равносильной заданной системе (..), будет: a 33 7 x x x3 3 Из последней таблицы получаем ответ: x =, x =, x3 = 3. В данном примере r(а) = r(a) = r = 3 = n. Система уравнений (..) совместна и определенна (имеет единственное решение). Пример. Решить систему уравнений 3x x + x3 = 4, { x + 5x x3 = 6, x + 3x x3 =. 9

8 Решение. Таблицы, фиксирующие этапы решения, будем записывать последовательно, одну за другой, отделяя горизонталями. Общее решение системы: x x x x = 8 { x3, x = + 4 x3. В данном примере r(а) = r(a) = r < 3 = n. Система совместна и имеет бесконечно много решений. Базисное решение системы: Пример 3. Решить систему уравнений x = 8, x =, x3 =. x + x x3 = 3, { 5x + 3x3 =, x x + x3 =. Решение. Систему уравнений записываем в виде таблицы x x x

9 Первое уравнение последней системы имеет вид: x + x + x3 = 3. Это уравнение не имеет решений. Следовательно, система уравнений несовместна. В данном примере r(а) = r(a) = 3. Упражнения для самостоятельного решения. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений: Ответ: например, общее решение: x + 7x + 3x3 + x4 = 6,.. { 3x + 5x + x3 + x4 = 4, 9x + 4x + x3 + 7x4 =. x = (x3 9x4 ), x = ( 5x3 + x4 + ); частное решение: x =, x =, x3 =, x4 =. x 3x + 5x3 + 7x4 =,.. { 4x 6x + x3 + 3x4 =, x 3x x3 5x4 =. Ответ: например, общее решение: x3 = x 33 x, x4 = 6 x + 4 x + 8; частное решение: x =, x =, x3 =, x4 =..3. { Ответ: общее решение: x3 = 3x 4x, x4 =; частное решение: x =, x =, x3 =, x4 =. Ответ: система несовместна. 3x + 4x + x3 + x4 = 3, 6x + 8x + x3 + 5x4 = 7, 9x + x + 3x3 + x4 = 3. 3x 5x + x3 + 4x4 =,.4. { 7x 4x + x3 + 3x4 = 5, 5x + 7x 4x3 6x4 = 3. x + 5x 8x3 = 8, 4x + 3x 9x3 = 9,.5. { x + 3x 5x3 = 7, x + 8x 7x3 =. Ответ: система имеет единственное решение: x = 3, x =, x3 =. 3x x + 5x3 + 4x4 =,.6. { 6x 4x + 4x3 + 3x4 = 3, 9x 6x + 3x3 + x4 = 4. Ответ: общее решение: x3 = 6 5x+x, x4 = 7 + 8x x; частное решение: x = x = x3 =, x4 =.

10 . МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Будем рассматривать системы n линейных уравнений с n неизвестными: ax + ax + + anxn = b, ax + ax + + anxn = b, {, anx + anx + + annxn = bn. (..) Будем полагать, что определитель матрицы системы отличен от нуля (deta ). Система (..) является совместной и определённой (r(а) = r(а)= r, r = n). Введем обозначения матриц-столбцов: X = ( x x xn ), B = ( Тогда систему (..) можно записать в матричном виде: b b bn ). А Х=В. (..) Найдём матрицу X. Так как detа, то существует обратная матрица A -. Умножим уравнение (..) на A - слева. Будем иметь: A - (А Х) =A - В. (..3) Учитывая сочетательное свойство операции перемножения матриц и соотношение A - А = Е, преобразуем левую часть уравнения (..3): A - (А Х) = (A - А) Х = E Х = X. Таким образом, решение уравнения (..) имеет вид: Пример. Решить систему уравнений Х =A - B. (..4) x + x = 3, { 3x + 4x = 5. Решение. Запишем систему в матричном виде А Х=В, где A = ( ), X = (x 3 4 ), B = (3 x 5 ). detа = 3 4 =, следовательно, обратная матрица A- существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A: A = 4, A = 3, A =, A =. Тогда на основании формулы A - = (A A ) получим, что detа A A A - = ( 4 3 ) = ( 3 ).

11 Укажем здесь ещё один способ вычисления A - = ( x матричного уравнения А A - = Е: x x x ). Будем исходить из ( x ) (x 3 4 ) = ( x x ) (..5) Для нахождения элементов матрицы A - на основании (..5) составим две системы линейных уравнений: ( 3 4 ) (x) = ( ) (..6) и ( x 3 4 ) (x) = ( x ) (..7) Системы уравнений (..6) и (..7) являются совместными и определенными (detа ). Решать их целесообразно совместно методом Гаусса по схеме: Имеем: (АЕ) ~ (ЕA - ). ( 3 4 ) ~ ( ) ~ ( 3 3 ) ~ ~ ( 3 ), следовательно, A - = ( 3 ). По формуле (..4) находим матрицу X = ( x ) = x A- В = ( 3 ) ( 3 5 ) = ( ), Отсюда имеем x =, x =. Упражнения для самостоятельного решения. Решить системы уравнений матричным методом. x + x + 3x3 = 7,.. { x x + x3 = 9, x 4x + x3 =. x x + 3x3 =,.. { 3x 5x + x3 =, 4x 7x =. Ответы:.. x = 3, x =, x3 = ;.. x =, x = 7, x3 = ФОРМУЛЫ КРАМЕРА Если матрица А линейной системы А X = В квадратная и невырожденная, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам Крамера: x i = i, (i =,,..., n), где = detа - определитель данной системы; i - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой i-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при xi) столбцом В свободных членов. 3

