ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Рабочая программа. Специальность: "Мировая экономика"

Транскрипт

1 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "Утверждаю" Декан МФУ Ф.П.Тарасенко " "2008 г. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа Специальность: "Мировая экономика" Статус дисциплины: федеральный компонент специальности Томск 2009

2 Одобрено кафедрой системного анализа и управления Протокол " "от" "2009 г. Зав. кафедрой, профессор Ю.Г.Дмитриев Рекомендовано методической комиссией международного факультета управления Председатель комиссии " "2009 г. Рабочая программа по курсу "Высшая математика"составлена на основе требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности Мировая экономика, утвержденного 17 марта 2000 г. Общий объем курса 264 ч. Из них: лекции - 66 ч., семинарские занятия - 50 ч., консультации - 16 ч., самостоятельная работа студентов ч., контроль самостоятельной работы - 12 ч. Зачет в первом семестре и экзамен во втором семестре. Общая трудоемкость курса 9,8 зач.ед. Составитель: Воробейчиков Сергей Эрикович - доктор физико-математических наук, доцент. Рецензент: профессор В.А.Удод 2

3 Выписка из ГОСа: ЕН.Ф. 01. МАТЕМАТИКА Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и матрицами; системы линейных алгебраических уравнений; определители и их свойства; собственные значения матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве; выпуклые множества и их свойства.; математический анализ и дифференциальные уравнения: предел последовательности и его свойства; предел и непрерывность функции; экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный и определенный интегралы; числовые и степенные ряды. I. ОРГАНИЗАЦИОННО МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ Целью курса "Высшая математика"является обучение студентов методам линейной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа, необходимых как при изучении остальных курсов, так и для решения прикладных задач в разных предметных областях. Задача курса состоит в том, чтобы ознакомить студентов с основными понятиями и методами высшей математики, обеспечить математическую подготовку для изучения специальных курсов, а также научить студентов применять полученные знания при решении практических задач. Место курса Входит в блок общих математических и естественно-научных дисциплин, закладывает основы фундаментальных знаний в области высшей математики. Требования к уровню освоения курса: Студент должен знать: фундаментальные математические понятия основные методы анализа функциональных зависимостей. Студент должен уметь: исследовать поведение функций и находить экстремальные значения применять методы математического анализа при решении экономических задач. II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Тема 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом, методом Крамера, методом Гаусса. Собственные значения матриц. Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости Координаты точки на плоскости. Прямая линия. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через 3

4 две данные точки. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл систем линейных неравенств. Выпуклые множества и их свойства. Линии второго порядка. Уравнение окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к каноническому виду. Экономические приложения методов аналитической геометрии. Тема 3. Вещественные числа. Функции, последовательности. Предел числовой последовательности Вещественные числа и множества. Определение вещественных чисел и их геометрическое изображение. Модуль числа и его свойства. Числовые множества и операции над ними. Грани числовых множеств. Понятие функции и способы ее задания. Элементарные функции и их графики. Суперпозиция функций. Функции четные, нечетные, периодические, монотонные. Обратная функция. Числовые последовательности и операции над ними. Последовательности ограниченные, монотонные. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Основные свойства предела. Число e. Применение числовых последовательностей в финансовой математике. Простые и сложные проценты, эффективная годовая процентная ставка. Тема 4. Предел функции Определение предела функции в точке. Свойства предела. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них. Тема 5. Непрерывные функции Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Тема 6. Дифференцирование функций Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Свойства производной. Производная сложной и обратной функции. Производные высших порядков. Применение производной в экономике. Эластичность функции, ее геометрический смысл. Эластичность спроса относительно цены и дохода. Тема 7. Дифференциал функции Определение дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Тема 8. Основные теоремы дифференциального исчисления 4

5 Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Тема 9. Исследование функций с помощью производной Локальные экстремумы. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Исследование функции и построение ее графика. Тема 10. Неопределенный интеграл Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Замена переменной. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Тема 11. Определенный интеграл Интегральная сумма. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Замена переменной. Формула интегрирования по частям. Формула Ньютона Лейбница. Приложения определенного интеграла. Тема 12. Функции многих переменных Определение функции многих переменных. Понятие предела и непрерывности функции многих переменных. Частные производные. Дифференциал функции многих переменных и его применение для приближенных вычислений. Частные производные сложных функций. Экстремум функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум и функция Лагранжа. Метод наименьших квадратов и его применения. Тема 13. Двойные интегралы Определение интеграла. Способы вычисления. Темы семинарских занятий. 1.Матрицы и действия над ними. Вычисление определителей. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом, методом Крамера, методом Гаусса (параграфы 1.1, 1.2,1.4,2.1,2.2 из [3]). 2.Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Построение мнжеств на плоскости, удовлетворяющих системе линейных неравенств (параграф 4.1 из [3]). 3. Элементарные функции и их графики. Нахождение предела числовой последовательности (параграф 6.1 из [3]). 4. Предел функции в точке. Способы нахождения (параграфы 6.2,6.3 из [3]). 5. Исследование функций на непрерывность. Нахождение точек разрыва (параграф 6.5 из [3]). 5