12 Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями. Для решения системы n уравнений с n неизвестными приходится вычислять (n + ) определитель n-го порядка. К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам. Формулы Крамера целесообразно применять в тех случаях, когда определители легко вычисляются после преобразования столбцов или строк (в схеме Гаусса преобразования столбцов недопустимы), а также и в том случае, когда deta с трудом приводится к треугольному виду, но может быть легко вычислен другими методами. Рассмотрим на примере применение формул Крамера. Пример. Решить систему уравнений Решение. x + x + x3 = 8, { 3x + x + x3 =, 4x + 3x x3 = 4. = 3 = 4, следовательно, решение системы существует 4 3 и оно единственное. Вычисляем: = = 4, = 3 = 8, 3 = 3 = Тогда получим ответ: x = = 4 4 =, x = = 8 4 =, x3 = 3 = 4 4 = 3. Упражнения для самостоятельного решения. Следующие системы уравнений решить с помощью формул Крамера. Ответ: x = x =, x3 = x4 =... { Ответ: x =, x =, x3 =, x4 =. x + x x3 + x4 = 4, 4x + 3x x3 + x4 = 6, 8x + 5x 3x3 + 4x4 =, 3x + 3x x3 + x4 = 6. x + 3x + x3 + 5x4 =, x + x + 5x3 + x4 =,.. { x + x + 3x3 + x4 = 3, x + x + 3x3 + 4x4 = 3. 4

13 Ответ: x =, x = x3 =, x4 =. x + 5x + 4x3 + x4 =, x + 3x + x3 + x4 =,.3. { x + x + 9x3 + 7x4 = 4, 3x + 8x + 9x3 + x4 = 37.. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.. Понятие векторного пространства Рассмотрим такое множество R элементов x, y, z,, в котором для любых двух элементов x ϵ R и y ϵ R определена сумма x + y ϵ R и для любого элемента x ϵ R и любого действительного числа λ определено произведение λx ϵ R. Непустое множество R, для элементов которого определено сложение и умножение на действительные числа, называется действительным векторным пространством R или линейным пространством, а элементы R называются векторами, если выполнены следующие аксиомы: ) Коммутативность. Для любых двух элементов x и y ϵ R справедливо равенство x + y = y + x. ) Ассоциативность. Для любых элементов x, y, z ϵ R справедливо равенство (x + y ) + z = x + (y + z ). 3) Существует такой элемент ϵ R (нуль-элемент), что x + = x для любого x ϵ R. 4) Для каждого элемента x ϵ R существует такой элемент x (называемый противоположным к x ), что x + ( x ) =. 5) x = x. 6) λ (μx ) = (λμ) x. 7) (λ + μ) x = λx + μx. 8) λ (x + y ) = λx + λy. Замечание. Если в пространстве R определено умножение элементов на действительное число, то R называется действительным линейным пространством. Если элементы умножать на комплексные числа, то R называется комплексным линейным пространством. Например, множество всех геометрических векторов является линейным пространством, так как для элементов этого множества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие сформулированным аксиомам. Также линейным пространством является множество действительных чисел с операциями сложения и умножения, множество всех матриц размером m n с операциями сложения и умножения на число. Можно говорить о векторном пространстве Pn многочленов степени не выше n с действительными или комплексными коэффициентами, о векторном пространстве С функций, непрерывных на данном отрезке [a; b], о векторном пространстве решений данной системы линейных однородных уравнений, наконец, просто о векторном пространстве строк, состоящих из n (действительных или комплексных) чисел. Но множество рациональных чисел не является линейным пространством, так как произведение рационального числа на действительное не всегда рациональное число. Простейшие свойства векторного пространства:. В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент.. Для каждого элемента линейного пространства существует только один противоположный элемент. 5

14 3. Для каждого элемента x ϵ R выполняется равенство x =. 4. Для любого действительного числа λ и ϵ R выполняется равенство λ =. 5. Из равенства λ x = следует одно из двух равенств: λ = или x =. 6. Элемент ( ) x является противоположным для элемента x. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый его элемент является элементом множества В. Обозначают А В. Например, N Q (множество натуральных чисел является подмножеством рациональных чисел). Подпространством линейного пространства называют любое непустое подмножество множества R, элементы которого в свою очередь образуют линейное пространство относительно операций, введенных в R. Например, множество всех векторов, параллельных одной и той же плоскости, является подпространством всех геометрических векторов пространства. n - мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде строки x = (x, x,, x n ) или столбца x x x = ( ), где x i i-я компонента, или координата вектора x (i =,,, n). x n Понятие n - мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором x = (x, x,, x n ), а соответствующие цены вектором y = (y, y,, y n ). Два n - мерных вектора x = (x, x,, x n ) и y = (y, y,, y n ) называются равными, если у них равны соответствующие компоненты: x = y, x = y,, x n = y n. Нулевым вектором будем называть такой вектор, у которого все компоненты равны нулю... Размерность и базис линейного пространства Векторы a, a,, a k векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α,α,, α k, не равные одновременно нулю, что α a + α a + + α k a k =. ( ) Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. В этом случае равенство ( ) выполняется лишь при α = α = = α k =. Если векторы линейно зависимы, т. е. α a + α a + + α k a k = и, например, α k, то a k = α a α α a k α α k a k α k k 6

15 или a k = ξ a + ξ a + + ξ k a k, где ξ i = α i α k. Если последнее равенство имеет место, то говорят, что вектор a k является линейной комбинацией векторов a, a,, a k, а также, что вектор a k линейно выражается через a, a,, a k. Таким образом, если векторы a, a,, a k линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение: если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. Примерами линейно независимых векторов являются два неколлинеарных вектора плоскости Оxy или три некомпланарных вектора пространства Оxyz. Но любые три вектора плоскости линейно зависимы. Также будут линейно зависимыми и любые четыре вектора пространства. Пусть теперь задано m векторов n мерного пространства x = (x ; x ;, x n ) x { = (x ; x ;, x n ) x m = (x m ; x m ;, x mn ) () Рангом r системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы. Выясним, каким условиям должны удовлетворять координаты векторов, чтобы векторы были линейно зависимы или линейно независимы. Для этого приравнивают линейную комбинацию векторов к нулю: или α x + α x + + α m x m = () α x + α x + + α m x m = α { x + α x + + α m x m =. α x n + α x n + + α m x mn =. (3) По определению линейной независимости векторов линейного пространства векторы будут линейно независимы, если в равенстве () выполнено условие: α = α = = α m =, то есть однородная система (3) имеет нулевые решения. А это возможно лишь тогда, когда ранг основной матрицы системы (3) равен числу векторов в системе, то есть r = m. Если ранг r основной матрицы однородной системы x x x m x x x m M = ( ) x n x n x mn меньше числа m векторов системы (), то система векторов линейно зависима, то есть любой вектор из системы линейно выражается через базисные векторы. 7

16 Теорема. Для того чтобы система векторов была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля. Пример. Дана система векторов четырехмерного пространства x = (; ; ; ), x = (; ; ; 3), x 3 = (; ; ; 4). Требуется определить, является ли данная система линейно зависимой и, если да, то найти зависимость. Решение. Составим векторное равенство α x + α x + + α 3 x 3 =, в котором числа α, α, α 3 надо определить. Записывая x, x, x 3 в виде вектор-столбцов, получаем α ( ) + α ( ) + α 3 ( ) = ( ). 3 4 Задача свелась, таким образом, к решению однородной системы линейных уравнений α + α 3 =, α { + α α 3 =, α α + α 3 =, α + 3α + 4α 3 =, которая, как известно, имеет единственное нулевое решение α = α = α 3 =, если определитель системы не равен нулю, другими словами, если ранг r матрицы системы равен трем (числу векторов системы). В этом случае векторы системы x, x, x 3 линейно независимы. Для линейной зависимости должно существовать хотя бы одно ненулевое решение системы уравнений, тогда ранг r матрицы меньше трёх. Решаем однородную систему линейных уравнений методом Гаусса. Выпишем матрицу А системы и вычислим ранг матрицы (ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат этих векторов), приведя её к ступенчатому виду. Заметим, что в матрице А компоненты векторов расположены в виде столбцов. Хотя, как известно, величина ранга не меняется при транспонировании матрицы. А = ( ) ( ) ( ) ( ) Отсюда видно, что ранг матрицы равен двум, так как существует М = =, и ранг матрицы меньше числа векторов системы. Значит, данные векторы линейно зависимы. Можно найти ненулевые значения α, α, α 3, составив систему уравнений по последней матрице: { α + α 3 =, α =. Пусть α и α главные переменные, а α 3 свободная переменная. Тогда получим систему { α = α 3, α =. 8

17 Придавая различные значения α 3, получим соответствующие ненулевые решения системы, то есть различные наборы чисел (α, α, α 3 ). Например, α 3 =, тогда получим частное решение ( ; ; ) такое, что В векторном виде получим равенство: ( ) + ( ) + ( ) = ( ). 3 4 x + x + x 3 =, откуда x = x 3. Согласно определению, векторы x, x, x 3 линейно зависимы. Линейное пространство R n называется n мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, а любые из n + векторов уже являются линейно зависимыми. Размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Так, размерность множества всех плоских векторов равна, размерность множества всех пространственных векторов равна 3; понятно, что размерность n мерного пространства, по определению, равна n. Записывают dim R n = n. Векторное пространство, содержащее только нулевой вектор, имеет размерность нуль. Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. Совокупность произвольных n линейно независимых векторов е, е,, е n n мерного пространства R n называется базисом R n. Все базисы конечномерного векторного пространства состоят из одинакового количества векторов. Теорема о единственности разложения вектора по базису: Каждый вектор x линейного n мерного пространства R n можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Доказательство: Пусть е, е,, е n произвольный базис n мерного пространства R n и x R. Так как каждые n + векторов (n мерного!) пространства R n линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы е, е,, е n, x, то есть существуют такие не равные одновременно нулю числа α, α,, α n, α, что α е + α е + + α n е n + αx =. При этом α, ибо если α =, то хоть одно из чисел α, α,, α n было бы отлично от нуля, и векторы е, е,, е n были бы линейно зависимы. Следовательно, 9 x = α е α α е α α n е α n. Если ввести обозначение x i = α i α, где i =,,, n, то будем иметь x = x е + x е + + x n е n, то есть x линейная комбинация векторов базиса. Это разложение вектора x через е, е,, е n единственно. Если допустить противоположное, что x = y е + y е + + y n е n то, вычитая из первого равенства второе, получим (x y )е + (x y )е + + (x n y n )е n =.