6 6. Нахождение производных. Производная сложной и обратной функции. Производные высших порядков (параграфы 7.1, 7.2,7.4 из [3]). 7. Нахождение дифференциалов. Применение дифференциала в приближенных вычислениях (глава 9 из [3]). 8. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя (параграф 8.2 из [3]). 9. Исследование функции и построение ее графика (параграфы из [3]). 10. Нахождение неопределенных интегралов. Замена переменной. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций (параграфы из [3]). 11. Нахождение определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов, использование понятия определенного интервала в экономике (параграфы из [3]). 12. Частные производные. Экстремум функций многих переменных. Условный экстремум и функция Лагранжа (параграфы из [3]). 13. Способы вычисления кратных интегралов (параграф 15.5 из [3]). 14. Дифференциальные уравнения. Однородные уравнения, уравнения с разделяющимися коэффициентами (параграфы из [3]). Перечень контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы 1. Построить область плоскости, задаваемую условиями 2x + 3y 6 0, 6x + y x 2y + 6 0, x + y x + y 6 0, 2x + y Вычислить предел lim n n 2 2n n8 + n 3 1 lim ( 4n n) n lim n n 3 2n n6 + n 4 7 lim n ( 3 n 3 + 2n (n + 1)) Найти асимптоты графика функции f(x) = x2 + 1 x + 2. Найти производную функции:ln( x sin 2 x), Вычислить интегралы: 1 0 x lnxdx cosx dx arcsin 1 x2 1 + x 2. 6

7 dx x x dx (x 2 2)(x 2 + 3) x 2 e 2x dx 2π 0 x 2 cosxdx ln2 0 ex 1dx Примерный перечень вопросов к зачету и экзамену 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определитель матрицы. Его свойства. 3. Обратная матрица. Ее построение. 4. Системы линейных уравнений. Решение систем методом обратной матрицы, методом Крамера, методом Гаусса. 5. Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении.уравнение прямой, проходящей через две данные точки. 6. Угол между прямыми. Условие перпендикулярности, параллельности прямых. 7. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола. парабола. Определение и построение уравнений. 8. Числовые последовательности и операции над ними. Последовательности ограниченные, монотонные. 9. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. 10. Основные свойства предела. 11. Число e. 12. Определение предела функции в точке. Свойства предела. 13. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них. 14. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. 15. Непрерывность сложной функции. 16. Непрерывность элементарных функций. 17. Точки разрыва функции и их классификация. 18. Определение производной. Геометрический смысл производной. 19. Свойства производной. 20. Производная сложной и обратной функции. 21.Производные высших порядков. 22. Применение производной в экономике. Эластичность функции, ее геометрический смысл. Эластичность спроса относительно цены и дохода. 7

8 23. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. 24. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. 25. Определение дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. 26. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 27. Формула Тейлора. 28. Локальные экстремумы. Выпуклые функции. Точки перегиба. 29. Асимптоты графика функции и их нахождение. 30. Исследование функции и построение ее графика. 31. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. 32. Замена переменной в неопределенном интеграле. 33. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла. 34. Интегрирование рациональных функций. 35. Интегрирование простейших иррациональностей. 36. Интегрирование тригонометрических функций. 37. Интегральная сумма. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. 38. Замена переменной в определенном интеграле. 39. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. 40. Формула Ньютона Лейбница. 41. Приложения определенного интеграла. 42. Определение функции многих переменных. Понятие предела и непрерывности функции многих переменных. 43. Частные производные. Дифференциал функции многих переменных и его применение для приближенных вычислений. 44. Экстремум функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. 45. Условный экстремум и функция Лагранжа. 46. Метод наименьших квадратов и его применения. 47. Кратные интегралы. Способ вычисления. Лабораторные работы Лабораторные работы по курсу не предусмотрены. Курсовой проект Курсовой проект не предусмотрен. III. Распределение часов курса по темам и видам работ. 8

9 N o Наименование темы Всего Ауд. занятия (час.) Самост. часов лекции семин. лабор. раб. 1. Линейная алгебра Аналитическая геометрия Вещественные числа. Функции, последовательности. Предел числовой последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференцирование Дифференциал Основные теоремы дифференциального исчисления 9. Исследование функций с помощью производной Неопределенный интеграл Определенный интеграл Функции многих переменных Двойные интегралы Дифференциальные уравнения IV. ФОРМЫ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ На первых занятиях первого и второго семестров проводится тест на знание понятий, требуемых для успешного освоения курса. В первом семестре тесты включают задания из курса программы средней школы по математике, во втором из программы первого семестра. Примерный перечень заданий теста. Первая часть Упростить выражение x 1 + x + x : 1 x x 1 Решить уравнение x x 2 = 4 ( Решить уравнение x lg x ) lg 2 2x lg x 5 1 = 1 2 Решить неравенство log x 6 ( log2 x 6 ) > 0 Решить задачу: Антикварный магазин, купив два предмета за 225 тыс. руб., продал их, получив 40% прибыли. Что стоил магазину каждый предмет, если на первом получено прибыль 25%, а на втором 50%? 9

10 Вторая часть. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = x lnx Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = (2x + 1) e x 2 Найти производную функции V. ФОРМЫ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ Зачет в первом и втором семестре. y = 1 + x 1 x VI. УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА Рекомендуемая литература (основная) 1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш.Кремера. М.: ЮНИТИ, Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Н.Ш.Кремера. М.: ЮНИТИ, Рекомендуемая литература (дополнительная) 1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 3. Кочегурова В.А. Практические занятия по элементам линейной алгебры. Томск: МГК ТГУ, Кочегурова В.А. Практические занятия по аналитической геометрии на плоскости. Томск: МГК ТГУ, Кочегурова В.А. Практические занятия по математическому анализу (введение в анализ). Томск: МГК ТГУ,