18 Ввиду линейной независимости векторов е, е,, е n это возможно только тогда, когда x y = x y = = x n y n =, откуда x = y, x = y,, x n = y n. Таким образом, элемент x R n выражается через базис е, е,, е n этого пространства в виде x = x е + x е + + x n е n. Числа x, x,, x n называются координатами вектора x в базисе е, е,, е n и записывают x = (x, x,, x n ). Из теоремы следует, что два элемента n мерного пространства с заданным базисом равны тогда и только тогда, когда их координаты в этом базисе равны. В n мерном пространстве можно выбирать различные базисы; один и тот же элемент в различных базисах будет иметь различные координаты. Пусть в линейном пространстве R n задан базис е, е,, е n и произвольные элементы (векторы) x и y. Тогда при сложении векторов их соответственные координаты складываются: если x = x е + x е + + x n е n и y = y е + y е + + y n е n, то x + y = (x + y ) е + (x + y ) е + + (x n + y n ) е n. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: αx = (αx )е + (αx )е + + (αx n )е n. У нулевого вектора все координаты равны нулю, так как из равенства α е + α е + + α n е n =, ввиду линейной независимости векторов е, е,, е n, вытекает, что α = α = = α n =. Вектор, противоположный вектору x = (x ; x ; ; x n ), равен, очевидно, ( x ; x ; ; x n ). Для определения размерности линейного пространства полезно использовать следующую теорему: Если е, е,, е n система линейно независимых векторов пространства R n и любой вектор x R n линейно выражается через е,е,,е n, то пространство R n является n мерным, а векторы е, е,, е n его базисом. Пример. Доказать, что векторы е = (; ) и е = (3; 4) образуют базис и найти координаты вектора x = (7; ) в этом базисе. Решение. Чтобы векторы е и е составили базис пространства R, они должны быть линейно независимы, то есть ранг матрицы, составленной из компонентов векторов, должен равняться двум. Получим А = ( 3 ). Определитель этой квадратной матрицы равен 4 =. Поэтому ранг матрицы r(a) =. Следовательно, векторы е и е линейно независимы и образуют базис в R. Существует единственный набор чисел α и α такой, что x = α е + α е. От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами, получим систему уравнений: { α + 3α = 7, α + 4α =. Решая эту систему уравнений, получим, что α =, α =. Значит, x = е + е.

19 Пример. Проверить, что векторы x = (; ; ; ), x = (; ; ; 3), x 3 = (; ; ; ) образуют базис и выразить вектор x 4 = (4; ; ; ) через этот базис. Решение. Найдем ранг матрицы, составленной из координат векторов x, x, x М = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), то есть 3 r(м) = 3 и равен числу векторов. Поэтому векторы x, x, x 3 образуют базис в R 3. Разложим вектор x 4 по этому базису. Существует единственный набор чисел α, α, α 3 такой, что x 4 = α x + α x + α 3 x 3. От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами, получим систему уравнений: α + α + α 3 = 4, α { + α + α 3 =, α α α 3 =, α + 3 α + α 3 =. Решим систему методом Гаусса для нахождения α, α, α 3. Для этого составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду В = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ). 3 Так как ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение. Найдем это решение, составив систему уравнений по последней матрице: α + α =, { α =, α 3 =. Получим α =, α =, α 3 =. Таким образом, векторы линейно зависимы и x 4 = x + x + x 3.

20 Пример 3. Показать, что векторы x = (; ; ), x = (; ; ), x 3 = ( 3; 5; 6) образуют базис. Решение. Векторы x, x, x 3 образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство α x + α x + α 3 x 3 =. От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами, получим систему уравнений α + α 3α 3 =, { α α + 5α 3 =, α 6α 3 =. Решаем однородную систему линейных уравнений методом Гаусса. Выпишем матрицу А системы и вычислим её ранг А = ( 5 ) ( 8) ( 4) ( 4) Очевидно, что r (А) = 3 и равен числу векторов. Значит, система векторов линейно независима. Составим по последней матрице систему уравнений для нахождения чисел α, α, α 3 : α + α 3α 3 =, { α 4α 3 =, α 3 =, откуда получим единственное нулевое решение системы α = α = α 3 =. Значит, векторы x, x, x 3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис..3. Переход к новому базису Пусть в пространстве R n имеются два базиса: е, е,, е n (старый) и е, е,, е n (новый). Каждый из векторов нового базиса можно линейно выразить через векторы старого базиса и наоборот: Матрицу е = a е + a е + + a n е n, е = a е + a е + + a n е n,..., е n = a n е + a n е + + a nn е n. a a a n a a a n А = ( ) a n a n a nn называют матрицей перехода от старого базиса к новому. Заметим, что коэффициенты разложений новых базисных векторов по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Определитель матрицы А не равен нулю, так как в противном случае её столбцы, а, следовательно, и векторы е, е,, е n были бы линейно зависимы. Значит, существует обратная матрица А. Справедливо и обратное утверждение: если определитель матрицы А

21 отличен от нуля, то столбцы её линейно независимы, и значит, векторы е, е,, е n линейно независимы, то есть образуют некоторый базис. Значит, матрицей перехода может быть любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем. При переходе от одного базиса е, е,, е n векторного пространства к другому базису е, е,, е n, конечно, изменяются координаты вектора x R n. Пусть x = x е + x е + + x n е n = (x, x,, x n ) в старом базисе и в то же время x = y е + y е + + y n е n = (y, y,, y n ) в новом. Если подставить во второе равенство выражения е, е,, е n через е, е,, е n, то получим: x = y (a е + a е + + a n е n ) + y (a е + a е + + a n е n ) y n (a n е + a n е + + a nn е n ) = (a y + a y + + a n y n ) е + + (a y + a y + + a n y n ) е + + (a n y + a n y + + a nn y n ) е n. Ввиду единственности разложения вектора x по базису е, е,, е n отсюда следует, что В матричной форме эти равенства имеют вид: x = a y + a y + + a n y n, x = a y + a y + + a n y n,, x n = a n y + a n y + + a nn y n. x y a a a n x y a a a n если X = ( ), Y = ( ), А = ( ), то X = А Y. x n y n a n a n a nn Старые координаты вектора x получаются из новых, если матрицу перехода А умножить на столбец новых компонент. Если известны компоненты вектора в старом базисе, то новые координаты получатся, если последнее равенство умножить слева на обратную матрицу А : А X = А А Y, отсюда имеем Y = А X. Пример. Найти координаты вектора x = (3; 4) в базисе из векторов x = (; ), x = (5; 3). Решение. Составим матрицу перехода из компонентов нового базиса x, x : А = ( 5 3 ) и найдем обратную матрицу А = 5 (3 8 ). Тогда по формуле Y = А X имеем: ( y y ) = (3 5 8 ) (3 4 ) = ( 8 7 ) = ( то есть разложение вектора x по базису x, x имеет вид: x = 8 x x = ( 8 ; 7 8 ). Пример. Проверить, что векторы x = (; ; ), x = (; ; ), x 3 = ( ; ; ) образуют базис и выразить вектор x 4 = (6; ; 3) через этот базис ),

22 Решение. Выразим связь между базисами { x = е + е + е 3, x = е е + е 3, x 3 = е + е + е 3. Матрица перехода от базиса е, е, е 3 к базису x, x, x 3 имеет вид: Найдем А : y y А = ( ), А = =. А = ( 3 ) = ( 3 ) Пусть Y = ( ) координатный столбец вектора x 4 в новом базисе. Тогда, применив y n формулу Y = А y 6 X, получим: ( y ) = ( 3 ) ( ) = ( 3). y Таким образом, разложение вектора x 4 по базису x, x, x 3 имеет вид: x 4 = x + 3x + x 3. Тот же самый результат можно было получить, записав формулу X = А Y в виде системы уравнений 6 = y + y y 3, { = y y + y 3, 3 = y + y 3. и решив её, например, методом Гаусса. Упражнения для самостоятельного решения. Определить ранг системы векторов и разложить вектор a по новому базису, если: a = (; 5; 3), a = ( ; ; ), a 3 = (3; 8; 5), a 4 = ( 9; 6; ), a 5 = (; 7; 4). Ответ: a = a +,5a 3 +,5a 4.. Найти какую-нибудь систему базисных векторов данной системы векторов и выразить все векторы, не входящие в число базисных, через базисные векторы. a = (,, 3,5), a = (5,, 3,), a = (4, 3,,3),.. a = (4,,,3),.. a 3 = (3,, 3,4), a 3 = (,,, ), a 4 = (4,, 5,7), a 4 = (3,4,, ). a 5 = (7, 6, 7,). 4

23 Ответы:.. в качестве базисных векторов можно взять, например, векторы a, a, a 4 ; a 3 = a a. Указание: для определения коэффициентов разложения вектора a 3 по базису a, a, a 4 составить векторное уравнение a 3 = a x + a x + a 4 x4, а затем перейти к системе уравнений { 5x + 4x + 3x3 =, x + x + 4x3 =, 3x x x3 =, x + 3x + x3 = ;.. базисными, например, могут быть векторы a, a, a 3 ; a 4 = a 3a + 4a 3, a 5 = a + 5a 5a Евклидово пространство В векторном (линейном) пространстве не вводится понятие длины вектора и угла между векторами. Поэтому аксиоматично дается понятие скалярного произведения двух элементов этого пространства и из него устанавливаются формулы для нахождения длины вектора и угла между векторами. Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов x и y из R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x, y ) или x y, причем это правило удовлетворяет следующим четырем аксиомам: ) (x, y ) = (y, x ) x, y E (коммутативность); ) (x + y, z ) = (x, z ) + (y, z ) x, y, z E (дистрибутивность); 3) (λx, y ) = λ(x, y ) x, y E, λ R (однородность); 4) (x, x ), если x (положительная определенность), (x, x ) =, если x =, где буквой Е обозначено евклидово пространство. Если известна его размерность, то обозначают Е n. Скалярное произведение любого вектора x E на себя называется скалярным квадратом вектора x. Длиной (нормой) вектора x в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата: x = (x, x ) = x + x + + x n. Из свойств скалярного произведения вытекают свойства модуля: для всех x, y E и действительных чисел λ ) x = тогда и только тогда, когда x = ; ) λx = λ x ; 3) (x, y ) x y (неравенство Коши-Буняковского). Знак неравенства возможен тогда и только тогда, когда множество {x, y } линейно зависимо; 4) x + y x + y (неравенство треугольника). 5

24 Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если x E x ненулевой вектор, то нетрудно видеть, что x (или записывают ) является x x нормированным вектором. Угол φ между векторами x и y определяется по формуле: cos φ = (x, ) y x y 6, где φ π. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю (φ = π, cos π = ). В частности, нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства Е. n последовательность x, x, x 3,, x n векторов x i евклидова векторного пространства называется ортогональной системой, если она не содержит нулевого вектора и векторы x i попарно ортогональны, т. е. x i и (x i, x j ) = при i j; она называется ортонормированной системой, если, кроме того, все векторы x i являются единичными ( x i = ), т. е. если при i j, (x i, x j ) = { при i = j. Ортонормированная система, которая одновременно является базисом векторного пространства, называется ортонормированным базисом. Свойства ортогональной системы. Каждая ортогональная система линейно независима.. Если координаты двух векторов x и y заданы относительно ортонормированного базиса В: x = (x, x,, x n ) В, y = (y, y,, y n ) В, то их скалярное произведение равно (x, y ) = x y + x y + + x n y n. 3. Каждое евклидово векторное пространство конечной размерности имеет ортонормированный базис. Свойства ортонормированного базиса Пусть е, е,, е n ортонормированный базис в произвольном n мерном евклидовом пространстве E; x = (x, x,, x n ) и y = (y, y,, y n ) два произвольных элемента этого пространства с заданными координатами в базисе е, е,, е n, тогда справедливы следующие утверждения: ) (x, y ) = x y + x y + + x n y n, т.е. в ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов; ) x i = (x, е i ), где i =,,, n, т.е. координаты произвольного элемента в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие элементы базиса. Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех свободных векторов е = (,,, ), е = (,,, ),, е n = (,,, ). Пример. Проверить, что векторы е = (,, ), е = (,, ), е 3 = (,, ) образуют ортонормированный базис и для вектора x = (3;, 5) найти разложение по этому базису.

25 Решение. Проверим, составляют ли векторы е, е, е 3 базис в E 3. Для этого составим определитель из компонентов векторов и вычислим его =. Следовательно, векторы составляют базис в E 3. Проверим ортогональность векторов с помощью скалярного произведения: (е, е ) = + =, значит, е, е ортогональны, (е, е 3 ) = + =, значит, е, е 3 ортогональны, (е, е 3 ) = + =, значит, е, е 3 ортогональны. Таким образом, векторы попарно ортогональны и образуют базис. Составим теперь ортонормированный базис: е = е е = ( ; ; ), е = е е = ( 6 ; 6 ; 6 ), е 3 = е 3 е 3 = ( 3 ; 3 ; 3 ). Векторы е, е, е 3 ортогональны и имеют единичную длину, то есть составляют ортонормированный базис, и координаты вектора x относительно этого базиса равны скалярным произведениям вектора x на соответствующие базисные векторы: (x, е ) = =, (x, е ) = = 6, (x, е 3 ) = = 3. Ответ: x = е + 6е + 3 е 3. Пример. При каких значениях m и n базис, образованный векторами е = m е 3 + m е 3 + nе 3, е = m е 3 + nе + m е 3 3, е 3 = nе + m е 3 + m е 3 3, является нормированным? Решение. Из условий е i = и (е i, е j ) = (при i j) получим систему уравнений m { + ( m) + 9n = 9, m( m) + 3( m)n + 3mn =. Из последнего уравнения находим n = m( m). Подставив это значение n в первое 3 уравнение, имеем m + ( m) + m ( m) = 9; m( m) + m ( m) = 9; ( m + m ) = 9. Так как m + m > при m ε R, то m + m = 3, т.е. m m =. Следовательно, m =, m =, n =, n 3 =. Итак, получаем два ортонормированных базиса: 3 () е = е 3 + е 3 е () 3 3, е = е 3 е 3 е () 3 3, е 3 = е 3 е 3 + е 3 3 и () е = е 3 е 3 + е () 3 3, е = е 3 + е 3 + е () 3 3, е 3 = е 3 + е 3 е 3 3. Пример 3. Векторы е, е, е 3 образуют ортогональный базис евклидова пространства E 3 и е =, е =, е 3 = 3. Найти угол φ между векторами a = е + е е 3 и b = е + е + е 3. Решение. Так векторы е, е, е 3 образуют ортогональный базис в E 3, то (е, е ) = (е, е 3 ) = (е, е 3 ) =. Поэтому (a, a ) = (е, е ) + (е, е ) + (е 3, е 3 ) = е + е + е 3 = = 4, (b, b ) = (е, е ) + (е, е ) + (е 3, е 3 ) = 4, (a, b ) = (е, е ) + (е, е ) (е 3, е 3 ) = е + е е 3 = = 4. (a, b ) Тогда cos φ = = 4 =. a b Ответ: φ = arccos( ). 7 7

26 Упражнения для самостоятельного решения. Проверить составляют ли векторы ортонормированный базис и разложить вектор x по этому базису, если: ) е = (; ; 5), е = (; 3; ), е 3 = (; 3; ), x = (3; ; ); ) е = (; ; ), е = (; ; ), е 3 = (; ; 4), x = (; 5; 3).. Векторы е, е, е 3 образуют ортонормированный базис. Найти угол между векторами x = 3е е 3 и y = 4е + е е Векторы е, е, е 3 образуют ортогональный базис. Найти скалярное произведение векторов x = е 3е + 4е 3 и y = е + е 5е 3, если е =, е =, е 3 =. Ответы:. ) x = е + е + 3е 3 ; ) x = 3 е е 3 е 3.. arccos (x, y ) = 9, x = 6, y = ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 3.. Однородные системы линейных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n неизвестными. Такая система имеет вид ax + ax + + anxn =, ax + ax + + anxn =, {.., amx + amx + + amnxn =, (3..) то есть это система уравнений, в которых все свободные члены равны нулю. Очевидно, что система линейных однородных уравнений всегда совместна (r(а) = r(a) - ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен рангу расширенной матрицы), так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение x = x = = xn =. Если в системе (5.) m = n (то есть число уравнений равно числу неизвестных), а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только одно нулевое решение, что следует из формул Крамера. Пример. Решить систему уравнений 4x + x + x3 =, { x + 3x + x3 =, x + x + x3 =. 4 4 Решение. А = ( 3 ), А = = 3 = 7. Так как m = n = 3 и, то система имеет только одно нулевое решение x = x = x3 =. Важно выяснить, при каком условии однородная система (3..) является неопределенной, а значит, - что бывает особенно важно имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. 8

27 Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r её матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных n. Действительно, если r = n, то, как утверждалось выше, система (3..) имеет единственное и, значит, только нулевое решение: x = x = = xn =. Если же r < n, то система (3..) является неопределенной (ведь несовместной она быть не может), и значит, она имеет бесчисленное множество решений, в том числе и бесчисленное множество ненулевых решений. Следствие. Если число уравнений однородной системы меньше числа её неизвестных, то есть m < n, то эта система имеет ненулевые решения. Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными, то есть m = n, обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю. Пример. Решить систему уравнений { x x + 4x 3 =, x 3x + 5x 3 =. Решение. А = ( 4 ), r(a) = ( = = ), n = Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их. Пусть x и x базисные переменные, x 3 свободная переменная. x x = 4x3, { x 3x = 5x3. Найдем x и x, например, по формулам Крамера: Тогда получим x = = 4x3 4x3 = x3, = = 3x3. 5x3 3 5x3 = 4x3 5x3 3 = x3, x = = 4x3 5x3 = 3x3 - общее решение, где x3 ε R. Обозначим x3 = t, тогда x = t, x = 3t. Запишем решение (t; 3t; t). Придавая произвольные значения t, получим соответствующие различные решения данной системы. Например, положив t =, получим одно частное решение: (; ; ). Положив t =, получим второе частное решение: (, 3, ). Пример 3. Решить систему уравнений 3x + x x3 =, { x + x + 9x3 =, x + x + x3 =. 3 3 Решение. А = ( 9 ), А = = 9 =. Так как m = n = 3 и =, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их. Так как среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один минор второго порядка отличный от нуля (например, = 3 = 4 ), то система сводится к двум независимым уравнениям (третье является их следствием). 9

28 3x + x x3 =, { x + x + 9x3 =. Здесь x и x - основные переменные, x3 - свободная переменная. Тогда имеем Тогда получим x = x3 3x + x = x3, { x + x = 9x3. 3 x3 = = x3, = = 8x3. 9x3 9x3 x3 = 9x3 4 = 5x3, x = 3 x3 = 9x3 4 = 7x3 - общее решение, где x3ε R. Обозначим x3 = t, тогда x = 5t, x = 7t. Запишем решение (5t; 7t; t). Придавая произвольные значения t, получим соответствующие различные решения данной системы. Например, положив t =, получим одно частное решение: (; ; ). Положив t =, получим второе частное решение: (5, 7, ). Пример 4. Решить систему уравнений { x + x x3 =, x + x x3 =, 3x + 3x 3x3 =. Решение. Вычислим определитель основной матрицы А = ( ), А = = =. Так как m = n = и =, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их. Так как все миноры второго и третьего порядков определителя однородной системы равны нулю (коэффициенты при неизвестных пропорциональны), то система сводится к одному уравнению (остальные два являются его следствиями). Тогда получаем x + x x3 =. Здесь x - базисная переменная, x и x3 - свободные. Отсюда имеем x = x + x3 - общее решение, где x, x3 ε R. Обозначим x = t x3 = t, тогда x = t + t. Запишем решение ( t + t ; t ; t ). Придавая произвольные значения t и t, получим соответствующие различные решения данной системы. Например, положив t =, t =, получим одно частное решение: (; ; ). Положив t =, t =, получим второе частное решение: (,, ). Решения системы уравнений имеют такие свойства:. Пусть x = α, x = α,, xn = α n какое-нибудь ненулевое решение системы (3..). Это решение можно рассматривать как строку е = (α ; α ;, α n ), состоящую из n элементов. Тогда строка се = (сα, сα,, сα n ) тоже будет решением системы. 3

29 . Если строки е = (α ; α ;, α n ) и е = (β ; β ;, β n ) решения системы (3..), то при любых c и c линейная комбинация c е + c е = (c α + c β, c α + c β,, c α n + c β n ) этих решений тоже будет решением системы. Убедиться в справедливости этих свойств решений однородных систем можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы. Очевидно, что множество решений однородной системы образует линейное векторное пространство. Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (3..) тоже будет её решением. Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые решения системы (3..), через которые линейно выражались бы все остальные её решения. Совокупность линейно независимых решений е, е,, е n системы уравнений (3..) называется фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (3..) может быть представлено в виде линейной комбинации векторов е, е,, е n. Теорема о существовании фундаментальной системы решений: Если ранг матрицы a a a n a a a n A = ( ) a m a m a mn меньше числа неизвестных n, то система (3..) имеет ненулевые решения. Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k = n r, где r ранг матрицы. Поэтому общее решение системы (3..) линейных однородных уравнений имеет вид: X oo = c е + c е + + c k е k, где е, е,, е k любая фундаментальная система решений (ФСР), c, c,, c k произвольные числа, k = n r. Таким образом, если рассматривается линейное пространство R n, векторами которого являются всевозможные системы n действительных чисел, то совокупность всех решений системы (3..) является подпространством пространства R n. Размерность этого подпространства равна k. Способ построения фундаментальной системы решений. Пусть система однородных уравнений имеет ранг r < n. Тогда существует минор M r порядка r матрицы A, не равный нулю. Пусть для определенности это будет минор a a a r a a a r M r =. a r a r a rr Исходная система уравнений может быть записана в виде ax + ax + + a r x r = a,r+ x r+ a n x n, ax + ax + + a { r x r = a,r+ x r+ a n x n,.., a r x + a r x + + a rr xn = a r,r+ x r+ a rn x n. 3

30 Тогда базисные неизвестные этой системы x, x,, x r линейно выражаются через свободные: x r+, x r+,, x n. Имеем x = β x r+ + β x r+ + + β,n r x n, x = β { x r+ + β x r+ + + β,n r x n,., x r = β r x r+ + β r x r+ + + β r,n r x n. Придавая свободным неизвестным значения x r+ =, x r+ =,, x n =, получим соответствующие значения первых r неизвестных: x = β, x = β,, x r = β r. Это дает нам строку - решение системы (3...) е = (β, β,, β r,,,, ). Аналогично, придавая свободным неизвестным значения x r+ =, x r+ =,, x n = и вычисляя соответствующие значения неизвестных x = β, x = β,, x r = β r, получим второе решение системы е = (β, β,, β r,,,, ) и так далее. Аналогично при x r+ =, x r+ =,, x n = решением будет вектор-строка е n r = (β n r,, β n r,,, β n r,r,,,, ). Так мы найдем всего k = n r решений системы (3...): е = (β, β,, β r,,,, ), е = (β, β,, β r,,,, ),.., е n r = (β,n r, β,n r,, β r,n r,,,, ). Векторы е, е,, е n r линейно независимы, так как матрица В, составленная из компонентов этих векторов, имеет ранг, равный k = n r, то есть равный числу векторов. β β β r β В = ( β β r ). β n r, β n r, β n r,r В этой матрице есть отличный от нуля минор k го порядка, например, содержащий последние k столбцов. Замечание. Для того чтобы получить фундаментальную систему решений, можно было бы придавать свободным неизвестным и какие угодно другие значения, лишь бы соответствующий определитель k го порядка был не равен нулю. Так можно найти сколько угодно фундаментальных систем решений, каждая из которых состоит из k = n r строк. Но удобнее всего взять, как было показано выше, в векторном пространстве R n канонический базис, то есть множество векторов В = {е = (,,, ), е = (,,, ),, е n = (,,, )}. Пример. Найти общее решение однородной системы уравнений. Указать базис пространства решений системы уравнений { x + x x3 + x4 =, x x + x3 x4 =, 3x + x x3 + x4 =, 3x x + x3 x4 =. 3

31 Решение. Определим ранг матрицы А = ( ). 3 3 Вычитаем из 3-й строки -ю, а из 4-й строки -ю: А ~ ( ). Так как элементы 3-й строки пропорциональны соответствующим элементам -й строки, а элементы 4-й строки пропорциональны элементам -й строки, то 3-ю и 4-ю строки можно вычеркнуть: А ~ ( ). Таким образом, ранг матрицы А равен и k = n r = 4 =. Значит, размерность подпространства решений равна. То есть фундаментальная система решений состоит из двух решений. Так как r =, то из четырех уравнений возьмем два: { x + x x3 + x4 =, x x + x3 x4 =. Пусть x и x главные неизвестные, x3 и x4 свободные неизвестные. Тогда выразим x и x через x3 и x4: x + x = x3 x4, { x x = x3 + x4. Полагая x3 =, x4 =, получим систему: { x + x =, x x =. Следовательно, x =, x = и е = (; ; ; ). Полагая теперь x3 =, x4 =, получим систему x + x =, { x x =. Тогда x =, x = и е = (; ; ; ). Таким образом, векторы е = (; ; ; ), е = (; ; ; ) фундаментальная система решений. Они образуют базис пространства решений, размерность которого равна k =. Общее решение системы уравнений будет иметь вид: в векторной форме: X oo = c е + c е или в координатной форме: X oo = c ( ) + c ( ), т. е. X oo = (; c c ; c ; c ), где c, c произвольные действительные числа. 33


ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия)

Рецензенты: М.В. Зайцев, д.ф.-м.н., проф. (МГУ им. М.В. Ломоносова) В.В. Коннов, к.ф.-м.н., доц. (Финакадемия) УДК 5 (075) ББК К 7 Рецензенты: МВ Зайцев дф-мн проф (МГУ им МВ Ломоносова) ВВ Коннов кф-мн доц (Финакадемия) К7 Калачев НВ Линейная алгебра Ч : Линейные и евклидовы пространства: Учебное пособие для подготовки

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее